Примеры решения определенных интегралов: Определенный интеграл и методы его вычисления с примерами решения

5.16. Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл , согласно его математическому определению (4.2), представляет собой сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, образованных по схеме рисунка 5.5. Для непрерывной подынтегральной функции F(X) и конечных пределов интегрирования A и B этот интеграл, как было показано выше, заведомо существует (представляет собой некоторое число). Но найти его напрямую, следуя указанной на рис. 5.5 схеме, очевидно, невозможно. По этой схеме его можно найти лишь приближенно.

Для этого промежуток интегрирования [A; B] следует разбить не на бесконечно малые участки Dx, которых будет бесконечно много, а на конечное число (скажем, на 100) частичных промежутков одинаковой (или не одинаковой) конечной длины . Затем на каждом выбрать некоторую точку Х (скажем, середину) и подсчитать сумму

Из уже конечного числа (из 100) слагаемых. Эта сумма будет

Приближенным значением определенного интеграла . Если нужно получить более точный результат, то нужно сделать более мелкое разбиение промежутка интегрирования (скажем, разбить его не на 100 частичных промежутков, а на 200, 300, и т. д.). Собственно, таким путем (с некоторыми непринципиальными усовершенствованиями указанной схемы) и вычисляют приближенно определенные интегралы на ЭВМ. ЭВМ умеют, кстати, оценивать точность полученного результата, и при вычислении определенных интегралов за счет своего быстродействия способны достигать любой разумной точности (до нескольких тысяч десятичных знаков после запятой). Но вычисляя таким путем определенные интегралы, абсолютно точного результата, тем не менее, ЭВМ дать не в состоянии.

И тут возникает вопрос: а нельзя ли все-таки вычислять определенные интегралы абсолютно точно? Ответ на это вопрос такой: можно, хотя далеко и не всегда. Для точного подсчета определенных интегралов, если оно возможно, применяется знаменитая формула Нютона-Лейбница.

Суть ее в следующем. Пусть F(X) – непрерывная на [A; B] функция, так что заведомо существует. И пусть вычислен неопределенный интеграл от функции F(x):

(4.19)

Тогда Точное значение

можно найти по формуле:

(4.20)

Здесь F(X) – любая первообразная для функции F(X). Формула (4.20) называется Формулой Ньютона-Лейбница.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница докажем сначала, что функция

(4.21)

То есть определенный интеграл с переменным верхним пределом, имеет на [A; B] производную Ф΄(X), совпадающую с F(X

) (Ф΄(X) = F(X)).

Действительно,

(4.22)

Но

(4.23)

В последнем интеграле интегрирование происходит на бесконечно малом промежутке [X; X+Dx] оси T длиной Dx. На нем, при его разбиении на бесконечно малые промежутки Dt, уместится лишь один такой промежуток

Dt = Dx
(см. рис. 5.11). Выбирая на нем в качестве произвольно выбираемой точки T точку X и следуя схеме (4.2) вычисления определенного интеграла, получим по этой схеме лишь одно слагаемое:

(4.24)

А значит, согласно (4.22), получаем:

(4.25)

Отметим, что заодно мы доказали следующий принципиальный факт, который мы обещали доказать в конце §2: у любой непрерывной на [A; B] функции F(X) имеется первообразная F

(X). Ею, в частности, является функция Ф(х). А значит, для любой непрерывной на [A; B] функции F(X) существует для X Î [A; B] и неопределенный интеграл (4.19). Хотя, как мы уже замечали в §1, он далеко не всегда может быть выражен через элементарные функции (может оказаться неберущимся). Найдя приближенно (машинным путем) функцию Ф(х), мы тем самым найдем приближенно и .

А теперь перейдем непосредственно к доказательству формулы Ньютона-Лейбница (4.20). Пусть F

(X) – любая первообразная для функции F(X) на [A; B]. Так как она может отличаться от указанной выше первообразной Ф(х) лишь на константу, то

(4.26)

Полагая в этом равенстве Х = а, получаем:

(4. 27)

Значит, равенство (4.26) принимает вид:

(4.28)

А теперь, полагая в (4.28) Х = B, получим:

(4.29)

Но это, по сути, это и есть формула (4.20) Ньютона-Лейбница.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Вычислим сначала

(значит, )

А тогда

Геометрическая иллюстрация полученного результата изображена ниже:

(4.30)

Формула Ньютона-Лейбница (4.20) принадлежит к числу важнейших формул высшей математики. Она позволяет просто, а главное, точно вычислять определенные интегралы. А значит, позволяет находить точные значения многих нужных для практики величин (площадей криволинейных фигур; помещений тел при переменных скоростях их движения; работ переменных сил и многое другое).

Но она может быть использована, если только соответствующий неопределенный интеграл – из берущихся. В противном случае неизвестна первообразная F(X) для функции F(X), а значит, нечего подставлять и в формулу (4.20) Ньютона-Лейбница.

Если неопределенный интеграл неберущийся, то соответствующий ему определенный интеграл может быть найден лишь приближенно. Например, с помощью ЭВМ – так, как об этом говорилось выше, перед выводом формулы Ньютона-Лейбница.

Упражнения

1. На основании формулы (4.18) (формулы грубой оценки определенных интегралов) оценить величину следующих интегралов:

А); б).

Ответ: а); б).

2. Сравнив подынтегральные функции интегралов и , выяснить, какой из них больше.

Ответ: > .

3. Доказать, что для всех справедливо неравенство , и с его помощью доказать, что

4. Доказать, что заключен между и .

5. Найти площадь S, заключенную между параболой и осью оХ.

Ответ:

6. Найти работу А, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если для ее растяжения на 1 см необходима сила в 20 н.

Указание. При решении задачи использовать закон Гука: величина удлинения пружины пропорциональна растягивающей ее силе.

Ответ: .

7. Производительность труда Z = F(T) среднестатистического рабочего на некотором предприятии представляет собой функцию

Найти объем Q продукции, производимой рабочим за смену (8 часов).

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >

Объяснение урока: Интегрирование путем замены: определенные интегралы

В этом объяснении мы узнаем, как использовать интегрирование путем замены для определенных интегралов.

Давайте сначала вспомним, как интегрировать путем подстановки, рассмотрев краткий пример. Позволять 𝐼=𝑥2𝑥+5𝑥.d

Вычислим этот интеграл, сделав замену 𝑢=2𝑥+5. У нас есть это дд𝑢𝑥=6𝑥, и так 𝐼=162𝑥+56𝑥𝑥=16𝑢𝑢𝑥𝑥=16𝑢𝑢.ddddd

В этой форме интеграл вычисляется просто: 16𝑢𝑢=16×15𝑢+=130𝑢+.dCC

Наконец, мы подставляем 𝑢=2𝑥+5 обратно в: 𝐼=130𝑢+=1302𝑥+5+.CC

В общем, если у нас есть функция от функции 𝑓(𝑔(𝑥)) и интеграл вида 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥𝑥ддд, то замена 𝑢=𝑔(𝑥) дает дддд𝑢𝑥=𝑔𝑥, и так 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥𝑥=𝑓(𝑢)𝑢.dddd

Этот метод работает для определенных интегралов так же, как и для неопределенных; однако, когда мы делаем замену, пределы интегрирования должны измениться.

Формула: интегрирование путем замены определенных интегралов

Если 𝑓 — непрерывная функция, а 𝑔 дифференцируема с непрерывная производная, то 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥𝑥=𝑓(𝑢)𝑢,()()dddd где 𝑢=𝑔(𝑥).

Рассмотрим пример использования подстановки для вычисления определенного интеграла.

Пример 1. Нахождение значения определенного интеграла с помощью подстановки

Используйте подстановку 𝑢=𝑥−4, чтобы вычислить определенный интеграл 𝑥(𝑥−4)𝑥d.

Ответ

Напомним, что если мы интегрируем функцию форма 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥дд, то мы можем сделать замену 𝑢=𝑔(𝑥): 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥𝑥=𝑓(𝑢)𝑢.()()dddd

Обратите внимание, что после подстановки пределов интегрирования измените от 𝑎 и 𝑏 на 𝑔(𝑎) и 𝑔(𝑏).

Мы хотим оценить 𝑥(𝑥−4)𝑥d. Принимая 𝑢=𝑥−4, имеем следующее:

• dd𝑢𝑥=1
• 𝑥=𝑢+4
• пределы интегрирования 𝑢(1)=1−4=−3 и 𝑢(3)=3−4=−1

Таким образом, 𝑥(𝑥−4)𝑥=(𝑢+4)𝑢𝑢=𝑢+4𝑢𝑢=14𝑢+43𝑢=14(−1)+43(−1)−14(−3)+43(− 3)=443.ddd

Если нам не скажут, какую замену использовать, нам придется выбрать подходящую подменяем сами.

Пример 2. Нахождение значения определенного интеграла с помощью подстановки

Найдите 𝑥√𝑥+5𝑥d с точностью до тысячных.

Ответ

Напомним, что если у нас есть функция вида 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥дд, то мы можем сделать замену 𝑢=𝑔(𝑥): 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥𝑥=𝑓(𝑢)𝑢.()()dddd

Обратите внимание, что после подстановки пределов интегрирования измените с 𝑎 и 𝑏 на 𝑔(𝑎) и 𝑔(𝑏).

Делая замену, мы ищем две вещи. Во-первых, это выражение, назовем его 𝑔(𝑥), который появляется в подынтегральном выражении и производная которого, дд𝑔𝑥, также входит в подынтегральную функцию. Стоит помнить, что если 𝑔(𝑥) линейна по 𝑥 (т. е. 𝑔(𝑥) имеет вид 𝑎𝑥+𝑏), тогда его производная есть константа; дд𝑔𝑥=𝑎. Это означает, что всегда можно сделать линейную замену.

Второе, что мы ищем, это замена, которая сделает интеграл проще вычислить. Когда подынтегральная функция содержит функцию функции, внутренняя функция часто является хороший кандидат на замену.

Эти два соображения предполагают, что 𝑢=𝑥+5 будет хорошая замена, надо попробовать. Действительно, взяв 𝑢=𝑥+5 имеем:

• dd𝑢𝑥=1
• 𝑥=𝑢−5
• пределы интегрирования 𝑢(−1)=−1+5=4 и 𝑢(4)=4+5=9

Таким образом, 𝑥√𝑥+5𝑥=(𝑢−5)√𝑢𝑢=(𝑢−5)𝑢𝑢=𝑢−5𝑢𝑢=25𝑢−103𝑢=259−1039−254−1024 ×27−25×32+103×8=4225−1903=31615.dddd

2 , значение нашего определенного интеграла с точностью до тысячных равно 21,067.

Метод подстановки часто является эффективным способом решения тригонометрических интегралов, как мы увидим в следующем примере.

Пример 3. Нахождение значения определенного интеграла с помощью подстановки

Найти −9(𝑧)(𝑧)𝑧tansecd.

Ответ

Напомним, что если у нас есть функция вида 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥dd, то мы можем сделать замену 𝑢=𝑔(𝑥): 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥𝑥=𝑓(𝑢)𝑢.()()dddd

Заметим, что после подстановки пределов интегрирования изменяются с 𝑎 и 𝑏 на 𝑔(𝑎) и 𝑔(𝑏).

При подстановке ищем выражение, назовите это 𝑔(𝑥), которая появляется под интегралом и производная которой, dd𝑔𝑥, также входит в подынтегральную функцию. Теперь тригонометрические функции отличаются от других тригонометрических функций. Именно по этой причине, при представлении интеграла, включающего несколько тригонометрических функций, стоит проверить посмотрите, не являются ли какие-либо из них производными от других.

Мы хотим вычислить −9(𝑧)(𝑧)𝑧tansecd. Принимая 𝑢=(𝑧)tan имеем следующее:

• ddsec𝑢𝑧=(𝑧)
• пределы интегрирования 𝑢(0)=(0)=0tan и 𝑢𝜋4=𝜋4=1tan

Таким образом, −9(𝑧)(𝑧)𝑧=−9𝑢𝑢=−92𝑢=−921−920=−92.tansecdd

Напомним, что производная ln(𝑥 ) равно 1𝑥. Это означает что частные с ln(𝑥) в числителе часто являются хорошими кандидатами на интегрирование путем замены, как в следующем примере.

Пример 4. Нахождение значения определенного интеграла с помощью подстановки

Определить 𝑥𝑥𝑥lnd.

Ответ

Напомним, что если у нас есть функция вида 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥dd, то мы можно сделать замену 𝑢=𝑔(𝑥): 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥𝑥=𝑓(𝑢)𝑢. ()()dddd

Заметим, что после подстановки пределы интегрирования изменяются с 𝑎 и 𝑏 на 𝑔(𝑎) и 𝑔(𝑏).

Поскольку подынтегральная функция в данном случае состоит из дроби с ln(𝑥) в числителе, 𝑢=(𝑥)ln — очевидный кандидат на замену. Действительно, взяв 𝑢=(𝑥)ln, имеем следующее:

• dd𝑢𝑥=1𝑥
• пределы интегрирования 𝑢(1)=(1)=0ln и 𝑢(𝑒)=1

Таким образом, 𝑥𝑥𝑥=𝑢𝑢=12𝑢=12×1−12×0=12.lndd

Рассмотрим более сложный пример использования подстановки для вычисления определенного интеграла, включающего натуральный логарифм.

Пример 5. Нахождение значения определенного интеграла с помощью подстановки

Ответ

Напомним, что если у нас есть функция вида 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥дд, то мы можем сделать замену 𝑢=𝑔(𝑥): 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥𝑥=𝑓(𝑢)𝑢.()()dddd

Обратите внимание, что после подстановки пределов интегрирования измените с 𝑎 и 𝑏 на 𝑔(𝑎) и 𝑔(𝑏).

Хотя подынтегральная функция в этом примере выглядит довольно сложной, мы должны сразу заметить, что он содержит натуральный логарифм и дробь, знаменатель которой тесно связан с аргументом этого логарифма. Используя цепное правило, мы получаем ddln𝑥(𝑥−7)=2(𝑥−7)(𝑥−7)=2𝑥−7.

Это предполагает, что 𝑢=(𝑥−7)ln может быть крайне хороший кандидат на замену. Однако обратите внимание, что постоянный член в ln(𝑥−7)+1 дифференцирует равным 0, поэтому мы также можем взять 𝑢=(𝑥−7)+1ln. С 𝑢=(𝑥−7)+1ln имеем следующее:

• dd𝑢𝑥=2𝑥−7
• пределы интегрирования 𝑢(8)=(1)+1=1ln и 𝑢(𝑒+7)=𝑒+1=2+1=3ln

Таким образом , 5𝑥−7(𝑥−7)+1𝑥=52𝑢𝑢,=58𝑢=58×3−58×1=5×(81−1)8=4008=50. lndd

Наконец, давайте рассмотрим пример, объединяющий экспоненциальную функцию и тригонометрические функции.

Пример 6. Нахождение значения определенного интеграла с помощью подстановки

Вычислить 𝑒𝜃𝜃sincosd.

Ответ

Напомним, что если у нас есть функция вида 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥дд, то мы можем сделать замену 𝑢=𝑔(𝑥): 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥𝑥=𝑓(𝑢)𝑢.()()dddd

Обратите внимание, что после подстановки пределов интегрирования измените 𝑎 и 𝑏 на 𝑔(𝑎) и 𝑔(𝑏). Рассмотрим выражение 𝑒𝜃𝜃.sincosd

Обратите внимание на наличие функции синуса в экспоненте и рядом с ней ее производной, косинус. Действительно, при 𝑢=(𝜃)sin, у нас есть ddcos𝑢𝜃=𝜃, и так 𝑒𝜃𝜃=𝑒𝑢.()()sincosdd

У нас есть 𝑢𝜋3=𝜋3=√32sin и 𝑢(𝜋)=(𝜋)=0sin. Следовательно, 𝑒𝜃𝜃 = 𝑒𝑢 = 12𝑒 = 12–12𝑒 = 121 – 𝑒. ()  () √√√sincosdd

Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.

Ключевые моменты

• Мы можем определить ситуации, когда замена может быть использована для упрощения определенного интеграла.
• В частности, мы можем распознавать выражения вида 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥,дд которые являются произведением функции функции 𝑓(𝑔(𝑥)) и производная dd𝑔𝑥 внутренней функции.
• В этой ситуации мы можем сделать замену 𝑢=𝑔(𝑥); то есть, 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔𝑥𝑥=𝑓(𝑢)𝑢.()()dddd
• Мы можем вычислять такие определенные интегралы, заботясь о том, чтобы при замене 𝑢=𝑔(𝑥), пределы изменения интегрирования: 𝑎↦𝑔(𝑎)𝑏↦𝑔(𝑏).

определено

определено

	Математика 122 – Исчисление для биологии II Осенний семестр 2004 г. Определенный интеграл
	© 2000, Все права защищены, SDSU & Джозеф М. Махаффи Государственный университет Сан-Диего — Последнее обновление этой страницы: 21 апреля 2003 г.

---

Определенный интеграл

 

1. Мертвая зона дыхания
2. Основная теорема исчисления
3. Примеры
4. Примеры работы
5. Том Мертвого Космоса

В предыдущем разделе показано, как приблизительно определить площадь под кривой с помощью правила средней точки. Однако эта техника довольно скучный. В этом разделе используются наши методы из предыдущих разделов с первообразную для нахождения площади под кривой. Основная теорема исчисления позволяет с помощью определенного интеграла найти точную площадь под функция. Мы иллюстрируем использование наших методов интеграции с помощью пример из физиологии дыхания.

Респираторная мертвая зона

При вдыхании воздуха в легкие и из них воздух должен проходить через носовые ходы, глотку, трахею и бронхов, прежде чем он сможет попасть в альвеолы, где кислород и углерод обмен диоксида с кровеносной системой. Эти регионы, где жизненно важные газы не обмениваются, называются мертвые зоны . Чтобы определить здоровье пациентов с респираторными заболеваниями, важно знать информацию обо всех аспектах их легких. Это включает в себя измерение мертвого пространства.

Существует довольно простой способ измерения мертвого пространства для пациент. Больной дышит обычным воздухом, затем непосредственно перед измерения, он или она делает один вдох чистого кислорода. кислород будет смешиваться с нормальным воздухом в альвеолах, но мертвый пространство будет заполнено почти исключительно чистым кислородом. Пациент выдыхает смесь через быстро записывающий измеритель азота. запись дает измерение количества № ₂ и та часть, которая включает только O ₂ представляет мертвое пространство. Ниже приведен график, показывающий типичную запись пациент.

Область слева от кривой – чистая O ₂ в мертвом пространстве, при этом область справа от кривой представляет смешанный воздух в алеволи, где фактический газ обменивается с циркуляторным система. Объем мертвого пространства определяется площадью слева кривой, умноженной на общий объем выдыхаемого воздуха, деленный на общая площадь под пунктирной линией.

Функция, которая близко соответствует собранным выше данным, предоставлено

, где N — процент азота в выдыхаемом воздухе и х количество миллилитров с истекшим сроком годности. Мы легко можем видеть, что общая площадь ( V ) под пунктиром линия В = 0,6×500 = 300 мл, поэтому мы можем найти площадь слева от кривой по формуле найти площадь под кривой и вычесть ее из общей площадь, В . Мы хотели бы более простой означает, чем суммы Римана, чтобы найти площадь под этой кривой, и Фундаментальная теорема исчисления дает нам этот инструмент. Ниже мы завершить наши вычисления, чтобы получить фактический объем мертвых пространство, представленное приведенными выше данными.

Основы Теорема исчисления

Пусть f ( x ) будет непрерывная функция на интервале [ а , b ] и предположим что F ( x ) любой производная от f ( x ). Определенный интеграл , который дает площадь под кривой f ( x ) между и и b , может быть вычислено следующая формула:

Пример 1: Используйте основную теорему исчисления для вычисления интеграла из ф ( х ) = х ² от от 0 до 2.

Решение: Решение дано

Обратите внимание, что это представляет собой площадь под кривой x ² от от 0 до 2.

Пример 2: Учитывать функции f ( x ) = x ² – 2 х – 3 и г ( х ) = 1 – 2 х . Найдите x и y -перехваты и вершина параболы. Также найдите точки пересечения. Наконец-то, определить площадь между кривыми.

Решение: Для f ( x ), y -intercept (0, -3). По факторингу f ( x ) = x ² – 2 х – 3 = ( х – 3)( х +1), поэтому x -перехваты равны (-1, 0) и (3, 0). вершина имеет значение x посередине между два x -перехвата, так что легко увидеть, что вершина этой параболы равна (1, -4). Для прямая г ( х ) = 1 – 2 х , x и y – перехваты являются (1/2, 0) и (0, 1), соответственно.

Для нахождения точек пересечения функции устанавливаются равными друг с другом. Таким образом, х ² – 2 х – 3 = 1 – 2 х или х ² – 4 = 0. Значения x пересечения равны х = + 2, поэтому точка пересечение (-2, 5) и (2, -3). Ниже приведен график двух кривых, показывающих область между их.

 

Из точек пересечения мы видим, что домен проценты равны -2 < x < 2. Обратите внимание, что г ( x ) > f ( x ) на интересующем интервале, что дает высоту при любом разрешении x как г ( x ) – f ( x ) = (1 – 2 х ) – ( x ² – 2 х – 3) = 4 – x ² . Таким образом, площадь находится с помощью следующего интеграла

Пример 3: Когда интеграция требует подстановки, то подстановка, используемая в интеграции также может использоваться на конечных точках интеграции для упрощения процесса вычисление интеграла. Оцените следующий определенный интеграл:

Решение: Для интеграции в этом интеграле нам нужно сделать замену u = 2 t + 1, поэтому du = 2 dt . Конечные точки t = 0, что меняется на u = 1 и t = 4, что становится u = 9. Таким образом, интеграл выше решается следующим образом:

Как обычно есть коллекция Работал Примеры , чтобы помочь с домашним заданием и дать дополнительные рекомендации по решению определенных интегралов.

Том Мертвых Космос

Как отмечалось в примечаниях выше, мертвое пространство для дыхания находится путем определения площади области слева от кривой на рисунок выше. Площадь этого региона может быть аппроксимирована определенный интеграл

Приведенный выше интеграл разбивается на два интеграла, которые необходимо решить. первое достаточно элементарно, а второе требует подстановок.