Примеры решения производных сложных: Производные сложных функций, основные формулы и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u “v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

• Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций

Производные простых функций

Пояснение :
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях – скорость его изменения всегда равна нулю.

2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение :
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение :
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

Откуда следует, что
(cx + b)” = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)”= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)” = 2x
(x 3)” = 3x 2
Для запоминания формулы :
Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)” = – 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)” = (x -1)” , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)” = -1x -2 = – 1 / х 2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
(1 / x c)” = – c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)” = – 2 / x 3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
(√x)” = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)” = (х 1/2)” значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)” = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)” = 1 / (n n √x n-1)

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, – это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x – аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Методическая разработка самостоятельной работы: Решение задач тренежера по теме: «Производная сложной функции». | Методическая разработка по теме:

Самостоятельная работа

Тема: Решение задач тренажера по теме: «Производная сложной функции».

Цель работы: овладение методами вычисления производной сложной функции.

        Умение и навыки, которые должны приобрести студенты: самостоятельно вычислять производные сложных функций, осуществлять поиск информации с использованием компьютерной техники и Интернета

Рекомендации по выполнению.

1.Разобрать решение примеров.

2.Выполнить задания тренажера, используя указания.

3.Оформить решение задач тренажера в тетради.

1.Разберите решение примеров:

Вычисление производных сложных функций осуществляется по правилу дифференцирования сложной функции:

 Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции –  и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто , а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
Функция  – это сложная функция, причем многочлен  является вложенной функцией , а  – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является вложенной, а какая – внешней.

После того, как   определены вложенная  и внешняя функции применяют правило дифференцирования сложной функции .

Вычислим производную:

 получаем:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 2

Найти производную функции

Пример 3

Найти производную функции

Для того чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это вложенная функция, а возведение в степень – внешняя функция.По  правилу дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала , а для производной вложенной функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

 Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

2.Выполните задания тренажера «Производная сложной функции»:

3.Оформить решение примеров в тетради.

4. По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета.

Шкала оценки образовательных достижений

     5 Оформить отчет о работе

Производная сложной функции – вычисление и определение с примерами решения

Содержание:

1. Производная от сложной функции
2. Сложная функция и производная
3. Формула производной сложной функции
4. Производная сложной функции подробное определение и примеры
5. Примеры на вычисление производных сложных функций:

Пусть у есть функция от аргумента u, то есть y = f (u), и пусть аргумент  u — некоторая функция от независимой переменной x: . Тогда y есть функция от x: В таких случаях говорят, что у является функцией от функции или сложной функцией от аргумента x.

Пусть мы умеем вычислять производную от у по аргументу u, а также производную от аргумента u по независимой переменной х. Установим, как вычисляется производная от у по независимой переменной х.

ТЕОРЕМА. Если функции y = f (u) и  имеют производные, то производная сложной функции равна производной от функции y по промежуточному аргументу u, умноженной на производную от промежуточного аргумента u по независимой переменной х.

То есть, .

Доказательство. Дадим x произвольно малое приращение . Тогда функция  получит приращение , а функция y = f (u) получит приращение , вызванное приращением . Поскольку производная   по  условию существует, то   Откуда   где вместе с .
А поэтому   Разделив обе части равенства на , получим 
 Перейдем к пределу при и, учитывая, что  вследствие непрерывности функции u, что обусловливает и , получим:
    или   ,  что и доказывает теорему.

Замечание. В данной теореме рассмотрена сложная функция, где y зависит от x через промежуточную переменную u. Возможна и более сложная зависимость с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных. При этом правило дифференцирования остается тем же.

Так, например, если y = f (u), где , а, то 

Пример 1. Найти производную функции y = sin³ x.

Решение. Положим  u = sin x, тогда y = u³. Отсюда  Итак,

При определенном опыте промежуточный аргумент не пишут, а используют его неявно.

Пример 2. Найти y’, если y = tg (x² + 4).

Решение. Помня, что u = x² + 4,  находим

Пример 3. Найти производную функции y = cos² (3x + 2).

Решение. Эту функцию можно рассматривать как сложную с двумя промежуточными переменными: y = u², где u = cos t, t = 3x + 2.

B классе 10, еще не известно ни о какой производной или её возможном применении для нахождения промежутков монотонности, вы использовали в различных задачах свойства основных элементарных функций. Так, например, чтобы доказать возрастание функции достаточно заметить, что большему значению соответствует большее значение выражения большему значению соответствует большее значение выражения большему значению соответствует большее значение выражения и, наконец, большему значению соответствует большее значение выражения т.е. самой функции

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Эти выводы основаны на том, что линейная функция показательная функция линейная функция и логарифмическая функция и являются возрастающими. То есть при увеличении значений их аргументов увеличиваются и значения самих функций. Таким образом, функция оказывается, подобно русской матрёшке, сложена из других, более простых функций

Можно сказать, что эта сложная функция у составлена из функций и

Рассмотрим сложную функцию где функция v имеет производную в точке а функция и имеет производную в точке Функцию иногда называют внешней, а функцию — внутренней.

Заметим, что приращению соответствует приращение которому, как приращению аргумента функции в свою очередь, соответствует приращение Тогда:

По условию функция дифференцируема в точке а значит, её приращение стремится к нулю при Имеем:

(нижние индексы показывают, по какому аргументу находится производная).

Производная сложной функции равна произведению производных внешней и внутренней функции:

В выводе этой формулы есть небольшая тонкость — функция не должна в окрестности точки представлять собой постоянную. В противном случае приращение в этой окрестности будет тождественно равно нулю, и выражение — лишится смысла.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Найти значение производной функции при

Решение:

Функция у сложная. Она составлена из двух функций: внутренней и внешней Применим формулу производной сложной функции: Найдём

Ответ:

Пример 2:

Найти уравнение касательной к кривой, заданной уравнением в её точке

Решение:

Переменная у задана уравнением неявно. Однако из этого уравнения её можно выразить, если рассмотреть его как квадратное относительно Данная кривая состоит из графиков двух функций, соответствующих знакам или График, которому принадлежит точка соответствует знаку Используя правила и формулы дифференцирования, можно найти вычислить и подставить это значение в уравнение касательной. Однако намного проще решить эту задачу иначе. В некоторой окрестности точки переменная является переменной Рассматривая левую часть равенства как сложную функцию и используя формулу производной сложной функции, найдём производные от обеих частей данного в условии уравнения: Подставим в полученное уравнение координаты точки и найдём значение Остаётся подставить найденный угловой коэффициент касательной в её уравнение

Ответ:

Упражнения:

Составьте сложную функцию

Сложная функция. Производная сложной функции.

Рассмотрим вопрос, как можно из двух простых функций построить сложную функцию. Например, возьмем две элементарные функции: – тригонометрическая функция – квадратичная функция и построим из них сложную.

Определение:

Функцию называют сложной, если областью определения функции является множество значений функции т.е. если аргументом функции является другая функция При этом называется внешней функцией, а внутренней функцией.

Для выбранных функций мы получим сложную функцию

Таким образом, одна функция оказалась внутри другой, для функции вместо подставили

Если в нашем примере поменять внешнюю и внутреннюю функцию местами, то мы получим следующую сложную функцию: .

Запишем несколько сложных функций и укажем для них внешнюю и внутреннюю функции: , -внешняя функция -внутренняя функция. , -внешняя функция -внутренняя функция.

Необходимо понимать, для того чтобы найти значение сложной функции, необходимо вначале обратиться к внутренней функции, а уж затем находить значение самой сложной функции.

Рассмотрим правило нахождения производной сложной функции:

Производная сложной функции равна произведению производной внутренней функции на производную внешней функции:

Пример 3:

, -внешняя функция, -внутреняя функция

Пример 4:

Пусть требуется вычислить по заданному значению соответствующее значение функции заданной формулой Для этого надо сначала вычислить по заданному значение а затем уже по этому вычислить Итак, функция ставит в соответствие числу число а функция — числу число Говорят, что есть сложная функция, составленная из функций и и пишут:

Чтобы вычислить значение сложной функции в произвольной точке сначала вычисляют значение «внутренней» функции в этой точке, а затем

Какова область определения сложной функции Это — множество всех тех из области определения функции для которых входит в область определения функции

В рассматриваемом примере областью определения функции является вся числовая прямая. Значение определено, если значение принадлежит области определения функции Поэтому требуется, чтобы выполнялось неравенство т. е. и, значит, область определения функции — это отрезок

Формула производной сложной функции

В предыдущих пунктах вы научились находить производные рациональных функций, в частности многочленов. Однако задача вычисления производной функции хотя и сводится к нахождению производной многочлена, требует очень большого объема работы: надо представить в виде многочлена и продифференцировать 101 слагаемое полученной суммы. Можно заметно упростить решение этой и других задач, доказав правило вычисления производной сложной функции.

Если функция имеет производную в точке а функция имеет производную в точке то сложная функция также имеет производную в точке причем

Для доказательства формулы надо (как и раньше) при рассмотреть дробь — и установить, что при Введем обозначения: Тогда при так как дифференцируема в точке Далее доказательство проведем только для таких функций у которых в некоторой окрестности точки Тогда при так как при а при что выполнено при (это отмечалось выше).

Пример 4:

Вернемся к поставленной выше задаче и найдем производную функции Функцию можно представить в виде сложной функции Так как имеем

Пример 5:

Найдем производную функции Так как где , то и откуда

Производная сложной функции подробное определение и примеры

Теперь мы можем установить весьма важное при практическом нахождении производных правило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если известны производные составляющих функций. V. Пусть: 1) функция имеет в некоторой точке производную 2) функция имеет в соответствующей точке производную Тогда сложная функция в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций и или, короче,

Для доказательства придадим произвольное приращение пусть — соответствующее приращение функции и, наконец, —приращение функции вызванное приращением Воспользуемся соотношением которое, заменяя на перепишем в виде (а зависит от и вместе с ним стремится к нулю). Разделив его почленно на получим

Если устремить к нулю, то будет стремиться к нулю и [88, 2°], а тогда, как мы знаем, будет также стремиться к нулю зависящая от величина Следовательно, существует предел который и представляет собою искомую производную

Замечание:

Здесь сказывается полезность замечания в относительно величины при покуда есть приращение независимой переменной, мы могли предполагать его *) Подчеркнем, что символ означает производную функцию по ее аргументу и (а не по ), вычисленную при значении этого аргумента. отличным от нуля, но когда заменено приращением функции то даже при мы уже не вправе считать, что

Примеры с решением

Сначала приведем несколько примеров приложения правил I—IV.

Пример:

Рассмотрим многочлен: По правилу II, а затем I, будем иметь: Использовав же формулы I, 2, 3 окончательно получим

Пример:

По правилу III Опираясь на предыдущий пример и формулу найдем

Пример:

Здесь приходится пользоваться сначала правилом IV, а затем правилами II и III (и формулами 6, 7,

Вычисление производных числителя и знаменателя мы произвели, не расчленяя его на отдельные шаги. Путем упражнения необходимо добиться того, чтобы вообще писать производные сразу.

Иногда сложные выглядящие функции могут быть значительно упрощены, если выразить их как совокупность двух или более различных функций. Тогда невозможно дифференцировать их напрямую, как мы делаем с простыми функциями.

Мы обсудим правило с доказательством только для композиции двух функций, но его можно распространить и на функции, включающие несколько композиций. Итак, начнем!

Примеры на вычисление производных сложных функций:

Пример:

Пусть иначе говоря, где По правилу V, Производная (формула 5) должна быть взята при Таким образом, (формула 6).

Пример:

*) Буквами ниже обозначены переменные, а другими буквами — постоянные величины. Конечно, в отдельном выписывании составляющих функций на деле нет надобности.

Пример:

Пример:

Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила V:

Пример:

тогда

Дадим еще несколько примеров на применение всех правил:

Пример:

Пример:

Пример:

В виде упражнения исследуем еще вопрос о производной степенно-показательного выражения где и суть функции от имеющие в данной точке производные Прологарифмировав равенство получим

Таким образом, выражение для у можно переписать в виде откуда уже ясно, что производная существует. Самое же вычисление ее проще осуществить, приравнивая производные по от обеих частей равенства (4), При этом мы используем правила V и III (помня о том, что и суть функции от ). Мы получим и откуда или, подставляя вместо у его выражение,

Эта формула впервые была установлена Лейбницем и И. Бернулли. Например, если

Производная степенной функции

3 февраля 2015

Этим видео я начинаю длинную серию уроков, посвященную производным. Этот урок состоит из нескольких частей.

В первую очередь, я расскажу вам, что вообще такое производные и как их считать, но не мудреным академическим языком, а так, как я сам это понимаю и как объясняю своим ученикам. Во-вторых, мы рассмотрим простейшее правило для решения задач, в которых будем искать производные суммы, производные разности и производные степенной функции.

Мы рассмотрим более сложные комбинированные примеры, из которых вы, в частности, узнаете, что подобные задачи, содержащие корни и даже дроби, могут быть решены при использовании формулы производной степенной функции. Кроме того, конечно, будет множество задач и примеров решений самого разного уровня сложности.

Вообще, изначально я собирался записать коротенький 5-минутный ролик, но сами видите, что из этого получилось. Поэтому хватит лирики — приступаем к делу.

Что такое производная?

Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=f\left( x \right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем ${{x}_{1}}$, ордината, как не трудно догадаться, будет $f\left( {{x}_{1}} \right)$.

Рассмотрим на том же графике еще одну точку. Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее ${{x}_{2}}$, а также ордината — $f\left( {{x}_{2}} \right)$.

Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно. А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем.

А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$\alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:

1. прямая $AC$параллельна оси $Ox$ по построению,
2. прямая $AB$ пересекает $AC$ под $\alpha $,
3. следовательно, $AB$ пересекает $Ox$под тем же самым $\alpha $.

Что мы можем сказать об $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:

\[tg=\frac{BC}{AC}\]

Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:

\[AC={{x}_{2}}-{{x}_{1}}\]

Точно также и $BC$:

\[BC=f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)\]

Другими словами, мы можем записать следующее:

\[\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\]

Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к ${{x}_{1}}$. Вновь обозначим ее абсциссу за ${{x}_{2}}$, а ординату — $f\left( {{x}_{2}} \right)$.

Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.

Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.

В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.

И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке ${{x}_{1}}$ называется тангенс угла $\alpha $ между касательной к графику в точке ${{x}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$:

\[{f}’\left( {{x}_{1}} \right)=\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\]

Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве ${{x}_{1}}$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке. 

Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $\beta $. Соответственно, $f$ в ${{x}_{2}}$ будет равна тангенсу этого угла $\beta $.

\[{f}’\left( {{x}_{2}} \right)=tg\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\]

В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.{3}}\]

Мы получили ответ.

Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $f\left( x \right)=…$, во втором: $y=…$ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $f\left( x \right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $f\left( x \right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.

Сложные задачи с производными

В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.{3}}}}\]

И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные. 

Смотрите также:

1. Производная произведения и частного
2. Правила вычисления производных
3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
4. Преобразование уравнений
5. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 5 (без производной)
6. Задача B2: лекарство и таблетки

3.2.5. Примеры решения задач по теме «Дифференциал. Производные сложной

Задача 1.

Найти частный дифференциал функции

По переменной У при Х = -3, У = 4, Z = 0, DY = 0,1.

Указание

Частный дифференциал

Решение

Ответ: 0,08.

Задача 2.

Найти полный дифференциал функции

Указание

Полный дифференциал функции

Решение

Ответ:

Задача 3.

Вычислить приближенно (0,98)2,03.

Указание

Рассмотрите функцию Z = Xy и воспользуйтесь формулой

Решение

Рассмотрим функцию Z = Xy. Найдем ее частные производные:

Пусть

Тогда

Ответ: 0,96.

Задача 4.

Найти если

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Найдем частные производные, которые используются при вычислении

Тогда

Остается подставить в эту формулу выражения для Х и У через U и V:

Ответ:

Задача 5.

Найти если

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Ответ:

Задача 6.

Найти полную производную при Х = 2, если

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Ответ:

Как найти производную степенной функции: формула, примеры

В данной публикации мы рассмотрим, чему равна производная степенной функций (в т.ч. сложной), а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула производной степенной функции

Для функции f(x) = x ⁿ, где n – действительное число, справедливо следующее выражение:

f ‘(x) = (x ⁿ)‘ = nx ^n-1

Т.е. производная степенной функции равняется произведению показателя степени на основание в степени, уменьшенной на единицу.

n – может быть как положительным, так и отрицательным числом (в т.ч. дробным):

Производная сложной степенной функции

В сложной функции вместо x представлено более сложное выражение. Производная такой функции определяется по формуле:

(y ⁿ)‘ = ny ^n-1 ⋅ y ‘

Примеры задач

Задание 1:
Вычислите производную функцию f(x) = x³/5.

Решение:
Согласно правилам дифференцирования константу в виде дроби можно вынести за знак производной:

Применив формулу производной, рассмотренную выше, получаем:

Задание 2:
Найдите производную функции f(x) = x² + √x – 6.

Решение:
Первоначальный вид производной функции:
f ‘(x) = (x² + √x – 6)‘.

С учетом правила дифференцирования суммы получаем:
f ‘(x) = (x²)‘ + (√x)‘ – (6)‘.

Остается только вычислить производные по отдельности:

(x²)‘ = 2x^2-1 = 2x

(-6)‘ = 0 (производная константы равна нулю)

Таким образом получаем:

3.3 Правила дифференциации – Объем исчисления 1

Цели обучения

• Укажите правила постоянной, кратной постоянной и степени.
• Примените правила суммы и разницы для комбинирования производных финансовых инструментов.
• Используйте правило произведения, чтобы найти производную произведения функций.
• Используйте правило частного для нахождения производной частного от функций.
• Распространить правило степени на функции с отрицательными показателями.
• Комбинируйте правила дифференцирования, чтобы найти производную полиномиальной или рациональной функции.

Нахождение производных функций с использованием определения производной может быть длительным и, для некоторых функций, довольно сложным процессом. Например, ранее мы обнаружили это с помощью процесса, который включал умножение выражения на конъюгат перед вычислением предела. Процесс, который мы могли бы использовать для оценки с использованием определения, хотя и похож, но более сложен. В этом разделе мы разрабатываем правила для поиска производных, которые позволяют нам обойти этот процесс.Начнем с основ.

Функции и где положительное целое число являются строительными блоками, из которых строятся все многочлены и рациональные функции. Чтобы найти производные многочленов и рациональных функций эффективно, не прибегая к предельному определению производной, мы должны сначала разработать формулы для дифференцирования этих основных функций.

Мы показали, что