Приращение функции производная: Приращение аргумента. Приращение функции — урок. Алгебра, 10 класс.

Приращение функции

Понятие приращения аргумента и приращения функции.

Пусть x – произвольная точка, ледащая в некоторой окрестности фиксированной точки x0. разность x – x0 называется приращение независимой переменной ( или приращением аргумента) в точке x0 и обозначается Δx. Таким образом, 

Δx = x –x0,

откуда следует, что

x = x0 + Δx.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента x0 получило приращение Δx. Вследствие этого значение функции f изменится на величину 

f(x) – f(x0) = f (x0 +Δx) – f(x0).

Эта разность называется приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т.е. по определению 

Δf = f (x0 + Δx) – f (x0),

откуда 

f (x) = f (x0 +Δx) = f (x0) + Δf.

При фиксированном x0 приращение Δf есть функция от Δx. Δf называют также приращение зависимой переменной и обозначают через Δy для функции y = f(x) .

Определение непрерывной в точке функции через приращение.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:

lim

x → x0

 f(x) = f(x0),

(1)

т.е.

” O( f(x0) )     $ O(x0) :     x О O(x0) Ю f(x) О O( f(x0) ) .

Определение производной функции в точке.

Пусть в некоторой окрестности точки   определена функция   Производной функции   в точке   называется предел, если он существует,

Геометрический смысл производной и дифференциала.

Если функция у = f(x) дифференцируема в точке x0, то ее производная в этой точке равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ох, а дифференциал равен приращению ординаты касательной

f'(x0) = tg a.

Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Уравнение касательной имеет вид: У = f'(x0) • (x – x0) + f(x

0) Если функция у = f(x) имеет в точке x0бесконечную производную, то ее касательной является вертикальная прямая х = х0. Под нормалью к кривой понимается прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания. Если f'(x0)   0, то уравнение нормали имеет вид:

Понятие дифференцируемости функции в точке.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δ

y=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A — некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)– бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости .

Теорема Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную. Доказательство  Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx.

Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A. Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: Δ

xΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

Связь свойств дифференцируемости и непрерывности .

Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке. Справедливость утверждения следует из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx и limΔx→0Δy=0, а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.  Обратное утверждение не верно.

Например, функция y=∣x∣  непрерывна в точкеx=0, но не дифференцируема в этой точке.  Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.

Дифференциал функции. Физический смысл производной.

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

  Обозначается dy или df(x)

Производная функции пути по времени есть мгновенная скорость материальной точки в момент времени х:

v(x) = f'(x).

Поскольку dy = f'(x)dx = v(x)dx, то дифференциал функции пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за бесконечно малый промежуток времени dx, если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной скорости в момент времени х. Вторая производная функции пройденного пути также имеет простой смысл – это мгновенное ускорение точки в данный момент времени

a(x)=v'(x) = f”(x).

Производная суммы, разности, произведения и частного функций (все с доказательством кроме последнего).

Производная суммы (разности) функций

Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) – дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) – дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

Производная сложной функции .

“Двухслойная” сложная функция записывается в виде

где u = g(x) – внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.  Если f и g – дифференцируемые функции, то сложная функция   также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции.

Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции – в точке u = g(x)

Определение логарифмической производной функции.

Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная ее логарифма.   тогда производная функции y=f(x) может быть найдена так: 

1*. Понятие приращения функции и понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.

Если y=f(x) опреелена на X, xo

∈X, а x= xo+∆x ∈X, то ∆x= x- xo– приращение аргумента,

∆у= ∆f(xo) = f(xo+∆x) – f(xo) – приращение функции

Производная функцией f(x) по независимой переменной x в точке xo– предел отношения преращения ф-ии ∆f(xo) к приращению аргумента ∆x при ∆x→0, если этот предел существует.

F’(xo) =

Геометрически производная = угловому коэффициенту ксательной к графику функции в точке xo: k= tg’α=f’(xo), α-угол наклона касательной.

Уравнение касательной в ее точке пересечения с кривой y(x) (в т.A(xo, yo)): y- yo= f’(xo)(x- xo)

Уравнение нормали: y- yo =

f’(xo) характеризует скорость изменения f(x) в точке xo – мгновенная скорость.

2. Определения касательной и нормали и их уравнения.

Касательная к кривой y(f) в точке M0(x0, f(x0)) – предельное положение секущей MN при неограниченном приближении N по кривой к M.

y-f(x0)= f’(x0)(x-x0) – ур-е касательной

Производная- это tg угла наклона (угл. коэфф) касательной к кривой y= f(x) в точке (x0;f(x0))

K=tgα= f’(x0), α-угол наклона касательной

Н ормаль к кривой y(f) в точке M0(x0, f(x0))- прямая, прохожящая через M и перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.

k2=1/k1

y-f(x0)= -1/ f’(x0) * (x-x0)

f’(x0) характеризует скорость изменения ф-ии f(x) в точке x0– мгновенная скорость.

3*. Правила вычисления производных с демонстрацией на конкретных примерах.

Y=f(x)

Y’=f’(x)

1

C

0

2

xm

mxm-1

3

ax(0<a≠1)

axlna

ex

ex

4

logax (0<a≠1)

1/x logae

lnx

1/x

5

sinx

cosx

6

cosx

-sinx

7

tgx

1/cos2x

8

ctgx

-1/sin2x

9

arcsinx

1/√1-x2

10

arccosx

-1/√1-x2

11

arctgx

1/1+x2

12

arcctgx

-1/1+x2

12

√x

1/2√x

1)(CU)’= C*U’

2)(U±V)’= U’±V’

3)(UV)’=U’V+UV’

4)(U/V)=U’V-UV’ / V2

4*.

Производная сложной функции с демонстрацией на конкретных примерах.

Если функция u=f(x) имеет в некоторой точке x производную (∃u’x=u’(x))

Если y=f(u) имеет в соответствующей точке u производную (∃y’u= f’(u))

то y = f(u(x))в точке х также будет иметь производную, равную произведению производной u’(х) и y'(u) ф-й f(u) и u(x).

Y’x= y’u*u’x

5 . Производная обратной функции с демонстрацией на конкретных примерах.

Пусть

  1. Ф-я f(x) в точке x= x0 имеет конечную и отличную от нуля производную ∃f'(x0)≠0

  2. Для нее существует однозначная обратная ф-я ∃x=g(y), непрерывная в соответствующей точке y=y0, где y0=f(x0)

Тогда ∃ g'(y0) =

y’x= x’y= f’(x0)=tgα, α- угол наклона кас. к ОХ;

g’(y0)=tgβ, β- угол наклона кас. к ОY

α +β=П/2, tgβ=1/ tgα

Пр. y=, y’x=?. ∃x=, x’y=, y’x=1/ x’y=1/ 1/x*.

Производная

(метод приращения) — ежедневное руководство по математике

Главная » ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ , Производная с использованием метода приращения » Производная (метод приращения)

Производная с использованием метода приращения

Это основная концепция математических изменений. Говоря о производных, это просто говорит о том, что мы разбираем вещь, чтобы увидеть ее части. Обычно в качестве наглядного примера учителя приводят буханку хлеба, нарезанную только для того, чтобы посмотреть, что внутри. На самом деле их много. Все, что приближается к концу, является примером природы дифференциального исчисления. Обратите внимание, что даже при питье воды 100% приближаются к нулю, когда стакан пуст. Но самый яркий пример — это что-нибудь визуальное. Мы представляем метод приращения на этой странице. Это немного сложно, поэтому просто расслабьтесь.

Этот тип математики требует знакомства с алгеброй. Так как операции чисто алгебраические.

Мы подготовили основные математические примеры ниже. Мы постарались выделить части так, чтобы это не мешало вашему зрению. Есть три иллюстративных примера с подсказками и добавленными примерами задач с решениями для дальнейшей практики. Если вы заметили опечатку, сообщите нам об этом здесь. Давайте начнем!

Иллюстративные примеры

Найдите первую производную методом приращения.

1.)

, Отмените все темные зеленые

, .           , 

        

        , ответ


2.)

, помните y как заданное уравнение, n?

, компенсировать аналогичные условия

,

, ответ


3. )

, это y есть данное уравнение.

, подставив значение y

, Компенсация Darkgreen Color


, Cross Out

,

, Ответ

, Ответ

0404040402, .
Примеры задач с решениями:

Найдите первую производную методом приращения.
Эти задачи можно найти в учебнике «Дифференциальное и интегральное исчисление Лава и Рейнвилля»

, y из данного уравнения

замените значение 
y

, , удалив круглые скобки, и соберите/компенсируйте аналогичные термины.

, компенсировать все красным цветом

, зачеркнуть

,

,  ответ



 ,

  ,  answer

 ,

,  ответ



,

, Ответ



,

,

, Ответ

Стоимость. 0006

Найдите первую производную методом приращения.

Нажмите, чтобы продолжить


Нажмите, чтобы продолжить

Нажмите, чтобы продолжить
.0039

Простая викторина:

Найдите первую производную методом приращения.

Итак, какое самое сложное число вы думаете? Расскажите нам, разместив свой комментарий здесь!

Примечание: Если вы обнаружите ошибки, сообщите нам об этом в разделе «Оставить комментарий» ниже.

Свяжитесь с нами: Pinterest, Facebook, Twitter, Gmail, Instagram, Tumblr

Связанные ссылки: Деривативные алгебраические функции
Вторые производные
Алгебраический факторинг
Биномиальные операции
, как и в отличие от терминов

Посетите дно и кнопку Select, чтобы поделиться : «Для наших услуг!

Оставить комментарий

 

Инкременты и дифференциация


Разрывы

Предварительное исчисление и введение в теорию вероятностей

Общая формула

ПРИРАЩИВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЦИЯ

В этом разделе мы расширим обсуждение пределов и изучить идею производной, основу дифференциального исчисления. Мы предположим, что у нас есть конкретная функция x, такая что

Если x присвоено значение 10, соответствующее значение y будет (10) 2 или 100. Теперь, если мы увеличим значение x на 2, сделав это 12, мы можем назвать это увеличение на 2 приращением или Икс. Этот приводит к увеличению значения y, и мы можем назвать это увеличение приращение или у. От это мы пишем

Когда x увеличивается с 10 до 12, y увеличивается со 100 до 144 так что

и

Нас интересует соотношение поскольку предел этого отношения как Икс приближается к нулю является производной от

у = f(X)

Как вы помните из обсуждения лимитов, как х это сделал меньше, ты получаешь также меньше. Для нашей задачи отношение приближается к 20. Это показано на таблица 4-1.

Таблица 4-l.-Значения уклона

Мы можем использовать гораздо более простой способ найти, что предел как x стремится к нулю, в данном случае равно 20. Мы иметь два уравнения

и

Расширив первое уравнение так, чтобы

и вычитая из этого второе, получаем

Разделив обе части уравнения на х дает

Теперь, принимая предел как Икс приближается к нулю, дает

Таким образом,

ПРИМЕЧАНИЕ. Уравнение (1) является одним из способов выражения производной у по отношению к х.

Оставить комментарий