Примеры с решением интегралы простые: Примеры решения интегралов с ответам

Примеры решения интегралов с ответам

Алгоритм решения интегралов

Теорема

Неопределённым интегралом функции называется множество всех первообразных этой функции.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции, т.е., если – первообразная функции , то:

Операция интегрирования является операцией обратной операции дифференцирования.

Определённым интегралом функции на отрезке называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.

Алгоритм

Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

   

Для нахождения интегралов функций, используются свойства интегралов, а также таблица интегралов.

Таблица основных интегралов, – постоянная величина

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Примеры решений интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

По таблице интегралов находим:

   

Ответ

   

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

По таблице интегралов находим:

   

Ответ

   

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

По таблице интегралов находим:

   

Ответ

   

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Вынося постоянный множитель 7 за знак интеграла, по таблице интегралов находим:

   

Ответ

   

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

   

Ответ

   

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

   

Ответ

   

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

   

Ответ

   

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

   

Ответ

   

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

   

Далее найдём каждый интеграл суммы:

   

   

   

Ответ

   

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

   

Далее, применяя таблицу интегралов, находим интегралы функций синус и косинус:

   

Ответ

   

Средняя оценка 3 / 5. Количество оценок: 46

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

46642

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

высшая математика для чайников интегралы

Вы искали высшая математика для чайников интегралы? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и высшая математика интегралы, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «высшая математика для чайников интегралы».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как высшая математика для чайников интегралы,высшая математика интегралы,высшая математика интегралы для чайников,вычислить интеграл примеры решений,вычислить неопределенный интеграл примеры решений,задания интегралы,интеграл как брать,интеграл как находить,интеграл как решать,интеграл как решать примеры,интеграл матпрофи,интеграл пример,интеграл примеры,интеграл примеры решения,интегралы высшая математика,интегралы высшая математика для чайников,интегралы для чайников,интегралы для чайников как решать,интегралы для чайников примеры решения,интегралы задания,интегралы задачи,интегралы как находить,интегралы как решать,интегралы как решать примеры,интегралы неопределенные,интегралы неопределенные примеры решений,интегралы определенные примеры,интегралы примеры,интегралы примеры решения,интегралы примеры решения для чайников,интегралы примеры с решением,интегралы простые,интегралы с нуля,интегралы с нуля простым языком,интегрирование примеры,интегрирование сложной функции,интегрирование сложных функций,интегрирования примеры,как брать интеграл,как вычислить интеграл для чайников,как интегрировать,как найти неопределенный интеграл примеры,как находить интеграл,как находить интегралы,как решать интеграл примеры,как решать интегралы для чайников,как решать интегралы неопределенные,как решать интегралы определенные,как решать интегралы примеры,как решать интегралы примеры решения,как решать неопределенные интегралы,как решать неопределенные интегралы для чайников,как решать неопределенный интеграл,как решать определенные интегралы,как решать определенные интегралы примеры решения,как решать определенный интеграл,как решать первообразные,как решить интеграл определенный,как решить определенный интеграл,матпрофи интегралы,методы решения интегралов,неопределенные интегралы,неопределенные интегралы как решать,неопределенные интегралы примеры,неопределенные интегралы примеры с решением,неопределенные интегралы сложные,неопределенный интеграл для чайников,неопределенный интеграл как решать,неопределенный интеграл примеры,неопределенный интеграл примеры решений,неопределенный интеграл примеры решения,неопределенный интеграл примеры с решениями,неопределенный интеграл решения примеры,неопределенный интеграл формулы,определенные интегралы для чайников,определенные интегралы как решать,определенные интегралы примеры с решением,определенный интеграл для чайников,определенный интеграл как решать,определенных интегралов примеры с решением,первообразная примеры,первообразная примеры решения,первообразная примеры с решением,первообразные как решать,правила интегрирования неопределенного интеграла,пример интеграл,примеры интегралов,примеры интегралов неопределенных,примеры интегралов с решением,примеры интегралов с решением для студентов,примеры интегралы с решением,примеры интегрирования,примеры неопределенные интегралы,примеры неопределенных интегралов,примеры неопределенных интегралов с решением,примеры первообразных с решением,примеры решений интегралов,примеры решений неопределенный интеграл,примеры решений неопределенных интегралов,примеры решения интегралов,примеры решения интегралов неопределенных,примеры решения интегралов с ответами,примеры решения неопределенных интегралов,примеры с решением интегралов,примеры с решением неопределенных интегралов,примеры с решением определенных интегралов,примеры с решением первообразных,примеры с решениями определенный интеграл,простейшие интегралы,решение интегралов для чайников,решение интегралов определенных примеры,решение интегралов примеры,решение определенных интегралов примеры с решением,сложные неопределенные интегралы,способы решения интегралов,формулы неопределенный интеграл.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и высшая математика для чайников интегралы. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, высшая математика интегралы для чайников).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же высшая математика для чайников интегралы Онлайн?

Решить задачу высшая математика для чайников интегралы вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Примеры базовых интеграций и решения

Пример 1:

Интеграция следующего в отношении X

∫ x ¹¹ DX

Решение:

∫ x DX = x. ^{(11 + 1)} /(11 + 1) + C

= ( x ¹² /12) + C

Пример 2:

Интегрируйте следующее с уважением к X

.

∫ (1/x ⁷ ) DX

Решение:

∫ (1/x ⁷ ) DX = ∫ x ^-7 DX

= 9003 ^{(-7 + 1)} /(-7 + 1) + c

=  x ^-6 /(-6) + c

=  (-1/6x ⁶ ) + c

Пример 3 :

Проинтегрируйте следующее по x

∫ ∛x ⁴ dx

Решение:

∫ ∛x ⁴  dx  =  ∫ x ^4/3  dx

=  x ^{[(4/3/4) + 01) [(4/3/4) + 01] ] + c}

=  x ^7/3 /(7/3) + c

=  (3/7) x ^7/3 + c

Пример 4 :

Интегрируем следующее отношение с x

∫ (x ⁵ ) ^1/8 dx

Решение:

∫ (x ⁵ ∫ ∫ 9x 9010 0 1/8 9010 1/8 ^{1/80010 5/8}  dx

=  x ^{[(5/8) + 1]} /[(5/8) + 1] + c

=  x ^13/8 /(13/8) + c

= (8/13) x ^13/8 + C

Пример 5:

Интегрируйте следующее в отношении x

∫ (1/SIN ² x) DX

Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение: Решение

∫(1/sin ² x) dx  =  ∫cosec ² x dx

=  -cot x + c

0006

∫ (tan x / cos x) dx

Решение:

∫(tan x / cos x) dx  =  ∫tan x (1/cos x) dx

 = 90 6 ∫tan x 90 сек0 x 0 0 = Sec x + c

Пример 7:

Интегрировать следующее относительно x

∫ (cos x / sin ² x) dx

Решение:

∫ (cos x / sin ²  x) dx  =  ∫(cosx/sinx) (1/ sinx) dx

=  ∫cot x cosec x dx

=  – cosec x + c

Пример 8:

Интегрировать следующее в отношении X

∫ (1 / COS ² x) DX

Решение:

∫ (1 / COS ² x) DX = ∫ SEC ² X DX

= TAN X + C

Пример 9:

Интегрировать следующее относительно x

∫ 12 ³ DX

Решение:

∫ 12 ³ 11111111103. дх = 12 ³ х + с

Пример 10:

Интегрировать следующее в отношении X

∫ (x ²⁴ /x ²⁵ ) DX

Решение:

∫ (x ²⁴ /x ²⁵ ) Dx = ∫ x ^{24- 25} DX

= ∫ x ^-1 DX

= ∫ (1/x) DX

= log x + c

Пример 11:

. следующее относительно x

∫ e ^x DX

Решение:

∫ E ^x DX = E ^x + C

Пример 12:

Интегрируйте следующее относительно x

∫ (1 + x ² ) ^-1 DX

Решение:

∫ (1 + x ² ) ^-1 DX = ∫ 1/(1 + x ² ) DX

= TAN ^-1 x + c

Пример 13 :

Интегрируем следующее по x

∫ (1 – x ² ) ^-1/2 DX

Решение:

∫ (1 – x ² ) ^-1/2 DX = ∫ 1/(1 – x ² ) ^1/2 DX

= ∫ 1/√ (1 – x ² ) DX

= SIN ^-1 x + C

Помимо того, что приведен выше, если вы нужны какие-либо другие материалы по математике, пожалуйста, используйте наш пользовательский поиск Google здесь.

Пожалуйста, присылайте свои отзывы на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Примеры тройных интегралов — Math Insight

Пример 1

Длина стороны куба равна 4. Пусть один угол лежит на начало координат и смежные углы лежат на положительных $x$, $y$ и $z$ оси.

Если плотность куба пропорциональна расстоянию от плоскости xy, найти его массу.

Решение : Плотность куба равна $f(x,y,z) = kz$ для некоторой постоянной $k$. 92\le 1/2$.

Дополнительная информация об апплете.

Тень, параллельная плоскости $xy$, представляет собой максимальный диапазон $x$ и $y$ по всем точкам внутри $\dlv$. Внутри льда кремовый рожок, максимальный диапазон $x$ и $y$ возникает там, где два поверхности сходятся, т. е. там, где «мороженое» (полусфера) встречается с конус. Из рисунка видно, что поверхности сходятся в круг, а диапазон $x$ и $y$ — это диск, который является внутренней частью того круга.

2 \le \frac{1}{2} \label{shadow} \end{выравнивание} удовлетворен. Это неравенство описывает тень рожка мороженого, которая представляет собой множество точек $(x,y)$, лежащих на диске радиуса $1/\sqrt{2}$, как показано ниже. 92}} дз\,ди\,дх. \конец{выравнивание*} Мы не будем пытаться вычислить этот интеграл в прямоугольной форме. координаты. Как только вы научитесь заменять переменные в тройных интегралах, вы сможете прочитайте, как вычислить интеграл, используя сферические координаты.

Пример 4

Найти объем тетраэдра, ограниченного координатой плоскости и плоскости через $(2,0,0)$, $(0,3,0)$ и $(0,0,1)$.

Загрузка апплета

Тетраэдр. Тетраэдр ограничен координатными плоскостями ($x=0$, $y=0$ и $z=0$) и плоскостью, проходящей через три точки (2,0,0), (0,3,0 ) и (0,0,1).

Дополнительная информация об апплете.

Решение : Мы знаем уравнения для трех поверхностей тетраэдра, так как они являются уравнениями для координатных плоскостей: $x=0$, $y=0$ и $z=0$. В качестве начального шага мы можем найти уравнение для наклонной плоскости. Вы можете следить процедура во втором примере формирующей плоскости, чтобы вычислить, что плоскость задается уравнением \начать{выравнивать} 3x + 2y + 6z = 6. \label{plane_equation} \end{выравнивание}

Чтобы найти границы тетраэдра, мы снова воспользуемся методом теней, но на этот раз будем считать ось $y$ вертикальной осью. Вы можете представить, что солнце, отбрасывающее тень, находится в какой-то точке далеко на положительной оси $y$.

При такой ориентации тень тетраэдра является максимальным диапазоном $x$ и $z$ по тетраэдру. Поскольку тетраэдр расширяется в направлениях $x$ и $z$ при уменьшении $y$, тень тетраэдра является в точности основанием тетраэдра в плоскости $xz$ (плоскость $y=0$), который представляет собой треугольник, изображенный ниже.

К интегралу по этой тени подходим как к двойному интегралу. В этой тени (и, следовательно, в самом тетраэдре) полный пробег $z$ равен \начать{выравнивать*} 0 \le z \le 1. \конец{выравнивание*} Чтобы найти диапазон $x$ для каждого значения $z$, вы можете рассчитать по фигуре тени, что верхний предел $x$ — это линия $z=1-x/2$ или $x=2 (1-я)$. Учитывая, что нижний предел $x$ равен нулю, диапазон $x$ в тени для заданного $z$ равен \начать{выравнивать*} 0 \le x \le 2(1 – z). \конец{выравнивание*} В качестве альтернативы вы могли видеть, что верхний предел $x$ соответствует плоскость, заданная уравнением \eqref{plane_equation} при $y=0$. Подключаем $y=0$ в уравнение \eqref{plane_equation} дает $3x + 6z=6$ или $x = 2(1-z)$.

Для каждого значения $x$ и $z$ в тени нам нужно проинтегрировать $y$ снизу вверх (рассматривая $y$ как вертикальную ось). С этой точки зрения низ находится в плоскости $y=0$, а верх — наклонная плоскость уравнения \eqref{plane_equation}, которое мы можем решить для $y$ записать как $y=3(1-x/2-z)$. Следовательно, для заданных $z$ и $x$ диапазон $y$ \начать{выравнивать*} 0 \le y \le 3\left(1 – \frac{x}{2} – z\right). \конец{выравнивание*}

Чтобы найти объем, мы интегрируем функцию 1 по этой области: \начать{выравнивать*} &\int_0^1 \int_0^{2(1-z)} \int_0^{3(1-x/2-z)} dy \, dx \, dz\\ &\qquad = \int_0^1 \int_0^{2(1-z)} 3\left(1 – \frac{x}{2} – z \right) dx \, дз\\ &\qquad = \int_0^1 3\left. 1\right.\\ &\qquad = 3\left(1 – 1 +\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right) = 1. \конец{выравнивание*} 9{3(1-x/2-z)} dy \, dx \, dz, \конец{выравнивание*} так что порядок будет $dx \, dy \, dz$.

Решение : Один из способов изменить порядок интегрирования — построить график тетраэдра из пределов интеграла, а затем повторить процедуру примера 4, но пусть тень отбрасывается от положительного $x$ -ось. Вместо этого мы проиллюстрируем альтернативную процедуру вычисления новых пределов непосредственно из неравенств старых пределов.

Если $y$ будет средним интегралом, нам нужны пределы $y$ через $z$ (независимо от $x$).

Для данного $z$, насколько большим может быть диапазон $y$? Из приведенных выше пределов мы знать \начать{выравнивать*} 0 \le y \le 3\left(1 – \frac{x}{2} – z\right). \конец{выравнивание*} Диапазон самый большой, когда $x=0$, поэтому \начать{выравнивать*} 0 \le y \le 3\влево(1 – z\вправо) \конец{выравнивание*}

Затем, учитывая $z$ и $y$, нам нужно знать диапазон $x$.