Примеры уравнения с решением: Решение уравнений — урок. Математика, 6 класс. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Более сложные примеры уравнений | Математика

52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x² – 1)

Общий знаменатель есть x² – 1, так как x² – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x² – 1. Получим:

или, после сокращения,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

или

5x + 5 – 3x + 3 = 15

или

2x = 7 и x = 3½

Рассмотрим еще уравнение:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x² – 1)

Решая, как выше, получим:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.

Для первого примера получим:

Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.

Для второго примера получим:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0

Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.

Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.

Пример 2.

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

или

2x² + 6x – 2x – 6 = 2x² + 3x – 2x – 3.

Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x². Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x² — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x² уничтожатся, и мы получим:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:

3x = 3 или x = 1

Вспоминая данное уравнение

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.

Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:

2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,

что невозможно.

Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:

6x + 10 = 2x + 18

или

4x = 8 и x = 2

Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:

или 11 = 11

Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x² + 4x – 10 = 2x² + 16x – 18.

Здесь уже члены с x² не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы

4x² – 12x = –8

или

x² – 3x = –2

Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:

1) 2² – 3 · 2 = –2 и 2) 1² – 3 · 1 = –2

Если мы вспомним начальное уравнение

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.

Пример 3.

Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:

1) x² – 5x + 6 = x² – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x² – x – 2 = x² – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x² – 2x – 3 = x² – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:

на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Отсюда получим:

–x = –13 и x = 13.

Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.

Если бы мы взяли уравнение:

то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

или

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

или

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

откуда получили бы

0 = –11,

что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.

§ Системы уравнений. Как решать системы уравнений

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.

Запомните!

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют «x» и «y»), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки

или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7» неизвестное «x».

Важно!

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;

разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.

Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что содержит «x» в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

	x = 7 − 5y
	3x − 2y = 4

Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y» из первого уравнения.

	x = 7 − 5y
	3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)» во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение «3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*).

	x = 7 − 5y
	3(7 − 5y) − 2y = 4 (*)

(*) 3(7 − 5y) − 2y = 4
21 − 15y − 2y = 4
− 17y = 4 − 21
− 17y = − 17 | :(−17)
y = 1

Мы нашли, что «y = 1». Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти «x». Запишем в ответ оба полученных значения.

	x = 7 − 5y
	y = 1

	x = 7 − 5 · 1
	y = 1

	x = 2
	y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

Запомните!

При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.

x + 5y = 7		(x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
	+ =>	x + 5y + 3x − 2y = 11
3x − 2y = 4		4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент «−3».

Для этого умножим первое уравнение на «−3».

Важно!

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

	x + 5y = 7 \| ·(−3)
	3x − 2y = 4

	x ·(−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)
	3x − 2y = 4

	−3x −15y = −21
	3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

−3x −15y = −21		(−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
	+ =>	−3x −15y + 3x − 2y = −21 + 4
3x − 2y = 4		−17y = −17 \|:(−17)
		y = 1

Мы нашли «y = 1». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое значение и найдем «x».

	x = 7 − 5y
	y = 1

	x = 7 − 5 · 1
	y = 1

	x = 2
	y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения

способом подстановки

	x − 3y = 17
	x − 2y = −13

Выразим из первого уравнения «x».

	x = 17 + 3y
	x − 2y = −13

Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.

	x = 17 + 3y
	(17 + 3y) − 2y = −13 (*)

(*) (17 + 3y) − 2y = −13
17 + 3y − 2y = −13
17 + y = −13
y = −13 − 17
y = −30

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и найдем «x».

	x = 17 + 3y
	y = −30

	x = 17 + 3 · (−30)
	y = −30

	x = 17 −90
	y = −30

	x = −73
	y = −30

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения

способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

	3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)
	4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

	3x − 3y + 5x = 6x − 4
	4x − 2x − 2y = 4 − 3y

	8x − 3y = 6x − 4
	2x −2y = 4 − 3y

	8x − 3y − 6x = −4
	2x −2y + 3y = 4

	2x − 3y = −4
	2x + y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x». Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только «y».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».

	2x − 3y = −4 \|·(−1)
	2x + y = 4

	2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1)
	2x + y = 4

	−2x + 3y = 4
	2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.

−2x + 3y = 4		(−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
	+ =>	−2x + 3y + 2x + y = 4 + 4
2x + y = 4		4y = 8 \| :4
		y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и найдем «x».

	−2x + 3y = 4
	y = 2

	−2x + 3 · 2 = 4
	y = 2

	−2x + 6 = 4
	y = 2

	−2x = −2 \| :(−2)
	y = 2

	x = 1
	y = 2

Ответ: x = 1; y = 2

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:


Отправить

1.

17: Уравнения и их решения

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 45473

Самар ЭльХитти, Марианна Бонаноме, Холли Карли, Томас Тредлер и Линь Чжоу 9{2}+x+1=0\)
g) \(2 x-5>3\) не является уравнением. Это неравенство, и оно будет обсуждаться в главе 21
.
Решением уравнения является любое значение переменной, которое удовлетворяет равенству, т. е. делает левостороннюю (LHS) и правостороннюю (RHS) части уравнения одинаковыми значениями.
Чтобы решить уравнение , нужно найти решение(я) для этого уравнения. Метод решения уравнения зависит от вида уравнения. Мы будем учиться:
- решить линейные уравнения в главах 16 и 17
- решить квадратные уравнения в главе 20
Пример 15.2
Решения уравнений:
-4=6\), что равно \(\mathrm{RHS}\).
b) Решением для \(5 x-6=4 x+2\) является \(x=8\), поскольку LHS, оцененное при \(x=8\), равно \(5(8)-6= 40-6=34\), а правая сторона, оцененная как \(x=8\), равна \(4 x+2=4(8)+2=32+2=34,\), и они равны!
Таким образом, при заданном значении \(x\) мы можем проверить, является ли оно решением, путем одновременного вычисления левой и правой сторон уравнения. Если они равны , то значение равно решению . Если они не равны , то значение не является решением .
Пример 15.3
a) Является ли \(x=2\) решением уравнения
\[-4 x+8+x=5-2 x+1\nonnumber\] ?
LHS, оцененный при \(x=2\), равен \(-4(2)+8+2=-8+8+2=2\).
9{2}+2(-2)+1=3 \cdot 4-4+1=12-4+1=9 . \) так как \(9=9,\) \(L H S=R H S\) и \ (x=-2\) является решением уравнения.
Выход Проблема
Проверить: Является ли \(x=-6\) решением уравнения
\[10+10 х=13+6 х+1 ?\номер\]
Эта страница под названием 1.17: Equations and its Solutions распространяется под лицензией CC BY-NC-ND 4.0, авторами, ремиксами и/или кураторами являются Самар ЭльХитти, Марианна Бонаноме, Холли Карли, Томас Тредлер и Линь Чжоу ( Технологический колледж Нью-Йорка при CUNY Academic Works).
1. Наверх
- Была ли эта статья полезной?
1. Тип изделия
  Раздел или Страница
  Автор
  ЭльХитти, Бонаноме, Карли, Тредлер и Чжоу
  Лицензия
  CC BY-NC-ND
  Версия лицензии
  4,0
  Показать страницу TOC
  нет
2. Теги
Решение линейных уравнений с нулевым Soln, без Soln и “All-x” Soln
Add/SubtractTimes/DivideMulti-Step Parentheses
Purplemath
Существует три типа решений, которые могут вызвать путаницу. Мы рассмотрим по одному примеру каждого, и я объясню различия. Затем мы поработаем над смесью типов уравнений, чтобы вам было удобнее различать типы решений.
Чтобы решить это уравнение, мне сначала нужно упростить левую часть, взяв «минус» через круглые скобки и объединив «подобные» члены:
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
5 – (3 x + 4)
5 – 1(3 x ) – 1(+4)
5 – 3 x – 4
5 – 903 3 5 x 903 4 3
1 − 3 x
Теперь я могу решить обычным способом:
1 – 3x = 1
-1 -1
———–
-3x = 0
— —
-3 -3
x = 0
Является ли “ x = 0″ допустимым решением? Да, действительно так, потому что ноль — допустимое число. Дело не в том, что решение «ничего»; дело в том, что решение есть «что-то», и это «что-то» равно нулю. Итак, мой ответ:
x = 0
Учащиеся обычно могут привыкнуть к тому, что ноль является решением уравнения, но разница между решением «ноль» (это решение является числовым значением) и «ничего» (возможно, физическая мера чего-то вроде «нет яблок» или «нет денег») может вызвать путаницу.
Пожалуйста, убедитесь, что вы понимаете, что “ноль” сам по себе не является “ничего”. Ноль — это числовое значение, которое (в «реальной жизни» или в контексте словесной задачи) может подразумевают , что «ничего» того или иного нет, но сам ноль — реальная вещь; это существует; это что-то”.
Во-первых, объедините одинаковые термины; затем решите:
Эм… подождите одну минуту…
С каких это пор четыре когда-либо равны пяти? Никогда! Существует ли какое-нибудь возможное значение x , которое “исправит” это уравнение, чтобы оно говорило что-то осмысленное? Будет ли любое значение из x когда-либо заставить это уравнение работать?
№; это просто невозможно. Я сделал все шаги правильно, но эти шаги привели к уравнению (а) без переменных и (б) не имеющему смысла. Поскольку не существует значения x , которое заставит это уравнение работать, то и решения этого уравнения нет. Вот мой ответ на это упражнение:
нет решения
Вот логика для приведенного выше примера: когда вы пытаетесь решить уравнение, вы исходите из (неустановленного) предположения, что на самом деле это решение. Когда вы получаете бессмыслицу (например, бессмысленное уравнение «4 = 5» выше), это означает, что ваше первоначальное предположение (а именно, что исходное уравнение действительно имело решение) было неверным; на самом деле решения нет. Поскольку утверждение «4 = 5» совершенно ложно, а поскольку 90 034 не существует значения x, которое когда-либо могло бы сделать его истинным , то это уравнение не имеет решения.
Рекомендация: этот ответ полностью отличается от ответа на первое упражнение вверху этой страницы, где было значением x , что будет работать (это значение решения равно нулю). Не путайте эти две совершенно разные ситуации: «решение существует и имеет нулевое значение» никоим образом не то же самое, что «решение вообще не существует».
И не путайте приведенное выше уравнение типа “нет решения” со следующим типом уравнения:
Во-первых, я буду комбинировать одинаковые термины; тогда я решу:
Для предыдущего уравнения я получил “5 = 4”, и не было значения x , что может сделать уравнение верным. Этот результат противоположен предыдущему. Есть ли для этого уравнения какое-либо возможное значение x , которое могло бы сделать приведенное выше утверждение ложным? №; 5 равно , всегда будет равно 5. На самом деле, поскольку в последней строке вычислений выше нет « x », значение x явно не имеет отношения к уравнению; x может быть чем угодно, и уравнение все равно будет верным. Итак, решение:
all x
Это решение можно также сформулировать как “все действительные числа”, “все действительные числа”, “вся числовая строка”, “(−∞, +∞)” или “ x ∈ &reals ;” (последнее значение означает « x является членом множества действительных чисел»). Вы должны ожидать увидеть некоторые различия в жаргоне от одного учебника или преподавателя к другому, так что не удивляйтесь различиям в форматировании.
Обратите внимание, что если бы я решил уравнение, вычитая 5 из любой части исходного уравнения, я бы получил:
4 x = 4 x
Другими словами, я бы получил еще одно тривиально верное утверждение. Я также мог бы вычесть 4 x с любой стороны, или я мог бы разделить обе части приведенного выше уравнения на 4, или я мог бы разделить на 4, а затем вычесть x с любой стороны, или я мог бы вычесть оба 4 x и 5 с обеих сторон исходного уравнения. Каждый из них — это еще один способ получить другой тривиально верный результат, например «0 = 0». Но независимо от предпринятых конкретных шагов результат (тривиально верное уравнение) всегда будет одним и тем же, и решение все равно будет одним и тем же: «все x “.
Поскольку (как я перечислил выше) есть много способов прийти к одному и тому же заключению для этого типа уравнения, вас не должно удивлять, если для “всех действительных чисел” или “отсутствия решения” уравнений, вы не использовали те же шаги, что и некоторые из ваших одноклассников. Существует бесконечно много всегда верных уравнений (например, “0 = 0”) и бесконечно много бессмысленных уравнений (например, “3 = 4”), также будет много способов (правильного) получения этих ответов
Основным выводом из приведенных выше примеров должны быть следующие правила:
x = 0: обычное решение регулярного уравнения
бессмыслица (например, 3 = 4): нет решения почти наверняка увидите хотя бы один из этих вопросов «без решения» или «все реальные» вопросы в следующем тесте (и, вероятно, также в финальном), обычно их не так много в наборе домашних заданий, и ваш преподаватель, вероятно, привел только один пример каждого типа. Это не дает вам много практики в интерпретации этих типов решений, так что давайте еще несколько примеров.
Во-первых, я умножу 3 через скобки в левой части. Потом решу.
3x + 12 = 3x + 11
-3x -3x
——————
12 = 11
Мои расчеты были правильными, но результат — ерунда. Двенадцать никогда не равняются одиннадцати. Итак, мой ответ:
нет решения
Я умножу и упростлю в левой части. Потом решу.
6 – 2(х + 3) = -2х
6 – 2x – 6 = -2x
6 – 6 – 2x = -2x
0 – 2x = -2x
-2x = -2x
+2x +2x
———
0 = 0
Ноль всегда будет равен нулю, а в последней строке моей работы даже нет никакой переменной, так что эта переменная явно не имеет значения. Это уравнение верно, независимо от значения x . Итак, мой ответ:
все x
Мне нужно умножить и упростить каждую часть этого уравнения.
2(х + 1) + х = 3(х + 2) – 2
2х + 2 + х = 3х + 6 – 2
2х + х + 2 = 3х + 4
3x + 2 = 3x + 4
-3x -3x
———————-
2 = 4
Нет; никогда не правда.
нет решения
Мне нужно упростить правую часть, а потом посмотреть, к чему это приведет.
5x + 7 = 4(2x + 1) – 3x – 2
5х + 7 = 8х + 4 – 3х – 2
5x + 7 = 8x – 3x + 4 – 2
5х + 7 = 5х + 2
-5x -5x
——————
7 = 2
Нет; никогда не правда.
нет решения
Я разверну левую часть, а потом решу.
8(х + 2) = 2х + 16
8х + 16 = 2х + 16
-2x -2x
——————
6х + 16 = 16
-16 -16
——————
6х + 0 = 0
—— –
6 6
x = 0
Это уравнение имеет значение решения , равное нулю.
x = 0
Я расширю и упрощу правую часть, а затем решу.
1,5x + 4 = 4(x + 1) – 2,5x
1,5х + 4 = 4х + 4 – 2,5х
1,5х + 4 = 4х – 2,5х + 4
1,5х + 4 = 1,5х + 4
-1,5х -1,5х
——————–
4 = 4
Это всегда так, поэтому мой ответ таков:
(−∞, +∞)
Я расширю левую часть, а затем решу.
2(х + 5) = 2х + 5
2х + 10 = 2х + 5
-2x -2x
——————
10 = 5
Нет; никогда не правда.
нет решения
URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin5.