Примеры вычисления производной функции: Примеры решения производных с ответами - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Вычисление производных. Правила дифференцирования — методическая рекомендация. Алгебра, 10 класс.

1.	Главные формулы производной	1 вид – рецептивный	лёгкое	1 Б.	Задача на проверку знаний главных формул производной.
2.	Угловой коэффициент касательной	1 вид – рецептивный	лёгкое	1 Б.	График функции — парабола, задана абсцисса точки.
3.	Производная многочлена	2 вид – интерпретация	лёгкое	3 Б.	Вычисление производной многочлена.
4.	Производная функции, состоящей из слагаемых	2 вид – интерпретация	лёгкое	8 Б.	Нахождение производной функции, состоящей из нескольких слагаемых.
5.	Нахождение функции по производной	2 вид – интерпретация	среднее	1 Б.	Дана производная функции.
6.	Производная произведения функций в данной точке	2 вид – интерпретация	среднее	2 Б.	Вычисление производной произведения функций в данной точке.
7.	Производная частного функций в данной точке	2 вид – интерпретация	среднее	2 Б.	Вычисление производной частного функций в данной точке.
8.	Производная тригонометрических функций	2 вид – интерпретация	среднее	1 Б.	Вычисление производной тригонометрических функций.
9.	Производная сложной функции	2 вид – интерпретация	среднее	2 Б.	Нахождение призводной сложной функции.
10.	Производная сложной тригонометрической функции	2 вид – интерпретация	среднее	2 Б.	Нахождение производной сложной тригонометрической функции.
11.	Производная третьего порядка	2 вид – интерпретация	среднее	1 Б.	Вычисление и понятие производной n-ого порядка.
12.	Производная функции в данной точке	2 вид – интерпретация	среднее	2 Б.	Вычисление производной функции в данной точке.
13.	Вычисление аргумента функции	3 вид – анализ	сложное	3 Б.	Используется запись в виде интервала и с модулем. Производная функции принимает положительные значения.
14.	Производная сложной функции в неравенстве	3 вид – анализ	сложное	1 Б.	Задана обратная и сложная функция.

Производная произведения и частного

3 февраля 2015

В этом уроке мы продолжаем изучать производные функций и переходим к более сложной теме, а именно, к производным произведения и частного. Если вы смотрели предыдущий урок, то наверняка поняли, что мы рассматривали лишь самые простые конструкции, а именно, производную степенной функции, суммы и разности. {\prime }}=1\cdot \left( \sqrt[3]{x}-1 \right)+x\frac{1}{3\sqrt[3]{x}}= \\& =\sqrt[3]{x}-1+\sqrt[3]{x}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}-1 \\\end{align}\]

Ответ найден.

Зачем раскладывать производные на множители?

Только что мы использовали несколько очень важных математических фактов, которые сами по себе не имеют отношения к производным, однако без их знания все дальнейшее изучение этой темы просто не имеет смысла.

Во-первых, решая самую первую задачу и, уже избавившись от всех знаков производных, мы зачем-то начали раскладывать это выражение на множители.

Во-вторых, решая следующую задачу, мы несколько раз переходили от корня к степени с рациональным показателем и обратно, при этом используя формулу 8-9-го класса, которую стоило бы повторить отдельно.

По поводу разложения на множители ― зачем вообще нужны все эти дополнительные усилия и преобразования? На самом деле, если в задаче просто сказано «найти производную функции», то эти дополнительные действия не требуются. Однако в реальных задачах, которые ждут вас на всевозможных экзаменах и зачетах, просто найти производную зачастую недостаточно. Дело в том, что производная является лишь инструментом, с помощью которой можно узнать, например, возрастание или убывание функции, а для этого требуется решать уравнение, раскладывать его на множители. И вот здесь этот прием будет очень уместен. Да и вообще, с функцией, разложенной на множители, гораздо удобней и приятней работать в дальнейшем, если требуются какие-то преобразования. Поэтому правило № 1: если производную можно разложить на множители, именно так и стоит поступать. И сразу правило № 2 (по сути, это материал 8-9-го класса): если в задаче встречается корень n-ной степени, причем, корень явно больше двух, то этот корень можно заменить обычной степенью с рациональным показателем, причем в показателе появится дробь, где n― та самая степень ― окажется в знаменателе этой дроби.

Разумеется, если под корнем присутствует какая-то степень (в нашем случае это степень k), то она никуда не девается, а просто оказывается в числителе этой самой степени. {2}}+4}\], читатель вправе ожидать графических выкладок, т. е., графиков, построений и т. д., но, ни в коем случае, не аналитических преобразований.

Еще хотел бы обратить ваше внимание на одну особенность оформления задач, которые мы сегодня рассматриваем. Многие ученики считают, что я привожу слишком подробные выкладки, и многие из них можно было бы пропустить или просто решить в уме. Однако именно такая подробная запись позволит вам избавится от обидных ошибок и значительно увеличит процент правильно решенных задач, например, в случае самостоятельной подготовки к контрольным или экзаменам. Поэтому если вы еще неуверенны в своих силах, если вы только начинаете изучать данную тему, не спешите ― подробно расписывайте каждый шаг, выписывайте каждый множитель, каждый штрих, и очень скоро вы научитесь решать такие примеры лучше, чем многие школьные учителя. Надеюсь, это понятно. Давайте посчитаем еще несколько примеров.

Несколько интересных задач

На этот раз, как мы видим, в составе вычисляемых производных присутствует тригонометрия. {\prime }}$ можно рассматривать и как производную частного, и как производную степенной функции. При этом если все вычисления выполнены верно, то ответ всегда получится одним и тем же. Во-вторых, при вычислении производных, содержащих и переменную, и константу, принципиально важным является то, где находится переменная ― в числителе или в знаменателе. В первом случае, когда переменная находится в числителе, мы получаем простую линейную функцию, которая элементарно считается. А в случае, если переменная стоит в знаменателе, то мы получаем более сложное выражение с сопутствующими выкладками, приведенными ранее.

На этом урок можно считать законченным, поэтому если вам что-то непонятно по производным частного или произведения, да и вообще, если у вас есть любые вопросы по этой теме, не стесняйтесь ― заходите на мой сайт, пишите, звоните, и я обязательно постараюсь вам помочь.

Сами по себе производные ― тема отнюдь не сложная, но очень объемная, и то, что мы сейчас изучаем, будет использоваться в будущем при решении более сложных задач. Именно поэтому все недопонимания, связанные с вычислениями производных частного или произведения, лучше выявить немедленно, прямо сейчас. Не когда они представляют собой огромный снежный ком недопонимания, а когда представляют собой маленький теннисный шарик, с которым легко разобраться.

Смотрите также:

Вводный урок по вычислению производных степенной функции
Простое определение производной функции
Тест по теории вероятностей (1 вариант)
Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
Упрощаем решение задач с помощью замены переменной
Задача B4 с таблицами: тарифы на интернет

Примеры вычисления производных

Содержание:

Примеры вычисления производных

Примеры вычисления производных. В качестве примера мы вычислим производные нескольких элементарных функций. 1°.Во-первых, обратите внимание на очевидные последствия. если y= c = cn $ 1, то DY = 0, Ddg, y = 0, если y = xy, Lu = Ax и Y = 1. = 5К * хТочно так же СЗС * Х. Если Y C1PX, то Y = D— = * 6 АП * х.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Исчисление I – формулы дифференцирования

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-3: Формулы дифференцирования

В первом разделе этой главы мы увидели определение производной и вычислили пару производных, используя это определение.Как мы видели в этих примерах, для вычисления пределов потребовалось изрядное количество работы, а функции, с которыми мы работали, были не слишком сложными.

Для более сложных функций использование определения производной было бы практически невыполнимой задачей. К счастью для нас, нам не придется слишком часто использовать это определение. Нам придется иногда использовать его, однако у нас есть большой набор формул и свойств, которые мы можем использовать, чтобы значительно упростить нашу жизнь и позволят нам по возможности избегать использования определения.\ prime} = f ‘\ left (x \ right) \ pm g’ \ left (x \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ mbox {OR} \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {d} {{dx} } \ left ({f \ left (x \ right) \ pm g \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {{df}} {{dx}} \ pm \ frac {{dg}} { {dx}} \)

Другими словами, чтобы дифференцировать сумму или разность, все, что нам нужно сделать, это дифференцировать отдельные термины, а затем снова сложить их вместе с соответствующими знаками. Также обратите внимание, что это свойство не ограничивается двумя функциями.

См. Раздел «Доказательство различных формул производных» в главе «Дополнительно», чтобы увидеть доказательство этого свойства.\ prime} = cf ‘\ left (x \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ mbox {OR} \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {d} {{dx}} \ left ({cf \ left (x \ right)} \ right) = c \ frac {{df}} {{dx}} \), \ (c \) – любое число

Другими словами, мы можем «вынести» мультипликативную константу из производной, если нам нужно. См. Раздел Доказательство различных формул производных в главе Дополнительные возможности, чтобы увидеть доказательство этого свойства.

Обратите внимание, что мы не включали здесь формулы для производной от произведений или частных двух функций.Производная продукта или частное двух функций не является продуктом или частным производных отдельных частей. Мы рассмотрим это в следующем разделе.

Затем давайте кратко рассмотрим пару основных «вычислительных» формул, которые позволят нам фактически вычислить некоторые производные.

Формулы

Если \ (е \ влево (х \ вправо) = с \), то \ (\ displaystyle f ‘\ left (x \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ mbox {OR} \ hspace {0.{n – 1}} \), \ (n \) – любое число.
Эту формулу иногда называют правилом мощности . Все, что мы здесь делаем, это опускаем исходную экспоненту вперед и умножаем, а затем вычитаем единицу из исходной экспоненты.
Также обратите внимание, что для использования этой формулы \ (n \) должно быть числом, оно не может быть переменной. Также обратите внимание, что основание, \ (x \), должно быть переменной, а не числом. В некоторых последующих разделах будет заманчиво неправильно использовать правило мощности, когда мы запускаем некоторые функции, в которых показатель степени не является числом и / или основание не является переменной.
См. Раздел «Доказательство различных формул производных» в главе «Дополнительно», чтобы увидеть доказательство этой формулы. {- \, \, \ frac {7} {5}}} \ конец {выравнивание *} \]
Убедитесь, что вы умеете работать с дробными показателями.{\ sqrt 2 – 1}} \]
Ответ немного запутанный, и мы не будем сокращать показатели до десятичных знаков. Однако эта проблема не так уж и сложна, просто так выглядит изначально.
Существует общее правило относительно деривативов этого класса, которое вам необходимо выработать в привычку использовать. Когда вы видите радикалы, вы всегда должны сначала преобразовать радикал в дробную экспоненту, а затем максимально упростить показатели. Следование этому правилу сэкономит вам много горя в будущем.2}} \ right) \) Показать решение
В этой функции мы не можем просто дифференцировать первый член, дифференцировать второй член, а затем умножить два обратно вместе. Это просто не сработает. Мы обсудим это подробно в следующем разделе, поэтому, если вы не уверены, что верите в это, подождите немного, и мы скоро рассмотрим это, а также покажем вам пример того, почему это не сработает. 3}}} + 4 \) увеличивается, уменьшается или не изменяется в \ (х = – 2 \)? Показать решение
Мы знаем, что скорость изменения функции задается производной функции, поэтому все, что нам нужно сделать, это переписать функцию (чтобы иметь дело со вторым членом), а затем взять производную.4}}} \]
Обратите внимание, что мы переписали последний член производной обратно как дробь. Это не то, что мы делали до сих пор, и делается здесь только для того, чтобы помочь с оценкой на следующем этапе. Часто бывает проще провести оценку с положительными показателями.
Итак, вычислив производную, получаем
\ [f ‘\ left ({- 2} \ right) = 6 \ left (4 \ right) – \ frac {{900}} {{16}} = – \ frac {{129}} {4} = – 32,25 \]
Итак, при \ (x = – 2 \) производная отрицательна, и поэтому функция убывает при \ (x = – 2 \).
Пример 4 Найдите уравнение касательной к \ (f \ left (x \ right) = 4x – 8 \ sqrt x \) в точке \ (x = 16 \). 2} – 7t + 10} \ right) = 6 \ left ({t – 2 } \ right) \ left ({t – 5} \ right) \]
Причина факторинга производной станет очевидной в ближайшее время.
Теперь нам нужно определить, где производная положительна, а где отрицательна. Есть несколько способов сделать это. Мы предпочитаем следующий метод.
Поскольку многочлены непрерывны, мы знаем из теоремы о промежуточном значении, что если многочлен когда-либо меняет знак, то он должен сначала пройти через ноль. Итак, если бы мы знали, где производная равна нулю, мы бы знали единственные точки, в которых производная могла бы изменить знак .
Из факторизованной формы производной видно, что производная будет равна нулю при \ (t = 2 \) и \ (t = 5 \). Изобразим эти точки на числовой прямой.
Теперь мы видим, что эти две точки делят числовую прямую на три отдельные области. В каждой из этих областей мы, , знаем , что производная будет того же знака. Напомним, что производная может изменить знак только в двух точках, которые используются для разделения числовой линии на регионы.
Следовательно, все, что нам нужно сделать, это проверить производную в контрольной точке в каждой области, и производная в этой области будет иметь тот же знак, что и контрольная точка. Вот числовая линия с показанными контрольными точками и результатами.
Вот интервалы, в которых производная положительна и отрицательна.
\ [\ begin {array} {rl} {{\ mbox {positive:}}} & {- \ infty
Мы включили сюда отрицательные \ (t \), потому что мы могли бы, даже если они могут не иметь большого смысла для этого проблема.Как только мы это узнаем, мы также сможем ответить на вопрос. Объект перемещается вправо и влево в следующие интервалы.
\ [\ begin {array} {rl} {{\ mbox {движется вправо:}}} & {- \ infty
Убедитесь, что вы можете выполнять ту работу, которую мы только что проделали в этом примере. В течение следующих двух глав вас будут неоднократно просить определить, где функции являются положительными и / или отрицательными. Если вам нужен обзор или вы хотите попрактиковаться в решении подобных задач, вам следует заглянуть в раздел «Устранение неравенств» в «Обзоре алгебры / триггера».
Страница не найдена | CUHK Математика
×
Предупреждающее сообщение
В вашем поиске используется слишком много выражений И / ИЛИ. В этот поиск были включены только первые 7 терминов. ×
Сообщение об ошибке
Запрошенная страница не существует. Для вашего удобства поиск был выполнен с использованием запроса курс OR builder OR 1415 OR math2010e OR 1010e OR 20week OR 204 OR pdf .
1. MATh2010E – Университетская математика – 2014/15
  https: // www.math.cuhk.edu.hk/course/1415/math2010e
  Курс Имя: Университетский преподаватель математики: Проф. Мартин Ман Чун LI Курс Год: 2014/15 Срок: 1 Объявление . .. будет включать материалы и объявления ТОЛЬКО по математике 1010E . Пожалуйста, регулярно проверяйте наличие курса материалов, общих для всех разделов …
2. MATh2010E – Университетская математика – 2017/18
  https: // www.math.cuhk.edu.hk/course/1718/math2010e
  Курс Имя: Университетский Учитель математики: Доктор Ханвул BAE Курс Год: 2017/18 Срок: 1 …
3. Предварительная подготовка с сохранением структуры для удаления размытия изображения на основе кадра
  https://www.math.cuhk.edu.hk/seminars/structure-preserving-preconditioning-frame-based-image-deblurring
  Дата: пятница, 11 января 2019 г. – 14:15 – 15:00 Место проведения: LSB LT3 Тип семинара:… italian-cuhk_workshop_on_imaging_science_and_optimization. pdf …
4. Полностью нелинейное неравенство следа Соболева
  https://www.math.cuhk.edu.hk/seminars/fully-nonlinear-sobolev-trace-inequality
  Дата: среда, 20 июля 2016 г. – 13:15 – 14:15 Место проведения: LSB 222 Тип семинара: Семинар … Университетский плакат: s160720_wang_yi. pdf …
5. Методы доверительной области для минимизации конечной суммы
  https://www.math.cuhk.edu.hk/seminars/trust-region-methods-finite-sum-minimization
  Дата: пятница, 11 января 2019 г. – 13:30 – 14:15 Место проведения: LSB LT3 Тип семинара: … italian-cuhk_workshop_on_imaging_science_and_optimization. pdf …
6. Конференция
  https://www.math.cuhk.edu.hk/research/conference
  … Профессор К.Ф. Нг как празднование его выхода на пенсию) 14-15 декабря 2006 г. Первая международная летняя школа на …
7. MATh2010E – Университетская математика – 2018/19
  https://www.math.cuhk.edu.hk/course/1819/math2010e
  Курс Имя: Университетский Учитель математики: Д-р Бочен LIU Курс Год: 2018/19 Срок: 1. ..
8. MATh2010E – Университетская математика – 2021/22
  https://www.math.cuhk.edu.hk/course/2122/math2010e
  Курс Имя: Университетский Учитель математики: Проф. Лю ЛИУ Курс Год: 2021/22 Срок: 1 …
9. MATh2010E – Университетская математика – 2019/20
  https://www.math.cuhk.edu.hk/course/1920/math2010e
  Курс Имя: Университетский Учитель математики: Др.Марк Цзинцзин XIAO Курс Год: 2019/20 Срок: 1 …
10. MATh2010E – Университетская математика – 2015/16
  https://www.math.cuhk.edu.hk/course/1516/math2010e
  Курс Имя: Университетский Учитель математики: Доктор Чи Хин LAU Курс Год: 2015/16 Срок: 1 …
Кто-нибудь может объяснить концепцию деривативов?
Это очень обширный вопрос.Честно говоря, это сложно объяснить в двух словах.
По определению, производная функции – это мгновенная скорость изменения # x # в любой точке этой функции. 10 #
Пример 2: Определить производную #y = 2sqrt (x + 8) #
Во-первых, давайте дифференцируем # sqrt # с помощью правила цепочки.cosx xx -ln2sinx #
Пример 5: Определить уравнение касательной к кривой #y = cscx # в точке #x = (11pi) / 6 #
Касательная линия к кривой означает прямую, которая касается кривой только один раз в данной точке.
Нам нужно начать с поиска точки касания. Это делается путем вычисления #x = a #, где # a # – заданная точка в функции.
#y = csc ((11pi) / 6) #
#y = 1 / (sin ((11pi) / 6)) #
#y = 1 / (- 1/2) #
#y = -2 #
Далее нам нужно различать.2x #
#y ‘= – (cosx / sinx) (1 / sinx) #
#y ‘= -cotxcscx #
Далее нам нужно определить наклон касательной. Это можно найти, вычислив #x = a # в производной.
#y = -cot ((11pi) / 6) xx csc ((11pi) / 6) #
#y = – (- sqrt (3)) xx -2 = -2sqrt (3) #
Последним шагом к решению подобных проблем является определение уравнения линии с использованием формы точечного уклона.
#y – y_1 = m (x – x_1) #
#y – (-2) = -2sqrt (3) (x – (11pi) / 6)) #
#y + 2 = -2sqrt (3) x + (11pisqrt (3)) / 3 #
#y = -2sqrt (3) x + (11pisqrt (3) – 6) / 3 #
Есть и другие приложения к производным, но этот ответ уже очень длинный, поэтому я оставлю его другим участникам, чтобы объяснить построение кривых и приложения, связанные с оптимизацией, биологическими науками, экономикой и геометрическими фигурами.
Надеюсь, этот обзор просветил вас в области математических вычислений и оказался полезным.
Производные степенных функций – Задача 1
Формула для нахождения производной степенной функции f (x) = x ⁿ: f ‘(x) = nx ^(n-1). Например, если f (x) = x ³, то f ‘(x) = 3x ². Когда степенная функция имеет коэффициент, n и этот коэффициент умножаются вместе при нахождении производной.Если g (x) = 4x ², то g ‘(x) = 2 * 4x ¹ = 8x. Радикальные функции или функции с квадратными корнями также являются степенными функциями. Квадратный корень из x, например, такой же, как x ^(1/2). При нахождении производной еще раз используйте формулу: производная x ^(1/2) равна (1/2) x ^{(1 / 2-1)} = (1/2) x ^{(-1 / 2)}. Напомним, что степенные функции с отрицательными показателями равны делению на степенную функцию с положительным показателем.Одним из примеров этого является h (x) = x ^(-5) = 1 / (x ⁵). Чтобы найти производную функции с отрицательными показателями, просто используйте формулу: h ‘(x) = – 5x ^(-5-1) = -5x ^-6 = -5 / (x ⁶). Важно помнить, что вы вычитаете 1 из степени n.
Мы говорим о производной степенной функции. У нас есть формула: производная по x, от x до n, равна n раз x до n минус 1. Так что это действительно простая формула.
Начнем с простого примера. Давайте вычислим производную x² по x. Таким образом, показатель степени 2 выйдет вперед в 2 раза. Потом заменяю на 1 меньше. 1 меньше 2 равно 1, поэтому это 2x. Легкий. Как насчет этого? От X до 15. Производная будет от 15x до 14.
Здесь важно распознавать степенные функции, даже если они не записаны в форме степенной функции. Это то же самое, что производная по x от x до -2.Таким образом, вы все еще можете применить здесь правило степенной функции. Впереди выходит -2, и у вас x2 на единицу меньше. Теперь на единицу меньше -2 получается -3. Так что это то же самое, что позвольте мне написать здесь -2 над x³.
Наконец, производная по x. Вы также можете использовать это для радикальных функций, потому что это также степенные функции. Это то же самое, что производная по x от x до 1/3.
Итак, вы берете силу, 1/3, которая выходит впереди. Вы заменяете его на один меньше. Теперь меньше 1/3 – это -2/3. Вы можете это упростить. Если вашему учителю не нравятся отрицательные показатели или ему не нравятся дробные показатели, вы можете записать его как 1/3, 1 над x и 2/3. Если им не нравятся дробные показатели, помните, что x до 2/3 равно 1 на 3 кубического корня из x².
Итак, помните, что производная степенной функции равна nx до n минус 1, где n – исходный показатель степени.
Business Calculus
Аппроксимация касательной линии
Когда мы впервые подумали о производной, мы использовали наклон секущих линий на крошечных интервалах для аппроксимации производной: \ [f ‘(a) \ приблизительно \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { f (x) -f (a)} {xa} \]
Теперь, когда у нас есть другие способы нахождения производных, мы можем использовать это приближение, чтобы пойти другим путем.Решите приведенное выше выражение для \ (f (x) \), и вы получите аппроксимацию касательной:
Аппроксимация касательной линии (TLA) (или
Линейная аппроксимация )
Чтобы приблизить значение \ (f (x) \) с помощью TLA, найдите некоторое \ (a \), где
1. \ (a \) и \ (x \) – это близко, и
2. Вы знаете точные значения как \ (f (a) \), так и \ (f ‘(a) \).
Тогда \ [f (x) \ приблизительно f (a) + f ‘(a) (x-a). \]
Другой способ взглянуть на ту же формулу: \ [\ Delta y \ приблизительно f ‘(a) \ Delta x \]
Насколько близко? Это зависит от формы графика \ (f \).В общем, чем ближе, тем лучше.
Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5
Попробуйте сами с помощью этого апплета (нажмите кнопку рядом с L (x), если строка не отображается):
Пример 1
Предположим, мы знаем, что \ (g (20) = 5 \) и \ (g ‘(20) = 1.4 \). Используйте эту информацию для аппроксимации \ (g (23) \) и \ (g (18) \).
Используя приближение касательной: \ [\ begin {align *} г (23) \ приблизительно & 5 + (1.4) (23-20) = 9,2 \\ г (18) \ приблизительно & 5 + (1,4) (18-20) = 2,2 \ конец {выравнивание *} \]
Обратите внимание, что мы не знаем, близки ли эти приближения – но они лучшее, что мы можем сделать с ограниченной информацией, с которой мы должны начать. Также обратите внимание, что 18 и 23 как бы близки к 20, поэтому мы можем надеяться, что эти приближения довольно хороши. Мы бы чувствовали себя более уверенно, используя эту информацию для приблизительного значения \ (g (20.003) \). Мы чувствовали бы себя очень неуверенно, используя эту информацию для приближения \ (g (55) \).
Эластичность
Мы знаем, что функции спроса уменьшаются, поэтому, когда цена растет, объем спроса уменьшается. Но как насчет выручки = цена \ (\ раз \) количество? Когда рост цен упадет, выручка упадет из-за того, что спрос сильно упал? Или выручка вырастет, потому что спрос не сильно упал?
Эластичность спроса – это мера того, как спрос реагирует на изменение цен. Он нормализован – это означает, что конкретные цены и количества не имеют значения, и все учитывается как процентное изменение.Формула эластичности спроса включает производную, поэтому мы и обсуждаем ее здесь.
Эластичность спроса
Учитывая функцию спроса, которая дает \ (q \) через \ (p \) (так \ (q = D (p) \)), эластичность спроса составляет \ [\ begin {align *} E & = \ left | \ frac {p} {q} \ cdot \ frac {dq} {dp} \ right | \\ & = \ left | \ frac {p \ cdot D ‘(p)} {D (p)} \ right | \ конец {выравнивание *} \]
Обратите внимание, что, поскольку спрос [обычно] является убывающей функцией от \ (p \), производная [обычно] отрицательна. Вот почему у нас есть абсолютное значение: так, что \ (E \) всегда будет положительным. Это означает, что мы также можем записать \ (E \) как \ (- \ dfrac {p} {q} \ cdot \ dfrac {dq} {dp} \) или \ (- \ dfrac {p \ cdot D ‘(p) } {D (p)} \). С этими формами будет легче работать, решая, когда \ (E = 1 \).
- Если \ (E \ lt 1 \), мы говорим, что спрос неэластичен. В этом случае повышение цен увеличивает доход.
- Если \ (E \ gt 1 \), мы говорим, что спрос эластичен. В этом случае повышение цен снижает доход.
- Если \ (E = 1 \), мы говорим, что спрос унитарный.\ (E = 1 \) в критических точках функции дохода.
Интерпретация эластичности
Если цена увеличится на 1%, спрос снизится на E%.
Пример 2
Компания продает \ (q \) намотчиков ленты в год по цене $ \ (p \) за намоточную машину. Функция спроса для намотчиков ленты определяется выражением \ (p = 300-0,02q \). Найдите эластичность спроса при цене 70 долларов за штуку. Приведет ли рост цены к увеличению выручки?
Во-первых, нам нужно решить уравнение спроса, чтобы оно давало \ (q \) через \ (p \), чтобы мы могли найти \ (\ frac {dq} {dp} \): \ (p = 300 -0.02q \), поэтому \ (q = 15000-50p \). Тогда \ (\ frac {dq} {dp} = – 50 \).
Нам нужно найти \ (q \), когда \ (p = 70 \): \ [q = 11500. \]
Теперь вычислим \ [E = \ left | \ frac {p} {q} \ cdot \ frac {dq} {dp} \ right | = \ left | \ frac {70} {11500} \ cdot (-50) \ right | \ около 0,3 \]
\ (E \ lt 1 \), поэтому спрос неэластичен. Повышение цены на 1% вызовет падение спроса только на 0,3%. Повышение цены приведет к увеличению выручки, поэтому кажется, что компания должна увеличить свою цену.
Спрос на продукты, которые люди должны покупать, например лук, обычно неэластичен. Даже если цена вырастет, людям все равно придется покупать примерно такое же количество лука, и выручка не упадет. Спрос на продукты, без которых люди могут обойтись или отказаться от покупки, такие как автомобили, как правило, эластичен. 2 \) при цене \ (p \) долларов.2 = & 400 \\ p = & \ sqrt {\ frac {400} {3}} \ приблизительно 11,55. \ конец {выравнивание *} \]
Цена 11,55 долларов США максимизирует доход.
Производная формула функции. Стандартные обозначения, производные от некоторых… | Фикри Муляна Сетиаван | Math Simplified
Исчисление для всех
Стандартные обозначения, производная некоторых общих функций и цепное правило для дифференцирования
Как я объяснил в предыдущей статье, основная тема производных / дифференциалов – это скорость изменения.И, как вы знаете, скорость изменения представлена градиентом функции на графике . То есть, чем больше градиент функции, тем быстрее изменяется значение функции.
В предыдущей статье мы видели, что градиент функции в точке может быть выражен как f ’(x). f ’(x) также показывает скорость изменения функции f (x). f ’(x) – это то, что мы назвали производной / дифференцированием f (x).
Перед тем, как перейти к следующему обсуждению, вы должны знать, что существует специальное обозначение, которое может заменить формулу для производной выше. ∆x обозначается как dx, а f (x + ∆x) -f (x) обозначается как df (x) или dy. буква d в dx и dy представляет изменение значения , заменяя символ ∆x. использование этого обозначения с буквой d также приводит к записи limit x-> 0 больше не требуется, потому что буква d в dx сама по себе представляет очень небольшое изменение от x. Итак, мы можем сказать, что f ’(x) = dy / dx. Это обозначение означает « делить очень маленькое значение y на очень маленькое значение x ».
Это обозначение f ’(x) = dy / dx – это то, что мы будем часто использовать в дальнейшем в дифференциале.Икс.
4. Производная f (x) = ln x
Из приведенного выше расчета мы знаем, что производная ln x равна 1 / x.
С помощью приведенной выше формулы нам очень легко вычислить производную функции. Например, легко вычислить производную x². Но как насчет производной от (x + 3) ²? Это просто, нам просто нужно расширить его, вычислив (x + 3) (x + 3) как обычно. А как насчет производной от (x + 3) ⁵⁶? Вы все еще хотите его расширить? Нет, вы потратите слишком много времени.К счастью, у нас есть цепное правило, чтобы решить эту проблему.
Вот утверждение, которое я процитировал с khanacademy.org:
Цепное правило гласит, что производная от f (g (x)) равна f ’(g (x)) ⋅g’ (x). Другими словами, это помогает нам различать * составные функции *. Например, sin (x²) является составной функцией, потому что ее можно построить как f (g (x)) для f (x) = sin (x) и g (x) = x².
Итак, цепное правило можно использовать для получения составной функции. Если вы забыли, составная функция – это просто функция, в которой есть другая функция.Общая форма – это f (g (x)), где функция g (x) становится областью определения функции f (x). Примером может служить функция (x + 3) ⁵⁶ ранее. Функция g (x) здесь g (x) = x + 3 и f (x) = x⁵⁶. Тогда как использовать цепное правило для производных сложных функций? Это просто. Предположим, вы хотите получить функцию f (g (x)). Чтобы вычислить производную, вы должны вывести функцию f (g (x)) относительно g (x), а затем умножить на производную функции g (x) по x. Для функции f (g (h (x))) метод тот же.Выведите функцию f (g (h (x))) относительно g (h (x)), затем умножьте результат на производную g (h (x)) по h (x). Затем результат умножается на производную h (x) по x. Это правило применяется, потому что в основном, поскольку производная (dy / dx) – это всего лишь дробь, мы можем разбить ее на более мелкие дроби следующим образом:
Какая производная от (x + 3) ⁵⁶?
Какова производная следующей функции f (x)?
Цепное правило – объяснение и примеры
Цепное правило – это метод нахождения производной составных функций или функций, созданных путем комбинирования одной или нескольких функций.2 \). Удивительное количество функций можно рассматривать как составные, и ко всем из них можно применить цепное правило.
Содержание
1. Как работает формула цепного правила
2. Примеры применения цепного правила
3. Сводка
объявление
Как работает формула цепного правила
Цепное правило гласит, что если \ (h \) и \ (g \) – функции и \ (f (x) = g (h (x)) \), то
Это выглядит сложным, поэтому давайте разберемся с ним. Основная функция \ (f (x) \) формируется путем подключения \ (h (x) \) к функции \ (g \). Вы можете думать о \ (g \) как о «внешней функции», а \ (h \) как о «внутренней функции». Используя цепное правило, если вы хотите найти производную основной функции \ (f (x) \), вы можете сделать это, взяв производную внешней функции \ (g \), а затем умножив ее на производную от внутренняя функция \ (h \). Другими словами, вы находите производную от \ (f (x) \), находя производную от его частей.
Примеры использования правила цепочки
Применяя правило цепочки, мы всегда будем сосредотачиваться на выяснении того, какие функции «снаружи» и «внутри» являются в первую очередь.2-2x + 1} \). Все это составные функции, и для каждой из них цепное правило было бы лучшим подходом к нахождению производной.
Подпишитесь на нашу рассылку новостей!
Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.
Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!
Связанные
.