Примеры с пределами с решением: Как решать пределы для чайников, примеры решений

Применение пределов

Пример 9.25

Алкоголь выводится из организма легкими, почками и химическими процессами в печени. При умеренных концентрациях большая часть работы по удалению алкоголя выполняется печенью; менее 5% алкоголя выводится легкими и почками. Скорость r, с которой печень перерабатывает алкоголь из кровотока, связана с концентрацией алкоголя в крови x рациональной функцией вида r(x) = αx / [x + β] для некоторых положительных констант a и b. Найдите максимально возможную скорость удаления.

Раствор

По мере увеличения концентрации спирта х скорость удаления увеличивается.

Следовательно, максимально возможная скорость удаления =

Пример 9.26

Согласно теории относительности Эйнштейна масса m тела, движущегося со скоростью v, равна , где m0 — начальная масса, а c — скорость света. Что происходит с m при v → c-. Зачем нужен левый предел?

Решение

То есть масса становится очень-очень большой (бесконечной) при v → c−.

Необходим левый предел. В противном случае при ν → c+ 1− v2/c2 < 0 и, следовательно, мы не можем найти массу.

Пример 9.28

Предположим, что диаметр зрачков животного определяется выражением , где x — интенсивность света, а f(x) — в мм. Найдите диаметр зрачков при: а) минимальном освещении, б) максимальном освещении.

Решение

(a)  Для минимального освещения достаточно найти предел функции при x → 0+.

(б) Для максимальной освещенности достаточно найти предел функции при x → ∞

То есть зрачки имеют предельный размер 6 мм, так как интенсивность света очень велика .

УПРАЖНЕНИЕ 9.3

(9) Важной задачей в науке о рыболовстве является оценка количества рыбы, нерестящейся в настоящее время в ручьях, и использование этой информации для прогнозирования количества половозрелой рыбы или «новобранцев», которые вернутся в реки.