Примеры с решением производных сложных функций: Производная сложной функции. Примеры нахождения производных сложных функций.

Лист контроля

– вызвать к доске студента показать оформление решения примера № 5 с комментарием выполненных действий.

– обратить внимание на правильное решение и правильное оформление решения домашнего примера №5.

III. Всесторонняя проверка знаний.

– игра “Математическое лото” – проверка знаний правил дифференцирования, таблицы производных.

В специальном конверте каждой паре студентов предлагается набор карточек (всего 10 карточек). Это – карточки-формулы. Имеется другой набор карточек. Это – карточки-ответы, которых больше, так как среди ответов есть ложные ответы. Студент находит ответ на задание, и этой карточкой (ответом) накрывает соответствующий номер в специальной карте. Студенты работают в паре, поэтому оценивают друг друга, выставляют оценки в лист контроля согласно критерия: “5” – знает 9-10 формул; “4” – знает 7-8 формул; “3” – знает 5-6 формул; “2” – знает меньше 5 формул.

Идет проверка и оценка знаний формул на магнитной доске. В случае правильных ответов на магнитной доске обратные стороны карточек-ответов составляют большую картину, которую видит вся группа. Номера в специальной карте совпадают с номерами карточек-формул. Если раскрыть на магнитной доске ответы с обратной стороны, то все карточки в целом образуют картину.

IV. Подготовка к (усвоению) изучению нового учебного материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

– постановка проблемной ситуации: найти производную функции ;

– на прошлых уроках мы научились находить производные элементарных функций. Функции сложные. Умеем ли мы находить производные сложных функций?

[Нет.]

Значит, с чем мы должны сегодня познакомиться?

[С нахождением производной сложных функций.]

Студенты сами формулируют тему и задачи урока, преподаватель записывает тему на доске, а студенты – в тетради.

– историческая справка, связь с будущей профессиональной деятельностью.

V. Усвоение новых знаний.

– показать на доске нахождение производных функций: ;

– решите примеры:

1)

2)

3)

4) ;

5) ;

6) .

VI. Первичное осмысление и понимание нового материала.

– повторить алгоритм нахождения производной сложной функции;

– решить примеры:

1)

2)

4) ;

5) ;

6) ;

7)

8)

VII. Закрепление новых знаний с помощью теста по вариантам.

Задания с тестами дифференцированные: примеры с № 1-3 оцениваются на “3”, до № 4 – на “4”, все пять примеров – на “5”.

Студенты решают в тетради и проверяют ответы друг у друга с помощью мультимедиа и ставят оценку друг другу (взаимоконтроль) в лист контроля.

Тест.

Вариант 1.

Найти производные функций. (А., В., С. – ответы)

Вариант 2.

Найти производные функций. (А., В., С. – ответы)

VIII.

Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении.

IX. Подведение итогов урока, рефлексия:

– сдача листов контроля;

– рефлексия.

Производная и ее приложения. Учебно-методическое пособие

проверки полученных знаний даны самостоятельные и контрольная работы.

Предназначено для студентов всех специальностей и составлено в соответствии с действующей программой по высшей математике.

                                                                       ББК 22.161.1

ISBN978-985-468-768-1Ó Щербо  А.  М.,  Шабалина  И.  П., Прокопенко А. И., 2010

Ó Оформление. УО «БелГУТ», 2010

1 ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ

Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимого переменного при условии, что это последнее стремится к нулю произвольным образом:

                               (1. 1)

Нахождение производной  называют дифференцированием функции. Производная  представляет собой скорость изменения функции в точке .

Пример 1.1. Пользуясь определением производной, найти производную функции .

Решение. Найдем приращение функции

Тогда

Имеют место следующие основные правила дифференцирования (здесь  – постоянная, а  и  – функции от , имеющие производные):

Пользуясь приведенным определением производной, можно получить таблицу формул дифференцирования основных функций:

Пример 1.2. Найти производную функции

Решение. Основываясь на формуле (1.5), получаем

Далее, применяя формулу (1.4), имеем

Применяя формулы (1. 8), (1.3) и (1.5), получаем

Естественно, при некотором навыке подобные промежуточные выкладки опускают.

Пример 1.3. Найти  если

Решение. Применяя формулы (1.7), (1.8) и (1.18), получим

Если это целесообразно, т. е. ведет к упрощению дифференцирования, то функцию можно предварительно тождественно преобразовать, а потом уже находить производную.

Пример 1.4. Найти  если

Решение. Преобразуем данную функцию:

Тогда

Задачи для самостоятельной работы

Используя правила дифференцирования и таблицу производных основных функций, найти производные:

2 ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть  и  – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция  есть также дифференцируемая функция, причем

или

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций.

Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, можно получить таблицу более общих формул дифференцирования основных элементарных функций, где :

Пример 2.1. Найти  если

Решение. Полагая , где , согласно (2.2) будем иметь

Пример 2.2. Найти  если

Решение. Полагая , где , , находим

При дифференцировании сложных функций обычно обходятся без введения промежуточных аргументов  их только подразумевают. Например, последовательность нахождения производной функции, рассмотренной в данном примере, можно записать так:

Кроме того, нет необходимости последовательно записывать, что сначала взята производная степенной функции с основанием , а затем производная косинуса и на последнем этапе производная его аргумента. Результат можно записать сразу:

В последующих примерах так и будем поступать.

Последовательность нахождения сложной производной можно задавать с помощью скобок. Для функции данного примера

Чтобы не путаться в сложных случаях при дифференцировании, можно рекомендовать придерживаться следующего правила: если подлежащая дифференцированию функция является результатом целого ряда действий над аргументом , то за промежуточный аргумент  следует принять результат всех этих действий, кроме последнего. Например, если , то , так как при вычислении последним действием является возведение в четвертую степень. Тогда производная

Пример 2.3. Найти производную функции

Решение.

Пример 2.4. Найти производную функции

Решение.

Пример 2.5. Найти производную функции

Решение.

Пример 2.6. Найти производную

Решение.

Пример 2.7. Вычислить , если

Решение. Находим производную заданной функции:

Подставляем в выражение производной вместо  единицу:

Задачи для самостоятельной работы

Найти производную функций:

3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Производная функции  при значении аргумента  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :

                                 (3.1)

Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид

                        (3.2)

Уравнение нормали, т. е. прямой, проходящей через точку касания , перпендикулярной касательной, записывается в виде

                                        (3.3)

Производная функции , вычисленная при , т.  е. , представляет собой скорость изменения функции относительно независимой переменной  в точке . Если зависимость между пройденным путем  и временем  при прямолинейном движении выражается формулой , то скорость  в любой момент времени  есть производная

                                      (3.4)

а ускорение (т. е. скорость изменения скорости движения)

                                                        (3.5)

Пример 3.1. Найти уравнение касательной и нормали к кривой  в точке

Решение. Находим производную и ее значение при :  

Воспользовавшись формулами (3.2) и (3.3), составим уравнение касательной:  и уравнение нормали:

Пример 3.2. Составить уравнение касательной к параболе  параллельной прямой

Решение. Чтобы составить уравнение касательной, нужно найти координаты точки касания . Для этого найдем угловой коэффициент прямой k_пр = 7 и на основании условия параллельности k_пр =_{kкас получим kкас Тогда}

Уравнение касательной будет иметь вид

Пример 3. 3. Тело движется прямолинейно по закону  ( выражается в метрах,  – в секундах). Найти скорость и ускорение движения через 1 с после начала движения.

Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени:

Тогда  (м/с).

Ускорение прямолинейного движения равно производной скорости по времени:  и, следовательно,  (м/с²).

Пример 3.4. Вращающееся колесо вагона задерживается тормозом. Угол , на который колесо поворачивается в течение  с, определяется равенством  Найти угловую скорость и угловое ускорение движения через 0,1 с после включения тормоза. Определить, в какой момент времени колесо остановится.

Решение. Угловая скорость движения колеса

Угловое ускорение

 т. е. ускорение постоянное.

Колесо остановится, когда скорость

Пример 3.5. Радиус основания цилиндра увеличивается со скоростью 3 м/с, а высота его уменьшается со скоростью 2 м/с. Какова скорость изменения объема цилиндра?

Решение. Объем цилиндра  где  – радиус основания,  – высота цилиндра. Продифференцируем обе части этого равенства по времени , учитывая, что  и  зависят от :

По условию  м/с,  м/с.

Тогда скорость изменения объема цилиндра

Пример 3.6. На кривой  найти точку, в которой ордината возрастает в два раза быстрее, чем абсцисса.

Решение. Находим производную

Так как производная характеризует скорость возрастания ординаты функции по сравнению с возрастанием абсциссы, то определим абсциссу точки из условия   а ордината точки  Получили точку

Пример 3.7. Под каким углом пересекаются линии  и

Решение. Под углом между двумя пересекающимися кривыми понимают угол между касательными к этим кривым, проведенным в точке их пересечения.

Найдем точку пересечения кривых, для чего совместно решим

– Производная модуля комплексной функции $f(x,z)$, где $x \in \mathbb{R}$ и $z \in \mathbb{C}$

спросил 5 лет, 5 месяцев назад

Изменено 5 лет, 5 месяцев назад

Просмотрено 9к раз

$\begingroup$

Пусть $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — вещественная функция, а $z \in \mathbb{C}$ — такое комплексное число, что $$ f(x)=|x \cdot z| $$ Вычислим производную от $f$

, если применить правила вывода: $$ f'(x)=\dfrac{x \cdot z}{|x \cdot z|} \cdot г $$ но это действительно неправильно $$ f(x)=|x \cdot z| = |х| \cdot |г| $$ и сейчас $$ f'(x)=\dfrac{x}{|x|} \cdot |г| $$ так какова производная от $f$?

Какова вообще производная абсолютного значения функции $|f(x,z)|$ относительно действительной переменной $x$ и $z \in \mathbb{C}$?

Спасибо.

• комплексный анализ
• анализ
• производные
• частная производная 92}}=|z|\cdot \dfrac{x}{|x|}$$

  $\endgroup$

  1

  $\begingroup$

  Интересно. Я думаю, мы пытаемся использовать цепное правило.

  Вы используете формулу $$ \frac{d}{dx} |x| = \ гидроразрыв {х} {| х |} \тег{*}$$ что верно, когда $x$ действительно и не равно нулю. Затем вы пытаетесь использовать цепное правило, подобное этому $$ \frac{d}{dx} \big|g(x)\big| = \frac{g(x)}{|g(x)|}\;g'(x) \тег{**}$$ Это нормально, если $g$ — дифференцируемая функция, значения которой ненулевые вещественные числа. Но вы пытаетесь применить его к функции $g(x) = xz$ с недействительными значениями. Не хорошо. Как я уже сказал, (*) только для действительных значений, поэтому (**) только для вещественных функций $g$.

  $\endgroup$

  3

  Зарегистрируйтесь или войдите в систему

  Зарегистрируйтесь с помощью Google

  Зарегистрироваться через Facebook

  Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

  Опубликовать как гость

  Электронная почта

  Требуется, но никогда не отображается

  Опубликовать как гость

  Электронная почта

  Требуется, но не отображается

  Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

  .

  Новые свойства сложных функций с условиями среднего значения

  На этой странице

  РезюмеВведениеПредварительные сведенияБлагодарностиСсылкиАвторское правоСтатьи по теме

  Мы применяем смягчающие средства для изучения свойств вещественных функций, которые удовлетворяют условиям среднего значения, и представляют новые эквивалентные условия для сложных аналитических функций. Приведены новые свойства сложных функций с условиями среднего значения.

  1. Введение

  Комплексная аналитическая функция обладает многими хорошими свойствами. В ссылках по теории комплексных функций (см. [1] и ссылки в ней) мы видим, что аналитическая функция удовлетворяет теореме о среднем значении, но обратное неверно. Следовательно, условие среднего значения слабее аналитического условия.

  Проблема среднего значения была очень активной областью в последние годы. Теорема о среднем значении для вещественнозначных дифференцируемых функций, определенных на интервале, является одним из наиболее фундаментальных результатов анализа. Однако теорема неверна для комплекснозначных функций, даже если функция дифференцируема во всей комплексной плоскости. Кази [2] проиллюстрировал это примерами и представил три результата положительного характера. Теорема о среднем значении для непрерывных вектор-функций была введена с помощью смягченных производных и гладких аппроксимаций в [3]. Креспи и др. [4] и Ла Торре [5] дали некоторые характеристики выпуклых функций с помощью смягченных производных второго порядка. Необходимые условия оптимальности второго порядка для задач негладкой векторной оптимизации были заданы гладкими аппроксимациями в [6]. Эберхард и Мордухович [7] в основном занимались выводом необходимых (и частично достаточных) условий оптимальности первого и второго порядка для общего класса задач оптимизации с ограничениями посредством сглаживания свертки. Эберхард и др. В работе [8] показано, что субдифференциалы второго порядка строились путем накопления локальной информации Гессе, обеспечиваемой интегральной сверточной аппроксимацией функции. В [9], Аймар и соавт. показал формулу параболического среднего значения.

  В этой статье мы будем применять смягчители для изучения свойств вещественных функций, которые удовлетворяют условиям среднего значения, и представить новые эквивалентные условия для сложных аналитических функций. Будут даны новые свойства сложных функций с условиями среднего значения.

  Введем обозначения: 𝑟},  𝜕𝐵𝑟(𝑝0)={𝑝∣расст(𝑝,𝑝0)=𝑟}. Используя цепное правило вывода, имеем 𝜕𝑧𝜕𝑧2𝜕𝑥2+𝜕2𝜕𝑦2.(1.1) Уравнение Коши-Римана аналитической функции 𝑓(𝑧)=𝑢(𝑥,𝑦)+𝑖𝑣(𝑥,𝑦) можно записать как 𝜕𝑓(𝑧)𝜕𝑧=0. (1.2)

  Мы будем использовать следующие классические определения и результаты функционального анализа.

  Определение 1.1 (см. [10]). Функции (1.3) с 𝑐∈𝑅 такие, что ∫𝑅𝑛𝜑𝜀(𝑥)𝑑𝑥=1, называются стандартными смягчителями.

  Из определения мы видим, что функции 𝜑𝜀 равны 𝐶∞.

  Определение 1.2 (см. [3]). Задайте локально интегрируемую функцию 𝑓∶𝑅𝑛→𝑅𝑚 и последовательность ограниченных смягчающих элементов, и задайте функции 𝑓𝜀 с помощью свертки (1. 4) Последовательность 𝑓𝜀(𝑥) называется последовательностью смягченных функций.

  Предложение 1.3 (Свойства смягчающих средств, см. [10]). Предположим, что Ω⊂Rn открыто, 𝜀>0, запишем Ω𝜀={x∈Ω∣dist(x,𝜕Ω)>𝜀}. Тогда (i) 𝑓𝜀∈𝐶∞(Ω𝜀), (ii) 𝑓𝜀→𝑓 п.в. при 𝜀→0, (iii) , если 𝑓∈𝐶(Ω), то 𝑓𝜀→𝑓 равномерно на компактных подмножествах Ω, (iv) Если 1≤𝑝<∞ и 𝑓∈𝐿𝑝loc(Ω), то 𝑓𝜀→ 𝑓 в 𝐿𝑝loc(Ω).

  Этот документ организован следующим образом. В разделе 2 мы даем определения условий среднего значения и их эквивалентных форм. Применяя смягчители, мы показываем некоторые свойства вещественных функций с условиями среднего значения в разделе 3. Раздел 4 содержит наши основные результаты для сложных функций, удовлетворяющих условию среднего значения, то есть новое условие эквивалентности комплексной аналитической функции и новые свойства комплексных функций . Наконец, мы представляем две задачи с их ответами.

  2. Условия среднего значения

  Определение 2. 1 (условие среднего значения). Пусть Ω — область в поле комплексных чисел (ограниченная или неограниченная) и 𝑓(𝑧)=𝑢(𝑥,𝑦)+𝑖𝑣(𝑥,𝑦) — непрерывная комплексная функция, определенная в Ω. Для любого 𝑧0∈Ω и {𝑧∣|𝑧−𝑧0|≤𝑟}⊂Ω, если 𝑓𝑧0=12𝜋𝑟||𝑧−𝑧0||=𝑟𝑓(𝑧)𝑑𝑠, (2.1) мы говорим, что 𝑓(𝑧) удовлетворяет условию среднего значения в области Ω.

  Примечание 2.2. Если 𝑓(𝑧) — аналитическая функция в области Ω, то 𝑓(𝑧) удовлетворяет условию среднего значения в области Ω (см. [1]), обратное неверно. Например, 𝑓(𝑧)=1+𝑖𝑦 удовлетворяет условию среднего значения в поле комплексных чисел, но не является аналитическим. Следовательно, условие среднего значения слабее аналитического условия.

  Определение 2.3 (Условие среднего значения). . Положим 𝑤(𝑝)∈𝐶(Ω).(i)Для любого 𝐵𝑟(𝑝0)⊂Ω, если 𝑤𝑝0=12𝜋𝑟𝜕𝐵𝑟(𝑝0)𝑤(𝑝)𝑑𝑠, (2.2) мы говорим, что 𝑤(𝑝) удовлетворяет первому условию среднего значения. (ii) Для любого 𝐵𝑟(𝑝0)⊂Ω, если 𝑤𝑝0=1𝜋𝑟2𝐵𝑟(𝑝0)𝑤(𝑝)𝑑𝑝, (2.3) мы говорим, что 𝑤(𝑝) удовлетворяет второму условию среднего значения.

  Предложение 2.4. (1) Первое и второе условия среднего значения 𝑤(𝑝) эквивалентны.
  (2) (i) Первое условие среднего значения 𝑤(𝑝) можно записать как 𝑤𝑝0=12𝜋|𝜔|=1𝑤𝑝0+𝑟𝜔𝑑𝑠.(2.4) (ii) Второе условие среднего значения 𝑤(𝑝) можно записать как (2.5)
  (3) Условие среднего значения комплексной функции 𝑓𝑧0 = 12𝜋02𝜋𝑓𝑧0+𝑟𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃. (2.6)
  (4) Комплексная функция 𝑓 (𝑧) = 𝑢 (𝑥, 𝑦)+𝑖𝑣 (𝑥, 𝑦) удовлетворяет условию среднего значения, если если и только если действительные функции𝑢(𝑥,𝑦) и𝑣(𝑥,𝑦) удовлетворяют условиям среднего значения.

  Доказательство. (1) Различение обеих сторон 𝑤𝑝0=1𝜋𝑟2𝐵𝑟(𝑝0)1𝑤(𝑝)𝑑𝑝=𝜋𝑟2𝑟0𝑑𝜌𝜕𝐵𝜌(𝑝0)𝑤(𝑠,)𝑑 относительно 𝑟 имеем 20=−𝜋𝑟3𝑟0𝑑𝜌𝜕𝐵𝜌(𝑝0)1𝑤(𝑝)𝑑𝑠+𝜋𝑟2𝜕𝐵𝑟(𝑝0)𝑤(𝑝)𝑑𝑠, (2.8) то есть, 12𝜋𝜕𝐵𝑟(𝑝0)1𝑤(𝑝)𝑑𝑠=𝜋𝑟2𝐵𝑟(𝑝0)𝑝𝑤(𝑝)𝑑𝑝=𝑤0.(2.9) Запишем первое условие среднего значения как 𝑤𝑝01𝜌=2𝜋𝜕𝐵𝜌(𝑝0)𝑤(𝑝)𝑑𝑠(2.10) и получить второе условие среднего значения, интегрируя обе части (2.10) по 𝜌 на [0, 𝑟].
  (2) (i)Пусть 𝑝=𝑝0+𝑟𝜔. Тогда по формуле интегрального преобразования получаем 𝑤𝑝0=12𝜋𝑟𝜕𝐵𝑟(𝑝0)1𝑤(𝑝)𝑑𝑠=2𝜋|𝜔|=1𝑤𝑝0+𝑟𝜔𝑑𝑠. 𝑤𝑝0 = 1𝜋𝑟2𝐵𝑟 (𝑝0) 1𝑤 (𝑝) 𝑑𝑝 = 𝜋 | 𝜔 | ≤1𝑤𝑝0+𝑟𝜔𝑑𝜔. (2.12)
  (3) Пусть 𝑧 = 𝑧0+𝑟𝑒𝑖𝜃. Тогда по формуле интегрального преобразования получаем 𝑓𝑧0=12𝜋𝑟||𝑧−𝑧0||=𝑟1𝑓(𝑧)𝑑𝑠=2𝜋02𝜋𝑓𝑧0+𝑟𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃)3.(2,9.0150 (4) Пусть 𝑧=𝑧0+𝑟(𝜔1+𝑖𝜔2) и 𝜔=(𝜔1,𝜔2). Тогда по формуле интегрального преобразования получаем 𝑢𝑥0, 𝑦0𝑥+𝑖𝑣0, 𝑦0𝑧 = 𝑓0 = 12𝜋𝑟 || 𝑧 – 𝑧0 || = 𝑟 [] = 1𝑢 (𝑥, 𝑦)+𝑖𝑣 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑠 2𝜋 |𝜔|=1𝑢𝑝0𝑝+𝑟𝜔+𝑖𝑣0+𝑟𝜔𝑑𝑠, (2.14) что подразумевает 𝑢𝑥0, 𝑦0 = 12𝜋 | 𝜔 | = 1𝑢𝑝0𝑥+𝑟𝜔𝑑𝑠, 𝑣0, 𝑦0 = 12𝜋 | 𝜔 | = 1𝑣𝑝0+𝑟𝜔𝑑𝑠. (2,15)

  3. Предварительные вещества

  В этом разделе мы приводим свойства вещественных функций, удовлетворяющих условиям среднего значения. Эти свойства будут использованы для доказательства наших основных результатов в разделе 4.

  Лемма 3.1. Если Δ𝑤(𝑝)=0,𝑝=(𝑥,𝑦)∈Ω, то 𝑤(𝑥,𝑦) удовлетворяет условию среднего значения в области Ω.

  Доказательство. Для любого 𝐵𝑟(𝑝0)⊂Ω по формуле Грина имеем 𝐵𝜌 (𝑝0) Δ𝑤 (𝑝) 𝑑𝑝 = 𝜕𝐵𝜌 (𝑝0) 𝜕𝑤 = 𝜌 | 𝜔 | = 1𝜕𝑤𝑝𝜕𝜌0𝜕+𝜌𝜔𝑑𝑠 = 𝜌 | 𝜔 | = 1𝑤 𝑝0+𝜌𝜔𝑑𝑠.(3.1) Поскольку 𝑤 гармонична в Ω, из (3.1) получаем, что 𝜕𝜕𝜌|𝜔|=1𝑤𝑝0+𝜌𝜔𝑑𝑠=0.(3.2) Интегрируя обе части (3.2) по 𝜌 на [0,𝑟], получаем |𝜔|=1𝑤𝑝0+𝑟𝜔𝑑𝑠=|𝜔|=1𝑤𝑝0𝑝𝑑𝑠=2𝜋𝑤0, (3.3) то есть, (3.4)

  Лемма 3.2. Предположим (i) 𝜓(𝜌)∈C[0,r] и ∫A(r)∶=𝐵𝑟(𝑝0)𝜓(|𝑝−𝑝0|)dp≠0; (ii) 𝑤(𝑝) удовлетворяет условию среднего значения в 𝐵𝑟(𝑝0) и 𝑤(𝑝)∈C(𝐵𝑟(𝑝0)). Затем, 𝑤𝑝0=1𝐴(𝑟)𝐵𝑟(𝑝0)||𝑤(𝑝)𝜓𝑝−𝑝0||𝑑𝑝.(3.5)

  Доказательство. Из (i) и (ii) имеем 𝐴 (𝑟) ∶ = 𝐵𝑟 (𝑝0) 𝜓 || 𝑝 -0 ||  = 𝑟0𝑑𝜌𝜕𝐵𝜌 (𝑝0) 𝜓 || 𝑝 -0 || )𝜌𝑑𝜌, (3.6)0=12𝜋𝜌𝜕𝐵𝜌(𝑝0)𝑤(𝑝)𝑑𝑠. (3.7) Умножая обе части (3.7) на 2𝜋𝜌𝜓(𝜌) и интегрируя результат по 𝜌 на [0,𝑟], имеем 𝑝2𝜋𝑤00𝜓0𝜓 (𝜌) 𝜌𝑑𝜌 = 𝑟0 (𝑝0)  (𝑝) 𝜓 (𝜌) 𝑑𝑠𝑑𝜌 = 𝐵𝑟 (𝑝0)  || 𝑤 (𝑝) 𝜓𝑝 -0 || 𝑑𝑝 .(3.8) Комбинируя (3.6) и (3.8), получаем заключение.

  Лемма 3.3. Если 𝑤(𝑝)∈C(Ω) удовлетворяет условию среднего значения, то (i) 𝑤(𝑝)∈𝐶∞(Ω); (ii) ∆𝑤(𝑝)=0.

  Доказательство. (i) Метод 1: выберите 𝜑(𝑝)∈𝐶∞0(𝐵1(0)) с 𝐵1(0)||𝑝||.𝜑(𝑝)𝑑𝑝=1,𝜑(𝑝)=𝜓 (3.9) Используя формулы интегрального преобразования, имеем 2𝜋10𝑟𝜓(𝑟)𝑑𝑟=1.(3.10)
  Определим 𝜑𝜀(𝑝)=(1/𝜀2)𝜑(𝑝/𝜀), где 𝜀3,𝜕. Применяя (3.12) и предложение 1.3, учитывая произвольность 𝜀, заключаем, что 𝑤(𝑝)∈𝐶∞(Ω).
  Способ 2: выберите 𝜑(𝑝), как указано выше. Определим 𝜑𝜀(𝑝)=(1/𝜀2)𝜑(𝑝/𝜀), где 𝜀 𝜀. (3.14)
  Применение предложения 1.3 , замечая произвольность 𝜀, заключаем, что 𝑤(𝑝)∈𝐶∞(Ω).
  (ii) Используя (3. 1) и предложение 2.4, мы получаем 𝐵𝑟 (𝑝0) 𝜕Δ𝑤 (𝑝) 𝑑𝑝 = 𝑟 | 𝜔 | = 1𝑤𝑝0𝜕+𝑟𝜔𝑑𝑠 = 𝑟𝑝𝜕𝑟2𝜋𝑤0 =0,∀𝐵𝑟𝑝0⊂Ω, (3.15) откуда следует ∆𝑤(𝑝)=0,𝑝=(𝑥,𝑦)∈Ω.

  4. Основные результаты

  В этом разделе мы приводим основные результаты для комплексных функций, удовлетворяющих условиям среднего значения.

  Предложение 4.1. 𝑓(𝑧) удовлетворяет условию среднего значения в Ω тогда и только тогда, когда Δ𝑓(𝑧)=0 в Ω.

  Доказательство. Из предложения 2.4, лемм 3.1 и 3.3 следует утверждение.

  Теорема 4.2. 𝑓(𝑧) удовлетворяет условию среднего значения в Ω и 𝜕𝑓(𝑧)/𝜕𝑧=0 тогда и только тогда, когда 𝑓(𝑧) является аналитическим в Ω.

  Доказательство. Обозначим 𝑓(𝑧)=𝑢(𝑥,𝑦)+𝑖𝑣(𝑥,𝑦).
  Сначала докажем необходимое условие. Используя предположение и лемму 3.3, мы можем утверждать, что 𝑢(𝑥,𝑦),𝑣(𝑥,𝑦)∈𝐶∞(Ω); следовательно, частные производные от 𝑢(𝑥,𝑦) и 𝑣(𝑥,𝑦) непрерывны в Ω. Комбинируя с уравнением Коши-Римана 𝜕𝑓(𝑧)/𝜕𝑧=0, мы заключаем, что 𝑓(𝑧) является аналитическим в Ω.
  Во-вторых, докажем достаточное условие. Из предположения, что 𝑓(𝑧) аналитична в Ω, следует (i)𝑢𝑥(𝑥,𝑦)=𝑣𝑦(𝑥,𝑦),𝑢𝑦(𝑥,𝑦)=−𝑣𝑥(𝑥,𝑦), то есть 𝜕𝑓( 𝑧)/𝜕𝑧=0, (ii)Δ𝑓(𝑧)=0. В сочетании с предложением 4.1 следует, что 𝑓(𝑧) удовлетворяет условию среднего значения в Ω.

  Теорема 4.3. Предположим, что 𝑓(𝑧) удовлетворяет условию среднего значения в Ω и |𝑓(𝑧)| ограничен. Тогда 𝑓(𝑧) — константа в Ω.

  Доказательство. Так как 𝑓(𝑧)=𝑢(𝑥,𝑦)+𝑖𝑣(𝑥,𝑦) удовлетворяет условию среднего значения в Ω, то, используя предложение 2.4 и лемму 3.3, получаем Δ𝑢=0,Δ𝑣=0,(𝑥,𝑦) Ω.
  Так как |𝑓(𝑧)| ограничено, получаем, что 𝑢 и 𝑣 ограничены соответственно. Без ограничения общности считаем, что 𝑢≥0. Для всех 𝑀0∈ℝ2 можно выбрать 𝐵𝑅(𝑂) с 𝑀0∈𝐵𝑅(𝑂). Обозначим 𝑅0=𝑑(𝑀0,𝑂). Из неравенства Харнака (см. [11]) следует 𝑅−𝑅0𝑅+𝑅0𝑀𝑢(𝑂)≤𝑢0≤𝑅+𝑅0𝑅−𝑅0𝑢(𝑂).(4.1) Полагая 𝑅→+∞, заключаем 𝑢(𝑀0)=𝑢(𝑂). Аналогичным образом заключаем 𝑣(𝑀0)=𝑣(𝑂). Поскольку 𝑀0 произвольно, мы заключаем, что 𝑓(𝑧)=𝑢(𝑥,𝑦)+𝑖𝑣(𝑥,𝑦) — константа в Ω.

  Примечание 4.4. Эта теорема может быть доказана и локальными оценками для гармонических функций. О локальных оценках гармонических функций можно см. [10].

  Теорема 4.5. Предположим, что 𝑓(𝑧) удовлетворяет условию среднего значения в Ω и |𝑓(𝑧)| является константой. Тогда 𝑓(𝑧) — константа в Ω.

  Доказательство. Так как 𝑓(𝑧)=𝑢+𝑖𝑣 удовлетворяет условию среднего значения в Ω, то, используя предложение 2.4 и лемму 3.3, получаем Δ𝑢(𝑥,𝑦)=Δ𝑣(𝑥,𝑦)=0.(4.2)
  Так как |𝑓(𝑧)| является константой, мы получаем следующее в Ω𝑢2(𝑥,𝑦)+𝑣2(𝑥,𝑦)≡константа. (4.3) Из (4.3) получаем 2𝑢𝑢𝑥+2𝑣𝑣𝑥=0 и 𝑢2𝑥+𝑣2𝑥+𝑢𝑢𝑥𝑥+𝑣𝑣𝑥𝑥=0.(4.4) Аналогичным образом имеем 𝑢2𝑦+𝑣2𝑦+𝑢𝑢𝑦𝑦+𝑣𝑣𝑦𝑦=0.(4.5) Добавляя (4.4) к (4.5) и учитывая (4.2), получаем 𝑢2𝑥+𝑢2𝑦+𝑣2𝑥+𝑣2𝑦=0, (4.6) откуда следует, что 𝑢 и 𝑣 — константы, то есть 𝑓(𝑧) — константа в Ω.

  Теорема 4.6. Предположим, что (1)  𝑓(𝑧)=𝑢(𝑥,𝑦)+𝑖𝑣(𝑥,𝑦) удовлетворяет условию среднего значения в Ω; (2)  𝑓(𝑧) непрерывна на Ω; (3)  𝑓(𝑧) не является константой. Тогда maxΩ|𝑓(𝑧)| можно получить только на границе Ω.

  Доказательство. Обозначая 𝑀=maxΩ|𝑓(𝑧)|, имеем 0<𝑀<+∞. Предположим, что существует 𝑧0∈Ω такое, что |𝑓(𝑧0)|=𝑀. Для любого 𝐵𝜌(𝑧0)⊂Ω условие среднего значения означает, что для всех 𝑧∈𝜕𝐵𝜌 |𝑓(𝑧)|=𝑀. Следовательно, |𝑓(𝑧)| является константой в окрестности 𝑀0. Из теоремы 4.3 следует, что 𝑓(𝑧) является константой в этой окрестности 𝑀0. Применяя метод круговой цепи, мы имеем 𝑓(𝑧) — константа в Ω, что является противоречием.

  Далее мы представляем две задачи.

  Задача 1. Предположим, что (1) 𝑓(𝑧)=𝑢(𝑥,𝑦)+𝑖𝑣(𝑥,𝑦) удовлетворяет условию среднего значения в Ω; (2)  𝑓(𝑧) непрерывна на Ω; (3)  𝑓(𝑧) не является константой; (4) для всех 𝑧∈Ω 𝑓(𝑧)≠0. Можно ли подтвердить, что minΩ|𝑓(𝑧)| получается только на границе Ω?

  Ответить
  Невозможно подтвердить. Например, 𝑓(𝑧)=1+𝑖𝑦 в Ω={𝑧∣|𝑧|<1}. Этот пример показывает, что принцип минимального модуля не выполняется для сложной функции, удовлетворяющей условию среднего значения. Но аналитическая сложная функция имеет принцип минимального модуля.

  Задача 2. Если 𝑓(𝑧) удовлетворяет условию среднего значения в Ω, можно ли подтвердить, что 𝑓(𝑧) бесконечно дифференцируемо в Ω?

  Ответить
  Нельзя подтвердить. Например, 𝑓(𝑧)=1+𝑖𝑦 в Ω={𝑧∣|𝑧|<1} не удовлетворяет уравнению Коши-Римана. Этот пример показывает, что условие среднего значения не может подразумевать дифференциальное свойство сложной функции. Но аналитическая комплексная функция бесконечно дифференцируема.

  Благодарности

  Авторы благодарят рецензентов, которые указали на важные ссылки и дали ценные предложения, которые улучшили результаты в этой статье. Проект поддерживается Фондом естественных наук китайской провинции Шаньдун (ZR2011AQ006, ZR2011AM008) и STPF Университета китайской провинции Шаньдун (J10LA13, J09).ЛА04).

  Ссылки

  1. С. Ланг, Комплексный анализ , том. 103 of Graduate Texts in Mathematics , Springer, New York, NY, USA, 4-е издание, 2003 г. переменная», Journal of Mathematical Analysis and Applications , vol. 324, нет. 1, стр. 30–38, 2006 г.

     Посмотреть по адресу:

     Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА

  2. Д. ла Торре и М. Рокка, «Теорема о среднем значении для непрерывных векторных функций с помощью гладких приближений», Письма по прикладной математике , том. 17, нет. 7, стр. 791–794, 2004.

     Посмотреть по адресу:

     Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH

  3. Г. П. Креспи, Д. ла Торре и М. Рокка, «Смягченные производные и условия оптимальности второго порядка», Journal of Nonlinear and Convex Analysis , vol. 4, нет. 3, стр. 437–454, 2003.

     Посмотреть по адресу:

     Академия Google | Zentralblatt MATH

  4. Д. ла Торре, «Условия оптимальности для выпуклых векторных функций с помощью смягченных производных», в Generalized Convexity and Related Topics , vol. 583 of Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems , стр. 327–335, Springer, Berlin, Germany, 2007.

     Посмотреть по адресу:

     Google Scholar | Zentralblatt MATH

  5. Г. П. Креспи, Д. ла Торре и М. Рокка, «Условия оптимальности второго порядка для негладких многокритериальных задач оптимизации», в Обобщенная выпуклость, обобщенная монотонность и приложения , vol. 77 of Nonconvex Optimization and its Applications , стр. 213–228, Springer, New York, NY, USA, 2005.

     Посмотреть по адресу:

     Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH

  6. А. С. Эберхард и Б. С. Мордухович, «Условия оптимальности первого и второго порядка для негладких задач с ограничениями посредством сглаживания свертки», Optimization , vol. 60, нет. 1-2, стр. 253–275, 2011.

     Посмотреть по адресу:

     Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH

  7. А. Эберхард, М. Ниблом и Р. Сивакумаран, «Субдифференциалы второго порядка, построенные с использованием сглаживания интегральных сверток», в Обобщенная выпуклость, Обобщенная монотонность и приложения , том. 77 of Nonconvex Optimization and its Applications , стр. 229–261, Springer, New York, NY, USA, 2005.

     Посмотреть по адресу:

     Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА

  8. Х. Аймар, И. Гомес и Б. Яффей, «Параболические средние значения и максимальные оценки градиентов температур», Journal of Functional Analysis , vol. 255, нет. 8, стр. 1939–1956, 2008.

     Посмотреть по адресу:

     Google Scholar | Zentralblatt MATH

  9. Л.