Ответ. $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln x}{\operatorname{ctg} x}=0$
Замечание
Правило Лопиталя распространяется и на случай $x \rightarrow \infty$. Чтобы убедится в этом, достаточно сделать замену $x=\frac{1}{t}$ и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.
Замечание
Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.
Замечание
Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями $\left[\frac{0}{0}\right]$ и $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$, неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание.
{2}}}=$
$=a \lim _{x \rightarrow \infty} \cos \frac{a}{x}=a \cdot \cos 0=a$
Ответ. $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \sin \frac{a}{x}\right)=a$
Читать дальше: основные неопределенности и способы их раскрытия.
21. Правила лопиталя
Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или.
Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.
Если и, то ;
Если и, то аналогично .
Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенностиможно свести к типуилис помощью алгебраических преобразований. А неопределенностисводятся к типус помощью соотношения
Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.
22. Признаки монотонности функции
Функция
монотонна повсюду, если она непрерывна,
а её производная в существует в любой
точке и не равна нулю, либо равна нулю
повсюду.
Что равносильно тому, что
функция повсюду возрастает, убывает
или является константой.
Пусть функция у = f(x) определена и дифференцируема в интервале ]а, Ь[.
Для того чтобы функция f(x) была неубывающей (невозраста-ющей) в интервале ]а, Ъ[, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках интервала ]а, Ь[ производная f'(x) > 0 (/'(*) < 0).
Для того чтобы функция f(x) была строго возрастающей (строго убывающей) в интервале ]а,Ь[, достаточно, чтобы во всех точках интервала ]а, Ь[ производная f'(x) > 0
23.Достаточные условия локального экстремума
1. Случай функции одной переменной. Заметим, что максимум или минимум дифференцируемой функции может находиться лишь в ее критической точке (необходимое условие экстремума).
Пусть х0 – критическая (стационарная) точка функции y = f(x) (т.е. внутренняя точка области ее определения, в которой производная равна нулю). Тогда можно сформулировать следующие достаточные условия существования экстремума в этой точке:
а)
Пусть функция дифференцируема в некоторой
окрестности U точки х0, не содержащей
других критических точек.
Тогда:
если при переходе через точку х0 производная f ‘ меняет свой знак с плюса на минус, х0 – точка (локального) максимума функции;
если при переходе через точку х0 производная меняет свой знак с минуса на плюс, х0 – точка (локального) минимума функции;
если при переходе через точку х0 производная не меняет свой знак, в точке х0 нет экстремума.
б) Пусть в точке х0 существует вторая производная функции f, f ”(x0), не равная нулю. Тогда:
если f’’(x0) > 0, х0 – точка (локального) минимума функции;
если f’’(x0) < 0, х0 – точка (локального) максимума функции.
в) Пусть в точке х0 функция дифференцируема n раз, причем f’ (x0)= f ”(x0)= f ”'(x0)……,
а f(n)(x0) ≠ 0. Тогда:
– если n четно и f(n)(x0) < 0, то х0 – точка (локального) максимума функции;
– если n четно и f(n)(x0) > 0, то х0 – точка (локального) минимума функции;
– если n нечетно, в точке х0 нет экстремума.
Конечно,
в любой ситуации применяется наиболее
удобный признак.
2. Случай функции двух переменных. Пусть функция двух переменных z = f(x; y) дифференцируема в некоторой окрестности точки М(х0; у0), дважды дифференцируема в самой точке М и при этом точка М – стационарная (критическая), т.е. полный дифференциал функции в этой точке равен нулю (что эквивалентно равенству нулю обеих частных производных функции, z’x и z’y, в этой точке).
Введем следующие обозначения:
Тогда:
– если АС – В2 > 0, то функция имеет в точке М локальный экстремум, причем в случае А > 0 минимум, а при A < 0 – максимум;
– если АС – В2 < 0, в точке М экстремума нет;
– случай АС – В2 = 0 требует дополнительного исследования.
Исчисление– Когда правило Лопиталя не работает?
Изменено 8 лет, 1 месяц назад
Просмотрено 36 тысяч раз
$\begingroup$
Эта мысль пришла мне в голову во время семинара по математике.
{n}(x)$ равны нулю для любого $n$, поэтому правило «не работает». Как правильно ответить на вопрос? 9{+}}\frac{f”(x)}{f”(x)}\cdots =\frac{0}{0}=?
$$
поскольку цепочка не останавливается, если ученик верно и слепо применяет правило. Это глупый пример, но в целом для неаналитических функций, я думаю, такое может случиться. И неаналитических функций должно быть больше, чем аналитических. Есть ли способ решить эту проблему на вводном уровне исчисления, чтобы учащийся знал, что делать, не вводя «запутанных понятий», таких как язык $\epsilon-\delta$, теорема Коши о среднем значении, ряды Тейлора и бесконечно малые числа? 9+} -х = 0$.
В обеих этих задачах решение заключалось в использовании базовой алгебры вместо простого правила Лопиталя. Методы, изучаемые в рамках вводного исчисления, не решат все предельные проблемы в мире, но они решат проблемы, встречающиеся во вводном исчислении. Для студентов важно знать множество техник и научиться определять, какие из них будут работать для данной проблемы.
$\endgroup$
$\begingroup$
Априорное правило Госпиталя не должно быть волшебным правилом для разрешения ограничений; вы можете записать каждый предел во вселенной как отношение двух функций, и если эти две функции окажутся бесконечно дифференцируемыми неаналитическими функциями, как ваша, то применение правила Лопиталя не принесет большой пользы.
На начальном уровне математического анализа наиболее важно для учащихся не выучить все эти правила наизусть и записать их на бумаге (что полезно для получения оценок, но для большинства из них совершенно бесполезно за пределами класса), а скорее использовать их 92} – \frac 1x}$.
И да, с такими функциями всегда будут проблемы ; может быть хорошим упражнением, чтобы придумать функции, предел которых может существовать, но его трудно вычислить.
Надеюсь, это поможет,
$\endgroup$
7
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
Исчисление. Работает ли правило Лопиталя для -inf/inf?
спросил
Изменено 7 лет, 3 месяца назад
Просмотрено 8к раз
$\begingroup$
Если у вас неопределенная форма:
- $\frac{-\infty}\infty$
- $\frac\infty{-\infty}$
- $\frac{-\infty}{-\infty}$
применимо ли правило Лопиталя?
- исчисление
- реальный анализ
- пределы
$\endgroup$
$\begingroup$ 9+} -х = 0$.
$\endgroup$
$\begingroup$
L’Hopital можно использовать во всех случаях, когда в знаменателе стоит $\infty$; неважно, что делает числитель.