Примеры вычисления пределов с подробным решением: Вычисление пределов с подробным решением примеры. Теория пределов

Содержание

Методы решения пределов. Неопределённости.Порядок роста функции

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x 0 , но которая не содержит x 0 как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x 0 ), последовательность значений функции сходится к A

.

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 , будет выполнено неравенство | f (x) A | .

Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:

Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.

Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.

Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:

x → 2, x → 0, x ∞.

Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:

Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции

f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:

Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю.

Поэтому:

Необходимо вычислить предел функции

Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя – это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Ответ

Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения

x 2 + 2 x – 3 :

D = 2 2 – 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 D = √16 = 4

x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 x 1 = -3; x 2 = 1.

Таким образом, числитель будет таким:

Ответ

Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела , вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a – ε x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае – расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента

n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a предельная точка области определения этой функции D(f), т. е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при

x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0

Это определение называют определением предел функции по Коши,

или “на языке ε – δ

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется

бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,

Теорема 3.

(6.11)

где e » 2.7 – основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

и непрерывной слева в точке x o, если предел

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода – в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1|

Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n – 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3.3 . . Найти .

Решение.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,…, x n ,… – последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin (p n) = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Пример 4

Найти предел

Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).

Если «икс» стремится к «минус бесконечности»

Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов.

Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий:

1) Вычислим предел

Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени , в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: . Константа («двойка») положительна , поэтому:

2) Вычислим предел

Здесь старшая степень опять чётная , поэтому: . Но перед расположился «минус» (отрицательная константа –1), следовательно:

3) Вычислим предел

Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени равно «минус бесконечности», в данном случае: .
Константа («четвёрка») положительна , значит:

4) Вычислим предел

Первый парень на деревне снова обладает нечётной степенью, кроме того, за пазухой отрицательная константа, а значит: Таким образом:
.

Пример 5

Найти предел

Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков:

Решение тривиально:

Пример 6

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев:

Пример 7

Найти предел

Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи:

Решаем:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 15

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:

Пример 16

Найти предел

При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?

Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице . Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.

Проведем замену:

Если , то

Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены выражаем: .

Завершаем решение:

(1) Проводим подстановку

(2) Раскрываем скобки под косинусом.

(4) Чтобы организовать первый замечательный предел , искусственно домножаем числитель на и обратное число .

Задание для самостоятельного решения:

Пример 17

Найти предел

Полное решение и ответ в конце урока.

Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения , приходится использовать самые разные тригонометрические формулы , а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)

В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:

Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой .

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. 2 стремится к нулю.

Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их свойства перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются исключения из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

В ряде задач встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность – ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится применение правила Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f”(x)/l”(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. (n-1)

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!


Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.


Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Вычислить пример онлайн с решением

В Интернете столько различных программ, что возникает вопрос: можно ли вычислять примеры для их решения в режиме онлайн. Такие приложение уже существуют. Они самостоятельно ищут ответ на ваши задачи и показывают на экране ответ. Это очень удобно и практично. О них и пойдёт речь далее.

Содержание

  1. «Математический сканер по фото» — поможет вычислить любой пример
  2. Порядок действий для проведения вычислений онлайн:
  3. Решение задач онлайн через камеру телефона
  4. Mathway — онлайн-сервис для вычисления примеров
  5. «Контрольная работа» — быстрое решение сложных задач онлайн
  6. Pocket Teacher — поможет вычислить уравнения по математике
  7. Видео-инструкция

«Математический сканер по фото» — поможет вычислить любой пример

Задание по разным предметам иногда заставляет нас с любой успеваемости зайти в тупик. Пример может сильно отличаться от тех, которые были рассмотрены в школе. Чтобы решить его, придется искать решение в Интернете вручную. Или просить более опытных людей помочь с этим заданием. Есть ещё один вариант выхода с этого положения  — воспользоваться онлайн сканером «Математический сканер по фото» на Андроид.

Он устанавливается на мобильный телефон в виде приложения и способен решать ваши задания при помощи фотографии.

Порядок действий для проведения вычислений онлайн:

  1. Работать сканер может в двух режимах: по фотографии и при вводе условий вручную;
  2. Чтобы сфотографировать пример, наведите камеру на условие и нажмите кнопку создания фото;
  3. На следующем экране появится решение этой задачи с несколькими действиями. Чтобы больше узнать о данном примере, просмотрите внимательно все его этапы решения. И попробуйте разобраться самостоятельно.

Если не выходит понять задачу, в меню приложение «Онлайн» сканер можно найти статьи по теме. В нём множество учебного материала на разные темы по математике и другим предметам. Для этой программы не требуется подключение к Интернету. Она может решать любые примеры оффлайн без доступа к базе данным или поисковым системам. В приложение встроен умный калькулятор, который может быть вызван одной кнопкой на панели в меню. Сканер легко справляется с задачами по математике для начинающих и выпускных классов.

Это может быть полезным: решение задач по физике по фото.

Решение задач онлайн через камеру телефона

С каждым учебным годом математика усложняет задачи для учащихся. Становится всё труднее решать примеры быстро и практически не задумываясь. Появляются новые темы, функции, уравнения и прочее. Чтобы со всем этим справиться при вычислении примеров с верным решением, используйте «Камеру Калькулятор» на Андроид.

Это один из лучших способов решать примеры автоматически, применяя лишь камеру мобильного телефона. Пользователю нужно сфотографировать пример, чтобы решить его.

Возможности приложения:

  • В приложении есть умный и удобный калькулятор для решения любых задач по предмету;
  • Встроен научный калькулятор со всеми инструментами, которые есть в классической версии;
  • Отдельно реализован калькулятор уравнений.

Мобильное приложение «Камера Калькулятор» способно справляться с решением интегралов, интеграций, производных, дифференцирования, пределов и многое другое. Для тех пользователей, которым необходимы простые функции, он является таковым. Более сложные инструменты находятся в меню и могут быть запущены при необходимости. Поэтому вычислить любой пример онлайн и получить его подробное решение не составим труда. Программа будет полезна школьникам старших классов, которые сталкиваются со сложными заданиями на самостоятельных работах и контрольных.

Также «Камера Калькулятор» станет незаменимым помощником для студентов разных профессий. Приложение не займёт много памяти в мобильном телефоне и может работать беззвучно.

Читайте также: решение задач по геометрии по фото.

Mathway — онлайн-сервис для вычисления примеров

С вычислением сложных примеров и их вычислением в Интернете поможет онлайн-приложение Mathway. Без надобности устанавливать какие-либо программы на телефон. Откройте в браузере ссылку на сайт Mathway.com.

При нажатии на кнопку с фотоаппаратом на экране появится виртуальная клавиатура со всеми подходящими символами для решения математических уравнений. Если к вашему устройству подключена веб-камера или вы используете сайт с мобильного устройства, то появится возможность сфотографировать условия задачи.

Также его можно записать в пустой строке, которая выше виртуальной клавиатуры приглашает: «Введите задачу». Чтобы выбрать другой предмет в онлайн-сервисе, нажмите на кнопку меню вверху.

Среди них можно выбрать:

  • Решение задач по элементарной математике;
  • Тригонометрии;
  • Статистике,
  • Алгебре;
  • Линейной алгебре;
  • Химии;
  • Создание графиков;
  • Основа математического анализа.

В меню онлайн-программы доступны примеры по разным предметам. Чтобы их открыть, нажмите на кнопку с тремя точками вверху. И выберите пункт «Примеры». Появится новый раздел, где вы сможете выбрать примеры по алгебре. Для того, чтобы рассмотреть один из них, выберите его курсором мыши или тапом по экране мобильного. Когда пример будет выбран, его условия и решение развернется на экране. Дополнительно появится возможность открыть каждый шаг в решении. Или показать график из этого примера на экране. Ссылки для этого в конце примера.

«Контрольная работа» — быстрое решение сложных задач онлайн

Быстро и точно примеры может решать сервис «Контрольная работа» www.kontrolnaya-rabota.ru/s. Всё что нужно пользователю — это ввести условие в пустую строку. Сервис удобно использовать на мобильном телефоне через браузер или на компьютере во время выполнения задания. Чтобы получить большой список калькуляторов для разных условий, на главной странице необходимо выбрать кнопку «Начать сейчас».

Из перечня перед вами можно выбрать:

  • Решение уравнений и упрощённых выражений онлайн с возможностью вводить условия;
  • Калькулятор для решения неравенств с отображением графиков решения на экране;
  • Поиск пределов в сервисе — найдите его для любой функции. Применяются решения по Лопиталю;
  • На сайте есть производные функций, графики. Вы сможете построить свой график в пространстве;
  • Калькулятор для решения неравенств;
  • Доступны практически любые действия с неравенствами: умножение, возведение в степень, ранг матрицы, обратные матрицы и другое;
  • На сайте есть возможность решить со своими условиями комплексные числа, геометрическую интерпретацию.

Кроме этого на сайте ещё множество возможностей, связанных с решением математических задач и условий по другим предметам. Можно найти таблицы интегралов, Брадиса, таблицы производных. Примеры из высшей математики и полезные и интересные калькуляторы. Если у вас возникнут трудности, в нижней части списка с возможностями находится подробная инструкция, как пользоваться тем или иным инструментом. Представлено множество текстов, описывающих не только работу калькуляторов и таблиц, но и с рассмотрением конкретных примеров.

Pocket Teacher — поможет вычислить уравнения по математике

Рассмотрим ещё один интересный онлайн-сервис с решениями для математики. Называется он Pocket Teacher.

Ссылка: https://www.pocketteacher.ru/solve-page. Сайт является большим и всесторонним инструментом, для решения практически любых математических условий заданий. На главной странице пользователю предлагается выбрать один из трёх основных разделов сайта: алгебра, геометрия, высшая математика и текстовая задача. На экране отображается клавиатура с математическими знаками.

  1. Начните вводить символы условия своей задачи;
  2. Возле примера находятся кнопки для управления вводом. Нажмите «Очистить» или «Удалить», если допустили ошибку при вводе;
  3. Чтобы пример решить, нажмите на соответствующую кнопку справа и выберите пункт «Решение».

Каждое решение на время сохраняется на сайте. Его можно вернуть при помощи кнопок на панели. Это приложение можно скачать на мобильный телефон с Android или с IOS. Ссылки расположены на главной странице сайта.

Видео-инструкция

Рассмотренные инструменты помогут вычислить любой сложный пример в режиме онлайн с подробным решением. Посмотрите о дополнительных приложениях в видео.

Всегда есть предел. Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений


Хранил в себе один секрет и был в семье примерный муж.
Всё было, вроде, как всегда: жена готовила обед…
Но приключилась вдруг беда: он взял и вспомнил про секрет.
Под шум и кислый запах щей, ворчанье суженой с утра,
Он вспомнил всё до мелочей, как будто было то вчера…
…Она сидела у окна, и мягкий чудный лунный свет
Окрасил в бледные тона её прекрасный силуэт…
Струились пряди по плечам, скользили змейками на грудь…
И он подумал сгоряча: «Женюсь на ней когда – нибудь!»
Он вспомнил всё до мелочей: изгибы линий, мягкость губ…
И жар её простых речей, и за окном огромный дуб.
Сплетенье рук… Слиянье тел… Каскад каштановых волос…
И то, как он её хотел до исступления, до слёз!
Признаний трепетных поток, как он на ушко их шептал!
Смешной над ухом завиток, что от дыханья трепетал…
Она смотрела на него глазами влажными, как ночь.
Слова пьянили, как вино: «Люблю тебя… Роди мне дочь…»
С утра он потерял покой: то суетился, то скучал…
Потом, закрыв лицо рукой, сидел на стуле и молчал.
Жена ворчала, как всегда. Ругала убежавший суп…
И он отметил, что года ей, постаревшей, не к лицу.
Как не идёт ей белый цвет и пряди крашеных волос.
И целых двадцать восемь лет всё как – то было не всерьёз…
Вдруг он вскочил, схватил пальто, забыл про шапку и носки.
Все двадцать восемь лет – не то… Все двадцать восемь зим – тоски.
Нашёл тот дом. У дома – дуб. Взбежал по лестнице стрелой…
Унять бы дрожь с холодных губ, и трусость гадкую – долой!
Наверное, она сейчас пьет чай и кутается в шаль…
И из её прекрасных глаз струится тихая печаль…
А может, принялась вязать? А может кружево плести?
Так много надо ей сказать! А главное сказать – прости…
Открыла дверь… В глазах – вопрос. Ей было снова двадцать лет…
Каскад каштановых волос… Знакомый сердцу силуэт…
Над ухом – лёгкий завиток… Как много лет назад – точь в точь…
” Вы не ошиблись?» – Нет, не мог… Вы Аня? ” Вера. Её дочь…»
” А Аня?”- ” Мамы больше нет… Кто Вы?» Он повернулся вспять:
«Я шёл к ней двадцать восемь лет…» – Она ждала Вас… Двадцать пять…
Как закружилась голова… Как сердце ухнуло в груди!
И вспомнил он её слова с мольбою: «Ты не уходи!»
Он сгорбился. Поплёлся прочь. Сплетенье рук… Слиянье тел…
Люблю тебя… Роди мне дочь… А он ведь вправду дочь хотел.
Как странно. Ани больше нет… Заплакал… Бросил в тишину:«Я буду много – много лет любить тебя… Тебя одну…»

P.S. БЕРЕГИТЕ ЛЮБОВЬ – она фундамент вашего счастья…





Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!


Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.


Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Знай, у каждого разное «больно»,
Знай, у каждого разное «страшно».
Не суди со своей колокольни
Неизвестносколькоэтажной.

Не очерчивай взглядом границы,
Не придумывай мозгом пределы.
Что тебе в страшном сне не приснится,
Для кого-то – обычное дело.

Знай, у каждого разное «надо»,
Знай, у каждого разное «сложно».
Впрочем, и представление ада
Обобщить и сравнить невозможно.

Знай, что правда бывает другая,
А не та, что приносят на блюде.
Присмотрись к тем, чьи судьбы пугают,
Это – самые сильные люди.

Не говори, что я тебя не помню —
Я помню всё, и много раз на дню
Я повторяю номер телефонный,
Но никогда тебе не позвоню.
Вот-вот, казалось, сердце разорвется
И на пределе одиноких дней

За горизонт зашли в душе моей.
Была любовь, была любовь, была!
И к этой фразе нечего прибавить.
Сгорел волшебный замок наш дотла
И пепла не оставил нам на память.
Я помню всё, и сад цветущий помню,
И сквозь листву — лучи со всех сторон,
Как будто с белой-белой колокольни
В душе — ты слышишь — льётся тихий звон.
Любовь ушла и больше не вернётся,
И чтоб не вечно тосковать о ней,
Твои глаза, как два печальных солнца,
За горизонт зашли в душе моей.

За счастьем погоня опять неудачна…
И вечер дождливый, на улице мрачно…
А в детстве…намазала булку вареньем
И точно счастливая, до одуренья…

Гламур, этикет, бриллианты, джакузи…
Теперь, кроме счастья, в судьбе «All inclusive»,
А в детстве с подсолнуха семечки ела,
И счастью, казалось, не будет предела…

Мы стали похожи на клоунов очень…
У каждого грим, что снаружи хохочет…
А в детстве… лишь солнце с небес пробивалось
И сердце счастливое так улыбалось…

Людей отбираем, как в «Золушке» гречку…
Всех нужных – в контакты… Невыгодных в печку…
А в детстве в нас верило чистое небо…
Где радость от запаха свежего хлеба?

И дружба теперь покупается тоже…
Дожились… Живём в мире меха и кожи…
А в детстве дворнягу от ливня спасали…
И счастье давая, его получали.

Мы искренность, чуткость теряли с годами…
Границы и рамки придумали сами…
Есть булка и банка с вишнёвым вареньем?
Так будьте счастливыми, до одуренья!

Я смотрю на тебя и понимаю, что по-прежнему люблю тебя. Эта любовь – хроническая болезнь последних лет. Она приносит настолько нестерпимую боль, что я кидаюсь на совершенно посторонних людей, пытаясь обмануться ими, с ними вдруг в этих объятиях найду то самое обезболивающее, которое, по словам обладателей морщинистых сердец, вообще не существует. Я понимаю, что обманываюсь, но все равно продолжаю обниматься-убиваться не могу иначе, болит ведь, изводит, по ночам спать не дает, вот сижу на подоконнике и, еще минута, истошно закричу от пыток иллюзий. Обратиться к тебе за помощью? Бесполезно. Ты знаешь о моей любви, но тебе она ни к чему, «своих невысказанных чувств полный рот». Мы в одной паутине безответности, но не можем помочь друг другу. Ты обхватываешь руками тонкие белые нити-прутья и смотришь куда-то за пределы реальности, надеясь черт знает на чью помощь. И разница между нами одна: моя любовь к тебе почти сбила меня с ног, а твоя любовь к кому-то – подпитывает, оживляет тебя ожиданием, пусть и обманчивым. Я больше не хочу смотреть на тебя, я прогоняю возможность тебя из сердца, но от этого еще больнее. Вот и проходится шепотом страдать, тоже надеясь черт знает на чью помощь. Времени?..

Ваша жизнь – сплошное вранье, порнуха, бытовуха, интернет-зависимость и сотово-мобильное рабство. Ну разве я не прав? Вот скажите мне, вы когда-нибудь совершали что-нибудь по настоящему из ряда вон? Никогда. И не сможете. Знаете почему? Потому что все это находится за пределами вашей зоны комфорта. Вы упакованы в нее. Как в полипропиленовый мешок. Вы куски мяса, зажатые рамками быта и работы. Или я не прав? Может, я ошибаюсь? Поправьте меня.
Например, можете подарить свой мобильник первому встречному? А? Вопрос на засыпку. Можете прямо сейчас отформатировать винт на вашем компьютере? Стремно? Обосрались? А знаете, почему вы этого не сделаете? Потому что это равноценно самоубийству. Вы без этого не существуете.

‎App Store: Mathway — решатель задач

Описание

Mathway — мировой лидер среди программ для решения задач, в арсенале которого миллиарды решенных задач и которому доверяют миллионы пользователей. От элементарной алгебры до комплексных расчетов, Mathway мгновенно решает самые сложные математические задачи — просто введите условия задачи (или наведите камеру и сделайте фото!) и вы немедленно получите бесплатный ответ. Необходимы подробные, пошаговые решения? Mathway — как карманный частный репетитор, который без промедления помогает в решении домашних заданий в любом месте и в любое время.

Mathway охватывает все уровни математики, в том числе:

Начальную математику (арифметика, целые числа, дроби, десятичные числа, корни, коэффициенты и многое другое)

Алгебру (линейные уравнения/неравенства, квадратные уравнения/неравенства, абсолютные уравнения/неравенства, системы уравнений, логарифмы, функции, матрицы, графики и многое другое)

Тригонометрию / начало анализа (тригонометрические функции, тождества, конические сечения, векторы, матрицы, комплексные числа, последовательности и ряды и многое другое)

Математический анализ (пределы, производные, интегралы и многое другое)

Статистику (вероятность, перестановки, комбинации и многое другое)

Есть математическая задача? Обратитесь к Mathway.

«Простая в использовании и эффективная программа Mathway понравится любому, кому приходится решать математические задачи, от учеников старших классов до студентов институтов», — Yahoo! News

«Если вам нужно решить математические задачи, обратитесь к Mathway. Это приложение продемонстрирует весь процесс решения, чтобы вы могли параллельно учиться сами», — CNET

«Mathway — незаменимый инструмент в тех случаях, когда нужно решить задачу. Это приложение помогает с домашними заданиями по математике. Оно не просто выполняет за вас задания, но и обучает правильному порядку решения. Все, что нужно сделать, — это ввести уравнение и нажать на кнопку Enter», — Lifehack

Mathway предоставляет ответы на задачи совершенно бесплатно. Для пошаговых решений доступна дополнительная ежемесячная или годовая подписка. Кроме того, Mathway предлагает дополнительную подписку на онлайн-обучение для связи с преподавателем в любое время, когда требуется дополнительная помощь. Если выбран вариант премиум-подписки:

Оплата будет списана с учетной записи iTunes при подтверждении покупки

Подписка автоматически продлевается, если автоматическое продление не будет отключено минимум за 24 часа до окончания текущего периода

С учетной записи будет снята плата за продление в течение 24 часов до окончания текущего периода подписки по тому же месячному или годовому тарифу, выбранному при ее оформлении

Подписками может управлять пользователь, а автоматическое продление можно отключить, перейдя в настройки учетной записи пользователя после покупки

Условия использования: https://www. mathway.com/terms

Политика конфиденциальности: https://www.mathway.com/privacy

Версия 4.7.1

– исправление ошибок

Оценки и отзывы

Оценок: 3,2 тыс.

Супер!

Приложение лучшее из за объяснения решения! Максимум звёзд

Этот интерфейс…

Считает вроде бы правильно (лучше чем Photomath), но пользоваться приложением просто невозможно. Нет кнопок sin/cos, их надо набирать вручную «Очень удобно».
И да, если Photomath работает офлайн, то это бабуйня без интернета работать не будет

124

Пока что я смог это приложение запутать только при решении транцендентных уравнений, однако графики строит хорошо, в общем 5 звёзд просто потому что лучше я все оано ничего не нашёл))

Разработчик Mathway, LLC указал, что в соответствии с политикой конфиденциальности приложения данные могут обрабатываться так, как описано ниже. Подробные сведения доступны в политике конфиденциальности разработчика.

Данные, используе­мые для отслежи­вания информации

Следующие данные могут использоваться для отслеживания информации о пользователе в приложениях и на сайтах, принадлежащих другим компаниям:

  • Контактные данные
  • Идентифика­торы
  • Данные об использова­нии

Связанные с пользова­телем данные

Может вестись сбор следующих данных, которые связаны с личностью пользователя:

  • Контактные данные
  • Пользова­тель­ский контент
  • Идентифика­торы
  • Данные об использова­нии

Не связанные с пользова­телем данные

Может вестись сбор следующих данных, которые не связаны с личностью пользователя:

  • Пользова­тель­ский контент
  • Данные об использова­нии

Конфиденциальные данные могут использоваться по-разному в зависимости от вашего возраста, задействованных функций или других факторов. Подробнее

Информация

Провайдер
Mathway, LLC

Размер
54,7 МБ

Категория
Образование

Возраст
4+

Copyright
© 2022 Mathway

Цена
Бесплатно

  • Сайт разработчика
  • Поддержка приложения
  • Политика конфиденциальности

Вам может понравиться

Примеры решения пределов с корнями с ответами

Основные свойства пределов с корнями

Теорема

Для нахождения предела функции необходимо подставить в предел вместо Х то значение переменной, к которому стремится Х.

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений пределов с корнями

Пример №1

Задание

Найти предел

   

Решение

Мы имеем неопределенность вида

   

Первый шаг – разделить числитель и знаменатель на ”х” в высшей степени. Старшая степень для числителя в данном случае равна двум.
Со знаменателем немного сложнее.  Так как у нас корень, обращаем внимание только на самое ”старшее” слагаемое –

   

Число (4) – это константа, его тоже отбрасываем. Находим корень

   

Так как числитель и знаменатель оказываются одного порядка роста, предел равен конечному числу, отличному от нуля.

   

Видим, что функции эквивалентны на бесконечности.

Оформляем решение:

   

Ответ: 1

Пример № 2

Задание

Найти предел с корнем

   

Решение

Подставляем

   

в подпредельную функцию:

   

Получаем неопределенность

   

Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к нему –

   

так как он содержит корень.
Далее, пользуясь формулой разности квадратов

   

и раскрывая скобки, упрощаем предел. Последний шаг – сокращение функции на

   

   

 

   

Ответ: -8

Пример №3

Задание

Решить предел с корнем

   

Решение

Подставляем

   

в предел и получаем неопределённость вида

   

Как и в предыдущих примерах, находим старшую степень для числителя и знаменателя, и выносим её за скобки.

   

И опять подставляем

   

в предел и решаем:

   

Ответ:

   

Пример №4

Задание

Вычислить предел корня:

   

Решение

Аналогично предыдущим примерам, подставляем

   

  в предел и видим:

   

Находим сопряженное, в данном случае это

   

Как и в примере №2, пользуясь формулой разности квадратов

   

и раскрывая скобки, упрощаем предел:

   

Раскрываем скобки и упрощаем. Затем выносим х за скобки и сокращаем:

   

Как и в начале, подставляем  в предел, получаем:

   

Ответ:

   

Пример №5

Задание

Вычислить предел функции

   

Решение

Если подставить х=1, видно, что и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Получаем неопределенность вида

   

Как и в предыдущих примерах, первым шагом находим сопряжённое –

   

и домножаем на него числитель и знаменатель.

   

Применяем правило разности квадратов

   

и преобразовываем предел:

   

   

Сокращаем числитель и знаменатель на (x-1) и приходим к конечному ответу:

   

Ответ: 6

Пример № 6

Задание

Вычислить предел:

   

Решение:

Первый шаг – подставить в предел выражение

   

и убедиться, что выходит неопределённость вида

   

Шаг второй – раскрываем нашу неопределенность путём умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение, в данном случае –

   

   

Далее, пользуясь формулой разности квадратов раскладываем числитель:

   

Подставляем х=3 в предел и вычисляем:

   

Ответ:

   

Пример №7

Задание

Вычислить предел

   

Решение

Как и в предыдущих заданиях, подставляем

   

и убеждаемся, что имеем дело с неопределённостью вида

   

Порядок действий стандартный. Избавляемся от иррациональности в знаменателе с помощью домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. В данном примере сопряжённое выражение имеет вид –

   

   

Перемножаем знаменатель и сокращаем в числителе и знаменателе

   

   

Подставляем, как и ранее, х=3 и находим ответ:

   

Ответ: 17,8

Пример №8

Задание

Определить предел функции

   

Решение

Смотрим на функцию, подставляем

   

мы имеем дело с неопределённостью вида:

   

Начинаем работать с функциями, содержащими корень. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение и упрощаем предел:

   

После преобразований получаем ответ:

   

Ответ: -2

Пример №9

Задание

Решить предел

   

Решение:

Подставляя

   

в выражение лимита, подтверждаем догадки, что перед нами неопределённость вида

   

Как и раньше, первый шаг – избавиться от иррациональности с помощью домножения числителя и знаменателя на соответствующее сопряженное выражение.

Раскрываем скобки и сокращаем выражения на

   

   

   

Неопределённости

   

больше нет и ничего нам не мешает вычислить пример:

   

Ответ:

   

Пример №10

Задание

Вычислить предел

   

Решение

Оба лимита числителя и знаменателя равны нулю, значит опять неопределённость вида

   

Находим сопряжённое к числителю и знаменателю число:

   

   

Домножаем на полученное выражение числитель и знаменатель, раскрываем скобки и упрощаем:

   

   

   

   

   

Раскладываем числитель и знаменатель:

   

   

Вычисляем предел:

   

   

Ответ:

   

Средняя оценка 4 / 5. Количество оценок: 4

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

18700

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Оценка пределов – методы, объяснение и примеры

На уроках предварительного исчисления и исчисления вас попросят оценить пределы различных функций. В этой статье основное внимание будет уделено общим методам, которые нам понадобятся для оценки пределов различных функций.

При оценке пределов используются различные методы, которые потребуют от нас обновления наших знаний об оценке, факторинге и рационализации факторов. Эти методы ускорят оценку пределов.

Поиск пределов может быть как простым, как оценка значений функций, так и сложным, например, манипулирование функциями, чтобы мы могли найти его предел.

В этом разделе мы изучим различные методы, которые помогут нам оценить пределы простых и сложных функций.

Вот некоторые приемы, которые мы изучим в этой статье:

  • Подстановка
  • Факторинг
  • Использование конъюгатов
  • Алгебраические манипуляции

Пределами тригонометрических функций также можно манипулировать с помощью специальных свойств, но мы написали отдельную статью. В большинстве этих методов используются алгебраические концепции, поэтому этот раздел также является отличным способом освежить наши прошлые знания.

Оценка пределов путем подстановки

Существует большое количество функций, пределы которых можно вычислить путем подстановки. В общем случае $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ можно определить, найдя $f(a)$. Это означает, что предел функции при приближении $x$ к $a$ можно вычислить, подставив $a$ в выражение функции. 92 + 12x – 20$ равно $-60$. Предел полиномиальных функций, вообще говоря, можно вычислить с помощью этой техники.

Аналогичный процесс можно применить и для других функций! Это звучит просто, верно? Итак, почему бы нам не использовать эту технику для всех функций?

Бывают случаи, когда мы оцениваем $f(a)$ и получаем $\dfrac{0}{0}$ и $\dfrac{k}{0}$, где $k$ — константа. Когда это произойдет, нам придется применить другие методы, чтобы найти предел данной функции.

Оценка пределов с помощью факторинга

Один из методов, который может помочь нам, когда замена невозможна, — это факторизация функции. Обычно мы используем это при нахождении пределов рациональных функций, но подстановка возвращает либо $\dfrac{0}{0}$, либо $\dfrac{k}{0}$, где $k$ — константа. 2 + 4x + 4} = \dfrac{1}{2}$.

Этот метод обычно применяется для $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$, где $f(x)$ — рациональная функция, а $a$ — корень $f(x)$’ с знаменатель.

Оценка пределов с помощью сопряженных функций

Другой метод, помогающий нам при оценке пределов, — это использование сопряженных функций и обращение рационализации функции.

Этот метод обычно используется, когда мы хотим найти $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ и работаем с функцией, которая содержит подкоренные выражения, а $a$ является корнем знаменателя. Чтобы применить эту технику, мы применим следующие шаги:

  • Найдите сопряженное число числителя.
  • Умножьте числитель и знаменатель на сопряженное.
  • Если новая функция не возвращает $\dfrac{0}{0}$, примените метод подстановки.

Давайте посмотрим на $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{x + 4}-2}{x}$?

$ \begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{x + 4}-2}{x} &= \dfrac{\sqrt{0 + 4}-2}{0} \\&=\dfrac{2 – 2}{0}\\&=\color{red} \dfrac{0}{0}\end{aligned}$ 92}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}\\&=\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x + 4 – 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2) }\\&=\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt{x + 4} + 2)}\\&=\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}\end{aligned}$

После того, как мы переписали функцию, чтобы она не возвращала неопределенное значение, теперь мы можем заменить $x = 0$ в новое выражение.

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}&= \dfrac{1}{\sqrt{{\color{blue}0 } + 4} + 2}\\&= \dfrac{1}{\sqrt{4}+2}\\&=\dfrac{1}{2 + 2}\\&=\dfrac{1}{4 } \end{выровнено}$

Это означает, что $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{x + 4}-2}{x} = \dfrac{1}{4}$, и мы смогли оценить предел, используя сопряжения числителя.

Оценка пределов с помощью алгебраических манипуляций

Бывают случаи, когда форма функции, представленная в задаче, должна быть изменена, прежде чем мы сможем найти предел функции. Если замена не применима к нашей задаче, мы можем сделать следующее:

  • Проверить, можем ли мы еще больше упростить числитель или знаменатель. 9n}$, где $n$ — высшая найденная степень.
  • Если числитель содержит дроби, умножьте и знаменатель, и знаменатель на наименьший общий знаменатель, общий для членов числителя.

В следующих примерах вы можете столкнуться с другими ситуациями, но вам не о чем беспокоиться. 2} – \ dfrac {1} {4}} {x – 2} $, когда $ x $ приближается к $ 2 $. 92 + 5х – 3 = 3$.

Второе выражение показывает рациональную функцию. У вас может возникнуть соблазн исключить факторы, но всегда проверяйте, применяется ли сначала метод замещения.
$\begin{align} \lim_{x \rightarrow -2} \dfrac{x – 1}{3x} &=\dfrac{{\color{blue}-2} – 1}{3{\color{blue }(-2)}}\\&= \dfrac{-3}{-6}\\&= \dfrac{1}{2} \end{aligned}$

б. Это означает, что $\lim_{x \rightarrow -2} \dfrac{x – 1}{3x} = \dfrac{1}{2}$.

Используя тот же процесс, давайте посмотрим на оцениваемый предел для третьего выражения. 94 – 81}{х – 3} = 108$.

Пример 3

Оцените предел $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 8} – 4}{x – 8}$, когда $x$ приближается к $8$.

Решение

Давайте сначала перепроверим и посмотрим, можем ли мы напрямую подставить $x = 3$ в выражение.

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 8}  \dfrac{\sqrt{x + 8} – 4}{x – 8} &= \dfrac{\sqrt{8 + 8} – 4}{ 8 – 8}\\&= \dfrac{4 – 4}{8 – 8}\\&=\color{red} \dfrac{0}{0}\end{aligned}$

Отсюда видно, что сначала нам нужно манипулировать $f(x)$. 2}{(x – 8)(\sqrt{x + 8} + 4)}\\&=\lim_{x \rightarrow 8}\dfrac{ x + 8 – 16}{(x – 8)(\ sqrt{x + 8} + 4)}\\&=\lim_{x \rightarrow 8}\dfrac{x -8}{(x – 8)( \sqrt{x + 8} + 4)} \end{aligned}$

Числитель был упрощен за счет использования разницы двух квадратов. Теперь, когда мы видим общий множитель $x – 8$, общий для числителя и знаменателя, мы можем сократить его, чтобы вычислить $\lim_{x \rightarrow 8} f(x)$ подстановкой.

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 8}\dfrac{\cancel{\color{blue}x-8}}{\cancel{\color{blue}(x-8)}(\sqrt {x + 8} + 4)}&= \lim_{x \rightarrow 8} \dfrac{1}{\sqrt{x + 8} + 4} \\\\ \lim_{x \rightarrow 8} \dfrac{ 1}{\sqrt{x + 8} +  4} &= \dfrac{1}{\sqrt{{\color{blue} 8} + 8} + 4}\\&=\dfrac{1}{\sqrt {16}+4}\\&=\dfrac{1}{8}\end{выровнено}$

Это означает, что $\lim_{x \rightarrow 8}  \dfrac{\sqrt{x + 8} – 4}{x – 8} = \dfrac{1}{8} $, и мы смогли оценить это с помощью обратная рационализация выражения.

Пример 4

Оцените предел $f(x) = \dfrac{\dfrac{x}{2-x} + \dfrac{3}{4}}{x + 6}$ как $x$ приближается к $-6$.

Решение

Мы не можем вычислить $\lim_{x \rightarrow -6} f(x)$ подстановкой, что подтверждается вычислениями, показанными ниже.

$ \begin{align} \lim_{x \rightarrow -6}  \dfrac{\dfrac{x}{2-x} + \dfrac{3}{4}}{x + 6}&= \dfrac{ \dfrac{\color{blue}-6}{2-\color{blue}(-6)} + \dfrac{3}{4}}{{\color{blue}(-6)} + 6}\ \&= \dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}}{-6 + 6}\\&=\color{red} \dfrac{0}{0}\end {aligned}$

Поскольку числитель состоит из двух дробей, мы можем сначала умножить числитель и знаменатель $f(x)$ на наименьший общий знаменатель $\dfrac{x}{2-x}$ и $\dfrac {3}{4}$, что равно $4(2 – x)$.

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow -6}  \dfrac{\dfrac{x}{2-x} + \dfrac{3}{4}}{x + 6} \cdot \dfrac{ \color{blue} 4(2 – x)}{\color{blue} 4(2 – x)}&= \lim_{x \rightarrow -6}  \dfrac{\dfrac{x}{2-x} \ cdot {\ color {синий} 4 (2 – x)} + \ dfrac {3} {4} \ cdot {\ color {синий} 4 (2 – x)}} {(x + 6) [{\ color { blue} 4(2 – x)}]} \\&=\lim_{x \rightarrow -6}  \dfrac{4x + 3(2 -x)}{4(x + 6)(2 – x)}\ end{aligned}$

Упростите новую форму числителя и посмотрите, содержит ли он общий делитель со знаменателем, чтобы исключить его.

$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow -6}  \dfrac{4x + 3(2 -x)}{4(x + 6)(2 – x)}&= \lim_{x \rightarrow -6}  \dfrac{4x + 6 – 3x}{4(x + 6)(2 – x)}\\&=\lim_{x \rightarrow -6}  \dfrac{4x + 6}{4(x + 6)(2 – x)}\\&=\lim_{x \rightarrow -6}  \dfrac{\cancel{\color{blue}4x + 6}}{4\cancel{\color{blue}(4x + 6)}(2 – x)}\\&=\lim_{x \rightarrow -6}  \dfrac{1}{4(2 – x)}\end{aligned}$

С новым выражением для $f (x)$, теперь мы можем вычислить $\lim_{x \rightarrow -6} f(x)$, найдя $f(-6)$.

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow -6}  \dfrac{1}{4(2 – x)} &= \dfrac{1}{4[2 – {\color{blue}(- 6)}]}\\&= \dfrac{1}{4(8)}\\&= \dfrac{1}{32}\end{aligned}$

Отсюда имеем $\lim_{x \ стрелка вправо -6}  \dfrac{\dfrac{x}{2-x} + \dfrac{3}{4}}{x + 6} = \dfrac{1}{32}$.

Этот конкретный пример показывает нам, насколько важно для нас применять алгебраические манипуляции для самых сложных функций, чтобы найти предел. Это означает, что нам нужно освоить все эти концепции, чтобы быстрее оценивать пределы.

Пример 5

Другим способом оценки пределов является использование таких технологий, как наши калькуляторы и графические утилиты. Постройте таблицу значений со значениями, близкими к $-6$, и сравните этот результат с нашим ответом в ответе 4. -6,01$

$x$

$-5,99$

$-5,9$

$ f (x) = \ dfrac {\ dfrac {x} {2-x} + \ dfrac {3} {4}} {x + 6} $

$ 0,03125 $

$ 0,03121 $

$? около $0,0313$. Это значение на самом деле имеет смысл, поскольку из примера 4 мы имеем $\lim_{x \rightarrow -6} f(x) = \dfrac{1}{32}$. Обратите внимание, что $\dfrac{1}{32} = 0,03125$, что близко к $0,0313$ (это также результат, когда мы оцениваем $\dfrac{1}{32}$ до трех знаков после запятой.

Это означает, что когда все остальное и методы неприменимы, мы также можем использовать технологию для оценки предела функции.