ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ | ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ u β ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ x, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ u=u(x),Β Π° f β ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ u:Β f=f(u), ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y=f(u) β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ.
ΠΒ uΒ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ. ΠΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ f Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, Π° u β Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ. ΠΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
1) y=sin x β ΡΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ». Π‘ΠΈΠ½ΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ x. ΠΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ x ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΡ x, Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ β ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ y=sin u β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ u β Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ x. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ:
y=sin (x+1). ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ. ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u Π·Π΄Π΅ΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° x+1, Π° Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f β ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ u=x+1, f=sin u.
y=sin (5x-2xΒ³+3). ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u=5x-2xΒ³+3, Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f=sin u.
y=sin (x/7). ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u=x/7, Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f=sin u.
2) y=cos x β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. y=cos u β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ u β Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠ°Ρ ΠΎΡ x. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ β ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ:
y=cos (4-11x). ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u=4-11x, Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ: y=cos u.
y=cos (7xΒ³ -4xΒ²). ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u=7xΒ³ -4xΒ², Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ β y=cos u.
3) y=tg x β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. y = tg u β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ u=u(x). ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π², ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ:
y=tg(17+5xΒ²). ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u=17+5xΒ², Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ β y=tg u.
y=tg(9-x). ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ u=9-x, Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ β y=tg u.
4) y=ctg x β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. y=ctg u β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ u=u(x).
y=ctg(2x+6). ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u=2x+6, Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ β y=ctg u.
y=ctg(βx).Β u=βx, f=ctg u.
5) y=βx β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. y=βu β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ u=u(x). ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π², ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ:
Β Β
ΠΠ΄Π΅ΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y=sin x, Π° Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ β f=βu.
Β Β
ΠΠ΄Π΅ΡΡ u=9xΒ³-12x+5, f=βu.
6) y=xβΏ β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. y=uβΏ β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ u=u(x). ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½Π°Ρ.
y=sinΒ³x. ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y=sin x (ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ sinΒ³x=(sin x)Β³), Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ β Ρ=uΒ³.
Β Β
7) y=arcsin x β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. y=arcsin u β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° u=u(x).
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, y=arcsin (3x-9) β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u=3x-9,Β Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ β f=arcsin u.
y=arcsin (17-5xΒ³).Β u=17-5xΒ³, f=arcsin u.
8) y=arccos x β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. y=arccos u β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ, ΠΏΡΠΈ u=u(x).
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, y=arccos (34x+5) β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u=34x+5, Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ β f=arccos u.
9) y=arctg x β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. y=arctg u β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ, ΠΏΡΠΈ u=u(x).
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, y= arctg (6x+2xΒ³-7). ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u =6x+2xΒ³-7, Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ β f=arctg u.
10) y=arcctg x β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΡΠΈ u=u(x) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y=arcctg u β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, y= arcctg(2-11x+xΒ²) β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. u=2-11x+xΒ², f= arcctg u.
11) y=ln x β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. y= ln u β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ, ΠΏΡΠΈ u=u(x).
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, y=ln(4+32x-2xΒ³). ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y=4+32x-2xΒ³, Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ β f=ln u.
Β Β
ΠΡΠΎ β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. Π Π²ΠΎΡ ΠΏΡΠΈ u=u(x) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
Β Β
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
Β Β
Β Β
ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ» (Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°). Π Π²ΠΎΡ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ ΡΡΠΎΠΈΡ Π½Π΅ x, Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΈΠΊΡΠ°: u=u(x), ΡΠΎ ΡΡΠΎ β ΡΠΆΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
Β Β
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
Β Β
Β Β
ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β Β«ΠΏΡΠΎΡΡΠ°ΡΒ». Π Π²ΠΎΡ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ ΡΡΠΎΠΈΡ Π½Π΅ x, Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ x β ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u=u(x), ΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΆΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
Β Β
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
Β Β
ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ. ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u=8xΒ³+5x, Π° Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ β ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Β Β
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u, Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. Π ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
Β«Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
Β» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ (ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ β ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ). 2\rightarrow \ln\boxdot \)
ΠΏ.2. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
\(f'(x)\overset{def}{=}\frac{df}{dx}\) – ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Β«Π΄Π΅ ΡΡ ΠΏΠΎ Π΄Π΅ ΠΈΠΊΡΒ».
ΠΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ, Ρ.ΠΊ. ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΈΠ΄Π΅Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
\(z'(y)=\frac{dz}{dy},\ \ \varphi ‘(t)=\frac{d\varphi}{dt}\) ΠΈ Ρ.Π΄.
ΠΡΡΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ \(y=f(x)\), Π° Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ \(z=g(y)=g(f(x))\).
ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ \(x_0\), Π° Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ \(y_0=f(x_0)\).
Π‘ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°:
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: $$ \begin{cases} y=f(x)\\ z=g(y)=g\circ f \end{cases} \Rightarrow \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx} $$
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $y_0$ ΡΠ°Π²Π½Π°:
$$ g'(y_0)=\lim_{\triangle y\rightarrow 0}\frac{\triangle z}{\triangle y}=\frac{dz}{dy} $$ ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅: \(\triangle z=g'(y_0)\triangle y+\varepsilon(\triangle y)\cdot\triangle y\),
Π³Π΄Π΅ ΠΎΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\varepsilon(\triangle y)\) Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ \(\triangle y\), ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ: $$ \lim_{\triangle y\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)=\varepsilon(0)=0 $$ ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Ρ. ΠΊ. Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°: $$ \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)=\varepsilon\left(\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\triangle y\right)=\varepsilon(0)=0 $$ Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»: $$ f'(x_0)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{dy}{dx} $$ Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: $$ \frac{\triangle z}{\triangle x}=g'(y_0)\frac{\triangle y}{\triangle x}+\varepsilon(\triangle y)\cdot\frac{\triangle y}{\triangle x} $$ ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ: \begin{gather*} z'(x_0)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle z}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(g'(y_0)\frac{\triangle y}{\triangle x}+\varepsilon(\triangle y)\cdot\frac{\triangle y}{\triangle x}\right)=\\ =g'(y_0)\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)\cdot \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=g'(y_0)\cdot f'(x_0)+0=g'(y_0)\cdot f'(x_0) \end{gather*} ΠΠ»ΠΈ: $$ \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} $$ Π§ΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
Π²) \( y=\sqrt{cos(2x+1)} \) \begin{gather*} x\rightarrow (2x+1)\rightarrow cos\boxdot\rightarrow \sqrt{\boxdot} \end{gather*}
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ | ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ | ΠΡΠΎΠ³ΠΎΠ²ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ | |
1 | $$ \sqrt{\boxdot} $$ | $$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}} $$ | $$ \boxdot=cos(2x+1) $$ | $$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}}=\frac{1}{2\sqrt{cos(2x+1)}} $$ |
2 | $$ cos\boxdot $$ | $$ -sin\boxdot $$ | $$ \boxdot=2x+1 $$ | $$ -sin\boxdot=-sin(2x+1) $$ |
3 | $$ 2x+1 $$ | $$ 2 $$ | $$ – $$ | $$ 2 $$ |
\begin{gather*} y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{cos(2x+1)}}\cdot(-sin(2x+1))\cdot 2=-\frac{sin(2x+1)}{\sqrt{cos(2x+1)}} \end{gather*}
Π³) \( y=\frac{3}{\sqrt{cos(5x-3)}} \) \begin{gather*} x\rightarrow (5x-3)\rightarrow cos\boxdot\rightarrow \sqrt{\boxdot}\rightarrow\frac{3}{\boxdot} \end{gather*}
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ | ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ | ΠΡΠΎΠ³ΠΎΠ²ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ | |
1 | $$ \frac{3}{\boxdot} $$ | $$ -\frac{3}{\boxdot^2} $$ | $$ \boxdot=\sqrt{cos(5x-3)} $$ | $$ -\frac{3}{\boxdot^2}=-\frac{3}{\left(\sqrt{cos(5x-3)}\right)^2} $$ |
2 | $$ \sqrt{\boxdot} $$ | $$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}} $$ | $$ \boxdot=cos(5x-3) $$ | $$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}}=\frac{1}{2\sqrt{cos(5x-3)}} $$ |
3 | $$ cos\boxdot $$ | $$ -sin\boxdot $$ | $$ \boxdot=5x-3 $$ | $$ -sin\boxdot=-\boxdot(5x-3) $$ |
4 | $$ 5x-3 $$ | $$ 5 $$ | $$ – $$ | $$ 5 $$ |
\begin{gather*} y'(x)=-\frac{3}{cos(5x-3)}\cdot\frac{1}{2\sqrt{cos(5x-3)}}\cdot(-sin(5x-3))\cdot 5=\frac{15tg(5x-3)}{2\sqrt{cos(5x-3)}} \end{gather*}
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3*. 8\)
Π²) \( y=sin(sin(sinx)),\ \ x_0=\pi \) \begin{gather*} x\rightarrow sinx\rightarrow sin\boxdot\rightarrow sin\boxdot \end{gather*}
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ | ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ | ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ | ΠΡΠΎΠ³ΠΎΠ²ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ | |
1 | $$ sin\boxdot $$ | $$ cos\boxdot $$ | $$ sin(sinx) $$ | $$ cos(sin(sinx)) $$ |
2 | $$ sin\boxdot $$ | $$ cos\boxdot $$ | $$ sinx $$ | $$ cos(sinx) $$ |
3 | $$ sinx $$ | $$ cosx $$ | $$ – $$ | $$ cosx $$ |
\begin{gather*} y'(x)=cos(sin(sinx))\cdot cos(sinx)\cdot cosx \end{gather*} ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ \(x_0=\pi\): \begin{gather*} y'(\pi)=cos(sin(sin\pi))\cdot cos(sin\pi)\cdot cos\pi=cos 0\cdot cos 0\cdot(-1)=1\cdot 1\cdot(-1)=-1 \end{gather*} ΠΡΠ²Π΅Ρ: -1
Π³) \( y=\ln\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}},\ \ x_0=\frac\pi 6 \)
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ: \begin{gather*} \ln\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}=\frac12\ln\left(\frac{1-sinx}{1+sinx}\right)=\frac12(\ln(1-sinx)-\ln(1+sinx)) \end{gather*} ΠΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ: \(x\rightarrow (1-sinx)\rightarrow\ln\boxdot\) \begin{gather*} (\ln(1-sinx))’=\frac{1}{1-sinx}\cdot(1-sinx)’=\frac{-cosx}{1-sinx} \end{gather*} ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ: \begin{gather*} (\ln(1+sinx))’=\frac{1}{1+sinx}\cdot(1+sinx)’=\frac{cosx}{1+sinx} \end{gather*} ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: \begin{gather*} y'(x)=\frac12\left(\frac{-cosx}{1-sinx}-\frac{cosx}{1+sinx}\right)=-\frac{cosx}{2}\cdot\frac{(1+sinx)+(1-sinx)}{(1-sinx)(1+sinx)}=\\ =-\frac{cosx}{2}\cdot\frac{2}{1-sin^2x}=-\frac{cosx}{cos^2x}=-\frac{1}{cosx} \end{gather*} ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ \(x_0=\frac\pi 6\): \begin{gather*} y’\left(\frac\pi 6\right)=-\frac{1}{cos\frac\pi 6}=-2 \end{gather*} ΠΡΠ²Π΅Ρ: -2
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4*. ΠΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ
x ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \(f(x)\) ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ?
a) \( f(x)=sin3x-\sqrt{3}cos3x+3(cosx-\sqrt{3}sinx) \)
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ: \begin{gather*} f'(x)=3cos3x+3\sqrt{3}sin3x+3(-sinx-\sqrt{3}cosx)=\\ =3(cos3x+\sqrt{3}sin3x)-3(sinx+\sqrt{3}cosx) \end{gather*} ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ: \begin{gather*} 3(cos3x+\sqrt{3}sin3x)-3(sinx+\sqrt{3}cosx)=0\\ cos3x+\sqrt{3}sin3x=sinx+\sqrt{3}cosx\ |\cdot\frac12\\ \frac12cos3x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin3x=\frac12sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx\\ cos\frac\pi 3cos3x+sin\frac\pi 3sin3x=sin\frac\pi 6sinx+cos\frac\pi 6cosx\\ cos\left(3x-\frac\pi 3\right)=cos\left(x-\frac\pi 6\right)\\ cos\left(3x-\frac\pi 3\right)-cos\left(x-\frac\pi 6\right)=0\\ -2sin\frac{3x-\frac\pi 3+x\frac\pi 6}{2}sin\frac{3x-\frac\pi 3-x+\frac\pi 6}{2}=0\\ \left[ \begin{array}{l} sin\left(2x-\frac\pi 4\right)=0\\ sin\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\frac\pi 4=\pi k\\ x-\frac{\pi}{12}=\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x=\frac\pi 4+\pi k\\ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2}\\ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \end{array} \right. \end{gather*}
ΠΡΠ²Π΅Ρ: \(\left\{\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{12}+\pi k\right\}\)
Π±) \( f(x)=20cos3x+12cos5x-15cos4x \)
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ: \begin{gather*} f'(x)=-3\cdot 20sin3x-5\cdot 12sin5x+4\cdot 15sin4x=\\ =60(-sin3x-sin5x+sin4x) \end{gather*} ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ: \begin{gather*} 60(-sin3x-sin5x+sin4x)=0\\ (sin3x+sin5x)-sin4x=0\\ 2sin\frac{3x+5x}{2}cos\frac{3x-5x}{2}-sin4x=0\\ 2sin4xcosx-sin4x=0\\ sin4x(2cosx-1)=0\\ \left[ \begin{array}{l} sin4x=0\\ 2cosx-1=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x=\pi k\\ cosx=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi k}{4}\\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*}
ΠΡΠ²Π΅Ρ: \(\left\{\frac{\pi k}{4};\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\right\}\)
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
ΠΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°: ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΈ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
βΠ‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ,
ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ
ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ°Π·Π½ΡΡ
ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉβ¦β.
Π’ΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²ΡΠΉ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΡ
Π.Π. ΠΠ°Π»Ρ.
ΠΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π² ΠΏΠΎΠ²ΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° βΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉβ ΠΈ βΡΡΡΠ΄Π½ΡΠΉβ ΡΠΈΠ½ΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΎΡ ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ Π½Π΅Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, ΡΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½Π° βΡΡΡΠ΄Π½Π°Ρβ. ΠΠΎ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ βΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉβ ΠΈ βΡΡΡΠ΄Π½ΡΠΉβ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎ ΠΆΠ΅.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΊΡΡΡΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»
ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π² 10 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ [3]. ΠΠ»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°
Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. Π£ΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΈ Π±Π΅Π· ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»
Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΡΠ΄ΠΎΠΌ. ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Π½Π° Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ
ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΡΡ Ρ
ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ
Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ. ΠΠ΅Π΄Π° Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ³ΡΡΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅Ρ
Π½ΠΈΠΊΡ
Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Π° ΡΠ°ΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π½Π° Π·Π°Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π»Π° Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΠΏΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ.
Π Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΈ Π½Π° ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΡ Π·Π°Π½ΡΡΠΈΡΡ , ΠΈ Π½Π° ΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ , ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π² ΡΠ΅ΠΌΠ΅ βΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρβ, Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅. Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ β ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΡ) ΠΊ ΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΌΠΈΡΡ Π±ΡΠ»ΠΈ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΡΡΠ²ΠΎΠ΅Π½Ρ ΠΈ ΡΡΠΎΠ±Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π»ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠ·Π½Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ.
Π ΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈ Π»Π΅Π³ΡΠ΅ Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠ΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° Π²Π΅ΡΡ Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠ½ΡΠΉ Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ βΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡβ Ρ Π½ΠΈΠΌ
Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Π²ΠΎΠ΄Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°. Π ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅
Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠΌ Π² ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΡΡ
ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ
Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π» ΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ –
Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ»Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΡΠΎ ΡΠ»Π°Π±ΠΎΠΉ
ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΌ
ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅, ΡΠ°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ Π² ΡΠ΅ΠΌΠ΅ βΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρβ. ΠΠΎ ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ
ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π»ΡΡΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°ΠΈΠ»ΡΡΡΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ, ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ – ΡΡΠΎ Π΄Π°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Π΅Π΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π² ΠΏΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ
Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΡ, Π΄Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ
ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠ°Π³Π°Ρ
, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΉ.
ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π°ΠΏΠΏΠ°ΡΠ°Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,
Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π°: ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΡ Π½Π°
Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π΅ Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π°ΡΡ
Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ βΠΏΡΠΎΡΡΠ²ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡβ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π±Π΅Π·
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Ρ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ
ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ
Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΡΡΠ΄Π½ΡΡ
Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² [1]. Π’Π΅ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅
ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ, Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π½ΠΎ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡΡΠΈΡΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅
ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡ Π² ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π·Π°Π΄Π°Ρ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅Ρ
ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ
, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ
ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠΈΡΠ΅ΠΌ
ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π΅Π½ ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅Ρ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΡ
ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ
Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
Π ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈ:
- ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
- ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
- ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
1. ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ βΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅Ρβ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°. Π’ΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π° ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Ρ ΠΊΡΡΠ³ΠΈ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°, Π½Π΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎ: Π½Π° Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ².
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊ 10 ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΡΡΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ, Π½ΠΎ
ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ Ρ Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΡΠΈΠ²Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡΡ, ΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ
Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°Ρ
, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ
ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (Ρ
ΠΎΡΡ ΠΈΡ
ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ).
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΉ. ΠΠΎ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π₯ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π’, ΡΡΠΎΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. Π Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π’ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π£. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ 0 ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ t0, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Ρ0. Π£ΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ: x0t0Ρ0.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΆ Ρ ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°Π½, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π Π°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, Π³Π΄Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ. Π£ΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°Π·Π²Π°ΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΈ Π² ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ [3], Π½ΠΎ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ°
ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ», ΡΠΎ ΠΎΡ
Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΡΡΠΈΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ·Π°Π΅Ρ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ,
ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π³Π° ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ, Π² ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΠΈΡΡΠ΅Π·Π°Π΅Ρ
ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π΅Π» ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ.
2. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1).
Π£ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ: D(y) = (-β; -2] U (2; +β). ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ: g(x) = x2 β 4, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (Ρ ,t). ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π²ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ, Π½ΠΎ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ Ρ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ D(y).
ΠΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ: f(t) =, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (t,y).
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (Ρ ,Ρ).
ΠΠ»Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ
0, Π΄Π»Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° g(x) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ t0=g(x0),
Π° Π΄Π»Ρ t0 ΠΏΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ0=f(t0),
ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠΎΡΠΊΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΉ: x0t0Ρ0,
Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π±ΡΠ»Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π° Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Ρ ΠΊΡΡΠ³Π°ΠΌΠΈ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²Π° Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ β ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡ 2 Π΄ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ g(x) Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ t ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. Π ΡΠΈΠ»Ρ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠ΅ ΠΎΠ± ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΠΈ Π±Π΅Π· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, Π½ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡΡ .
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ t ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(t). ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Ρ, ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ Π½Π° ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄Π΅.
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΏΡΠΈ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ
Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΎΡ 2 Π΄ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ
Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. Π ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡ ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΊ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΆΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ!
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ
ΠΎΡΡ Π±Ρ ΡΡ
Π΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΡΠΈ Ρ
β₯2.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π΄Π΅ΡΡΠΌ Π»ΡΡΡΠ΅ Π±ΡΠ» ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ΅Π½ ΡΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠΈ Π½Π° ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΆΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½Π΅Π½Ρ Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΌ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΠΌ (ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄ 10). Π£ΡΠ°ΡΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅Π»ΡΠΊΡ ΠΌΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΄ΡΡΠ³ Π·Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ, Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠ΅. Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (Ρ ,Ρ) Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΠΊ [2; +β) Π½Π° ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ, Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π΅ΠΌΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΠΊ [0; +β), ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ. Π ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΊ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°.
Π ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡΠΈ Ρ β€-2, ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΊ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΈ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
ΠΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΡ ΠΆΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ Ρ
β€-2:
ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ
ΠΎΡ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄ΠΎ -2, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ t ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡ +β Π΄ΠΎ 0, Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Ρ
ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡ +β Π΄ΠΎ 0. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΎΡ -β Π΄ΠΎ -2
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡ β ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΡΡΡΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ
ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΡΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π½Π° ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄Π°Ρ
.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π°ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π° βΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈβ ΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ± ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, Π° Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΠΎΠ½Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ (Π° Π² ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°Ρ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅).
ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° β ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ°ΠΏ Π² ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊ ΠΎΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ βΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠΊΠ°ΠΌΠΈβ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Ρ=sin2x, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°Π½ΠΎ Π² ΠΏΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2).
ΠΠ΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ
ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΠΊ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
Ρ=sin2x. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ
ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π½Π° Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΏΡΠΈΠΉΡΠΈ ΠΊ
ΠΈΡΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ. ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½ΠΈΡΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΌΠ°Π»ΡΠ΅Ρ
ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ, Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π»ΡΡΡΠ΅ Π·Π°ΠΊΡΠ΅ΠΏΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ.
Π ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ , Π³Π΄Π΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ²ΠΎΠ΅Π½Ρ Π½Π΅ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ, Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ. Π ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ Ρ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΡΠΈΠ²Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ Π² ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ° ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠ°Ρ, ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΡΡΡΠ½ΠΎ, Π° Π² ΡΠ΅ΡΡΠ°Π΄ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, Π½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ°ΠΏΠ½ΠΎ.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ=sin2x.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π²ΡΡΠ΄Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ½Π° Ρ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ο.
ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ . ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠ° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ t, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Ρ.
Π Π°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ
:
ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ Ο/4; ΠΎΡ Ο/4 Π΄ΠΎ Ο/2; ΠΎΡ Ο/2 Π΄ΠΎ 3Ο/4; ΠΎΡ 3Ο/4 Π΄ΠΎ Ο.
Π’ΠΎ, ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΊ Π΄Π»Ρ x, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ t Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ β Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π° ΠΏΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ t ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°ΡΡΡΡ. ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ΡΠΎΠ±ΡΡΡΡ Π½Π° Π΄Π²Π° – Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π½ΡΠ»ΠΈ – ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Ρ ΠΎΡΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ. ΠΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π΅Π½.
ΠΡΠ»ΠΈ Ρ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ, ΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅
ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΈΡ
ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π· ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄ΠΎΠ² ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π΅Π½ β
ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΆΠ΅, Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ
ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠ΅. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ
ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ Ο/4, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ t ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ
ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ Ο/2, Π° ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ t Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡ ΠΎΡ
0 Π΄ΠΎ 1 β ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄Π΅.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΄Π»Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π° Π΄Π΅ΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ° ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ, Π² ΠΏΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½Ρ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄Ρ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° Ρ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΡΠΌΠΈ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°Ρ . Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ.
Π ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ (ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄Π΅) ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Ρ=sin2x ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π° ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠ΅ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ Ο, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΈ Π²Π΅ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ.
Π‘ ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ,
ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π² ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠ°, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΠΈΡΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ.
ΠΠΎ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ
ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°. Π£ΡΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ΅Π³ΡΠ»ΠΈΡΡΠ΅Ρ
ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π² ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡ
ΡΡ.
Π Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΊ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½ Π² ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΡΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, ΡΠΎΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΏΡ.
ΠΠ±ΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ , ΠΏΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ βΠΠ²ΡΠΎΠΡΠ°Ρβ. ΠΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠΆΠ΅ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π°. ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΈ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΏΠΎΠΉΠΌΡΡ ΡΠ°ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠΌΠΎΠ³ΡΡ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π΅Π΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΆΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ βΠΠ²ΡΠΎΠΡΠ°ΡΠ°β.
Π’Π°ΠΊΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Ρ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π° ΡΠΆΠ΅ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅ΡΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΈΠ»ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠΈΡΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π°Π·Π°ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΡΠΎΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ .
ΠΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΠΊΠ½Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²ΠΈΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΡ ΡΠ΅Π»Ρ
Π΄Π°ΡΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ,
ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠ° ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΡΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°. βΠΡΠΈ ΠΎΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ
Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠΈ Ρ Π²ΠΈΠΆΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠ΅ Π½Π΅ΡΡΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡΡΡ Π² Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ
Π·ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π°ΠΊΡΠ΅, ΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΆΠ΅ Π² ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ
Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΈ Π² Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΡβ, β ΡΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° Π.Π‘.
ΠΡΠ³ΠΎΡΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ [2] Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΡ
ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΡΡΠΈΡ, Π½ΠΎ
ΠΎΠ½ΠΈ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ.
Π ΡΡΠ°Π·Ρ, Π±Π΅Π· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°ΡΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΡΠΈΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π±Π΅Π· Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΠΉ Π·Π°ΡΡΡΠ΄Π½ΡΡΡ Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠ΅. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π° Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ°ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ³ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π».
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΡΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ βΠΠ·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈβ (Π²
ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΡΡ
ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ
), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
(Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠ° βΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρβ).
3. ΠΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=(3+sinx)-1.
ΠΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΈ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡ 2 Π΄ΠΎ 4 (ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ -1β€sinxβ€1). ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, 2β€tβ€4.
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ°ΠΊΡ: Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΎΡ 2 Π΄ΠΎ 4.
ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΊ Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Π΅. Π ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ [0,25; 0,5].
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π(Ρ)= [0,25; 0,5].
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΡΡΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ! ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ
Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ. ΠΠ°ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΡΡ ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ
Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ
Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
Π Π² Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ βΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉβ, βΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉβ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ Ρ Π³Π»Π°Π³ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΈ βΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡβ, βΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡβ. Π ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅ ΠΠ°Π»Ρ ΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ – ΡΡΠΎ ΡΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΊΡΠ°ΡΠΎΡΠ°, ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ, ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ. βΠ‘ΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΠΉ ΡΠΌ β Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΉ, ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΉβ. Π Ρ ΡΡΠ°ΡΠ°Π»Π°ΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΌΠΎΠΈΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»Π°ΡΡ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
Π Π°Π±ΠΎΡΠ° ΡΡΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π° ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°, Π½ΠΎ ΠΈ Π΄Π°ΡΡ ΠΈΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ²ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΠΎΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅.
ΠΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°.
- ΠΠΈΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈΠ½ Π.Π―.ΠΈ Π΄Ρ. ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° Π΄Π»Ρ 9 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°. β Π.: ΠΡΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, 1996.
- ΠΡΠ³ΠΎΡΡΠΊΠΈΠΉ Π.Π‘. ΠΠΎΠΏΡΠΎΡΡ Π΄Π΅ΡΡΠΊΠΎΠΉ (Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ) ΠΏΡΠΈΡ
ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ // Π‘ΠΎΠ±ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΡΠΎΡΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ: Π² 6 Ρ.
β Π.: ΠΠ΅Π΄Π°Π³ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°, 1984. β Π’.4.
- ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ² Π.Π. ΠΈ Π΄Ρ. ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. 10-11 ΠΊΠ»Π°ΡΡ. β Π.: ΠΡΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, 2009.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Python complex () Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Python complex () ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π΄Π²Π° Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ – ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ.
ΠΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ
ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ ([ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ [, ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΉ]])
ΠΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ
Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ : Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΉ : Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°Ρ
ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ complex (), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ Π΅Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ.
Python complex () ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ 1
ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ complex (). ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°Π΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ΅Π»ΠΎΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ°.
# ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Python complex () # ΠΡΠ·ΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ a = complex (1) # ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° b = complex (1,2) # ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² # ΠΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡ (Π°) ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡ (Π±)
ΠΡΡ ΠΎΠ΄:
Python complex () ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ 2
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠ° Ρ ΠΏΠ»Π°Π²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ, ΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄, ΡΠ³Π΅Π½Π΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΈΠΏ Ρ ΠΏΠ»Π°Π²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ.
# ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Python complex () # ΠΡΠ·ΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ a = complex (1.5) # ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° b = complex (1.5,2.2) # ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² # ΠΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡ (Π°) ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡ (Π±)
ΠΡΡ ΠΎΠ΄:
Python complex () ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ 3
ΠΠ½ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ, Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΡΠ΅Π»ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ.
# ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Python complex () # ΠΡΠ·ΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ a = complex (‘1’) # ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° b = ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ (‘1.5 ‘) # ΠΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡ (Π°) ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡ (Π±)
ΠΡΡ ΠΎΠ΄:
Python complex () ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ 4
ΠΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠ²ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠ²ΡΠΌ, ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°Π²Π°ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ. ΠΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠ°.
# ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Python complex () # ΠΡΠ·ΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ a = complex (‘1’, ‘2’) # ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠ° Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² # ΠΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡ (Π°)
ΠΡΡ ΠΎΠ΄:
TypeError: complex () Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ
Python complex () ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ 5
ΠΠ½ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°Π²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°.Π‘ΠΌ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
# ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Python complex () # ΠΡΠ·ΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ a = complex (1 + 2j) # ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° b = complex (1 + 2j, 2 + 3j) # ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² # ΠΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡ (Π°) ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡ (Π±)
ΠΡΡ ΠΎΠ΄:
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°: Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°: Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°ΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ , ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ .
ΠΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z = x + yi, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | z | ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ z Π΄ΠΎ 0 Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ C .ΠΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | x | Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ x Π΄ΠΎ 0 Π½Π° ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ | z | Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² 0, Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π² z ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠΈΠΌ Π² x Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ z (ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ΅ z , Π΅ΡΠ»ΠΈ z ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ). ΠΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ | x |, Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ | y |, Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ | z |. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
(ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ x, , ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ | x | 2 = x 2 .) ΠΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ | z |, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ,
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΠ³.
ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, 1 – ΡΡΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ 1, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ β1, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ i , ΡΠ°ΠΊ ΠΈ – i , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΎΡ 0 Π½Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΠΎΡΡ. ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΠ³ – ΡΡΠΎ ΠΊΡΡΠ³ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° 1 Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² 0. ΠΠ½ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅Π±Ρ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Ρ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 1, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ | z | = 1.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z = x + yi Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x 2 + y 2 = 1.ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ 1, β1, i, ΠΈ – 1 – ΡΡΠΎ Β± β2 / 2 Β± i β2 / 2, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ»ΡΡΡ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π²Π·ΡΡΡ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅. ΠΡΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ y = x ΠΈ y = x Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΡ. ΠΠΎΠ·ΠΆΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΠ· i ΠΈ – i.
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ΅ΠΊ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°. ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ
ΡΠ΅Π»ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» a, b, ΠΈ c , ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ a 2 + b 2 = c 2 ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° c 2 , ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ
( a / c ) 2 + ( b / c ) 2 = 1. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ a / c + i b / c – ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° Π±Π»ΠΎΠΊΠ΅ ΠΊΡΡΠ³. Π‘Π°ΠΌΠ°Ρ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ° – 3: 4: 5. ΠΡΠ° ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 3/5 + i 4/5 Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ: 5:12:13, 15: 8: 17, 7:24:25, 21:20:29, 9:40:41, 35:12:27 ΠΈ 11:60:61. ΠΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°ΡΡ, ΠΈΡ
Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. (ΠΠ»Ρ
Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎ ΡΡΠΎΠ΅ΠΊ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ° ΡΠΌ. Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ Π°Π΄ΡΠ΅ΡΡ http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/right.html.)
ΠΠ΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΊ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°.ΠΡΠ»ΠΈ z ΠΈ w – Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠΎ
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ ΡΡΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ 0, z, ΠΈ z + w. ΠΠ΄Π½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ z + w ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ | z + w |. ΠΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ z, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ | z |.Π ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΎΡ z Π΄ΠΎ z + w, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ w, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ | w |. ΠΡΠ°ΠΊ, Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
ΡΡΠΎΡΠΎΠ½, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ / Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ 1
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ ΡΠΎ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ / Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ $ A \ substeq \ mathbb {C} $ ΠΎΡΠΊΡΡΡΠΎ, $ z_0 \ in A $ ΠΈ $ f: A \ to \ mathbb {C} $, ΡΠΎ $ f $ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ Π² $ z_0 $, Π΅ΡΠ»ΠΈ $ f $ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ $ z_0 $.2} {z – z_0} \\ & = \ lim_ {z \ to z_0} \ frac {z \ cdot \ overline {z} – z_0 \ cdot \ overline {z_0}} {z – z_0} \\ & = \ lim_ {z \ to z_0} \ frac {z \ cdot \ overline {z} – z \ cdot \ overline {z_0} + z \ cdot \ overline {z_0} – z_0 \ cdot \ overline {z_0}} {z – z_0 } \\ & = \ lim_ {z \ to z_0} \ frac {z (\ overline {z} – \ overline {z_0} + \ overline {z_0} (z – z_0)} {z – z_0} \\ & = \ lim_ {z \ to z_0} \ left (z \ cdot \ frac {\ overline {z} – \ overline {z_0}} {z – z_0} + z_0 \ right) \ end {align}
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ $ z_0 = 0 $. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
\ begin {align} \ quad f ‘(0) = \ lim_ {z \ to 0} z \ cdot \ frac {\ overline {z}} {z} = \ lim_ {z \ to 0} \ overline {z } = 0 \ end {align}
ΠΡΠ°ΠΊ, $ f $ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π² $ 0 $ ΠΈ $ f ‘(0) = 0 $.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ $ z_0 \ neq 0 $. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΠΌΠΈΡΠ°:
(4)\ begin {align} \ quad \ lim_ {z \ to z_0} \ frac {\ overline {z} – \ overline {z_0}} {z – z_0} \ end {align}
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. Π£ Π½Π°Ρ ΡΡΠΎ:
(5)\ begin {align} \ quad \ lim_ {z \ to z_0, y = y_0} \ frac {\ overline {z} – \ overline {z_0}} {z – z_0} & = \ lim_ {x \ to x_0, y = y_0} \ frac {(x – yi) – (x_0 – y_0i)} {(x – x_0) + (y – y_0) i} \\ & = \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {x – x_0} {x – x_0} \\ & = 1 \ end {align}
Π£ Π½Π°Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΎ:
(6)\ begin {align} \ quad \ lim_ {z \ to z_0, x = x_0} \ frac {\ overline {z} – \ overline {z_0}} {z – z_0} & = \ lim_ {x = x_0, y \ to y_0} \ frac {(x – yi) – (x_0 – y_0i)} {(x – x_0) + (y – y_0) i} \\ & = \ lim_ {y \ to y_0} \ frac {- ( y – y_0) i} {(y – y_0) i} \\ & = -1 \ end {align}
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» $ z \ to z_0 $ Π½Π° $ f $ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌ ΠΏΡΡΡΠΌ, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», $ \ displaystyle {\ lim_ {z \ to z_0} \ frac {\ overline {z} – \ overline {z_0}} {z – z_0}} $ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, $ f ‘(z_0) $ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π²ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $ z_0 \ neq 0 $.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ $ f $ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $ z_0 = 0 $, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ $ f $ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ Π½ΠΈΠ³Π΄Π΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ $ 0 $, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ $ f $ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ – Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π½ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΡΠΎΠΊΠ°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ – ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ.ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° 0 ΠΈ 7, ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ -5 ΠΈ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ 2/3) ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠΈ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 3). ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ i , ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· -1. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.2 = -1.
Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°: a + bi , Π³Π΄Π΅ a ΠΈ b – Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡΠΊΠ²Π° a ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π° ΡΠ»Π΅Π½ bi ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°: 8 + 3 i . 8 – Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π° 3 i – ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°ΡΠ°
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: 4-7 i ΠΈ 4 + 7 i . ΠΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ (ΡΠΈΡΡΠ° 4) Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°, Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ (7 i ) ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. 2 Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° -1.Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΡΠ΄Π°Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ ΠΎΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ; Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ
ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°ΡΠΎΠ². ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ
ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ.
ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ: (3 – 4 i ) / (1 + i )
ΠΡΠ° Π΄ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π΅ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ. ΠΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅. ΠΠ°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡΡΡΡ ΠΎΡ i Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅. ΠΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΡΠ΅ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡΡΡΡ ΠΎΡ i . ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ. ΠΠΎ ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π·Π½Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ, ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ 1/2. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° 3: (1 x 3) / (2 x 3) = 3/6. Π ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ, ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ 1/2.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ.2 Π½Π° -1 ΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΠΌ:
(3-7 i + 4 (-1)) / (1 – (-1)) = (3-7 i -4) / (1 + 1) = (-1 – 7 i ) / 2
Π Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½Π΅Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ, ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ. (ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΡΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ Π·Π°Π±ΡΠ²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΎ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡΡ .)
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠ· Π²Π°ΡΠΈΡ
ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ Π²Ρ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΎΡΡ x .ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ. ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π²Ρ ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΡΠΈΠΏΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. Π§ΡΠΎ ΠΆ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΠΏΠ°ΡΠ°Ρ
.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π°ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ -2 + i , ΡΠΎ -2 – i ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 5-2 i .ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ 5 – 2 i – ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ 5 + 2 i Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅: y = ( x – (5-2 i )) ( x – (5 + 2 i ))
ΠΠ°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡΡΡΡ ΠΎΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ y = ( x – 5 + 2 i ) ( x – 5 – 2 i )
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ y = x ^ 2-5 x -2 xi -5 x + 25 + 10 i + 2 xi -10 i -4 i ^ 2
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ i ^ 2 Π½Π° -1 ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ -4 i ^ 2 ΡΡΠ°Π»ΠΎ -4 (-1) ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ»ΠΎΡΡ +4: y = x ^ 2-5 x -2 xi – 5 x + 25 + 10 i + 2 xi – 10 i + 4
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ (Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Π°) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π» 9 0080 = x ^ 2-10 x + 29.
Π Π΅Π·ΡΠΌΠ΅ ΡΡΠΎΠΊΠ°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°ΡΡ – ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΡ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ² Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ. ΠΠ°ΡΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°ΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ.
ΠΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ΅-ΡΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ:
- ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ – ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ.
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°ΡΠΎΠ² Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ.
- ΠΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΠ°, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ.
- ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Ρ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ c-2
ΠΠ΅ΠΉΡ ΠΠ΅ΠΉΠ»Π±ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π² ΠΠΎΠΏΠ΅Π½Π³Π°Π³Π΅Π½ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠ΅ , Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΡ Π½Π° ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ . ΠΡΠΊΠΎΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π² Π’Π΅Ρ
Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΠ°Π½ΠΈΠΈ, , Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ ΠΎΡΡΠ°Π²Π°Π»ΡΡ Π΄ΠΎ Π²ΡΡ
ΠΎΠ΄Π° Π½Π° ΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ Π² 2003 Π³ΠΎΠ΄Ρ. ΠΠ½ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ Π±ΡΠ» Π² ΠΎΡΠΏΡΡΠΊΠ΅, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ°Π· Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° Π² Π¨Π²Π΅Π΄ΡΠΊΠΎΠΉ Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΈ , Π‘ΡΠΎΠΊΠ³ΠΎΠ»ΡΠΌ, , ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π· Π² . ΠΠΎΠΏΠ΅Π½Π³Π°Π³Π΅Π½ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°Π½ΠΈΡ , Π½ΡΠ½Π΅ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΠ°ΡΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΠ½ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°Π½ΠΈΠΈ , Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ
ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ
ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
Π Π’Π΅Ρ
Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΠ°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ½ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅Ρ
Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΠ»Π΅ΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΠ°Π» Π»Π΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ , ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ°, ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ , Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΊΡΡΡΡ, Π³Π΄Π΅ ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ Π½Π°ΡΠΊΠΈ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Ρ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΡΡΠΏΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΡ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΡΠ΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΡΡΠ΄Π½ΠΈΡΠ°ΡΡ, Π½Π΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΠΈΡ
ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.ΠΠ½ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π» ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ
ΠΈΠ· Π²ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ
ΠΊΡΡΡΠΎΠ².
ΠΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² Measure Theory ΠΈ Complex Functions Theory ΡΠ»ΠΈΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ Π΄Π»Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ, ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΡΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡΡΡΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ»ΠΎΡΠΎΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡ Π³Π»ΡΠ±ΠΎΠΊΠΎ Π²ΠΎΡΠ»Π° Π² ΠΏΠΎΠ²Π»ΠΈΡΠ» Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΌΡΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°Ρ , ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΡΡ Π²ΡΡΠ΅.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π° Π½Π° ΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ ΠΎΠ½ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π» ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ»ΡΡΠ°Π½ΡΠΎΠΌ Π² ΠΈΠ½ΠΆΠΈΠ½ΠΈΡΠΈΠ½Π³ΠΎΠ²ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°Π½ΠΈΡΡ {ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΡΡΠΈΡΠΌΠ° Femern Belt Consortium , Π½Π°ΡΡΡΠ°ΠΈΠ²Π°Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π»ΠΎΡΠΈΠ΄ΠΎΠ² Π² Π±Π΅ΡΠΎΠ½ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π±Π΅Π· ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ. ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ .ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ½ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π» ΡΠ΅ΡΠΈΡ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΡΡ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·Π΄Π°ΡΠ΅Π»Ρ Ventus / Bookboon .
ΠΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ | ΠΠ°ΡΠΏΠ΅Ρ ΠΡΠ»Π»Π΅Ρ
Π€ΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΡΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ
ΠΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°ΡΠ΅ΠΉ, ΠΏΡΠ΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ
Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. ΠΠ°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π²Π°Ρ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ° ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π²Ρ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ± ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π½ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ.ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»ΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π½Π°Π²ΡΠΊΠΈ, Ρ ΡΡΠΈΡΠ°Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΅ Ρ
ΠΎΡΠΎΡΠ΅Π΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡΡΡ Π½Π° ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ.
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΡΡΡΠΏΠΈΡΡ ΠΊ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΠ΄ΠΎΡΠ²ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΡ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π½Π°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ².
ΠΡΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ Π΄Π²ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π²Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ.ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π½Π° ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½Π°Ρ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² – ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ, ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, a , ΡΠ»Π΅Π²Π°, ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ a ΡΠΏΡΠ°Π²Π°, Ρ.Π΅.
Π ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π²ΡΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½Π΅Π΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ.
Π’ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ Π΄Π²ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»Π°Π±ΡΠΌΠΈ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅, ΡΡΠΎ Π² ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΅Π΄ΠΎΠ½ΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π½ΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΡ, ΡΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅.ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π³Π°ΡΠ°Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ!
ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ»Π°Π±ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π½Π°ΡΡ ΠΆΠΈΠ·Π½Ρ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΠ»ΠΎΡ ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΠΈΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠ»ΡΠ΅Ρ.
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² ΠΌΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ ΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π΄ΡΡΠ³Π°Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅. ΠΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ»ΡΠ½Π΅Π΅, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΡ
ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΠΈΠ²ΡΡ
ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌ.
ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Π² ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ (Π½Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ), ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°.
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ ΡΠ³Π»ΡΠ±ΠΈΠΌΡΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΡΡ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π΄ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌΡΡ ΠΎ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π²Π΅ΡΠ°Ρ . Π ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅) ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½Ρ.
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΡΠ΅Π΄ΠΎΡΠΎΡΠΈΡΡΡΡ Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΡ , Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½Ρ Π²Π°ΠΌ ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ.
ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°. ΠΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ i , ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ iΒ² = -1 .
ΠΠ΅Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ!
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ, Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡΠΎΠ΅ Π½Π° Π±Π°Π·ΠΈΡ 1 ΠΈ i. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΌΡ a + bi ΠΈ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ², Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Ρ. Π΄.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½Π°Ρ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
Π£ Π½ΠΈΡ Π΅ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ), ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ), ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ΅) βΒ².
Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 3 + 4i ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ) (3, 4) Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. Π Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ a + bi – ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° (a, b) Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
ΠΡΠΈΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° βΒ², Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ, ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΌΡ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅.Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΌ , ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° – ΡΡΠΎ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²ΡΡ Π³ΡΡΠΏΠΏ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ .
ΠΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠΎ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π²Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ .
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π²Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ iΒ² = -1 .
ΠΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎ. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
Π ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠ΅ΠΉ. Π ΡΠΌΠ΅ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΠΊ Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ.
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½Ρ, ΠΈ ΡΡΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ.
ΠΡΠΏΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡ Π²ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Ρ. ΠΡΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π½Π°Π±ΠΎΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ΄Π°Π΅Ρ ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°.
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΡ Π²ΡΠ΅Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π».
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π΄Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ
Π§ΡΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ.
Π³Π΄Π΅ Ξ΄ ΠΈ Ξ· ΠΈΠ΄ΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ. ΠΡΠΈ Π΄Π²Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ, Π΄Π°Π²Π°Ρ
. ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ f Π² Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ u ΠΈ v , ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ f = u + iv, ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π² Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΡΠΈ-Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π° .
ΠΠ°Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π²ΡΡΠ΅ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° Π½ΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ΅ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ. ΠΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π»ΠΎ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΅ΠΌΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΡ.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ³ΠΎΠ». ΠΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ. ΠΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ, ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, p , ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π· Π² p .
ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ.
ΠΡΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ.
ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ , ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΉΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΄ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π² ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅.ΠΡΠ±Π°Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠΈ Π΄Π²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ, Ρ ΠΎΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΡΡΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅. ΠΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈ Π΄Π²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡ Π²ΡΡΠ΅, Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΄Π° . Π£ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ.ΠΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π±Π΅ Π΄ΠΈΡΠΊ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΄Π°, Π° ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΠΊΠ° – ΡΡΠΎ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π½Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅ Π΄ΠΈΡΠΊΠ° Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΠΎΡΠΊΠ°, ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΄Ρ ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ.
ΠΠ°ΠΊ Π²Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ, Π΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡΠΈ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π΄ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΎΠΏΡΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ·-Π·Π° Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ!
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ³ΡΡΠ·ΠΈΡΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Ρ Ρ ΠΎΡΡ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡΡ Ρ Π²Π°ΠΌΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ.Π Ρ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ Π½Π΅ ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ², Π° ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΡ , ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΈ Ρ. Π.
ΠΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅. Π§ΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ·, ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, 4 ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2. ΠΠΎ ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ Π·Π° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅? ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π½Π° Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ, ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΉ «», ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 4? Β»ΡΠ°Π²Π½ΠΎΒ« ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 4? Β», ΡΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠΎΠΌΡ.
ΠΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· , Π½ΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· 4, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ 2 ΠΈ -2.
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΠ΅Ρ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ? Π§ΡΠΎ ΠΆ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΌΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠΎ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²Π΄Π° Ρ Π΄ΠΎΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ, ΡΠΊΡΡΠ²Π°ΡΡΠΈΡ ΡΡ Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ! ΠΡΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° , ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ 0 .
ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ (Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ) ΡΠΈΡΠ»Π° n ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ n-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ!
ΠΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π°, Π°Π΄Π΄ΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ 0 – ΡΡΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΠΌΠΈΡΠ΅ ΠΌΡΠ»ΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠ²ΠΎΠ².ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ 0, , Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡ 0 ΠΈΠ· ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ°.
ΠΠΎ ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ n ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Ρ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ n-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ z , Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² 0.
ΠΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈ Π΄Π²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ .ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· 1 ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1, Π½ΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ, Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ -1.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 1 ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1, Π½ΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π²Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΠ³ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² 1.
Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ n ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΠ· 1 ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ n-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° (ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ n ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ), ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.ΠΠ½ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π° .
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ 5-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡΠΠΎΡΠ½ΠΈ n ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ (ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ) ΠΈ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΆΠ΅ Π΄Π»Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΈ.
ΠΡΠΎ ΡΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ, ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΠ² Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΉΠ½Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠΊΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ (ΠΈΠ·Π²ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ Π·Π° ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΠ»ΠΎΡΠΎΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Ρ Π²Π°ΠΌ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π½Π°Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°Ρ), ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° -1 (Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡΡΡ Π½Π° Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ).
ΠΠ°ΠΊ Π±ΡΠ΄ΡΠΎ ΠΎΠ½ Π±ΡΠ» ΡΠ°ΠΌ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΈ ΠΌΡ ΠΈΠ·ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΠ» ΠΏΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ Π² ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΡΠ΅, Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ – Π½ΠΎ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΡΠ΅ΠΉ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π»ΠΎ Π½Π°ΠΌ ΡΠ²Π΅Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊ ΠΎΡΡΠ°ΡΠ½Π½ΠΎ Π½ΡΠΆΠ΄Π°Π»ΠΈΡΡ.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ-Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΌΡ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ (Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅) ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΈ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Ρ Π½Π°Ρ Π½Π΅Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π°, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ .
ΠΡΠΎ Π½Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌ. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ), ΡΠΎΠ³Π΄Π° Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ , Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ), ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ 2-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ³Π°ΡΡΠΈΠΌ (ΠΈ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌΡΠΌ), Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ. ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π΄Π»Ρ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΡΠ½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅ΡΡ.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ° (Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π΄ΡΠΌΠ°ΡΡ ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ°Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ) Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΆΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΎΠ³Π΄Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ Π΄Π΅ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡ Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ (Ρ.Π΅.Π΅. Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠΎΠΏΠ½Ρ – ΡΠΌ. Π½ΠΈΠΆΠ΅ gif), ΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ ΠΏΠΎ Π½ΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π½Ρ.
ΠΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π΅Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΈΠΉ, ΡΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡ ΠΌΡ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ.
ΠΠ²Π° Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠΎΠΏΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ° Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈΠΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΡΠΈΡΡΠΎ ΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌ.
ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ (ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΡΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡ), ΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΆΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΡΠΌ i.Π΅. Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠΎΠΏΠ΅Π½ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ), ΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΠΎΡΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΠ³ΡΡΡΠ΅Π½Π°-ΠΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ.
ΠΡΠ°ΠΊ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π° Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, ΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ.
Π΄Π»Ρ f Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ D, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Ξ³.
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Ρ.Π΅. ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π²Π·ΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π² Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ . Π‘ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ, Π½ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ Ρ ΠΎΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Ρ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ.
ΠΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ . ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π΄ΡΠΌΠ°ΡΡ ΠΎ Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ± ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ². Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π² Π½ΠΈΡ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ – ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ Π΄Π·Π΅ΡΠ°-ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°, , Π³Π°ΠΌΠΌΠ°-ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, 1 / z ΠΈ Ρ.Π΄. ΠΈ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π² ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΈ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ.
ΠΡΠ»ΠΈ f – ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ΅ C, ΠΈ f Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½ΡΠ»Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ² Π½Π° C, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
ΠΠ΄Π΅ Z – ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π½ΡΠ»Π΅ΠΉ, Π° P ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ² Π² C.
ΠΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π·Π°Π±ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎ ΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, Π° Π½Π΅ ΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ! ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΡ ΠΈ Π½ΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅, Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΌ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ!
ΠΡΠΎΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠ΅ΠΉ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΡΠ°ΡΠΊΠΎΠ² , ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠΈΠΈ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠΈΠΈ ΠΠΎΡΠ°Π½Π° , Π½ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΆΠ΅ Π΄Π»Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΈ.
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΠΈ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΈ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π΄Π΅ΡΡ .
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΡΡ ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΎΠ³ΠΈ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ·Π½Π°Π»ΠΈ.
ΠΠ·-Π·Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ΠΉ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π² Π΄Π²ΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ , ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΆΠ΅ΡΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠ΅ΠΌ Π½Π° ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠΌ Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.
ΠΡΠΎ, Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΠ΅Π·Π²ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°.
ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ, ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠΎΠΏΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠΎΠ², Π° Π½Π΅ ΠΎΡ ΡΠ°ΠΌΠΈΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΉ.
ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ ΠΊ ΠΏΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΠΊΡΡΡΠΈΡΠΌ ΠΠ³ΡΡΡΠ΅Π½Π°-ΠΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π½ΡΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ² ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ Π²ΡΠΊΠΎΡΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ.
Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠΌ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡ ΠΊΡΠ°ΡΠΎΡΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, Ρ Π½ΠΈΡ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π½ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ , Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½Ρ.ΠΡΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΠΏΡΠΈΡΠ²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΌΡΡ ΡΡΠ΄Π°ΠΌ ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π³Π»ΡΠ±ΠΎΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π·Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅, Ρ ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡΠ»Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΡΡΠ°ΡΡ Π΅Π΅ Ρ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅Π΅ ΠΏΡΡΡΠΎΠΉ Π½Π°ΡΠΊΠΎΠΉ. ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΡΠΊΠ°, ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡΠ°Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
~ Π‘ΠΎΡΡΡ ΠΠΎΠ²Π°Π»Π΅Π²ΡΠΊΠ°Ρ
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠΈΠΈ Π²Ρ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΡΠ΅ Π·Π΄Π΅ΡΡ.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
A ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ – ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
Π Π΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° – ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΠ°ΠΊ:
1 | 12.38 | -0,8625 | 3/4 | β2 | 1998 |
ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ΄ΡΠΌΠ°ΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ!
ΠΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ , Π΄Π°ΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ .
ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ:
ΠΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½Ρ.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°Ρ …
Β«ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅Β» ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 1 Π΄Π»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π») – ΡΡΠΎ i, ΡΡΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· β1
ΠΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ, Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄Ρ i Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ β1
Ρ 2 = -1
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»:
3i | 1.04i | β2,8i | 3i / 4 | (β2) Ρ | 1998i |
Π ΠΌΡ ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡΠΊΠΎΠ΅ Β«iΒ», ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ Π½Π°ΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° β β 1
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ :
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ:
1 + Ρ | 39 + 3i | 0.8 – 2.2i | β2 + Οi | β2 + Ρ / 2 |
ΠΠΎΠΆΠ΅Ρ Π»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»?
ΠΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»? ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ!
ΠΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΡΠΌΠΈ. ΠΡΠΎΠ±Ρ 3 / 8 – ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ ΠΈΠ· 3 ΠΈ 8. ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Β«3 ΠΈΠ· 8 ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉΒ».
ΠΡ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ – ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ , Π΄Π²Π° ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ (Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ).
ΠΡΠ±Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ.
ΠΠΎ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ 0 , ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ | Π Π΅Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ | ΠΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ | |
---|---|---|---|
3 + 2i | 3 | 2 | |
5 | 5 | 0 | Π§ΠΈΡΡΠΎ ΠΠ°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ |
β6i | 0 | β6 | Π§ΠΈΡΡΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ |
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ?
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ.
ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΄Π²Π° ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π», Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅, Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ , ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ Π·Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ (Π·Π΄Π°Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅).
A ΠΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ-Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ ?
Π§ΡΠΎ ΠΆ, ΠΏΡΡΡΡ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠ΄ΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ -Π²Π½ΠΈΠ· :
Π ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ»Π΅Ρ
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ:
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ 3 + 4 ΠΈ
ΠΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ:
(a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
3 + 2 i ΠΈ 1 + 7 i- ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ
- ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°:
(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 7) i
= 4 + 9i
ΠΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π΅ΡΠ΅:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
3 + 5 i ΠΈ 4 – 3 i (3 + 5 i ) + (4 – 3 i )
= 3 + 4 + (5 – 3) i
= 7 + 2 i
ΠΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΎ:
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»:
ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π°
ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΡΠΎΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ “FOIL”, ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ “ F irsts, O uters, I nners, L asts” (ΡΠΌ. ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ):
| |
(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2 |
ΠΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: (3 + 2i) (1 + 7i)
(3 + 2i) (1 + 7i) = 3 Γ 1 + 3 Γ 7i + 2i Γ 1 + 2i Γ 7i
= 3 + 21i + 2i + 14i 2
= 3 + 21i + 2i – 14 (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ i 2 = β1)
= β11 + 23i
Π ΡΡΠΎ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: (1 + i)
2(1 + Ρ) (1 + Ρ) = 1 Γ 1 + 1 Γ Ρ + 1 Γ Ρ + Ρ 2
= 1 + 2i – 1 (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ i 2 = β1)
= 0 + 2i
ΠΠΎ Π΅ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π±ΡΡΡΡΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±!
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ:
(a + b i ) (c + d i ) = (ac β bd) + (ad + bc) i
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: (3 + 2i) (1 + 7i) = (3 Γ 1-2 Γ 7) + (3 Γ 7 + 2 Γ 1) i = β11 + 23i
ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ?
ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ “Π€ΠΠΠ¬ΠΠ” ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ:
(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2 FOIL method
= ac + ad i + bc i – bd (ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ i 2 = β1)
= (ac – bd) + (ad + bc) i (ΡΠΎΠ±ΠΈΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Ρ)
Π Π²ΠΎΡ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ (ac – bd) + (ad + bc) i .
ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ, Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅, Π½ΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π΅Π³ΠΎ Π·Π°Π±ΡΠ΄Π΅ΡΠ΅, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ FOIL.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Ρ
2Π Π°Π΄ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ° Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° i 2
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: i
2ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ i Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ 0 + i
Ρ 2 = (0 + Ρ) 2 = (0 + Ρ) (0 + Ρ)
= (0 Γ 0 – 1 Γ 1) + (0 Γ 1 + 1 Γ 0) i
= -1 + 0 Ρ
= -1
Π ΡΡΠΎ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ i 2 = β1
Π’Π°ΠΊ ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ!
Π£Π·Π½Π°ΠΉΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎΠ± ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°ΡΡ
ΠΠ°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°ΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΌΠΈΠ½ΡΡΡ!
Π‘ΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ – ΡΡΠΎ Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅ Π²ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊ:
Π‘ΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΡΠ΅ΡΡΠΎΠΉ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
5β3 i = 5 + 3 i
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
Π£Π»ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°Ρ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΠΎΠ΄ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:
2 + 3 i 4-5 i
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΡΡ Π½ΡΡ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½ΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°Ρ 4-5 i :
2 + 3 i 4-5 i Γ 4 + 5 i 4 + 5 i = 8 + 10 i + 12 i + 15 i 2 16 + 20 i -20 i -25 i 2
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ i 2 = β1, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ:
= 8 + 10 i + 12 i -15 16 + 20 i -20 i + 25
ΠΠΎΠ±Π°Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Β«ΠΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡΒ» (ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ 20 i – 20 i ΠΎΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ!):
= β7 + 22 i 41
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π²Π΅ΡΠ½ΡΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π² ΡΠΎΡΠΌΡ a + b i :
= β7 41 + 22 41 i
Π‘ΠΠΠΠΠΠ!
ΠΠ°, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ.ΠΠΎ ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ .
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°Ρ
ΠΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅.
Π ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·ΠΎΡΠ»ΠΎ Π²Π½ΠΈΠ·Ρ:
(4-5 i ) (4 + 5 i ) = 16 + 20 i -20 i -25 i 2
Π‘ΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ (20 i – 20 i ) Π°Π½Π½ΡΠ»ΠΈΡΡΡΡΡΡ:
(4-5 i ) (4 + 5 i ) = 16-25 i 2
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ i 2 = β1:
(4-5 i ) (4 + 5 i ) = 16 + 25
Π 16 ΠΈ 25 (ΠΌΠ°Π³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ) ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ 4 ΠΈ 5:
(4-5 i ) (4 + 5 i ) = 4 2 + 5 2
ΠΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.ΠΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ:
(a + b i ) (a – b i ) = a 2 + b 2
ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΡ Π½Π°ΠΌ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΡΠ°Π·
2 + 3 i 4-5 i
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΡΡ Π½ΡΡ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½ΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ³Π°Ρ 4-5 i :
2 + 3 i 4-5 i Γ 4 + 5 i 4 + 5 i = 8 + 10 i + 12 i + 15 Ρ 2 16 + 25
= β7 + 22 i 41
Π Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΌΡ a + b i :
= β7 41 + 22 41 i
Π‘ΠΠΠΠΠΠ!
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ z Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.Π Re () Π΄Π»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΈ Im () Π΄Π»Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
Π§ΡΠΎ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ:
ΠΠ°Π±ΠΎΡ ΠΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡΠ±ΡΠΎΡΠ°
ΠΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΠΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡΠ±ΡΠΎΡΠ° (Π½Π° ΡΠΎΡΠΎ) ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°Ρ . ΠΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ z 2 + c (ΠΎΠ±Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°) ΠΈ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΈ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π² z . Π¦Π²Π΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, Π½Π°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π±ΡΡΡΡΠΎ z 2 + c ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ, Π° ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ²Π΅Ρ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅. | |
ΠΠΎΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° ΠΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡΠ±ΡΠΎΡΠ° | |
Π Π²ΠΎΡ ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ, ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π΅ΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅: |
440, 1070, 273, 1071, 1072, 443, 3991, 271, 3992, 3993
.