Примеры с решением определенного интеграла: Определенный интеграл и методы его вычисления с примерами решения - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

определение и примеры с решением по высшей математике

Оглавление:

Приступая к изучению этой темы, необходимо усвоить определение и основные свойства определенного интеграла.

При вычислении определенного интеграла используют формулу Ньютона — Лейбница

где — любая первообразная функция .

Методы вычисления определенных интегралов

1. Замена переменной осуществляется по формуле

где .

Эта формула справедлива, если — непрерывная функция, а подстановка сама непрерывна на отрезке . Подчеркнем, что при вычислении определенного интеграла методом замены переменной, в отличие от неопределенного интеграла, возврат к старой переменной не требуется.

2. Интегрирование по частям

Если функции и имеют непрерывные производные на , то справедлива формула

где символ обозначает разность .

Приложения определенного интеграла

В этой теме предусмотрено применение определенного интеграла для вычисления площадей различных фигур, объемов тел вращения, длин кривых, работы и силы давления.

Вычисление площади в прямоугольных координатах

а) Если непрерывная кривая задана уравнением , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и осью (рис. 22), вычисляется по формуле

б) Если криволинейная трапеция ограничена непрерывными кривыми , причем , и прямыми , то ее площадь вычисляется по формуле (рис. 23).

В отдельных случаях какая-либо граница и может выродиться в точку пересечения кривых (рис. 24).

Параметрически заданная кривая

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми и осью , выражается интегралом

где определяются из уравнений и .

Вычисление площади в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то площадь криволинейного сектора (рис. 25) вычисляется по формуле

Объем тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и прямыми (см. рис. 22), вычисляется по формуле .

Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , осью ординат и прямыми (рис. 26), вычисляются по формуле

Если задана параметрическими уравнениями , то формула принимает вид

где и находятся из уравнений , .

Длина плоских кривых

Если плоская кривая задана уравнением и производная непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом

где и — абсциссы концов дуги.

1. Если кривая задана уравнениями вида , то

где и — ординаты концов дуги.

2. Если кривая задана в параметрической форме и производные непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой выражается интегралом

где — значения параметра , соответствующие концам дуги .

3. Если гладкая кривая задана уравнением (см. рис. 25) в полярных координатах, то длина дуги кривой выражается интегралом

где и — значения полярного угла в концах дуги .

Физическое приложение

1) Общая схема применения определенного интеграла

Пусть требуется найти некоторую физическую величину , имеющую определенное значение на отрезке . Предполагается, что является аддитивной величиной, т. е. если отрезок делится на части, то величина складывается из суммы значений , соответствующих этим частям. Из условия задачи находят «элемент» величины , отвечающий «элементарному» промежутку в виде . После этого, интегрируя по отрезку , получают величину .

2) Путь, пройденный точкой.

Пусть точка движется по прямой с переменной скоростью . Определить путь, пройденный точкой от момента времени до момента .

Решение:

За элементарный промежуток времени точка пройдет путь

, где — «элемент пути» и .

3)Работа силы.

Пусть материальная точка движется вдоль оси от точки до точки под действием переменной силы , причем направление силы совпадает с направлением движения. Найти работу, произведенную силой при этом перемещении.

Решение:

На элементарном перемещении работа силы равна . Мы получили «элементарную» работу , .

4) Сила давления жидкости на пластину выражается формулой

где — глубина, на которой находится самая верхняя точка пластинки; — глубина, на которой находится самая нижняя ее точка; — удельная плотность жидкости; — ускорение свободного падения; — расстояние точек пластинки до уровня жидкости; — длина горизонтального сечения пластинки (это неизвестная функция, зависящая от формы пластинки).

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями

Решение:

Построим данную фигуру: — гипербола, — прямая (рис. 27).

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы, решив систему уравнений

Искомая площадь равна:

Ответ:

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Уравнения в полярных координатах и являются окружностями (рис. 28). Кривые, заданные в полярных координатах, можно строить по точкам с помощью ЭВМ. Основные кривые рассматриваются в предлагаемой литературе.

Очевидно, что . Площадь криволинейного сектора можно найти по формуле .

Уравнение луча .

Ответ: .

Пример 3.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболами и .

Решение:

Очевидно, что , где — объем тела, полученный вращением трапеции , — объем тела, полученный вращением трапеции (рис. 29).

Найдем ординаты точек пересечения парабол:

Уравнение параболы (кривая ) запишем в виде , тогда

Следовательно, .

Ответ: .

Пример 4.

Вычислить объем тела, которое получается от вращения фигуры, ограниченной кардиоидой вокруг полярной оси.

Решение:

Искомый объем представляет собой разность объемов, получаемых от вращения вокруг оси (она же и полярная ось) фигуры и (рис. 30).

Перейдем к параметрическому заданию кривой, приняв за параметр полярный угол : .

Очевидно, что абсцисса точки равна (значение при ). Абсцисса точки есть значение минимума функции .

Найдем этот минимум: , , и . При , при получаем .

Координаты точки . Следовательно, искомый объем

Ответ: .

Пример 5.

Найти силу давления, испытываемую пластиной с одной стороны в форме полукруга радиуса , погруженного в жидкость так, что диаметр совпадает с поверхностью жидкости.

Решение:

Вычислим силу давления, испытываемую «элементом» пластины на глубине :

где — площадь элемента пластины (рис. 31), .

Из по теореме Пифагора находим:

Тогда

Вычислим силу давления на пластину:

Ответ: .

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

7. 3 Примеры решения задач.

№1 Найти

Решение . Данный интеграл не является табличным. Умножив на _{и на (3) одновременно подинтегральное
выражение, получим:}

d3x

№ 2. Найти интеграл:

Решение. Используем интегрирование по частям, т.е используем формулу:

_Имеем:

№ 3. Найти интеграл:

_{Решение:
Используем подстановку , чтобы
сделать подынтегральное выражение
рациональным (без корня).}

Итак,

Тогда _J_{примет вид:}

Использованы операции:

1. Замена

_{Вынесен
постоянный множитель 2.}
_{Умножим
и разделим на (-1).}
_{В
числителе подынтегральной дроби
прибавили (+1) и (-1).}
_{Использовано
свойство:}

_{Применили
табличные формулы:}

₇

. Замена переменной по формуле (из подстановки)

Вопросы для самопроверки.

_{Дайте
определение первообразной функции
неопределённого интеграла. Приведите
примеры.}
_{Сформулировать
свойства неопределённого интеграла.}
_{В
чём заключается геометрический смысл
неопределённого интеграла?}
_{Назовите
основные методы интегрирования.}

Решите: _{методом подстановки.}
_{Примените
формулу интегрирования по частям к
интегралу:}

_{Объяснить,
почему}_∫_x²_cos_x³_dx_{решается способом подведения функции
под знак дифференциала. Можно ли решить
этот интеграл методом подстановки?}

Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.

_{Определение:}_{Определённым интегралом по отрезку}__a_;_b__{от функции}_f₍_x_{)
называется предел интегральной суммы}_{,
если этот предел существует и не зависит
ни от деления отрезка}__a_;_b__{на части, ни от выбора точек}__{внутри каждой из частей при условии,
что длина наибольшего из частичных
отрезков (∆}_x_i_{)
стремится к нулю, т.е}

_Числа_a_,_b

_{называются соответственно нижним и
верхним пределами интегрирования, т.е}__a_;_b__{-отрезок
интегрирования.}

Свойства определённого интеграла по a;b.

_1.

_2.

_3.

_4.

_5._{С- постоянная}

Правила вычисления определённого интеграла по a;b

_{функция
для}_f₍_x_),

._{– формула Ньютона-Лейбница, где}

_F₍_x_{)-
первообразная}

2. _{–
интегрирование по частям.}

3. _{, где}_x₌_₍_t_{)
функция непрерывная вместе со своей
производной}

_на__;_

_{Например}_{:
Найти значение определённого интеграла}

Решение:

Решаем методом подстановки

Положим

Тогда

Несобственные интегралы.

К несобственным интегралам относятся:

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования вида:

_{Интегралы
от разрывных функций (от неограниченных
функций).}

Пример 1.

– несобственный интеграл 2) типа, т.к на отрезке __-2;9__{функция}_{терпит бесконечный разрыв в точке}_x_=0.

_{Пример
2.}_{Вычислить}

_{Решение}

_{Пример
3.}_{Вычислить}

_{Решение:}

_Т.к_{–
чётная функция.}

_Тогда

_{Замечание.Если предел несобственного интеграла
существует и конечен, то несобственный
интеграл называется сходящимся.}

_{Если же предел
не существует или равен бесконечности,
то интеграл называется расходящимся.}

как решать, правила вычисления, объяснение. Замена переменной в определенном интеграле

>> >> >> Методы интегрирования

Определение интеграла, определенного и неопределенного, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов.

Неопределенный интеграл

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие непрерывные . Тогда, по произведения,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) – vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv – ∫ vdu (8.4.)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udv=uv”dx к интегрированию выражения vdu=vu”dx.

Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x – ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Определенный интеграл

Методы интегрирования , понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке определена функция f(x). Разобьем отрезок [ a,b] на n частей точками a= x 0 Δ x i =x i – x i-1 . Сумма вида f(ξ i)Δ x i называется интегральной суммой, а ее предел при λ = maxΔx i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке , числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла .

Методы интегрирования имеют следующие свойства:

Последнее свойство называется

теоремой о среднем значении .

Пусть f(x) непрерывна на . Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница , cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) – F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными.

Несобственные интегралы I рода – это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

(8.7)

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-∞,b] и (-∞, + ∞):

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка , кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

Примеры вычисления интегралов

Пример 3.30. Вычислить ∫dx/(x+2).

Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .

Пример 3.31 . Найти ∫ tgxdx.

Решение.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = – ∫dcosx/cosx. Пусть t=cosx, тогда ∫ tgxdx = -∫ dt/t = – ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример 3.32 . Найти ∫dx/sinx

Пример 3.33. Найти .

Решение. =

Пример 3.34 . Найти ∫arctgxdx.

Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx – ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример 3.35 . Вычислить ∫lnxdx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx – ∫x 1/x dx =
= xlnx – ∫dx + C= xlnx – x + C.

Пример 3.36 . Вычислить ∫e x sinxdx.

Решение. Применим формулу интегрирования по частям. Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= – cosx → ∫ e x sinxdx = – e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Имеем:
∫ e x cosxdx = e x sinx – ∫ e x sinxdx. Получили соотношение ∫e x sinxdx = – e x cosx + e x sinx – ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx dx = – e x cosx + e x sinx + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение.Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .

Пример 3.39 . Вычислить J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Изучаем понятие « интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.