Производная 4x 2: Mathway | Популярные задачи

2

Содержание

Урок по математике на тему “Производная сложной функции”

Ф.219

Технологическая карта (план) урока № 17

Группа

Дата

1 осн.ФО-2

10.04.14

Дисциплина: Математика

Тема курса: Производная и ее приложение

Тема урока: Производная сложной функции

Требования предъявляемые к уровню подготовленности обучающихся

Базовые компетенции

Уметь проявлять способности к непрерывныму самообразованию и модернизации профессиональной квалификации, участвовать в коллективном принятии решения по вопросам выбора наиболее эффективных путей выполнения работы; выполнять конкретные актуальные подходы алгоритмизации и способы решения поставленной задачи; выполнять конкретные актуальные подходы алгоритмизации и способы решения поставленной задачи; выполнять конкретные задачи и планировать свою деятельность с учетом поставленной цели

Цели урока

Обучающая

Выработать навыки решения задач на вычисление производной тригонометрических функций, обратных тригонометрических, степенной, показательной и логарифмической функций.

воспитательная

Привитие настойчивости, умения в достижении цели, развитие разносторонних интересов личности; умение аргументировать свою точку зрения.

Развивающая

Развитие логики, умение анализировать, планировать свою учебную деятельность, логически излагать свои мысли

Межпредметные связи

Обеспечивающие

Математика. Тема курса: Производная и ее приложение

Обеспечиваемые

Алгебра и начала анализа

Оборудование урока

Наглядные пособия

Учебный материал, интерактивная доска, презентация к уроку

Технические средства обучения

Интерактивная доска

Литература: основная

1)Алгебра и начала анализа. А.Е.Абылкасымова 10 сынып

2)Курс математики для техникумов часть 1.

Н.М.Матвеев,

Москва 1977

3)Алгебра және анализ бастамалары. Ә.Н.Шыныбеков 10 сынып, Алматы «Атамұра» 2006

Дополнительная

1)Математика. А.А.Дадаян, Москва 2004

2)Жоғары математика. О.М.Жолымбаев, Г.Е.Берікханова,Э.Т.Бахтинова, Алматы-2004

Содержание урока

№ эле-мента

Элементы урока, учебные вопросы,

формы и методы обучения

Дополнения, изменения

1.

Организационный момент (2 мин):

– Приветствие обучающихся

– Проверка готовности учебной аудитории к учебным занятиям

– Проверка готовности обучающихся к учебно-практической

деятельности

– Проверка отсутствующих, заполнение учебного журнала

– Постановка цели и хода урока

2

Проверка домашнего задания (10 мин):

Задача 1.

Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования частного :

Затем, так же как и выше, вычислим производные в числителе. Искомая производная:

Задача 2. Найти производную функции

Решение. Данная функция является сложной степенной функцией

промежуточным аргументом которой служит

Поэтому, дифференцируя по формулам для сложной степенной функции и частного функций , получим

3.

Актуализация знаний (20 мин):

Решение задач по основным формулам производной показательных и логарифмических функций.

4

Решение задач по основным формулам производной сложной функций (23 мин)

5

Кроссворд (10 мин) :

6.

Разминка (10 мин):

1)Что такое производная?

Ответ: Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления,

определяется как предел разностного отношения.

2)Геометрический смысл производной в каком уравнение выражается?

Ответ: Выражается в уравнение касательной

3) Вопрос: В механическом смысле первая производная пути по времени это?

Ответ:Скорость

4) Вопрос:

Как по другому называют точки экстремума и минимума?

Ответ: Критические точки производной

5) Вопрос: В чем состоит способ логарифмического дифференцирования?

Ответ: Состоит в том что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем

производную самой функции

6) Вопрос: Чему равна производная постоянной?

Ответ: 0

7) Производная функции это – ………

а) уравнение

б) рисунок

в) функция

8) Производная функции в точке это – ……….

а) уравнение

б) число

в) функция

9) Если производная всюду равна нулю, то функция обязательно ……..

а) всюду равна нулю

б) постоянна

в) линейно

7.

Домашнее задание (2 мин)

1.Алгебра и начала анализа.А.Е.Абылкасымова 10 класс

150(б),№152(б,в)

8

Подведение итогов урока (3 мин):

Оценивание обучающихся

Преподаватель __________ Мамаева.А.Т.

Дисциплина: Математика

Тема курса: Производная и ее приложение

Тема урока: Производная тригонометрических функций, степенной, показательной и логарифмической функций.

Оборудование урока: компьютер, презентация к уроку

Ход урока

1. Организационный момент.

Преподаватель формулирует тему и цели урока. Студенты записывают число и тему урока в тетрадях. Преподаватель проверяют состав обучающихся

2. Проверка домашнего задания :

Задача 1. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования частного :

Затем, так же как и выше, вычислим производные в числителе. Искомая производная:

Задача 2.

Найти производную функции

Решение. Данная функция является сложной степенной функцией

промежуточным аргументом которой служит

Поэтому, дифференцируя по формулам для сложной степенной функции и частного функций , получим

3. Актуализация знаний.

Решение задач по основным формулам производной показательных и логарифмических функций.

Производная логарифмической функции

КАРТОЧКА № 1

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = ln (1 – 3x).

  2. y =  .

  3. y = log3 x2.

  4. y =.

КАРТОЧКА № 2

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = ln (2 + 3x).

  2. y =  .

  3. y = 5log3 2x.

  4. y =.

КАРТОЧКА № 3

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = ln (2 –2x).

  2. y =  .

  3. y =2 log4 3x.

  4. y =.

КАРТОЧКА № 4

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = ln (1 + 4x).

  2. y =  .

  3. y = 3log2 5x.

  4. y =.

КАРТОЧКА № 5

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = ln (1 – 5x).

  2. y = x2 log3 x.

  3. y =  .

  4. y =.

КАРТОЧКА № 6

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = ln (6x +2).

  2. y = x3 log2 x .

  3. y =.

  4. y =.

КАРТОЧКА № 7

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = ln (1 – 6x).

  2. y =  log2 x .

  3. y =.

  4. y =.

КАРТОЧКА № 8

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = ln (2 – 4x).

  2. y =  log3 x .

  3. y =.

  4. y =.

КАРТОЧКА № 9

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = ln (2 + 9x).

  2. y = ln x cos x .

  3. y =.

  4. y = 2  4x.

КАРТОЧКА № 10

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = ln (1 – 9x).

  2. y = sin x lg x .

  3. y =.

  4. y = 3  5x.

Производная показательной функции

КАРТОЧКА № 1

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = 5ex + 1.

  2. y = 3 · 2x .

  3. y = ex sin x.

  4. y = 7 cos 3x.

КАРТОЧКА № 2

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = 2ex + 3.

  2. y = 5 · 3x .

  3. y = ex cos x.

  4. y = 53x sin 2x.

КАРТОЧКА № 3

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = 3ex + 4.

  2. y = 5 · 6x .

  3. y = ex .

  4. y = 3 tg x.

КАРТОЧКА № 4

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = 2ex – 5.

  2. y = 2 · 3x .

  3. y =· ex.

  4. y = 2ctg x.

КАРТОЧКА № 5

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = 5ex – 2.

  2. y = 2 · 4x .

  3. y = sin x · e2x.

  4. y =· 2.

КАРТОЧКА № 6

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = 2ex + 7.

  2. y = 3 · 7x .

  3. y = cos x · e2x.

  4. y=· 32x+1.

КАРТОЧКА № 7

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = 2x + 3ex .

  2. y = x3 · ex .

  3. y = 5 · 2

  4. y = 52x tg x.

КАРТОЧКА № 8

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = 3x2 + 4ex .

  2. y = x4 · ex .

  3. y = 2 · 5.

  4. y = ctg x · 33x.

КАРТОЧКА № 9

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = 2x3 + 2ex .

  2. y = 3· e1-2x .

  3. y = 4x2 · 35x+1 .

  4. y = sin x · 34x.

КАРТОЧКА № 10

Найдите производную функции (1-4).

  1. y = – 3x2 + 4ex +2.

  2. y = 6· e2-3x .

  3. y = x3 · 42-5x .

  4. y = cos x · 5.

4.Решение задач по основным формулам производной сложной функций

1. y = ln x2.


2. y = ln2 x.


3. y = cosx3.


4. y = cos(3x + 2).


5. y = sin3x.


6. y = 3cos x.


7. y = ln sin x.


8

8. y = ln ln x.


9

5.Кроссворд

Вопросы кроссворда:

  1. Французский математик 17 века Пьер Ферма определял эту линию так:
    “Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности
    заданной точки ”. (касательная)

  2. Раздел механики, изучающий механическое движение тел в пространстве с течением времени. (кинематика)

  3. Приращение какой переменной обычно обозначатся х. (аргумент)

  4. Если существует предел в точке а и этот предел равен значению функции в точке а, то в этой точке функцию называют… (Подсказка: график такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша без отрыва от бумаги.) (непрерывная)

  5. Что является мерой изменения механической энергии?

  6. Эта величина определяется как производная скорости по времени. (ускорение)

  7. Если функцию f(x) можно представить в виде y=f(x)=g(h(x)), где y=g(t), t=h(x) – некие функции, то функцию называют.. . (сложная)

Кроссворд заполнен, и мы по горизонтали читаем слово “Лагранж”.

С именем Лагранжа связана такая операция математического анализа, как нахождение производной. Обратимся к истории появления в математике термина “ производная”. Небольшая историческая справка-сообщение об ученых Лагранже, Ньютона, Декарте, Ферма, Лейбнице

В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин “производная”, ему же мы обязаны и современным обозначением производной
(с помощью штриха). Термин “вторая производная” и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж.

Задача определения скорости прямолинейного неравномерного движения была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной, производную же – флюксией. Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксий ещё в середине 60-х годов XVII в.

Первый общий способ построения касательной к алгебраической кривой был изложен в “Геометрии” Декарта. Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной к кривой в некоторой точке.

6. Разминка

1)Что такое производная?

Ответ: Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления,

определяется как предел разностного отношения.

2)Геометрический смысл производной в каком уравнение выражается?

Ответ: Выражается в уравнение касательной

3) Вопрос: В механическом смысле первая производная пути по времени это?

Ответ:Скорость

4) Вопрос:

Как по другому называют точки экстремума и минимума?

Ответ: Критические точки производной

5) Вопрос: В чем состоит способ логарифмического дифференцирования?

Ответ: Состоит в том что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем

производную самой функции

6) Вопрос: Чему равна производная постоянной?

Ответ: 0

7) Производная функции это – ………

а) уравнение

б) рисунок

в) функция

8) Производная функции в точке это – ……….

а) уравнение

б) число

в) функция

9) Если производная всюду равна нулю, то функция обязательно ……..

а) всюду равна нулю

б) постоянна

в) линейно

Домашнее задание

1.Алгебра и начала анализа. 1Алгебра және анализ бастамалары. Ә.Н.Шыныбеков 10 сынып, Алматы «Атамұра» 2006

№ 462

Подведение итогов урока.

Оценивание обучающихся

Преподаватель ___________ Мамаева А.Т.

Тест по теме: «Производная функции»

Тест для текущего контроля учащихся 10 класса или

студентов 1 курса СПО

Текущий контроль знаний используется для оперативного и регулярного управления учебной деятельностью (в том числе самостоятельной) студентов. Текущий контроль успеваемости осуществляется в течение семестра, в ходе повседневной учебной работы по индивидуальной инициативе преподавателя. Данный вид контроля стимулирует у студентов стремление к систематической самостоятельной работе по изучению дисциплины.

Методические указания. На выполнение тестов для текущего контроля отводится 30 мин. К каждому заданию с выбором ответа даны четыре варианта ответа, из которых нужно выбрать один верный.

Критерии оценивания. Каждое верно выполненное задание оценивается в 1 балл.

Оценка

Кол-во баллов

Процент верных ответов

Отлично

10

100%

Хорошо

8 – 9

80-90%

Удовлетворительно

6-7

60-70%

Неудовлетворительно

менее 6

50%

Тема: «Производная функции»

Выберите один правильный ответ:

Вариант 1

1. Найдите производную функции y(х) = x4+ 3×3 + 4.

1) 4×3 + 9×2 + 5

2) 4×3 + 9×2 + 4x

3) 4×2 + 3×2 

4) 4×3 + 9×2

2. Производная функции F(x) =  cos5x равна:

1) -5sin 5x

2) 5cos (- 5x)

3) 5xsin 5x

4) 5xcos(- 5x)

3. Найдите значение производной функции при х=1

1) 0,5

2) -1

3) -0,5

4) 1

4. Производная функции f(x) = равна:

  1. f’ (x) =

    f’ (x) =

    f’ (x) =

    4. f’ (x) =

    5. Вычислите значение производной функции в точке .

    1)

    16

    2)

    64

    3)

    – 16

    4)

    – 64

    6. Найдите производную функции .


     

    7. Найдите производную функции .

    8. Найдите производную функции .

    9. К графику функции в точке с абсциссой проведена касательная. Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ.


     

    10. Найти производную функции:

    1)

    2)

    3)

    4)

    Вариант 2

    1. Производная функции y(х) = x3+ 2×5 -6 равна:

    1) 3×3 + 10×4 + 6

    2) x3 + 10×2 -6х

    3) x2 + 3×4

    4) 3×3 + 10×4-6


     

    2. Производная функции F(x) = sin(3x) равна:

    1) 3cosx

    2) 3xsin3x

    3) cos3x

    4) xcos3x

    3. Найдите значение производной функции при х=2

    1) 2

    2) 26

    3) 22

    4) 1

    4. Найти производную функции

    1)

    2)

    3)

    4)

    5. Найдите значение производной функции в точке с абсциссой .

    6. Найдите производную функции


     

    7. Найдите производную функции .

    8. Найдите производную функции .


     

    9. К графику функции в точке с абсциссой проведена касательная. Найдите абсциссу точки графика касательной, ордината которой равна 31.

    10. Найти производную функции

    1)

    2)

    3)

    4)

    Мэтуэй | Популярные задачи

    1 Найти производную – d/dx бревно натуральное х
    2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
    3 Найти производную – d/dx е^х
    4 Оценить интеграл интеграл от e^(2x) по x
    5 Найти производную – d/dx 1/х
    6 Найти производную – d/dx х^2
    7 Найти производную – d/dx 1/(х^2)
    8 Найти производную – d/dx грех(х)^2
    9 Найти производную – d/dx сек(х)
    10 Оценить интеграл интеграл от e^x по x
    11 Оценить интеграл интеграл от x^2 относительно x
    12 Оценить интеграл интеграл квадратного корня из x относительно x
    13 Найти производную – d/dx соз(х)^2
    14 Оценить интеграл интеграл от 1/х по отношению к х
    15 Оценить интеграл интеграл от sin(x)^2 по x
    16 Найти производную – d/dx х^3
    17 Найти производную – d/dx сек(х)^2
    18 Оценить интеграл интеграл от cos(x)^2 по x
    19 Оценить интеграл интеграл от sec(x)^2 по x
    20 Найти производную – d/dx е^(х^2)
    21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
    22 Найти производную – d/dx грех(2x)
    23 Найти производную – d/dx тан(х)^2
    24 Оценить интеграл интеграл от 1/(x^2) относительно x
    25 Найти производную – d/dx 2^х
    26 График натуральное бревно
    27 Найти производную – d/dx cos(2x)
    28 Найти производную – d/dx хе^х
    29 Оценить интеграл интеграл 2х по отношению к х
    30 Найти производную – d/dx (натуральный логарифм x)^2
    31 Найти производную – d/dx натуральный логарифм (x)^2
    32 Найти производную – d/dx 3x^2
    33 Оценить интеграл интеграл от xe^(2x) по x
    34 Найти производную – d/dx 2е^х
    35 Найти производную – d/dx натуральное бревно 2x
    36 Найти производную – d/dx – грех(х)
    37 Найти производную – d/dx 4x^2-x+5
    38 Найти производную – d/dx y=16 Корень четвертой степени из 4x^4+4
    39 Найти производную – d/dx 2x^2
    40 Оценить интеграл интеграл от e^(3x) по x
    41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
    42 Найти производную – d/dx 1/(корень квадратный из х)
    43 Оценить интеграл интеграл от e^(x^2) по x
    44 Оценить е^бесконечность
    45 Найти производную – d/dx х/2
    46 Найти производную – d/dx -cos(x)
    47 Найти производную – d/dx грех(3x)
    48 Найти производную – d/dx 1/(х^3)
    49 Оценить интеграл интеграл от tan(x)^2 относительно x
    50 Оценить интеграл интеграл от 1 по х
    51 Найти производную – d/dx х^х
    52 Найти производную – d/dx х натуральное бревно х
    53 Найти производную – d/dx х^4
    54 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из (3x-5)/(x-3)
    55 Оценить интеграл интеграл x^2 натуральный логарифм x относительно x
    56 Найти производную – d/dx f(x) = квадратный корень из x
    57 Найти производную – d/dx х^2sin(x)
    58 Оценить интеграл интеграл от sin(2x) по x
    59 Найти производную – d/dx 3е^х
    60 Оценить интеграл интеграл от xe^x по x
    61 Найти производную – d/dx у=х^2
    62 Найти производную – d/dx квадратный корень из x^2+1
    63 Найти производную – d/dx грех(х^2)
    64 Оценить интеграл интеграл от e^(-2x) по x
    65 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня из х по отношению к х
    66 Найти производную – d/dx е^2
    67 Найти производную – d/dx х^2+1
    68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
    69 Найти производную – d/dx угловой синус(х)
    70 Оценить предел предел, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x
    71 Оценить интеграл интеграл от e^(-x) по x
    72 Найти производную – d/dx х^5
    73 Найти производную – d/dx 2/х
    74 Найти производную – d/dx бревно натуральное 3x
    75 Найти производную – d/dx х^(1/2)
    76 Найдите производную – d/[email protected] f(x) = квадратный корень из x
    77 Найти производную – d/dx соз(х^2)
    78 Найти производную – d/dx 1/(х^5)
    79 Найти производную – d/dx кубический корень из x^2
    80 Оценить интеграл интеграл от cos(x) по x
    81 Оценить интеграл интеграл от e^(-x^2) по x
    82 Найдите производную – d/[email protected] ф(х)=х^3
    83 Оценить интеграл интеграл от 0 до 10 от 4x^2+7 относительно x
    84 Оценить интеграл интеграл от (натуральный логарифм x)^2 по отношению к x
    85 Найти производную – d/dx лог х
    86 Найти производную – d/dx арктан(х)
    87 Найти производную – d/dx бревно натуральное 5x
    88 Найти производную – d/dx 5е^х
    89 Найти производную – d/dx cos(3x)
    90 Оценить интеграл интеграл от x^3 относительно x
    91 Оценить интеграл интеграл от x^2e^x относительно x
    92 Найти производную – d/dx 16 Корень четвертой степени из 4x^4+4
    93 Найти производную – d/dx х/(е^х)
    94 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из arctan(e^x)
    95 Оценить интеграл интеграл от (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x
    96 Найти производную – d/dx 3^х
    97 Оценить интеграл интеграл от xe^(x^2) по x
    98 Найти производную – d/dx 2sin(x)
    99 Оценить сек(0)^2
    100 Найти производную – d/dx натуральный логарифм x^2

    3.

    8 Неявное дифференцирование – Исчисление Том 1

    Цели обучения

    • Найдите производную сложной функции, используя неявное дифференцирование.
    • Используйте неявное дифференцирование для определения уравнения касательной.

    Мы уже изучали, как находить уравнения касательных к функциям и скорость изменения функции в конкретной точке. Во всех этих случаях мы имели явное уравнение для функции и явно дифференцировали эти функции.Предположим вместо этого, что мы хотим определить уравнение касательной к произвольной кривой или скорость изменения произвольной кривой в точке. В этом разделе мы решаем эти проблемы, находя производные функций, которые неявно определяются в терминах .

    В большинстве дискуссий по математике, если зависимая переменная является функцией независимой переменной , мы выражаем через . Если это так, мы говорим, что это явная функция . Например, когда мы пишем уравнение , мы определяем явно в терминах . С другой стороны, если отношение между функцией и переменной выражается уравнением, где не выражается полностью через , мы говорим, что уравнение определяет неявно через . Например, уравнение неявно определяет функцию.

    Неявное дифференцирование позволяет нам находить наклоны касательных к кривым, которые явно не являются функциями (они не проходят тест вертикальной линии). Мы используем идею о том, что части являются функциями, которые удовлетворяют данному уравнению, но на самом деле не являются функцией от .

    В общем случае уравнение неявно определяет функцию, если эта функция удовлетворяет этому уравнению. Уравнение может неявно определять множество различных функций. Например, функции

    , , и , проиллюстрированные на (Рисунок), являются лишь тремя из множества функций, неявно определенных уравнением .

    Рисунок 1. Уравнение неявно определяет многие функции.

    Если мы хотим найти наклон линии, касательной к графику в точке , мы можем вычислить производную функции в точке . С другой стороны, если нам нужен наклон касательной в точке , мы могли бы использовать производную от . Однако не всегда легко решить функцию, неявно заданную уравнением. К счастью, техника неявного дифференцирования позволяет нам найти производную неявно определенной функции без явного решения этой функции. Процесс поиска с использованием неявного дифференцирования описан в следующей стратегии решения задач.

    Использование неявного дифференцирования

    Предполагая, что неявно определяется уравнением , найти .

    Решение

    Следуйте шагам стратегии решения проблем.

    Использование неявного дифференцирования и правила произведения

    Предполагая, что неявно определяется уравнением , найти .

    Решение

    Использование неявного дифференцирования для нахождения второй производной

    Найти, если .

    Найти для определяется неявно уравнением .

    Решение

    Ключевые понятия

    • Мы используем неявное дифференцирование, чтобы найти производные неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями).
    • Используя неявное дифференцирование, мы можем найти уравнение касательной к графику кривой.

    Глоссарий

    неявное дифференцирование
    – это метод вычисления функции, определяемой уравнением, который достигается путем дифференцирования обеих частей уравнения (не забывая рассматривать переменную как функцию) и решения для
    .

    Математическая сцена – Производные – Урок 2

    Математическая сцена – Производные – Урок 2 – Дифференцирующие многочлены

    2009 Расмус Эф и Джанн Сак

    Производные

    Урок 2  

    Дифференцирующие многочлены

     


    Наклон касательной меняется в зависимости от формула функции, обычно называемая f(x), и точка, в которой касательная касается кривой.

    Три разных касательных в трех разных цвета были нарисованы на приведенной выше диаграмме. Красный тангенс, для например, касается график f(x) только в одной точке (0,1). Градиент касательной равен можно найти, вычислив среднюю скорость изменения или градиент на бесконечном небольшой интервал вокруг точки (0, 1).

    Теперь мы собираемся найти общий метод или формула для нахождения градиента в любой точке функции.Эта формула или новой функции, называется производной исходной функции. Когда мы найдем это мы говорим, что мы дифференцируем функцию. Производная f (x) равна пишется с использованием апострофа после f. Обозначается f(x) или y. также часто используется обозначение dy/dx.

    Первый взгляд на константу функция, или f(x) = k, где k — постоянное значение, для пример f(x) = 2 или y = 2  График показан здесь.

    В данном случае трудно говорить о касательной, так как сам график представляет собой горизонтальную линию. Градиент линии очевидно, 0, поэтому мы можем сказать, что если f(x) = 2 тогда f(x) = 0. Это верно для всех постоянных функций, их графики горизонтальные линии и градиент 0,

    Правило таково: если f(x) = k тогда f(x) = 0,

    На второй диаграмме показано три прямые линии с разными градиентами. Производная функции градиент и поэтому мы получаем следующие результаты:

      y = 2x + 1   имеет градиент 2, поэтому y = 2

      г = x + 1     имеет градиент 1, поэтому у = 1

       г = х + 1 имеет градиент следовательно у =

    Все функции первой степени имеют прямую линию графиков и поэтому заключаем, что если дифференцировать функции вида f(x) = ax + b мы получаем f(x) = a.

    Далее мы рассмотрим квадратичная функция f(x) = x 2 .

    Мы можем найти производная путем нахождения средней скорости изменения на бесконечно малом интервале как мы делали в урок 1.

    Определение производной:

    Рассчитываем это используя функцию f(x) = x 2 .

    Кому найти f(x+h) мы подставить (x+h) в формулу функции вместо x.

    Пример 1

    Дифференцировать функцию f(x) = 2x 2 + 4x.

    Обратите внимание, что если мы продифференцируем 2x 2 мы получаем 22x (выше мы обнаружили, что производная от x 2 равна 2x). Линия y = 4x имеет градиент 4, поэтому производная 4x равна 4.

    Добавление этих двух результатов вместе дает нам результат, что производная 2x 2 + 4х это 4х + 4, тот же результат, что и раньше,

    Следующее правило, которое легко доказать, относится к добавлению функций:

    f(x) = ах 2 + bx + c имеет производную f(x) = 2ax + b.

    Пример 2

    Дифференцировать функцию .

    Вместо деления на 2 можно подумать об этом например, как умножение каждого члена на, и поэтому мы можем применить приведенное выше правила. Обратите внимание, что они применяются только при делении на постоянное число. Заметьте также, что константа имеет производную 0, такую ​​же, как и любая другая постоянный.

    Отмена для упрощения получить

    Пример 3

    Дифференцировать f(x) = х 3 .У нас нет правил, поэтому далеко для функций третьей степени, поэтому мы должны использовать определение:

    Пример 4

    Дифференцировать f(x) = х 4 .

    Приведенные выше примеры дают нам следующие результаты:

    f(x) = x 0 имеет производную f(x) = 0

    f(x) = x 1 имеет производную f(x) = 1x 0

    f(x) = x 2 имеет производную f(x) = 2x 1

    f(x) = x 3 имеет производную f(x) = 3x 2

    f(x) = x 4 имеет производную f(x) = 4x 3

    В любом случае результат может получить путем умножения на исходный показатель или степень и уменьшения мощность на одного.

    Можно показать, что этот результат применим в целом, и мы можем написать следующее правило:

    е (х) = х номер имеет производную f(x) = nx №1

    Пример 5

    Используйте правила, которые мы нашли различать f(x) = x 5 2x 4 + 3x 3 4x 2 + 5х6.

       f(x) = 5x 4 24x 3 + 33x 2 42x + 5 0

               = 5x 4 8x 3 + 9x 2 8x + 5

    Пример 6

    Найдите уравнение касательной к кривой f(x) = x 5 5x 3 + 4x  в точке , где x = 1,

    Начнем с поиска y значение при x = 1.

       f(1) = 1 5 + 4 = 0

    Касательная находится в точке (1, 0).

    Далее находим формулу для градиент путем дифференцирования функции.

       f(x) = 5x 4 53x 2 + 4

               = 5x 4 15x 2 + 4

    Мы можем найти градиент когда x = 1, путем вычисления f(1).

       f(1) = 5 15 + 4 = 6

    Используя формулу для уравнение прямой дает нам искомое уравнение.

       у = 6(х 1) + 0

       г = 6х + 6

     

     

     

    Мы можем проверить нашу результаты путем построения графика функции и тангенса.Результат показан ниже.

    Уравнение касательной к функции f(x) в точке (a, f(a)) есть

    г = е (а) (х – а) + ф(а)

     


    Практикуйте эти методы, а затем пройти тест 2 на производных.

    шт. Запомните свой контрольный список.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    KryssTal: Введение в исчисление

    KryssTal: Введение в исчисление

    Введение

    Исчисление — очень важный раздел математики. Это форма математики, применяемая к непрерывным графам (графам без пропусков).Исчисление имеет два аспекта:
    • Дифференцирование (нахождение производных функций)
    • Интегрирование (нахождение неопределенных интегралов или вычисление определенных интегралов)
    Исчисление было изобретено европейскими математиками Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем .

    В этом эссе представлена ​​ Дифференциация .

    Производная позволяет нам вычислить наклон или тангенс графика в любой точке, P.Процесс нахождения производной называется Дифференциация .

    График ниже представляет собой простую параболу, уравнение которой у = х 2 .

    Производной присваивается символ

    dy/dx

    Это произносится как dy через d x или dy dx .

    Производная — это функция, которая дает наклон (тангенс) графика в любой точке. Производная измеряет скорость изменения y по отношению к x .Он описывает в точных математических терминах, как меняется у при изменении х. Это понятие очень важно в науке.

    Можно показать, что если y = x 2 , то производная равна

    dy/dx = 2x

    Итак, для этой кривой, когда x = 1, наклон равен 2; наклон при x = 3 равен 6,

    Производная y = x 3 равна dy/dx = 3x 2 .
    Для y = x 4 производная равна dy/dx = 4x 3 . Пример 1: Найдите наклон кривой y = x 3 в точках x = -1 и x = 2 при условии, что производная равна 3x 2 .

    Производная этой кривой равна dy/dx = 3x 2 .

    Когда х = -1, dy/dx = 3; когда x = 2, dy/dx = 12.


    В этом разделе я перечислю правила нахождения производных общих типов функций.

    Константы и степени x

    Функция Производная
    у = а dy/dx = 0
    y = ax n dy/dx = anx n-1
    Эта формула работает для всех значений n (a и n — числа).

    Производная числа равна нулю.

    ax n — это функция, состоящая из числа (a), умноженного на x, возведенного в степень, n. Чтобы найти производную этой функции, умножьте число на степень (an) и уменьшите степень индекса на 1.

    Пример 2. Найдите производные следующих функций:

    (i) y = 3x 3 ; (ii) у = 1/х; (iii) у = 2√х.

    Используя формулу для производной (dy/dx = anx n-1 ), мы можем показать, что

    (i) когда y = 3x 3 , dy/dx = 9x 2
    (ii) когда y = 1/x , это можно записать как y = x -1 . Следовательно, dy/dx = -x -2 = -1/(x 2 )
    (iii) когда y = 2√x , это можно записать как y = 2x (1/2) . Следовательно, dy/dx = x -(1/2) = 1/(√x)

    Пример 3: Найдите наклон графика y = -2x 3 , когда x = -2.

    Когда y = -2x 3 , dy/dx = -6x 2 .

    Для x = -2 dy/dx = -24.

    Пример 4. Покажите, что кривые y = 3x и y = 2 имеют постоянный наклон.

    y = 3x можно записать y = 3x 1 ; dy/dx = 3x 0 = 3 , что является константой. «Кривая», y = 3x, представляет собой прямую линию с наклоном 3.

    y = 2 можно записать как y = 2x 0 , dy/dx = 0 (еще одна константа). «Кривая» y = 2 представляет собой прямую линию, параллельную оси x (нулевой наклон).

    Сложение и вычитание

    Вот как различать функции, которые складываются или вычитаются.
    Функция Производная
    y = u + v dy/dx = du/dx + dv/dx
    y = u – v dy/dx = du/dx – dv/dx
    В этих уравнениях u и v являются функциями x.

    Если две функции сложить вместе, их можно дифференцировать по отдельности и добавить производные.Если вычитаются две функции, их можно дифференцировать по отдельности и вычесть производные.

    Пример 5. Дифференцируйте уравнения (i) y = 4x 2 + 2x + 3 и (ii) y = x 5 – 5/x.

    (i) Для функции y = 4x 2 + 2x + 3 производная равна dy/dx = 8x + 2

    (ii) Для функции x 5 – 5/x производная равна dy/dx = 5x 4 + 5/x 2

    Синус и косинус

    Вот как найти производные синусов и косинусов.
    Функция Производная
    y = aSin(u) dy/dx = a(du/dx)Cos(u)
    y = aCos(u) dy/dx = -a(du/dx)Sin(u)
    В этих уравнениях u является функцией x. (а – число).
    Значение u (или x) должно быть в радианах.

    Производная синуса есть косинус. Умножьте полученный косинус на производную функции внутри исходного синуса.Производная косинуса минус синус. Умножьте полученный синус на производную функции внутри исходного косинуса.

    Пример 6: Найдите производные от: (i) y = Sin(x), (ii) y = 3Cos(2x), (iii) y = Sin(x 2 ), (iv) y = x – Cos (Икс).

    (i) y = Sin(x) ; dy/dx = Cos(x)

    (ii) у = 3Cos(2x) ; dy/dx = -6Sin(2x)

    (iii) y = Sin(x 2 ) ; dy/dx = 2xCos(x 2 )

    (iv) у = х – Cos(x) ; у = 1 + Sin(x)

    Продукты

    Продукты — это функции, перемноженные вместе.
    Функция Производная
    y = uv dy/dx = u (dv/dx) + v (du/dx)
    В этом уравнении u и v являются функциями x, умноженными вместе.
    Это называется дифференциацией продуктов.

    При перемножении двух функций производная находится следующим образом. Первая функция умножается на производную второй функции. Вторая функция умножается на производную первой функции.Эти два новых термина добавлены вместе.

    Пример 7: Дифференцировать y = xSin(x)

    Это продукт (uv), поэтому мы используем приведенную выше формулу для дифференциации продуктов.

    dy/dx = xCos(x) + Sin(x) .

    Пример 8: Найдите производную от y = (x 2 + 1)√x 3

    y = (x 2 + 1)√x 3 можно записать у = (х 2 + 1)х (3/2)

    Используя формулу дифференциации продуктов,

    dy/dx = (x 2 + 1)(3/2)x (1/2) + x (3/2) (2x) = (3/2)(х 2 + 1)√х + 2х√х 3

    Частные

    Это пара разделенных функций.
    Функция Производная
    y = u/v (v(du/dx) – u(dv/dx)) / v 2
    В этом уравнении u и v являются функциями x в виде деления.
    Это называется дифференцированием частных.

    Если разделить две функции, то производная находится следующим образом. Функция знаменателя (та, что под чертой) умножается на производную функции числителя (той, что над чертой).Функция числителя умножается на производную функции знаменателя. Эти два новых члена вычитаются вместе и делятся на квадрат исходного знаменателя.

    Пример 9: Дифференцировать y = Tan(x).

    y = Tan(x) можно записать как y = Sin(x) / Cos(x) . Это частное.

    dy/dx = [Cos(x).Cos(x) – Sin(x).-Sin(x)] / Cos 2 (x) , (используя приведенную выше формулу частного)

    = [Кос(х). Cos(x) + Sin(x).Sin(x)] / Cos 2 (x) = [Cos 2 (x) + Sin 2 (x)] / Cos 2 (x)

    = 1 / Cos 2 (х)

    Обратная величина косинуса называется секансом (Sec): 1 / Cos(x) = Sec(x). Следовательно, производная от y = Tan(x) равна

    dy/dx = Sec 2 (x) (помните, что Cos 2 (x) + Sin 2 (x) = 1 ) Пример 10. Найдите наклон кривой при x = 0, y = Sin(x) / (x 2 + 1).

    Используя формулу частного для y = Sin(x) / (x 2 + 1) ,

    dy/dx = [(x 2 + 1)Cos(x) – 2xSin(x)] / [(x 2 + 1) 2 ]

    Когда x = 0, dy/dx = (0 + 1 – 0) / (0 + 1) 2 = 1 / 1 = 1.

    (помните, что Cos(0) = 1 )

    Неявное дифференцирование

    Это позволяет нам различать функции, которые содержат y, смешанные с x.
    Функция Производная
    (Функция в y) (Производная от y)(dy/dx)
    Значение y в функции можно дифференцировать, если оно умножается на dy/dx.
    Это называется неявным дифференцированием.

    Если в y есть функция, ее все равно можно дифференцировать. Дифференцируйте его, как и раньше, затем умножьте на dy/dx.

    Пример 11: Найдите наклон окружности с помощью уравнения x 2 + y 2 = 4 в точке (0, -2).

    Это уравнение можно решить относительно y и затем продифференцировать. Но проще использовать неявное дифференцирование:

    2x + 2y(dy/dx) = 0 .

    Перестановка дает: dy/dx = -2x/2y = – x/y

    В точке x = 0, y = -2, dy/dx = 0.

    Пример 12: Выразите dy/dx через x для уравнения Sin(y) = x 2 .

    Неявное дифференцирование дает (dy/dx)Cos(y) = 2x . Преобразование в (dy/dx) = 2x/Cos(y) .

    Вспоминая, что Cos 2 (y) + Sin 2 (y) = 1, можно сказать, что Cos(y) = √[1 – Sin 2 (y)] .

    Замена дает (dy/dx) = 2x/√[1 – Sin 2 (y)] = 2x/√[1 – x 4 ] .

    Обратные тригонометрические функции

    Выражение типа Sin(y) = x можно переписать как y = ArcSin(x) , где выражение ArcSin(x) называется обратным синусом от x.Обратные тригонометрические функции имеют свои правила дифференцирования.
    Функция Производная
    y = ArcCos(x) dy/dx = -1 / [1 – x 2 ] 1/2
    y = ArcSin(x) dy/dx = 1 / [1 – x 2 ] 1/2
    y = ArcTan(x) dy/dx = 1 / [1 + x 2 ]
    Углы (x) должны быть в радианах.
    Пример 13. Найдите значение dy/dx для уравнения y = ArcCos(x), когда x = 0,5.

    Производная определяется как dy/dx = -1/[1 – x 2 ] 1/2 .

    Значение x = 0,5 дает dy/dx = -1/[1 – 0,5 2 ] 1/2 = -1,154.

    Логарифмы

    Функция Производное
    Ln(u) (1/u)(du/dx)
    В этом уравнении u является функцией x.
    Ln — натуральный логарифм (по основанию e).

    Производная натурального логарифма функции есть обратная величина функции, умноженная на производную функции.

    Пример 14. Найдите dy/dx для уравнения y = Ln(x).

    Это просто определяется как dy/dx = 1/x .

    Пример 15. Дифференцируем y = Ln(Cos(x)).

    Использование приведенной выше формулы дает dy/dx = (1/Cos(x)). -Sin(x) = -Sin(x)/Cos(x) = -Tan(x)

    Логарифмы можно использовать для дифференцирования более сложных функций:

    Пример 16: Найти dy/dx, когда 2 y = 3 Sin(x) .

    2 y = 3 Sin(x) нельзя дифференцировать как есть. Мы можем логарифмировать с обеих сторон:

    Ln(2 y ) = Ln(3 Sin(x) ) .

    Помня логарифмические правила индексов, мы можем переписать это как:

    yLn(2) = Sin(x)Ln(3) .Теперь это можно дифференцировать неявно:

    (dy/dx)Ln(2) = Ln(3)Cos(x) , что дает dy/dx = Ln(3)Cos(x)/Ln(2) .

    Экспоненциальные функции

    Эти функции содержат переменную в качестве индекса.
    Функция Производное
    a u (du/dx)a u Ln(a)
    e u (du/dx)e u
    В этом уравнении u — функция x, a — число.
    Число е является основанием натуральных логарифмов.

    Производная числа, возведенная в степень функции, — это число, возведенное в степень функции, умноженное на производную функции, умноженную на логарифм числа. Если число равно e, производная функции просто умножается на e, возводимую в функцию.

    Пример 17: Дифференцируйте следующую функцию: y = 2 3x .

    Использование приведенной выше формулы для y = 2 3x дает dy/dx = 3.Ln(2).2 3x . Пример 18: Дифференцируем следующие функции: (i) y = e Sin(x) , (ii) у = е х .

    (i) Использование приведенной выше формулы для y = e Sin(x) дает dy/dx = Cos(x).e Sin(x) .

    (ii) Производная y = e x равна dy/dx = e x .

    y = e x — единственная функция, равная собственной производной.


    Решение уравнений (метод приближений Ньютона)

    Исчисление может быть использовано для получения приближенных решений уравнений. Это можно использовать для вычисления корней и для получения значений для уравнений, которые не могут быть легко решены алгебраически.

    Прежде чем дать формулу и метод, я определю следующие сокращенные термины:

    Символ Значение Примеры
    f(x) Функция x x 2 – 3x + 5 или
    Sin (3x) – 2x
    f(a) Значение функции x, f(x), когда x установлено равным Если f(x) = x 2 – 3x + 5,
    f(0) = 5 (присвоить x значение 0 в f(x)),
    f(1) = 3 (присвоить x значение 1 в f(x) х))
    F(x) Производная функции x, f(x) Если f(x) = x 2 – 3x + 5,
    F(x) = 2x – 3
    (производная)
    F(a) Значение производной функции x, F(x), при x = a Если f(x) = x 2 – 3x + 5,
    F(x) = 2x – 3 и F(1) = -1
    Чтобы решить (найти значение x) уравнение в форме f(x) = 0

    Формула Ньютона для приближений:

    x приблизительно = a – f(a) / F(a)

    где f(x) — функция, которую нужно решить, а a — предположение о решении.

    Это метод, используемый с формулой:
    • Возьмите функцию и поставьте значение x = a. Это ф(а).
    • Возьмите производную функции F(x) и поставьте значение x = a. Это Ф(а).
    • Разделите два значения: f(a) / F(a).
    • Вычесть это из предположения, a.
    • Это даст приблизительное значение x для исходного уравнения, f(x) = 0.

    Это значение x основано на значении, выбранном для a.Чем лучше исходное предположение для a, тем ближе будет x к правильному значению. Если догадка а не близка к правильному значению, эта формула может вообще не работать.

    Затем в формулу можно вставить новое значение x, и процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность. Чем ближе угаданное значение (а) к правильному значению, тем меньше раз нужно использовать формулу.

    Подобный повторяющийся процесс называется итерацией .

    Несколько примеров покажут, как работает формула.

    Пример 19. Найдите значение √10 с точностью до трех знаков после запятой.

    Это означает решение уравнения x 2 = 10 , которое можно преобразовать в x 2 – 10 = 0 . Теперь это в желаемом формате, f(x) = 0 . Функция f(x) имеет значение: f(x) = x 2 – 10

    Следовательно, производная функции F(x):

    F(x) = 2x

    Глядя на уравнение («путем проверки»), мы знаем, что решение этого уравнения близко к 3 (поскольку 3 2 = 9), поэтому мы устанавливаем значение первого предположения, a, равным 3.Затем мы можем записать компоненты, необходимые для использования формулы Ньютона:

    • а = 3
    • f(a) = f(3) = 3 2 – 10 = -1
    • F(а) = F(3) = 2 × 3 = 6

    Используя формулу Ньютона:

    x приблизительно = a – f(a) / F(a) = 3 – f(3) / F(3) = 3 – (-1/6) = 3 + 1/6 = 3,1666

    Мы начали с того, что предположили, что x равно 3, и получили лучшее приближение (3,1666). Теперь мы можем использовать это новое значение в формуле, чтобы получить еще лучшее приближение.

    • а = 3,1666
    • f(a) = f(3,1666) = 3,1666 2 – 10 = 0,0273
    • F(а) = F(3,1666) = 2 × 3,1666 = 6,3332

    Использование формулы Ньютона во второй раз дает:

    x приблизительно = a – f(a) / F(a) = 3,1666 – f(3,1666) / F(3,1666) = 3,1666 – (0,0273 / 6,3332) = 3,1622

    Повторение процесса с новым значением дает третье значение x как 3,1623 с точностью до четырех знаков после запятой.После трехкратного использования формулы ответ выходит как x = 3,162 с точностью до трех знаков после запятой.

    Историческая справка: Приближения Ньютона — это общая версия правила, используемого древними вавилонянами для нахождения квадратных корней чисел. Пример 20: Найдите положительное значение для x, которое удовлетворяет кубическому уравнению, x 3 – 5x + 3 = 0

    Начнем с записи функции и ее производной: f(x) = x 3 – 5x + 3 и F(x) = 3x 2 – 5

    Глядя на уравнение, мы видим, что f(1) = -1 и f(2) = 1, поэтому должно быть значение, близкое к 2, которое дает f(x) = 0. Мы можем положить наше предполагаемое значение (а) равным 2; фактическое значение x будет немного меньше.

    • а = 2
    • f(a) = f(2) = 2 3 – (5 × 2) + 3 = 1
    • F(a) = F(2) = (3 × 2 2 ) – 5 = 7

    Используя формулу Ньютона:

    x приблизительно = a – f(a) / F(a) = 2 – f(2) / F(2) = 2 – (1/7) = 1,857

    Это означает, что 1,857 является более близким приближением к значению x, чем 2.Теперь мы можем установить значение 1,857 и снова запустить процесс:

    • а = 1,857
    • f(a) = f(1,857) = 1,857 3 – (5 × 1,857) + 3 = 0,1187
    • F(a) = F(1,857) = (3 × 1,857 2 ) – 5 = 5,3453

    Используя формулу Ньютона (второй раз):

    x приблизительно = a – f(a) / F(a) = 1,857 – f(1,857) / F(1,857) = 1,857 – (0,1187 / 5,3453) = 1,834

    Используя это значение:

    • а = 1.834
    • f(a) = f(1,834) = 1,834 3 – (5 × 1,834) + 3 = -0,0012
    • F(a) = F(1,834) = (3 × 1,834 2 ) – 5 = 5,0906

    Используя формулу Ньютона (третий раз):

    x приблизительно = a – f(a) / F(a) = 1,834 – f(1,834) / F(1,834) = 1,834 – (-0,0012 / 5,0906) = 1,834

    Таким образом, к третьей итерации значение установилось (с точностью до трех знаков после запятой) до x = 1,834.

    Обратите внимание, что для этой кубической функции существует еще одно положительное значение x между 0 и 1.Приравняв а к 0 и выполнив формулу Ньютона три раза, можно получить второе значение х, близкое к 0,656.

    Кубические уравнения обычно имеют три корня. Существует еще одно значение x, которое можно найти, установив для предположения (a) значение -2. Читателю будет приятно узнать, что я оставлю это в качестве упражнения.

    Пример 20. Решите уравнение Cos(x) = x с точностью до трех знаков после запятой.

    Не существует простого метода алгебраического решения этого уравнения.Мы могли бы сделать это графически, построив графики y = Cos(x) и y = x на одном и том же листе бумаги и найдя значение x в точке их пересечения. Это показано на диаграмме ниже. Переставляя, мы имеем Cos (x) – x = 0 , поэтому мы можем записать функцию и ее производную как f (x) = Cos (x) – x и F (x) = -Sin (x) – 1 соответственно Из наших знаний о косинусе мы знаем, что его значение колеблется между y = 1 и y = -1 для всех значений x. Из наших знаний о линейных графиках мы также знаем, что y = x — это прямая линия с положительным наклоном, проходящая через начало координат. Из этого анализа (и изучив приведенный выше график) мы можем сделать вывод, что две функции встретятся в одном месте, близком к значению x = 1. Таким образом, мы можем установить наше первое предположение (a) равным 1,

    . Напомню, что при дифференциации тригонометрических функций мы должны работать в радианах , а не в градусах. Итак, теперь мы можем оценить компоненты формулы Ньютона.

    • а = 1
    • f(a) = f(1) = Cos(1) – 1 = -0,4596
    • F(a) = F(1) = -Sin(1) – 1 = -1,8414

    Используя формулу Ньютона:

    x приблизительно = a – f(a) / F(a) = 1 – f(1) / F(1) = 1 – (-0,4596 / -1,8414) = 0,7504

    Используя это значение:

    • а = 0,7504
    • f(a) = f(0,7504) = Cos(0,7504) – 0,7504 = -0,0189
    • F(а) = F(0.7504) = -Sin(0,7504) – 1 = -1,6819

    Используя формулу Ньютона во второй раз:

    x приблизительно = a – f(a) / F(a) = 0,7504 – f(0,7504) / F(0,7504) = 0,7504 – (-0,0189 / -1,6819) = 0,7391

    Используя это новое значение:

    • а = 0,7391
    • f(a) = f(0,7391) = Cos(0,7391) – 0,7391 = -0,0000 (до четырех знаков после запятой)
    • F(a) = F(0,7391) = -Sin(0,7391) – 1 = -1,6735

    Из приведенного выше видно, что значение f(0. 7391) составляет от нуля до четырех знаков после запятой, поэтому значение приближения не изменится.

    Следовательно, с точностью до трех знаков после запятой x = 0,739 после трех итераций.

    Скорость изменения

    Производная измеряет скорость изменения функций, которые являются непрерывными и переменными. Подобные функции широко используются в науке.

    Если существует связь между пройденным расстоянием (с) и временем (t), то производная расстояния по времени ds/dt дает скорость (v) в любой момент времени.

    Пример 21: Частица движется так, что ее расстояние (в м) от фиксированной точки определяется как
    s = 2t 2 – 3t + 1, где t — время в секундах. Найдите его скорость через 4 с.

    Скорость v определяется как ds/dt, поэтому мы дифференцируем приведенное выше уравнение относительно t:

    v = ds/dt = 4t – 3 . Когда t = 4 с, v = 13 м/с.

    Если существует связь между скоростью частицы (v) и временем (t), то производная v по t, dv/dt , дает ускорение (a) при любой время.

    Пример 22: Вышеуказанная скорость частицы определяется выражением v = 4t – 3. Что такое ускорение через 1 с.

    Ускорение a определяется как dv/dt, поэтому мы дифференцируем приведенное выше уравнение относительно t:

    а = dv/dt = 4 . Ускорение постоянно и равно 4 м/с 2 .

    Если существует связь между энергией (E) и временем (t), то производная E по t, dE/dt , дает мощность (P) в любой момент времени.

    Пример 23: Устройство использует энергию в зависимости от времени: E = t 3 , где E — энергия в джоулях, а t — время в секундах. Найдите мощность, потребляемую через 2 с.

    Мощность P определяется как dE/dt, поэтому мы дифференцируем приведенное выше уравнение относительно t:

    P = dE/dt = 3t 2 . Таким образом, мощность через 2 с составляет 12 Вт.

    Таким образом, дифференцирование является одним из самых мощных инструментов в математике и физике.

    © 2001, 2009 КрысТал

    Введение в алгебру и как решать простые уравнения. Графики — это способ показать, как выглядят алгебраические функции и отношения. Индекс и база. Определены логарифмы. Основание 10 и основание e. Использование логарифмов в вычислениях. Ряд для логарифмов. Прямоугольные треугольники, синусы, косинусы, тангенсы. Использование тригонометрических функций, рядов и формул.2(4x)tanh(4x), но я не уверен, что это правильно.

    Бобошариф С. ответил • 03.05.18

    Репетитор по математике/статистике

    Да, ваш ответ правильный.

    Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

    ИЛИ
    Найдите онлайн-репетитора сейчас

    Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.


    ¢ € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ – — ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° − ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ е ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А А Â Ã Ä Å Æ Ç Э Э Ê Ë Я Я Я Я Ð С Ò О Ô Õ О Ø О Ш Ù Ú Û О Ý Ÿ Þ а а â г ä å æ ç э э э ë я я я я ð с ò о ô х ö ø œ ш ù ú û ü ý þ ÿ А В Г Δ Е Ζ Η Θ я Κ Λ М N Ξ О Π Р Σ Т Υ Φ Χ Ψ Ом α β γ дельта ε ζ η θ я κ λ мю ν ξ о π р ς о т υ ф х ψ ю ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈 〉 ◊

    Производная от 2х – Формула, Доказательство, Примеры

    Производная от 2x равна 2, поскольку формула для производной функции прямой линии f(x) = ax + b задается выражением f'(x) = a, где a, b — действительные числа. Дифференциация 2x рассчитывается по формуле d(ax+b)/dx = a. Мы также можем вычислить производную от 2x, используя правило степени дифференцирования, которое имеет формулу d(x n )/dx = nx n-1 . Производную 2х можно определить и с помощью других методов дифференцирования.

    Далее в этой статье мы оценим производную от 2x, используя различные методы дифференцирования и ее формулу. Мы докажем дифференцирование 2x и рассмотрим несколько решенных примеров с производной 2x для лучшего понимания концепции.

    Что такое производная от 2x?

    Производная функции показывает скорость изменения этой функции по отношению к изменению переменной. Для линейной функции f(x) = ax + b производная является постоянной функцией. Следовательно, производная 2x является константой, которая определяется как 2. Мы можем оценить производную 2x, используя различные методы дифференцирования, такие как правило степени, правило произведения, первый принцип производных и формула производной линейной функции. Кроме того, поскольку мы знаем, что производная от kx равна k, отсюда следует, что производная от 2x равна 2. Давайте теперь посмотрим на формулу дифференцирования 2x.

    Производная от 2x Formula

    Формула для производной 2x задается как d(2x)/dx = 2. Мы можем вычислить дифференцирование 2x, используя тот факт, что производная f(x) = kx равна f'(x) = k . Используя это, мы можем сказать, что производная 2x равна 2. На изображении ниже показана формула дифференцирования 2x:

    Производная от 2x Proof

    Теперь, когда мы знаем, что производная от 2x равна 2, мы выведем это, используя различные правила производных.Мы можем вывести формулу, используя определение производных с использованием пределов, правила степени, правила произведения и формулы производной f (x) = ax + b.

    Производная от 2x с использованием пределов

    Чтобы вывести производную от 2x, используя первый принцип производных, мы будем использовать следующие формулы:

    • d(f(x))/dx = lim h→0 [f(x+h) – f(x)]/h
    • lim h→0 k = k, где k — константа

    d(2x)/dx = lim h→0 [2(x+h) – 2x]/h

    = lim ч→0 [2x + 2h – 2x]/ч

    = lim ч→0 [2ч]/ч

    = lim ч→0 2

    = 2

    Следовательно, производная 2x равна 2 с использованием первого принципа производных.

    Дифференциация 2x с использованием степенного правила

    Степенное правило дифференцирования гласит, что производная x в степени n равна n, умноженной на x в степени n минус 1, то есть d(x n )/dx = n x n-1 . Мы также будем использовать производное правило скалярного кратного функции, то есть d(kf(x))/dx = kd(f(x))/dx. Следовательно, мы имеем d(2x)/dx = 2 dx/dx = 2. Следовательно, дифференцирование 2x равно 2.

    Производная от 2x с использованием правила произведения

    Правило произведения дифференцирования используется для нахождения производной произведения двух или более функций.Если у нас есть h (x) = f (x) g (x), то производная h (x) определяется как, h’ (x) = f’ (x) g (x) + f (x) g ‘(Икс). Точно так же для h(x) = 2x имеем f(x) = 2 и g(x) = x. Используя правило произведения, мы имеем

    (2x)’ = (2)’ × x + 2 × (x)’

    = 0 × х + 2 × 1

    = 2

    Таким образом, мы получаем, что производная от 2x равна 2 по правилу произведения.

    Важные замечания по производной от 2x

    • Производная 2x равна 2, которую можно получить с помощью различных методов дифференцирования.
    • Мы можем использовать правило степени, правило произведения и первый принцип производных, мы можем получить дифференцирование 2x.
    • Используя формулу [kx]’ = k, мы получаем, что производная от 2x определяется выражением [2x]’ = 2.

    ☛ Статьи по теме:

    Часто задаваемые вопросы о производной 2x

    Что такое производная от 2x?

    Производная 2x равна 2, так как производная функции f(x) = kx задается формулой f'(x) = k.

    Какова формула дифференциации 2x?

    Формула для дифференцирования 2x дается выражением (2x)’ = 2, которое является постоянной функцией, так как производная линейного многочлена f(x) = ax + b является постоянной f'(x) = a.

    Как найти производную от 2x?

    Мы можем найти производную 2x, используя различные правила дифференцирования, такие как правило степени, скалярное кратное функции и первый принцип производных.

    Какая производная от 2x/(1 – x

    2 )?

    Производная от 2x/(1 – x 2 ) равна 2(1 + x 2 )/(1 – x 2 ) 2 .Эту производную можно вычислить с помощью частного правила дифференцирования.

    Что такое вторая производная от 2x?

    Вторую производную от 2x можно определить, продифференцировав первую производную от 2x. Первая производная от 2x равна 2, которая является постоянной функцией, а производная постоянной функции равна нулю. Следовательно, вторая производная от 2x равна 0,

    .

    Какую формулу можно использовать для нахождения производной 2x?

    Мы можем использовать различные формулы дифференцирования, чтобы найти производную 2x, например:

    • Первый принцип производных: d(f(x))/dx = lim h→0 [f(x+h) – f(x)]/h
    • Правило произведения: h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x), где h(x) = f(x) g(x)
    • Производная kx: [kx]’ = k

    Что такое производная 2х квадрата?

    Производная 2x квадрата, то есть 2x 2 , определяется по степенному правилу производных. У нас есть (2x 2 )’ = 4x. Следовательно, производная от 2x 2 равна 4x.

    Оценка акций Tesla: производная от невероятных ожиданий (NASDAQ:TSLA)

    Spencer Platt/Getty Images News

    Вступительное заявление

    Я написал предыдущую статью о Tesla (TSLA) – Tesla: Текущая оценка не является необоснованной. Оглядываясь назад, я понимаю, что это название не отражало моего предполагаемого тезиса для компании, который заключался в том, чтобы обрисовать в общих чертах бычий анализ для Теслы, который сделал бы оценку Теслы оправданной.Я сделал это, потому что хотел быть непредубежденным, что привело меня к выдвижению гипотезы о возможном развитии бизнеса и рынка, которое позволило бы Tesla получить финансовые показатели, оправдывающие ее рыночную капитализацию в 867 миллиардов долларов. Тем не менее, я пишу эту статью, чтобы ответить на свои опасения по поводу Tesla и объяснить, почему я не оптимистичен в отношении того, что компания не сможет удержать свою огромную оценку.

    Тезис

    Tesla показала свои лучшие результаты в 21 финансовом году, и быкам это нравится. Tesla, вероятно, является самой спекулятивной компанией с большой капитализацией за все время, занимая 5-е место среди крупнейших публичных компаний США.S. с рыночной капитализацией в 867 миллиардов долларов. Хотя многие считают, что Tesla стоит своей абсурдной оценки, как текущие цифры, так и прогнозы на будущее не выглядят благоприятными с инвестиционной точки зрения. Текущий медвежий случай очевиден; Тесла торгуется намного выше отраслевых показателей оценки, доля рынка / присутствие невелики, а производственные возможности ограничены. Тем не менее, я собираюсь обратиться к переменной, которую я не слишком много видел в Tesla, а именно к доле рынка, которую Tesla должна была бы поглотить, чтобы получить цифры, которые могли бы оправдать ее текущую оценку, не говоря уже о дополнительном росте.

    (Примечание: все данные взяты с сайта YCharts.com с использованием соответствующих тикеров. )

    Оценка двух ведущих автопроизводителей

    Я приведу коэффициенты P/E и P/FCF Ford ( F) и Volkswagen (OTCPK:VWAGY), поскольку они оба являются ведущими автопроизводителями и оба уже проложили путь на рынке электромобилей.

    • Форд: соотношение цена/прибыль равно 3,96. Отношение P/FCF составляет 7,44.
    • Volkswagen: коэффициент P/E равен 5,50. Отношение P/FCF составляет 5,77.
    • Среднее соотношение цена/прибыль равно 4.73. Среднее соотношение P/FCF составляет 6,60.

    Хотя Ford по-прежнему сильно отстает от Tesla на рынке электромобилей, он является крупнейшим конкурентом Tesla в США и имеет производственное преимущество перед Tesla. Генеральный директор Ford Джим Фарли заявил, что Ford удвоит глобальное производство электромобилей к 23 финансовому году как минимум до 600 000 единиц. Учитывая, что в 2021 году Ford поставил менее 30 000 электромобилей, становится ясно, что Ford может быстро увеличить производство электромобилей в будущем. Также хочу отметить, что Ford только начал поставки полностью электрических автомобилей в 2021 году.

    С другой стороны, Volkswagen является вторым по величине автопроизводителем в мире и продал около 452 900 электромобилей в 21 финансовом году. Если учесть продажи PHEV, Volkswagen продал 762 400 автомобилей. Volkswagen также стремится к дальнейшему проникновению на рынок электромобилей и является серьезным конкурентом Tesla в будущем.

    Tesla должна доминировать на более широком автомобильном рынке, чтобы оправдать свою оценку

    Tesla достигла абсурдной оценки, вызванной обилием спекуляций и завышенными ожиданиями.Я понимаю, что Tesla постоянно работает над инновационными проектами, но на данный момент компания классифицируется как автопроизводитель. Тем не менее, я собираюсь дать некоторое представление о доле рынка, которую Tesla должна захватить, чтобы оправдать свою текущую оценку. Я буду использовать средние значения P/E и P/FCF Ford и Volkswagen, так как я считаю, что они являются наиболее сопоставимыми автопроизводителями с Tesla. Этот анализ будет основывать прогнозы на текущих показателях Tesla. Очевидно, что будущие цифры могут сильно отличаться в зависимости от потенциальных расходов и маржи, но я не буду строить предположения о том, какими они будут.

    Tesla получила прибыль на акцию в 4 квартале 2021 года в размере 4,90 доллара США и свободный денежный поток на акцию в размере 3,09 доллара США при выручке в размере 53,82 миллиарда долларов США. Общие мировые продажи автомобилей в 21 финансовом году составили примерно 66,7 миллиона автомобилей. Чтобы Tesla достигла коэффициента P/E 4,73 на текущих уровнях, ей необходимо произвести прибыль на акцию в размере 177,42 доллара. Это в 36,21 раза больше текущих показателей EPS компании. Tesla продала около 936 000 электромобилей в 21 финансовом году. Используя приведенные выше данные и базовый вывод, это будет означать, что Tesla необходимо будет продать чуть более 33,89 миллиона электромобилей, чтобы получить показатели EPS, которые оценят компанию наравне с ведущими в отрасли аналогами. Это означает, что Tesla должна будет контролировать более 50% всего мирового автомобильного рынка, чтобы получить финансовые результаты, которые могли бы оправдать ее текущую оценку. Глядя на свободный денежный поток, Тесла должен был бы генерировать свободный денежный поток на акцию в размере 127,15 долларов США, чтобы достичь коэффициента P/FCF 6,60. В настоящее время эта цифра в 41,15 раз превышает текущий свободный денежный поток Tesla на акцию. Это будет означать, что Tesla должна будет продать 38,51 миллиона автомобилей, чтобы получить свободный денежный поток на акцию, который позволит оценить компанию наравне с ведущими в отрасли аналогами.

    Ключевой вывод

    Ключевой вывод здесь заключается в том, что, исходя из текущих операционных результатов, которые в настоящее время находятся на историческом максимуме для Tesla, компании необходимо будет контролировать более 50% текущего мирового автомобильного рынка. Это маловероятно или даже разумно ожидать от Теслы. Toyota (TM) продала 9,56 млн автомобилей в 21 финансовом году. Это более чем в 10 раз превышает общий объем продаж автомобилей Tesla, а доля Toyota на мировом автомобильном рынке составляет 14,33%. Учитывая, что конкуренция Tesla имеет значительные преимущества в производстве и присутствии на рынке, неразумно ожидать, что Tesla будет контролировать половину мирового автомобильного рынка.Я понимаю, что есть много других переменных, которые следует учитывать: кредиты ZEV, конкурентоспособность FSD, маржа, расходы, мои сопоставимые показатели получены только от двух автопроизводителей, этот список можно продолжить. Тем не менее, я использую имеющиеся данные, а данные являются результатом лучших операционных результатов Tesla на сегодняшний день.

    Возможные заблуждения относительно Tesla, на которые стоит обратить внимание

    Я сталкивался с ошибочными идеологиями среди активных и потенциальных инвесторов Tesla. В различных комментариях к статьям, на форумах, в Reddit и других местах я вижу, как люди связывают проекты Маска с акциями Tesla. Я видел, как SpaceX, Neuralink и The Boring Company ассоциировались с Tesla и потенциалом ее акций. SpaceX, Starlink (под управлением SpaceX), гаджеты The Boring Company и имплантируемые устройства, сделанные Neuralink, не принесут пользы Tesla или ее инвесторам. Вышеупомянутые компании находятся в частной собственности и управляются Илоном Маском. Я снова и снова слышу об инновационных технологиях, с которыми Маск ассоциируется в качестве оправдания оценки Tesla. Чтобы развеять любые неправильные представления, скажем, что частные компании Маска не приносят и не будут приносить акции Tesla или ее инвесторам.

    Заключение

    В заключение отметим, что Tesla, по сути, является автомобильной компанией с большим количеством конкурентов. Хотя в будущем Tesla может монетизировать программное обеспечение FSD, в настоящее время компания зарабатывает деньги на продаже автомобилей. Основываясь на текущих операционных результатах и ​​имеющихся данных, Tesla должна будет захватить более 50% мирового автомобильного рынка, чтобы получить финансовые результаты, которые могли бы оправдать ее текущую оценку. Имейте в виду, что это не включает долю рынка, которую необходимо поглотить, чтобы оправдать рост по сравнению с текущими уровнями.Я считаю, что оценка Теслы является производной невероятных ожиданий, порожденных влиятельным лидером в Маске, который получил религиозную поддержку. Tesla, без сомнения, фундаментально переоценена, исходя из ее текущих финансовых показателей. Что касается долгосрочного потенциала, я не вижу, чтобы Tesla превзошла 30% мирового автомобильного рынка, не говоря уже о более чем 50%. В какой-то момент при обсуждении Теслы в игру должна вступить логика. Приведенные выше цифры показывают, что Tesla не может оправдать свою оценку только за счет продаж автомобилей.Оттуда инвесторы будут полагаться на продажу регулятивных кредитов и монетизацию программного обеспечения FSD, чтобы заполнить пробел. Ожидания, которые не соответствуют действительности, синонимичны спекуляциям. Учитывая столь высокую оценку Tesla, этот уровень спекуляций сопряжен с риском. Проще говоря, Tesla владеет 1,4% мирового автомобильного рынка, но оценивается так, как будто ей принадлежит более 50%.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.