Примеры с матрицами: 1.1.5. Примеры решения задач по теме «Операции над матрицами»

Матрица Эйзенхауэра – что это, пример использования метода

«У меня есть две проблемы: срочная и важная. Срочная не является важной, а важная — срочной», — так говорил 34-й президент США Дуайт Эйзенхауэр, автор одноименной матрицы приоритизации задач. Это система, которая помогает вычленить из всего потока дел самые важные и срочные и распределить остальные задачи по параметрам скорости их реализации и ценности для человека. Как использовать метод Эйзенхауэра в планировании времени, в чем его недостатки и почему отдых тоже стоит включать в число первоочередных задач, — рассказывает врач-психотерапевт, клинический директор сервиса подбора психологов Alter Анастасия Афанасьева

Быстрый темп жизни, множество различных рабочих и личных задач, постоянные дедлайны часто приводят к переутомлению, повышению тревоги и переориентации жизненных целей в сторону, не связанную с вашими ценностями. Множество людей ежедневно «тонут» в большом количестве дел и испытывают трудности с приоритизацией задач. Но чем больше мы истощены, чем больше дел накапливается, тем сложнее правильно распределить задачи в соответствии с силами и нагрузкой. Один из часто встречающихся инструментов расстановки приоритетов, который помогает руководителям и рядовым сотрудникам справиться с подобными трудностями, — матрица Эйзенхауэра.

Кто такой Эйзенхауэр и в чем суть его матрицы

Дуайт Эйзенхауэр — 34-й президент США. Кроме военных и стратегических заслуг, он известен высказыванием: «У меня есть две проблемы: срочная и важная. Срочная не является важной, а важная — срочной». Есть мнение, что Эйзенхауэр, уже будучи президентом, придумал распределять дела по матрице, впоследствии названной его именем. Однако документально это не подтверждено.

Матрица Эйзенхауэра — это система, которая помогает вычленить из всего потока дел наиболее актуальные и необходимые элементы и распределить остальное по параметрам скорости их реализации и ценности для человека. Впервые этот метод был описан в 1984 году в книге «Ваше время в ваших руках» (оригинальное название — Mehr Zeit für das Wesentliche), которую написал европейский эксперт по тайм-менеджменту Лотар Зайверт. Массовым распространением этот принцип обязан популярному коучу Стивену Кови, который опубликовал его в своей книге «Семь навыков высокоэффективных людей» в конце 1980-х.

Таблица Эйзенхауэра (Рисунок Getty images)

Как использовать матрицу

Таблица Эйзенхауэра состоит из четырех квадратов. Чаще всего по вертикали происходит оценка важности задачи (важно/неважно), а по горизонтали — срочности выполнения (срочно/не срочно). Таким образом, получается четыре квадрата:

1)      Важно и срочно;

2)      Важно и не срочно;

3)      Неважно и срочно;

4)      Неважно и не срочно.

Главный вопрос: как оценить и распределить задачи по важности и срочности в модели Эйзенхауэра? Давайте начнем с важности. Чтобы понять ее степень, нужно определить ваши основные цели на данный момент и понять, каким ценностям они соответствуют. Целями могут быть семейное или финансовое благополучие, карьера, здоровье и так далее. При проверке важности задавайте себе вопрос: «Эта задача имеет прямое отношение к моей текущей цели и/или ценности, или нет?» Если ответ «да» — это важно, если ответ «нет» — то нет.

Материал по теме

Для того чтобы определить срочность задачи, нужно понимать, какие негативные последствия будут от ее невыполнения. Если последствия возникают здесь и сейчас (например, не выпустят завтра за границу, уволят, заказ уедет обратно), то задача уходит в категорию «срочно». Если негативных последствий при откладывании задачи нет, то она не срочная.

Помните, что оценка важности и срочности не происходит раз и навсегда: эти параметры могут меняться. Именно поэтому стоит время от времени пересматривать матрицу и собирать ее заново.

Как работать с квадратами матрицы

Посмотрим, что же мы можем записывать в каждый квадрат Эйзенхауэра.

Квадрат А: важно и срочно

Иногда этот квадрат еще называют «авральный квадрат», или «квадрат кризисов». В нем находятся задачи, которые были отнесены к срочным (имеющим быстро наступающие негативные последствия) и к важным (соотносящимся с нашими целями и ценностями). Чаще всего это задачи, которые мы по какой-то причине долго откладывали до наступления дедлайна, или внезапные форс-мажоры, чрезвычайные происшествия.  

Если большая часть ваших дел находится в квадрате А — это сигнализирует либо о проблемах с приоритизацией, делегированием, либо о выраженной перегрузке в определенных сферах жизни. Дела из этого квадрата мы делаем прямо здесь и сейчас, обычно это в течение одного-двух дней.

Материал по теме

Квадрат B: важно и не срочно

Это «квадрат потенциала», «благополучия». Здесь нужно прописывать задачи, которые направлены на достижение наших целей и ценностей, но не подразумевают экстренного решения в пределах пары дней. При невыполнении у этих дел могут быть негативные последствия, но они долгосрочные — то есть могут наступить через месяц, год, десятилетия. Именно поэтому квадрат В еще называют «стратегическим»: он отвечает за «инвестицию в будущее».

Часто этот квадрат заполняется тяжелее всего, так как долгосрочные последствия могут быть неочевидными, равно как и цели, и ценности, которым он должен отвечать. При этом квадрат В — самый главный, именно он определяет наше дальнейшее развитие.

Дела из квадрата В следует делать регулярно и в четко отведенное для этого время. Если откладывать задачи до бесконечности, то они рискуют перекочевать в квадрат А.

Квадрат С: неважно и срочно

«Квадрат помех», или «иллюзий». В нем оказываются задачи, у которых есть быстрые последствия, но их выполнение не соответствует ценностям. Это коварный квадрат: его часто путают с квадратом А при трудностях с определением своих целей и ценностей и из-за необходимости делать задачи срочно.

 

Такие дела сбивают с пути, часто их начинают делать при прокрастинации (постоянном откладывании) с делами из квадратов А и В. В результате получается ощущение или иллюзия продуктивности, занятости, которая, по сути, оказывается суетой, не приводящей нас к поставленным целям.

Время на дела из этого квадрата нужно стараться минимизировать. Для этого можно либо использовать делегирование, автоматизацию и оптимизацию процессов, либо просто отказываться от задач.

Материал по теме

Квадрат D: неважно, не срочно

Это квадрат растрат, мусорная корзина. Здесь находятся задачи, не соответствующие нашим ценностям и не несущие негативных последствий за невыполнение. При этом часто эти дела кажутся нам самыми симпатичными за счет своей приятности и простоты. В результате на них может уходить большая часть времени, особенно в состоянии прокрастинации.

Дела из этого квадрата стоит либо вообще не делать, либо откладывать до того момента, когда все остальные дела сделаны. Часто считают, что дела в квадрате С — основа отдыха. Но это не совсем так. При планировании отдыха мы можем брать дела из этого квадрата, однако большая часть отдыха — это все-таки дела из других квадратов.

Где можно собрать матрицу

1. Самый простой и доступный вариант — нарисовать матрицу вручную на бумаге или планшете, компьютере. Можно также сделать себе заготовки шаблона и пользоваться ими. Для наглядности и эффективности можно выделять задачи разными цветами и пользоваться стикерами.
2. В различных приложениях в формате to-do-list: ToDo от Microsoft, Notion, Trello, Evernote. Там можно создать несколько виртуальных досок или стикеров разного цвета — и разбросать задачи по ним. В Evernote есть отдельный шаблон для матрицы Эйзенхауэра.
3. В онлайн-сервисе Eisenhower.me, а также в приложениях для смартфонов по работе непосредственно с матрицей: Taskman, Tasks, 4do.
4. На канбан-доске. 

Как использовать матрицу Эйзенхауэра в тайм-менеджменте

Есть несколько способов использования матрицы в тайм-менеджменте. В зависимости от контекста жизни мы можем применять разные стратегии:

• Идти от запланированного. Внесите вначале необходимые, заранее запланированные по времени задачи: чаще всего это задачи из квадрата B. После этого в свободные окна в расписании перенесите срочные дела из квадрата A.

• Последовательный план. Если в квадрате А слишком много дел, которые требуют внимания, внесите в расписание сначала их, затем дела из квадрата B, если осталось время — дела из квадрата С.

• «Тушение пожара». Сначала внесите и сделайте задачи из квадрата А, затем С, а потом В и D. То есть все по убыванию срочности, а затем — важности. Если есть задачи с пересекающимися дедлайнами, можно приоритизировать их по номерам дела внутри квадрата (А1, А2, В1, В2 и так далее).

Важно помнить про основной недостаток использования матрицы приоритетов Эйзенхауэра. Она сосредотачивается на срочных и важных делах, поэтому часто может приводить к выгоранию или прокрастинации от количества срочных и важных задач. 

Материал по теме

Для грамотного использования матрицы нужно иметь навыки постановки целей и определения своих жизненный ценностей. Без этого мы рискуем записывать в квадраты А и В задачи, которые «нужно и должно» делать, но они нам на самом деле не нужны. Пример распределения дел: человек записывает в квадрат В задачу «купить новую машину» и начинает постоянно откладывать эту цель. При детальном разборе оказывается, что на самом деле новая машина не нужна — ему нравится его текущая. Цель была внесена на основе мнения окружающих о том, что раз в два–три года машину надо менять. Получается, что в настоящий момент это и не срочная, и не важная задача для человека. Тогда это квадрат D. 

Более того, человек должен понимать, какие дела помогают ему отдыхать и восстанавливаться — и вносить их в квадрат В, а не D. У отдыха часто есть не срочность, но важность и долгосрочные последствия. Если мы постоянно откладываем отдых, не даем себе восстанавливаться, наполняться другими, нерабочими занятиями,то это приводит к выгоранию, снижению мотивации к работе, тревожным и депрессивным расстройствам. Чаще всего такой подход не бьется с ценностями о здоровье или развитии карьеры.

Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения автора

Решение задач по матрицам – онлайн примеры и образцы с ответами

Если у вас нет времени на выполнение заданий по матрицам, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в whatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Ответы на вопросы по заказу заданий по матрицам:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам – я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в теме вычисления и решения Матриц, если у вас есть желание и много свободного времени!

Содержание:

1. Ответы на вопросы по заказу заданий по матрицам:
2. Основные сведения о матрицах
3. Задача 1. 1
4. Задача 1.2
5. Задача 1.3
6. Операции над матрицами и их свойства
7. Задача 2.1
8. Задача 2.2
9. Сложение матриц
10. Вычитание матриц
11. Задача 2.4
12. Задача 2.5
13. Задача 2.6
14. Задача 2.7
15. Умножение матриц
16. Задача 2.8
17. Задача 2.9
18. Задача 2.10
19. Задача 2.11
20. Задача 2.12
21. Задача 2.13
22. Задача 2.14
23. Задача 2.15
24. Задача 2.17

Основные сведения о матрицах

Определение Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, функций или алгебраических выражений, содержащая строк и столбцов. Числа определяют размер матрицы. Условимся обозначать матрицы прописными буквами латинского алфавита:

• Числа, функции или алгебраические выражения, образующие матрицу, называются матричными элементами. Будем обозначать их строчными буквами с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй индекс помер столбца, в которых располагается соответствующий элемент.

Таким образом, Здесь и в некоторых последующих формулах под символом матрицы указан ее размер. Часто используется обозначение матрицы (1.1), в котором и

Определение Две матрицы одинакового размера называются равнылш, если они совпадают поэлементно, т. е. для всех

Определение Матрица состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а матрица

состоящая из одного столбца, — матрицей-столбцом.

Определение Матрица называется квадратной порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по матрицам заказать готовую онлайн

Задача 1.1

— квадратная матрица третьего порядка.

Определение Матричные элементы квадратной матрицы называются диагональными

Определение Последовательность диагональных матричных элементов образует главную диагональ квадратной матрицы, идущую из ее левого верхнего угла в правый нижний угол. Последовательность матричных элементов образует побочную диагональ квадратной матрицы, идущую из ее левого нижнего угла в правый верхний угол.

Определение Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, т. е. при то такая матрица называется диагональной.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по матрицам онлайн

Задача 1.2

— диагональная матрица второго порядка

— диагональная матрица третьего порядка.

Определение Если у диагональной матрицы порядка все диагональные элементы равны единице, то такая матрица называется единичной матрицей порядка.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по матрицам расчетно графическая работа

Задача 1.

если все ее элементы равны нулю: В отличие от чисел, где число 0 единственно, нулевых матриц бесконечно много, т. к. каждому размеру матриц соответствует нулевая матрица этого размера.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по матрицам с решением

Операции над матрицами и их свойства

2.1 Умножение матрицы на число Определение Произведением матрицы на число называется матрица элементы которой

для всех

Задача 2.1

Если

Следствие Общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.

Задача 2.2

Сложение матриц

Определение Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица элементы которой

для всех

Задача 2.3

Согласно правилу сложения матриц где — произвольная матрица, а — нулевая матрица того же размера, что и

Вычитание матриц

Определение Разность двух матриц одинакового размера определяется с помощью операции умножения матрицы на число —1 и последующего сложения матриц т. е.

Некоторые свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами. В частности, из определений операций умножения матрицы на число и сложения матриц следует, что

— свойство коммутативности при сложении матриц.

Доказательство. Так как операция сложения определена только для матриц одинакового размера, причем сумма матриц является матрицей того же размера, что и слагаемые матрицы, то очевидно, что размер матрицы

равен размеру матрицы

Докажем, что и все элементы матрицы равны соответствующим элементам матрицы Из определения суммы двух матриц следует, что

для всех и Согласно определению равенства матриц, это означает, что

— свойство ассоциативности при сложении матриц.

• Доказательство. Нетрудно убедиться, что размер матрицы совпадает с размером матрицы (см. доказательство предыдущего свойства).

Докажем, что все элементы матрицы равны соответствующим элементам матрицы Предварительно введем обозначения

и определим новые матрицы

Из определения операции сложения матриц следует, что

для всех Согласно определению равенства матриц, это означает, что

— свойство ассоциативности при умножении чисел и матрицы.

Доказательство. Отметим, что согласно определению операция умножения матрицы на число не изменяет ее размера. Поэтому матрицы

имеют один и тот же размер.

Докажем что все элементы матрицы равны соответствующим элементам матрицы Введем обозначение

Тогда

Из определения операции умножения матрицы на число следует, что

для всех В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что

— свойство дистрибутивности при умножении суммы матриц на число.

Доказательство. Так как при умножении матрицы на число ее размер сохраняется, а операция сложения матриц определена только для матриц одинакового размера, то очевидно, что размер матрицы равен размеру матрицы

Докажем, что все элементы матрицы равны соответствующим элементам матрицы Введем обозначения

и определим новые матрицы:

Из определения операций сложения матриц и умножения матрицы на число следует, что

для всех В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что

— свойство дистрибутивности при умножении суммы чисел на матрицу.

Доказательство. Очевидно, что размер матрицы совпадает с размером матрицы (см. доказательство предыдущего свойства).

Докажем, что все элементы матрицы равны соответствующим элементам матрицы Введем обозначения

и определим новую матрицу:

Из определения операций сложения матриц и умножения матрицы на число следует, что

для всех В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что

Задача 2.4

Вычислить если

• Решение:

Задача 2.5

Найти сумму матриц

• Решение:

Сумма не существует т. к. матрицы имеют разные размеры.

Задача 2.6

Вычислить если

• Решение:

Замечание 2.1 Введенное нами понятие матриц, которые можно сравнивать между собой и для которых определены операции сложения, вычитания и умножения на число, позволяет представить совокупность различных алгебраических соотношений в компактной, “матричной” форме.

Например, 4 соотношения

в которых — некоторые числа, можно представить в виде одного матричного соотношения

где

Из уравнения (2.2) нетрудно выразить матрицу через матрицы Прибавим к левой и правой частям (2.2) матрицу — Так как то мы получим:

Очевидно, что как и в случае чисел, преобразование матричного уравнения (2.2) к виду (2.4) представляет собой простой перепое матрицы в правую часть равенства (2.2) с изменением знака коэффициента при ней (равного единице) па противоположный. Из (2.4) найдем, что

Учитывая свойство дистрибутивности при умножении суммы матриц на число, а также свойство ассоциативности при умножении чисел и матрицы, получим окончательно:

Заметим, что (2.5) может быть получено из (2.4) простым умножением на число 1/2.

Подставляя в (2.5) матрицы из (2.3) и учитывая определение равенства двух матриц, найдем:

Из (2.6) получим:

Эти же выражения можно было бы получить и с помощью той же последовательности преобразований каждого из четырех уравнений (2. 1).

Таким образом, использование матричной формы записи позволяет избежать многократного повторения одних и тех же преобразований алгебраических выражений. Это обстоятельство играет важную роль при решении систем алгебраических уравнений, которые также можно представить в матричной форме.

Задача 2.7

Решить систему матричных уравнений

• Решение:

Выразим матрицу из второго уравнения системы (2.7):

Подставим это выражение в первое из уравнений (2.7). В результате получим:

Умножив (2.9) па число 1/7, найдем:

Подставляя (2.10) в (2.8), найдем:

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

• Решение задач

Умножение матриц

Определение Умножение матрицы на матрицу определено, лишь когда число столбцов первой матрицы в произведении равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется матрица каждый элемент которой равен сумме попарных произведений элементов строки матрицы на соответствующие элементы столбца матрицы т. е.

для всех

Обратим внимание на размеры матрицы число строк матрицы-произведения совпадает с числом строк первой, а число столбцов — с числом столбцов второй из перемножаемых матриц (см. Рис. 1).

Задача 2.8

Вычислить произведение матриц если

• Решение:

Определим размер матрицы-произведения:

Вычислим элементы матрицы-произведения:

Задача 2.9

Вычислить произведение матриц если

• Решение:

Определим размер матрицы-произведения Вычислим элементы матрицы-произведения:

Задача 2.10

Вычислить произведение матриц

• Решение:

Задача 2.11

Вычислить произведения матриц если

• Решение:

Произведение не существует т. к. число столбцов матрицы (равное четырем) не равно числу строк матрицы (равному трем). Имеют место следующие свойства:

1. Свойство дистрибутивности относительно суммы матриц: если сумма и произведение существуют, то

Доказательство. В самом деле, если сумма существует, то это означает, что матрицы и

имеют один и тот же размер. Поэтому, если определено произведение

то определены произведения

и сумма

причем матрицы имеют один и тот же размер.

Пусть — число столбцов матрицы Используя правила сложения и умножения матриц, получаем, что

для всех В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что

Аналогично можно доказать, что если сумма и произведение существуют, то

2. Свойство ассоциативности относительно числового множителя: если произведение существует, то

Доказательство. Так как при умножении матрицы на число ее размеры не меняются, то из предположения о существовании произведения

следует, что произведения

в которых

также существуют. При этом матрицы и

имеют один и тот же размер.

Пусть — число столбцов матрицы Используя определения операций произведения матриц и умножения матрицы на число, получаем, что

для всех В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что

3. Свойство ассоциативности при умножении матриц: если произведения существуют, то

Доказательство. Выберем размеры матриц таким образом, чтобы произведения существовали:

Тогда произведения

и

также существуют и являются матрицами одного и того же размера.

Докажем, что все элементы матрицы равны соответствующим элементам матрицы Используя определение операции умножения матриц, получим, что

для всех В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что

Операция умножения матриц имеет ряд специфических свойств, отличающих ее от аналогичной операции для обычных чисел.

• Если произведение матриц существует, то произведение может не существовать.

Задача 2.12

Вычислить произведения если

• Решение:

Произведение не существует, т. к. число столбцов матрицы (равное трем) не равно числу строк матрицы (равному двум).

• Если даже произведения существуют, то они могут оказаться матрицами разных размеров.

Задача 2.13

Вычислить произведения матриц если

• Решение:

Замечание 2.2 В примерах 2.11 и 2.13 возникают матрицы размера состоящие из одной строки и одного столбца. Эти матрицы не могут быть отождествлены с обычными числами: в самом даче, согласно данному па стр. 6 определению, на произвольное число можно умножить любую матрицу, в то время как на матрицу размера можно умножить справа лишь матрицу-столбец, а слева — лишь матрицу-строку.

Задача 2.14

Вычислить произведения матриц если

• Решение:

• Легко понять, что оба произведения существуют и являются матрицами одинакового размера лишь в случае квадратных матриц одного и того же порядка. Однако, даже в этом случае коммутативный (переместительный) закон умножения может не иметь места, т. е. может не равняться

Задача 2.15

По данным

найти

• Решение:

Таким образом, Из данного примера видно, что из равенства еще не следует, что или

Нетрудно убедиться, что при умножении единичная матрица играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел: единичная матрица порядка перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем

Чтобы доказать это, введем обозначения: Используя правило умножения матриц и определение единичной матрицы

находим, что для всех

Обратим внимание на то, что квадратная матрица является единственной матрицей, удовлетворяющей условию (2.12) при ее умножении на любую квадратную матрицу того же порядка. Действительно, если бы существовала еще матрица с таким же свойством, то мы имели бы т. е.

Замечание 2.3 Отметим, что с помощью единичной матрицы операция умножения матрицы на число может быть представлена как умножение этой матрицы на некоторую другую матрицу:

где — диагональная матрица вида

Замечание 2. 4 Если при любом Если при любом

Доказательство. В самом деле, выбирая в качестве матрицы единичную матрицу получим: Полагая же найдем: Пример 2.16 Вычислить произведения и если

Решение. Сначала найдем произведение

Для того, чтобы найти достаточно в произведении выполнить замену Из результата (2.14) видно, что полученное выражение симметрично относительно указанной замены. Поэтому

Задача 2.17

Доказать, что матрица

перестановочна с матрицей

в которой — произвольные действительные числа.

• Решение:

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по матрицам помощь в учёбе

Матрицы с примерами и вопросы с решениями

Приведены примеры и вопросы по матрицам вместе с их решениями.

Определение матрицы

Ниже приведены примеры матриц (множественное число от матрицы ).

Матрица m n (читается «m на n») представляет собой расположение чисел (или алгебраических выражений) в m строк и n столбцов . Каждое число в данной матрице называется элемент или запись .
Нулевая матрица имеет все элементы, равные нулю.

Пример 1
Следующая матрица имеет 3 строки и 6 столбцов.

Порядок (или размеры, или размер) матрицы указывает количество строк и количество столбцов матрицы. В этом примере порядок матрицы равен 3 6 (читается «3 на 6»).

Запись матрицы (или элемент)

\( \) \( \) \( \) \( \)

Элемент (или элемент) в строке i и столбце j матрицы A (заглавная буква A) обозначается символом \((A)_{ij} \) или \( a_{ij} \ ) (строчная буква а).

Пример 2

В матрице A, показанной ниже, \(a_{11} = 5 \), \(a_{12} = 2 \) и т. д. … или \( (A)_{11} = 5 \), \( (А)_{12} = 2 \) и т.д… \[ \textbf{А} = \begin{bmatrix} 5 и 2 и 7 и -3 \\ -9 и -2 и -7 и 11\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} а_{11} и а_{12} и а_{13} и а_{14} \\ а_{21} и а_{22} и а_{23} и а_{24} \\ \end{bmatrix} \]

Квадратная матрица

Квадратная матрица имеет количество строк, равное количеству столбцов.

Пример 3

Для каждой приведенной ниже матрицы определите порядок и укажите, является ли она квадратной матрицей.
\[ а) \begin{bmatrix} -1 и 1 и 0 и 3 \\ 4 и -3 и -7 и -9\\ \end{bmatrix} \;\;\;\; б) \begin{bmatrix} -6 & 2 & 0 \\ 3&-3&4\ -5 и -11 и 9 \end{bmatrix} \;\;\;\; \\ в) \begin{bmatrix} 1 и -2 и 5 и -2 \end{bmatrix} \;\;\;\; г) \begin{bmatrix} -2 и 0 \\ 0 и -3 \end{bmatrix} \;\;\;\; д) \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} \]
Решения
а) порядок: 2 4. Количество строк и столбцов не равно, следовательно, матрица не квадратная.
б) порядок: 3 3. Количество строк и столбцов равно, поэтому эта матрица является квадратной матрицей.
c) порядок: 1 4. Количество строк и столбцов не равно, следовательно, матрица не квадратная. Матрица с одной строкой называется матрицей-строкой (или вектором-строкой).
d) порядок: 2 2. Число строк и столбцов равно, следовательно, это квадратная матрица.
e) порядок: 1 1. Количество строк и столбцов равно, поэтому эта матрица является квадратной матрицей.

Идентификационная матрица

Единичная матрица I _n представляет собой nn-квадратную матрицу, в которой все ее элементы по диагонали равны 1, а все остальные элементы равны нулю.
Пример 4
Ниже приведены все матрицы идентичности. \[I_1= \begin{bmatrix} 1\\ \end{bmatrix} \четверка, \четверка I_2= \begin{bmatrix} 1 и 0\\ 0 и 1 \end{bmatrix} \quad , \quad I_3= \begin{bmatrix} 1 и 0 и 0\\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \end{bmatrix} \]

Диагональная матрица

Диагональная матрица — это квадратная матрица, все элементы которой (элементы) равны нулю, за исключением элементов на главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого. \[A = \begin{bmatrix} 6 и 0 и 0 \\ 0 и -2 и 0 \\ 0 и 0 и 2 \end{bmatrix} \]

Треугольная матрица

Верхняя треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Матрица U, показанная ниже, является примером верхней треугольной матрицы. Нижняя треугольная матрица — это квадратная матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю. Показанная ниже матрица L является примером нижней треугольной матрицы. 9Т\).
Пример 6
Симметричные матрицы \[ \begin{bmatrix} 4&-2&1\ -2&5&7\ 1 и 7 и 8 \end{bmatrix} \]

Вопросы по матрицам: Часть A

Учитывая матрицы: \[ А = \begin{bmatrix} -1 и 23 и 10\ 0&-2&-11\ \end{bmatrix} ,\четверка B = \begin{bmatrix} -6&2&10\ 3&-3&4\ -5&-11&9\ 1 и -1 и 9 \end{bmatrix} ,\четверка С = \begin{bmatrix} -3 и 2 и 9 и -5 и 7 \end{bматрица} \\ D = \begin{bmatrix} -2 и 6\ -5 и 2\\ \end{bmatrix} ,\четверка Е = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} ,\четверка F = \begin{bmatrix} 3\\ 5\\ -11\ 7 \end{bmatrix} ,\четверка G = \begin{bmatrix} -6&-4&23\ -4 и -3 и 4 \\ 23 и 4 и 9Т\).

,бр>

Вопросы по матрицам: часть B

1) Учитывая матрицы: \[ А = \begin{bmatrix} 23 и 10\ 0 & -11 \\ \end{bmatrix} ,\четверка B = \begin{bmatrix} -6 & 0 & 0 \\ -1 и -3 и 0 \\ -5 и 3 и -9 \\ \end{bmatrix} ,\четверка С = \begin{bmatrix} -3 и 0\\ 0 и 2 \end{bматрица} \\ ,\четверка D = \begin{bmatrix} -7 и 3 и 2 \ 0 и 2 и 4 \\ 0 и 0 и 9 \\ \end{bmatrix} ,\четверка Е = \begin{bmatrix} 12 & 0 & 0 \\ 0 и 23 и 0 \\ 0 и 0 и -19Т = \begin{bmatrix} -6 и -4 и 23\\ -4 и -3 и 4\\ 23 и 4 и 9 \end{bmatrix} \]

Ответы на вопросы в части B

а) С и Е
б) Б
в) А и Г

Дополнительные ссылки

• Матрицы сложения, вычитания и скалярного умножения
  
• Умножение и мощность матриц
  
• Линейная алгебра
  
• Операции со строками и элементарные матрицы
  
• Матрица (математика)
  
• Матрицы, применяемые к электрическим цепям
  
• Обратная квадратная матрица

Узнайте о применении матриц в жизни

• Автор Ливия Феррао
• Последнее изменение 24-01-2023

Применение матриц – Применение матриц не ограничивается математикой. Эта концепция также широко используется в инженерии, науке и вычислительных приложениях. Матрицы представляют собой прямоугольный массив символов или чисел, расположенных в столбцах и строках. Всего их 9типы матриц и каждая из них чрезвычайно важны. Учащиеся знакомятся с матрицами с базового уровня 9 или 10 класса. Понимание использования матриц на начальных этапах поможет им получить более высокие оценки на экзамене.

Теперь, когда дело доходит до использования матриц в повседневной жизни или реальных приложений матриц, студенты могут найти все подробности здесь. В этой статье мы предоставили всю информацию о матрицах и их использовании в очень простой для понимания форме. Читай дальше.

Давайте рассмотрим некоторые примеры применения матриц в реальных жизненных ситуациях:

Использование матриц в науке / Применение матриц в физике
Матрица или матрицы используются в оптике для учета преломления и отражения. Матрицы также полезны в электрических цепях и квантовой физике. Кроме того, матрицы используются для решения сетевых уравнений переменного тока в электрических цепях.

Использование матриц в математике / Применение матриц в статистике
Использование матриц в математике включает решение линейных уравнений. Матрицы — невероятно полезные концепции, встречающиеся в различных прикладных областях.

Использование матриц в графике
Цифровые изображения называются матрицами при использовании в графическом дизайне. Другими словами, строки и столбцы матрицы эквивалентны строкам и столбцам пикселей. Кроме того, числовые записи соответствуют цветовым кодам пикселей. Кроме того, графы могут быть представлены с помощью матриц. Каждый столбец и строка матрицы — это точка в сети, а значение их пересечения — это связь между ними, поэтому каждый граф можно представить в виде матрицы.

Другие применения матриц

Матрицы используются в нашей повседневной жизни в следующих целях. Некоторые из применений матриц в повседневной жизни упомянуты ниже:

• Шифрование — Очень часто матрица в повседневной жизни используется во время шифрования. Мы используем его для скремблирования данных в целях безопасности, а для кодирования и декодирования этих данных нам требуются матрицы. Существует ключ, который помогает кодировать и декодировать данные, генерируемые матрицами.
• Игры, особенно 3D — Одно применение матриц — в играх. Мы используем его для изменения объекта в трехмерном пространстве. Они используют 3D-матрицу в 2D-матрицу, чтобы преобразовать ее в различные объекты в соответствии с требованиями.
• Экономика и бизнес – Для изучения тенденций бизнеса, акций и т. д., а также для создания бизнес-моделей и т. д.
• Строительство – Другим распространенным применением матриц в реальной жизни является строительный сектор. Вы видели здания, которые прямые, но иногда архитекторы пытаются изменить внешнюю структуру здания? Это можно сделать с помощью матриц. Матрица состоит из строк и столбцов, вы можете изменить количество строк и столбцов в матрице. Матрицы могут помочь поддерживать различные исторические структуры.
• Танец – контра данс – Используется для организации сложных групповых танцев.
• Анимация — позволяет сделать анимацию более точной и точной.
• Физика – Матрицы применяются при изучении квантовой механики, электрических цепей и оптики. Это помогает в расчете выходной мощности батареи, преобразовании электрической энергии резистора в другую полезную энергию. Поэтому матрицы играют большую роль в расчетах. Особенно при решении задач с использованием законов Кирхгофа о напряжении и токе.
• Геология – Матрицы используются для проведения сейсморазведки.

Типы матриц

Существует 9 типов матриц/матриц. Have a look at the listed mentioned below:

• Column matrix
• Row matrix
• Null matrix
• Lower triangular matrix
• Diagonal matrix
• Upper triangular matrix
• Square matrix
• Symmetric matrix
• Anti-symmetric matrix

Часто задаваемые вопросы о применении матриц в реальной жизни::

Q. 1: Сколько существует типов матриц?
Ответ : Всего существует 9 типов матриц.

Q.2: Каково применение Matrix в геологии в реальной жизни?
Ответ: В геологии матрицы используются для проведения сейсморазведки. Они используются для построения графиков и статистики, а также для проведения научных исследований и исследований практически в разных областях.

Q.3: Для чего можно использовать матрицы?
Ответ: Матрицы можно использовать для расчета данных, статистики и т. д., а также для построения графиков.

Q.4: Каково применение матрицы в экономике?
Ответ : В экономике очень большие матрицы используются для оптимизации задач, например, при наилучшем использовании активов, будь то труд или капитал, при производстве продукта и управлении очень большими цепочками поставок.

В.5: Где учащиеся могут получить надежные материалы по матрицам?
Ответ: Поскольку «Матрицы» — чрезвычайно ценная глава, учащиеся должны убедиться, что они загружают материалы из надежных источников. Поэтому они могут загрузить все эффективные материалы с Embibe.

Также проверьте:

Последние обновления

ИИ в образовании: изменение ландшафта обучения

Искусственный интеллект (ИИ) ощущается во всех сферах жизни, и образование не является исключением. Благодаря способности обрабатывать и анализировать огромные объемы данных, учиться на них и принимать решения на основе этих данных,…

Подробнее

NMMS Подать заявку онлайн 2023

NMMS Подать заявку онлайн 2023: Государственный совет of Education Research Training (SCERT) опубликует форму заявки на получение стипендии NMMS 2023. Схема стипендий National Means cum Merit Scholarship предназначена для студентов, принадлежащих к экономически более слабой части (EWS) общества….

Подробнее

Экзамены и подготовка к экзаменам в Индии

Индустрия подготовки к экзаменам в Индии прошла долгий путь от процесса, ориентированного на учителей, или в значительной степени нерегулируемой доставки на дом, ориентированной на обучение.