Примеры решения дифференциал функции: Примеры решения дифференциала функции с ответами

Примеры решения дифференциала функции с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциала функции и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

 Алгоритм решения дифференциала функции

Теорема

Дифференциалом функции называется произведение её производной и дифференциала независимой переменной

Для вычисления дифференциалов используются свойства дифференциалов, а также таблица их значений.

 

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решения дифференциала функции

Пример 1

Задача

Найти дифференциал функции

Решение

Найдём производную данной функции.

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :

Ответ

Пример 2

Задача

Найти дифференциал функции

Решение

Найдём производную данной функции.

   

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :

   

Ответ

   

Пример 3

Задача

Найти дифференциал функции

Решение

Найдём производную данной функции.

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :

Ответ

Пример 4

Задача

Найти дифференциал функции

Решение

Найдём производную данной функции.

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :

Ответ

Пример 5

Задача

Найти дифференциал функции

Решение

Найдём производную данной функции.

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :

Ответ

Пример 6

Задача

Найти дифференциал функции

Решение

Найдём производную данной функции.

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :

Ответ

Пример 7

Задача

Найти дифференциал функции

Решение

Найдём производную данной функции.

По правилу вычисления производной от дроби, получаем:

   

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :

Ответ

Пример 8

Задача

Найти дифференциал функции

Решение

Найдём производную данной функции.

Функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа.

Обозначим . Исходная функция примет следующий вид:

Найдём её производную по таблице основных тригонометрических функций:

Далее найдём производную :

Производная сложной функции будет равна произведению и :

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :

Ответ

Пример 9

Пример 9

Задача

Найти дифференциал функции

Решение

Найдём производную данной функции.

Данная функция является сложной, т.к. подкоренным выражением является функция синус.

Найдём производную данной функции, как произведение производных корня и синуса:

Окончательно получаем:

   

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :

Ответ

Пример 10

Задача

Найти дифференциал функции

Решение

Найдём производную данной функции.

Процесс нахождения произвоной данной функции будет происходить в три этапа: на первом этапе требуется определить производную функции косинус, на втором – производную от корня, на третьем – производную от дроби подкоренного выражения.

Найдём производную

По таблице производных определяем, что

Т.к. аргумент косинуса сам является функцией от , то необходимо найти его производную по :

Подкоренное выражение является дробью, поэтому необходимо также найти производную этой дроби :

Перемножая найденные производные, получаем окончательный результат:

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :

   

Ответ

   

Средняя оценка 4 / 5. Количество оценок: 2

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

7651

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Полезно

Дифференциал онлайн

dy=f′(x)dx

Как видим, для нахождения дифференциала нужно умножить производную на dx. (2/3)

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции


Решение пределов:

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление интегралов

см. также Вычисление приближенно с помощью дифференциала

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, где A – константа, а α(∆x) – бесконечно малая при ∆x → 0.
Требование дифференцируемости функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке, причем A=f’(x₀).

Пусть f(x) дифференцируема в точке x₀ и f ‘(x₀)≠0, тогда ∆y=f’(x

0)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0. Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: , то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x₀)∆x.

то есть ∆y~f’(x₀)∆x. Следовательно, f’(x₀)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x

0 и обозначают dy(x₀) или df(x₀). Итак, для произвольных значений x
dy=f′(x)∆x. (1)
Полагают dx=∆x, тогда
dy=f′(x)dx. (2)

Пример. Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4tg2x
Решение:

дифференциал:
б)
Решение:

дифференциал:
в) y=arcsin2(lnx)
Решение:

дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:

Пример. Для функции y=x³

найти выражение для ∆y и dy при некоторых значениях x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x)³ – x³ = x³ + 3x²∆x +3x∆x² + ∆x³ – x³ = 3x²∆x+3x∆x²+∆x³; dy=3x²∆x (взяли главную линейную относительно ∆x часть ∆y). В данном случае α(∆x)∆x = 3x∆x² + ∆x³.

Искусство решения проблем

Дифференциальное уравнение — это функциональное уравнение, включающее функции и их производные.

порядок дифференциального уравнения является наибольшим порядком любой производной, которая появляется в уравнении.

Дифференциальные уравнения часто представляются вместе с начальным условием; то есть заданное значение функции или зависимой переменной при некотором значении ее независимой переменной.

Содержание

• 1 Пример
• 2 решения
  • 2. 1 Рабочий пример
• 3 приближения
• 4 Постоянные выражения

Примеры

имеет решения для всех вещественных констант. При начальном условии становится единственным решением.

имеет решения для всех вещественных констант и . Решения с ; те с есть . Начальное условие дает косинусные решения; дает решения синусов.

Решения

Разделение переменных — удобный прием для решения некоторых типов дифференциальных уравнений. По сути, этот метод включает в себя переписывание уравнения таким образом, чтобы каждая сторона представляла собой выражение только с одной переменной, а затем взятие первообразной обеих частей.

При решении дифференциальных уравнений лучше всего обозначать функции, используя одно имя переменной, вместо того, чтобы указывать функцию и ее аргументы, например, используя вместо . Здесь мы также используем обозначение Лейбница для производной, потому что оно позволяет манипулировать и индивидуально.

Рабочий пример

Чтобы решить дифференциальное уравнение, мы переместим все члены, содержащие и, вправо и все члены, содержащие и, влево, таким образом получив и теперь являющиеся множителями на противоположных сторонах, поэтому мы можем антидифференцировать обе части: Правый интеграл просто для некоторой постоянной .

Используя частичные дроби, основные правила интегрирования и тождества функций логарифма и абсолютного значения, левая часть снова становится для некоторой константы .

Константы интегрирования и могут быть объединены в одну константу (обычно это происходит при разделении переменных), поэтому пишем

Когда находится в диапазоне , алгебраическая обработка приводит к решению При любых начальных условиях мы можем найти значение константы .

Аппроксимации

Метод Эйлера использует повторяющиеся аппроксимации касательной для аппроксимации значения решения дифференциального уравнения первого порядка при заданном начальном условии .

Если , метод Эйлера работает путем деления на меньшие интервалы , иногда называемые шагами . Начиная с , для каждого шага значение (в конце шага) аппроксимируется касательной о (начало шага, где известно и может быть вычислено в терминах и с использованием данного дифференциального уравнения), пока не будет достигнуто.

Формула для аппроксимации касательной:

Величина называется размером шага . Метод Эйлера можно использовать, просто используя отрицательные размеры шага.

Постоянные выражения

Определенные выражения, включающие решения дифференциальных уравнений, можно доказать постоянными, заметив, что их производные всегда равны . Затем эти постоянные выражения можно использовать для доказательства свойств решений.

Например, когда , Использование позволяет реконструировать знакомую идентичность для всех реальных . 9.

Эта статья незавершенная. Помогите нам, расширив его.

Решение дифференциальных уравнений с заменами

92 \end{align}

Это дифференциальное уравнение можно записать в виде $y’ = F\left ( \frac{y}{x} \right )$.

Свернуть Содержание Решение дифференциальных уравнений с заменами Пример 1 Пример 2