Примеры решения пределы функции: Примеры пределов с решениями

Методические рекомендации к самостоятельной работе. Тренажер по теме: «Предел функции». | Методическая разработка по теме:

Самостоятельная работа

Тренажер по теме: «Предел функции».

Цель работы: овладение методами раскрытия различных видов неопределенностей.

        Умение и навыки, которые должны приобрести студенты:  самостоятельно вычислять пределы функций, осуществлять поиск информации с использованием компьютерной техники и Интернета

         

Рекомендации по выполнению.

1.Разобрать решение примеров.

2.Выполнить задания тренажера, используя указания.

3.Оформить решение задач тренажера в тетради.

Разберите решение примеров и выполните задания тренажера, используя указания:

 1. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель ,который при  не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

2. Найти предел функции   

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной  и, учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.

Или

3. Найти предел функции                    

Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.

4. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.

5. Найти предел функции  

Решение: Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности

воспользуемся вторым замечательным пределом:

6. Найти предел функции  

Решение: В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.

, тогда

7. Найти предел  функции

Решение: Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

Для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

и применим в числителе формулу :

Тренажер

Вычислить:

8.  – первый замечательный предел
9. (k – постоянная величина)

Произведем подстановку ; . Отсюда следует, что  при . Тогда получим

 =  =  =  = , так как

14.  второй замечательный предел
15.  =  =
16.  =   =  =  =
17.  

3.Оформить решение примеров в тетради.

4. По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета.

Шкала оценки образовательных достижений

Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
	Балл (оценка)	Вербальный аналог
90-100	5	отлично
80-89	4	хорошо
70-79	3	удовлетворительно
менее 70	2	неудовлетворительно

 

Непрерывность и пределы: оценка пределов

В этом тексте мы просто познакомим вас с несколькими простыми методами оценки пределы и показать вам несколько примеров. Более формальные способы нахождения пределов останется для вычислений.

Предел функции при определенном значении x не зависит от значения функция для этого x . Таким образом, одним из методов оценки предела является оценка функция для многих x – значения очень близки к желаемому х . Например, f ( х ) = 3 х . Что такое f ( x )? Найдем значения f при некотором x – значения около 4. f (3,99) = 11,97, f (3,9999) = 11,9997, f (4,01) = 12,03, и f (4,010010) = 11,9997 Отсюда можно с уверенностью сказать, что по мере приближения x 4, f ( x ) приближается к 12. То есть, f (

х ) = 12.

Техника вычисления функции для множества значений х вблизи искомого значение довольно утомительно. Для определенных функций работает гораздо более простая техника: прямая замена. В приведенной выше задаче мы могли бы просто вычислить f (4) = 12 и получить предел одним вычислением. Поскольку предел при данном значении x не зависит от значения функции при этом x -значение, прямое замена – это ярлык, который не всегда работает. Часто функция является неопределенный в желаемом x – значение, а в некоторых функциях значение f ( a

)≠ f ( x ). Таким образом, прямая замена является методом, который следует пробовал с большинством функций (потому что это так быстро и легко сделать), но всегда дважды проверенный. Он имеет тенденцию работать для пределов многочленов и тригонометрические функции, но менее надежен для функций, которые не определены при определенных значениях x .

Другой простой метод нахождения предела включает в себя прямую замену, но требует большего творчества. Если делается попытка прямой замены, но функция не определено для данного значения x , алгебраические методы упрощения можно использовать для поиска выражения функции, для которого значение определяется функция при желаемом разрешении

x . Тогда прямая замена может быть используется для нахождения предела. Такие алгебраические методы включают факторинг и рационализация знаменателя, чтобы назвать несколько. Однако функция манипулируется так что прямая замена может работать, ответ все равно должен быть проверен либо глядя на график функции, либо оценивая функцию для х – значения рядом с желаемым значением. Теперь мы рассмотрим несколько примеров ограничений.

Что такое ? Цифра %: f ( x ) = Непосредственной подстановкой и проверкой по графику = – .

Что такое ? Цифра %:

f ( x ) = Прямая замена не работает, потому что f не определено при x = 1. делим знаменатель на ( x + 1)( x – 1), хотя член ( x – 1) отменяет сверху и снизу, и нам остается вычислять . При прямой подстановке предел равен .

Рассмотрим функцию f ( x ) = xforx < 0, f ( x ) = x + 1 forx ≥ 0. Что такое f ( x ), что такое f ( x ) и что такое f ( x )? Рисунок %: f ( x ) = x для x < 0, f ( x ) = x + 1 для x ≥ 0 Односторонний предел слева равен 0.

Это мы можем сказать как из прямого замены и изучая график. Используя те же приемы, находим односторонний предел справа равен 1. По правилам несуществующего предела f ( x ) не существует, потому что f ( x )≠ f ( x ).

Рассмотрим функцию f ( x ) = xforall x ≠3, f ( x ) = 2 forx = 3. Что такое ф ( х )? Число %: f ( x ) = x для всех x ≠3, f ( x ) = 2 для x = 3 Прямая замена дает предел в 2, но более тщательная проверка график и значения, окружающие

x = 3 показывают, что на самом деле предел f при x = 3 равно 3. Это яркий пример того, как значение функции при x не влияет на предел этой функции при разрешении x .

Пределы прямой подстановки – GeeksforGeeks

Пределы являются строительными блоками исчисления. Это значения, которые, по-видимому, принимает функция, когда мы достигаем определенной точки. Они помогают вычислить скорость изменения функций. Понятие производных было определено с ограничениями. Они также помогают нам определить понятия непрерывности и дифференцируемости. Таким образом, становится важным понять их интуицию и различные методы определения пределов для различных категорий функций.

Ограничения

С геометрической точки зрения предел функции в определенной точке можно легко оценить по ее графику. Например, на приведенном ниже графике при x = 3. Функция как бы принимает значение 1. В данном случае не имеет значения, с какой стороны мы подходим — с левой и с правой стороны .

Для функции f(x) предел при x = a обозначается как

Пределы с использованием прямой подстановки

Правило подстановки для расчета пределов — это метод нахождения пределов путем простой замены значения x на точку, в которой мы хотим вычислить предел. Рассмотрим функцию f(x), цель состоит в том, чтобы найти предел функции в точке x = a. В этом методе x просто заменяется на «a» в выражении функции f(x).

Давайте рассмотрим этот метод на примере:0003

⇒

⇒

⇒

Часто с помощью этого правила можно вычислить пределы функции, если говорить формально.

Если f(x) представляет собой выражение, построенное из многочленов, корней, абсолютных значений, экспонент, логарифмов, тригонометрических функций и/или обратных тригонометрических функций с использованием композиции функций и таких операций, как x, +, -, / тогда для любого a, для которого определено f(a), 

Неопределенные пределы прямой подстановкой

Существуют определенные пределы, которые нельзя рассчитать этим методом. Например, рассмотрим функцию f(x) =   , вычислите предел для этой функции при x = 1. 

⇒

⇒

⇒

Этот предел не определен. В таких случаях применяется метод прямой замены.

Пределы тригонометрической функции

Иногда для вычисления пределов функций, включающих тригонометрические функции, можно использовать прямую замену. Например, предположим, что у нас есть функция f(x), и мы хотим вычислить пределы для этой функции при x = 0. Давайте рассмотрим это на примере.

Example: Calculate the  

f(x) = sin(x) + sin(x)cos(x)

Solution:

⇒ 

⇒

⇒

⇒ 0 × (1 + 1)

⇒ 0 

Пределы кусочной функции

При работе с кусочными функциями правило подстановки, как правило, не работает в местах изменения определения функции. Он используется немного измененным способом для этих функций. Давайте решим пример задачи, чтобы лучше понять это,

Пример: вычислить значение  .

Решение: 

При x = 1 определение функции меняется. Поэтому не рекомендуется применять правило напрямую. В таких функциях следует искать предел с обеих сторон.

левый боковой предел

⇒

⇒1

Правосторонняя сторона

⇒

⇒0

В этом случае пределы с обеих сторон различны.

Let’s see some problems on these concepts 

Sample Problems

Question 1: Calculate the  

f(x) = x ² + x + 1

Solution:

⇒

⇒

⇒ 1

ВОПРОС 2: Рассчитайте

F (x) =

Решение:

11 ⇒

11 ⇒0002 ⇒ 

Вопрос 3. Вычислите значение  .

Решение: 

При x = 1 определение функции меняется. Поэтому не рекомендуется применять правило напрямую. В таких функциях следует искать предел с обеих сторон.

Левый предел

⇒

Правый предел

⇒

В этом случае пределы с обеих сторон разные.

Question 4: Calculate the  

f(x) = 

Solution:

⇒ \

⇒

⇒ 

⇒ e + 2

Question 5 : Calculate the  

f(x) = 

Solution:

⇒ \

⇒

⇒ 

⇒ e ^sin(1) + 2

Question 6 : Рассчитать    с использованием правила подстановки.

f(x) = 

Решение:

⇒ \

⇒

⇒ форма не определена.