Примеры сложных производных функций с решением: Производная сложной функции. Примеры нахождения производных сложных функций. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Примеры решения сложных производных с ответами

Алгоритм решения сложных производных

Теорема

Производная сложной функции равна произведению функции по промежуточной переменной и производной промежуточной переменной по независимой переменной:.

Суть алгоритма нахождения производной сложной функции состоит в следующем: считая промежуточную функцию аргументом, находят производную сложной функции по промежуточной функции. Затем производят вычисление производной промежуточной функции по независимому аргументу. Окончательный результат равен произведению найденных производных.

Разберем алгоритм с помощью примера

Найдём производные фукнции по и .

Производная функции по . Пи этом считаем постоянной величиной.

Производная равна . Аргумент синуса является сложной функцией, её производная равна . Окончательный результат равен произведению двух производных:

Производная функции по . Пи этом считаем постоянной величиной.

Рассмотрим также случай, при котором функция зависит от независимой переменной через функции и . В подобных задачах чаще всего требуется нахождение полной производной по независимой переменной .

Также, как и в предыдущем случае, вначале требуется найти частные производные:

В отличие оп предыдушего случая, частная производная будет иметь дополнительный множитель – производную промежуточной функции по независимому аргументу:

Производная по равна . При этом считаем постоянной.

Частная производная по будет определяться как произведение и :

По аналогии найдём :

Производная по равна .

Производная по равна При этом считаем постоянной.

Полная производная равна сумме частных производных:

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решения сложных производных

Пример 1

Задание

Найти полную производную функции , если .

Решение

Функция является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь вид:

Найдём частные производные функции по и :

Далее найдём производные каждой из функций и по независимой переменной :

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

Подставляем вместо получаем:

Ответ

Пример 2

Задание

Найти полную производную функции , если .

Решение

Функция является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь вид:

Найдём частные производные функции по и :

Далее найдём производные каждой из функций и по независимой переменной :

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

Подставляем вместо получаем:

Ответ

Пример 3

Задание

Найти полную производную функции , если .

Решение

Т.к. функция является сложной функцией трёх переменных, то выражение её общей производной будет иметь вид:

Найдём частные производные функции по :

Далее найдём производные каждой из функций по независимой переменной :

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

Вынося за скобки и подставляя вместо получаем:

Ответ

Пример 4

Задание

Найти полную производную функции , если .

Решение

Функция является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь следующий вид:

Найдём частные производные функции по и :

Далее найдём производные каждой из функций и по независимой переменной :

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

Подставляем вместо получаем:

Ответ

Пример 5

Задание

Найти полную производную функции , если .

Решение

Найдём частные производные функции по и :

Далее найдём производные каждой из функций и по независимой переменной :

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

Подставляем вместо . В итоге получаем:

Ответ

Пример 6

Задание

Найти полную производную функции , если .

Решение

Функция является сложной функцией, зависящей от двух переменных. Полная производная будет равна сумме двух частных производных по и :

Найдём частные производные функции по и :

Далее найдём производные каждой из функций и по независимой переменной :

Подставим найденные выражения для частных производных в выражение для полной производной:

Подставляем вместо .

В итоге получаем:

Ответ

Пример 7

Задание

Дана функция . Найти полную производную , а также частную производную .

Решение

Функция является сложной функцией, зависящей от двух переменных. Обратите внимание, что в данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента , так и от промежуточной переменной .

Полная производная будет равна сумме двух частных производных по и :

Найдём частные производные функции по и :

Далее найдём производную функции по независимой переменной :

Подставим найденные выражения для частных производных в выражение для полной производной:

Подставляем вместо и учитываем, что . В итоге получаем:

Ответ

Пример 8

Задание

. Найти полную и частную производные .

Решение

Функция является сложной функцией, зависящей от двух переменных. В данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента , так и от промежуточной переменной .

Вначале найдём частную производную

Для поиска полной производной необходимо найти частные производные и

Зная частные производные, найдём полную производную :

Подставляя вместо получаем:

Ответ

Пример 9

Задание

Найти полную производную функции .

Решение

Функция представляет собой сложную функцию, зависящую от двух переменных. В данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента , так и от промежуточной переменной .

Для поиска полной производной необходимо найти частные производные и

Зная частные производные, найдём полную производную :

Подставляя вместо получаем:

Ответ

Пример 10

Задание

Найти частные производные и . .

Решение

Функция представляет собой сложную функцию, зависящую от двух переменных и , каждая из которых, в свою очередь, зависит от независимых аргументов и .

Выражения для частных производных будут иметь вид:

Находим :

Подставляем найдённые выражения в выражения для частных производных и :

Ответ

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

4209

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Что такое производная сложной функции?

Оглавление

Время чтения:: 3 минуты

352

Перед тем как говорить о производной сложной функции давайте сначала определимся, что собой представляет сложная функция. Как вы увидите чуть позже, не всякую функцию кажущуюся сложной можно действительно так назвать.

Определение + примеры

Сложной функцией называют функцию, аргумент которой тоже является функцией.
Обозначается сложная функция как f(g(x)). Иногда наружные скобки являются квадратными f[g(x)]. g(x) – аргумент f(g(x)), иногда его называют внутренней функцией.
Уровень вложенности может быть абсолютно любым
y = f (g1 (g2 (g3 (. . . (g n (x)))))).

y=sin (x+1) есть сложная функция т. к. её можно представить в виде двух функций, вложенных одна в другую y = sin(u) и u = x + 1.

y=cos (7x³ -4x²) тоже сложная. Внутренней в ней является: u = 7x³ — 4x².

y = 7x³ — 4x² является простой. Аргументом здесь будет только x. Представить его в составе другой функции, кроме данной в примере, не получится.

y=7x³ сложная. Внутренней здесь будет u = 7x³. Обратите внимание, в примере выше функция хоть и имеет более сложный вид, на самом деле таковой не является. {\prime}(x)
\end{aligned}\]

Отсюда легко вывести алгоритм или правило нахождения производной сложной функции

Сначала в сложной функции нужно выделить простые. Затем найти их производные, после этого составить произведение из найденных производных. Оно и будет тем, что нам нужно.

Задачи 1 — 5

Найдите производную y = sin³x.

Решение: Запишем в выражение в виде y = (sinx)³. Отсюда ясно, что g = sin(x). Эту производную найти очень легко. Она следующая (sin(x))’ = cos(x).

Производная внутреннего выражения будет (g³)’ = 3u^3-1= 3u².

Из всего этого получаем

y’ = (sinx³)’ = (u³)’

Далее нужно лишь воспользоваться приведённой выше формулой, показывающей, как найти производную сложной функции

В результате получим

y’= (u³)’*u’ = 3u^3-1(sinx)’= 3u²cosx = 3sin²xcosx

Ответ: y’ = 3sin²xcosx

Найти производную y = ln(ax² + c)

Решение: Находим внутреннюю функцию. Очевидно, что здесь она g = ax² + c

Производная y’ = (ln(g))’ = 1/g

Производная g’ = a*2x

Из этого по формулам, приведённым выше мы будем иметь

y’ = (1/(ax² + c))*u’ = 2ax/(ax² + c)

Ответ: y’ = (1/(ax2 + c))*u’ = 2ax/(ax² + c).

Найти y’ = exp(-x²)

Решение: Внутренней здесь будет g = -x²

y’ = (exp(u))’ = exp(-x²)

Производная –x² = -2x

Из этого имеем

y’ = (exp(-x²))’= exp(-x²)*(-2x) = -2x*exp(-x²)

Ответ: y’ = -2x*exp(-x²).

Как видите, ничего трудного здесь нет, но требуется быть очень внимательным.

Теперь рассмотрим задачу, где вложено не одно, а несколько выражений.

Найти y’=cos³(3x-12)

Решение: Главное правильно выделить все внутренние составляющие указанного выражения.

Первым очевидно будет g1 = 3x – 12

Вторым будет g2 = cos(g1) = cos(3x – 12)

Сначала найдём производную g1.

Она равняется (g1)’ = (3x-12)’ = 3

Затем находим (g2)’ = (cos(u1))’ = — sin(3x-12)

Далее ищем производную внешней функции. Она равна

(cos(3x — 12)³)’ = 3cos²(3x -12)

В результате вычислений получаем

y’ = (3cos²(3x -12))*( — sin(3x-12))*3 = -9cos²(3x -12))*(sin(3x-12))

Не всегда следует сразу выделять вложенные составляющие выражения, производных которого нам нужно найти.

Чему равна y’ = (3/sin²x) + (cos²x/3)

Решение: Выражение представляет собой сумму двух производных, которые следует найти по отдельности и после этого сложить.

Сначала находим (3/sin²x)’, затем (cos²x/3)’. Решением нашей задачи будет их сумма.

В выражении (3/sin²x) вынесем общий множитель за скобки и уже после этого станем искать производную

3*(sin^-2x)’ = 3*(-2)sin^-3x * (sinx)’ = -6sin^-3x * cosx = -(6cosx)/(sin³x)

Далее находим тоже самое делаем со вторым слагаемым. {\prime}\]

Не забывайте также, что иногда перед поиском производных выражение можно упростить с помощью различных тригонометрических либо логарифмических преобразований. На сложных функциях это часто приводит к нужному результату, а иногда и вовсе позволяет сразу привести их к простому виду.

Оценить статью (77 оценок):

Комплексно-шаговая аппроксимация производной | Райбатак Дас

29 марта 2021 г.

питон, комплексные числа

В этом посте объясняется приближение производной со сложным шагом — громоздко звучащий, но простой и элегантный численный метод вычисления первой производной функции с использованием сложных арифметических операций.

Введение

Аппроксимация комплексной ступенчатой производной — это метод вычисления производной функции с действительным знаком $f(x)$. Вывод – это простое двухстрочное дело. Разложим $f(x)$ в ряд Тейлора с помощью малого мнимого шага $i h$ и сохраним старший член порядка в $h$: $$ \begin{выровнено} f(x + ih) & = f(x) + ih \cdot f'(x) – \frac{h^2}{2!} f”(x) + \ldots \cr \Re[f(x + ih)] + i \Im[f(x + ih)] & \ приблизительно f(x) + i h \cdot f'(x) \end{выровнено} $$ 92} \end{выровнено} $$

Сравнение мнимых частей: $$ f'(x) = \frac{1}{h} \Im[(f(x + ih)] = 2x $$

правильно.

Пример 2 : $f(x) = \sin(x)$. Разверните правую часть, используя тригонометрическое тождество, и используйте аппроксимации малых чисел $\sin(\theta) \приблизительно \theta$ и $\cos(\theta) \приблизительно 1$, когда $\theta \приблизительно 0$: $$ \begin{выровнено} f(x + ih) & = \sin(x + ih) \cr & = \sin(x) \cos(ih) + \cos(x) \sin(ih) \cr & \simeq \sin(x) + ih \cos(x) \end{выровнено} $$ 93} $$

Эта функция является стандартным примером, используемым для демонстрации комплексной ступенчатой производной. На приведенном ниже графике показаны функция (зеленая кривая) и ее производная, вычисленная с использованием комплексной ступенчатой аппроксимации (оранжевая кривая), наложенная на точное аналитическое решение (пунктирная кривая). Визуально приближение неотличимо от точного решения. Более тщательный анализ ошибок описан в следующем разделе

Код и пояснение

Чтобы сгенерировать этот график, сначала определите функцию, которая реализует комплексную ступенчатую производную для любой входной функции. 3} $$ 93) den = (np.cos(x))**3 + (np.sin(x))**3 число = np.exp(x) * (den + 3*np.cos(x)*np.sin(x)*(np.cos(x) – np.sin(x))) возврат( число/(ден*ден) )

Чтобы сгенерировать данные для графика, вычислите производную функции, используя оба метода в диапазоне

 x = np.linspace(-3,9*np.pi/16, np.pi/2, 100)
y, dy, точно = [np.array([y(xval) для xval в x]) для y в (f, dfdx, fprime)]

Наконец, результаты графика

 # Функция графика и производная
импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать matplotlib как mpl
рис, топор = plt.subplots()
ax.plot(x, y, lw = 1.5, label = "$f(x)$")
ax.plot(x, dy, lw = 2,5, альфа = 0,8, метка = "$f'(x)$: сложный шаг")
ax.plot(x, точно, "k--", lw = 1, label = "$f'(x)$: точно")
топор.легенда()
ax.set_ylim([-5, 5])
ax.set_xticks([-np.pi/4, 0, np.pi/4, np.pi/2])
ax.set_xticklabels(("-$\pi$/4", "0", "$\pi$/4", "$\pi$/2"))
ax.grid(Истина)

Насколько это хорошо?

Чтобы оценить точность этого приближения, мы можем вычислить абсолютную ошибку между комплексной ступенчатой производной и точным решением. Для сравнения производная также рассчитывается с использованием конечно-разностного приближения: $$f’_{\text{fd}}(x) \simeq \frac{f(x + h/2) – f(x – h/2)}{h} $$

Результаты показаны ниже:

Комплексная ступенчатая аппроксимация на несколько порядков точнее конечно-разностной оценки. На следующем наборе графиков показано влияние изменения размера шага $h$ на точность двух методов.

Аппроксимация комплексной ступенчатой производной остается точной при меньших размерах шага, в то время как оценка конечной разности ухудшается. Это, казалось бы, неинтуитивное поведение аппроксимации конечной разности является результатом ошибки усечения при вычитании двух близких друг к другу чисел. По мере того, как $h$ становится меньше, два члена в числителе становятся ближе друг к другу, а старшие цифры в разности $f(x + h/2) – f(x – h/2)$ становятся равными 0. Аппроксимация комплексного шага такова: не подвержен этой ошибке усечения.

Следующий код вычисляет аппроксимацию конечной разности и отображает абсолютную ошибку для каждой оценки. {-8}$)”) ax.set_xlabel(“х”) ax.grid(Истина)

Следующий блок вычисляет производную, используя оба метода с разными размерами шага, чтобы создать окончательную панель графиков.

 # Вычислить оба приближения для разных размеров шага
шаги = [1e-6, 1e-8, 1e-12, 1e-16]
csout = {h: np.array([csderiv(f, h)(xvals) для xvals в x])
         для ч в шагах}
fdout = {h: np.array([fdiff(f, h)(xvals) для xvals в x])
         для ч в шагах}
# График абсолютных ошибок для каждого размера шага
рис, splots = plt.subplots (ncols = 4, sharey = «строка»)
для jj, h в перечислении (шаги):
    y1, y2 = csвых[ч], fdвых[ч]
    топор = пятна [jj]
    ax.plot(x, абс(y2 - точно), "C2", lw = 1,5,
            label = "Конечная разница")
    ax.plot(x, абс(y1 - точно), "C1", lw = 1,5,
            label = "Сложный шаг")
    ax.set_yscale ("журнал")
    ax.set_xticks([-np.pi/4, 0, np.pi/4, np.pi/2])
    ax.set_xticklabels(("-$\pi$/4", "0", "$\pi$/4", "$\pi$/2"))
    ax.set_xlabel("х")
    ax. set_title(f"h = {h:.0e}")
    топор.сетка()
    если jj == 0:
        ax.set_ylabel("Абсолютная ошибка")
        ax.legend(loc = "вверху справа",
                  bbox_to_anchor = (1.02, 1))
plt.suptitle("Сложный шаг - vs- конечная разность с переменным размером шага")

Примечания и ссылки

Аппроксимация комплексной ступенчатой производной была впервые описана Сквайром и Траппом (1998) на основе результатов, первоначально представленных Лайнессом и Молером (1967). Полный код для этого примера доступен в этом блокноте Jupyter

Каталожные номера

«Использование комплексных переменных для оценки производных реальных функций», Сквайр и Трапп, SIAM Rev. , 40(1), 110–112 https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S003614459631241X
«Численное дифференцирование аналитических функций» Лайнесс и Молер, SIAM J Numer Anal , 4(2), 202-210 https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/0704019
https://blogs. mathworks.com/cleve/2013/10/14/сложное-ступенчатое дифференцирование
Скачать блокнот Jupyter с кодом

Производная неявной функции

Разница между явной и неявной функциями

В математике функция представляет отношение между двумя наборами значений таким образом, что каждое входное значение генерирует одно выходное значение. Есть два типа функций:

Явная функция : Когда x известен, мы можем вычислить значение y. Оно выражается как у, равное некоторой функции переменной х.
Неявная функция : Даже если значение x известно, мы не можем напрямую вычислить значение y.

Примеры

— это пример явной функции, поскольку знание значения x непосредственно дает значение y.
является примером неявной функции, потому что знание значения x не приводит нас напрямую к значению y. Это также не выражается как y, равный некоторой функции x.

Теперь, когда вы знаете разницу между явными и неявными функциями, вы можете легко обозначить, является ли данная функция явной или неявной формой.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Дифференцирование неявных функций

Мы знаем, что нахождение производной функции является одним из фундаментальных понятий исчисления. Производная функции определяется как мгновенная скорость изменения функции в какой-то момент. Процесс нахождения производной функции известен как дифференциация . Мы можем вычислить несколько производных одной и той же функции. Когда мы сначала дифференцируем функцию, результирующая производная известна как первая производная . Когда мы далее дифференцируем первую производную, результирующее выражение известно как вторая производная . В этой статье мы увидим только, как найти первую производную неявных функций.

Перед поиском производных функций необходимо ознакомиться с правилами дифференцирования. Некоторые из основных правил дифференциации приведены ниже.

Постоянное правило:
Правило мощности:
Сумма Правило:
Правило различий:
Правило продукта:
Правило коэффициента (используется для фракций):
Цепочка-процесс:

333

Как имени Добра ?

Вероятно, вы несколько раз проводили явное дифференцирование, потому что это основной вид дифференцирования, который включает в себя применение производных правил. Вы когда-нибудь задумывались, как отличить неявную функцию и чем этот вид дифференциации отличается от явной? Что ж, в этом разделе мы узнаем, как найти производную неявной функции на примерах. Но прежде чем перейти к примерам, давайте сначала рассмотрим шаги, связанные с неявным дифференцированием функции.

Шаг 1: Первым шагом неявного дифференцирования является дифференцирование обеих частей функции по переменной . Следует помнить одну вещь: производную члена, включающего переменную, нужно умножить на .
Шаг 2. На этом шаге мы решаем уравнение для путем выделения .

Другими словами, мы можем сказать, что когда нам дана неявная функция, мы используем цепное правило, чтобы дифференцировать функцию. Следующие примеры еще больше прояснят эту концепцию.

Пример 1

Дифференцировать

Решение

Для вашего удобства мы разбили решение этой задачи на несколько шагов.

Шаг 1. Продифференцируем обе части функции по переменной x

Мы применим правило производной мощности к левой части и правило производной константы к правой части функции.

Так как в правой части уравнения была только константа, то мы приравняли все уравнение к 0. Помимо дифференцирования каждого элемента в функции, производная y также умножается на .

Шаг 2: Упростите уравнение, решив для

На этом шаге мы решим уравнение для путем выделения левой части уравнения.

Пример 2

Дифференцировать

Решение

Этот пример сложнее, чем первый, потому что два из трех членов функции имеют несколько переменных. Шаги для дифференциации этой функции по существу одинаковы.

Шаг 1. Продифференцируем обе части функции по переменной x

Найдем производную каждого члена, используя правила дифференцирования. В левой части уравнения мы будем использовать производную мощность и правило произведения. В правой части мы просто продифференцируем константу, используя правило производной константы.

Шаг 2: Упростите уравнение, найдя

Второй шаг включает упрощение уравнения путем выделения левой части уравнения. Пример 3 Широко используемые триггерные функции — это синус, косинус и тангенс. Всегда полезно запомнить производные общих тригонометрических функций. Мы также записали производные общих триггерных функций в конце этой статьи.

Шаг 1. Дифференцируйте обе части функции по переменной x

Как обычно, мы найдем производную каждого элемента в обеих частях функции и умножим производную члена с переменной y к .

Перепишем уравнение следующим образом: уравнение. 9Пример 4 Процедура дифференцирования этой неявной функции такая же, как мы использовали в предыдущих примерах.

Шаг 1. Дифференцируем обе части функции по переменной x

Примените общее правило мощности, чтобы дифференцировать триггерные функции в левой части. Следует отметить, что общее силовое правило является особым видом цепного правила. Математическая обозначения этого правила приведена ниже:

Помните, что производная и производная

Шаг 2: упростить уравнение, решая для

0006

Чтобы еще больше упростить уравнение, мы удалим общий член “-2” в числителе и знаменателе.

Примеры решения сложных производных с ответами

Алгоритм решения сложных производных

Примеры решения сложных производных

Что такое производная сложной функции?

Комплексно-шаговая аппроксимация производной | Райбатак Дас

29 марта 2021 г.

Введение

Код и пояснение

Насколько это хорошо?

Примечания и ссылки

Производная неявной функции

Разница между явной и неявной функциями

Примеры

Дифференцирование неявных функций

Как имени Добра ?

Пример 1

Решение

Пример 2

Решение

Оставить комментарий Отменить ответ