Пример №2:
Нужно вычислить приблизительное значение заданной функции arctg 1.02. При этом производя замену приращения функции ее дифференциалом.
Рассмотрим подробно функцию y= arctg x.
Для данной функции нужно вычислить значение в точке равной 1,02.
Для этого выразим функцию в следующем выражении: \[x=x_{0}+\Delta x\].
Значения двух точек \[\mathrm{x}_{0}\]и \[\Delta x\] подбираются таким образом, чтобы при вычислении значений функции и ее производных было легко проводить расчеты. При этом желательно числа выбирать так, чтобы значение \[\Delta x\]. было достаточно минимальным по значению.
Учитывая все требования можно сделать следующий вывод:
\[x=1.02=1+0.02\] , а именно \[ x_{0}=1 \text { и } \Delta x=0,02 .\]
Определим значения для заданной функции y= arctg x в первой точке равной \[\mathrm{x}_{0} = 1\]
\[y\left(x_{0}\right)=y(1)=\operatorname{arctg} 1=\frac{\pi}{4}\].
Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная
Необходимая теория:
Производная функции
Таблица производных
Первообразная функции
Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.
Геометрический смысл производной
Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.
1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .
Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:
Ответ: 0,25.
2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке
Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .
Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:
Ответ: −0, 25.
Касательная к графику функции
3. Прямая является касательной к графику функции
Найдите абсциссу точки касания.
Запишем условие касания функции и прямой в точке
При значения выражений и равны.
При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .
Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .
Физический смысл производной
Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.
Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.
Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.
4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.
Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени.
Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:
Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:
В момент времени получим:
.
Ответ: 3.
Применение производной к исследованию функций
Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.
Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.
Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.
И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.
Если , то функция возрастает.
Если , то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
| возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает | |
| 0 | 0 |
5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.
Ответ: 5.
6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?
Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?
Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.
На отрезке производная функции положительна.
Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.
Ответ: 3.
7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.
Ответ: 7.
8. На рисунке изображен график производной функции
Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
На отрезке такая точка всего одна! Это
Ответ: 1.
9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке
Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.
Значит, является точкой экстремума.
Первообразная и формула Ньютона-Лейбница
Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции
10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения
Функция для которой является производной, называется первообразной функции
Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю.
Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.
Ответ: 4.
Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» – в этой статье
Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная — профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 03.01.2023
Исчисление I — Производные — Математика для старших классов
Все ресурсы по математике для старших классов
8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Следующая →
Справка по математике для старших классов »
Исчисление I.
Производные
Найдите наклон линии, касательной к точке пересечения параболы:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти наклон линии, касательной к параболе в определенной точке, найдите производную уравнения параболы, затем подставьте -координату конкретной точки в новое уравнение.
В этом случае полезно расширить уравнение, прежде чем брать производную:
Теперь взять производную расширенного уравнения:
Поскольку точка пересечения – это точка, в которой находится -координата, подставьте в уравнение для .
Сообщить об ошибке
Рассмотреть функцию
Найти минимум функции на интервале .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти потенциальные минимумы функции, возьмите первую производную , используя степенное правило.
Установите для производной значение 0:
Мы находим для , чтобы получить , а затем подставляем 0,5 в исходную функцию, чтобы получить ответ
. Мы можем перепроверить, что действительно является минимумом, используя тест второй производной.
значит функция вогнута вверх, так что найденная нами точка является минимумом.
Сообщить об ошибке
Каков локальный максимум когда ?
Возможные ответы:
Локальный максимум отсутствует.
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти максимум, нам нужно посмотреть на первую производную.
Чтобы найти первую производную, мы можем использовать правило степени. Для этого мы уменьшаем показатель степени переменных на единицу и умножаем на исходный показатель степени.
Мы будем считать, что все в нулевой степени равно единице.
Обратите внимание, что, поскольку любое произведение, умноженное на ноль, равно нулю.
Глядя на первую производную, помните, что если выход этого уравнения положителен, исходная функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает.
Обратите внимание, что меняется с положительного на отрицательное, когда .
Мы можем найти этот корень, используя квадратное уравнение:
Так как мы ищем отрицательное значение, мы будем вычитать.
Таким образом, максимум равен .
Сообщить об ошибке
Каков локальный максимум между и ?
Возможные ответы:
Между этими двумя точками нет максимума.
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти максимум, мы должны найти, где график смещается от возрастания к убыванию.
Чтобы узнать скорость, с которой график смещается с увеличения на уменьшение, мы смотрим на вторую производную и видим, когда значение меняется с положительного на отрицательное.
Другими словами, мы посмотрим на вторую производную и увидим, где (если вообще) график пересекает ось x и движется от положительного значения y к отрицательному значению y.
Теперь надо найти вторую производную. К сожалению, производные триггерных функций нужно запоминать. Первая производная:
.
Чтобы найти вторую производную, мы берем производную нашего результата.
.
Следовательно, вторая производная будет .
Пересекает ли наше новое уравнение ось x и движется ли оно от положительного к отрицательному между и ? Да. Это происходит один раз, когда . Поэтому наш локальный максимум будет при . Подставьте это значение обратно в наше первое уравнение, чтобы найти, что максимум будет в точке .
Сообщить об ошибке
Каков локальный минимум когда ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти локальный минимум , нам нужно посмотреть на первую производную.
Чтобы найти первую производную, мы можем использовать степенное правило. Правило степени гласит, что мы умножаем каждую переменную на ее текущий показатель степени, а затем уменьшаем этот показатель на единицу.
Упрощение.
Все в нулевой степени равно единице, поэтому .
Следовательно, .
Как минимум, наш график будет пересекать -ось. Значит, надо найти корни. Используйте квадратное уравнение:
Отсюда мы разделяемся на два корня, один из которых складываем, а другой вычитаем:
и
Оба эти корня удовлетворяют ? Да.
Затем мы переходим к следующему вопросу: сдвигается ли график от отрицательного к положительному в любом из этих корней? Да. Когда , график смещается с отрицательного на положительный.
Следовательно, локальный минимум равен .
Сообщить об ошибке
Каков абсолютный минимум ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти минимум, нам нужно посмотреть на первую производную.
Поскольку мы добавляем члены, мы берем производную каждой части отдельно. Например, мы можем использовать правило степени, которое гласит, что мы умножаем переменную на текущий показатель степени, а затем уменьшаем показатель степени на единицу. Для синуса мы используем наши правила тригонометрических производных.
Помните, .
Теперь нам нужно найти корни производной.
Пересекает ли -ось? Да, он пересекает .
Наш следующий вопрос: «Изменяется ли график с отрицательного на положительный в этой точке?» Да. Это означает, что наша родительская функция в этот момент перешла от убывающей к возрастающей.
Следовательно, это будет наш минимум.
Сообщить об ошибке
Каков локальный минимум когда ?
Возможные ответы:
Локального минимума нет.
Правильный ответ:
Объяснение:
Локальный минимум возникает, когда график “достигает дна” – он уменьшается, замедляется, останавливается, а затем начинает расти.
В тот момент, когда она переключается с убывающей на возрастающую, наша первая производная должна двигаться от отрицательной к положительной. Начните с нахождения первой производной, а затем посмотрите, получится ли это.
Чтобы найти первую производную от , мы можем использовать степенное правило.
Правило степени гласит, что мы умножаем каждую переменную на ее текущий показатель степени, а затем уменьшаем показатель степени каждой переменной на единицу.
Так как, мы будем обращаться как .
Все, что умножается на ноль, равно нулю, поэтому наш окончательный член, независимо от степени показателя степени.
Упростим то, что есть.
Таким образом, наша первая производная равна .
Нарисуйте уравнение. Меняется ли он с отрицательного на положительное, когда? Да, это так. Следовательно, эта нулевая точка будет нашим минимумом.
Ноль возникает, когда . Следовательно, минимум нашего исходного графа равен .
Сообщить об ошибке
Каков локальный минимум когда ?
Возможные ответы:
Значение y постоянно во всем этом диапазоне.
В этом диапазоне нет локального минимума.
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти максимум, нам нужно посмотреть на первую производную.
Чтобы найти первую производную, мы можем использовать степенное правило. Для этого мы уменьшаем показатель степени переменных на единицу и умножаем на исходный показатель степени.
Мы будем считать, что все в нулевой степени равно единице.
Обратите внимание, что, поскольку любое произведение, умноженное на ноль, равно нулю.
Глядя на первую производную, помните, что если выход этого уравнения положителен, исходная функция возрастает.
Если производная отрицательна, то функция убывает.
Поскольку нам нужен МИНИМУМ, мы хотим увидеть, где производная меняется с отрицательной на положительную.
Обратите внимание, что имеет корень when . На самом деле, в этот конкретный момент он меняется с отрицательного на положительный. Это локальный минимум на интервале .
Сообщить об ошибке
Рассчитать .
Возможные ответы:
Предел не существует.
Правильный ответ:
Объяснение:
Подставьте , чтобы переписать этот предел с точки зрения u вместо x. Умножьте верхнюю и нижнюю часть дроби на 2, чтобы сделать такую замену:
(Обратите внимание, что как , .)
, поэтому
, что, следовательно, является правильным выбором ответа.
Сообщить об ошибке
Рассчитать
Возможные ответы:
Предел не существует.
Правильный ответ:
Объяснение:
Вы можете заменить , чтобы записать это как:
Обратите внимание, что поскольку ,
, поскольку дробь становится неопределенной, нам нужно взять производную дроби как от верхней, так и от нижней части .
, что является правильным выбором.
Сообщить об ошибке
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Следующая →
Уведомление об авторских правах
Все математические ресурсы средней школы
8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Рабочий лист неявной дифференциации с ответами
AlleBilderBücherVideosMapsNewsShopping
suchoptionen
[PDF] Неявная дифференциация – Kuta Software
cdn.
kutasoftware.com › Рабочие листы › Calc › 03 – Неявная дифференциация…
Рабочий лист от Kuta Software LLC. Kuta Software – Бесконечное исчисление… Для каждой задачи используйте неявное дифференцирование, чтобы найти… ответы выглядят одинаково?
Исчисление I – Неявное дифференцирование (практические задачи)
tutorial.math.lamar.edu › tasks › calci › implicit… главы «Производные» заметок для Павла …
[PDF] Гл. 2.5 Рабочий лист по неявной дифференциации №1
mryangteacher.weebly.com › загрузки › 2.5_implicit_practice_ws_1.pdf
Гл. 2.5 Рабочий лист неявного дифференцирования №1. Нахождение производной В упражнениях 1–16 найдите dy/dx_путем неявного дифференцирования. 1. x² + y² = 9.
[PDF] Неявная дифференциация — дополнительная практика
www.livingston.org › calc › TC — Ch 2.7 Неявная разность дополнительная практика.pdf
Worksheet by Kuta Software LLC … Для каждой задачи используйте неявное дифференцирование, чтобы найти.
.. Ответы на неявное дифференцирование — дополнительная практика.
Bilder
Alle anzeigen
Alle anzeigen
[PDF] 4.1 Неявное дифференцирование
www.tesd.net затем подставьте точку в производную, чтобы найти наклон …
Неявное дифференцирование (с примерами и таблицами!) x и y – это … навыки, работая над 7 дополнительными упражнениями с ответами.
[PDF] MATH 100 – РАБОЧИЙ ЛИСТ 9 НЕЯВНОЕ ДИФФЕРЕНЦИИРОВАНИЕ 1 …
personal.math.ubc.ca › ~lior › Worksheets › 09_ImplicitDiff.soln.pdf
, так что касательная имеет наклон − cos 1. (4) Найдите y, если (x + y) sin(xy) = x2. Решение: Дифференцируем полученное уравнение.
[PDF] Рабочий лист 14: Неявное дифференцирование – Berkeley Math Рассел Бюлер. [email protected] www.xkcd.com. 1. Используя обозначения Лейбница, найдите производную x2 + y2 = 1 …
[PDF] Рабочий лист неявного дифференцирования
2.files.edl.io › .