Решения дифференциальных уравнений: примеры
Было бы неплохо иметь решение всех своих задач? Или, по крайней мере, ваши математические проблемы? Как насчет задач с дифференциальными уравнениями? К сожалению, вы даже не можете найти решения всех видов дифференциальных уравнений. Однако здесь вы можете найти по крайней мере некоторые виды решений дифференциальных уравнений .
Проверка решений дифференциальных уравнений
Начнем с того, как проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения. Предположим, вам дано дифференциальное уравнение 92 – 4x – 4 }\right) \\ &= 0.\end{align}\]
Следовательно, \(y(x)\) является решением дифференциального уравнения.
Что делать, если вы хотите получить представление о том, как выглядит решение, не решая дифференциального уравнения?
Графики решений дифференциальных уравнений
Есть два основных метода, которые вы можете использовать, чтобы получить представление о том, как выглядит решение дифференциального уравнения и как оно ведет себя, не решая его.
Если вам нужна численная аппроксимация, вы можете использовать метод Эйлера.
Поля направлений, также называемые полями наклона, используют тот факт, что производная представляет собой наклон, для построения «поля» уклонов, которое позволяет предсказать поведение решений.
В статьях по этим темам будет много примеров построения графиков решений. Если вы действительно можете решить дифференциальное уравнение, вы можете построить график общего решения. Если назвать это «общим решением», это будет звучать как единственное решение, но на самом деле это семейство функций. Поведение решения зависит от того, где начинается решение (также называемое начальным условием). Дополнительные сведения по этой теме см. в разделе Общие решения дифференциальных уравнений.
Решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда можно записать в виде
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P( x)y=Q(x),\]
, где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – функции.
{-ax}+\frac{b}{a},\]
— решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.
При решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка используется интегрирующий коэффициент, и в статьях «Линейные дифференциальные уравнения» и «Неоднородные линейные уравнения» есть множество примеров.
Экспоненциальные решения дифференциального уравнения
Решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами — это почти единственный класс дифференциальных уравнений, для которых гарантировано экспоненциальное решение. Однако это не означает, что другие дифференциальные уравнения не могут иметь в своих решениях экспоненциальные функции. Давайте посмотрим на пример. 92 – 6r + 8 = 0.\]
Это делит на \( (r-2)(r-4) = 0\), которое имеет решения \(r=2\) и \(r=4\) , который оказался в показателях решения! Такие вещи, как характеристические многочлены и линейные дифференциальные уравнения второго порядка, — это некоторые из вещей, о которых вы узнаете, если будете посещать занятия по дифференциальным уравнениям.
Равновесные решения дифференциальных уравнений
Некоторые дифференциальные уравнения имеют равновесное решение.
Равновесный раствор \(y(x)\) дифференциального уравнения первого порядка — это такое, которое удовлетворяет условию \(y'(x)\equiv 0\).
Другими словами, равновесное решение дифференциального уравнения первого порядка — это постоянное решение ! Равновесные решения иногда называют устойчивыми решениями .
Одним из известных дифференциальных уравнений, имеющих не одно, а два равновесных решения, является логистическое уравнение,
\[P’ = r\left( 1- \frac{P}{k}\right)P.\]
92 + 12x } }.\] Итак, теперь у вас есть два равновесных решения и общее решение! Как узнать, какой из них правильный? Ну, технически они все верны. Они составляют набор функций, которые решают дифференциальное уравнение. Если бы вам были даны начальные значения, вы могли бы либо выбрать одно из равновесных решений, либо найти \(B\) в общем решении, чтобы получить конкретное решение.
Чтобы увидеть пример дифференциального уравнения, которое может иметь одно, ни одного или бесконечно много решений в зависимости от начального значения, см. нашу статью Общие решения дифференциальных уравнений. 9\круг\). Какое дифференциальное уравнение моделирует это и каково равновесное решение?
Решение
Во-первых, давайте определимся, что это за переменные. Конечно, одним из них будет время, а другим — температура, но вам нужно выяснить, какая из них является независимой переменной, а какая — зависимой. Поскольку температура пиццы зависит от времени, это означает, что время является независимой переменной, а температура – зависимой переменной. Задав каждому из них переменную, пусть
- \(t\) время с момента выхода из духовки; и
- \(y(t)\) — температура с момента выхода из духовки.
Теперь нужно выяснить, какое уравнение моделирует эту ситуацию. Закон охлаждения Ньютона вам в помощь! Помните, что для охлаждения объекта (в данном случае ваша пицца охлаждается до комнатной температуры) скорость изменения температуры определяется как константа, умноженная на разницу между текущей температурой и комнатной температурой.
Другими словами,
\[y'(t) = k(y(t) – 70),\]
где \(k\) – постоянная охлаждения.
Вам все еще нужно начальное значение, чтобы завершить это как дифференциальное уравнение.
Каково начальное значение? Это температура на выходе из духовки, поэтому \(y(0) = 375\). Таким образом, чтобы завершить дифференциальное уравнение как задачу с начальным значением,
\[\begin{align} &y'(t) = k(y(t) – 70) \\ &y(0)=375 \end{align}\ ]
где \(k\) – постоянная охлаждения. 9\circ\) перед едой. Как долго вам придется ждать?
Решение
В предыдущем примере вы видели, как составить это дифференциальное уравнение и найти равновесное решение, и вы обнаружили, что
\[\begin{align} &y'(t) = k(y( t) – 70) \\ &y(0)=375 \end{align}\]
где \(k\) – постоянная охлаждения. Давайте опираться на эту информацию.
Это хорошее разделимое уравнение, и запись его в разделимой форме даст вам
\[ \frac{1}{y-70}y’ = k.
\]
Тогда интегрирование обеих частей по \(t\) дает
\[ \ln |y-70| = kt+C.\]
Вы можете либо использовать информацию, приведенную в задаче, чтобы сначала найти \(k\) и \(C\), либо найти явное решение, а затем найти константы. В любом случае вы получите один и тот же ответ.
Если вы подставите начальное условие \(y(0) = 375\), вы получите
\[ \ln |375-70| = k\cdot 0 + C,\]
поэтому \( C = \ln 305\). 9\circ\), но вы его не использовали. Переводя это в переменные, \(y(5) = 350\). Подставив его вместе с \(C\) в уравнение, вы получите
\[ \ln |350-70| = 5k+\ln 305 .\]
Другими словами,
\[ \begin{align} 5k &= \ln |350-70| – \ln 305 \\ &= \ln 280 – \ln 305 \\ &= \ln \frac{280}{305}, \end{align}\]
, поэтому
\[k= \frac{1 }{5} \ln \frac{280}{305} .\]
Тогда, сложив все вместе, мы получим решение задачи с начальным значением: 9\круг\). Поэтому вместо того, чтобы искать явное решение, просто подключите температуру и определите время.
Это означает
\[ \ln |300-70| = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t+\ln 305 \]
так
\[ \ln 230 – \ln 305 = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t \]
, что означает
\[ t = 5\frac{ \ln \frac{230}{305}}{ \ln \frac{280}{305} } \приблизительно 16.5.\]
Итак, вам нужно будет подождать около 16,5 минут, прежде чем вы сможете съесть пиццу, не обжигая рот.
Решения дифференциальных уравнений — основные выводы
- Чтобы убедиться, что \(y(x)\) является решением дифференциального уравнения \(y’=f(x,y)\), оцените \(y'( x) – f(x, y(x))\) и посмотрите, получится ли \(0\). Если да, то \(y(x)\) является решением.
- Чтобы получить численное приближение к решению дифференциального уравнения, вы можете использовать метод Эйлера.
- Поля направлений, также называемые полями наклона, используют тот факт, что производная представляет собой наклон, для построения «поля» уклонов, которое позволяет предсказать, как будут вести себя решения.
- Равновесное решение (также называемое постоянным решением) \(y(x)\) дифференциального уравнения первого порядка – это решение, удовлетворяющее условию \(y'(x)\equiv 0\).
Решения дифференциальных уравнений. Расчет 1
Все ресурсы по расчету 1
10 Диагностические тесты 438 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущий 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 14 15 Следующий →
94Объяснение:
Мы решим это с помощью цепного правила.
D x [(5+3x) 5 ]
=5(5+3x) 4 * D x [5+3x]
=5(5+31x) 4 90 (3)
=15(5+3x) 4
Сообщить об ошибке
Найти D x [sin(7x)].
Возможные ответы:
7cos(7x)
-7sin(7x)
7sin(7x)cos(7x)
-7cos(7x)
7sin(7x)
Правильный ответ: 7cos(7x)
Объяснение:
Во-первых, запомните, что D x [sin(x)]=cos(x).
D x [sin(7x)]
=cos(7x)*D x [7x]
=cos(7x)*(7)
=7cos(7x)
Рассчитать f xxyz , если f(x,y,z)=sin(4x+yz).
Возможные ответы:
-16cos(4x+yz) +16yzsin(4x+yz)
4sin(4x+yz)
cos(4x+yz)
-16sin(4x+yz)
arctan(9×005)
Правильный ответ: -16cos(4x+yz) +16yzsin(4x+yz)
Объяснение:
Мы можем рассчитать этот ответ пошагово. Начнем с дифференцирования по самой левой переменной в «xxyz». Итак, начнем с того, что возьмем производную по х.
Во-первых, f x = 4cos(4x+yz)
Тогда f xx = -16sin(4x+yz)
f xxy = -16zcos(4x+yz)
Наконец, f xxyz = -16cos(4×1+yz) + +yz)
Сообщить об ошибке
Интегрировать
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
таким образом:
Сообщить об ошибке
Интегрировать :
Правильный ответ:
Объяснение:
таким образом:
Сообщить об ошибке
Найдите общее решение дифференциального уравнения
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Мы можем использовать разделение переменных, чтобы решить эту проблему, так как все “у-термы” находятся на одной стороне, а все “х-термы” – на другой стороне. Уравнение можно записать в виде.
Интеграция обеих сторон дает нам .
Сообщить об ошибке
Рассмотреть ; путем умножения на левую и правую части можно быстро проинтегрировать как
, где . Так, например, можно переписать как:
. Мы воспользуемся этим приемом в другом простом случае с точным интегралом.
Используйте описанную выше технику, чтобы найти такие, которые с и .
Подсказка: после того, как вы использовали приведенное выше, чтобы упростить выражение до формы, вы можете решить его, переместив в знаменатель:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Как описано в задаче, нам дано
.
Мы можем умножить обе части на :
Распознать шаблон цепного правила двумя разными способами:
Это дает:
Мы используем начальные условия для решения C, заметив, что в Это означает, что C должно быть больше 1, что делает правую часть идеальным квадратом:
Чтобы увидеть, какой символ + или – следует использовать, мы видим, что производная начинается с положительного значения, поэтому необходимо использовать положительный квадратный корень. Тогда, следуя подсказке, мы можем переписать это как:
,
которые мы научились решать тригонометрической подстановкой, получая:
Ясно и тот факт, что снова дает нам так
Сообщить об ошибке
Что все функции такие, что
?
Возможные ответы:
для произвольных константов K и C
для произвольных константов K и C
для произвольных констант K и C
для произвольных константов K и C
для произвольных константов K и C
222222222222222222222222222222222222222222н.
ответ:
для произвольных констант k и C
Объяснение:
Интегрируя один раз, получаем:
Интегрируя второй раз, получаем:
Мы интегрируем первый член по частям, используя , чтобы получить:
. Отменив крестики, мы получим:
. Определение дает указанную выше форму.
Сообщить об ошибке
Числа Фибоначчи определяются как
и тесно связаны с золотым сечением , которое решает очень похожее уравнение
.
N-ые производные функции определяются как:
Найдите функцию Фибоначчи, определяемую:
, чьи производные в 0, следовательно, являются числами Фибоначчи.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить, мы игнорируем производные, чтобы просто получить:
Это можно решить, приняв экспоненциальную функцию, которая превращает это выражение в
,
, которое решается с помощью .