ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ | ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ | ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

БлоТная функция β€” это функция ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Если u β€” функция ΠΎΡ‚ x, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ u=u(x),Β  Π° f β€” функция ΠΎΡ‚ u:Β  f=f(u), Ρ‚ΠΎ функция y=f(u) β€” слоТная.

А  uΒ  Π² этом случаС Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ. Π•Ρ‰Π΅ часто f Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π° u β€” Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ. Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ способ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ слоТная функция β€” Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

1) y=sin x β€” эта функция «простая». Бинус зависит ΠΎΡ‚ x. Как Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ вмСсто x ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ синуса появится Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, зависящСС ΠΎΡ‚ x, Π΄Π°ΠΆΠ΅ самоС простоС β€” такая функция называСтся слоТной. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ y=sin u β€” слоТная функция, Ссли u β€” нСкоторая функция ΠΎΡ‚ x. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с синусом:

y=sin (x+1). Π­Ρ‚Π° функция β€” слоТная. ВнутрСнняя функция u здСсь Ρ€Π°Π²Π½Π° x+1, Π° внСшняя функция f β€” это синус. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ u=x+1, f=sin u.

y=sin (5x-2xΒ³+3). ВнутрСнняя функция u=5x-2xΒ³+3, внСшняя функция f=sin u.

y=sin (x/7). ВнутрСнняя функция u=x/7, внСшняя функция f=sin u.

2) y=cos x β€” «простая» функция. y=cos u β€” слоТная функция, Ссли u β€” нСкоторая функция, зависящая ΠΎΡ‚ x. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ β€” косинусом:

y=cos (4-11x). ВнутрСнняя функция u=4-11x, внСшняя функция β€” косинус: y=cos u.

y=cos (7xΒ³ -4xΒ²). ВнутрСнняя функция u=7xΒ³ -4xΒ², внСшняя β€” y=cos u.

3) y=tg x β€” «простая» функция. y = tg u β€” слоТная функция, Ссли u=u(x). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для случаСв, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° внСшняя функция β€” тангСнс:

y=tg(17+5xΒ²). ВнутрСнняя функция u=17+5xΒ², внСшняя β€” y=tg u.

y=tg(9-x). ВнутрСнняя u=9-x, внСшняя β€” y=tg u.

4) y=ctg x β€” «простая» функция. y=ctg u β€” слоТная функция, Ссли u=u(x).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для случаСв, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° внСшняя функция β€” котангСнс:

y=ctg(2x+6). ВнутрСнняя функция u=2x+6, внСшняя β€” y=ctg u.

y=ctg(√x).  u=√x, f=ctg u.

5) y=√x β€” «простая» функция. y=√u β€” слоТная, Ссли u=u(x). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для случаСв, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° внСшняя функция β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ:

Β  Β 

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ внутрСнняя функция y=sin x, Π° внСшняя β€” f=√u.

Β  Β 

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ u=9xΒ³-12x+5, f=√u.

6) y=xⁿ β€” «простая» функция. y=uⁿ β€” слоТная, Ссли u=u(x). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ слоТных функция для случая, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° внСшняя функция β€” стСпСнная.

y=sinΒ³x. ВнутрСнняя функция y=sin x (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ sinΒ³x=(sin x)Β³), внСшняя β€” Ρƒ=uΒ³.

Β  Β 

7) y=arcsin x β€” «простая» функция. y=arcsin u β€” слоТная, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° u=u(x).

НапримСр, y=arcsin (3x-9) β€” слоТная функция. ВнутрСнняя функция u=3x-9,Β  внСшняя β€” f=arcsin u.

y=arcsin (17-5xΒ³).Β  u=17-5xΒ³, f=arcsin u.

8) y=arccos x β€” «простая» функция. y=arccos u β€” слоТная, ΠΏΡ€ΠΈ u=u(x).

НапримСр, y=arccos (34x+5) β€” слоТная функция. ВнутрСнняя функция u=34x+5, внСшняя β€” f=arccos u.

9) y=arctg x β€” «простая» функция. y=arctg u β€” слоТная, ΠΏΡ€ΠΈ u=u(x).

НапримСр, y= arctg (6x+2xΒ³-7). ВнутрСнняя функция u =6x+2xΒ³-7, внСшняя β€” f=arctg u.

10) y=arcctg x β€” «простая функция. ΠŸΡ€ΠΈ u=u(x) функция y=arcctg u β€” слоТная.

НапримСр, y= arcctg(2-11x+xΒ²) β€” слоТная функция. u=2-11x+xΒ², f= arcctg u.

11) y=ln x β€” «простая» функция. y= ln u β€” слоТная, ΠΏΡ€ΠΈ u=u(x).

НапримСр, y=ln(4+32x-2xΒ³). ВнутрСнняя функция y=4+32x-2xΒ³, внСшняя β€” f=ln u.

Β  Β 

Π­Ρ‚ΠΎ β€” «простая» функция. А Π²ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ u=u(x) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Β  Β 

НапримСр,

Β  Β 

Β  Β 

Π­Ρ‚Π° функция β€” «простая» (называСтся экспонСнта). А Π²ΠΎΡ‚ Ссли Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ стоит Π½Π΅ x, Π° нСкоторая функция ΠΎΡ‚ икса: u=u(x), Ρ‚ΠΎ это β€” ΡƒΠΆΠ΅ экспонСнта слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Β  Β 

НапримСр,

Β  Β 

Β  Β 

Π­Ρ‚Π° функция β€” «простая». А Π²ΠΎΡ‚ Ссли Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ стоит Π½Π΅ x, Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с x β€” функция u=u(x), Ρ‚ΠΎ это ΡƒΠΆΠ΅ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Β  Β 

НапримСр,

Β  Β 

Π­Ρ‚Π° функция β€” слоТная. ВнутрСнняя функция u=8xΒ³+5x, Π° внСшняя β€” ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Β  Β 

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ внутрСнняя функция u, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. И Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Β«Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…Β» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нСсколько (тСорСтичСски β€” сколько ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ). 2\rightarrow \ln\boxdot \)

ΠΏ.2. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π°):
\(f'(x)\overset{def}{=}\frac{df}{dx}\) – читаСтся Β«Π΄Π΅ эф ΠΏΠΎ Π΄Π΅ икс».
Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ, Ρ‚.ΠΊ. ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. НапримСр:
\(z'(y)=\frac{dz}{dy},\ \ \varphi ‘(t)=\frac{d\varphi}{dt}\) ΠΈ Ρ‚.Π΄.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ внутрСнняя функция \(y=f(x)\), Π° внСшняя \(z=g(y)=g(f(x))\).
ΠŸΡ€ΠΈ этом внутрСнняя функция Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(x_0\), Π° внСшняя функция Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(y_0=f(x_0)\).
Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: $$ \begin{cases} y=f(x)\\ z=g(y)=g\circ f \end{cases} \Rightarrow \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx} $$

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:
По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ производная внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $y_0$ Ρ€Π°Π²Π½Π°:
$$ g'(y_0)=\lim_{\triangle y\rightarrow 0}\frac{\triangle z}{\triangle y}=\frac{dz}{dy} $$ ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅: \(\triangle z=g'(y_0)\triangle y+\varepsilon(\triangle y)\cdot\triangle y\),
Π³Π΄Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\varepsilon(\triangle y)\) зависит ΠΎΡ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ приращСния \(\triangle y\), ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ: $$ \lim_{\triangle y\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)=\varepsilon(0)=0 $$ ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚. ΠΊ. внутрСнняя функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π°: $$ \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)=\varepsilon\left(\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\triangle y\right)=\varepsilon(0)=0 $$ Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ внутрСнняя функция Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ°, сущСствуСт ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»: $$ f'(x_0)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{dy}{dx} $$ Боставим ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: $$ \frac{\triangle z}{\triangle x}=g'(y_0)\frac{\triangle y}{\triangle x}+\varepsilon(\triangle y)\cdot\frac{\triangle y}{\triangle x} $$ ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ: \begin{gather*} z'(x_0)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle z}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(g'(y_0)\frac{\triangle y}{\triangle x}+\varepsilon(\triangle y)\cdot\frac{\triangle y}{\triangle x}\right)=\\ =g'(y_0)\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)\cdot \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=g'(y_0)\cdot f'(x_0)+0=g'(y_0)\cdot f'(x_0) \end{gather*} Или: $$ \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} $$ Π§Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

2+2x-1)} \end{gather*}

Π²) \( y=\sqrt{cos(2x+1)} \) \begin{gather*} x\rightarrow (2x+1)\rightarrow cos\boxdot\rightarrow \sqrt{\boxdot} \end{gather*}

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
АргумСнт Π²
ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ
1$$ \sqrt{\boxdot} $$$$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}} $$$$ \boxdot=cos(2x+1) $$$$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}}=\frac{1}{2\sqrt{cos(2x+1)}} $$
2$$ cos\boxdot $$$$ -sin\boxdot $$$$ \boxdot=2x+1 $$$$ -sin\boxdot=-sin(2x+1) $$
3$$ 2x+1 $$$$ 2 $$$$ – $$$$ 2 $$

\begin{gather*} y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{cos(2x+1)}}\cdot(-sin(2x+1))\cdot 2=-\frac{sin(2x+1)}{\sqrt{cos(2x+1)}} \end{gather*}

Π³) \( y=\frac{3}{\sqrt{cos(5x-3)}} \) \begin{gather*} x\rightarrow (5x-3)\rightarrow cos\boxdot\rightarrow \sqrt{\boxdot}\rightarrow\frac{3}{\boxdot} \end{gather*}

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
АргумСнт Π²
ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ
1$$ \frac{3}{\boxdot} $$$$ -\frac{3}{\boxdot^2} $$$$ \boxdot=\sqrt{cos(5x-3)} $$$$ -\frac{3}{\boxdot^2}=-\frac{3}{\left(\sqrt{cos(5x-3)}\right)^2} $$
2$$ \sqrt{\boxdot} $$$$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}} $$$$ \boxdot=cos(5x-3) $$$$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}}=\frac{1}{2\sqrt{cos(5x-3)}} $$
3$$ cos\boxdot $$$$ -sin\boxdot $$$$ \boxdot=5x-3 $$$$ -sin\boxdot=-\boxdot(5x-3) $$
4$$ 5x-3 $$$$ 5 $$$$ – $$$$ 5 $$

\begin{gather*} y'(x)=-\frac{3}{cos(5x-3)}\cdot\frac{1}{2\sqrt{cos(5x-3)}}\cdot(-sin(5x-3))\cdot 5=\frac{15tg(5x-3)}{2\sqrt{cos(5x-3)}} \end{gather*}

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3*. 8\)

Π²) \( y=sin(sin(sinx)),\ \ x_0=\pi \) \begin{gather*} x\rightarrow sinx\rightarrow sin\boxdot\rightarrow sin\boxdot \end{gather*}

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
АргумСнт Π²
ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ
1$$ sin\boxdot $$$$ cos\boxdot $$$$ sin(sinx) $$$$ cos(sin(sinx)) $$
2$$ sin\boxdot $$$$ cos\boxdot $$$$ sinx $$$$ cos(sinx) $$
3$$ sinx $$$$ cosx $$$$ – $$$$ cosx $$

\begin{gather*} y'(x)=cos(sin(sinx))\cdot cos(sinx)\cdot cosx \end{gather*} ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ \(x_0=\pi\): \begin{gather*} y'(\pi)=cos(sin(sin\pi))\cdot cos(sin\pi)\cdot cos\pi=cos 0\cdot cos 0\cdot(-1)=1\cdot 1\cdot(-1)=-1 \end{gather*} ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -1

Π³) \( y=\ln\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}},\ \ x_0=\frac\pi 6 \)
ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ: \begin{gather*} \ln\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}=\frac12\ln\left(\frac{1-sinx}{1+sinx}\right)=\frac12(\ln(1-sinx)-\ln(1+sinx)) \end{gather*} Для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ слагаСмого: \(x\rightarrow (1-sinx)\rightarrow\ln\boxdot\) \begin{gather*} (\ln(1-sinx))’=\frac{1}{1-sinx}\cdot(1-sinx)’=\frac{-cosx}{1-sinx} \end{gather*} Аналогично для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ слагаСмого: \begin{gather*} (\ln(1+sinx))’=\frac{1}{1+sinx}\cdot(1+sinx)’=\frac{cosx}{1+sinx} \end{gather*} ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: \begin{gather*} y'(x)=\frac12\left(\frac{-cosx}{1-sinx}-\frac{cosx}{1+sinx}\right)=-\frac{cosx}{2}\cdot\frac{(1+sinx)+(1-sinx)}{(1-sinx)(1+sinx)}=\\ =-\frac{cosx}{2}\cdot\frac{2}{1-sin^2x}=-\frac{cosx}{cos^2x}=-\frac{1}{cosx} \end{gather*} ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ \(x_0=\frac\pi 6\): \begin{gather*} y’\left(\frac\pi 6\right)=-\frac{1}{cos\frac\pi 6}=-2 \end{gather*} ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -2

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4*. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… значСниях x производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(f(x)\) Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ?
a) \( f(x)=sin3x-\sqrt{3}cos3x+3(cosx-\sqrt{3}sinx) \)
Π‘Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ: \begin{gather*} f'(x)=3cos3x+3\sqrt{3}sin3x+3(-sinx-\sqrt{3}cosx)=\\ =3(cos3x+\sqrt{3}sin3x)-3(sinx+\sqrt{3}cosx) \end{gather*} По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ: \begin{gather*} 3(cos3x+\sqrt{3}sin3x)-3(sinx+\sqrt{3}cosx)=0\\ cos3x+\sqrt{3}sin3x=sinx+\sqrt{3}cosx\ |\cdot\frac12\\ \frac12cos3x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin3x=\frac12sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx\\ cos\frac\pi 3cos3x+sin\frac\pi 3sin3x=sin\frac\pi 6sinx+cos\frac\pi 6cosx\\ cos\left(3x-\frac\pi 3\right)=cos\left(x-\frac\pi 6\right)\\ cos\left(3x-\frac\pi 3\right)-cos\left(x-\frac\pi 6\right)=0\\ -2sin\frac{3x-\frac\pi 3+x\frac\pi 6}{2}sin\frac{3x-\frac\pi 3-x+\frac\pi 6}{2}=0\\ \left[ \begin{array}{l} sin\left(2x-\frac\pi 4\right)=0\\ sin\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\frac\pi 4=\pi k\\ x-\frac{\pi}{12}=\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x=\frac\pi 4+\pi k\\ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2}\\ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \end{array} \right. \end{gather*}
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(\left\{\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{12}+\pi k\right\}\)

Π±) \( f(x)=20cos3x+12cos5x-15cos4x \)
Π‘Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ: \begin{gather*} f'(x)=-3\cdot 20sin3x-5\cdot 12sin5x+4\cdot 15sin4x=\\ =60(-sin3x-sin5x+sin4x) \end{gather*} По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ: \begin{gather*} 60(-sin3x-sin5x+sin4x)=0\\ (sin3x+sin5x)-sin4x=0\\ 2sin\frac{3x+5x}{2}cos\frac{3x-5x}{2}-sin4x=0\\ 2sin4xcosx-sin4x=0\\ sin4x(2cosx-1)=0\\ \left[ \begin{array}{l} sin4x=0\\ 2cosx-1=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x=\pi k\\ cosx=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi k}{4}\\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*}
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(\left\{\frac{\pi k}{4};\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\right\}\)

БлоТная функция

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ слова: слоТная функция, композиция Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, внСшняя ΠΈ внутрСнняя функция, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

β€œΠ‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ, составной, слоТСнный ΠΈΠ»ΠΈ составлСнный ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… частСй…”.
Π’ΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ Π’.И. Даля
.

ΠœΡ‹ часто Π² повсСднСвной Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈ считаСм слова β€œΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉβ€ ΠΈ β€œΡ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Ρ‹ΠΉβ€ синонимами. Иногда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡΠ»Ρ‹ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅Ρ… ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π½Π΅Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ даСтся ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слоТная функция ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π°ΠΊ называСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° β€œΡ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π°Ρβ€. Но Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ β€œΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉβ€ ΠΈ β€œΡ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Ρ‹ΠΉβ€ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ всСгда ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ встрСчаСтся Π² курсС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π» матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π² 10 классС [3]. Для слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ выводится Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° диффСрСнцирования. Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ Π±Π΅Π· ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ этот ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ с большим Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠΌ. На чисто Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ. Π‘Π΅Π΄Π° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ этом учащиСся ΠΏΠΎΠ³Ρ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΡƒ диффСрСнцирования, Π° само понятиС слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π½Π° Π·Π°Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ слоТная функция прСдстала Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ наглядном Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΠΈ сдСлана данная прСзСнтация.

Π’ зависимости ΠΎΡ‚ подготовлСнности класса этот ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΈ Π½Π° Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… занятиях, ΠΈ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях нСпосрСдствСнно Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ β€œΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρβ€, Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅. Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ основныС свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ – ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ) ΠΊ этому Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ учащимися Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ усвоСны ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ стали Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹.

К этому Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ учащимся Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ само понятиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ соотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мноТСствами.

НСсмотря Π½Π° вСсь абстрактный Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ понятия β€œΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡβ€ с Π½ΠΈΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, постСпСнно вводя логичСскиС уточнСния ΠΈ учитывая возмоТности класса. А ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ понятиС Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ для опрСдСлСния Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ связи с этим Π² ΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… классах Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» цСлСсообразно Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Для классов со слабой ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ вводятся Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простом ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅, Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ ΠΎ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ β€œΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρβ€. Но ΠΈ Π² этом случаС Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ рассмотрСниС опрСдСлСния этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ПовСдСниС элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, поэтому ΠΈ для исслСдования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½Π΅ каТСтся, ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ – это Π΄Π°Ρ‚ΡŒ прСдставлСниС ΠΎ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅, построСнном с использованиСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈ построСнии Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ для большСй наглядности ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ эффСкты, Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ прСдставлСниС ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡˆΠ°Π³Π°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ характСризуСтся композиция Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… соотвСтствий.

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ исслСдовании Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Π½ΠΎ ΠΈ элСмСнтарныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ свои прСимущСства: ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ учащимся Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простом ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π΅ Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ основныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ измСнСния ΠΈ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€œΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΡƒΠ²ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒβ€ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π±Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ зрСния. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ получСния достаточно Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² описаны, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² [1]. Π’Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΡ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ, с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ достаточно наглядныС рассуТдСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π² исслСдовании Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. НапримСр, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚Π΅Ρ… случаях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° трСбуСтся ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ монотонности слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, мноТСство Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ достаточно наглядСн ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ.

Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ части:

  1. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ понятия слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
  3. НахоТдСниС мноТСства Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

1. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ β€œΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚β€ слоТная функция, сначала Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ соотвСтствия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мноТСствами, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства соотвСтствуСт Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства. Π’ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° слайдС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΈ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, Π½Π΅ случайно: Π½Π° Π½ΠΈΡ… Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ярко ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ соотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами мноТСств.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ 10 классу Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сформировано, Π½ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ с Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… вопросах, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (хотя ΠΈΡ… ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ уравнСниями).

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ рассматриваСм ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… соотвСтствий. По рисунку ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту мноТСства Π₯ соотвСтствуСт элСмСнт мноТСства Π’, этот Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ устанавливаСтся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. А Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ для элСмСнта мноТСства Π’ внСшняя функция ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ элСмСнта ΠΈΠ· мноТСства Π£. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ…0 ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ t0, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Ρƒ0. УстанавливаСтся Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ: x0t0Ρƒ0.

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆ с трСмя мноТСствами ΠΈ соотвСтствиями ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. РассматриваСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Π³Π΄Π΅ слоТная функция задаСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ. Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ прСдлагаСтся Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΡŽΡŽ ΠΈ внСшнюю Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

АналогичныС задания приводятся ΠΈ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ [3], Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ рассмотрСниСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ восприятия ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡƒΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ·Π°Π΅Ρ‚ структура самой ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ шага ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ исчСзаСт матСматичСская ΡΡƒΡ‚ΡŒ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ этот ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π» ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ.

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1).

Π£ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: D(y) = (-∞; -2] U (2; +∞). Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это чСтная функция.

ВнутрСнняя функция: g(x) = x2 – 4, построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (Ρ…,t). Для простоты излоТСния ΠΌΡ‹ строим всю ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρƒ, Π½ΠΎ Π² дальнСйшСм рассматриваСм Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅ Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ входят Π² мноТСство D(y).

Π’Π½Π΅ΡˆΠ½ΡΡ функция: f(t) =, построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (t,y).

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ исходной слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (Ρ…,Ρƒ).

Для наглядности Π½Π° рисункС ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ…0, для Π½Π΅Π³ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° g(x) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ t0=g(x0), Π° для t0 ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ0=f(t0), Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΡƒ соотвСтствий: x0t0Ρƒ0, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΠΉ, которая Π±Ρ‹Π»Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° Π½Π° рисункС с ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°ΠΌΠΈ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²Π° Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° построСны, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ – ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ пСрСмСнная Ρ… измСняСтся ΠΎΡ‚ 2 Π΄ΠΎ бСсконСчности. По Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ g(x) Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ этом пСрСмСнная t измСняСтся ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ бСсконСчности. Π’ силу возрастания ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ участкС ΠΎΠ± этом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈ Π±Π΅Π· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Π½ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π² Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… рассуТдСниях.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, пСрСмСнная t измСняСтся ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ бСсконСчности. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π² систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(t). ЗначСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρƒ, ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ бСсконСчности.

ВсС эти измСнСния приводятся Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½Π° слайдС.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΎΡ‚ 2 Π΄ΠΎ бСсконСчности ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ возрастаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ бСсконСчности. И Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ этот участок монотонности, ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ! МоТно хотя Π±Ρ‹ схСматично ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…β‰₯2.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ дСтям Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Π±Ρ‹Π» понятСн этот ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ участки Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ°Ρ… ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½Π΅Π½Ρ‹ Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌ эффСктам (слайд 10). Участки ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ‰Π΅Π»Ρ‡ΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ, Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π΅. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (Ρ…,Ρƒ) выдСляСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ [2; +∞) Π½Π° оси абсцисс, Π° ΠΏΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π΅ΠΌΡƒ соотвСтствуСт ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ [0; +∞), функция возрастаСт. И появляСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ участок искомого Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

Π’ силу чСтности исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ участок Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡ€ΠΈ х≀-2, отраТая ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ участок ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Но ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ способом ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ линию ΠΏΡ€ΠΈ х≀-2: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ… ΠΎΡ‚ минус бСсконСчности Π΄ΠΎ -2, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° пСрСмСнная t измСняСтся ΠΎΡ‚ +∞ Π΄ΠΎ 0, Π° пСрСмСнная Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈ этом измСняСтся ΠΎΡ‚ +∞ Π΄ΠΎ 0. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΎΡ‚ -∞ Π΄ΠΎ -2 значСния слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ – это ΠΌΡ‹ ΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ рассуТдСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти устно, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ изобраТСниями Π½Π° слайдах.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этих рассуТдСниях приходится Π½Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° β€œΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈβ€ ΠΈ ΠΎΡ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… скобок для ΠΈΡ… указания, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ± ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π° Π½Π΅ просто ΠΎ мноТСствС, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π΅Π΅ рассматриваСм, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ссли пСрСмСнная ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, ΠΎΠ½Π° измСняСтся, начиная с большСго значСния (Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ мСстС указываСтся мСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅).

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ примСнСния ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ способа построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° – это ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ этап Π² ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ свойств растяТСния ΠΈ сТатия Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². НапримСр, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ осмыслСнно ΠΈ β€œΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ руками” ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρƒ=sin2x, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ построСниС Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½ΠΎ Π² ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2).

НС ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ гармоничСскиС колСбания Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡƒΠΆΠ΅ извСстны ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΠΊ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ изучСния слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ, Π² частности, ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρƒ=sin2x. Π’ этом случаС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° вопрос, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ свойствами Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΠΆΠ΅ извСстной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½ΠΈΡ‡ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π΅ умаляСт ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ, Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ закрСпляСт ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ.

Π’ классах, Π³Π΄Π΅ тригономСтричСскиС свСдСния усвоСны Π½Π΅ достаточно Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, вСсьма ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ синуса для ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹. Π’ классах с высокой ΠΌΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ эта Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° достаточно лСгкая, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ устно, Π° Π² тСтрадях Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ сам Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ поэтапно.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, рассматриваСм Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρƒ=sin2x.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, нСчСтная, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½Π° с наимСньшим ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ο€.

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

НачинаСм с Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° измСнСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ…. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ участка измСнСния ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ измСняСтся пСрСмСнная t, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ пСрСмСнная Ρƒ.

РассматриваСм участки измСнСния для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ…: ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ Ο€/4; ΠΎΡ‚ Ο€/4 Π΄ΠΎ Ο€/2; ΠΎΡ‚ Ο€/2 Π΄ΠΎ 3Ο€/4; ΠΎΡ‚ 3Ο€/4 Π΄ΠΎ Ο€.

Π’ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ эти участки, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ рассматриваСмых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ участок для x, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ измСнСния t Π½Π΅ мСняСтся – Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ увСличиваСтся, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… t ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния Ρƒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ. Для простоты расчСтов участки монотонности ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° дробятся Π½Π° Π΄Π²Π° – Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΡƒΠ»ΠΈ – пСрСсСчСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° с осью абсцисс. Но Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ монотонности Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ участкС постоянСн.

Если Ρƒ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ вопросы, Ρ‚ΠΎ графичСскиС ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ быстрСС ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, поэтому ΠΏΠΎΠΊΠ°Π· слайдов ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π΅Π½ – ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ участок ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅, Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° обсуТдаСмом участкС. НапримСр, указывая ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ… ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ Ο€/4, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ t измСняСтся ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ Ο€/2, Π° ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ t значСния синуса Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1 – ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ столбСц Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ рядом с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° слайдС.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ для Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° Π΄Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ эта Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ нСпростой, Π² ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ сдСланы ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ слайды для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ столбца с ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡΠΌΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ…. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° заполняСтся постСпСнно, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ столбСц слСдуСт Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ.

Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ (ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ слайдС) ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρƒ=sin2x сначала Π½Π° участкС ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ Ο€, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, учитывая ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΈ вСсь Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Π‘ ΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒ врСмя, рассмотрСв ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° участка, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ. Но Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… классах пригодится ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ подробная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°. Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ излоТСния, учитывая состав ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ учащихся.

Π’ зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΊ этому ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½ Π² классС, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ сТатия Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ частоты ΠΈ ΠΏΡ€.

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ слоТных, прСкрасно ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ β€œΠΠ²Ρ‚ΠΎΠ“Ρ€Π°Ρ„β€. Они Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚, Ссли ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ΡƒΠΆΠ΅ установлСна. Когда ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΠΎΠΉΠΌΡƒΡ‚ сам ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ задания слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ смогут хотя Π±Ρ‹ схСматично ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Ρ‚ΠΎ для ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ сдСланного Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, построСнный Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ β€œΠΠ²Ρ‚ΠΎΠ“Ρ€Π°Ρ„Π°β€.

Π’Π°ΠΊΡƒΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ я ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π° ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ…, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° провСряли домашнСС Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Ρ‚ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ строили Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚Π½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ с большим Π°Π·Π°Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ строили Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ .

ΠŸΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ настоящая прСзСнтация ставит Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Ρ†Π΅Π»ΡŒ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ прСдставлСниС ΠΎ самой слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ внСшнСй ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ осмыслСнного восприятия ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. β€œΠŸΡ€ΠΈ осмыслСнном восприятии я Π²ΠΈΠΆΡƒ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎ большСС, Ρ‡Π΅ΠΌ содСрТится Π² нСпосрСдствСнном Π·Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π°ΠΊΡ‚Π΅, ΠΈ восприятиС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π° являСтся ΡƒΠΆΠ΅ Π² извСстной стСпСни абстракциСй, ΠΈ Π² восприятии содСрТатся слСды обобщСния”, – эти слова Π›.Π‘. Выготского [2] Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ психологичСскиС особСнности восприятия, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ, Π² частности, прСкрасно ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ процСсс изучСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

И сразу, Π±Π΅Π· тСорСтичСской ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, чисто Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ рассуТдСния, Π±Π΅Π· графичСских ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π·Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΡΡŽΡ‚ восприятиС. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ большС наглядности ΠΈ поэтапного погруТСния Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π».

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² сознании ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² понятиС слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ сформировано, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ β€œΠ’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ функции” (Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… классах), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Ссли ΡƒΠΆΠ΅ изучаСтся Ρ‚Π΅ΠΌΠ° β€œΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρβ€).

3. Как Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ вопрос Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ прСдлагаСтся Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ мноТСства Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ графичСски.

НапримСр, трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=(3+sinx)-1.

ВыдСляСм внСшнюю ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΡŽΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ внутрСнняя функция измСняСтся ΠΎΡ‚ 2 Π΄ΠΎ 4 (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ -1≀sinx≀1). Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, 2≀t≀4.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚: внСшняя функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΎΡ‚ 2 Π΄ΠΎ 4.

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, выдСляя ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ участок Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π΅. И Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния Ρƒ находятся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [0,25; 0,5].

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π•(Ρƒ)= [0,25; 0,5].

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ участки монотонности Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹! Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ области опрСдСлСния внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ рассмотрСли понятиС слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, внСшнСй ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ. ΠΠ°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² внСшнСй ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ строим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. А Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ мноТСство Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

И Π² Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ β€œΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉβ€, β€œΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉβ€ связаны с Π³Π»Π°Π³ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΈ β€œΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒβ€, β€œΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒβ€. Π’ словарС Даля Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ склад – это ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, красота, порядок, устройство. β€œΠ‘ΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠΌ – Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ, ясный ΠΈ вСрный”. И я ΡΡ‚Π°Ρ€Π°Π»Π°ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ слоТная функция для ΠΌΠΎΠΈΡ… ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² оказалась Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° интСрСсно устроСнной.

Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° учитСля ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ посвящСна Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ восприятиС Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°, Π½ΠΎ ΠΈ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‡ΡƒΠ²ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρƒ ΡƒΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ красоту, которая всСгда встрСчаСтся Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°.

  1. Π’ΠΈΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈΠ½ Н.Π―.ΠΈ Π΄Ρ€. АлгСбра для 9 класса. – М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 1996.
  2. Выготский Π›.Π‘. Вопросы дСтской (возрастной) психологии // Π‘ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½ΠΈΠ΅ сочинСний: Π² 6 Ρ‚. – М.: ПСдагогика, 1984. – Π’.4.
  3. ΠšΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡ€ΠΎΠ² А.Н. ΠΈ Π΄Ρ€. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. 10-11 класс. – М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 2009.

Ѐункция Python complex () с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ

Ѐункция Python complex () ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для прСобразования чисСл ΠΈΠ»ΠΈ строки Π² комплСксноС число. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ комплСксноС число. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ называСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ – ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ.

Подпись

слоТный ([Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ [, ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ]])

ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹

вСщСствСнный : Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ числовой ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€.

ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ : Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ числовой ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€.

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ комплСксноС число.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ complex (), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Python complex () ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 1

Π­Ρ‚ΠΎ простой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ использованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ complex (). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Π΅ΠΌ всС Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ цСлочислСнного Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

# ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Python complex () # Π’Ρ‹Π·ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ a = complex (1) # ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° b = complex (1,2) # ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² # ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (Π°) ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (Π±)

Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄:

Python complex () ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 2

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Π΅ΠΌ значСния Ρ‚ΠΈΠΏΠ° с ΠΏΠ»Π°Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ запятой, ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, сгСнСрированный Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΈΠΏ с ΠΏΠ»Π°Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ запятой.

# ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Python complex () # Π’Ρ‹Π·ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ a = complex (1.5) # ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° b = complex (1.5,2.2) # ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² # ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (Π°) ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (Π±)

Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄:

Python complex () ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 3

Он Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ допускаСт строковыС ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹, Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом.

# ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Python complex () # Π’Ρ‹Π·ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ a = complex (‘1’) # ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° b = комплСкс (‘1.5 ‘) # ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (Π°) ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (Π±)

Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄:

Python complex () ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 4

ДопускаСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ строковый ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€. Если ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ являСтся строковым, ΠΎΠ½ Π½Π΅ позволяСт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ошибка.

# ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Python complex () # Π’Ρ‹Π·ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ a = complex (‘1’, ‘2’) # ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡Π° Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² # ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (Π°)

Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄:

 TypeError: complex () Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Ссли ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ являСтся строкой
 

Python complex () ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 5

Он Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ позволяСт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ комплСксноС число Π² качСствС ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°.Π‘ΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

# ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Python complex () # Π’Ρ‹Π·ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ a = complex (1 + 2j) # ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° b = complex (1 + 2j, 2 + 3j) # ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² # ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (Π°) ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ (Π±)

Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄:


ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа: Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа: Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π’Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ понятиСм для чисСл, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ комплСксных, являСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ . Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ | x | Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа x само, Ссли ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ноль, Π½ΠΎ Ссли x ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ | x | это Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ – x, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. НапримСр, | 3 | = 3, Π½ΠΎ | –4 | = 4. Ѐункция Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π»ΠΈΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.

Для комплСксного числа z = x + yi, опрСдСляСм Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ | z | ΠΊΠ°ΠΊ расстояниС ΠΎΡ‚ z Π΄ΠΎ 0 Π² комплСксной плоскости C .Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ | x | Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ расстояниС ΠΎΡ‚ x Π΄ΠΎ 0 Π½Π° строкС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ расстояниС | z | с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² 0, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π² z ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΠΌ Π² x Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси нСпосрСдствСнно ΠΏΠΎΠ΄ z (ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ z , Ссли z оказываСтся Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси). Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ сторона Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ | x |, Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ сторона ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ | y |, Π° диагональная сторона ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ | z |. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

| z | 2 = x 2 + y 2 .

(ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ x, , ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ | x | 2 = x 2 .) Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для | z |, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ,


Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³.

НСкоторыС комплСксныС числа ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, 1 – это Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ 1, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ –1, Π½ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ i , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ – i , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΎΡ‚ 0 Π½Π° мнимая ось. Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ – это ΠΊΡ€ΡƒΠ³ радиуса 1 с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² 0. Он Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя всС комплСксныС числа с Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 1, поэтому ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ | z | = 1.

КомплСксноС число z = x + yi Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x 2 + y 2 = 1.НСкоторыС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ 1, –1, i, ΠΈ – 1 – это Β± √2 / 2 Β± i √2 / 2, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ»ΡŽΡΡ‹ ΠΈ минусы ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ взяты Π² любом порядкС. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° пСрСсСчСнии Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ y = x ΠΈ y = x с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. ПозТС ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· i ΠΈ – i.

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ комплСксныС числа Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅ΠΊ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° состоит ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл a, b, ΠΈ c , Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ a 2 + b 2 = c 2 Если Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° c 2 , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ( a / c ) 2 + ( b / c ) 2 = 1. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a / c + i b / c – это комплСксноС число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π±Π»ΠΎΠΊΠ΅ ΠΊΡ€ΡƒΠ³. Бамая извСстная Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° – 3: 4: 5. Π­Ρ‚Π° Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ комплСксноС число 3/5 + i 4/5 Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. НСкоторыС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ пифагорСйскиС Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠΈ: 5:12:13, 15: 8: 17, 7:24:25, 21:20:29, 9:40:41, 35:12:27 ΠΈ 11:60:61. Как ΠΈ слСдовало ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΈΡ… бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. (Для Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ большС ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅ΠΊ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° см. Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ страницы ΠΏΠΎ адрСсу http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/right.html.)

НСравСнство Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

БущСствуСт Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ свойство комплСксных чисСл, относящССся ΠΊ суммС Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ нСравСнством Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.Если z ΠΈ w – Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° комплСксных числа, Ρ‚ΠΎ

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ это ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. Рассмотрим Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ 0, z, ΠΈ z + w. Одна сторона Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ z + w ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ | z + w |. Вторая сторона Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ z, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ | z |.И Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡ сторона Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΎΡ‚ z Π΄ΠΎ z + w, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° прямой ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ w, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ | w |. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² любом Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ любая сторона мСньшС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ нСравСнство Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ аналитичСских / Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Ρ… комплСксных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ 1

Напомним со страницы аналитичСских / Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Ρ… комплСксных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли $ A \ substeq \ mathbb {C} $ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎ, $ z_0 \ in A $ ΠΈ $ f: A \ to \ mathbb {C} $, Ρ‚ΠΎ $ f $ являСтся называСтся аналитичСским Π² $ z_0 $, Ссли $ f $ комплСксно Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π² окрСстности $ z_0 $.2} {z – z_0} \\ & = \ lim_ {z \ to z_0} \ frac {z \ cdot \ overline {z} – z_0 \ cdot \ overline {z_0}} {z – z_0} \\ & = \ lim_ {z \ to z_0} \ frac {z \ cdot \ overline {z} – z \ cdot \ overline {z_0} + z \ cdot \ overline {z_0} – z_0 \ cdot \ overline {z_0}} {z – z_0 } \\ & = \ lim_ {z \ to z_0} \ frac {z (\ overline {z} – \ overline {z_0} + \ overline {z_0} (z – z_0)} {z – z_0} \\ & = \ lim_ {z \ to z_0} \ left (z \ cdot \ frac {\ overline {z} – \ overline {z_0}} {z – z_0} + z_0 \ right) \ end {align}

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ z_0 = 0 $. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:

(3)

\ begin {align} \ quad f ‘(0) = \ lim_ {z \ to 0} z \ cdot \ frac {\ overline {z}} {z} = \ lim_ {z \ to 0} \ overline {z } = 0 \ end {align}

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, $ f $ комплСксно Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π² $ 0 $ ΠΈ $ f ‘(0) = 0 $.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ z_0 \ neq 0 $. ПокаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ сущСствуСт ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π°:

(4)

\ begin {align} \ quad \ lim_ {z \ to z_0} \ frac {\ overline {z} – \ overline {z_0}} {z – z_0} \ end {align}

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ линиям, проходящим Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π£ нас это:

(5)

\ begin {align} \ quad \ lim_ {z \ to z_0, y = y_0} \ frac {\ overline {z} – \ overline {z_0}} {z – z_0} & = \ lim_ {x \ to x_0, y = y_0} \ frac {(x – yi) – (x_0 – y_0i)} {(x – x_0) + (y – y_0) i} \\ & = \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {x – x_0} {x – x_0} \\ & = 1 \ end {align}

Π£ нас Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ это:

(6)

\ begin {align} \ quad \ lim_ {z \ to z_0, x = x_0} \ frac {\ overline {z} – \ overline {z_0}} {z – z_0} & = \ lim_ {x = x_0, y \ to y_0} \ frac {(x – yi) – (x_0 – y_0i)} {(x – x_0) + (y – y_0) i} \\ & = \ lim_ {y \ to y_0} \ frac {- ( y – y_0) i} {(y – y_0) i} \\ & = -1 \ end {align}

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» $ z \ to z_0 $ Π½Π° $ f $ приблиТаСтся ΠΊ Π΄Π²ΡƒΠΌ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌ значСниям ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌ путям, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ этот ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», $ \ displaystyle {\ lim_ {z \ to z_0} \ frac {\ overline {z} – \ overline {z_0}} {z – z_0}} $ Π½Π΅ сущСствуСт. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, $ f ‘(z_0) $ Π½Π΅ сущСствуСт всякий Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $ z_0 \ neq 0 $.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, СдинствСнная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ $ f $ являСтся комплСксно Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ, находится Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ z_0 = 0 $, ΠΈ поэтому $ f $ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ аналитичСским Π½ΠΈΠ³Π΄Π΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π΅ сущСствуСт окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ $ 0 $, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ $ f $ комплСксно Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π² этой окрСстности.

КомплСксноС сопряТСниС: числа, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ – Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈ стСнограмма ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

КомплСксноС число

КомплСксноС число – это число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ части.Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа содСрТат всС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа 0 ΠΈ 7, Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число -5 ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 2/3) ΠΈ всС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΠΈ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3). ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π΅ сущСствуСт Π² систСмС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ»ΠΈ систСму чисСл ΠΈ создали ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ i , которая опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· -1. Π­Ρ‚ΠΎ позволяСт Π½Π°ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· любого ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ извлСчСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.2 = -1.

Бтандартная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа: a + bi , Π³Π΄Π΅ a ΠΈ b – Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Π‘ΡƒΠΊΠ²Π° a прСдставляСт Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа, Π° Ρ‡Π»Π΅Π½ bi прСдставляСт ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ комплСксного числа: 8 + 3 i . 8 – Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числа, Π° 3 i – мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ слоТного ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚Π°

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ объСдиним ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ опрСдСлСния.КомплСксноС сопряТСниС формируСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ измСнСния Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ комплСксного числа. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: 4-7 i ΠΈ 4 + 7 i . Π­Ρ‚ΠΈ комплСксныС числа ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ комплСксно сопряТСнных чисСл. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ (Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° 4) Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ комплСксном числС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°, Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части (7 i ) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. 2 замСняСтся Π½Π° -1.Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части исходной ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ комплСксно сопряТСнных чисСл ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом; Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число. Π­Ρ‚ΠΎ всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ комплСксных ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ комплСксных сопряТСний всСгда являСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом.

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ сопряТСния ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ инструмСнтом ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с комплСксными числами. НапримСр, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа Π½Π° Π΅Π³ΠΎ сопряТСниС ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.

Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ: (3 – 4 i ) / (1 + i )

Π­Ρ‚Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π½Π΅ упрощаСтся, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ. Мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π² числитСлС ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ i Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Одна ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ этого ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ являСтся комплСксным числом.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ сопряТСниС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ i . Однако это ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Но ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΡƒΡŽ исходной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. НапримСр, Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ 1/2. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° 3: (1 x 3) / (2 x 3) = 3/6. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΡƒΡŽ 1/2.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² нашСй исходной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° сопряТСниС знамСнатСля.2 Π½Π° -1 ΠΈ упростим:

(3-7 i + 4 (-1)) / (1 – (-1)) = (3-7 i -4) / (1 + 1) = (-1 – 7 i ) / 2

Π’ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ большС Π½Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… частСй, ΠΈ это Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ. (ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… отрицаниях.)

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Из Π²Π°ΡˆΠΈΡ… классов Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π²Ρ‹, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ пСрСсСкаСт ось x .Когда это происходит, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ комплСксными числами. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π²Ρ‹ рассчитываСтС эти Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆ, комплСксныС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами Π² качСствС коэффициСнтов всСгда Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² комплСксно сопряТСнных ΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ….

НапримСр, Ссли Π²Π°ΠΌ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ квадратичная функция с вСщСствСнными числами Π² качСствС коэффициСнтов ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ -2 + i , Ρ‚ΠΎ -2 – i Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами Π² качСствС коэффициСнтов ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 5-2 i .Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

Если 5 – 2 i – ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, Ρ‚ΠΎ 5 + 2 i Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² пСрСсСкаСмой ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅: y = ( x – (5-2 i )) ( x – (5 + 2 i ))

Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… скобок Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ y = ( x – 5 + 2 i ) ( x – 5 – 2 i )

Если ΠΌΡ‹ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ y = x ^ 2-5 x -2 xi -5 x + 25 + 10 i + 2 xi -10 i -4 i ^ 2

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ i ^ 2 Π½Π° -1 Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ -4 i ^ 2 стало -4 (-1) ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΡΠ»ΠΎΡΡŒ +4: y = x ^ 2-5 x -2 xi – 5 x + 25 + 10 i + 2 xi – 10 i + 4

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ (Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π» 9 0080 = x ^ 2-10 x + 29.

РСзюмС ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚Ρ‹ – это простая концСпция, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. ΠŸΠ°Ρ€Π° комплСксных ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ΠΎΠ² образуСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ измСнСния Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ комплСксного числа. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ сопряТСниС комплСксного числа, просто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части.

Π•Ρ‰Π΅ ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ:

  • КомплСксноС число – это число с ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ.
  • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ комплСксных ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ΠΎΠ² всСгда являСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом.
  • Мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числитСля Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ допустима, Π½ΠΎ Π½Π΅ знамСнатСля.
  • ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами Π² качСствС коэффициСнтов всСгда Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² комплСксно сопряТСнных ΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ….

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ c-2

Π›Π΅ΠΉΡ„ ΠœΠ΅ΠΉΠ»Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π² КопСнгагСнском унивСрситСтС , Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ написал Π΄ΠΈΡΡΠ΅Ρ€Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ с частными ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ распрСдСлСния . ВскорС послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ВСхничСском унивСрситСтС Π”Π°Π½ΠΈΠΈ, , Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ оставался Π΄ΠΎ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π° Π½Π° пСнсию Π² 2003 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ. Он Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ Π±Ρ‹Π» Π² отпускС, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° Π² ШвСдской Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΈ , Π‘Ρ‚ΠΎΠΊΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠΌ, , ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π· Π² . КопСнгагСнская тСлСфонная компания , Π½Ρ‹Π½Π΅ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Датской Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°Π½ΠΈΠΈ , Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… мСстах ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ исслСдования.

Π’ ВСхничСском унивСрситСтС Π”Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ½ Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… дСсятилСтий Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π» Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ матСматичСским ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ элСмСнтарноС исчислСниС , тСория слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа, ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, тСория вСроятностСй ΠΈ тСория распрСдСлСния , Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ курсы, Π³Π΄Π΅ Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π˜Π½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Ρ‹ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Ρ‹ΠΉ курс, Π³Π΄Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΡΠΎΡ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ, нСсмотря Π½Π° ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.Он написал ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… курсов.

Π•Π³ΠΎ исслСдования Π² Measure Theory ΠΈ Complex Functions Theory слишком ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ интСрСс для большСго, Ρ‡Π΅ΠΌ просто Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… спСциалистов, поэтому здСсь ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. Однако слСдуСт ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ философия Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎ вошла Π² повлиял Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎ всСх Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… матСматичСских вопросах, упомянутых Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

ПослС Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π° Π½Π° пСнсию ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» ΠΊΠΎΠ½ΡΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚ΠΎΠΌ Π² ΠΈΠ½ΠΆΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΈΠ½Π³ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… компаниях {самоС ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ для консорциума Femern Belt Consortium , настраивая Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ для проникновСния Ρ…Π»ΠΎΡ€ΠΈΠ΄ΠΎΠ² Π² Π±Π΅Ρ‚ΠΎΠ½ ΠΈ прСдлагая Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ простыС ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для этих ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ. спСциалист ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ .ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ½ написал ΡΠ΅Ρ€ΠΈΡŽ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ· упомянутых Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌ для издатСля Ventus / Bookboon .

ΠŸΡ€Π΅ΠΊΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΡ€ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ | ΠšΠ°ΡΠΏΠ΅Ρ€ ΠœΡŽΠ»Π»Π΅Ρ€

Π€Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ рСкурсивных слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ИсслСдованиС скрытой структуры Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких измСрСниях

Π­Ρ‚ΠΎ пСрвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ нСбольшой сСрии статСй, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… для понятного описания Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ интСрСсных Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² комплСксного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π”Π°ΠΆΠ΅ Ссли Ρƒ вас Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ курса ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎΠ± этой фантастичСской области.Если Π²Ρ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ обновляСтС свои Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ, я ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π΅ мСсто, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ я ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… способов Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° эту Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ этой ΠΏΠ»ΠΎΠ΄ΠΎΡ‚Π²ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΈ красивой Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… основ.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ условия, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ. НаправлСниС слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ.ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π½Π° Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой Π½Π΅Ρ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π° одномСрная.

НапримСр, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· способов – ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ приблиТаСтся ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ числу, скаТСм, a , слСва, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ приблиТаСтся ΠΊ a справа, Ρ‚.Π΅.

Π’ Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ смыслС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ двустороннСС условиС, Π½ΠΎ это Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ сильноС условиС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π’ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ эти свойства довольно слабыми Π² Ρ‚ΠΎΠΌ смыслС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ врСдоносных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ диффСрСнцируСмости Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ вСщСствСнной прямой, Π½ΠΎ Ссли функция удовлСтворяСт этому ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ производная Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.На самом Π΄Π΅Π»Π΅, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ гарантируСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΊ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ сущСствуСт!

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, слабыС условия Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΡˆΡƒ Тизнь довольно слоТной Π² Ρ‚ΠΎΠΌ смыслС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈ поэтому количСство ΠΌΠΎΡ‰Π½Ρ‹Ρ… инструмСнтов для ΠΈΡ… выполнСния Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ впСчатляСт.

Однако Π² ΠΌΠΈΡ€Π΅ комплСксных чисСл ΠΈ ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ это совсСм другая история, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ сСйчас ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅. ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, условия Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сильнСС, ΠΈ поэтому Π² нашСм распоряТСнии Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Ρ… инструмСнтов ΠΈ мноТСство красивых Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ.

На самом Π΄Π΅Π»Π΅, Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ (Π½Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ написания), Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ комплСксного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ углубимся Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ интСрСсныС Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ договоримся ΠΎ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π²Π΅Ρ‰Π°Ρ…. Π’ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ сопоставляСм Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ бСсконСчный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ… объСдинСниС) Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ с самим собой. Π’ частности, области опрСдСлСния этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΠΎΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° слоТных функциях, я ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ напомню Π²Π°ΠΌ ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… свойствах комплСксных чисСл, ΠΈΡ… Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ.

ΠΠ°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ являСтся мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°. Π­Ρ‚ΠΎ число i , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ удовлСтворяСт Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ iΒ² = -1 .

НСт Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° этой собствСнности!

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ вСщСствСнноС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ пространство, натянутоС Π½Π° базис 1 ΠΈ i. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами. КомплСксноС число ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ a + bi ΠΈ удовлСтворяСт ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… пространств, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ распрСдСлСния, Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ коммутативности ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, сущСствуСт гСомСтрия, связанная с комплСксными числами.

Π£ Π½ΠΈΡ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹), ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ Π½Π° плоскости (Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ комплСксной ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ), ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½ΠΎΠΉ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ алгСбраичСской структурС) ℝ².

Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, комплСксноС число 3 + 4i являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ) (3, 4) Π² этой плоскости. Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ смыслС, комплСксноС число a + bi – это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (a, b) Π½Π° комплСксной плоскости.

ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС комплСксных чисСл, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ℝ², Π½ΠΎ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ здСсь большС структуры, Ρ‡Π΅ΠΌ эта, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ комплСксныС числа вмСстС.Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ это Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎΠΌ , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ пространства – это Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΈΡ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния .

ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, это Π΄Π°ΠΆΠ΅ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ элСмСнт (комплСксноС число) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€ΡΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа, это особый Π²ΠΈΠ΄ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ .

Когда Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Π²Π° комплСксных числа, Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ распрСдСлСния ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ iΒ² = -1 .

ΠžΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ прСдставлСниС ΠΎ комплСксной плоскости.

Π’ комплСксном Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с подмноТСствами комплСксной плоскости Π² качСствС областСй. Π’ ΡƒΠΌΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ диск с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ большим количСством отвСрстий, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° прСдставляСт собой всю ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π’ частности, области Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹, ΠΈ это, ΠΊΠ°ΠΊ выясняСтся, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ интСрСсныС послСдствия.

ΠžΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ комплСксного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° являСтся концСпция слоТных Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями.

Как ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ области, сущСствуСт бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ числу. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ большиС ограничСния Π½Π° Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°Π΅Ρ‚ этим функциям ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ свойства.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΈΡ… ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ исслСдуСм этот всСнаправлСнный ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π».

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ слоТная функция ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ комплСксной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ комплСксноС число Π² комплСксноС число, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ простой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ этого, рассмотрим

Π§Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ограничСния Π½Π΅ матСрия ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π² частности, Ссли ΠΌΡ‹ возьмСм ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ссли ΠΌΡ‹ возьмСм ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ оси.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚.

Π³Π΄Π΅ Ξ΄ ΠΈ Ξ· ΠΈΠ΄ΡƒΡ‚ вдоль Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси. Π­Ρ‚ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ, давая

. Когда ΠΌΡ‹ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅ΠΌ f Π² Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ u ΠΈ v , ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ f = u + iv, ΠΈ подставляСм это Π² Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ просто Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ систСму Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ уравнСния Коши-Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π° .

Наш ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ каТдая голоморфная функция Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ этим уравнСниям, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Π½ΠΈΡ… строгоС Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ. Но для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ это Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΎ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, связанныС с ΠΏΡ€Π΅Π΅ΠΌΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ оказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ производная Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, функция сохраняСт ΡƒΠ³ΠΎΠ». Π­Ρ‚ΠΎ называСтся ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ являСтся Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ приятным ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΌ этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ интСрСсными свойствами, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ. ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли функция Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ комплСксно Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ области, содСрТащСй Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, скаТСм, p , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° комплСксно Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π· Π² p .

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная комплСксной Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся комплСксно Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ.

Π­Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ.

АналитичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ аналитичСскими , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ сходящийся стСпСнной ряд Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² своСй области с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ радиусом сходимости. На самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅.Π›ΡŽΠ±Π°Ρ аналитичСская функция Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… аналитичСскими функциями вмСсто Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΈ Π΄Π²Π° опрСдСлСния матСматичСски эквивалСнтны, хотя ΠΏΠΎΠ΄ двумя выраТСниями ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌ Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅. ΠœΡ‹ сохраняСм эти Π΄Π²Π° опрСдСлСния, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ понятиС вСщСствСнных аналитичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ эквивалСнтно Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ диффСрСнцируСмости.

Как ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, голоморфная функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСнного ряда . Π£ стСпСнных рядов Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ радиус сходимости.Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС диск Π² комплСксной плоскости ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ряда, Π° радиус этого диска – это радиус Π΅Π³ΠΎ сходимости. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ диска Π΅ΡΡ‚ΡŒ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ряды расходятся.

Как Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ части, Π΅ΡΡ‚ΡŒ способы ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ эти Ρ€Π°Π·Π΄Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ·-Π·Π° двумСрности комплСксной плоскости!

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² послСдствия голоморфности, я Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π²Π°ΠΌΠΈ особСнно приятным ΡƒΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅ΠΌ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ укорСнСния.И я Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΡŽ Π½Π΅ ΠΎ корнях ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Π° ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корнях, кубичСских корнях ΠΈ Ρ‚. Π”.

ΠœΡ‹ всС со ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ·, скаТСм, 4 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2. Но Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π° опСрация Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅? Если ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° вопрос, эквивалСнтный «», ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 4? Β»Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ« ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ число Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 4? Β», Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, вопрос Π½Π΅ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ поставлСн, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° числа, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… этому.

По соглашСнию ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· , Π½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня ΠΈΠ· 4, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ 2 ΠΈ -2.

Как насчСт кубичСского корня? Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΌΡ‹ всС ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Но Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ это ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π° с Π΄ΠΎΡ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа, Π½ΠΎ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… корня, ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΈ! Π•ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… кубичСских корня ΠΈΠ· любого числа , ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ 0 .

На самом Π΄Π΅Π»Π΅, Ρƒ любого комплСксного (Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ) числа n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ n-ΠΉ стСпСни!

Как всСгда, Π°Π΄Π΄ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ тоТдСство 0 – это особоС число Π² ΠΌΠΈΡ€Π΅ ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ².Если ΠΌΡ‹ посчитаСм Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для 0, , Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 0 ΠΈΠ· ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°.

Но Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, эти ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ n комплСксного числа z Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ симмСтрично Π½Π° окруТности окруТности с радиусом, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ n-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ z , с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² 0.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ сущСствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ Π΄Π²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½Ρ‹ симмСтрично ΠΏΠΎ окруТности, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ опрСдСляСт ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ….НапримСр, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· 1 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ симмСтрично Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ -1.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 1 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… корня Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ… равностороннСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, вписанного Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² 1.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС n ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· 1 ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с n сторонами), ΠΈ всС ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.Они Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ корнями Сдинства .

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ 5-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ n ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ фактичСски ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρƒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ (ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ умноТСния) ΠΈ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ интСрСсными свойствами, Π½ΠΎ это ΡƒΠΆΠ΅ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ² Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΉΠ½Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ скрыты Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠ½ΠΎΡ‚Π΅, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ становятся ясными, ΠΈ это Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ нашСго просвСтлСния.

ΠŸΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ каТСтся (ΠΈΠ·Π²ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π° ΠΌΠΎΠ΅ философскоС ΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ я Π²Π°ΠΌ здСсь Π½Π°Π²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽ), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° -1 (Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° Π² этой истории для обсуТдСния этого).

Как Π±ΡƒΠ΄Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» Ρ‚Π°ΠΌ всС врСмя, ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΠΎ всСх сил ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠ½ΠΎΡ‚Π΅, Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΈ – Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅Π½ΠΈ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Ρ‰Π΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅. Однако Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π»ΠΎ Π½Π°ΠΌ свСт, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊ отчаянно Π½ΡƒΠΆΠ΄Π°Π»ΠΈΡΡŒ.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ всС становится ΠΏΠΎ-настоящСму интСрСсным.

Когда ΠΌΡ‹ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ это Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, бСсконСчном ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅) Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой, ΠΈ здСсь снова ΠΈΠ·-Π·Π° одномСрности, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρƒ нас Π½Π΅Ρ‚ особого Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ направлСния .

Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ относится ΠΊ комплСксным ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°ΠΌ. Когда Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° комплСксной плоскости (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… (ΠΈΠ»ΠΈ объСдинСниС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… связанных ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ…, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π°ΠΌΠΈ), ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ являСтся 2-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡƒΠ³Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ (ΠΈ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ), Π½ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ каТСтся. На самом Π΄Π΅Π»Π΅ для Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅Ρ€Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π²Π΅Ρ‰ΡŒ.

Когда Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π° (Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π°Ρ… ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π½Π° комплСксной плоскости) Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌΠΈ ΠΆΠ΅ двумя ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ (Ρ‚.Π΅.Π΅. Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚ΠΎΠΏΠ½Ρ‹ – см. Π½ΠΈΠΆΠ΅ gif), Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ ΠΏΠΎ Π½ΠΈΠΌ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π² области ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π°ΠΌΠΈ Π½Π΅Ρ‚ отвСрстий, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ.

Π”Π²Π° гомотопичСски эквивалСнтных ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π° Π½Π° комплСксной плоскости

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ интСрСсныС слСдствия ΠΏΠΎ чисто топологичСским ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌ.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ (Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€), Ρ‚ΠΎ Ссли пространство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ вписываСт ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€, являСтся сТимаСмым i.Π΅. Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚ΠΎΠΏΠ΅Π½ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (постоянной ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ), Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ этому ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Ρƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Коши послС ΠžΠ³ΡŽΡΡ‚Π΅Π½Π°-Π›ΡƒΠΈ Коши.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли функция Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Π° Π² этой области, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

для f голоморфная функция Π² области D, содСрТащСй Ξ³.

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ полюсов Π² своСй области опрСдСлСния, Ρ‚.Π΅. ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π²Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ Π½Π΅ становятся бСсконСчными Π² Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. Π‘ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ приятно Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с функциями, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ Π²ΠΎ всСй своСй области, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ счСтного количСства Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ΠΌΠΈ . Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎ Π½ΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ± ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π² Π½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ΠΌΠΈ свойствами, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ полюса ΠΈΠ»ΠΈ особСнности. НСкоторыС ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ – это ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°, , Π³Π°ΠΌΠΌΠ°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, 1 / z ΠΈ Ρ‚.Π΄. ΠΈ оказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π² сочСтании с логарифмичСской ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ инструмСнт для вычислСния ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ этого.

Если f – мСроморфная функция Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΈ Π½Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ C, ΠΈ f Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ полюсов Π½Π° C, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

Π“Π΄Π΅ Z – количСство Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ, Π° P это количСство полюсов Π² C.

ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ интСрСсно Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» заботится Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, Π° Π½Π΅ ΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ! ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ значСния, Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π° ΠΈ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡŽΡΡ‹ ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ Π² подмноТСствС, вписанном Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€ комплСксной плоскости!

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ связан с Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠ΅ΠΉ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ исчислСниСм остатков , которая тСсно связана с Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ сСрии Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ сСрии Π›ΠΎΡ€Π°Π½Π° , Π½ΠΎ это ΡƒΠΆΠ΅ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ.

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС ΠΎ сСрии Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° здСсь ΠΈ вмСстС со ΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ интСрСсныС свойства логарифмичСской ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ здСсь .

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ эту Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ.

Из-Π·Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ΠΉ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… измСрСниях, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ТСсткиС ограничСния Π½Π° слоТныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π° Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ условиям, связанным с ограничСниями.

Π­Ρ‚ΠΎ, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ свойствам Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… этим условиям, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΊΠ°ΠΊ комплСксного, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°.

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, оказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ становится ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ комплСксныС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹, извСстныС ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹, зависят Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ классов гомотопичСской эквивалСнтности ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€ΠΎΠ², Π° Π½Π΅ ΠΎΡ‚ самих ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΉ.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ ΠΊ прСкрасным открытиям ΠžΠ³ΡŽΡΡ‚Π΅Π½Π°-Π›ΡƒΠΈ Коши ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ использовано для вычислСния Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ полюсов ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ вскорС исслСдуСм.

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ части ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ красоту Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Ρƒ Π½ΠΈΡ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ свойства, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ прилоТСния ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ , Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ совсСм понятны.Π­Ρ‚ΠΎ связано с присвоСниСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ расходящимся рядам ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π·Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈΡ… области опрСдСлСния.

МногиС, Ρƒ ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π±Ρ‹Π»Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΡƒΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π΅Π΅ с Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π΅Π΅ пустой Π½Π°ΡƒΠΊΠΎΠΉ. На самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, это Π½Π°ΡƒΠΊΠ°, Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ большого вообраТСния.
~ Π‘ΠΎΡ„ΡŒΡ КовалСвская

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ этой сСрии Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ здСсь.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа


A ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€

КомплСксноС число – это комбинация Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа
ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа – это Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ числа, ΠΊΠ°ΠΊ:

1 12.38 -0,8625 3/4 √2 1998

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ любоС число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, являСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом!

ΠœΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° возводят Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ , Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ .

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ этого Π½Π΅ происходит, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

Но Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ числа ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… числах…

Β«Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅Β» ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 1 для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл) – это i, Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· βˆ’1

ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, возводя i Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ βˆ’1

я 2 = -1

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… чисСл:

3i 1.04i βˆ’2,8i 3i / 4 (√2) я 1998i

И ΠΌΡ‹ оставляСм Ρ‚Π°ΠΌ малСнькоС Β«iΒ», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° √ βˆ’ 1

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

Когда ΠΌΡ‹ объСдиняСм Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ комплСксноС число :

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

1 + я 39 + 3i 0.8 – 2.2i βˆ’2 + Ο€i √2 + я / 2

ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ число Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл?

МоТСм Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… чисСл? ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ!

ΠœΡ‹ всС врСмя Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ это с дробями. Π”Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 3 / 8 – это число, состоящСС ΠΈΠ· 3 ΠΈ 8. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«3 ΠΈΠ· 8 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… частСй».

Ну, комплСксноС число – это всСго лишь , Π΄Π²Π° числа, слоТСнныС вмСстС (Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число).

Π›ΡŽΠ±Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, комплСксноС число ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ части.

Но любая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ 0 , поэтому всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ комплСксными числами.

КомплСксноС число РСальная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ВообраТаСмая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ
3 + 2i 3 2
5 5 0 Чисто НастоящСС
βˆ’6i 0 βˆ’6 Чисто Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ?

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ слоТный.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° чисСл, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅, вмСстС ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ комплСкс , Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ комплСкс Π·Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ (здания, соСдинСнныС вмСстС).

A Π’ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ объяснСниС

Π’Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ числовая линия Π²Π»Π΅Π²ΠΎ-Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ?

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆ, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ числа ΠΈΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…-Π²Π½ΠΈΠ· :

И ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ слоТный самолСт

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ комплСксноС число Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:


ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ 3 + 4 ΠΈ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° комплСксных числа, складываСм ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ:

(a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: слоТитС комплСксныС числа

3 + 2 i ΠΈ 1 + 7 i
  • слоТитС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈ
  • слоТитС ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа:

(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 7) i
= 4 + 9i

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: слоТитС комплСксныС числа

3 + 5 i ΠΈ 4 – 3 i

(3 + 5 i ) + (4 – 3 i )
= 3 + 4 + (5 – 3) i
= 7 + 2 i

На комплСксной плоскости это:

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Для умноТСния комплСксных чисСл:

КаТдая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ комплСксного числа умноТаСтся Π½Π°
каТдая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ комплСксного числа

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ “FOIL”, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ “ F irsts, O uters, I nners, L asts” (см. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ):

  • ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅: a Γ— c
  • Π’Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΠΉ: a Γ— d i
  • Π’Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅: b i Γ— c
  • Π”Π»ΠΈΠ½Π°: b i Γ— d i

(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2

Как это:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: (3 + 2i) (1 + 7i)

(3 + 2i) (1 + 7i) = 3 Γ— 1 + 3 Γ— 7i + 2i Γ— 1 + 2i Γ— 7i

= 3 + 21i + 2i + 14i 2

= 3 + 21i + 2i – 14 (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ i 2 = βˆ’1)

= βˆ’11 + 23i

А это:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: (1 + i)

2

(1 + я) (1 + я) = 1 Γ— 1 + 1 Γ— я + 1 Γ— я + я 2

= 1 + 2i – 1 (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ i 2 = βˆ’1)

= 0 + 2i

Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ быстрый способ!

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ:

(a + b i ) (c + d i ) = (ac βˆ’ bd) + (ad + bc) i

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: (3 + 2i) (1 + 7i) = (3 Γ— 1-2 Γ— 7) + (3 Γ— 7 + 2 Γ— 1) i = βˆ’11 + 23i

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚?

Π­Ρ‚ΠΎ просто ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ “Π€ΠžΠ›Π¬Π“Π” послС нСбольшой Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹:

(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2 FOIL method

= ac + ad i + bc i – bd (ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ i 2 = βˆ’1)

= (ac – bd) + (ad + bc) i (собирая ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹)

И Π²ΠΎΡ‚ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ‚Ρ‚Π΅Ρ€Π½ (ac – bd) + (ad + bc) i .

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, бСзусловно, быстрСС, Π½ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Π·Π°Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅, просто Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ FOIL.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ я

2

Π Π°Π΄ΠΈ интСрСса Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ расчСта i 2

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: i

2

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ i с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ 0 + i

я 2 = (0 + я) 2 = (0 + я) (0 + я)

= (0 Γ— 0 – 1 Γ— 1) + (0 Γ— 1 + 1 Γ— 0) i

= -1 + 0 я

= -1

И это Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ согласуСтся с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ i 2 = βˆ’1

Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ!

Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ большС ΠΎΠ± ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ комплСксных чисСл.

ΠšΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚Ρ‹

Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚Π°Ρ… Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρƒ!

БопряТСниС – это Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ‹ мСняСм Π·Π½Π°ΠΊ Π² сСрСдинС Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

БопряТСниС часто ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ с Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

5–3 i = 5 + 3 i

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для облСгчСния слоТного дСлСния.

Π£Π»ΠΎΠ²ΠΊΠ° состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ это ΠŸΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:

2 + 3 i 4-5 i

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΈ ниТнюю Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ 4-5 i :

2 + 3 i 4-5 i Γ— 4 + 5 i 4 + 5 i = 8 + 10 i + 12 i + 15 i 2 16 + 20 i -20 i -25 i 2

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ i 2 = βˆ’1, поэтому:

= 8 + 10 i + 12 i -15 16 + 20 i -20 i + 25

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ условия «Нравится» (ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ… 20 i – 20 i отмСняСтся!):

= βˆ’7 + 22 i 41

НаконСц, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ a + b i :

= βˆ’7 41 + 22 41 i

Π‘Π”Π•Π›ΠΠΠž!

Π”Π°, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ.Но это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ .

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚

Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ способ быстрСС.

Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ интСрСсно Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΎ Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ:

(4-5 i ) (4 + 5 i ) = 16 + 20 i -20 i -25 i 2

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ условия (20 i – 20 i ) Π°Π½Π½ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ:

(4-5 i ) (4 + 5 i ) = 16-25 i 2

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ i 2 = βˆ’1:

(4-5 i ) (4 + 5 i ) = 16 + 25

А 16 ΠΈ 25 (магичСским ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ 4 ΠΈ 5:

(4-5 i ) (4 + 5 i ) = 4 2 + 5 2

Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ довольно простой Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ:

(a + b i ) (a – b i ) = a 2 + b 2

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ врСмя, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·

2 + 3 i 4-5 i

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΈ ниТнюю Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ 4-5 i :

2 + 3 i 4-5 i Γ— 4 + 5 i 4 + 5 i = 8 + 10 i + 12 i + 15 я 2 16 + 25

= βˆ’7 + 22 i 41

А Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ a + b i :

= βˆ’7 41 + 22 41 i

Π‘Π”Π•Π›ΠΠΠž!

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠœΡ‹ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ z для комплСксного числа.И Re () для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части ΠΈ Im () для ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π§Ρ‚ΠΎ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π° комплСксной плоскости:

Набор ΠœΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡŒΠ±Ρ€ΠΎΡ‚Π°

ΠŸΡ€Π΅ΠΊΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠœΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡŒΠ±Ρ€ΠΎΡ‚Π° (Π½Π° Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ) основан Π½Π° комплСксных числах.

Π­Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ простоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ z 2 + c (ΠΎΠ±Π° комплСксных числа) ΠΈ снова ΠΈ снова Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π² z .

Π¦Π²Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, насколько быстро z 2 + c растСт, Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ остаСтся Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅.

Π’ΠΎΡ‚ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ увСличСния Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° ΠœΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡŒΠ±Ρ€ΠΎΡ‚Π°

А Π²ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ, ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π΅Ρ‰Π΅ большС:

440, 1070, 273, 1071, 1072, 443, 3991, 271, 3992, 3993

.

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ