т. е. мы получили уравнение, которос содержит производную неизвестной функции К и саму функцию. Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. Таким образом, мы рассмотрели задачу о нахождении функции издержек производства по известным предельным издержкам, которая сводится к решению дифференциального уравнения.
Пример:
Пусть эластичность спроса q относительно цены р на некоторый товар описывается функцией , т. с. известен закон изменения спроса на данный товар, если цена изменяется на 1%. Определим по данному закону функциональную зависимость между спросом на данный товар и его ценой.
Решение:
Поскольку изменению цены на , соответствует изменение спроса на , то величины характеризуют относитсльное изменение спроса и цены.
Предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены называется эластичностью спроса относительно цены:
Поэтому если эластичность является известной функцией
, то получим уравнение , содержащее неизвестную функцию и ее производную, т.
е. дифференциальное уравнение.
Таким образом, мы рассмотрели экономические задачи, приводящие к уравнениям, содержащим вместе с неизвестной функцией ее производную.
Сформулируем теперь определение таких уравнений и рассмотрим методы их решения.
Определение 22.2.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида:
где F – известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области; х – неизвестная переменная; у – функция переменной х, подлежащая определению; – ее производные.
Заметим, что некоторые из величин или даже все могут и не входить в соотношение (22.2.1), но обязательно входит n-ая производная , так как иначе соотношение (22.2.1) уже не будет дифференциальным уравнением n-го порядка.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной искомой функции, фигурирующей в уравнении.
Решением дифференциального уравнения (22.2.1) называется такая функция , которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество:
Вначале мы рассмотрим уравнение
называемое дифференциальным уравнением первого порядка, частным случаем которого является уравнение, разрешенное относительно производной :
где функция f(x, у) задана в некоторой области D плоскости хОу.
Например, дифференциальным уравнением первого порядка будет уравнение
Изменение производительной силы труда может быть описано дифференциальным уравнением первого порядка:
где – показатель, характеризующий производительность труда в период времени t; абсолютный прирост производительности труда в единицу времени (например, за год) или скорость абсолютного роста в единицу времени; • относительная скорость роста производительности труда в единицу времени; – функция зависящая от времени, характеризующая относительную скорость роста.
Простейшая модель воспроизводства национального дохода описывается уравнением:
где В – капиталоемкость национального дохода (отношение производственного накопления к приросту национального дохода), В – называют акселератором; c(t) – динамика национального дохода, определяется траекторией c(t): национальный доход направляется на расширение производства и на потребление.
Задача теории дифференциальных уравнений состоит в нахождении решения дифференциального уравнения, а процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Часто решение находят в неявном виде:
Равенство (22.2.4) и определяет функцию , являющуюся решением уравнения (22.2.3).
Заметим еще, что иногда интегральную кривую получают в параметрическом виде:
где вспомогательный параметр t изменяется в некотором промежутке и выполняется тождество:
Пример:
Пусть дано дифференциальное уравнение
Покажем, что равенство
определяет решение уравнения (22.2.6).
Решение:
Действительно, дифференцируя (22.2.7) получим
и подставляя в это равенство из (22.2.6), получим тождество 1 х-еу
в силу (26.2.7).
Итак, мы показали, что существует решение дифференциального уравнения первого порядка заданное в неявном виде.
Частный случай уравнения
(22.3.1)
изучается в интегральном исчислении, именно там рассматривается уравнение
(22.3.2)
По заданной производной ищется функция, производная которой равна Известно из интегрального исчисления, что решения этого уравнения задаются формулой
(22.3.3) где С – произвольная постоянная. Отсюда видим, что уравнение (22.3.2) имеет бесконечное множество решений, отличающихся на постоянную величину С. Далее мы увидим, что и для уравненияпервого порядка при довольно общих предположениях относительно существует бесконечное множество решений, именно семейство решений содержащее произвольную постоянную С . Решение вида (22.3.4) с произвольной постоянной С называют общим решением уравнения (22.3.1), которое может быть найдено и в неявном виде:
Всякое же решение, полученное из общего при конкретном значении постоянной С, называется частным решением.
Пусть дано дифференциальное уравнение: (22.3.5)
Общим решением этого дифференциального уравнения будет функция:
(22.3.6)
Пологая С = 1, получим частное решение Но является также решением (22.3.5), хотя его нельзя получить из (22.3.6) ни при каком значении С.
Решение, которое нельзя получить из общего при конкретном значении С, называется особым решением.
Часто, особенно в приложениях, требуется найти решение задачи Коши (начальной задачи), т.е. требуется найти решение уравнения (22.3.1) обладающее свойством
(22.3.7)
где наперед заданные числа, которые называются начальными значениями. Таким образом, в задаче Коши требуется найти решение которое проходило бы через наперед заданную точку в которой функция определена. Теперь можно уточнить определение общего решения дифференциального уравнения первого порядка, т.е. справедливо опрсделе-26.3.1.
Определение 22.3.1. Общим решением дифференциально уравнения первого порядка, определенного в области D, называется функция удовлетворяющая условиям:
а) при любом конкретном значении постоянной величины С она определяет частное решение;
б) для любых начальных условий принадлежащих области определения дифференциального уравнения, существует знчение С* такое, что выполняется равенство:
Рассмотрим теперь геометрическую интерпретацию дифферциального уравнения первого порядка.
Пусть на плоскости зада прямоугольная система координат Тогда решению или или уравнения (22.3.1), как уже говорили, будет соответствовать интегральная кривая. Предложим, что правая часть уравнения (22.3.1) определена и конечна каждой точке некоторой области D плоскости Проведем через каждую точку (рис 22.1), этой области, отрезок Т, составляющий с осью уголТангенс этого угла равен значению правой части уравнения (22.3.1) в точке т. е. Отметим, что оба направления указанного отрезка для нас безразличны. Таким образом, можно считать, что уравнение (22.3.1) определяет некоторое поле направлений или поле линейных элементов. Ясно, что дифференциальное уравнение (22.3.1) выражает геометрически тот факт, что направление касательной в каждой точке интегральной кривой совпадает с направлением поля в этой точке.
Из выше сказанного вытекает, что всякое дифференциальное уравнение первого порядка выражает некоторое общее свойство касательных всех его интегральных кривых. И задача состоит в том, чтобы по этому свойству касательных к интегральным кривым восстановить само семейство интегральных кривых.
Пусть дано уравнение
Его решением является семейство функций гдеИнтегральные кривые семейства парабол обладают общим свойством: в каждой точке области определения уравнения угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен удвоенной абсциссе этой точки:
Теоремы существования и единственностиВыше мы говорили о решении уравнения предполагая, что оно существует.
Сформулируем теперь теоремы (без доказательства), которые гарантируют существование и единственность решения.
Теорема Пеано (теорема существования). Для того, чтобы уранение имело хотя бы одно решение достаточно, чтобы его правая часть была непрерывна.
Теорема Пикаро
- Функция непрерывна и.
следовательно, ограничена т. е. – любая точка - Функция имеет ограниченную частную производную по т. е.
следовательно, ограничена т. е. – любая точкаТогда уравнение (22.4.1) имеет единственное решение удовлетворяющее начальному условию Это решение определено и непрерывно дифференцируемо в интервале В последующих параграфах рассмотрим частные виды дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование которых сводится к вычислению неопределенных интегралов (или их интегрирование приводится к квадратурам).
Рассмотрим уравнение вида (22.3.1) записанное в дифференциальной форме:
(23.1.1)
в котором коэффициенты при представляют собой произведения функций от на функции от Такое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Относительно функций будем предполагать, что они непрерывны при всех рассматриваемых значениях Разделим это равенство на произведение получим уравнение:
(23.1.2) которое называется уравнением с разделенными переменными, так как коэффициент при зависит только от а коэффициент при
зависит только от Интегрируя уравнение (23.
1.2), получаем выражение:
где С = const, называемое общим решением уравнения (23.1.1) в неявном виде (общим интегралом).
Пример №3Проинтегрировать уравнение
Решение:
Заданное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как при записаны функции, зависящие отсоответственно. Разделим каждый член уравнения на произведение множителей Получим уравнение с разделенными переменными: интегрируя которое, последовательно получаем:
Функция определяет общее решение заданного уравнения. При делении на произведение мы можем потерять решение заданного уравнения. Поэтому проверим, являются ли решения частными решениями. Решение получаем из общего яри Это означает, что оно является частным решением. Решение sinx = 0 получаем из общего решения, которое можно переписать в виде
Следовательно, sinx = О также является частным решением заданного уравнения.
Заметим, что уравнение с разделяющимися переменными является одним из основных типов уравнения первого порядка, разрешенных относительно производной и допускающих интегрирование в квадратурах.
Предположим что, эластичность объема валовой продукции от объема капитальных вложенийвыражается формулой:
Определить зависимость объема валовой продукции у от объема капитальных вложений если при
Решение:
Указанная в примере эластичность описывается, как легко следует из определения эластичности функции, дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:
так как при dy записано произведение функций, зависящих от Разделив левую и правую части на получим уравнение:
с разделенными переменными, интегрируя которое, последовательно, получим:
Функция определяет общее решение. Определим значение произвольной постоянной С воспользовавшись начальными условиями. Подставим в общее решение Получим равенство:
откуда находим Подставив значение С в общее решение получим функцию которая описывает зависимость объема валовой продукции от объема капитальных вложений
Линейные уравненияЛинейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной
(23.
2.1)
Коэффициент при у’, ибо в противном случае (23.2.1) не является дифференциальным уравнением.
Приведем уравнение (23.2.1) к каноническому виду. Для этого разделим все члены уравнения на Обозначим полученные отношения
Тогда уравнение (23.2.1) примет вид: (23.2.2) Умножая левую и правую часть уравнения (23.2.2) на множитель, получатель, называемый интегрирующим, получаем в левой части производную произведения функций: Интегрируя это равенство, найдем общее решение уравнения (23.2.2) в виде: где С = const.
Пример №5Проинтегрировать уравнение
Решение:
Заданное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Умножая его на интегрирующий множитель
получим: Применив к левой части уравнения формулу производной произведения, преобразуем уравнение к виду: интегрируя которое находим общее решение:
Заметим, что интегрирование линейного дифференциального уравнения можно производить при помощи замены – неизвестные функции.
Действительно, подставляя в уравнение (23.2.1) получим: или и, выбирая функциютакой, чтобы получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, интегрирование которого показано в пункте 23.1.
Предположим, что размер предложения сельскохозяйственного продукта в году есть функция цены в году: а спрос на этот продукт является функцией цены в данном году:
Определить цену равновесия, т. е. когда спрос равен предложению: s = q.
Решение:
По условию примера приравниваем функцию цены к функции предложения:
Приведя подобные, получаем линейное дифференциальное уравнение:
которое проинтегрируем подстановкой Подставляяи производя элементарные преобразования, получим уравнение вида: (23.2.3) Определим функцию такой, чтобы (23.2.4)
Уравнение (23.2.4) – уравнение с разделяющимися переменными. Его частным решением является функция: В качестве решения уравнения с разделяющимися переменными (23.
2.4), выбирается функция, аналитическая запись которой самая простая.
Представляя найденное значение функции в (23.2.3), снова получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Запишем его в дифференциальной форме: Интегрируя левую и правую часть этого уравнения, получим его общее решение:
Тогда общее решение заданного уравнения записывается в виде:
Замечание. Линейные уравнения вида: приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными при помощи замены
Действительно, Тогда исходное уравнение примет вид или а это и есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
- Заказать решение задач по высшей математике
Обобщением линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнение Бернулли: (23.3.1)
причем показатель степени можно считать отличным от нуля и единицы, так как в этих случаях уравнение будет линейным. Разделим каждый член уравнения (23.
3.1) на
(23.3.2)
Введем новую искомую функцию по формуле:
(23.3.3)
После подстановки в (23.3.2) выражений (23.3.3), уравнение
(23.3.2) примет вид:
или
или
(23.3.4)
где
Уравнение (23.3.4) линейное относительно искомой функции и оно интегрируется аналогично уравнению (23.2.2).
Пример №7Проинтегрировать уравнение:
Решение:
Данное уравнение является уравнением Бернулли. Показатель степени в правой части равен двум: . Разделим обе части заданного уравнения на
и введем новую искомую функцию по формуле:
При этом уравнение приведется к виду:
Полученное уравнение является линейным относительно новой искомой функции Умножая его на интегрирующий множитель
получаем в левой части производную произведения функций: Интегрируя обе части полученного уравнения, будем иметь:
Для вычисления интеграла в правой части равенства, применим формулу интегрирования по частям:
Подставив значение интеграла, получим:
Выполнив обратную замену находим общее решение заданного уравнения в виде:
Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к нимОпределение 23.
4.1. Однородной функцией степени называется функция если
Пологая получим
Определение 23.4.2. Дифференциальное уравнение вида
(23.4.1)
называется однородным, еслиоднородные функции степени
В силу однородности функций уравнение (23.4.1) можно записать в виде:
(23.4.2) Выполняя в (23.4.2) подстановку: или
получим
или (23.4.3)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя в уравнении (23.4.3) переменные и интегрируя, найдем его общее решение:
Возвращаясь к старой переменной, семейство интегральных кривых запишем в виде:(23.4.4)
Из (23.4.4) следует, что все интегральные кривые однородного уравнения могут быть получены из одной интегральной кривой при помощи преобразования подобия с центром подобия в начале координат:
Пример №8Проинтегрировать дифференциальное уравнение:
Решение:
Заданное уравнение записано в дифференциальной форме, где однородные функции второй степени.
Следовательно, заданное уравнение однородное. Разрешим его относительно производной и разделим числитель и знаменатель правой части на
Подставив получим уравнение: Приведя к общему знаменателю в правой части, получим уравнение с разделяющимися переменными: (23.4.5) Разделив в (23.4.5) переменные, преобразуем его к уравнению с разделенными переменными: проинтегрировав которое, найдем общее решение в виде: или, возвращаясь к у, получим:
Это окружности, проходящие через начало координат, центры которых лежат на оси Оу, касающиеся оси Ох в точке (0,0).
К однородному дифференциальному уравнению преобразуется также уравнение (23.4.6)
если Если жето (23.4.6) преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными. Покажем это. Для этого введем новые переменные по формулам: где удовлетворяют системе алгебраических уравнений:
Тогда, если то получим однородное уравнение
Если же то и уравнение (23.4.6) примет вид:
которое подстановкой приводится к уравнению с разделяющимися переменными:
К однородному уравнению приводится также уравнение подстановкой
Пример №9Предположим, что динамическая функция предложения товара описывается зависимостью: где х, – запас товара, — – тенденция формирования цены, р, – цена товара в данный момент времени t.
Требуется определить зависимость цены от количества товара, если динамическая функция предложения товара будет равна скорости увеличения запаса товара.
Решение:
Из условия примера следует, что динамическая функция предложения товара равна скорости увеличения запаса товара, т.е.
Подставив выражение для динамической функции предложения товара, получим уравнение:
Это однородное дифференциальное уравнение, которое интегрируем при помощи подстановки Выполнив подстановку, получим уравнение с разделяющимися переменными:
Разделив переменные
и вычислив интегралы от обеих частей уравнения с разделенными переменными, найдем общее решение в виде:
Получим функцию цены р в зависимости от запаса товара
Дифференциальное уравнение в полных дифференциалахДифференциальное уравнение вида:
(23.5.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция что
(23.5.
2)
Тогда (23.5.2) можно переписать в виде: откуда находим общее решение в неявном виде:
Отметим, что необходимым и достаточным условием существования функции удовлетворяющей условию (23.5.2), является равенство:
(23 5 3)
Пример №10Проинтегрировать дифференциальное уравнение
Решение:
Для данного уравнения выполняется условие (23.5.2) во всей плоскости, кроме точки (0,0). Легко заметить, что функция имеет вид: и, следовательно, заданное уравнение можно записать в виде:
Тогда общее решение имеет вид:
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравение первого порядка называется однородным, если и – однородные функции одной и то же степени.
Функция называется однородной функцией k-й степени, если для любого t выполняется равенство .
В частном случае, если однородная функция имеет нулевую степень, то выполняется равенство
Пример 1.
Установить, являются ли однородными функции
1) ;
2) ;
Решение. Находим
Следовательно, – однородная функция третьей степени.
Аналогично устанавливается, что – однородная функция четвёртой степени:
Отношение двух однородных функций одинаковых степеней также есть однородная функция, но нулевой степени. Пусть и – однородные функции k-й степени. Это означает, что , а . Их отношение – некоторая функция , так как .
Как решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка?
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Для этого преобразуем уравнение к виду
или , (1)
где –
однородная функция нулевой степени как отношение однородных функций одинаковых степеней.
Это равенство справедливо при любом t
Обозначим это отношение через z, т. е. , откуда . Тогда
и уравнение (1) преобразуется так:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование, затем следует заменить z на .
Пример 2. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Сначала преобразуем данное уравнение к виду
,
а затем произведём подстановку , откуда . Тогда уравнение примет вид
, или , или .
Почленное интегрирование даёт
, или .
Заменяя z на ,
получим , откуда
.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения
Пример 3. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Сначала преобразуем данное уравнение к виду
,
а затем произведём подстановку , откуда . Тогда уравнение примет вид
.
Путём дальнейших преобразований получаем
.
Итак, или .
Далее или .
Почленное интегрирование даёт
.
Заменяя z на ,
получим , откуда
и
– общий интеграл данного уравнения.
Пример 4. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим
или
.
Произведём подстановку , откуда . Тогда уравнение примет вид
.
Путём дальнейших преобразований получаем
Итак, или
.
Почленное интегрирование даёт
,
откуда
.
Заменяя z на , получим
Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x и получим
– общий интеграл данного уравнения.
Пример 5. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим
или
.
Произведём подстановку , откуда . Тогда уравнение примет вид
.
Путём дальнейших преобразований получаем
Итак, или
.
Почленное интегрирование даёт
.
Заменяя z на , получим
Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x в кубе и получим
– общий интеграл данного уравнения.
Выводы. Чтобы решать однородные дифференциальные уравнения, необходимо хорошо владеть методами интегрирования – путём замены переменной и по частям. В практических задачах на этот вид дифференциальных уравнений нередко после преобразований получаются выражения, интегрируя которые, требуется применять как один, так и другой метод интегрирования дважды или даже трижды.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
К началу страницы
Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения
Всё по теме “Дифференциальные уравнения”
Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения Бернулли
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться с друзьями
09.
1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятияДифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.
В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.
В этой части излагаются элементы теории Обыкновенных Дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от одной переменной. Теория дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных — уравнения В частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.
Определение 1. Уравнение вида
Где Х — независимая переменная, У и У’ — соответственно неизвестная функция и ее производная, называется дифференциальным уравнением Первого порядка.
Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:
В случае когда из уравнения можно выразить У’, оно имеет вид
Уравнение (9.1) называется уравнением первого порядка, Разрешенным относительно производной. В дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого вида. Примеры уравнений, разрешенных относительно производной:
Приведем примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции У’.
Пример 1. (Y‘)2 = X2 + У2, откуда получаем два уравнения первого порядка У’ = ±.
Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция У = φ(X), определенная на некотором интервале (А, B), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Например, функция У = х2 тождественно обращает в нуль левую часть уравнения Ху’ — 2Х2 = 0 и потому представляет собой решение этого уравнения.
В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.
ТЕОРЕМА 1. Пусть дано дифференциальное уравнение (9.1). Если функция f(x, y) и ее частная производная f’y(x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, то в некоторой окрестности любой внутренней точки (x0, у0) этой области существует единственное решение уравнения (9.1), удовлетворяющее условию у = у0 при х = x0.
График решения дифференциального уравнения называется Интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутреннюю точку области D проходит только одна интегральная кривая. Условия, которые задают значение функции У0 в фиксированной точке X0, называют Начальными условиями (условиями Коши) и записывают в такой форме:
Задача нахождения решения уравнения (9.
1), удовлетворяющего условию (9.2), называется Задачей Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (X0, Y0) области D.
В ряде случаев, когда условия теоремы Коши не выполнены, через некоторые точки плоскости Оху либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит более одной интегральной кривой; эти точки называются Особыми точками Данного дифференциального уравнения.
Определение 3. Общим решением уравнения (9.1) называется функция У = φ(X, С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С.
Определение 4. Частным решением уравнения (9.1) в области D называется функция У = φ(х, С0), полученная при определенном значении постоянной С = С0.
Общее решение У = φ(X, С) описывает семейство интегральных кривых на плоскости Оху. Условия Коши (9.
2) фиксируют произвольную постоянную С и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых уравнения (9.1) одну интегральную кривую У = φ(X,C0), проходящую через заданную точку (X0, Y0).
Например, рассмотрим уравнение У’ = 2Х. Правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши во всех точках плоскости Оху (функции F(X, У) = 2Х и F‘Y(X, у) 0 определены и непрерывны на всей плоскости Оху). Нетрудно видеть, что общим решением уравнения является функция У = х2 + С, где С — произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (рис. 9.1). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия (9.2) и подставим их в формулу общего решения; получаем, что С = у0 — X02, откуда находим частное решение У = Х2 + у0 – х02.
Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х0, у0).
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Линейные и однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решения
Думаю, нам стоит начать с истории такого славного математического инструмента как дифференциальные уравнения. Как и все дифференциальные и интегральные исчисления, эти уравнения были изобретены Ньютоном в конце 17-го века. Он считал именно это своё открытие настолько важным, что даже зашифровал послание, которое сегодня можно перевести примерно так: “Все законы природы описываются дифференциальными уравнениями”. Это может показаться преувеличением, но всё так и есть. Любой закон физики, химии, биологии можно описать этими уравнениями.
Огромный вклад в развитие и создание теории дифференциальных уравнений внесли математики Эйлер и Лагранж.
Уже в 18-м веке они открыли и развили то, что сейчас изучают на старших курсах университетов.
Новая веха в изучении дифференциальных уравнений началась благодаря Анри Пуанкаре. Он создал «качественную теорию дифференциальных уравнений», которая в сочетании с теорией функций комплексного переменного внесла значительный вклад в основание топологии – науки о пространстве и его свойствах.
Что такое дифференциальные уравнения?
Многие боятся одного словосочетания “дифференциальное уравнение”. Однако в этой статье мы подробно изложим всю суть этого очень полезного математического аппарата, который на самом деле не так сложен, как кажется из названия. Для того чтобы начать рассказывать про дифференциальные уравнения первого порядка, следует сначала познакомиться с основными понятиями, которые неотъемлемо связаны с этим определением. И начнём мы с дифференциала.
Дифференциал
Многие знают это понятие ещё со школы. Однако всё же остановимся на нём поподробнее. Представьте себе график функции.
Мы можем увеличить его до такой степени, что любой его отрезок примет вид прямой линии. На ней возьмём две точки, находящиеся бесконечно близко друг к другу. Разность их координат (x или y) будет бесконечно малой величиной. Ее и называют дифференциалом и обозначают знаками dy (дифференциал от y) и dx (дифференциал от x). Очень важно понимать, что дифференциал не является конечной величиной, и в этом заключается его смысл и основная функция.
А теперь необходимо рассмотреть следующий элемент, который нам пригодится при объяснении понятия дифференциального уравнения. Это – производная.
Производная
Все мы наверняка слышали в школе и это понятие. Говорят, что производная – это скорость роста или убывания функции. Однако из этого определения многое становится непонятным. Попробуем объяснить производную через дифференциалы. Давайте вернёмся к бесконечно малому отрезку функции с двумя точками, которые находятся на минимальном расстоянии друг от друга. Но даже за это расстояние функция успевает измениться на какую-то величину.
И чтобы описать это изменение и придумали производную, которую иначе можно записать как отношение дифференциалов: f(x)’=df/dx.
Теперь стоит рассмотреть основные свойства производной. Их всего три:
- Производную суммы или разности можно представить как сумму или разность производных: (a+b)’=a’+b’ и (a-b)’=a’-b’.
- Второе свойство связано с умножением. Производная произведения – это сумма произведений одной функции на производную другой: (a*b)’=a’*b+a*b’.
- Производную разности записать можно в виде следующего равенства: (a/b)’=(a’*b-a*b’)/b2.
Все эти свойства нам пригодятся для нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка.
Также бывают частные производные. Допустим, у нас есть функция z, которая зависит от переменных x и y. Чтобы вычислить частную производную этой функции, скажем, по x, нам необходимо принять переменную y за постоянную и просто продифференцировать.
Интеграл
Другое важное понятие – интеграл.
По сути это прямая противоположность производной. Интегралы бывают нескольких видов, но для решения простейших дифференциальных уравнений нам понадобятся самые тривиальные неопределённые интегралы.
Итак, что такое интеграл? Допустим, у нас есть некоторая зависимость f от x. Мы возьмём от неё интеграл и получим функцию F(x) (часто её называют первообразной), производная от которой равна первоначальной функции. Таким образом F(x)’=f(x). Отсюда следует также, что интеграл от производной равен первоначальной функции.
При решении дифференциальных уравнений очень важно понимать смысл и функцию интеграла, так как придётся очень часто их брать для нахождения решения.
Уравнения бывают разными в зависимости от своей природы. В следующем разделе мы рассмотрим виды дифференциальных уравнений первого порядка, а потом и научимся их решать.
Классы дифференциальных уравнений
“Диффуры” делятся по порядку производных, участвующих в них. Таким образом бывает первый, второй, третий и более порядок.
Их также можно поделить на несколько классов: обыкновенные и в частных производных.
В этой статье мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры и способы их решения мы также обсудим в следующих разделах. Будем рассматривать только ОДУ, потому что это самые распространённые виды уравнений. Обыкновенные делятся на подвиды: с разделяющимися переменными, однородные и неоднородные. Далее вы узнаете, чем они отличаются друг от друга, и научитесь их решать.
Кроме того, эти уравнения можно объединять, чтобы после у нас получилась система дифференциальных уравнений первого порядка. Такие системы мы тоже рассмотрим и научимся решать.
Почему мы рассматриваем только первый порядок? Потому что нужно начинать с простого, а описать всё, связанное с дифференциальными уравнениями, в одной статье просто невозможно.
Уравнения с разделяющимися переменными
Это, пожалуй, самые простые дифференциальные уравнения первого порядка. К ним относятся примеры, которые можно записать так: y’=f(x)*f(y).
Для решения этого уравнения нам понадобится формула представления производной как отношения дифференциалов: y’=dy/dx. С помощью неё получаем такое уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Теперь мы можем обратиться к методу решения стандартных примеров: разделим переменные по частям, т. е. перенесём всё с переменной y в часть, где находится dy, и так же сделаем с переменной x. Получим уравнение вида: dy/f(y)=f(x)dx, которое решается взятием интегралов от обеих частей. Не стоит забывать и о константе, которую нужно ставить после взятия интеграла.
Решение любого “диффура” – это функция зависимости x от y (в нашем случае) или, если присутствует численное условие, то ответ в виде числа. Разберём на конкретном примере весь ход решения:
y’=2y*sin(x)
Переносим переменные в разные стороны:
dy/y=2*sin(x)dx
Теперь берём интегралы. Все их можно найти в специальной таблице интегралов. И получаем:
ln(y) = -2*cos(x) + C
Если требуется, мы можем выразить “игрек” как функцию от “икс”.
Теперь можно сказать, что наше дифференциальное уравнение решено, если не задано условие. Может быть задано условие, например, y(п/2)=e. Тогда мы просто подставляем значение этих переменных в решение и находим значение постоянной. В нашем примере оно равно 1.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Теперь переходим к более сложной части. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка можно записать в общем виде так: y’=z(x,y). Следует заметить, что правая функция от двух переменных однородна, и её нельзя разделить на две зависимости: z от x и z от y. Проверить, является ли уравнение однородным или нет, достаточно просто: мы делаем замену x=k*x и y=k*y. Теперь сокращаем все k. Если все эти буквы сократились, значит уравнение однородное и можно смело приступать к его решению. Забегая вперёд, скажем: принцип решения этих примеров тоже очень прост.
Нам нужно сделать замену: y=t(x)*x, где t – некая функция, которая тоже зависит от x. Тогда мы можем выразить производную: y’=t'(x)*x+t.
Подставляя всё это в наше исходное уравнение и упрощая его, мы получаем пример с разделяющимися переменными t и x. Решаем его и получаем зависимость t(x). Когда мы ее получили, то просто подставляем в нашу предыдущую замену y=t(x)*x. Тогда получаем зависимость y от x.
Чтобы было понятнее, разберём пример: x*y’=y-x*ey/x.
При проверке с заменой всё сокращается. Значит, уравнение действительно однородное. Теперь делаем другую замену, о которой мы говорили: y=t(x)*x и y’=t'(x)*x+t(x). После упрощения получаем следующее уравнение: t'(x)*x=-et. Решаем получившийся пример с разделёнными переменными и получаем: e-t=ln(C*x). Нам осталось только заменить t на y/x (ведь если y=t*x, то t=y/x), и мы получаем ответ: e-y/x=ln(x*С).
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Пришло время рассмотреть ещё одну обширную тему. Мы разберём неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Чем они отличаются от предыдущих двух? Давайте разберёмся.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать таким равенством: y’ + g(x)*y=z(x). Стоит уточнить, что z(x) и g(x) могут являться постоянными величинами.
А теперь пример: y’ – y*x=x2.
Существует два способа решения, и мы по порядку разберём оба. Первый – метод вариации произвольных констант.
Для того чтобы решить уравнение этим способом, необходимо сначала приравнять правую часть к нулю и решить получившееся уравнение, которое после переноса частей примет вид:
y’ = y*x;
dy/dx=y*x;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2*уС=C1*ex2/2.
Теперь надо заменить константу C1 на функцию v(x), которую нам предстоит найти.
y=v*ex2/2.
Проведём замену производной:
y’=v’*ex2/2-x*v*ex2/2.
И подставим эти выражения в исходное уравнение:
v’*ex2/2 – x*v*ex2/2 + x*v*ex2/2 = x2.
Можно видеть, что в левой части сокращаются два слагаемых. Если в каком-то примере этого не произошло, значит вы что-то сделали не так. Продолжим:
v’*ex2/2 = x2.
Теперь решаем обычное уравнение, в котором нужно разделить переменные:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv = x2*e–x2/2dx.
Чтобы извлечь интеграл, нам придётся применить здесь интегрирование по частям. Однако это не тема нашей статьи. Если вам интересно, вы можете самостоятельно научиться выполнять такие действия. Это не сложно, и при достаточном навыке и внимательности не отнимает много времени.
Обратимся ко второму способу решения неоднородных уравнений: методу Бернулли. Какой подход быстрее и проще – решать только вам.
Итак, при решении уравнения этим методом нам необходимо сделать замену: y=k*n. Здесь k и n – некоторые зависящие от x функции. Тогда производная будет выглядеть так: y’=k’*n+k*n’. Подставляем обе замены в уравнение:
k’*n+k*n’+x*k*n=x2.
Группируем:
k’*n+k*(n’+x*n)=x2.
Теперь надо приравнять к нулю то, что находится в скобках. Теперь, если объединить два получившихся уравнения, получается система дифференциальных уравнений первого порядка, которую нужно решить:
n’+x*n=0;
k’*n=x2.
Первое равенство решаем, как обычное уравнение. Для этого нужно разделить переменные:
dn/dx=x*v;
dn/n=xdx.
Берём интеграл и получаем: ln(n)=x2/2. Тогда, если выразить n:
n=ex2/2.
Теперь подставляем получившееся равенство во второе уравнение системы:
k’*ex2/2=x2.
И преобразовывая, получаем то же самое равенство, что и в первом методе:
dk=x2/ex2/2.
Мы также не будем разбирать дальнейшие действия. Стоит сказать, что поначалу решение дифференциальных уравнений первого порядка вызывает существенные трудности. Однако при более глубоком погружении в тему это начинает получаться всё лучше и лучше.
Где используются дифференциальные уравнения?
Очень активно дифференциальные уравнения применяются в физике, так как почти все основные законы записываются в дифференциальной форме, а те формулы, которые мы видим – решение этих уравнений. В химии они используются по той же причине: основные законы выводятся с их помощью. В биологии дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения систем, например хищник – жертва. Они также могут использоваться для создания моделей размножения, скажем, колонии микроорганизмов.
Как дифференциальные уравнения помогут в жизни?
Ответ на этот вопрос прост: никак. Если вы не учёный или инженер, то вряд ли они вам пригодятся. Однако для общего развития не помешает знать, что такое дифференциальное уравнение и как оно решается. И тогда вопрос сына или дочки “что такое дифференциальное уравнение?” не поставит вас в тупик. Ну а если вы учёный или инженер, то и сами понимаете важность этой темы в любой науке. Но самое главное, что теперь на вопрос “как решить дифференциальное уравнение первого порядка?” вы всегда сможете дать ответ.
Согласитесь, всегда приятно, когда понимаешь то, в чём люди даже боятся разобраться.
Основные проблемы при изучении
Основной проблемой в понимании этой темы является плохой навык интегрирования и дифференцирования функций. Если вы плохо берёте производные и интегралы, то, наверное, стоит ещё поучиться, освоить разные методы интегрирования и дифференцирования, и только потом приступать к изучению того материала, что был описан в статье.
Некоторые люди удивляются, когда узнают, что dx можно переносить, ведь ранее (в школе) утверждалось, что дробь dy/dx неделима. Тут нужно почитать литературу по производной и понять, что она является отношением бесконечно малых величин, которыми можно манипулировать при решении уравнений.
Многие не сразу осознают, что решение дифференциальных уравнений первого порядка – это зачастую функция или неберущийся интеграл, и это заблуждение доставляет им немало хлопот.
Что ещё можно изучить для лучшего понимания?
Лучше всего начать дальнейшее погружение в мир дифференциального исчисления со специализированных учебников, например, по математическому анализу для студентов нематематических специальностей.
Затем можно переходить и к более специализированной литературе.
Стоит сказать, что, кроме дифференциальных, есть ещё интегральные уравнения, так что вам всегда будет к чему стремиться и что изучать.
Заключение
Надеемся, что после прочтения этой статьи у вас появилось представление о том, что такое дифференциальные уравнения и как их правильно решать.
В любом случае математика каким-либо образом пригодится нам в жизни. Она развивает логику и внимание, без которых каждый человек как без рук.
Линейные уравнения первого порядка
Содержание статьи
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение
Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартний вид $y’+P\left(x\right)\cdot y=0$, где $P\left(x\right)$ — непрерывная функция, называется линейным однородным.
Название “линейное” объясняется тем, что неизвестная функция $y$ и её первая производная $y’$ входят в состав уравнения линейно, то есть в первой степени. Название “однородное” объясняется тем, что в правой части уравнения находится нуль.
Такое дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Представим его в стандартном виде метода: $y’=-P\left(x\right)\cdot y$, где $f_{1} \left(x\right)=-P\left(x\right)$ и $f_{2} \left(y\right)=y$.
Вычислим интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.
Вычислим интеграл $I_{2} =\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =\int \frac{dy}{y} =\ln \left|y\right|$.
Запишем общее решение в виде $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_{1} \right|$, где $\ln \left|C_{1} \right|$ — произвольная постоянная, взятая в удобном для дальнейших преобразований виде.
Выполним преобразования:
\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_{1} \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac{\left|y\right|}{\left|C_{1} \right|} =-\int P\left(x\right)\cdot dx .
{3} } $.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение
Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно представить в стандартном виде $y’+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ — известные непрерывные функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Название “неоднородное” объясняется тем, что правая часть дифференциального уравнения отлична от нуля.
Решение одного сложного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть сведено к решению двух более простых дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию $y$ следует заменить произведением двух вспомогательных функций $u$ и $v$, то есть положить $y=u\cdot v$.
Выполняем дифференцирование принятой замены: $\frac{dy}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} $. Подставляем полученное выражение в данное дифференциальное уравнение: $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot u\cdot v=Q\left(x\right)$ или $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \left[\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v\right]=Q\left(x\right)$.
Отметим, что если принято $y=u\cdot v$, то в составе произведения $u\cdot v$ одну из вспомогательных функций можно выбирать произвольно. Выберем вспомогательную функцию $v$ так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение $\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v=0$ относительно функции $v$ и выбрать для неё простейшее частное решение $v=v\left(x\right)$, отличное от нуля. Это дифференциальное уравнение является линейным однородным и решается оно вышерассмотренным методом.
Полученное решение $v=v\left(x\right)$ подставляем в данное дифференциальное уравнение с учетом того, что теперь выражение в квадратных скобках равно нулю, и получаем еще одно дифференциальное уравнение, но теперь относительно вспомогательной функции $u$: $\frac{du}{dx} \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Это дифференциальное уравнение можно представить в виде $\frac{du}{dx} =\frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} $, после чего становится очевидно, что оно допускает непосредственное интегрирование.
{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Вибираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.
Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx =\int \frac{3\cdot x}{x} \cdot dx=3\cdot x $.
Записываем выражение $u\left(x,C\right)=I_{2} +C=3\cdot x+C$.
Окончательно записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $y=\left(3\cdot x+C\right)\cdot x$.
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26.11.2021
Дифференциальные уравнения. Часть 1. Семинары
Список всех тем лекций
Семинар 1. Построение интегральных кривых дифференциальных уравнений первого порядка методом изоклин.
Построение интегральных кривых дифференциальных уравнений первого порядка методом изоклин
Задача (построение интегральных кривых)
(задачник Филиппова)
Задача (составить дифференциальное уравнение)
Решение задачи №21
Решение задачи №23
Решение задачи №25
Решение задачи №28
Решение задачи № 37
Решение задачи №39
Семинар 2.
Уравнения с разделяющимися переменными.
(из домашнего задания)
(из домашнего задания)
Решение задачи №29
Уравнения с разделяющимися переменными
Решение задачи №51
Семинар 3. Единственность решения. Решение однородных уравнений.
(из домашнего задания)
(из домашнего задания)
Пример “односторонней” единственности решения
Решение однородных уравнений
Решение уравнения №104
Решение уравнения, приводящегося к однородному
Решение уравнения №113
Комментарий к изучаемому типу уравнений
Семинар 4.
Уравнения Бернулли и Риккати.
(из домашнего задания)
Линейные уравнения первого порядка
Решение задачи №144
Решение задачи №138
Уравнение Бернулли
Решение задачи №156
Свойства интегральных кривых линейного уравнения
Соотношение между тремя частными решениями линейного неоднородного дифференциального уравнения
Уравнение Риккати
Семинар 5. Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним.
Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним
Решение уравнения №186
Решение уравнения №187
Решение уравнения №189
Уравнение, приводящееся к полному дифференциалу
Решение уравнения №195
Решение уравнения №196
Решение уравнения №200
Решение уравнения №205
Интегрирующий множитель (задача)
Решение уравнения №206
Семинар 6.
Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним (продолжение).
(из домашнего задания)
(из домашнего задания)
(из домашнего задания)
(из домашнего задания)
Решение задачи №212
Решение задачи №213
Семинар 7. Метод последовательных приближений.
Решение задачи №213
Метод последовательных приближений
Задача (решение уравнения с помощью метода последовательных приближений)
Задача (построение последовательного приближения)
Задача (теорема единственности)
Семинар 8. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной.
Дискриминантная кривая
Решение задачи №241
Решение задачи №242
Решение задачи №245
Решение задачи №251
Решение задачи №253
Семинар 9.
Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной (продолжение).
(из домашнего задания)
Метод параметра
Решение задачи №267
Решение задачи №271
Решение задачи №288
Решение задачи №293
Решение задачи (нахождение общего решения)
Семинар 10. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Разбор домашнего задания
(из домашнего задания)
(из домашнего задания)
Исправление ошибки в решении задачи №286
Решение задачи (с особыми решениями)
Уравнения, допускающие понижение порядка
Решение задачи №452
Решение задачи №423
Семинар 11.
Линейные уравнения высших порядков.
(из домашнего задания)
(из домашнего задания)
Линейные уравнения высших порядков
Уравнение с постоянными коэффициентами
Примеры решения
Семинар 12. Линейные уравнения высших порядков (продолжение).
Уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью особого вида
Задача
Решение задачи №545
Решение задачи №546
Принцип суперпозиции решений
Решение задачи №548
Семинар 13. Решение линейных уравнений с произвольной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных.
Решение линейных уравнений с произвольной правой частью
Решение задачи №576
Решение задачи №577
Уравнение Эйлера
Решение задачи №591
Решение задачи №598
Дифференциальное уравнение первого порядка — решение, задача с начальными значениями, примеры, формула
Дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение, в котором максимальный порядок производной равен единице, и никакая другая производная более высокого порядка не может появляться в этом уравнении.
Дифференциальное уравнение первого порядка обычно имеет вид F(x, y, y’) = 0, где y – зависимая переменная, а x – независимая переменная, а y’ явно появляется в дифференциальном уравнении. Его также можно записать как F(t, f(t), f'(t)) = 0, где f(t) — решение дифференциального уравнения. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение с производной первого порядка и степенью уравнения, равной единице.
В этой статье мы рассмотрим концепцию дифференциальных уравнений первого порядка, способы нахождения их решений, дифференциальные уравнения начальной задачи первого порядка и их приложения. Мы решим несколько примеров для лучшего понимания концепции.
| 1. | Что такое дифференциальное уравнение первого порядка? |
| 2. | Решение дифференциального уравнения первого порядка |
| 3. | Задача с начальным значением Дифференциальное уравнение первого порядка |
4. | Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении первого порядка |
Что такое дифференциальное уравнение первого порядка?
Дифференциальное уравнение первого порядка обычно записывается как F(x, y, y’) = 0, где y’ является производной первого порядка и появляется в уравнении явно, x является независимой переменной, а y является функцией Икс. Говорят, что функция f(t) является решением дифференциального уравнения первого порядка F(t, f(t), f'(t)) = 0 при всех значениях t. Реальным примером дифференциального уравнения первого порядка является уравнение охлаждения Ньютона, определяемое как y’ = k(M – y), и его можно выразить как F(t, y, y’) = k(M – у) – у’. Приведем еще несколько примеров дифференциальных уравнений первого порядка:
- у’ = т 2 + 1 ⇒ F(t, у, у’) = т 2 + 1 – у’
- у’ = 2(25 – у) ⇒ F(t, у, у’) = 2(25 – у) – у’
- mv'(t) = -mg ⇒ F(t, v, v’) = -mg – mv'(t)
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет форму y’ + y P(x) = Q(x) или dy/dx + y P(x) = Q(x), где y, P, Q — функции от x, а y’ — производная первого порядка от y.
Такие дифференциальные уравнения имеют степень производной, равную единице, поэтому их называют линейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Мы можем решить такие уравнения, используя метод интегрирования множителей.
Решение дифференциального уравнения первого порядка
Теперь мы можем решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя различные методы, такие как разделение переменных, метод интегрирования факторов, варьирование параметров и т. д. Мы можем определить частное решение p(x) и общее решение g(x), соответствующие однородного дифференциального уравнения первого порядка y’ + y P(x) = 0, и тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка y’ + y P(x) = Q(x) задается выражением y(x ) = р(х) + г(х). Давайте решим несколько примеров, используя разные методы, чтобы понять применение каждого метода.
Разделимое дифференциальное уравнение первого порядка
Общая форма разделимого дифференциального уравнения первого порядка: dy/dx = f(y).
g(x). Здесь мы можем разделить переменные в двух частях уравнения, т. е. dy/dx = f(y).g(x) также можно записать как dy/f(y) = g(x) dx, разделив переменные и тогда мы можем решить уравнение интегрированием. Рассмотрим пример дифференциального уравнения первого порядка и найдем его решение методом разделения переменных.
Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение dy/dx = (5y + 4)x.
Сохраняя переменную y в левой части уравнения и x в правой части уравнения, мы имеем
dy/dx = (5y + 4)x
⇒ dy/(5y + 4) = xdx
Теперь, интегрируя обе сторон уравнения имеем
∫dy/(5y + 4) = ∫ x dx
⇒ (1/5) ln |5y + 4| = x 2 /2 + C
⇒ ln |5y + 4| = 5 (x 2 /2 + C)
⇒ ln |5y + 4| = 5x 2 /2 + 5С
⇒ 5y + 4 = e 5x 2 /2 + 5C
⇒ y = (1/5) [e 5x 2 /2 + 5C – 05 = 1900 /5)e 5x 2 /2 e 5C – 4/5
⇒ y = Ke 5x 2 /2 – 4/5, где K = (1/54)e 5C
Следовательно, y = Ke 5x 2 /2 – 4/5 является общим решением дифференциального уравнения первого порядка dy/dx = (5y + 4)x.
Решение дифференциального уравнения первого порядка с использованием интегрирующих коэффициентов
Дифференциальное уравнение первого порядка вида dy/dx + y P(x) = Q(x) может быть решено с использованием метода интегрирующих факторов. Мы можем выполнить указанные шаги, чтобы найти общее решение дифференциального уравнения:
- Шаг 1: Упростите дифференциальное уравнение первого порядка и выразите его как dy/dx + y P(x) = Q(x)
- Шаг 2: Определите интегрирующий коэффициент, заданный I.F. = е ∫P(x) dx
- Шаг 3: Умножьте дифференциальное уравнение dy/dx + y P(x) = Q(x) на I.F. чтобы получить d(y × I.F.)/dx = Q(x) × I.F.
- Шаг 4: Теперь проинтегрируйте обе части уравнения d(y × I.F.)/dx = Q(x) × I.F. чтобы получить общее решение.
Давайте решим дифференциальное уравнение первого порядка, используя метод интегрирующих коэффициентов, чтобы понять его применение.
Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение xy’ + 3y = 4x 2 – 3x.
Сначала запишем данное дифференциальное уравнение первого порядка в виде y’ + y P(x) = Q(x)
Деление xy’ + 3y = 4x 2 – 3x на x, мы имеем
y’ + (3/x) y = 4x – 3
Здесь P(x) = 3/x и Q(x) = 4x – 3
Теперь интегрирующий коэффициент I.F. = e ∫P(x) dx = e ∫(3/x) dx = e 3ln x = x 3
Умножение дифференциального уравнения первого порядка y’ + (3/x) y = 4x - 3 по И.Ф. = x 3 , имеем
x 3 (y’ + (3/x) y) = x 3 (4x – 3)
⇒ x 3 y’ + 3x 2 = 4x 4 – 3x 3
⇒ D (YX 3 )/DX = 4x 4 – 3x 3
Интегрируя обе стороны уравнения в соответствии с X, мы получаем
⇒ d(yx 3 )/dx] dx = ∫(4x 4 – 3x 3 ) dx
⇒ yx 3 = (4/5)x x 5 ) 4 + C
⇒ y = (4/5)x 2 – (3/4)x + Cx -3
Отсюда общее решение дифференциального уравнения первого порядка xy’ + 3y = 4x 2 – 3x с использованием метода интегрирующего коэффициента: y = (4/5)x 2 – (3/4)x + Cx -3
Задача начального значения Дифференциальное уравнение первого порядка
Дифференциальное уравнение задачи с начальным значением первого порядка имеет форму F(x, y, y’) = 0 и начальное значение y(x 0 ) = y 0 , где x 0 – фиксированное значение x и y 0 являются соответствующими значениями y и (x 0 ,y 0 ) удовлетворяют общему решению y(x).
Начальное значение дифференциального уравнения помогает найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка. Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как определить решение дифференциального уравнения, используя начальное значение.
Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка y’ = x 2 + 1, y(1) = 4
Сначала оценим общее решение данного дифференциального уравнения. У нас есть dy/dx = x 2 + 1, которое можно решить, разделив переменные.
dy/dx = x 2 + 1
⇒ dy = (x 2 + 1) dx
Интегрируя обе части уравнения, получаем ) дх
⇒ y = x 3 /3 + x + C, что является общим решением данного дифференциального уравнения первого порядка.
У нас есть y(1) = 4. Подставьте это в общее решение, чтобы определить значение C и, следовательно, частное решение.
4 = 1 3 /3 + 1 + C
⇒ C = 4 – 1/3 – 1
= 3 – 1/3
= 8/3
Следовательно, y = 4 = y4 x 3
/3 + x + 8/3 есть частное решение дифференциального уравнения начальной задачи y’ = x 2 + 1, y(1) = 4.
Важные замечания о дифференциальном уравнении первого порядка и электрические цепи. Связанные темы по дифференциальному уравнению первого порядка Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении первого порядка
Что такое дифференциальное уравнение первого порядка в исчислении?
Дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение, в котором максимальный порядок производной равен единице, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в этом уравнении. Дифференциальное уравнение первого порядка обычно имеет вид F(x, y, y’) = 0,
Что такое линейное дифференциальное уравнение первого порядка?
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид y’ + y P(x) = Q(x) или dy/dx + y P(x) = Q(x), где y, P, Q — функции x, а y’ — производная первого порядка от y.
Такие дифференциальные уравнения имеют степень производной, равную единице, поэтому их называют линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.
Что такое однородное дифференциальное уравнение первого порядка?
Дифференциальное уравнение первого порядка M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 называется однородным, если и M(x, y), и N(x, y) однородны. Мы можем написать однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида y’ + p(x)y = 0,
Как найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка?
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка можно оценить с помощью метода разделения переменных или метода интегрирующего фактора.
Как найти интегрирующий коэффициент дифференциального уравнения первого порядка?
Коэффициент интегрирования дифференциального уравнения первого порядка dy/dx + y P(x) = Q(x) можно рассчитать по формуле I.F. = е ∫P(x) dx .
Что такое дифференциальное уравнение первой степени первого порядка?
Дифференциальное уравнение первой степени первого порядка — это дифференциальное уравнение, содержащее производную первого порядка, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в этом уравнении, а степень производной равна единице.
Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?
Дифференциальное уравнение первого порядка может быть решено с использованием различных методов, таких как разделение переменных, интегрирование множителей или изменение параметров.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Самир Хан, Гильермо Темпладо, Адитья Нараян Шарма, а также
способствовал
Содержимое
- Интегрирующие факторы
- Решение уравнений
- Приложения
Интегрирующим коэффициентом будет функция f(x)f(x)f(x), умноженная на обе части уравнения,
f(x)[y′+p(x)y]=f (x)q(x)f(x)y′+f(x)p(x)y=f(x)q(x),\begin{выровнено} f(x) \left[ y’+p(x)y \right] &= f(x)q(x) \\ \\ f(x)y’+f(x)p(x)y &= f(x)q(x), \end{выровнено}f(x)[y′+p(x)y]f(x)y′+f(x)p(x)y=f(x)q(x)=f(x) q(x),
дает выражение в левой части, которое можно интегрировать с правилом антипроизведения.
{\ int p (x) \, dx}.
\end{align}f(x)f'(x)dx=p(x)dx⟹∫f(x)f'(x)dx=∫p(x)dx⟹ln∣f(x) ∣=∫p(x)dx⟹f(x)=e∫p(x)dx. 9{-2t}y(t)=21(t−t1)e−2t
Предположим, что yyy удовлетворяет уравнению y′+ytanx=secx.y’+y\tan x=\sec x.y′+ytanx=secx.
y(π4)=12.y\влево (\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}. у(4π)=21.
Каково значение y(π2)?y\left (\dfrac{\pi}{2}\right)?y(2π)?
Многие физические системы могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.
Предположим, есть цепь с последовательно включенными переключателем, батареей, резистором и катушкой индуктивности. Батарея производит напряжение 45 вольт и ток I(tI(tI(t ампер) в момент времени ttt. Резистор представляет собой 9Резистор 99 Ом, а катушка индуктивности имеет индуктивность 333 генри. Если ключ был первоначально замкнут, какова сила тока в цепи спустя долгое время после того, как ключ был разомкнут?
Закон Ома гласит, что падение напряжения на резисторе составляет 9I(t)9I(t) 9I(t) вольт.
Падение напряжения на катушке индуктивности составляет 3I′(t)3 I’(t)3I′(t). Законы Кирхгофа говорят, что сумма падений напряжения равна приложенному напряжению, поэтому мы находим 3I′(t)+9I(t)=45 ⟹ I′(t)+3I(t)=15. 3I'(t)+9I(t)=45\имеется I'(t)+3I(t)=15,3I'(t)+9{-3t}+5.I′(t)e3t+3e3tI′(t)=15e3t⟹[I(t)e3t]′=15e3t⟹I(t)e3t=5e3t+C⟹I(t)=Ce− 3т+5. При t→∞t\to\inftyt→∞ мы видим, что I(t)→5I(t)\to 5I(t)→5, поэтому ток после длительного времени составляет 5 ампер.Процитировать как: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/first-order-linear-diversial-equations/
Дифференциальные уравнения первого порядка – Учебники по математическому анализу
Рассмотрим ОДУ первого порядка, когда самая высокая производная в уравнении является первой производной.
$y’=f(t,y)$, $y(t_{0})=y_{0}$
- $y’=f(t,y)$, $y(t_ {0})=y_{0}$ есть решение?
- Если да, то можем ли мы найти формулу решения?
Первый вопрос решается легко:
Предположим, что $f(t,y)$ и $\frac{\partial f(t,y)}{\partial y}$
непрерывный на замкнутом прямоугольнике $R$ плоскости $ty$.
Если
$(t_{0},y_{0}) \in R$, то IVP , ОДУ вместе с заданным начальным условием,
$$
y’=f(t,y), \quad y(t_{0})=y_{0}
$$
имеет единственное решение $y(t)$ на некотором $t$-интервале, содержащем $t_{0}$.
Второй вопрос гораздо сложнее, и часто нам приходится прибегнуть к численным методам. Однако в этом руководстве мы рассмотрим четыре из наиболее часто используемых аналитических методов решения для первого порядка ОДЫ.
Разделение переменных
Если ОДУ можно записать в виде $$ \frac{\partial y}{\partial t}=\frac{g(t)}{h(y)}, $$, то ODE, как говорят, разъемный . В этом случае простой метод решения может быть получен следующим образом:
Предположим, $y=f(t)$ решает ОДУ. Переписывая ОДУ как $h(y)y’=g(t)$,
$$\begin{array}{rcl} h(f(t))f'(t) &= &g(t) \\ \int h(f(t))f'(t)dt &= & \int g(t)dt +C \\ \int h(y)dy & = & \int g(t)dt +C. \end{массив}$$
Поскольку $y=f(t)$, $y’=f’(t)$.
Интегрирование по $t$ с каждой стороны.
{4}. \end{массив}$$ 9{2}}-\frac{1}{2}$.
Для практики решите $y’ = \frac{4y}{t}$, представив его в виде нормальной линейной форме и с использованием интегрирующего коэффициента. Убедитесь, что вы получаете то же самое результат, как мы сделали, разделив переменные.
Использование замены переменных
Часто ОДУ первого порядка, которое не является ни сепарабельным, ни линейным, может быть упрощается до одного из этих типов путем замены переменных. Вот несколько важных примеров:
Однородное уравнение порядка 0 9{2}+ F(t)$. Если известно одно частное решение $g(t)$, используйте замену переменных $z=\frac{1}{y-g}$, чтобы преобразовать ОДУ в $\frac{dz}{dt}+ (a+2bg) z=-b$, который является линейным.
При использовании замены переменных решить преобразованное ОДУ, а затем вернуться к исходным переменным, чтобы получить общее решение исходного ОДУ. Часто вам придется оставить свое решение в неявной форме.
Пример
Решим ОДУ $\frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{x-4y}$.
Чтобы увидеть, что это
однородна порядка 0, заметим, что
$$
f(kx,ky)= \frac{ky-kx}{kx-4ky}=\frac{y-x}{x-4y}=f(x,y).
$$
9{3}(2y-x) = C$, записывается неявно.
Нахождение интеграла для точного уравнения
ОДУ $N(x,y)y’ + M(x,y) = 0$ является точным уравнением, если $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}$ в области $xy$-плоскости. Если мы сможем найти функцию $H(x,y)$ для которые $\frac{\partial H}{\partial x}= M$ и $\frac{\partial H}{\partial y}= N$, то $H(x,y)$ называется интегралом ОДУ и $H(x,y) = C$ — общее решение исходного ОДУ.
Чтобы найти $H(x,y)$, заметим, что $$ H(x,y) = \int M(x,y)dx + g(y) $$ для некоторого $g(y)$, поскольку $ \frac{\partial H}{\partial x}= M(x,y)$. Чтобы найти $g(y)$, вычислите $$ \frac{\partial H}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y} \left[ \int M(x,y)dx \right ] + g'(y) $$ и приравняем его к $N(x,y)$. Найдите $g'(x,y)$ , который не зависит от $ x $, и проинтегрируйте по $y$, чтобы получить $g(y)$ и, таким образом, $H(x,y)$, явно .
Обратите внимание, что наше решение $H(x,y) = C$ записано в неявной форме. В качестве альтернативы мы можем начать с $H(x,y) = \int N(x,y)dy + h(x)$ для некоторого $h(x)$ и продолжить соответствующим образом. 9{2}-3x+4y=С. $$
Ключевые понятия
[Я готов пройти тест.]
[Мне нужно просмотреть больше.]
Как решать линейные дифференциальные уравнения (первого порядка) — Криста Кинг Математика
Конкретная форма линейного дифференциального уравнения
Здесь мы будем обсуждать линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Помните из введения к этому разделу, что это обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка будет представлено в виде
[A] ???\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)???
где ???P(x)??? и ???Q(x)??? являются функциями ???x???, независимой переменной.
Давайте поговорим о том, как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Как решать линейные дифференциальные уравнения 92???
Очень важно, чтобы форма дифференциального уравнения точно соответствовала [A] . Чтобы получить ???dy/dx??? само по себе в нашем уравнении нам нужно разделить обе части на ???x???.
[1] ???\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=x???
Сопоставляя [1] с [A] выше, мы видим, что
???P(x)=-\frac{2}{x}???
и
???Q(x)=x???
Как только мы достигли точки, в которой мы идентифицировали ???P(x)??? и ???Q(x)??? из стандартной формы нашего линейного дифференциального уравнения первого порядка наш следующий шаг — определить «интегрирующий коэффициент» нашего уравнения. Для нахождения интегрирующего множителя воспользуемся формулой 9{2x}}???
Это общее решение линейного дифференциального уравнения.
Получите доступ к полному курсу «Дифференциальные уравнения»
Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения, первый порядок, дифференциальные уравнения первого порядка, обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные ДУ
0 лайковЧисленность, математика и статистика — набор академических навыков
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
ContentsToggle Главное меню 1 Определение 2 Решение методом подстановки 3 Примеры работы 4 Пример видео 5 См. также 6 Внешние ресурсы
Определение
Дифференциальное уравнение первого порядка является однородным , если он принимает вид:
\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=F\left(\frac{y}{x}\right),\ ]
где $F\left(\dfrac{y}{x}\right)$ — однородная функция. В данном контексте однородным называется функция от $x$ и $y$, которая остается неизменной при умножении обоих аргументов на константу, т. е. 9.2}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+y=0.
\]
Различные типы однородных уравнений представляют собой совершенно разные объекты, и важно не путать их. два.
Решение подстановкой
Однородное дифференциальное уравнение часто можно решить, сделав замену $v(x)=\dfrac{y}{x}$, где $v=v(x)$ — функция $x .$ Перестановка дает $y=vx$.
Выражение для $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ через $x$ и $v$ можно найти, продифференцировав обе части $y=xv$ относительно $x$:
\[\begin{align} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Bigl[xv \Большой]\\ &= v + x \ frac{\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}. \end{align}\]
Обратите внимание, что правило произведения использовалось для различения правой части.
Это можно выразить более компактно, используя простую запись:
\[y’ = v + xv’.\]
Напомним, что общая форма однородного дифференциального уравнения первого порядка:
\[y’=F \left(\frac{y}{x}\right).\]
Подстановка $y’=v+xv’$ и $v(x)=\dfrac{y}{x}$ в уравнение дает:
\[v+xv’=F(v).
2}.\] 9{-2} \mathrm{d} v &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \mathrm{d} x, \\
-\frac{1}{1-v} &= \frac{1}{2}\ln(x) + C, \end{align}\]
, где $C$ — произвольная константа интегрирования.
Чтобы выразить это уравнение в $v$ через $y$ и $x$, подставьте обратно, используя $v = \dfrac{y}{x}$, чтобы получить:
\[-\frac{1}{1 -\frac{y}{x} } = \frac{1}{2}\ln(x) + C.\]
Наконец, это можно изменить, чтобы найти $y$ как функцию $x$:
Сначала положим $\ln(D)=C$, затем по законам логарифмов: 92,\]
с помощью замены $y = \dfrac{1}{v}$.
Решение
Первый шаг — выразить $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ через $v$. Для этого продифференцируем данную замену:
\[\begin{align} y &= \frac{1}{v}, \\ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} & = \ frac {\ mathrm {d {\ mathrm {d} x} \left ( \ frac {1} {v} \Правильно). \end{align}\]
Цепное правило используется для дифференцирования правой части:
\[\begin{align} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} & = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} \ cdot \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} v} \ left ( \ frac {1} {v} \ Правильно), \\
\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} &= – \ frac {1} {v ^ 2} \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}.
{-\ln(x)} = \frac{1}{x},\] 92}v = -\frac{1}{x}.\]
Левая часть может быть выражена как единственная производная (в результате правила произведения), и уравнение принимает вид:
\[\ frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( \frac{1}{x}v \right) = -\frac{1}{x}.\]
Интегрирование обеих частей дает решение в терминах $v$:
\[\begin{align} \int\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( \frac{1}{x}v \ справа) &=\int -\frac{1}{x} \\ \frac{1}{x}v &= -\ln(x) + C. \конец{выравнивание}\]
Решение в терминах $y$ можно найти, вспомнив исходную замену $y=\dfrac{1}{v}$. Преобразование этого дает $v = \dfrac{1}{y}$, а подстановка этого в решение для $v$ дает:
\[\frac{1}{xy} = – \ln(x) + C. \]
Преобразование дает решение, выраженное в форме $y=y(x)$:
\[\begin{align} \frac{xy}{1} &= \frac{1}{-\ln (х) + С}, \\ xy &= \frac{1}{C – \ln(x)}, \\ y &= \frac{1}{x \left( C – \ln(x) \right)}. \конец{выравнивание}\] 92$.
vimeo.com/video/30080791″ frameborder=”0″ webkitallowfullscreen=”” mozallowfullscreen=”” allowfullscreen=””> Видеопример
Профессор Робин Джонсон находит общее решение $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{3y-4x}{x}$.
См. также
- Разделяемые ОДУ
- Коэффициент интегрирования
Внешние ресурсы
- Видео по однородным уравнениям первого порядка в Академии Хана.
Дифференциальные уравнения первого порядка – Дифференциальные уравнения
Все ресурсы по дифференциальным уравнениям
1 Диагностический тест 29 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 Следующая →
Дифференциальные уравнения Помощь » Дифференциальные уравнения первого порядка
Решить данное дифференциальное уравнение путем разделения переменных.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Для решения этого дифференциального уравнения используйте разделение переменных. Это означает, что все термины, содержащие , переместите в одну часть уравнения, а все термины, содержащие , — в другую.
Сначала умножьте каждую сторону на .
Теперь разделите на обе стороны.
Затем разделите на обе стороны.
Отсюда возьмите интеграл от обеих сторон. Запомните правила для логарифмических функций, поскольку они будут использоваться в этой задаче.
Сообщить об ошибке
Решить следующее дифференциальное уравнение Пояснение:
Итак, это разделимое дифференциальное уравнение. Первый шаг — переместить все члены x (включая dx) в одну сторону, а все члены y (включая dy) — в другую.
Итак, дифференциальное уравнение, которое мы получили:
Что в перестановке выглядит так:
В этот момент, чтобы найти y, нам нужно взять первообразную обеих сторон:
Что равно:
А поскольку это первообразная без границ, нам нужно включить общую константу C
Итак, находя y, мы возводим e в степень обеих сторон:
что в упрощенном виде дает нам наш ответ:
Сообщить об ошибке
Решите следующий разделимый дифференциал уравнение: с .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Самый простой способ решить разделимое дифференциальное уравнение — переписать как и, злоупотребив обозначениями, «умножить обе части на dt». Это дает
.
Затем мы получаем все члены y с помощью dy и все члены t с помощью dt и интегрируем.
Таким образом,
Комбинируя константы интегрирования и возведения в степень, имеем
Плюс минус и могут быть объединены в другую произвольную константу, что даст .
Подключение к нашему первоначальному условию, мы имеем
и
Отчет о ошибке
Решение общего решения для ODE:
Возможные ответы:
999999, где C. IS C. IS C. IS C. IS C. IS C. IS C. IS C. IS C. IS C. C. IS C. IS C. C. произвольная константагде C – произвольная константа
, где C является произвольной постоянной
, где C является произвольной постоянной
Правильный ответ:
, где C – арбит
9000, где C является арбитральным константом
9000, где C является Arbitrary Constantaint
9000, где C является арбит.
Объяснение:
Сначала дифференциальное уравнение можно разделить на:
А затем просто проинтегрировать до:
Сообщить об ошибке
Разделимо ли следующее дифференциальное уравнение? Если да, то как уравнение разделяется?
Возможные ответы:
Дифференциальное уравнение сепарабельно и принимает вид:
Дифференциальное уравнение сепарабельно и принимает вид:
Это дифференциальное уравнение, следовательно, не является сепарабельным.
Дифференциальное уравнение разделимо и принимает вид:
Правильный ответ:
Дифференциальное уравнение разделимо и принимает вид:
Объяснение:
Используя экспоненциальные правила, мы замечаем, что становится . Это означает, что дифференциальное уравнение
эквивалентно следующему: ?
Возможные ответы:
Дифференциальное уравнение неразделимо.
Дифференциальное уравнение разделимо и принимает вид:
Дифференциальное уравнение разделимо и принимает вид:
Дифференциальное уравнение разделимо и принимает вид:
0 Правильный ответ: 90 0 отделимый.
Объяснение:
Дифференциальное уравнение не может быть записано в виде и поэтому не является разделимым.
Сообщить об ошибке
Решить данное дифференциальное уравнение с разделением переменных.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Для решения этого дифференциального уравнения используйте разделение переменных. Это означает, что все термины, содержащие , переместите в одну часть уравнения, а все термины, содержащие , — в другую.
Сначала умножьте каждую сторону на .
Теперь разделите на обе стороны.
Затем разделите на обе стороны.
Отсюда возьмите интеграл от обеих сторон. Запомните правила для логарифмических функций, поскольку они будут использоваться в этой задаче.
Сообщить об ошибке
Решите следующую задачу с начальным значением: , .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Это разделимое дифференциальное уравнение. Самый простой способ решить эту проблему — сначала переписать как , а затем, злоупотребив обозначением, «умножить обе части на dt». Это дает . Затем сгруппируйте все термины y с помощью dy и проинтегрируйте, чтобы получить . Решая для y, мы имеем . Подставив наше условие, находим . Возводя обе части в степень -1/3, мы видим .
Таким образом, наше окончательное решение равно
Сообщить об ошибке
Решите следующее уравнение Объяснение:
Это разделяемая ода, поэтому перестройка
Интеграция
Подключение в начальном условии и решение дает
Решение для US
9000Сообщить об ошибке
Найдите общее решение данного дифференциального уравнения и определите, есть ли какие-либо переходные члены в общем решении.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала разделите на обе части уравнения.
Определите термин фактора.
Проинтегрировать коэффициент.
Подставьте это значение обратно и проинтегрируйте уравнение.
Теперь разделите на , чтобы получить общее решение.