Примеры с решением неопределенных интегралов: Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Содержание

Примеры решения интегралов

Формулы и уравнения неопределенных интегралов здесь.

Пример. Метод непосредственного интегрирования неопределенного интеграла.

Дано: интеграл
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

Решение:
Метод непосредственного интегрирования: воспользовавшись свойством линейности

применяя тождественные преобразования подынтегрального выражения, исходный интеграл сводится к нескольким более простым, которые могут быть вычислены непосредственно по таблице интегралов.

Используя вышеприведенное, применив основное тригонометрическое тождество , получим следующее:

Далее, разделив каждое слагаемое числителя подынтегрального выражения на знаменатель и воспользовавшись таблицей интегралов от элементарных функций (ссылка) получим следующее:

Ответ:

Пример.

Метод интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Дано: интеграл
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.

Решение:
Метод интегрирования по частям: подынтегральное выражение представляем в виде произведения некоторой функции u на дифференциал другой функции dv: . Далее, используя формулу интегрирования по частям заменяем исходный интеграл другим который, как правило, более простой для вычисления.

Применим вышесказанное к нашему интегралу. Считаем , тогда

Воспользовавшись вышеприведенной формулой, в итоге получим следующее:

Ответ:

Пример. Метод замены переменной неопределенного интеграла.

Дано: интеграл
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной.

Решение:
Метод замены переменной: вместо исходной переменной x, вводится новая переменная k, связанная с x соотношением: , где — дифференцируемая функция переменной x.

Применяем вышеприведенное к нашему интегралу, обозначаем через новую переменную интегрирования

k выражение, стоящее в знаменателе подинтегральной функции значит, . Получаем преобразованный интеграл:

Вычисляем полученный интеграл по переменной k и возвращаемся к старой переменной x, с учетом того, что

Ответ:

Руководство по решению неопределенных интегралов

 

 

 

 

 

Руководство по решению

неопределенных     интегралов


 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………. ……………

3

 

1.     ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ……..

4

 

2.     ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА……………………………………………………….

8

 

3.     ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ……………………………………………………..

9

 

4.     МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ …………………………………

10

4.1

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ……………………

10

4.

2

МЕТОД  ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ ИЛИ ПОДСТАНОВКИ ………

12

 

 


 

ВВЕДЕНИЕ

 

В данном руководстве ставится целью помочь ученику самостоятельно  или при минимальной помощи преподавателя ознакомиться с основными понятиями и систематизировать свои знания по решению неопределенных интегралов и использовать определенные интегралы при решении различных задач из разных областей. Попыткой достижения этой цели и определяется структура настоящего пособия: в начале  каждого  параграфа  изложен  теоретический  материал  (определения, основные теоремы и формулы), знание которого необходимо для решения задач данного раздела. Это позволяет использовать руководство, не прибегая к учебникам.  Далее  приводятся  подробно  разобранные  примеры  с  разъяснениями методов их решения.

Среди решенных задач многие можно назвать типовыми.  Это  обстоятельство  особенно  важно  для  студентов,  занимающихся дистанционно. В руководстве также предложены задания для самостоятельной работы и пример контрольной работы по вариантам.

Руководство состоит из двух частей – в первой части представлены основные методы решения неопределенных интегралов, а во второй части применение определенных интегралов не только в математике, но и в экономике.

При  составлении  настоящего  документа  были  использованы не только учебник по математики для 12 класса, но и  ряд  задач  из  известных  задачников  математике   обычно  рассматриваемых на занятиях с учениками.

 


 

1.     ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

Множество вопросов математическо­го анализа и приложений в разнообразных науках приводит к  задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции

f(x).

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого х  Х функ­ция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F'(x) = f(x).

Рассмотрим примеры

Пример 1. Функция  F(x) =  является первообразной для функции              f(x) =  на  промежутке (-, +), так как при любых х из  данного промежутка выполнено равенство ()’ =  

Пример 2. Функция F(x) = ln x — первообразная для функ­ции

f(x) = 1/x на промежутке (0, +), так как в каждой точке этого интервала выполнено равенство   (ln x)’ =1/x.

Задача отыскания по заданной функции f(x) еe первообразной неоднозначна; если F(x) — первообразная, то и функции F(x) + С, где С  – произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), так как [F(x) + С] = f(x).

    Определение. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределен­ным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обо­значается символом

   В этом обозначении  называется знаком интеграла (это стилизованная латинская буква S, означающая суммирование), f(x) — подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтеграль­ным выражением, а переменная х — переменной интегриро­вания.

Операция нахождения первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интег­рирование является операцией, обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нуж­но продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Рассмотрим примеры.

Пример 3. = x2

+ С; проверка: (x2 + С)‘ = 2х.

Пример 4.  = – cos х + С; проверка: (-cos х + С)= sin x.

Пример 5. = е3x + С; проверка: (+ C)‘ = е3x.

Пример 6. dx=; проверка  ‘= x5.

Пример 7.= ; проверка  (= .

Геометрически неопределенный интеграл представляет семейство плоских кривых, смещенных друг относительно друга вдоль вертикальной оси.

Пример 8.

Найдите функцию f, если  и .

Используем определение первообразной получим:

.

Учитывая условие задания, то есть  получим:

С другой стороны:

Получим, что искомая функция

 


 

Пример 9

Найдите для функции ,    , первообразную, график которой проходит черех точку

Используем определение первообразной получим:

.

По условию график первообразной проходит черех точку ,  это означает, что:

,      но ,    получаем: .

Получим, что искомая функция .

 

ПРИМЕРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

1.                 Для функции  найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).

2.                 Найдите первообразную функции  график которой проходит через точку А (4; 5).

3.                  Найдите первообразную функции  график которой проходит через точку .

4.                 Дана  функция , .  Найдите ту первообразную F(x) функции f(x), для  которой выполняется условие   .

5.                 Известно, что F(x) одна из первообразных функции , .  Найдите F(е) функции f(x), если известно, что

6.                  Найдите первообразную функции , , график которой проходит через точку А(1; -1).

7.                 Найдите первообразную функции , , для которой выполняется условие .

8.                 Найдите первообразную функции , график которой проходит через точку .

9.                 Найдите для функции ,    , первообразную, график которой проходит черех точку .

10.            Пусть даны графики двух первообразных функции ,  . Один график проходит через точку ,     а другой проходит через точку . Какой из этих графиков расположен выше в декартовой системе координат? Чему равна разность этих двух первообразных?

11.            Найдите первообразную функции , , график которой проходит через точку .

 

 


 

2.     ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

 

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла:

1)Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

                                       d ò f(x)dx=f(x)dx   или  

2) Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывной дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого:                                                   

                                                    ò df(x)=f(x)+C,

       3) Отличный от нуля постоянный  множитель  а  можно выносить за знак неопределенного интеграла:  

                                              ò af(x)dx=aò f(x)dx (a=const).

       4)  Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных дифференцируемых функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций:

                              ò(f(x)±g(x))dx= ò f(x)dx± ò g(x)dx.

Свойства 1. и 2. показывают, что символы интеграла и дифференциала, стоящие последовательно, взаимно уничтожают друг друга.

 Свойство 4. Справедливо для любого конечного числа слагаемых в подынтегральной функции.

 


 

3.     ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

 

Рассмотрим  таблицу основных не­определенных интегралов, которая представляет собой вычислитель­ный аппарат интегрального исчисления. Часть формул таб­лицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием. 

 

Таблица интегралов

Методы интегрирования неопределенного интеграла с примерами решения

Содержание:

При решении многих практических задач таких, как вычисление длин линий, площадей, отыскание траекторий движения и других, вводится понятие интегрирования.

Определения

Определение: Первообразной функции

Теорема: (о существовании первообразной) Если функция f(x) непрерывна на сегменте то на этом интервале существует первообразная этой функции.

Теорема: Если F(x) – первообразная функции f(х), то функция F(x) + C (С -произвольная постоянная) также является первообразной функции f(х).

Доказательство:

ТЗ. Если и первообразные функции f(х), то они отличаются друг от друга на постоянную величину.

Доказательство: Пусть Введем в рассмотрение вспомогательную функцию и рассмотрим эту функцию на открытом интервале По теореме Лагранжа для любого интервала выполняется равенство По условию теоремы следовательно, . В силу произвольности точек полученное равенство выполняется для всего исследуемого интервала. Это означает, что откуда и вытекает утверждение теоремы.

Пример:

Пусть дана функция Найти первообразную этой функции.

Решение:

В случае наличия двух первообразных показать, что они отличаются на постоянную величину.

Для функции существуют две первообразные Их разность

Определение: Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается – переменная интегрирования, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

На основании теорем можно записать, что

Определение: Отыскание всех первообразных называется неопределенным интегрированием.

Выясним геометрический смысл неопределенного интеграла. Пусть дана функция и требуется найти такую кривую y = F(x), для которой в каждой ее точке тангенс угла наклона касательной равен значению функции f(х) в этой точке. Такой линией будет кривая, для которой F’(x) = f(х). Таким образом, неопределенный интеграл определяет все кривые, у которых тангенс угла наклона в каждой ее точке совпадает со значением функции f(х).

Пример:

Построить кривые, которые задаются неопределенным интегралом

Решение:

Первообразной для под интегральной функции f(х) = 2х будет функция следовательно, Построим эти кривые (Рис. 1):

Рис. 1. Интегральные кривые

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна под интегральной функции

Доказательство: По определению неопределенного интеграла

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен под интегральному выра- жению

Доказательство: По определению дифференциала от неопределенного интеграла имеем

3. Если под интегральное выражение является дифференциалом некоторой функции F(x), тo неопределенный интеграл равен

Доказательство: Так как

4. Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций равен той же самой линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций

Частные случаи:

  • а) неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций
  • б) постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

5. Формула неопределенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования

Таблица основных неопределенных интегралов

Методы интегрирования

Метод тождественных преобразований под интегральной функции

Данный метод основан на использовании простых приемов, алгебраических и тригонометрических формул, свойств подынтегральной функции, разложения полиномов на простые множители и свойств неопределенного интеграла. Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.

1. Почленное деление числителя дроби на ее знаменатель

Замечание: Следует запомнить, что нет формулы почленного деления знаменателя дроби на ее числитель, т.е.

Пример:

Найти

Решение:

Выполним в под интегральной функции почленное деление числителя дроби на ее знаменатель и воспользуемся свойством линейности неопределенного интеграла

Замечание: Из этого примера видно, что слова “найти неопределенный интеграл” означают: за счет преобразований подынтегральной функции и использования свойств неопределенного интеграла данный интеграл надо привести к совокупности табличных интегралов и воспользоваться этой таблицей.

Замечание: Из примера также видно, что, несмотря на наличие двух табличных интегралов, константа интегрирования С пишется один раз, так как сумма или разность постоянных интегрирования все равно есть постоянная величина.

2. Использование противоположных арифметических операций (например, сложение-вычитание).

Пример:

Найти

Решение:

Анализ под интегральной функции показывает, что в числитель дроби надо добавить и вычесть 1 (при этом подынтегральная функция не изменится), а затем воспользоваться первым приемом (почленное деление числителя дроби на ее знаменатель)

3. Использование алгебраических и тригонометрических формул, например,

и других формул.

Пример:

Найти

Решение:

Воспользуемся формулой квадрата разности

Пример:

Найти

Решение:

4. Использование свойств функций, например,

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

5. Использование разложения полиномов на простые множители, например, , где и корни уравнения

Пример:

Найти

Решение:

По теореме Виета уравнение имеет корни следовательно, разложение квадратичного полинома на простые множители имеет вид: Подставим полученное выражение в подынтегральную функцию, получим

Метод замены переменной интегрирования

Данный метод основан на формуле

Метод замены переменной интегрирования применяется в двух случаях:

а) Если аргумент функции отличается от простого аргумента х, то этот сложный аргумент принимается в качестве новой переменной интегрирования t.

Пример:

Вычислить

Решение:

Так как показатель степени экспоненты отличается от простого аргумента х, то этот показатель степени принимаем в качестве новой переменной интегрирования, т.е.

Замечание: После нахождения первообразной с новой переменной интегрирования надо обязательно вернуться к старой переменной интегрирования.

Пример:

Вычислить

Решение:

Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом степенной функции и отличается от простого аргумента х, поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е.

Пример:

Вычислить

Решение:

Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом функции синус и отличается от простого аргумента х, поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е. б) Если элементарная функция, содержащаяся в подынтегральном выражении, имеет простой аргумент и в качестве множителя при dx присутствует первая производная этой функции, то в качестве новой переменной интегрирования принимается элементарная функция.

Пример:

Найти

Решение:

В подынтегральном выражении содержится элементарная функция tgx и в качестве множителя при dx присутствует ее первая производная следовательно, в качестве новой переменной интегрирования принимаем /gx:

Пример:

Найти

Решение:

Данный пример объединяет первый метод с методом замены переменной интегрирования. Выполним почленное деление числителя дроби на ее знаменатель и разобьем интеграл на два интеграла, для которых применяются два случая замены переменной интегрирования

Замечание: Умение отыскивать подходящую замену вырабатывается в процессе многократных упражнений, однако можно указать ряд случаев, когда можно сразу увидеть необходимую замену переменной интегрирования при анализе подынтегрального выражения, например, Из показанных примеров видно, что умение хорошо интегрировать зависит от хорошего знания таблицы производных от элементарных функций (см. Лекцию № 17 из Первого семестра).

Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям основано на использовании формулы дифференциала от произведения двух функций откуда находим, что произведение

Таким образом, для неопределенного интеграла формула интегрирования по частям имеет вид:

Для того чтобы знать, какую из функций принимать за U (все остальное в подынтегральном выражении принимается за dV), рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи:

1. – полином (многочлен) порядка n.

В этом случае

Замечание: Для нахождения функции dU используют определение дифференциала функции. При вычислении функции V интегрируют выражение dV, при этом постоянная интегрирования полагается равной нулю (С = 0). После выполнения этих действий применяют формулу интегрирования по частям.

Пример:

Вычислить

Решение:

Применим метод интегрирования по частям

Замечание: Из приведенного примера видно, что при необходимости метод интегрирования по частям применяется повторно.

2. Для интегралов вида

Пример:

Вычислить

Решение:

Действуя согласно методике, получим

3. Для интегралов вида которые называются возвратными, на первом шаге интегрирования безразлично, какую из функций (показательную или тригонометрическую ) принимать в качестве функции U. Однако на втором шаге в качестве функции U надо обязательно принимать ту из функций (показательную или тригонометрическую ), которая была принята на первом шаге, в противном случае интеграл возвращается к своему исходному виду при отсутствии проинтегрированной части.

Пример:

Найти

Решение:

(если сейчас в качестве функции U выбрать экспоненту, то интеграл вернется к своему первоначальному виду при отсутствии проинтегрированной части; убедитесь в этом самостоятельно)

Решим полученное уравнение относительно буквы Отсюда находим, что

4. Нестандартные интегралы требуют для своего вычисления приобретения опыта на практических занятиях.

Пример:

Найти

Решение:

Неопределенный интеграл

Определение 1. Пусть Δ − промежуток действительной оси. Функция y=F(x) называется первообразной для функции y=f(x) на промежутке Δ, если F(x) − дифференцируема на Δ и  (1)

Пример:

а) F(x)=x − первообразная для
б)  − первообразная для − на любом промежутке из области определения функции f(x).
в) − первообразная для  Действительно,
− на любом промежутке, не содержащем точку 0.

 

Замечание. Первообразная функция определена не однозначно. А именно,
F(x) = x+C , где С – любая константа также будет первообразной для 
В общем случае верна теорема:
 

Теорема 1. Две дифференцируемые на промежутке Δ функции  и будут первообразными для одной и той же функции y=f(x) тогда и только тогда, когда

 

Доказательство. Необходимость.


. Докажем, что они отличаются на константу. Пусть

Тогда  Пусть 
По теореме Лагранжа (теорема 4 § 12):

Достаточность.  Обозначим 
Тогда  то есть – первообразные
для одной и той же функции y=f(x), что и требовалось доказать.
 

Определение 2. Множество всех первообразных для функции y=f(x) на промежутке Δ называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
Если F(x) – одна из первообразных, то , согласно теореме 1, (2)
 

Свойства неопределенного интеграла
  1. Если ( ) F x – дифференцируема на Δ , то  (3) или
  2.  (4)  здесь под записью подразумеваем одну из первообразных.
  3. Если f (x) имеет первообразную на Δ, то λf(x) также имеет первообразную на Δ и ,если λ ≠ 0, то  (5)
  4. Если  имеют первообразную на Δ , тогда также имеет первообразную на Δ и: (6)

Свойства 1 – 4 легко выводятся из определения первообразной и интеграла
и соответствующих свойств производной.
Докажем, например, свойство 3.

Пусть F (x) – первообразная для f (x) на промежутке Δ. Тогда , то есть λF(x) – первообразная для λf(x) ⇒
 что и требовалось доказать.

Из определений 1,2 следует, что интегрирование – действие обратное
дифференцированию (находится функция, производная которой равна данной).

Таблица интегралов


 

При вычислении интегралов в простых случаях применяют свойства 1 – 4.

Пример:



Пример:

 

Теорема 1. Если y=f(x) – непрерывна на промежутке Δ , то для нее ∃ первообразная функция y = F(x) на этом промежутке.

Замена переменной в неопределенном интеграле

Теорема 1. Пусть функция y = F(t) – первообразная для функции y = f(t) на промежутке то есть Пусть – дифференцируема на промежутке . Тогда – первообразная для
то есть    (1)
Доказательство. что и требовалось доказать.
Замечание. Формулу (1) можно переписать в виде(2)
формула интегрирования с помощью подстановки или в виде:
 (3)
Формула интегрирования с помощью поднесения под дифференциал, когда
подынтегральную функцию ⋅ записывают в виде ,
занося  под дифференциал.

Пример:

Пример:

Пример:


При поднесении под дифференциал можно использовать свойства
дифференциала (см. § 6)  где с – константа.

Пример:

Пример:

Пример:

Иногда в формуле (2) легче вычислять левую часть, чем правую:
 (5)
Формула (5) – формула интегрирования с помощью замены переменной ; при этом  – обратная функция.
 

Пример:

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Теорема 1. Пусть функция u(x) и v(x) – дифференцируемы на промежутке Δ и на этом промежутке Тогда на этом промежутке
∃ и  (1)  формула интегрирования по частям.
Доказательство. (см. § 6).  (по свойству 1 § 18), ∫vdu существует по условию теоремы, поэтому ∫udv – существует и 

Пример:

Пример:


Замечание.

  1. При интегрировании выражений вида:- многочлен степени n полагают: После интегрирования по частям степень многочлена уменьшается на 1 (см. пример 1).
  2. При интегрирования выражений вида: полагают:  (- многочлен). После интегрирования по частям интеграл упрощается.

Пример:


Пример:

Таким образом, проинтегрировав дважды по частям, получили уравнение,
содержащее  в правой и левой части. Решив его, получим:

Вычислить методом интегрирования по частям. Сложные интегралы

Метод интегрирования по частям применяется, в основном, когда подынтегральная функция состоит из произведения двух сомножителей определенного вида. Формула интегрирования по частям имеет вид:

Она дает возможность свести вычисление заданного интеграла
к вычислению интеграла
, который оказывается более простым, чем данный.

Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на три группы:

1. Интегралы вида
,
,
, где
– многочлен,
– число, не равное нулю

В этом случае через обозначают многочлен

.

2. Интегралы вида
,
,
,
,
, где
– многочлен.

В этом случае через
обозначают
, а всю остальную часть подынтегрального выражения через:

3. Интегралы вида
,
, где
– числа.

В этом случае через обозначают
и применяют формулу интегрирования по частям дважды, возвращаясь в результате к исходному интегралу, после чего исходный интеграл выражается из равенства.

Замечание : В некоторых случаях для нахождения заданного интеграла формулу интегрирования по частям необходимо применять несколько раз. Также метод интегрирования по частям комбинируют с другими методами.

Пример 26.

Найти интегралы методом по частям: а)
; б)
.

Решение.

б)

3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов:
, где
– многочлен степени
,
– многочлен степени .

Рациональная дробь называется правильной , если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е.
, в противном случае (если
) рациональная дробь называется неправильной .

Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов:

,

где
– целая часть от деления,– правильная рациональная дробь,
– остаток от деления.

Правильные рациональные дроби вида:

I. ;

II.
;

III.
;

IV.
,

где ,,
,
,,,
– действительные числа и
(т.е. квадратный трехчлен в знаменателеIII и IV дробей не имеет корней – дискриминант отрицательный) называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов .

Интегрирование простейших дробей

Интегралы от простейших дробей четырех типов вычисляются следующим образом.

I)
.

II) ,
.

III) Для интегрирования простейшей дроби III типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену
. Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют выделением в числителе производной знаменателя, что дает табличный интеграл, а второй интеграл преобразовывают к виду
, так как
, что также дает табличный интеграл.

;

IV) Для интегрирования простейшей дроби IV типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену
. Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют подстановкой
, а второй с помощью рекуррентных соотношений.

Пример 27.

Найти интегралы от простейших дробей:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а)
.

Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой может быть разложен на множители, можно представить в виде суммы простейших дробей. Разложение на сумму простейших дробей осуществляют методом неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем:


соответствует одна дробь вида;

– каждому множителю знаменателя
соответствует сумма дробей вида


соответствует дробь вида
;

– каждому квадратному множителю знаменателя
соответствует суммадробей вида

где – неопределенные коэффициенты.

Для нахождения неопределенных коэффициентов правую часть в виде суммы простейших дробей приводят к общему знаменателю и преобразовывают. В результате получается дробь с тем же знаменателем, что и в левой части равенства. Затем отбрасывают знаменатели и приравнивают числители. В результате получается тождественное равенство, в котором левая часть – многочлен с известными коэффициентами, а правая часть – многочлен с неопределенными коэффициентами.

Существует два способа определения неизвестных коэффициентов: метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.

Метод неопределенных коэффициентов.

Т.к. многочлены тождественно равны, то равны коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхв многочленах левой и правой частей, получим систему линейных уравнений. Решая систему, определяем неопределенные коэффициенты.

Метод частных значений.

Т.к. многочлены тождественно равны, то, подставляя вместо в левую и правую части любое число, получим верное равенство, линейное относительно неизвестных коэффициентов. Подставляя столько значений, сколько неизвестных коэффициентов, получим систему линейных уравнений. Вместов левую и правую части можно подставлять любые числа, однако более удобно подставлять корни знаменателей дробей.

После нахождения значений неизвестных коэффициентов, исходная дробь записывается в виде суммы простейших дробей в подынтегральное выражение и осуществляется ранее рассмотренное интегрирование по каждой простейшей дроби.

Схема интегрирования рациональных дробей:

1. Если подынтегральная дробь неправильная, то необходимо представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (т.е. разделить многочлен числителя на многочлен знаменателя с остатком). Если подынтегральная дробь правильная сразу переходим ко второму пункту схемы.

2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, если это возможно.

3. Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.

4. Проинтегрировать полученную сумму многочлена и простейших дробей.

Пример 28.

Найти интегралы от рациональных дробей:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а)
.

Т.к. подынтегральная функция неправильная рациональная дробь, то выделим целую часть, т.е. представим ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе уголком.

Исходный интеграл примет вид:
.

Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей c помощью метода неопределенных коэффициентов:

, получаем:



Решая систему линейных уравнений, получим значения неопределенных коэффициентов: А = 1; В = 3.

Тогда искомое разложение имеет вид:
.

=
.

б)
.

.

Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему:





Решая систему из пяти линейных уравнений, находим неопределенные коэффициенты:

.

Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:

.

в)
.

Разложим подынтегральную функцию (правильную рациональную дробь) на сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Разложение ищем в виде:

.

Приведя к общему знаменателю, получим:

Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:

Для нахождения неопределенных коэффициентов применим метод частных значений. Придадим частные значения , при которых множители обращаются в нуль, т. е. подставим эти значения в последнее выражение и получим три уравнения:


;
;


;
;


;
.

Тогда искомое разложение имеет вид:

Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:

Примеры интегрирования по частям подобного состава задают студентам 1, 2 курсов. Данные задания задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Чтобы формулы в задачах и ответах не повторялись же задачи описывать не будем. По условию заданий нужно или “Найти интеграл”, или “Вычислить интеграл”.
Пример 8. Интеграл находим по правилу интегрирования частями int(u*dv)=u*v-int(v*du). Здесь главное правильно выбрать функции под правило. (Для себя запомните что за dv если возможно выбирают периодические функции или такие, которые при дифференцировании с точностью до множителя дают сами себя – экспонента). В этом интеграле нужно синус внести под дифференциал

Дальнейшее интегрирование достаточно простое и на деталях останавливаться не будем.

Пример 9. Снова нужно применять правило интегрирования по частям u*dv . Здесь имеем произведение периодической функции на экспоненту, поэтому что лучше вносить под дифференциал выбирать Вам. Можно как экспоненту, так и косинус (в каждом варианте получим рекуррентную формулу).

Применяем интегрирование по частям повторно

Пришли к рекуррентной формуле. Если записать интеграл который искали и результат вычислений то получим два подобные слагаемые

Группируем их и находим искомый интеграл

Пример 10. Имеем готовую запись интеграла под правило u*dv. Находим du и выполняем интегрирование


Сводим второй интеграл под табличную формулу и вычисляем его

Пример 11. Обозначим за новую переменную cos(ln(x))=u і найдем du , затем внесением под дифференциал


К интегралу повторно применяем правило интегрирования по частям

Пришли к рекуррентной формуле

с которой и вычисляем неизвестный интеграл

Пример 12. Для нахождения интеграла выделим в знаменателе полный квадрат. Далее сведя знаменатель к известной формуле интегрирования получим арктангенс


Хорошо запомните порядок чередования множителей. Единица разделена на корень из свободного члена фигурирует перед арктангенсом, также этот множитель присутствует в арктангенс перед переменной.
Пример 13. Дело имеем с подобным интегралом, только в знаменателе квадратичная зависимость находится под корнем. Выделяем полный квадрат и сводим под формулу интегрирования, которая дает логарифм

Вот такие бывают примеры на контрольной или тестах. Хорошо запомните основные схемы интегрирования.
Если не можете решить интеграл сами, тогда обращайтесь за помощью.

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие “интеграл”

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.


Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:


Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?


С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


Точки а и b называются пределами интегрирования.


Бари Алибасов и группа “Интеграл”

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

  • При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.


Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!

Решение неопределённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

Решение определённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
  • Ввести нижний предел для интеграла
  • Ввести верхний предел для интеграла

Решение двойных интегралов

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)

Решение несобственных интегралов

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
  • Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
  • Ввести нижнюю область интегрирования (или – бесконечность)
Перейти: Онлайн сервис “Несобственный интеграл”

Решение тройных интегралов

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
  • Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
  • Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
  • Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования
Перейти: Онлайн сервис “Тройной интеграл”

Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность

Возможности

  • Поддержка всех возможных математических функций: синус, косинус, экспонента, тангенс, котангенс, корень квадратный и кубический, степени, показательные и другие.
  • Есть примеры для ввода, как для неопределённых интегралов, так и для несобственных и определённых.
  • Исправляет ошибки в ведённых вами выражениях и предлагает свои варианты для ввода.
  • Численное решение для определённых и несобственных интегралов (в том числе для двойных и тройных интегралов).
  • Поддержка комплексных чисел, а также различных параметров (вы можете указывать в подинтегральном выражении не только переменную интегрирования, но и другие переменные-параметры)

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) – F (a )).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее – значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) – F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .

При a = b по определению принимается

Пример 1.

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

Свойства определённого интеграла

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

(40)

Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если

(43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т.е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если


Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать , т.е.

(46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим


Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим

так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.

Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения a и b , т.е.

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть

% PDF-1.3 % 129 0 объект > эндобдж xref 129 73 0000000016 00000 н. 0000001811 00000 н. 0000003821 00000 н. 0000004039 00000 н. 0000004356 00000 п. 0000004542 00000 н. 0000004696 00000 н. 0000004918 00000 н. 0000005138 00000 п. 0000005553 00000 н. 0000005777 00000 н. 0000006001 00000 н. 0000006390 00000 н. 0000006720 00000 н. 0000006928 00000 п. 0000006969 00000 н. 0000007191 00000 н. 0000007380 00000 н. 0000007680 00000 н. 0000007834 00000 н. 0000008255 00000 н. 0000008784 00000 н. 0000008806 00000 н. 0000009595 00000 н. 0000009954 00000 н. 0000010158 00000 п. 0000010362 00000 п. 0000010571 00000 п. 0000010593 00000 п. 0000011145 00000 п. 0000011498 00000 п. 0000011850 00000 п. 0000012054 00000 п. 0000012273 00000 п. 0000012295 00000 п. 0000012850 00000 п. 0000012872 00000 п. 0000013427 00000 п. 0000013633 00000 п. 0000014115 00000 п. 0000014137 00000 п. 0000014703 00000 п. 0000014856 00000 п. 0000015169 00000 п. 0000015191 00000 п. 0000015810 00000 п. 0000015832 00000 п. 0000016384 00000 п. 0000016406 00000 п. 0000016963 00000 п. 0000017184 00000 п. 0000018982 00000 п. 0000021053 00000 п. 0000032608 00000 п. 0000034570 00000 п. 0000042603 00000 п. 0000042818 00000 п. 0000050984 00000 п. 0000052469 00000 п. 0000054269 00000 п. 0000054473 00000 п. 0000054552 00000 п. 0000057230 00000 п. 0000057455 00000 п. 0000062027 00000 н. 0000062263 00000 п. 0000062468 00000 п. 0000064036 00000 п. 0000066960 00000 п. 0000071140 00000 п. 0000074430 00000 н. 0000001908 00000 н. 0000003798 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 130 0 объект > эндобдж 200 0 объект > транслировать Hb“f“ / a`g` Ȁ

Методы, примеры и упражнения (176 страниц)

% PDF-1.Zv S`lUYj 5p “jRhk) nuv? Ѵg ~% 1l конечный поток эндобдж 7 0 объект >>> / BBox [0 0 410.96 619.41] / Длина 148 >> поток Икс 0DY * ش 7 ВА Hnf9 ܝ Q ! 6d: CPUSk5XfPSsmH Ֆ Ib7 2q “%> * ŧdx80> конечный поток эндобдж 23 0 объект >>> / BBox [0 0 410.96 619.41] / Длина 148 >> поток Икс 0DY * ش 7 ВА Hnf9 ܝ Q ! 6d: CPUSk5XfPSsmH Ֆ Ib7 2q “%> * ŧdx80> конечный поток эндобдж 9 0 объект >>> / BBox [0 0 410.96 619.41] / Длина 148 >> поток Икс 0DY * ش 7 ВА Hnf9 ܝ Q ! 6d: CPUSk5XfPSsmH Ֆ Ib7 2q “%> * ŧdx80> конечный поток эндобдж 26 0 объект >>> / BBox [0 0 410.Zv S`lUYj 5p “jRhk) nuv? Ѵg ~% 1l конечный поток эндобдж 13 0 объект >>> / BBox [0 0 410.96 619.41] / Длина 148 >> поток Икс 0DY * ش 7 ВА Hnf9 ܝ Q ! 6d: CPUSk5XfPSsmH Ֆ Ib7 2q “%> * ŧdx80> конечный поток эндобдж 3 0 obj >>> / BBox [0 0 410.96 619.41] / Длина 148 >> поток Икс 0DY * ش 7 ВА Hnf9 ܝ Q ! 6d: CPUSk5XfPSsmH Ֆ Ib7 2q “%> * ŧdx80> конечный поток эндобдж 19 0 объект >>> / BBox [0 0 410.96 619.41] / Длина 148 >> поток Икс 0DY * ش 7 ВА Hnf9 ܝ Q ! 6d: CPUSk5XfPSsmH Ֆ Ib7 2q “%> * ŧdx80> конечный поток эндобдж 18 0 объект >>> / BBox [0 0 410.Zv S`lUYj 5p “jRhk) nuv? Ѵg ~% 1l конечный поток эндобдж 21 0 объект >>> / BBox [0 0 410.96 619.41] / Длина 148 >> поток Икс 0DY * ش 7 ВА Hnf9 ܝ Q ! 6d: CPUSk5XfPSsmH Ֆ Ib7 2q “%> * ŧdx80> конечный поток эндобдж 11 0 объект >>> / BBox [0 0 410.96 619.41] / Длина 148 >> поток Икс 0DY * ش 7 ВА Hnf9 ܝ Q ! 6d: CPUSk5XfPSsmH Ֆ Ib7 2q “%> * ŧdx80> конечный поток эндобдж 5 0 obj >>> / BBox [0 0 410.96 619.41] / Длина 148 >> поток Икс 0DY * ش 7 ВА Hnf9 ܝ Q ! 6d: CPUSk5XfPSsmH Ֆ Ib7 2q “%> * ŧdx80> конечный поток эндобдж 8 0 объект >>> / BBox [0 0 410.Zv S`lUYj 5p “jRhk) nuv? Ѵg ~% 1l конечный поток эндобдж 35 0 объект > поток 2021-10-24T06: 06: 03-07: 002018-07-10T08: 58: 58 + 08: 002021-10-24T06: 06: 03-07: 00LaTeX с приложением пакета hyperref / pdf

  • Интеграция для исчисления, анализа и Дифференциальные уравнения: методы, примеры и упражнения (176 страниц)
  • Марат В Маркин
  • uuid: 051b3ffd-c557-44c8-b05c-6c69aac98ac1uuid: 82162fc6-0c4f-4daa-9e9e-ded7273743aepdfTeX-1.40.17; изменен с использованием iText 4.2.0 от 1T3XT конечный поток эндобдж 36 0 объект > поток х +

    4.10 Первообразные – Исчисление Том 1

    Цели обучения

    • 4.10.1 Найдите общую первообразную данной функции.
    • 4.10.2 Объясните термины и обозначения, используемые для неопределенного интеграла.
    • 4.10.3 Сформулируйте правило степени для интегралов.
    • 4.10.4 Используйте антидифференциацию для решения простых задач с начальным значением.

    На этом этапе мы увидели, как вычислять производные многих функций, и познакомились с множеством их приложений.Теперь мы задаем вопрос, который меняет этот процесс: для заданной функции f, f, как нам найти функцию с производной ff и почему нам может быть интересна такая функция?

    Мы отвечаем на первую часть этого вопроса, определяя первообразные. Первообразной функции ff является функция с производной f.f. Почему нас интересуют первородные? Потребность в первообразных возникает во многих ситуациях, и мы смотрим на различные примеры в оставшейся части текста.Здесь мы рассмотрим один конкретный пример, который включает прямолинейное движение. В нашем исследовании в разделе «Производные прямолинейного движения» мы показали, что при заданной функции положения s (t) s (t) объекта его функция скорости v (t) v (t) является производной от s (t) s ( t), то есть v (t) = s ′ (t) .v (t) = s ′ (t). Кроме того, ускорение a (t) a (t) является производной скорости v (t) v (t), то есть a (t) = v ′ (t) = s ″ (t) .a (t) ) = v ′ (t) = s ″ (t). Теперь предположим, что нам дана функция ускорения a, a, но не функция скорости vv или функция положения s.с. Поскольку a (t) = v ′ (t), a (t) = v ′ (t), определение функции скорости требует от нас найти первообразную функции ускорения. Тогда, поскольку v (t) = s ′ (t), v (t) = s ′ (t), определение функции положения требует от нас найти первообразную функции скорости. Прямолинейное движение – это лишь один из случаев, когда возникает потребность в первообразных. В оставшейся части текста мы увидим еще много примеров. А пока давайте посмотрим на терминологию и обозначения первообразных и определим первообразные для нескольких типов функций.Мы рассмотрим различные методы поиска первообразных более сложных функций далее по тексту (Введение в методы интеграции).

    Обратная дифференциация

    На данный момент мы знаем, как находить производные от различных функций. Теперь зададим противоположный вопрос. Учитывая функцию f, f, как мы можем найти функцию с производной f? F? Если мы можем найти функцию FF с производной f, f, мы назовем FF первообразной f.f.

    Определение

    Функция FF является первообразной функции ff, если

    для всех xx в области f.f.

    Рассмотрим функцию f (x) = 2x.f (x) = 2x. Зная степенное правило дифференцирования, мы заключаем, что F (x) = x2F (x) = x2 является первообразной от ff, поскольку F ′ (x) = 2x.F ′ (x) = 2x. Есть ли другие первообразные f? F? Да; поскольку производная любой константы CC равна нулю, x2 + Cx2 + C также является первообразной 2x.2x. Следовательно, x2 + 5×2 + 5 и x2−2×2−2 также являются первообразными. Существуют ли другие, не имеющие вида x2 + Cx2 + C для некоторой константы C? C? Ответ – нет. Из следствия 22 теоремы о среднем значении мы знаем, что если FF и GG – такие дифференцируемые функции, что F ′ (x) = G ′ (x), F ′ (x) = G ′ (x), то F (x) −G (x) = CF (x) −G (x) = C для некоторой константы C.C. Этот факт приводит к следующей важной теореме.

    Теорема 4,14

    Общая форма первообразного

    Пусть FF – первообразная ff на интервале I.I. Затем

    1. для каждой константы C, C функция F (x) + CF (x) + C также является первообразной ff по I; I;
    2. , если GG является первообразной ff над I, I, существует константа CC, для которой G (x) = F (x) + CG (x) = F (x) + C над I.I.

    Другими словами, наиболее общая форма первообразной ff над II – это F (x) + C.F (х) + С.

    Мы используем этот факт и наши знания о производных, чтобы найти все первообразные для нескольких функций.

    Пример 4,50

    Поиск первообразных

    Найдите все первообразные для каждой из следующих функций.

    1. f (x) = 3x2f (x) = 3×2
    2. f (x) = 1xf (x) = 1x
    3. f (x) = cosxf (x) = cosx
    4. f (x) = exf (x) = ex
    Решение
    1. Потому что

      тогда F (x) = x3F (x) = x3 является первообразной 3×2.3×2. Следовательно, каждая первообразная 3x23x2 имеет вид x3 + Cx3 + C для некоторых констант C, C, и каждая функция вида x3 + Cx3 + C является первообразной 3×2,3×2.
    2. Пусть f (x) = ln | x | .f (x) = ln | x |. Для x> 0, f (x) = ln (x) x> 0, f (x) = ln (x) и

      Для x <0, f (x) = ln (−x) x <0, f (x) = ln (−x) и
      ddx (ln (−x)) = – 1 − x = 1x. ddx (ln (−x)) = – 1 − x = 1x.
      Следовательно,
      ddx (ln | x |) = 1x. ddx (ln | x |) = 1x.
      Таким образом, F (x) = ln | x | F (x) = ln | x | является первообразной 1x.1x. Следовательно, каждая первообразная 1x1x имеет вид ln | x | + Cln | x | + C для некоторой константы CC, и каждая функция вида ln | x | + Cln | x | + C является первообразной 1x.1x.
    3. У нас
      ddx (sinx) = cosx, ddx (sinx) = cosx,
      поэтому F (x) = sinxF (x) = sinx является первообразной cosx.cosx. Следовательно, каждая первообразная cosxcosx имеет форму sinx + Csinx + C для некоторой константы CC, и каждая функция формы sinx + Csinx + C является первообразной cosx.cosx.
    4. С

      тогда F (x) = exF (x) = ex является первообразной ex.ex. Следовательно, каждая первообразная exex имеет вид ex + Cex + C для некоторой константы CC, и каждая функция вида ex + Cex + C является первообразной ex.бывший.

    Контрольно-пропускной пункт 4,49

    Найдите все первообразные f (x) = sinx.f (x) = sinx.

    Неопределенные интегралы

    Теперь мы рассмотрим формальные обозначения, используемые для представления первообразных, и исследуем некоторые из их свойств. Эти свойства позволяют находить первообразные более сложных функций. Для функции f, f мы используем обозначение f ′ (x) f ′ (x) или dfdxdfdx для обозначения производной f.f. Здесь мы вводим обозначения для первообразных.Если FF является первообразной от f, f, мы говорим, что F (x) + CF (x) + C является самой общей первообразной от ff, и пишем

    F (x) dx = F (x) + C.∫f (x) dx = F (x) + C.

    Символ ∫∫ называется знаком интеграла , а ∫f (x) dx∫f (x) dx называется неопределенным интегралом от f.f.

    Определение

    Для функции f, f неопределенный интеграл от f, f, обозначенный

    – самая общая первообразная от f.f. Если FF является первообразной от f, f, то

    F (x) dx = F (x) + C.∫f (x) dx = F (x) + C.

    Выражение f (x) f (x) называется подынтегральным выражением , а переменная xx является переменной интегрирования .

    Принимая во внимание терминологию, введенную в это определение, процесс поиска первообразных функции ff обычно обозначается как , интегрирующий f.f.

    Для функции ff и первообразной F, F функции F (x) + C, F (x) + C, где CC – любое действительное число, часто называют семейством первообразных f.f. Например, поскольку x2x2 является первообразной 2x2x, а любая первообразная 2x2x имеет форму x2 + C, x2 + C, мы пишем

    ∫2xdx = x2 + C.∫2xdx = x2 + C.

    Набор всех функций вида x2 + C, x2 + C, где CC – любое действительное число, известен как семейство первообразных для 2x.2x. На рис. 4.85 показан график этого семейства первообразных.

    Фигура 4.85 Семейство первообразных 2x2x состоит из всех функций вида x2 + C, x2 + C, где CC – любое действительное число.

    Для некоторых функций вычисление неопределенных интегралов следует непосредственно из свойств производных. Например, для n −1, n ≠ −1,

    ∫xndx = xn + 1n + 1 + C, ∫xndx = xn + 1n + 1 + C,

    , который идет напрямую с

    ddx (xn + 1n + 1) = (n + 1) xnn + 1 = xn. ddx (xn + 1n + 1) = (n + 1) xnn + 1 = xn.

    Этот факт известен как правило для интегралов .

    Теорема 4,15

    Правило мощности для интегралов

    Для n ≠ −1, n ≠ −1,

    ∫xndx = xn + 1n + 1 + C.∫xndx = xn + 1n + 1 + C.

    Вычисление неопределенных интегралов для некоторых других функций также является несложным вычислением.В следующей таблице перечислены неопределенные интегралы для нескольких общих функций. Более полный список приведен в Приложении B.

    Формула дифференциации Неопределенный интеграл
    ddx (k) = 0ddx (k) = 0 ∫kdx = ∫kx0dx = kx + C∫kdx = ∫kx0dx = kx + C
    ddx (xn) = nxn − 1ddx (xn) = nxn − 1 ∫xndn = xn + 1n + 1 + C∫xndn = xn + 1n + 1 + C для n ≠ −1n ≠ −1
    ddx (ln | x |) = 1xddx (ln | x |) = 1x ∫1xdx = ln | x | + C∫1xdx = ln | x | + C
    ddx (ex) = exddx (ex) = ex ∫exdx = ex + C∫exdx = ex + C
    ddx (sinx) = cosxddx (sinx) = cosx ∫cosxdx = sinx + C∫cosxdx = sinx + C
    ddx (cosx) = – sinxddx (cosx) = – sinx ∫sinxdx = −cosx + C∫sinxdx = −cosx + C
    ddx (tanx) = sec2xddx (tanx) = sec2x ∫sec2xdx = tanx + C∫sec2xdx = tanx + C
    ddx (cscx) = – cscxcotxddx (cscx) = – cscxcotx ∫cscxcotxdx = −cscx + C∫cscxcotxdx = −cscx + C
    ddx (secx) = secxtanxddx (secx) = secxtanx ∫secxtanxdx = secx + C∫secxtanxdx = secx + C
    ddx (cotx) = – csc2xddx (cotx) = – csc2x ∫csc2xdx = −cotx + C∫csc2xdx = −cotx + C
    ddx (sin − 1x) = 11 − x2ddx (sin − 1x) = 11 − x2 11 − x2 = грех − 1x + C∫11 − x2 = sin − 1x + C
    ddx (tan − 1x) = 11 + x2ddx (tan − 1x) = 11 + x2 ∫11 + x2dx = tan − 1x + C∫11 + x2dx = tan − 1x + C
    ddx (сек − 1 | x |) = 1xx2−1ddx (сек − 1 | x |) = 1xx2−1 ∫1xx2−1dx = сек − 1 | x | + C∫1xx2−1dx = сек − 1 | x | + C

    Стол 4.13 Формулы интеграции

    Из определения неопределенного интеграла от f, f мы знаем

    ∫f (x) dx = F (x) + C∫f (x) dx = F (x) + C

    тогда и только тогда, когда FF является первообразной f.f. Следовательно, заявляя, что

    ∫f (x) dx = F (x) + C∫f (x) dx = F (x) + C

    важно проверить правильность этого утверждения, убедившись, что F ′ (x) = f (x) .F ′ (x) = f (x).

    Пример 4,51

    Проверка неопределенного интеграла

    Каждое из следующих утверждений имеет вид ∫f (x) dx = F (x) + C.∫f (x) dx = F (x) + C. Убедитесь, что каждое утверждение верно, показав, что F ′ (x) = f (x) .F ′ (x) = f (x).

    1. ∫ (x + ex) dx = x22 + ex + C∫ (x + ex) dx = x22 + ex + C
    2. ∫xexdx = xex − ex + C∫xexdx = xex − ex + C
    Решение
    1. С
      ddx (x22 + ex + C) = x + ex, ddx (x22 + ex + C) = x + ex,
      заявление
      ∫ (x + ex) dx = x22 + ex + C∫ (x + ex) dx = x22 + ex + C
      верно.
      Обратите внимание, что мы проверяем неопределенный интеграл для суммы. Кроме того, x22x22 и exex являются первообразными xx и ex, ex, соответственно, а сумма первообразных является первообразной суммы.Мы обсудим этот факт еще раз в этом разделе.
    2. Используя правило продукта, мы видим, что
      ddx (xex − ex + C) = ex + xex − ex = xex. ddx (xex − ex + C) = ex + xex − ex = xex.
      Следовательно, выписка
      ∫xexdx = xex − ex + C∫xexdx = xex − ex + C
      верно.
      Обратите внимание, что мы проверяем неопределенный интеграл для продукта. Первообразная xex-exxex-ex не является произведением первообразных. Кроме того, продукт первообразных x2ex / 2x2ex / 2 не является первообразным xexxex с
      г. ddx (x2ex2) = xex + x2ex2 ≠ xex.ddx (x2ex2) = xex + x2ex2 ≠ xex.
      В общем, продукт первообразных не является первообразным продукта.

    Контрольно-пропускной пункт 4,50

    Убедитесь, что ∫xcosxdx = xsinx + cosx + C.∫xcosxdx = xsinx + cosx + C.

    В таблице 4.13 мы перечислили неопределенные интегралы для многих элементарных функций. Теперь обратимся к вычислению неопределенных интегралов для более сложных функций. Например, рассмотрим поиск первообразной суммы f + g.f + g. В примере 4.51а. мы показали, что первообразная суммы x + exx + ex задается суммой (x22) + ex (x22) + ex, то есть первообразная суммы задается суммой первообразных. Этот результат не относится к данному примеру. В общем случае, если FF и GG – первообразные любых функций ff и g, g соответственно, то

    ddx (F (x) + G (x)) = F ′ (x) + G ′ (x) = f (x) + g (x). ddx (F (x) + G (x)) = F ′ (х) + G ′ (x) = f (x) + g (x).

    Следовательно, F (x) + G (x) F (x) + G (x) является первообразной от f (x) + g (x) f (x) + g (x), и мы имеем

    ∫ (е (х) + г (х)) dx знак равно F (х) + G (х) + С.∫ (е (х) + г (х)) dx знак равно F (х) + G (х) + С.

    Аналогично

    ∫ (f (x) −g (x)) dx = F (x) −G (x) + C.∫ (f (x) −g (x)) dx = F (x) −G (x) + С.

    Кроме того, рассмотрим задачу поиска первообразной kf (x), kf (x), где kk – любое действительное число. С

    ddx (kf (x)) = kddxF (x) = kf ′ (x) ddx (kf (x)) = kddxF (x) = kf ′ (x)

    для любого действительного числа k, k, заключаем, что

    Kf (x) dx = kF (x) + C.∫kf (x) dx = kF (x) + C.

    Эти свойства перечислены ниже.

    Теорема 4,16

    Свойства неопределенных интегралов.

    Пусть FF и GG – первообразные от ff и g, g, соответственно, и пусть kk – любое действительное число.

    Суммы и разности

    ∫ (f (x) ± g (x)) dx = F (x) ± G (x) + C∫ (f (x) ± g (x)) dx = F (x) ± G (x) + C

    Постоянные кратные

    ∫kf (x) dx = kF (x) + C∫kf (x) dx = kF (x) + C

    Из этой теоремы мы можем вычислить любой интеграл, включающий сумму, разность или постоянное кратное функций с известными первообразными. Вычисление интегралов, включающих произведения, частные или композиции, является более сложным (см. Пример 4.51b. Для примера, включающего первообразную продукта). Мы рассматриваем интегралы, включающие эти более сложные функции, во Введении в интеграцию.В следующем примере мы исследуем, как использовать эту теорему для вычисления неопределенных интегралов от нескольких функций.

    Пример 4,52

    Вычисление неопределенных интегралов

    Вычислите каждый из следующих неопределенных интегралов:

    1. ∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx
    2. ∫x2 + 4x3xdx∫x2 + 4x3xdx
    3. ∫41 + x2dx∫41 + x2dx
    4. ∫tanxcosxdx∫tanxcosxdx
    Решение
    1. Используя свойства неопределенных интегралов, мы можем интегрировать каждый из четырех членов подынтегрального выражения по отдельности.Получаем
      ∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx = ∫5x3dx − ∫7x2dx + ∫3xdx + ∫4dx.∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx = ∫5x3dx − ∫7x2dx + ∫3xdx + ∫4dx.
      Из второй части свойств неопределенных интегралов каждый коэффициент можно записать перед знаком интеграла, что дает
      ∫5x3dx − ∫7x2dx + ∫3xdx + ∫4dx = 5∫x3dx − 7∫x2dx + 3∫xdx + 4∫1dx.∫5x3dx − ∫7x2dx + ∫3xdx + ∫4dx = 5∫x3dx − 7∫x2dx + 3∫x 1dx. Используя правило степеней для интегралов, заключаем, что
      ∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx = 54×4−73×3 + 32×2 + 4x + C.∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx = 54×4−73×3 + 32×2 + 4x + C.
    2. Записываем подынтегральное выражение как
      . х2 + 4х3х = х2х + 4х3х.х2 + 4х3х = х2х + 4х3х.
      Затем, чтобы вычислить интеграл, проинтегрируйте каждый из этих членов отдельно. Используя правило мощности, мы имеем
      ∫ (x + 4×2 / 3) dx = ∫xdx + 4∫x − 2 / 3dx = 12×2 + 41 (−23) + 1x (−2/3) + 1 + C = 12×2 + 12×1 / 3 + C.∫ (x + 4×2 / 3) dx = ∫xdx + 4∫x − 2 / 3dx = 12×2 + 41 (−23) + 1x (−2/3) + 1 + C = 12×2 + 12×1 / 3 + C.
    3. Используя свойства неопределенных интегралов, запишите интеграл как

      Затем, используя тот факт, что tan − 1 (x) tan − 1 (x) является первообразной от 1 (1 + x2) 1 (1 + x2), заключаем, что
      ∫41 + x2dx = 4tan − 1 (x) + C. 41 + x2dx = 4tan − 1 (x) + C.
    4. Записываем подынтегральное выражение как
      . tanxcosx = sinxcosxcosx = sinx.tanxcosx = sinxcosxcosx = sinx.
      Следовательно,
      ∫tanxcosx = ∫sinx = −cosx + C.∫tanxcosx = ∫sinx = −cosx + C.

    Контрольно-пропускной пункт 4,51

    Вычислить ∫ (4×3−5×2 + x − 7) dx. (4×3−5×2 + x − 7) dx.

    Проблемы с начальным значением

    Мы рассмотрим методы интеграции большого количества функций, включающих продукты, частные и композиции, далее по тексту. Здесь мы переходим к одному из распространенных способов использования первообразных, которое часто встречается во многих приложениях: решение дифференциальных уравнений.

    Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое связывает неизвестную функцию и одну или несколько ее производных. Уравнение

    – простой пример дифференциального уравнения. Решение этого уравнения означает нахождение функции yy с производной f.f. Следовательно, решения уравнения 4.9 являются первообразными f.f. Если FF является одной первообразной от f, f, каждая функция вида y = F (x) + Cy = F (x) + C является решением этого дифференциального уравнения. Например, решения

    дает

    у = ∫6x2dx = 2×3 + C.у = ∫6x2dx = 2×3 + C.

    Иногда нас интересует, проходит ли конкретная кривая решения через определенную точку (x0, y0) (x0, y0), то есть y (x0) = y0.y (x0) = y0. Задача поиска функции yy, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

    dydx = f (x) dydx = f (x)

    (4.10)

    с дополнительным условием

    – это пример задачи начального значения. Условие y (x0) = y0y (x0) = y0 известно как начальное условие . Например, поиск функции yy, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

    и начальное условие

    – это пример задачи начального значения.Поскольку решениями дифференциального уравнения являются y = 2×3 + C, y = 2×3 + C, чтобы найти функцию yy, которая также удовлетворяет начальному условию, нам нужно найти CC такой, что y (1) = 2 (1) 3+ C = 5. y (1) = 2 (1) 3 + C = 5. Из этого уравнения мы видим, что C = 3, C = 3, и заключаем, что y = 2×3 + 3y = 2×3 + 3 является решением этой начальной задачи, как показано на следующем графике.

    Фигура 4,86 Отображаются некоторые кривые решения дифференциального уравнения dydx = 6x2dydx = 6×2. Функция y = 2×3 + 3y = 2×3 + 3 удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию y (1) = 5.у (1) = 5.

    Пример 4,53

    Решение задачи с начальным значением

    Решите задачу начального значения

    dydx = sinx, y (0) = 5. dydx = sinx, y (0) = 5.
    Решение

    Сначала нам нужно решить дифференциальное уравнение. Если dydx = sinx, dydx = sinx, то

    y = ∫sin (x) dx = −cosx + C.y = ∫sin (x) dx = −cosx + C.

    Далее нам нужно найти решение yy, удовлетворяющее начальному условию. Начальное условие y (0) = 5y (0) = 5 означает, что нам нужна постоянная CC такая, что −cosx + C = 5.−cosx + C = 5. Следовательно,

    C = 5 + cos (0) = 6. C = 5 + cos (0) = 6.

    Решение начальной задачи: y = −cosx + 6.y = −cosx + 6.

    Контрольно-пропускной пункт 4,52

    Решите задачу начального значения dydx = 3x − 2, y (1) = 2.dydx = 3x − 2, y (1) = 2.

    Проблемы с начальным значением возникают во многих приложениях. Далее мы рассмотрим задачу, в которой водитель тормозит в автомобиле. Нас интересует, сколько времени нужно, чтобы машина остановилась. Напомним, что функция скорости v (t) v (t) является производной функции положения s (t), s (t), а ускорение a (t) a (t) является производной функции скорости.В предыдущих примерах в тексте мы могли вычислить скорость по положению, а затем вычислить ускорение по скорости. В следующем примере мы работаем наоборот. Учитывая функцию ускорения, мы вычисляем функцию скорости. Затем мы используем функцию скорости для определения функции положения.

    Пример 4,54

    Тормозящий автомобиль

    Автомобиль движется со скоростью 8888 фут / сек (60 (60 миль / ч) при включении тормозов. Автомобиль начинает замедляться с постоянной скоростью 1515 фут / сек 2 .

    1. Сколько секунд проходит до остановки автомобиля?
    2. Как далеко за это время уезжает машина?
    Решение
    1. Сначала мы вводим переменные для этой задачи. Пусть tt будет временем (в секундах) после первого нажатия на тормоза. Пусть a (t) a (t) будет ускорением автомобиля (в футах в секунду в квадрате) в момент времени t.t. Пусть v (t) v (t) – скорость автомобиля (в футах в секунду) в момент времени t.t. Пусть s (t) s (t) будет положением автомобиля (в футах) после точки, в которой тормоза задействованы в момент времени t.т.
      Автомобиль движется со скоростью 88 футов / сек. 88 футов / сек. Следовательно, начальная скорость равна v (0) = 88v (0) = 88 ft / sec. Поскольку автомобиль замедляется, ускорение составляет
      a (t) = – 15 футов / с2. a (t) = – 15 футов / с2.
      Ускорение – это производная скорости,
      v ′ (t) = – 15. v ′ (t) = – 15.
      Следовательно, нам нужно решить задачу с начальным значением:
      v ′ (t) = – 15, v (0) = 88. v ′ (t) = – 15, v (0) = 88.
      Интегрируя, находим, что
      v (t) = – 15t + C. v (t) = – 15t + C.
      Поскольку v (0) = 88, C = 88. v (0) = 88, C = 88.Таким образом, функция скорости равна
      v (t) = – 15t + 88. v (t) = – 15t + 88.
      Чтобы узнать, сколько времени требуется машине, чтобы остановиться, нам нужно найти время tt, при котором скорость равна нулю. Решая −15t + 88 = 0, −15t + 88 = 0, получаем t = 8815t = 8815 сек.
    2. Чтобы узнать, как далеко машина проехала за это время, нам нужно найти позицию машины через 88158815 сек. Мы знаем, что скорость v (t) v (t) является производной от положения s (t) .s (t). Считаем, что начальное положение s (0) = 0. s (0) = 0. Следовательно, нам необходимо решить задачу начального значения
      s ′ (t) = – 15t + 88, s (0) = 0.s ′ (t) = – 15t + 88, s (0) = 0.
      Интегрируя, имеем
      s (t) = – 152t2 + 88t + C.s (t) = – 152t2 + 88t + C.
      Поскольку s (0) = 0, s (0) = 0, константа C = 0. C = 0. Следовательно, функция положения –
      . s (t) = – 152t2 + 88t.s (t) = – 152t2 + 88t.
      После t = 8815t = 8815 с положение s (8815) ≈258,133 с (8815) ≈258,133 фута.

    Контрольно-пропускной пункт 4,53

    Предположим, автомобиль движется со скоростью 4444 фут / сек. Сколько времени нужно, чтобы машина остановилась? Как далеко поедет машина?

    Раздел 4.10 упражнений

    В следующих упражнениях покажите, что F (x) F (x) являются первообразными от f (x) .f (x).

    465 .

    F (x) = 5×3 + 2×2 + 3x + 1, f (x) = 15×2 + 4x + 3F (x) = 5×3 + 2×2 + 3x + 1, f (x) = 15×2 + 4x + 3

    466 .

    F (x) = x2 + 4x + 1, f (x) = 2x + 4F (x) = x2 + 4x + 1, f (x) = 2x + 4

    467 .

    F (x) = x2ex, f (x) = ex (x2 + 2x) F (x) = x2ex, f (x) = ex (x2 + 2x)

    468 .

    F (x) = cosx, f (x) = – sinxF (x) = cosx, f (x) = – sinx

    469 .

    F (x) = ex, f (x) = exF (x) = ex, f (x) = ex

    Для следующих упражнений найдите первообразную функции.

    471 .

    f (x) = ex − 3×2 + sinxf (x) = ex − 3×2 + sinx

    472 .

    f (x) = ex + 3x − x2f (x) = ex + 3x − x2

    473 .

    f (x) = x − 1 + 4sin (2x) f (x) = x − 1 + 4sin (2x)

    Для следующих упражнений найдите первообразную F (x) F (x) каждой функции f (x) .f (x).

    478 .

    f (x) = x1 / 3 + (2x) 1/3 f (x) = x1 / 3 + (2x) 1/3

    479 .

    f (x) = x1 / 3×2 / 3f (x) = x1 / 3×2 / 3

    480 .

    f (x) = 2sin (x) + sin (2x) f (x) = 2sin (x) + sin (2x)

    481 .

    f (x) = sec2 (x) + 1f (x) = sec2 (x) +1

    482 .

    f (x) = sinxcosxf (x) = sinxcosx

    483 .

    f (x) = sin2 (x) cos (x) f (x) = sin2 (x) cos (x).

    485 .

    f (x) = 12csc2 (x) + 1x2f (x) = 12csc2 (x) + 1×2

    486 .

    f (x) = cscxcotx + 3xf (x) = cscxcotx + 3x

    487 .

    f (x) = 4cscxcotx − secxtanxf (x) = 4cscxcotx − secxtanx

    488 .

    f (x) = 8secx (secx − 4tanx) f (x) = 8secx (secx − 4tanx)

    489 .

    f (x) = 12e − 4x + sinxf (x) = 12e − 4x + sinx

    Для следующих упражнений оцените интеграл.

    494 .

    ∫ (secxtanx + 4x) dx∫ (secxtanx + 4x) dx

    496 .

    ∫ (x − 1/3 − x2 / 3) dx∫ (x − 1/3 − x2 / 3) dx

    497 .

    ∫14×3 + 2x + 1x3dx∫14×3 + 2x + 1x3dx

    498 .

    ∫ (ex + e − x) dx∫ (ex + e − x) dx

    Для следующих упражнений решите задачу начального значения.

    499 .

    f ′ (x) = x − 3, f (1) = 1f ′ (x) = x − 3, f (1) = 1

    500 .

    f ′ (x) = x + x2, f (0) = 2f ′ (x) = x + x2, f (0) = 2.

    501 .

    f ′ (x) = cosx + sec2 (x), f (π4) = 2 + 22 f ′ (x) = cosx + sec2 (x), f (π4) = 2 + 22.

    502 .

    f ′ (x) = x3−8×2 + 16x + 1, f (0) = 0f ′ (x) = x3−8×2 + 16x + 1, f (0) = 0

    503 .

    f ′ (x) = 2×2 − x22, f (1) = 0f ′ (x) = 2×2 − x22, f (1) = 0.

    Для следующих упражнений найдите две возможные функции ff, заданные производными второго или третьего порядка.

    505 .

    f ″ (x) = e − xf ″ (x) = e − x

    508 .

    f ‴ (x) = 8e − 2x − sinxf ‴ (x) = 8e − 2x − sinx

    509 .

    Автомобиль движется со скоростью 4040 миль / ч при включенных тормозах. Автомобиль замедляется с постоянной скоростью 1010 фут / сек 2 .Как скоро машина остановится?

    510 .

    В предыдущей задаче вычислите, как далеко проехала машина за время, необходимое для остановки.

    511 .

    Вы выезжаете на автостраду с постоянным ускорением 1212 фут / сек. 2 . Сколько времени нужно, чтобы достичь скорости слияния 6060 миль в час?

    512 .

    Исходя из предыдущей задачи, как далеко проехал автомобиль, чтобы достичь скорости слияния?

    513 .

    Автомобильная компания хочет, чтобы ее новейшая модель могла остановиться за 88 секунд при движении со скоростью 7575 миль в час.Если мы предполагаем постоянное замедление, найдите значение замедления, при котором это достигается.

    514 .

    Автомобильная компания хочет, чтобы ее новейшая модель могла остановиться на расстоянии менее 450450 футов при движении со скоростью 6060 миль в час. Если мы предполагаем постоянное замедление, найдите значение замедления, при котором это достигается.

    Для следующих упражнений найдите первообразную функции, предполагая, что F (0) = 0.F (0) = 0.

    516 .

    [T] f (x) = 4x − xf (x) = 4x − x

    517 .

    [T] f (x) = sinx + 2xf (x) = sinx + 2x

    519 .

    [T] f (x) = 1 (x + 1) 2f (x) = 1 (x + 1) 2

    520 .

    [T] f (x) = e − 2x + 3x2f (x) = e − 2x + 3×2

    Для следующих упражнений определите, истинно ли утверждение или нет. Либо докажите, что это правда, либо найдите контрпример, если он неверен.

    521 .

    Если f (x) f (x) – первообразная v (x), v (x), то 2f (x) 2f (x) – первообразная 2v (x) .2v (x).

    522 .

    Если f (x) f (x) – первообразная v (x), v (x), то f (2x) f (2x) – первообразная v (2x).v (2x).

    523 .

    Если f (x) f (x) – первообразная v (x), v (x), то f (x) + 1f (x) +1 – первообразная v (x) + 1.v (x ) +1.

    524 .

    Если f (x) f (x) является первообразной от v (x), v (x), то (f (x)) 2 (f (x)) 2 является первообразной от (v (x)) 2 . (v (x)) 2.

    решенных примеров неопределенного интеграла – учебный материал для IIT JEE

    Пример 1: Если ∫ xe x cos x dx = f (x) dx + c, то f (x) равно

    ∫ xe (1 + i) x /1 + i – ∫ e (1 + i) x /1 + i dx = xe (1 + i) x / 1+ i – e (1 + я) х / (1 + я) 2

    e (1 + i) x [x (1 + i –1 / (1 + i) 2 )]

    e x (cos x + i sin x) [(x – 1) + ix / 1 + i – 1]

    e x / –2 [icos x – sin x] [(x – 1) + ix]

    I = e x /2 [(1 – x) sin x – x cos x] + c.

    Пример 2: Пусть x 2 +1 ≠ nπ, n ∈ N, тогда

    (a) ln | 1/2 сек (x 2 + 1) | + c

    (б) пер | сек {½ (x 2 + 1) | + c

    (c) 1/2 ln | сек (x 2 + 1) | + c

    (d) ln | сек (x 2 + 1) | + c

    Раствор: Пусть

    I =

    Положим x 2 + 1 = t

    x dx = ½ dt

    Тогда I = ½ ∫ √ (2 sin t – sin 2t) / (2 sin t + sin 2t) dt

    = ½ ∫ √ (1 – cos t) / (1 + cos t) dt

    = ½ ∫ tan (т / 2) dt

    = ½.2. ln | сек (т / 2) | + c

    = ln | сек {(x 2 +1) / 2} + c

    = ln | сек {1/2 (x 2 + 1)} + c

    Пример 3: Пусть f (x) будет такой функцией, что f (0) = f ’(0) = 0, f” (x) = sec 4 x + 4, тогда функция будет

    (а) ln | (sin x) | + 1/3 загар 3 x + x

    (b) 2/3 ln | (sec x) | + 1/6 коричневый 2 x + 2x 2

    (c) ln | cos x | + 1/6 cos 2 x – x 2 /5

    (d) ни один из этих

    Решение: Поскольку f ”(x) = sec 4 x + 4

    Итак, f ”(x) = (1 + tan 2 x) sec 2 x + 4

    Следовательно, f ’(x) = tan x + tan 3 x / 3 + 4x + c

    Поскольку, f ’(0) = 0

    Итак, 0 = c

    Тогда f ’(x) = tan x + + tan3x / 3 + 4x

    = загар x + 1/3 загар x (сек 2 x – 1) + 4x

    f ’(x) = 2/3 tan x + 1/3 tan x sec 2 x + 4x

    Итак, f (x) = 2/3 ln | сек х | + загар 2 x / 6 + 2x 2 + d

    Но, f (0) = 0

    Итак, d = 0

    Тогда f (x) = 2/3 ln | сек х | + 1/6 загар 2x + 2x 2 .

    Пример 4: ∫ x -2/3 (1 + x 1/2 ) -5/3 dx равно

    (а) 3 (1 + x -1/2 ) -1/3 + c

    (б) 3 (1 + х -1/2 ) -2/3 + с

    (c) 3 (1 + x 1/2 ) -2/3 + c

    (a) ни один из этих

    Более одного

    Пример 5: более одного

    Если

    (а) A = 3/2

    (а) B = 35/36

    (a) C не определено

    (а) A + B = -19/36

    Пример 6: Заполните пропуски: ∫ √ x + √ (x 2 + 1) dx равно

    Пример 7: Истина / ложь: первообразная от f (x) = ln (ln x) + (ln x) -2 , график которой проходит через (e, e), равен x ln (ln x) – x (ln x) -1 .

    Решение:

    Скачать Решенные примеры неопределенного интеграла IIT JEE


    Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по Неопределенный интеграл , включающий учебные заметки, заметки о пересмотре, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д. Также просмотрите дополнительные учебные материалы по математике здесь, .

    Формула неопределенного интеграла – объяснение, свойства, решаемые примеры и часто задаваемые вопросы

    В исчислении интегрирование – это как раз обратное дифференцированию.Интеграция – это процесс, с помощью которого мы можем найти функцию с заданной производной. Эти неопределенные формулы интегрирования могут применяться к различным функциям. Эта интеграция может быть неопределенного или определенного типа. В алгебраическом методе интеграция – это способ понять концепцию неопределенного интеграла и найти интеграл для некоторой математической функции в любой точке. Интеграл, идущий после процесса, помогает определить функцию по ее производным. Кроме того, концепция неопределенного интеграла также полезна при решении многих задач как в математике, так и в естествознании.

    Неопределенные интегралы не ограничены, но свободны от обоих концов. Это означает, что независимая переменная не будет содержать никакого заданного интервала. Для определенного интегрирования обе конечные точки довольно специфичны и определены, тогда как для неопределенных интегралов нет границ.

    (изображение будет загружено в ближайшее время)

    Таким образом, мы можем найти уравнение вместо набора граничных значений для получения интеграла из-за дифференцирования без границ. Нам не нужно использовать значения, чтобы получить однозначный ответ.

    Для заданного, f (x), F ’(x) будет рассматриваться как его производная. Очевидно, что наиболее общая первообразная функции f (x) будет неопределенным интегралом.

    Итак, интеграл функции f (x) относительно переменной x будет:

    \ [\ int f (x) dx \]

    Кроме того, мы знаем, что обратная операция дифференцирования – это интегрирование, это означает, что если,

    \ [\ frac {d} {dx} f (x) = g (x) \]

    Таким образом,

    \ [g (x) dx = f (x) + C \]

    Здесь C представляет собой постоянную интегрирования, которая является обязательной.Для вычислений определенные интегралы всегда представляют некоторую ограниченную область. Это не то же самое с неопределенным интегралом, поскольку они являются ограниченной областью кривой.

    Некоторые свойства неопределенного интеграла

    1) \ [\ int cf (x) dx = c \ int f (x) dx \]

    Здесь c = постоянное значение

    Из неопределенного интеграла мы можем вынести мультипликативные константы.

    2) \ [\ int -f (x) dx = \ int f (x) dx \]

    Из-за отрицательной функции неопределенный интеграл также отрицателен.

    3) \ [\ int f (x) \ pm g (x) d = \ int f (x) dx \ pm \ int g (x) dx \]

    Показывает сумму, а также разницу интеграл функций как сумма или разность их индивидуального интеграла. Итак, это были некоторые свойства неопределенного интеграла.

    Формулы неопределенного интеграла

    Ниже приведены важные формулы неопределенного интеграла. Кроме того, есть решенные примеры для неопределенных интегральных формул, которые вы можете практиковать после прохождения неопределенной формулы.{3}}} {3} + 2 \ sqrt {x} + C \]

    Загрузить формулы в формате PDF и изучить методы

    Исчисление в основном состоит из двух важных разделов: дифференциации и интеграции. Проще говоря, мы можем сказать, что дифференцирование проводится для нахождения производной функции, тогда как интегрирование называется обратным процессом дифференцирования. В математике интегралы используются для получения полезных результатов, таких как площади, смещение, объемы и т. Д. Говоря об интегралах, обычно это относится к определенным интегралам.Неопределенные интегралы практикуются для первообразных.

    Интегральное исчисление – это комбинация двух разновидностей интегралов, в частности неопределенного и определенного интегралов. В этой статье мы сосредоточимся на неопределенных интегралах и узнаем о свойствах и методах для неопределенных интегралов с помощью формул и решенных примеров.

    Если вы читаете о неопределенных интегралах, вам также следует прочитать здесь об интегральном исчислении.

    Неопределенные интегралы

    Определение неопределенного интеграла: Интегрирование – это алгебраический подход для получения интеграла для некоторой математической функции в любом месте.{} f \ left (x \ right) dx = F \ left (X \ right) + C \, \ здесь \ C \ это \ an \ random \ cons \ tan t. \\\) Где f (x) – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, dx – интегрирующий агент. F (x) – первообразный член. Математически, если F (x) является антипроизводной от f (x), то наиболее распространенная первообразная от f (x) называется неопределенным интегралом.

    Термины / фразы / символы Значение
    \ (\ int f (x) dx \) Интеграл f w.{-1} \ left (\ frac {x} {a} \ right) + c \, \ Где \ c \ это \ a \ cons \ tan t. \ End {array} \)

    Если вы закончили читать со статьей «Неопределенные интегралы» вы также можете пройти через «Предел и непрерывность».

    Интеграция по частям

    Этот метод применяется, когда интеграл является продуктом двух функций. Рассмотрим f (x) и g (x) как две функции от x. Тогда

    \ (\ int f (x) \ cdot g (x) dx = f (x) \ int g (x) d x- \ int \ left [\ frac {d} {dx} f (x) \ cdot \ int g (x) dx \ right] \)

    Здесь f (x) обозначает первую функцию, а g (x) обозначает вторую функцию

    При интегрировании по частям мы используем порядок ILATE i.обратная тригонометрическая функция, логарифмическая функция, алгебраическая функция, тригонометрическая функция, экспоненциальная функция.

    Соответственно, на основе правила ILATE мы решаем, какая функция будет первой, а какая – второй.

    Интегрирование по правилу частичной дроби

    Если \ (\ frac {f (x)} {g (x)} \)

    – правильная рациональная функция, то только мы можем применить интегрирование по правилу частичной дроби, иначе сначала мы должны преобразовать это к правильной рациональной функции, затем примените к ней интегрирование по правилу частичной дроби.x.f \ left (x \ right) + c \, где \ c \ is \ a \ cons \ tan t. \ end {array} \)

    Если вы освоили неопределенные интегралы, вы можете узнать о приложениях производных.

    Неопределенный интеграл и определенный интеграл

    Неопределенный интеграл – это функция, которая следует за первообразной другой функции. Его можно визуально изобразить как интегральный символ, функцию, за которой следует dx в конце.

    Неопределенный интеграл – это более простой способ подразумевать взятие первообразной.Неопределенный интеграл сравним с определенным интегралом, но они не идентичны, как показано на изображении ниже. Определенный интеграл, как следует из названия, имеет определенные пределы (верхний и нижний предел).

    Экзамены, в которых неопределенные интегралы являются частью учебной программы

    Вопросы, основанные на неопределенных интегралах, часто возникают на различных престижных государственных экзаменах, некоторые из них следующие.

    Следите за обновлениями приложения Testbook или посетите веб-сайт Testbook, чтобы получить больше обновлений по таким схожим темам из математики, естествознания и многих подобных предметов, и даже можете проверить серию тестов, доступных для проверки своих знаний по различным экзаменам.

    Часто задаваемые вопросы о неопределенных интегралах

    Q.1 Каковы два основных типа исчислений?

    Ans.1 Два основных типа исчисления – дифференциальное исчисление и интегральное исчисление

    Q.2 Интегральное исчисление широко классифицируется.

    Ans.2 Интегральное исчисление подразделяется на неопределенные и определенные интегралы.

    Q.3 Какие существуют методы интеграции?

    Отв.3 Существуют различные методы интеграции; Интеграция с использованием подстановки, с использованием тригонометрических тождеств, с использованием частичных дробей и интегрирования по частям.

    Q.4 Когда интеграл называют неопределенным интегралом.

    Ans.4 Интеграл называется неопределенным интегралом, если он не имеет верхнего и нижнего пределов.

    Q.5 В чем разница между определенным и неопределенным интегралом?

    Отв.5 Неопределенные интегралы не ограничены / ограничены обеими конечными точками, тогда как определенный интеграл, как следует из названия, имеет определенные или ограниченные верхний и нижний пределы.

    Q.6 Что такое первообразная?

    Ans.6 Функция F (x) называется первообразной функции f (x), если:
    \ (F ′ (x) = f (x) \) для всех x в домен f.

    Q.7 Что такое неопределенный интеграл от нуля?

    Отв.{} f \ left (x \ right) dx = F \ left (X \ right) + C \) здесь C – произвольная константа.

    Создайте бесплатную учетную запись, чтобы продолжить чтение

    • Получите мгновенные оповещения о вакансиях бесплатно!

    • Получите ежедневную капсулу GK и текущих новостей и PDF-файлы

    • Получите более 100 бесплатных пробных тестов и викторин


    Подпишитесь бесплатно Уже есть аккаунт? Войти

    Следующее сообщение

    Интегральное (неопределенное) – веб-формулы

    Для функции f (x) антипроизводной f (x) является любая функция F (x) такая, что
    F´ (x) = f (x)

    Если F (x) – любая антипроизводная (или примитивная функция) от f (x) , тогда наиболее общая антипроизводная от f (x) называется неопределенным интегралом и обозначается,

    ∫f (x) dx = F (x) + c , где c – константа

    В этом определении ∫ называется интегральным символом, f (x) называется подынтегральным выражением, x называется переменной интегрирования, а « c » называется постоянной интегрирования и может принимать любое действительное значение.Присваивая c другое значение, мы получаем разные значения интеграла.

    Свойства неопределенных интегралов

    1. ∫ a dx = ax + c
    2. ∫af (x) dx = a ∫ f (x) dx
    3. ∫ – f (x) dx = – ∫ f (x) dx
    4. ∫ [f (x) ± F (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫F (x) dx
    5. Правило замены:
    Если u = g (x) – дифференцируемая функция, диапазон которой является интервалом I, а f непрерывен на I, то
    ∫f (g (x)) g´ (x) dx = ∫f (u ) du


    Стандартная замена
    1.Для выражений вида x 2 + 2 или квадратного корня из x 2 + 2 положите x = загар θ или колыбель θ.
    2. Для членов вида x 2 2 или квадратного корня из x 2 2 , положите x = секунда θ или косекунда θ.
    3. Для членов формы 2 – x 2 или квадратного корня из 2 – x 2 , положите x = sin θ или cos θ.

    4. Если присутствуют оба

    , тогда положите x = cos θ.

    5. В качестве типа положите x = a cos

    2 q + b sin 2 q.

    6. Если n не равно минус единице, интеграл от u

    n du получается путем прибавления единицы к показателю степени и деления на новую экспоненту. Это называется общей формулой мощности.

    где C – постоянная интегрирования.

    7. Интегрирование по частям: Если u и v – две функции от x, то интеграл произведения этих двух функций определяется по формуле:


    Этот метод в основном используется, когда подынтегральное выражение является произведением двух функций.

    Примечание: При применении вышеуказанного правила необходимо соблюдать осторожность при выборе первой функции (u) и второй функции. Если обе функции интегрируемы напрямую, то первая функция выбирается таким образом, чтобы производная функции, полученной таким образом под знаком интеграла, была легко интегрируемой. Обычно мы используем следующий порядок предпочтения для первой функции. (обратный, логарифмический, алгебраический, тригонометрический, экспоненциальный) . В этом порядке функция слева всегда выбирается как первая функция.Это правило называется ILATE.

    В свойствах не указаны интегралы от произведений и частные. Причина этого проста. Как и в случае с производными финансовыми инструментами, каждое из следующих действий НЕ будет работать.
    ∫ [f (x) × F (x)] dx ≠ ∫f (x) dx × ∫F (x) dx
    и
    ∫ [f (x) / F (x)] dx ≠ ∫ [f (x) dx] / ∫ [F (x) dx]

    Пример 1. Вычислить интеграл

    Решение :

    Be осторожно, чтобы не думать о третьем члене как о степени x для целей интеграции.Использование этого правила для третьего члена НЕ будет работать. Третий член – это просто логарифм. Кроме того, не волнуйтесь по поводу числа 15. 15 – это просто константа, поэтому ее можно вычесть из интеграла. Другими словами, вот что мы сделали, чтобы интегрировать третий член.

    Пример 2: вычислить неопределенный интеграл

    Решение:

    Пример 3: ∫ (1-2x 2 ) 3 dx
    Решение:
    ∫ (1-2x 2 ) 3 dx

    Если мы положим u = 1-2x 2 и n = 3 , то du = – 4xdx .Но в данном подынтегральном выражении нет x . Легко вставить -4 в подынтегральное выражение и компенсировать это, поместив -1/4 перед знаком интеграла, но ничего нельзя сделать с отсутствующим множителем x . Поэтому мы расширяем (1-2x 2 ) 3 и интегрируем по срокам.
    ∫ (1-2x 2 ) 3 dx
    = ∫ [1 3 – 3 (1 2 ) (2x 2 ) + 3 (1) (2x 2 ) 2 – (2x 2 ) 3 ] dx
    = ∫ (1 – 6x 2 + 12x 4 – 8x 6 ) dx
    = ∫ (1 – 6x 2 + 12x 4 – 8x 6 ) dx
    x – 6x 3 /3 + 12x 5 /5 – 8x 7 /7 + C
    = x – 2x 3 + 12x 5 /5 – 8x 7 /7 + C

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *