Примеры решения производных сложных: Производные сложных функций, основные формулы и примеры решений

Содержание

Производная сложной функции. Примеры решений

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь  изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

 

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись  . Здесь у нас две функции –   и  , причем функция  , образно говоря, вложена в функцию  . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию   я буду называть внешней функцией, а функцию   – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции 

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение  , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя: 

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция   – это сложная функция, причем многочлен   является внутренней функцией (вложением), а   – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде   понятно, что под синус вложен многочлен  . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения   при   (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие:  , поэтому многочлен   и будет внутренней функцией  :   Во вторую очередь нужно будет найти  , поэтому синус – будет внешней функцией: После того, как  мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции  .

Начинаем решать. С урока 

Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции   (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что  . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция   не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что 

Результат применения формулы   в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Готово

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пример 3

Найти производную функции 

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения   при  . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание:  , значит, многочлен   – и есть внутренняя функция: И, только потом выполняется возведение в степень  , следовательно, степенная функция – это внешняя функция: Согласно формуле  , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу:  . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции    следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции  , внутренняя функция   у нас не меняется: Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Готово.

Пример 4

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции 

б) Найти производную функции 

Пример 6

Найти производную функции 

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени  . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция.

Применяем правило дифференцирования сложной функции  :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного  , но такое решение будет выглядеть как извращение забавно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции 

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного  , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.   Используем наше правило  :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила  , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую,  вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции 

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение   с помощью подопытного значения  . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти  , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат  :

И, наконец, семерку возводим в степень  : То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу   сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции:  Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение   , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции    следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:

Готово.

Пример 11

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 12

Найти производную функции 

Сначала используем правило дифференцирования суммы  , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу  :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило  :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции  ,  . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно. А пока запишем подробно, согласно правилу  , получаем:

Готово.

! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

Пример 13

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие – вместо правила   применяем правило  .

Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! После изучения третьего урока вы будете очень уверенно себя чувствовать в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 2: 

Пример 4:  Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак . nx. Формулы производных высших порядков.

Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1) (e x )′ = e x .

Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a :
(2) .

Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x

Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e , которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e в степени x :
y = e x .
Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом:
(3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А) Свойство экспоненты :
(4) ;
Б) Свойство логарифма :
(5) ;
В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6) .
Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г) Значение второго замечательного предела:
(7) .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.

Сделаем подстановку . Тогда ; .
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при , . В результате получаем:
.

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
.

Применим свойство логарифма (5):
. Тогда
.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной показательной функции

Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a . Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .

Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма .
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.

Производные высших порядков от e в степени x

Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14) .
(1) .

Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.

Производные высших порядков показательной функции

Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a :
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15) .

Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.

На котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией , а функцию – внутренней (или вложенной) функцией .

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг , который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней .

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением , в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции

Пример 3

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения . Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Вычисление производной – одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:
  • Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций
Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена “шпаргалка” основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.

Производные простых функций

1. Производная от числа равна нулю
с´ = 0
Пример:
5´ = 0

Пояснение :
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях – скорость его изменения всегда равна нулю.

2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение :
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение :
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

Откуда следует, что
(cx + b)” = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).


4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|” = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение :
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 – единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных – наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)”= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)” = 2x
(x 3)” = 3x 2
Для запоминания формулы :
Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)” = – 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)” = (x -1)” , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)” = -1x -2 = – 1 / х 2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
(1 / x c)” = – c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)” = – 2 / x 3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
(√x)” = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)” = (х 1/2)” значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)” = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)” = 1 / (n n √x n-1)

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, – это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x – аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Методическая разработка самостоятельной работы: Решение задач тренежера по теме: «Производная сложной функции». | Методическая разработка по теме:

Самостоятельная работа

Тема: Решение задач тренажера по теме: «Производная сложной функции».

Цель работы: овладение методами вычисления производной сложной функции.

        Умение и навыки, которые должны приобрести студенты: самостоятельно вычислять производные сложных функций, осуществлять поиск информации с использованием компьютерной техники и Интернета

         

Рекомендации по выполнению.

1.Разобрать решение примеров.

2.Выполнить задания тренажера, используя указания.

3.Оформить решение задач тренажера в тетради.

1.Разберите решение примеров:

Вычисление производных сложных функций осуществляется по правилу дифференцирования сложной функции:

 

 Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции –  и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто , а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
Функция  – это сложная функция, причем многочлен  является вложенной функцией , а  – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является вложенной, а какая – внешней.

После того, как   определены вложенная  и внешняя функции применяют правило дифференцирования сложной функции .

Вычислим производную:

 получаем:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 2

Найти производную функции

 

Пример 3

Найти производную функции

Для того чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это вложенная функция, а возведение в степень – внешняя функция.По  правилу дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала , а для производной вложенной функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

 Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

2.Выполните задания тренажера «Производная сложной функции»:

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) ,

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) ,

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

а) ,

б) .

в) ,

г) .

3.Оформить решение примеров в тетради.

4. По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета.

Шкала оценки образовательных достижений

Процент результативности

(правильных ответов)

Оценка уровня подготовки

Балл (оценка)

Вербальный аналог

90-100

5

отлично

80-89

4

хорошо

70-79

3

удовлетворительно

менее 70

2

неудовлетворительно

 

     5 Оформить отчет о работе

Производная сложной функции – вычисление и определение с примерами решения

Содержание:

  1. Производная от сложной функции
  2. Сложная функция и производная
  3. Формула производной сложной функции
  4. Производная сложной функции подробное определение и примеры
  5. Примеры на вычисление производных сложных функций:

Производная от сложной функции

Пусть у есть функция от аргумента u, то есть y = f (u), и пусть аргумент  u — некоторая функция от независимой переменной x: . Тогда y есть функция от x: В таких случаях говорят, что у является функцией от функции или сложной функцией от аргумента x.

Пусть мы умеем вычислять производную от у по аргументу u, а также производную от аргумента u по независимой переменной х. Установим, как вычисляется производная от у по независимой переменной х.

ТЕОРЕМА. Если функции y = f (u) и  имеют производные, то производная сложной функции равна производной от функции y по промежуточному аргументу u, умноженной на производную от промежуточного аргумента u по независимой переменной х.

То есть, .

Доказательство. Дадим x произвольно малое приращение . Тогда функция  получит приращение , а функция y = f (u) получит приращение , вызванное приращением . Поскольку производная   по  условию существует, то   Откуда   где вместе с .
А поэтому   Разделив обе части равенства на , получим 
 Перейдем к пределу при и, учитывая, что  вследствие непрерывности функции u, что обусловливает и , получим:
    или   ,  что и доказывает теорему.

Замечание. В данной теореме рассмотрена сложная функция, где y зависит от x через промежуточную переменную u. Возможна и более сложная зависимость с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных. При этом правило дифференцирования остается тем же.

Так, например, если y = f (u), где , а, то 

Пример 1. Найти производную функции y = sin3 x.

Решение. Положим  u = sin x, тогда y = u3. Отсюда  Итак,

При определенном опыте промежуточный аргумент не пишут, а используют его неявно.

Пример 2. Найти y’, если y = tg (x2 + 4).

Решение. Помня, что u = x2 + 4,  находим

Пример 3. Найти производную функции y = cos2 (3x + 2).

Решение. Эту функцию можно рассматривать как сложную с двумя промежуточными переменными: y = u2, где u = cos t, t = 3x + 2.

Сложная функция и производная

B классе 10, еще не известно ни о какой производной или её возможном применении для нахождения промежутков монотонности, вы использовали в различных задачах свойства основных элементарных функций. Так, например, чтобы доказать возрастание функции достаточно заметить, что большему значению соответствует большее значение выражения большему значению соответствует большее значение выражения большему значению соответствует большее значение выражения и, наконец, большему значению соответствует большее значение выражения т.е. самой функции

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Эти выводы основаны на том, что линейная функция показательная функция линейная функция и логарифмическая функция и являются возрастающими. То есть при увеличении значений их аргументов увеличиваются и значения самих функций. Таким образом, функция оказывается, подобно русской матрёшке, сложена из других, более простых функций

Можно сказать, что эта сложная функция у составлена из функций и

Рассмотрим сложную функцию где функция v имеет производную в точке а функция и имеет производную в точке Функцию иногда называют внешней, а функцию — внутренней.

Заметим, что приращению соответствует приращение которому, как приращению аргумента функции в свою очередь, соответствует приращение Тогда:

По условию функция дифференцируема в точке а значит, её приращение стремится к нулю при Имеем:

(нижние индексы показывают, по какому аргументу находится производная).

Производная сложной функции равна произведению производных внешней и внутренней функции:

В выводе этой формулы есть небольшая тонкость — функция не должна в окрестности точки представлять собой постоянную. В противном случае приращение в этой окрестности будет тождественно равно нулю, и выражение — лишится смысла.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Найти значение производной функции при

Решение:

Функция у сложная. Она составлена из двух функций: внутренней и внешней Применим формулу производной сложной функции: Найдём

Ответ:

Пример 2:

Найти уравнение касательной к кривой, заданной уравнением в её точке

Решение:

Переменная у задана уравнением неявно. Однако из этого уравнения её можно выразить, если рассмотреть его как квадратное относительно Данная кривая состоит из графиков двух функций, соответствующих знакам или График, которому принадлежит точка соответствует знаку Используя правила и формулы дифференцирования, можно найти вычислить и подставить это значение в уравнение касательной. Однако намного проще решить эту задачу иначе. В некоторой окрестности точки переменная является переменной Рассматривая левую часть равенства как сложную функцию и используя формулу производной сложной функции, найдём производные от обеих частей данного в условии уравнения: Подставим в полученное уравнение координаты точки и найдём значение Остаётся подставить найденный угловой коэффициент касательной в её уравнение

Ответ:

Упражнения:

Составьте сложную функцию

Сложная функция. Производная сложной функции.

Рассмотрим вопрос, как можно из двух простых функций построить сложную функцию. Например, возьмем две элементарные функции: – тригонометрическая функция – квадратичная функция и построим из них сложную.

Определение:

Функцию называют сложной, если областью определения функции является множество значений функции т.е. если аргументом функции является другая функция При этом называется внешней функцией, а внутренней функцией.

Для выбранных функций мы получим сложную функцию

Таким образом, одна функция оказалась внутри другой, для функции вместо подставили

Если в нашем примере поменять внешнюю и внутреннюю функцию местами, то мы получим следующую сложную функцию: .

Запишем несколько сложных функций и укажем для них внешнюю и внутреннюю функции: , -внешняя функция -внутренняя функция. , -внешняя функция -внутренняя функция.

Необходимо понимать, для того чтобы найти значение сложной функции, необходимо вначале обратиться к внутренней функции, а уж затем находить значение самой сложной функции.

Рассмотрим правило нахождения производной сложной функции:

Производная сложной функции равна произведению производной внутренней функции на производную внешней функции:

Пример 3:

, -внешняя функция, -внутреняя функция

Пример 4:

Пусть требуется вычислить по заданному значению соответствующее значение функции заданной формулой Для этого надо сначала вычислить по заданному значение а затем уже по этому вычислить Итак, функция ставит в соответствие числу число а функция — числу число Говорят, что есть сложная функция, составленная из функций и и пишут:

Чтобы вычислить значение сложной функции в произвольной точке сначала вычисляют значение «внутренней» функции в этой точке, а затем

Какова область определения сложной функции Это — множество всех тех из области определения функции для которых входит в область определения функции

В рассматриваемом примере областью определения функции является вся числовая прямая. Значение определено, если значение принадлежит области определения функции Поэтому требуется, чтобы выполнялось неравенство т. е. и, значит, область определения функции — это отрезок

Формула производной сложной функции

В предыдущих пунктах вы научились находить производные рациональных функций, в частности многочленов. Однако задача вычисления производной функции хотя и сводится к нахождению производной многочлена, требует очень большого объема работы: надо представить в виде многочлена и продифференцировать 101 слагаемое полученной суммы. Можно заметно упростить решение этой и других задач, доказав правило вычисления производной сложной функции.

Если функция имеет производную в точке а функция имеет производную в точке то сложная функция также имеет производную в точке причем

Для доказательства формулы надо (как и раньше) при рассмотреть дробь — и установить, что при Введем обозначения: Тогда при так как дифференцируема в точке Далее доказательство проведем только для таких функций у которых в некоторой окрестности точки Тогда при так как при а при что выполнено при (это отмечалось выше).

Пример 4:

Вернемся к поставленной выше задаче и найдем производную функции Функцию можно представить в виде сложной функции Так как имеем

Пример 5:

Найдем производную функции Так как где , то и откуда

Производная сложной функции подробное определение и примеры

Теперь мы можем установить весьма важное при практическом нахождении производных правило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если известны производные составляющих функций. V. Пусть: 1) функция имеет в некоторой точке производную 2) функция имеет в соответствующей точке производную Тогда сложная функция в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций и или, короче,

Для доказательства придадим произвольное приращение пусть — соответствующее приращение функции и, наконец, —приращение функции вызванное приращением Воспользуемся соотношением которое, заменяя на перепишем в виде (а зависит от и вместе с ним стремится к нулю). Разделив его почленно на получим

Если устремить к нулю, то будет стремиться к нулю и [88, 2°], а тогда, как мы знаем, будет также стремиться к нулю зависящая от величина Следовательно, существует предел который и представляет собою искомую производную

Замечание:

Здесь сказывается полезность замечания в относительно величины при покуда есть приращение независимой переменной, мы могли предполагать его *) Подчеркнем, что символ означает производную функцию по ее аргументу и (а не по ), вычисленную при значении этого аргумента. отличным от нуля, но когда заменено приращением функции то даже при мы уже не вправе считать, что

Примеры с решением

Сначала приведем несколько примеров приложения правил I—IV.

Пример:

Рассмотрим многочлен: По правилу II, а затем I, будем иметь: Использовав же формулы I, 2, 3 окончательно получим

Пример:

По правилу III Опираясь на предыдущий пример и формулу найдем

Пример:

Здесь приходится пользоваться сначала правилом IV, а затем правилами II и III (и формулами 6, 7,

Вычисление производных числителя и знаменателя мы произвели, не расчленяя его на отдельные шаги. Путем упражнения необходимо добиться того, чтобы вообще писать производные сразу.

Иногда сложные выглядящие функции могут быть значительно упрощены, если выразить их как совокупность двух или более различных функций. Тогда невозможно дифференцировать их напрямую, как мы делаем с простыми функциями.

Мы обсудим правило с доказательством только для композиции двух функций, но его можно распространить и на функции, включающие несколько композиций. Итак, начнем!

Примеры на вычисление производных сложных функций:

Пример:

Пусть иначе говоря, где По правилу V, Производная (формула 5) должна быть взята при Таким образом, (формула 6).

Пример:

*) Буквами ниже обозначены переменные, а другими буквами — постоянные величины. Конечно, в отдельном выписывании составляющих функций на деле нет надобности.

Пример:

Пример:

Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила V:

Пример:

тогда

Дадим еще несколько примеров на применение всех правил:

Пример:

Пример:

Пример:

В виде упражнения исследуем еще вопрос о производной степенно-показательного выражения где и суть функции от имеющие в данной точке производные Прологарифмировав равенство получим

Таким образом, выражение для у можно переписать в виде откуда уже ясно, что производная существует. Самое же вычисление ее проще осуществить, приравнивая производные по от обеих частей равенства (4), При этом мы используем правила V и III (помня о том, что и суть функции от ). Мы получим и откуда или, подставляя вместо у его выражение,

Эта формула впервые была установлена Лейбницем и И. Бернулли. Например, если

Производная степенной функции

Этим видео я начинаю длинную серию уроков, посвященную производным. Этот урок состоит из нескольких частей.

В первую очередь, я расскажу вам, что вообще такое производные и как их считать, но не мудреным академическим языком, а так, как я сам это понимаю и как объясняю своим ученикам. Во-вторых, мы рассмотрим простейшее правило для решения задач, в которых будем искать производные суммы, производные разности и производные степенной функции.

Мы рассмотрим более сложные комбинированные примеры, из которых вы, в частности, узнаете, что подобные задачи, содержащие корни и даже дроби, могут быть решены при использовании формулы производной степенной функции. Кроме того, конечно, будет множество задач и примеров решений самого разного уровня сложности.

Вообще, изначально я собирался записать коротенький 5-минутный ролик, но сами видите, что из этого получилось. Поэтому хватит лирики — приступаем к делу.

Что такое производная?

Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=f\left( x \right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем ${{x}_{1}}$, ордината, как не трудно догадаться, будет $f\left( {{x}_{1}} \right)$.

Рассмотрим на том же графике еще одну точку. Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее ${{x}_{2}}$, а также ордината — $f\left( {{x}_{2}} \right)$.

Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно. А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем.

А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$\alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:

  1. прямая $AC$параллельна оси $Ox$ по построению,
  2. прямая $AB$ пересекает $AC$ под $\alpha $,
  3. следовательно, $AB$ пересекает $Ox$под тем же самым $\alpha $.

Что мы можем сказать об $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:

\[tg=\frac{BC}{AC}\]

Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:

\[AC={{x}_{2}}-{{x}_{1}}\]

Точно также и $BC$:

\[BC=f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)\]

Другими словами, мы можем записать следующее:

\[\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\]

Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к ${{x}_{1}}$. Вновь обозначим ее абсциссу за ${{x}_{2}}$, а ординату — $f\left( {{x}_{2}} \right)$.

Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.

Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.

 

В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.

И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке ${{x}_{1}}$ называется тангенс угла $\alpha $ между касательной к графику в точке ${{x}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$:

\[{f}’\left( {{x}_{1}} \right)=\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\]

Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве ${{x}_{1}}$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке. 

Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $\beta $. Соответственно, $f$ в ${{x}_{2}}$ будет равна тангенсу этого угла $\beta $.

\[{f}’\left( {{x}_{2}} \right)=tg\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\]

В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.{3}}\]

Мы получили ответ.

Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $f\left( x \right)=…$, во втором: $y=…$ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $f\left( x \right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $f\left( x \right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.

Сложные задачи с производными

В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.{3}}}}\]

И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные. 

Смотрите также:

  1. Производная произведения и частного
  2. Правила вычисления производных
  3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
  4. Преобразование уравнений
  5. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 5 (без производной)
  6. Задача B2: лекарство и таблетки

3.2.5. Примеры решения задач по теме «Дифференциал. Производные сложной

Задача 1.

Найти частный дифференциал функции

По переменной У при Х = -3, У = 4, Z = 0, DY = 0,1.

Указание

Частный дифференциал

Решение

Ответ: 0,08.

Задача 2.

Найти полный дифференциал функции

Указание

Полный дифференциал функции

Решение

Ответ:

Задача 3.

Вычислить приближенно (0,98)2,03.

Указание

Рассмотрите функцию Z = Xy и воспользуйтесь формулой

Решение

Рассмотрим функцию Z = Xy. Найдем ее частные производные:

Пусть

Тогда

Ответ: 0,96.

Задача 4.

Найти если

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Найдем частные производные, которые используются при вычислении

Тогда

Остается подставить в эту формулу выражения для Х и У через U и V:

Ответ:

Задача 5.

Найти если

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Ответ:

Задача 6.

Найти полную производную при Х = 2, если

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Ответ:

< Предыдущая   Следующая >

Как найти производную степенной функции: формула, примеры

В данной публикации мы рассмотрим, чему равна производная степенной функций (в т.ч. сложной), а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула производной степенной функции

Для функции f(x) = x n, где n – действительное число, справедливо следующее выражение:

f(x) = (x n) = nx n-1

Т.е. производная степенной функции равняется произведению показателя степени на основание в степени, уменьшенной на единицу.

n – может быть как положительным, так и отрицательным числом (в т.ч. дробным):

Производная сложной степенной функции

В сложной функции вместо x представлено более сложное выражение. Производная такой функции определяется по формуле:

(y n) = ny n-1 ⋅ y

Примеры задач

Задание 1:
Вычислите производную функцию f(x) = x3/5.

Решение:
Согласно правилам дифференцирования константу в виде дроби можно вынести за знак производной:

Применив формулу производной, рассмотренную выше, получаем:

Задание 2:
Найдите производную функции f(x) = x2 + √x – 6.

Решение:
Первоначальный вид производной функции:
f(x) = (x2 + √x – 6)‘.

С учетом правила дифференцирования суммы получаем:
f(x) = (x2) + (√x) – (6)‘.

Остается только вычислить производные по отдельности:

(x2) = 2x2-1 = 2x

(-6) = 0 (производная константы равна нулю)

Таким образом получаем:

3.3 Правила дифференциации – Объем исчисления 1

Цели обучения

  • Укажите правила постоянной, кратной постоянной и степени.
  • Примените правила суммы и разницы для комбинирования производных финансовых инструментов.
  • Используйте правило произведения, чтобы найти производную произведения функций.
  • Используйте правило частного для нахождения производной частного от функций.
  • Распространить правило степени на функции с отрицательными показателями.
  • Комбинируйте правила дифференцирования, чтобы найти производную полиномиальной или рациональной функции.

Нахождение производных функций с использованием определения производной может быть длительным и, для некоторых функций, довольно сложным процессом. Например, ранее мы обнаружили это с помощью процесса, который включал умножение выражения на конъюгат перед вычислением предела. Процесс, который мы могли бы использовать для оценки с использованием определения, хотя и похож, но более сложен. В этом разделе мы разрабатываем правила для поиска производных, которые позволяют нам обойти этот процесс.Начнем с основ.

Функции и где положительное целое число являются строительными блоками, из которых строятся все многочлены и рациональные функции. Чтобы найти производные многочленов и рациональных функций эффективно, не прибегая к предельному определению производной, мы должны сначала разработать формулы для дифференцирования этих основных функций.

Мы показали, что

и .

На этом этапе вы можете увидеть, как начинает развиваться паттерн для производных формы.Мы продолжим рассмотрение производных формул, дифференцируя степенные функции вида где – натуральное число. Формулы для производных этого типа функций мы разрабатываем поэтапно, начиная с положительных целых степеней. Прежде чем сформулировать и доказать общее правило для производных функций этого вида, рассмотрим конкретный случай,.

Дифференциация

Найти.

Решение

Найти.

Решение

Как мы увидим, процедура нахождения производной общего вида очень похожа.Хотя часто неразумно делать общие выводы из конкретных примеров, мы отмечаем, что, когда мы проводим дифференциацию, степень включения становится коэффициентом в производной, а степень включения в производной уменьшается на 1. Следующая теорема утверждает, что это правило степени выполняется для всех положительных целых степеней. В конечном итоге мы расширим этот результат до отрицательных целых степеней. Позже мы увидим, что это правило может быть распространено сначала на рациональные степени, а затем на произвольные степени.Однако имейте в виду, что это правило не применяется к функциям, в которых константа возводится в переменную степень, например.

Правило власти

Позвольте быть положительное целое число. Если, то

.

В качестве альтернативы мы можем выразить это правило как

.

Мы находим наши следующие правила дифференцирования, рассматривая производные сумм, разностей и постоянных кратных функций. Как и при работе с функциями, существуют правила, которые упрощают поиск производных функций, которые мы складываем, вычитаем или умножаем на константу.Эти правила кратко изложены в следующей теореме.

Теперь, когда мы изучили основные правила, мы можем приступить к рассмотрению некоторых из более сложных правил. Первый исследует производную от произведения двух функций. Хотя может возникнуть соблазн предположить, что производная продукта является произведением производных финансовых инструментов, подобно правилам суммы и разницы, правило продукта не следует этому шаблону. Чтобы понять, почему мы не можем использовать этот шаблон, рассмотрим функцию, у которой производная есть, а нет.

Проба

Начнем с предположения, что и являются дифференцируемыми функциями. В ключевой точке этого доказательства нам нужно использовать тот факт, что, поскольку оно дифференцируемо, оно также непрерывно. В частности, мы используем тот факт, что, поскольку непрерывно,.

Применяя предельное определение производной к, получаем

.

Добавляя и вычитая в числителе, получаем

.

После разделения этого частного и применения закона сумм для пределов производная становится

.

Переставляя, получаем

.

Используя непрерывность определения производных от и и применяя предельные законы, мы приходим к правилу произведения,

Применение правила продукта к постоянным функциям

Применение правила произведения к биномам

Для, найдите, применив правило произведения. Проверьте результат, сначала найдя продукт, а затем дифференцируя его.

Используйте правило произведения, чтобы получить производную от.

Решение

.

Разработав и применив правило продукта, мы теперь рассмотрим дифференцирующие частные функций. Как мы видим в следующей теореме, производная частного не является частным производных; скорее, это производная функции в числителе, умноженная на функцию в знаменателе, минус производная функции в знаменателе, умноженная на функцию в числителе, и все это делится на квадрат функции в знаменателе.Чтобы лучше понять, почему мы не можем просто взять частное производных, имейте в виду, что

, что не то же самое, что.

Доказательство правила отношения очень похоже на доказательство правила произведения, поэтому здесь оно опускается. Вместо этого мы применяем это новое правило для поиска производных в следующем примере.

Применение правила частного

Используйте правило частного, чтобы найти производную от.

Найдите производную от.

Решение

.

Теперь можно использовать правило частного, чтобы расширить правило мощности для нахождения производных функций вида где – отрицательное целое число.

Расширенное правило мощности

Если – отрицательное целое число, то

.

Проба

Если – отрицательное целое число, мы можем установить, так что это положительное целое число с. Поскольку для каждого положительного целого числа мы можем теперь применить правило частного, установив и. В этом случае и. Таким образом,

.

Упрощая, мы видим, что

.

Наконец, обратите внимание на то, что, поскольку при подстановке мы получаем

Использование правила расширенной мощности

Найти.

Решение

Применяя расширенное правило мощности с, получаем

.

Использование правила расширенной мощности и правила постоянной множественности

Используйте расширенное правило мощности и правило множественности постоянных чисел, чтобы найти.

Решение

Может показаться заманчивым использовать правило частного для нахождения этой производной, и, конечно, это было бы правильно.Однако гораздо проще отличить эту функцию, сначала переписав ее как.

Найдите производную от расширенного правила мощности.

Решение

.

Как мы видели в примерах в этом разделе, редко случается, что нам приходится применять только одно правило дифференцирования, чтобы найти производную заданной функции. На этом этапе, комбинируя правила дифференцирования, мы можем найти производные любой полиномиальной или рациональной функции.Позже мы столкнемся с более сложными комбинациями правил дифференцирования. Хорошее практическое правило, которое следует использовать при применении нескольких правил, – применять правила в обратном порядке, в котором мы будем оценивать функцию.

Объединение правил дифференциации

Для, найдите.

Решение

Для поиска этой производной требуется правило сумм, правило множественных постоянных и правило произведения.

Расширение правила продукта

For, выразить через и их производные.

Объединение правила частного и правила произведения

Для, найдите.

Решение

Эта процедура типична для нахождения производной рациональной функции.

Найти.

Решение

.

Определение того, где функция имеет тангенс по горизонтали

Определите значения, для которых имеется горизонтальная касательная.

Найдите значение (я), для которого прямая, касательная к графику, параллельна прямой.

Решение

Студенческий проект – Трибуны Формулы-1

Автомобильные гонки «Формулы-1»

могут быть очень захватывающими и привлечь внимание множества зрителей. Дизайнеры трассы Формулы-1 должны обеспечить наличие достаточного пространства на трибунах вокруг трассы для размещения этих зрителей. Однако автомобильные гонки могут быть опасными, и соображения безопасности имеют первостепенное значение. Трибуны должны быть размещены там, где зрителям не будет угрожать опасность, если водитель потеряет управление автомобилем ((Рисунок)).

Рисунок 1. Трибуна рядом с прямой трассой гоночной трассы Circuit de Barcelona-Catalunya, где зрителям ничего не угрожает.

**********

Безопасность особенно важна на поворотах. Если водитель недостаточно замедлится перед въездом в поворот, автомобиль может соскользнуть с гоночной трассы. Обычно это приводит к более широкому повороту, что замедляет водителя. Но если водитель полностью потеряет контроль, автомобиль может полностью вылететь за пределы трассы по траектории, касательной к изгибу гоночной трассы.

Предположим, вы разрабатываете новую трассу Формулы-1. Один участок пути можно смоделировать функцией ((Рисунок)). Текущий план требует, чтобы трибуны были построены вдоль первой прямой и вокруг части первой кривой. Планируется, что передний угол трибуны должен быть расположен в этой точке. Мы хотим определить, угрожает ли это место зрителям, если водитель потеряет контроль над автомобилем.

Рис. 2. (a) Одна часть ипподрома может быть смоделирована функцией.(б) Передний угол трибуны расположен по адресу.
  1. Физики определили, что водители, скорее всего, потеряют контроль над своими автомобилями при входе в поворот в точке, где наклон касательной равен 1. Найдите координаты этой точки рядом с поворотом.
  2. Найдите уравнение касательной к кривой в этой точке.
  3. Чтобы определить, находятся ли зрители в опасности в этом сценарии, найдите -координату точки, в которой касательная линия пересекает линию.Безопасно ли эта точка справа от трибуны? Или зрители в опасности?
  4. Что делать, если водитель потеряет управление раньше, чем предполагают физики? Предположим, водитель теряет контроль в точке. Каков наклон касательной в этой точке?
  5. Если водитель теряет управление, как описано в части 4, безопасны ли зрители?
  6. Следует продолжить текущий дизайн трибуны или трибуны следует переместить?

Найдите для каждой функции следующие упражнения.

1.

2.

Решение

3.

4.

Решение

5.

6.

Решение

7.

8.

Решение

9.

10.

Решение

11.

12.

Решение

Для следующих упражнений найдите уравнение касательной к графику данной функции в указанной точке. Воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы построить график функции и касательной.

13. [T] at

15. [T] at

Для следующих упражнений предположим, что обе функции и являются дифференцируемыми для всех.Найдите производную каждой функции.

17.

18.

Решение

19.

20.

Решение

Для следующих упражнений предположим, что обе и являются дифференцируемыми функциями со значениями, указанными в следующей таблице. Используйте следующую таблицу для расчета следующих производных.

21. Найдите, если.

23. Найдите, если.

24. Найдите, если.

Для следующих упражнений используйте следующий рисунок, чтобы найти указанные производные, если они существуют.

Решение

а. 2
б. не существует
c. 2,5

Для следующих упражнений:

  1. Оценить и
  2. Постройте график функции и касательной в точке.

28.[Т]

Решение

а. 23
г.

29. [Т]

30. [Т]

Решение

а. 3
б.

31. [Т]

32. Найдите уравнение касательной к графику at.

Решение

33. Найдите уравнение касательной к графику at.

34. Найдите уравнение касательной к графику при.

Решение

35. Найдите на графике такую ​​точку, при которой касательная линия в этой точке имеет точку пересечения 6.

36. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку и касательную к графику.

Решение

37. Определите все точки на графике, для которых наклон касательной составляет

  1. горизонтальный
  2. -1.

38. Найдите квадратный многочлен такой, что, и.

Решение

39. Автомобиль, проезжающий по скоростной автомагистрали, проехал метры за секунды.

  1. Определите время в секундах, когда скорость автомобиля равна 0.
  2. Определить ускорение автомобиля при скорости 0.

40. [T] Селедка, плывущая по прямой линии, прошла ноги за секунды.

Определите скорость сельди, пройдя 3 секунды.

Решение

или 0,0992 фут / с

41. Численность миллионов арктических камбал в Атлантическом океане моделируется функцией, где измеряется в годах.

  1. Определите начальную популяцию камбалы.
  2. Определите и кратко интерпретируйте результат.
Решение

а.
г. -0,02395 мг / л-час, -0.01344 мг / л-час, -0,003566 мг / л-час, -0,001579 мг / л-час
c. Скорость, с которой снижается концентрация лекарственного средства в кровотоке, замедляется до 0 с увеличением времени.

43. У книжного издателя есть функция затрат, определяемая выражением, где – количество копий книги в тысячах, а – стоимость одной книги, измеренная в долларах. Оцените и объясните его значение.

Решение

а.
г. Н / м

Правило частного: формула и примеры – видео и стенограмма урока

Мнемоника

Формулу правила частного может быть трудно запомнить.Возможно, вам поможет небольшое пение в стиле йодлинг. Представьте себе лягушку, которая бормочет: «LO dHI меньше HI dLO над LO LO». В этом мнемоническом устройстве LO относится к функции знаменателя, а HI относится к функции числителя.

Давайте снова переведем йодль лягушки в формулу для правила частного.

LO dHI означает знаменатель, умноженный на производную числителя: g ( x ) умноженный на df ( x ).

минус означает «минус».

HI dLO означает умножение числителя на производную знаменателя: f ( x ) умноженное на dg ( x ).

больше означает «разделить на».

LO LO означает умножение на знаменатель: г ( x ) в квадрате.

Примеры

Давайте рассмотрим несколько примеров, в которых мы должны применить правило частного.

В первом примере возьмем производную от следующего частного:

Давайте определим функции для формулы правила частного и мнемонического устройства.2 – 1. dg ( x ) или dLO , это 2 x .

Теперь мы можем расположить эти части в формуле или мнемоническом устройстве, чтобы найти производную, которая, как вы можете видеть, выглядит так:

Затем вы можете умножить члены в числителе и объединить одинаковые члены, чтобы получить окончательную производную, которая, как вы можете видеть, составляет:

Рассмотрим другой пример.3 в числителе, а затем уменьшите дробь, чтобы получить окончательную производную, которая, как вы можете видеть, равна:

Резюме урока

Давайте рассмотрим то, что мы только что узнали в этом уроке:

Правило частного – это формула для получения производной частного от двух функций. Формула:

Легкий способ запомнить формулу – использовать мнемоническое устройство: LO dHI меньше HI dLO по LO LO.И, наконец, после применения формулы вам все равно может потребоваться упростить получившееся выражение.

Все приемы и приемы

На этой странице вы найдете все, что вам нужно знать о решении производных. Моя цель на этой странице – сделать из вас производную решающую машину :-).

Я поместил методы, которые вам необходимо изучить, в таком порядке, чтобы вам было легче их понять. Эту страницу можно использовать как карту, которая поможет вам в изучении деривативов, или вы можете использовать ее для обзора всех методов решения деривативов.

Готовы? Поехали …

Основные правила

Использовать определение

Самый простой способ вычисления производных – использовать определение. Это включает в себя расчет лимита. Рассчитывать производные таким образом – это навык.

Как и любой навык, вы улучшаете только с практикой. Мы подробно поговорим о том, как использовать определение на странице, вычисляя производную по определению.

Правило цепочки

Цепное правило – это самое важное правило для получения деривативов.С его помощью вы сможете найти производную практически любой функции.

Чтобы узнать о цепном правиле, перейдите на эту страницу: Цепное правило.

Правило продукта

Правило произведения позволяет находить производные от функций, являющиеся продуктами других функций. Это очень полезный метод и одна из немногих формул, которые вам следует запомнить в математическом анализе.

Чтобы узнать о правиле продукта, перейдите на эту страницу: Правило продукта.

Правило частного

Правило частного – это просто частный случай правила произведения, поэтому вам не нужно запоминать другую формулу.Я покажу вам метод решения производных от частных с использованием правила произведения.

Чтобы узнать об этом методе, перейдите на эту страницу: Правило частного.

Неявная дифференциация

Неявное дифференцирование позволяет вам находить производные функций, выраженные забавным образом, который мы называем неявным. Ключ в понимании цепного правила.

Чтобы узнать о неявной дифференциации, перейдите на эту страницу: Неявная дифференциация.

Основные формулы

Производные тригонометрических функций

Чтобы начать изучение производных финансовых инструментов, нам понадобятся несколько формул.Две основные – это производные тригонометрических функций sin (x) и cos (x). Сначала нам нужно найти эти две производные, используя определение.

С их помощью в вашем наборе инструментов вы можете решать производные с использованием тригонометрических функций, используя другие инструменты, такие как правило цепочки или правило произведения.

Чтобы узнать о производных тригонометрических функций, перейдите на эту страницу: Производные от тригонометрических функций.

Производная от экспоненциальных функций

Мы добавляем еще одну функцию в список тех, от которых мы умеем брать производную.Это действительно полезно и красиво. Чтобы узнать о производной экспоненциальной функции, перейдите на эту страницу.

Производная логарифмов

Мы добавляем еще одну формулу к нашему списку, снова используя определение производной. Результат просто потрясающий.

Чтобы узнать о производной от натурального логарифма, перейдите на эту страницу: Производная от ln (x).

Производная обратных триггерных функций

Здесь мы узнаем о производной от arcsin (x), arccos (x) и других.Эти формулы довольно сложно запомнить, поэтому неплохо знать, как их доказать самому себе. Перейти на эту страницу: производная от обратных триггерных функций.

Другие часто задаваемые формулы

Есть несколько формул для производных, которые меня очень часто спрашивают. Это:

  • Производная tan (x): Это не так хорошо известно, как производные sin (x) и cos (x). Для его вычисления мы используем правило частного.
  • Производная обратной функции: как вообще найти производную обратной функции?
  • Производная интеграла: вам нужно знать об интегралах, прежде чем вы это увидите.Этот вопрос возникает всегда, и на этой странице мы довольно хорошо постараемся развеять все сомнения.

И я думаю, что это подводит итог основным методам решения производных. Если у вас есть какой-либо другой трюк или важный момент, который я, возможно, упустил, оставьте мне комментарий ниже, и мы сможем его обсудить.

10.1 Производные комплексных функций

10.1 Производные комплексных функций
Далее: 10.2 Дифференцируемые функции на Вверх: 10.Производная Предыдущее: 10. Производная & nbsp Индекс

Вы знакомы с производными функций от к , и с Мотивация определения производной как наклона касательной к кривой. Для сложных функций геометрическая мотивация отсутствует, но определение формально то же, что и определение производных действительных функций.

По определению предела можно сказать, что дифференцируемо в если , и является предельной точкой и существует функция такой которая непрерывна при, и такой, что

(10.2)

и в этом случае равно.

Иногда полезно перефразировать условие (10.2) следующим образом: является дифференцируемый в, если , является предельной точкой , и есть функция такая, что непрерывна в точке, и

(10,3)

В таком случае, . 10,4 Замечание. Из (10.3) сразу следует, что если дифференцируема в точке, тогда непрерывна при.

Доказательство. Поскольку в точке дифференцируемы, существуют функции , такой, что, непрерывны при, а




Это следует из того

и непрерывна при.

Мы можем позволить и мы видим дифференцируемо при и

Доказательство: доказательство предоставляется вам.

Доказательство: согласно нашим предположениям, существуют функции


такая, что непрерывна в точке, непрерывна в точке и

Если , потом , поэтому мы можем заменить в (10.15) с помощью, чтобы получить

Используя (10.14) для переписывания, получаем

Следовательно, мы имеем

и непрерывна при. Следовательно, дифференцируемо в и

Доказательство: если , мы видели выше, что это дифференцируемый и .Позвольте быть комплексной функцией, и позволять . Предположим, дифференцируем в, и. Затем . По цепному правилу дифференцируема в, и




Далее: 10.2 Дифференцируемые функции на Up: 10. Производная Предыдущее: 10. Производная & nbsp Индекс Правило цепочки

: проблемы и решения – Matheno.com

Вы должны использовать правило цепочки, чтобы найти производную любой функции, которая состоит из одной функции внутри другой функции.2 + 5 $ внутри внешней функции $ \ ln (\ boxed {\ phantom {\ cdots}}). $

Поскольку каждая из этих функций состоит из одной функции внутри другой функции – известной как составная функция – мы должны использовать правило цепочки, чтобы найти его производную, как показано в задачах ниже.


Как определить внутренние и внешние функции?

Вот надежный метод: представьте, что вы вычисляете значение функции для определенного значения $ x $ и определяете шаги, которые вы должны были бы предпринять, потому что вы всегда автоматически начинаете с внутренней функции и переходите к внешней функции. .7 $ – внешняя функция.

Этот воображаемый вычислительный процесс работает каждый раз, чтобы правильно определить, что такое внутренние и внешние функции.


Правило цепочки

Рассмотрим составную функцию, внешняя функция которой равна $ f (x) $, а внутренняя функция – $ g (x). $ Таким образом, составная функция – это $ f (g (x)). $ Ее производная задается следующим образом:
\ [\ bbox [yellow, 8px] {\ begin {align *} \ left [f \ Big (g (x) \ Big) \ right] ‘& = f’ \ Big (g (x) \ Big) \ cdot g ‘(x) \\ [5px] & = \ text {[производная внешней функции, вычисляемая внутренней функцией]} \\ [5px] & \ qquad \ times \ text {[производная от внутренняя функция]}
\ end {align *}} \]

В качестве альтернативы, если мы напишем $ y = f (u) $ и $ u = g (x), $, то
\ [\ bbox [yellow, 8px ] {\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy} {du} \ cdot \ dfrac {du} {dx}} \]

Неофициально:

\ [\ bbox [10px, граница: 2px сплошной синий ] {\ dfrac {df} {dx} = \ left [\ dfrac {df} {d \ text {(stuff)}} \ text {, внутри то же самое} \ right] \ times \ dfrac {d} { dx} \ text {(stuff)}} \]

Хотя мало кто это признает, почти все думают в русле неформального подхода, указанного в синих прямоугольниках выше. 6 \ cdot (2x) \ quad \ cmark
\ end {align *}
Примечание: На самом деле вы никогда не напишете «stuff =….Вместо этого просто держите в голове, что это за «хлам», и продолжайте записывать требуемые производные.


Ниже приведены более полно решенные примеры задач!

[свернуть]

Репетиторы College Park – Блог – Calculus

Математика часто может показаться сложной. Иногда выглядит просто ошеломляющим, даже если вы действительно знаете, как это сделать. Этот фактор визуального запугивания порождает беспокойство, вызывает пук в мозгу на тестах и, в конечном итоге, отвлекает многих людей от математики.2-x}} \ вправо) \)

Подсказка: есть простой и сложный способ решения этой проблемы. Используйте простой способ.

Эта функция, честно говоря, выглядит устрашающе. Он полон экспонатов, натуральных бревен и квадратных корней, прижатых друг к другу в каком-то ночном тревожном сне. Подсказка дает проблеск комфорта, если только мы сможем найти «легкий путь». Если нет, мы всю ночь будем выполнять правила цепочки внутри правил продукта внутри правил отношения частных внутри правил цепочки, не успеем и, вероятно, провалим экзамен.В принципе, если вы видите такую ​​проблему и не знаете, в чем суть трюка, вам лучше полностью ее пропустить.

Но не будем этого делать! Уловка состоит в том, чтобы использовать правила логарифмов для расширения или переписать функцию до того, как мы даже упомянем слово «производная». Я сказал это. Чтобы кратко рассмотреть правила логарифмов (и \ (ln \), который является особым типом логарифма), важными из них являются:

Первое правило говорит нам, как расширить журнал продукта, второе – логарифм частного, а третье – логарифм степени.Как это помогает? Обратите внимание, что наша задача состоит из логарифма произведения множителей в числителе, деленного на произведение некоторых других множителей в знаменателе. Мы можем определить правило составного логарифма , которое говорит нам, как подходить к ситуациям, подобным этой, с умножением и делением нескольких факторов:

Обратите внимание, что множители в числителе становятся логарифмами, которые складываются, а множители в знаменателе становятся логарифмами, которые вычитаются.Теперь давайте посмотрим на факторы в нашей проблеме:

Как видите, у нас есть три множителя в числителе и два в знаменателе. Разложив сразу весь этот логарифм, получим:

Обратите внимание, что последние два члена отрицательны, потому что их множители взяты из знаменателя. Мы могли бы остановиться на этом, но мы также можем еще больше упростить, переписав квадратный корень в последнем члене как рациональную экспоненту, используя правило логарифма степеней (третье в нашем списке правил) для первого, второго и последний член, и используя тот факт, что \ (ln \) и \ (e \) инвертируют друг друга в третьем члене:

Ок.Мы сделали все, что могли (обратите внимание, что четвертый член, имеющий журнал внутри журнала, не может быть еще более упрощен). Теперь пора заняться производными. Это будет намного легче различить, потому что у нас есть набор терминов, которые добавляются и вычитаются вместо умножения и деления. Это означает: до свидания, неприятный продукт и правила частного. Тем не менее, цепное правило нам все еще понадобится для первых двух и двух последних членов. Цепное правило для логарифмов – это просто частный случай цепного правила, которое вы выучили в начале семестра.Но если это не сразу очевидно, вот он:

Применяя это правило к каждому члену, получаем:

Собирая все вместе, получаем окончательный ответ:

Понятно? Это всего лишь еще один пример того, как изучение математики помогает нам разбивать большие, пугающие проблемы на несколько более мелких и решаемых задач. Что может облегчить жизнь, чем это?

Правило частного – объяснение и примеры

Существует множество так называемых «сокращенных» правил для поиска производной функции.Правило частного – это правило, используемое для нахождения производной функции, которую можно записать как частное двух функций. Проще говоря, вы можете думать о правиле частного как о применении к функциям, которые записываются как дроби, где числитель и знаменатель сами являются функциями.

объявление

Содержание:

  1. Правило
  2. Запоминание правила частного
  3. Примеры использования правила частного
  4. Подсказки: экономия работы за счет упрощения в первую очередь

Формула правила частного

Для функций f и g с использованием простых чисел для производных формула:

Запоминая правило частного

Вы, конечно, можете просто запомнить правило частного и настроиться на поиск производных, но вам может быть проще запомнить образец .Это показано ниже.

Примеры

Естественно, лучший способ понять, как использовать правило частного, – это посмотреть на несколько примеров. Обратите внимание, что в каждом из приведенных ниже примеров этап вычисления выполняется намного быстрее, чем последующий этап алгебры. Это верно для большинства вопросов, где вы применяете правило частного. Чтобы получить окончательный ответ, вам часто придется немного упростить.

Пример

Найти производную функции:
\ (f (x) = \ dfrac {x-1} {x + 2} \)

Решение

Это дробь, включающая две функции, поэтому сначала мы применяем правило частного.3}} \ end {align} \)

В приведенном выше примере помните, что производная константы равна нулю. Вот почему в ответе больше нет \ (\ dfrac {1} {5} \).

Неплохо, правда? Для практики вам следует попробовать применить правило частного и убедиться, что вы получили тот же ответ.

объявление

Продолжить изучение деривативов

Предыдущая: Правило произведения
Следующая: Правило цепочки

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *