Примеры решения уравнения: Решение уравнений — урок. Математика, 6 класс.

Примеры решения уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Помощь в написании работы

Алгоритм решения уравнений

Теорема

Алгебраическое уравнение – это уравнение вида .

Решить уравнение – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений уравнений

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Найдём область допустимых значений:

   

   

   

Обозначим

Уравнение преобразуется к виду

   

   

Отсюда

Ответ

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Найдём область допустимых значений:

или

Перейдём к логарифмам по основанию 7:

   

   

   

   

   

не подходит по ОДЗ

Ответ

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

   

   

Найдём дискриминант:

   

   

   

Ответ

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Найдём область допустимых значений:

   

   

   

   

Ответ

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

ОДЗ:

   

   

   

   

Ответ

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Найдём область допустимых значений:

или

   

   

   

   

   

не подходит по ОДЗ

Ответ

   

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

   

   

   

или – решений нет

Ответ

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Найдём область допустимых значений:

   

   

   

   

не подходит по ОДЗ

Ответ

   

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Рассмотрим три случая.

Первый случай:

При исходное уравнение принимает вид:

   

Отсюда – решений нет, т.к. по условию

Второй случай:

При исходное уравнение принимает вид:

   

   

Отсюда

Третий случай:

При исходное уравнение принимает вид:

   

Отсюда

Ответ

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

ОДЗ:

Обозначим:

   

Тогда:

   

   

   

   

   

   

   

– корней нет

   

   

   

   

Ответ

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2902

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Полезно

описание, примеры, решение задач, общий вид уравнения прямой

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой (общее уравнение прямой на плоскости и его исследование). Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и его исследование, как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой (неполного уравнения, полного уравнения). Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач на уравнения.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Как найти уравнение прямой? Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.

Теорема 1

Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.

Доказательство 

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

1. Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.

Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.

Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n→=(A, B) и M0M→=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y)  задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n→=(A, B). Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n→=(A, B) и M0M→=(x-x0, y-y0) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A(x-x0)+B(y-y0)=0 не было бы верным.

Следовательно, уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение Ax+By+C=0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.

2. Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени Ax+By+C=0.

Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a; точку M0(x0, y0), через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n→=(A, B).

Пусть также существует некоторая точка M(x, y) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n→=(A, B) и M0M→=(x-x0, y-y0) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:

n→, M0M→=A(x-x0)+B(y-y0)=0

Перепишем уравнение Ax+By-Ax0-By0=0, определим C: C=-Ax0-By0 и в конечном результате получим уравнение  Ax+By+C=0.

Так, без какой-либо помощи онлайн мы смогли доказать и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Определение 1

Уравнение, имеющее вид Ax+By+C=0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy (уравнение прямой параллельной оси ox).

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой Ax+By+C=0.

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2x+3y-2=0, которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n→= (2, 3). Изобразим заданную прямую линию из уравнения с вектором на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2x+3y-2=0, поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ·Ax+λ·By+λ·C=0, умножив обе части общего уравнения прямой на число λ, не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Определение 2

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой Ax+By+C=0, в котором числа А, В, С отличны от нуля. В ином случае уравнение является

неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

1. Когда А=0, В≠0, С≠0, общее уравнение принимает вид By+C=0. Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую, которая параллельна оси Ox, поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение -CB . Иначе говоря, общее уравнение прямой Ax+By+C=0, когда А=0, В≠0, задает геометрическое место точек (x, y), координаты которых равны одному и тому же числу -CB.
2. Если А=0, В≠0, С=0, общее уравнение принимает вид y=0.
   Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс Ox.
3. Когда А≠0, В=0, С≠0, получаем неполное общее уравнение Ax+С=0, задающее прямую, параллельную оси ординат.
4. Пусть А≠0, В=0, С=0, тогда неполное общее уравнение примет вид x=0, и это есть уравнение координатной прямой Oy.
5. Наконец, при А≠0, В≠0, С=0, неполное общее уравнение принимает вид Ax+By=0. И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел (0, 0) отвечает равенству Ax+By=0, поскольку А·0+В·0=0.

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Пример 1

Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 27, -11. Необходимо написать общее уравнение заданной прямой. Попробуем его составить.

Решение

Решение лежит на поверхности. Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида Ax+C=0, в котором А≠0. Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения Ax+C=0, т. е. верно равенство:

A·27+C=0

Из него возможно определить C, если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A=7. В таком случае получим: 7·27+C=0⇔C=-2. Нам известны оба коэффициента A и C, подставим их в уравнение Ax+C=0 и получим требуемое уравнение прямой: 7x-2=0

Ответ: 7x-2=0

Пример 2

 На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение. Как будем это находить?

Решение

Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси Ox и проходит через точку (0, 3).

Прямую, которая будет являться параллельной оси абсцисс, определяет неполное общее уравнение By+С=0. Найдем значения B и C. Координаты точки (0, 3), поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой By+С=0, тогда справедливым является равенство: В·3+С=0. Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В=1, в таком случае из равенства В·3+С=0 можем найти С: С=-3. Используем известные значения В и С, получаем требуемое уравнение прямой: y-3=0.

Ответ: y-3=0.

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М0(x0, y0), тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: Ax0+By0+C=0. Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A(x-x0)+B(y-y0)+C=0, это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М0(x0, y0) и имеет нормальный вектор n→=(A, B).

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Пример 3

Даны точка М0(-3, 4), через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой  n→=(1, -2). Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А=1, В=-2, x0=-3, y0=4. Тогда:

A(x-x0)+B(y-y0)=0⇔1·(x-(-3))-2·y(y-4)=0⇔⇔x-2y+22=0

Задачу можно решать иначе. Как она будет решаться? Общее уравнение прямой имеет вид Ax+By+C=0. Заданный нормальный вектор (векторная прямая) позволяет получить значения коэффициентов A и B в уравнении прямой, тогда:

Ax+By+C=0⇔1·x-2·y+C=0⇔x-2·y+C=0

Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М0(-3, 4), через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x-2·y+C=0, т.е. -3 – 2·4+С=0. Отсюда С=11. Требуемое уравнение прямой принимает вид: x – 2·y + 11=0.

Ответ: x – 2·y + 11=0.

Пример 4

Задана прямая 23x-y-12=0 и точка М0, лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна -3. Необходимо определить ординату заданной точки.

Решение

Зададим обозначение координат точки М0 как x0 и y0. В исходных данных указано, что x0=-3. Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:

23×0-y0-12=0

Определяем y0: 23·(-3)-y0-12=0⇔-52-y0=0⇔y0=-52

Ответ: -52

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида Ax+By+C=0 к каноническому уравнению  x-x1ax=y-y1ay.

Если А≠0, тогда переносим слагаемое By в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: Ax+CA=-By.

Это равенство возможно записать как пропорцию: x+CA-B=yA .

В случае, если В≠0, оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое Ax, прочие переносим в правую часть, получаем: Ax=-By-C. Выносим –В за скобки, тогда: Ax=-By+CB.

Перепишем равенство в виде пропорции: x-B=y+CBA                             .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Пример 5

Задано общее уравнение прямой 3y-4=0. Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.

Решение 

Запишем исходное уравнение как 3y-4=0. Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0x; а в правой части выносим -3 за скобки; получаем: 0x=-3y-43.

Запишем полученное равенство как пропорцию: x-3=y-430. Так, мы получили уравнение канонического вида.

Ответ: x-3=y-430.

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Пример 6

Перед нами задание. Прямая задана уравнением 2x-5y-1=0. Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

2x-5y-1=0⇔2x=5y+1⇔2x=5y+15⇔x5=y+152

Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ, тогда:

x5=λy+152=λ⇔x=5·λy=-15+2·λ, λ∈R

Ответ: x=5·λy=-15+2·λ, λ∈R

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b, но только тогда, когда В≠0. Для перехода в левой части оставляем слагаемое By, остальные переносятся в правую. Получим: By=-Ax-C. Разделим обе части полученного равенство на B, отличное от нуля: y=-ABx-CB.

Пример 7

Задано общее уравнение прямой: 2x+7y=0. Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.

Решение

Произведем нужные действия по алгоритму:

2x+7y=0⇔7y-2x⇔y=-27x

Ответ: y=-27x .

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида xa+yb=1. Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на –С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y:

Ax+By+C=0⇔Ax+By=-C⇔⇔A-Cx+B-Cy=1⇔x-CA+y-CB=1

Пример 8

Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x-7y+12=0 в уравнение прямой в отрезках.

Решение

Перенесем 12  в правую часть: x-7y+12=0⇔x-7y=-12.

Разделим на -1/2 обе части равенства: x-7y=-12⇔1-12x-7-12y=1.

Преобразуем далее в необходимый вид: 1-12x-7-12y=1⇔x-12+y114=1.

Ответ: x-12+y114=1.

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

xa+yb⇔1ax+1by-1=0⇔Ax+By+C=0y=kx+b⇔y-kx-b=0⇔Ax+By+C=0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax(y-y1)⇔⇔ayx-axy-ayx1+axy1=0⇔Ax+By+C=0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λ⇔x-x1ax=y-y1ay⇔Ax+By+C=0

Пример 9

Заданы параметрические уравнения прямой x=-1+2·λy=4. Необходимо записать общее уравнение этой прямой.

Решение 

Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

x=-1+2·λy=4⇔x=-1+2·λy=4+0·λ⇔λ=x+12λ=y-40⇔x+12=y-40

Перейдем от канонического к общему:

x+12=y-40⇔0·(x+1)=2(y-4)⇔y-4=0

Ответ: y-4=0

Пример 10

Задано уравнение прямой в отрезках  x3+y12=1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

Решение:

Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

x3+y12=1⇔13x+2y-1=0

Ответ: 13x+2y-1=0.

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A(x-x0)+B(y-y0)=0. Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Пример 11

Задана прямая, параллельная прямой 2x-3y+33=0. Также известна точка M0(4, 1), через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n→=(2, -3): 2x-3y+33=0. Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:

A(x-x0)+B(y-y0)=0⇔2(x-4)-3(y-1)=0⇔2x-3y-5=0

Ответ: 2x-3y-5=0.

Пример 12

Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x-23=y+45. Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.

Решение

Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x-23=y+45.

Тогда n→=(3, 5). Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О(0, 0). Составим общее уравнение заданной прямой:

A(x-x0)+B(y-y0)=0⇔3(x-0)+5(y-0)=0⇔3x+5y=0

Ответ: 3x+5y=0.

Решение уравнений – Математика GCSE

Здесь мы разберем все, что вам нужно знать о решении уравнений. Вы узнаете, что такое линейные и квадратные алгебраические уравнения и как их решать.

В конце вы найдете рабочие листы для решения уравнений на основе экзаменационных вопросов Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что такое уравнение?

Уравнение — это математическое выражение 9{2}+3x-2&=0 \end{aligned}\]

В уравнении две стороны, причем левая часть равна правой части.

Уравнения часто включают алгебру и содержат неизвестные (переменные), которые мы часто обозначаем буквами, такими как x или y.

Мы можем решать простые уравнения и более сложные уравнения, чтобы определить значение этих неизвестных; они могут включать дроби, десятичные числа или целые числа.

Что такое уравнение?

Рабочие листы для решения уравнений

Получите бесплатно рабочий лист для решения уравнений, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Рабочие листы для решения уравнений

Получите бесплатный рабочий лист для решения уравнений, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Как решать уравнения

Чтобы решить уравнения, нам нужно определить значение неизвестной переменной путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей уравнения на одно и то же значение.

В выпускных экзаменах по математике есть два основных типа уравнений, которые нам нужно решить, оба из которых описаны ниже.

Объясните, как решать уравнения

Методы решения уравнений

В рамках решения уравнений вы найдете уроки по линейным уравнениям и квадратным уравнениям.

Каждый метод решения уравнений описан ниже. Для получения подробных примеров, практических вопросов и рабочих листов по каждому из них следуйте ссылкам на пошаговые руководства.

1. Линейные уравнения

Существует 5 основных типов линейных уравнений, которые мы можем решить.

Пример решения уравнения с:

1. Одно неизвестное

2 Неизвестно с обеих сторон

3 Со скобками

4 С дробями

5 Степени (показатели) и корни

Мы можем проверить правильность нашего решения, подставив его в исходное уравнение.

Пошаговое руководство: Линейные уравнения

9{2}+4x-5=0\]

Решения/корни находятся, когда график равен 0 (пересекает ось x).

\[x=1,\qquad x=-5\]

Мы можем проверить правильность нашего решения, подставив его в исходное уравнение.

Пошаговое руководство: Графическое решение квадратных уравнений

S ee также: Квадратные уравнения

Практика решения уравнений

4x-2=14

 

Добавить 2 с обеих сторон

 

4x=16

 

Разделить обе стороны на   4

 

х=4

3x-8=x+6

 

Добавьте 8 с обеих сторон

 

3х=х+14

 

Вычесть x с обеих сторон

 

2х=14

 

Разделите обе части на 2

 

х=7

3(х+3)=2(х-2)

 

Раскрытие скобок

 

3x+9=2x-4

 

Вычесть 9 с обеих сторон

 

3х=2х-13

 

Вычесть 2 раза с обеих сторон

 

х=-13

\frac{2 x+2}{3}=\frac{x-3}{2}

 

Умножить на 6 (наименьший общий знаменатель) и упростить

 

2(2х+2)=3(х-3)

 

Раскрыть скобки

 

4x+4=3x-9

 

Вычесть 4 с обеих сторон

 

4х=3х-13

 

Вычесть 3 раза с обеих сторон

 

х=-13

x=\pm 4

x=\pm 2 9{2}+3 х-20=0

 

Факторизация в виде двойной скобки

 

(2х-5)(х+4)

 

Приравняйте каждую скобку к нулю и решите, следовательно,

 

х=\фракция{5}{2}, \; х=-4

х=-4,65 \; (3. 5.f), \quad x=-0,646 \;(3.s.f)

x=4,65 \; (3.5.f), \quad x=0,646 \; (3.с.ф)

х=4,65 \; (3.5.f), \quad x=-0,646 \; (3.с.ф)

х=-4,65 \; (3.5.f), \quad x=0,646 \; (3.с.ф) 9{2}-4(1)(-3)}}{2(1)} \\
x=2+\sqrt{7} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x= 2-\sqrt{7} \\
х=4,65 \; (3.5.f) \quad \quad \quad\quad \quad \quad x=-0,646 \; (3.с.ф)

х=0,732 \; (3.s.f),\quad x=-2,73\; (3.с.ф)

х=-0,732 \; (3.s.f),\quad x=-2,73\; (3.с.ф)

х=0,732 \; (3.s.f),\quad x=2,73 \; (3.с.ф)

х=-0,732 \; (3.s.f),\quad x=2,73 \; (3.s.f)

Подстановка в квадратную формулу дает

 

9{2}=4

 

Квадратный корень с обеих сторон

 

х-3=\pm 2

 

Добавить по 3 с обеих сторон

 

х=3\pm 2

 

Итак, x=5, \; х=1

Решение уравнений Вопросы GCSE

1. Решите: 4y = 36

Показать ответ

(1 балл)

2. Решите: x ² – 5x – 24 = 0

x

2 Показать ответ , x = 8

(3 балла)

3. Решите: 7y − 8 = 13

Показать ответ

(2 балла)

Учебный контрольный список

• Использовать алгебраические методы для решения линейных уравнений
• Алгебраическое решение квадратных уравнений путем факторизации
• Решите квадратные уравнения алгебраически, заполнив квадрат (H)
• Решите квадратные уравнения алгебраически, используя квадратную формулу (H)
• Решайте квадратные уравнения, находя приближенные решения с помощью графика

Все еще зависает?

Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.

Решение буквенных уравнений: обзор и примеры

Смотри, ты идешь! Теперь вы научились решать одношаговые уравнения, двухшаговые уравнения и многошаговые уравнения.

Теперь пришло время обсудить решение буквальных уравнений .

В этом уроке мы дадим определение буквальным уравнениям, рассмотрим примеры буквенных уравнений, а также научимся решать буквальные уравнения. Давайте буквально взволнованы, чтобы начать!

Что мы рассматриваем

Что такое буквальное уравнение?

Напомним из нашего предыдущего исследования, что уравнение — это математическое предложение, в котором используется знак равенства = , чтобы показать, что два выражения равны. В отличие от других уравнений, с которыми вы уже работали, Буквенные уравнения — это уравнения, в основном состоящие из букв и переменных.

Многие буквальные уравнения, с которыми вы работали в своей жизни, были формулами . Хотя эти уравнения будут выглядеть иначе, чем наши обычные уравнения, они по-прежнему подчиняются тем же правилам решения.

Вернуться к оглавлению

Примеры буквенных уравнений

Хотя идея уравнений, состоящих в основном из букв, может показаться чуждой, вы много раз использовали буквальные уравнения в своей жизни. Вот несколько примеров буквальных уравнений, с которыми вы уже работали в своей жизни:

Площадь прямоугольника

A = b \cdot h

Окружность

Формула простых процентов

I = p \cdot r \cdot t

Каждая буква (или переменная) в буквальном уравнении имеет особое значение и изменяется от задачи к задаче.

Вернуться к оглавлению

Как решать буквенные уравнения

Решение буквенных уравнений следует тем же правилам, что и решение одношагового или двухшагового уравнения. Идея «решения» буквального уравнения, по сути, означает, что мы переставляем буквы (или переменные), чтобы изолировать новую переменную. Буквальное уравнение «решено», когда интересующая переменная находится одна на одной стороне уравнения.

Ознакомьтесь с лицензиями школы Альберта !

Подобно решению уравнений, мы будем использовать обратные операции, чтобы изолировать переменную саму по себе. Вот примеры обратных операций:

\text{Сложение} \leftrightarrow \text{Вычитание}

\text{Умножение} \leftrightarrow \text{Деление}

Вот несколько примеров решения буквенных уравнений:

Пример 1

Найдите h в следующем буквальном уравнении:

  A = b \cdot h

Помните эту формулу? Как сказано выше, это площадь прямоугольника. Как отмечалось ранее, в буквенных уравнениях в основном используются буквы и переменные. Если бы это было простое уравнение, такое как 10 = 2x, мы бы просто разделили обе части на 2, чтобы получить мой окончательный ответ.

При «решении» буквенных уравнений мы следуем тем же правилам, что и простые уравнения. Следовательно, чтобы найти h в этом уравнении, нам нужно выделить его отдельно. Поэтому мы разделим обе части на b .

\dfrac{A}{b} = \dfrac{b \cdot h}{b}

Это изолирует h , что даст нам ответ: 

h = \dfrac{A}{b}

Пример 2: 

Хотя формулы являются распространенным примером буквенных уравнений, не все буквальные уравнения являются формулами. Мы также можем изменить и «решить» буквальное уравнение для любой переменной. Например: 

Найдите m в следующем уравнении:

2 «решил» буквальное уравнение для m . 92}

Теперь у нас есть r, изолированный сам по себе, что дает нам новое буквальное уравнение:

r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}

Пример 2

Вот пример буквального уравнения, которое не является формулой, но которое мы можем решить для переменной.

Найдите x в следующем уравнении:

4(x + y) = P

Есть два способа решить эту проблему. Первый метод состоит в том, чтобы рассматривать его как уравнение и распределять 4 , а затем решать:

4x + 4y = Р

Затем мы можем вычесть 4y с каждой стороны:

4x + 4y \textcolor{red}{- 4y} = P \textcolor{red}{ – 4y}

Затем нам нужно разделить каждую сторону на 4 :

\dfrac{4x}{4} = \dfrac{P – 4y}{4}

Наконец, нам нужно упростить наше уравнение:

x = \dfrac{P}{4} – \dfrac{4y}{4}

х = \dfrac{P}{4} – у

Теперь мы, наконец, нашли x в буквальном уравнении. Давайте посмотрим, как можно решить уравнение, не упрощая в конце.

В другом методе мы можем просто разделить на 4 в начале, чтобы избежать использования свойства распределения. Например: 

\dfrac{4(x + y)}{4} = \dfrac{P}{4}

Тогда нам просто нужно вычесть y с каждой стороны:

x + y \textcolor{red}{- y} = \dfrac{P}{4} \textcolor{red}{ – y}

Таким образом, мы получаем:

x = \dfrac{P}{4}- y

Обратите внимание, что уравнение уже упрощено, и никаких других шагов не требуется.

Вернуться к оглавлению

Вот короткое видео, демонстрирующее решение буквенных уравнений:

Буквенные уравнения с дробями

Давайте поработаем над некоторыми примерами буквальных уравнений с дробями!

Ознакомьтесь с лицензиями школы Альберта !

Пример 1

Многие уравнения и формулы в той или иной степени содержат дроби. Например, вот формула объема сферы:

93}

x = m + n	Исходное уравнение }	Вычесть n с обеих сторон
x – n = m	m теперь изолировано
m = x – n
Кубический корень с обеих сторон
r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}

Теперь, когда r изолировано, мы успешно нашли r .

Пример 2

Что произойдет, если мы просто захотим изменить уравнение для другой переменной?

Например, решите следующее уравнение для x :

y = \dfrac{x}{4} – \dfrac{1}{8}

Обратите внимание, что в уравнении две переменные, и наша конечная цель по-прежнему состоит в том, чтобы изолировать x . Помните, мы можем убрать все дроби за один ход, умножив все члены на 9.0011 Наименьший общий знаменатель .

В этом буквальном уравнении наименьший общий знаменатель равен 8 . Следовательно, мы умножим каждое слагаемое на 8.

8 \cdot y = 8 \cdot \dfrac{x}{4} – 8 \cdot \dfrac{1}{8}

Это даст нам уравнение, в котором больше нет дробей:

8y = 2x – 1

Затем продолжайте решать, как обычное уравнение:

0 \fracd {8y + 1}{\textcolor{red}{2}} = \dfrac{2x}{\textcolor{red}{2}}

8y = 2x – 1	Исходное уравнение
8y \textcolor{red}{+ 1} = 2x – 1 \textcolor{red}{+ 1}	Добавить по 1 с каждой стороны
8y + 1 = 2x	Упростить
Разделите каждую сторону на 2
\dfrac{8y}{2} + \dfrac{1}{2} = x	Упрощение
4y + \dfrac{1}{2} = x	Упрощение

Теперь, когда мы изолировали x отдельно, мы правильно «решил» буквальное уравнение.