Производная частного функций — FINDOUT.SU
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Имя
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно – исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое
Нажимая кнопку “Продолжить”, я принимаю политику конфиденциальности
А вот это вот суровая действительность:
Найти производную функции
Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь….
С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:
8.2 ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Правило дифференцирования сложной функции:
Пример 6
Найти производную функции
Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.
Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.
В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.
Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).
Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :
Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:
После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .
Начинаем решать.
Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что .
Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:
Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.
Ну и совершенно очевидно, что
Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:
Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:
Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.
Пример 7
Найти производную функции
Как всегда записываем:
Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:
И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:
Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени.
Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:
Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:
Готово.
Пример 8
Найти производную функции
Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :
Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:
Готово.
8.3 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:
1) Необходимо найти производную.
2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.
Пример 9
Вычислить производную функции в точке
Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:
В некоторых задания бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».
Сначала находим производную:
Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.
На втором шаге вычислим значение производной в точке :
Готово.
ПРАКТИКУМ 8
ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции равна …
Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами
Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции равна …
Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
где c – постоянная величина, а U и
Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции равна …
Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
, , , где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами
Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции равна …
Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
где c – постоянная величина, а
Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Производная функции в точке
Если , то принимает значение, равное …
Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, Пусть тогда
ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Производная функции в точке
Если , то принимает значение, равное …
Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, Пусть тогда
ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Производная функции в точке
Если , то принимает значение, равное …
Решение:
Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций.
Тогда имеем
Пусть . Получим
ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Производная функции в точке
Если , то принимает значение, равное …
Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, Пусть тогда
ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Производная функции в точке
Если , то принимает значение, равное …
Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, Пусть тогда
ЗАДАНИЕ N 11
Тема: Производная функции в точке
Если , то принимает значение, равное …
Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, Пусть , тогда
ЗАДАНИЕ N 12
Тема: Производная сложной функции
Производная функции равна …
Решение:
Данная функция является сложной.
Пусть , тогда . Напоминаем, что производная сложной функции находится по формуле . Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 13
Тема: Производная сложной функции
Производная функции равна …
Решение:
Данная функция является сложной. Пусть , тогда . Напоминаем, что производная сложной функции находится по формуле . Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 14
Тема: Производная сложной функции
Производная функции равна …
Решение:
Данная функция является сложной.
Пусть тогда . Напоминаем, что производная сложной функции находится по формуле . Тогда получим
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 8
ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции равна …
ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции равна …
ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции равна …
ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Производная сложной функции
Производная функции равна …
ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Производная сложной функции
Производная функции равна …
ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Производная сложной функции
Производная функции равна …
ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Производная сложной функции
Производная функции равна …
ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Производная сложной функции
Производная функции равна …
ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Производная сложной функции
Производная функции равна …
ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Производная функции в точке
Если то принимает значение, равное …
ЗАДАНИЕ N 11
Тема: Производная функции в точке
Если , то принимает значение, равное …
ЗАДАНИЕ N 12
Тема: Производная функции в точке
Если , то принимает значение, равное …
ЗАДАНИЕ N 13
Тема: Производная функции в точке
Если , то принимает значение, равное …
ЗАДАНИЕ N 14
Тема: Производная функции в точке
Если то принимает значение, равное …
3.
Производная суммы, произведения и частного от деления двух функцийИспользуем свойства предела для доказательства правил дифференцирования.
1.
. (1)
2.
. (2)
3.
(3)
4.
(4)
4. Производная сложной и обратной функций.
Пусть функция в некоторой окрестности точкиявляется непрерывной, монотонной, а в самой точке- дифференцируемой. Тогда по теореме о непрерывных функциях она имеет обратную. Найдем связь между производными прямой и обратной функций
. (1)
Формулу (1) следует понимать так, что производные в ее левой и правой части вычисляются при значениях аргументов, связанных между собой соотношениями или.
Определение.Сложнойназывается функция, которая
зависит от своего аргумента, таким
образом, что эту зависимость можно
представить посредством как минимум
одного промежуточного аргумента.
Например, пусть и. Тогда- сложная функция с промежуточным аргументоми независимым аргументом.
Теорема. Если функцияимеет производнуюв точке, а функцияимеет производнуюв точке, соответствующей точке, то сложная функцияимеет производнуюв точке, которая находится по формуле
. (2)
Доказательство
В окрестности точки дадим приращениеаргументу. Тогда промежуточный аргументполучит приращение, а функция- приращение.
.
Поскольку в силу существования производной функцияявляется непрерывной в рассматриваемой точке, то приследует, что. Тогда продолжая выкладки, получаем
.
5. Таблица производных
Получим сейчас
формулы для дифференцирования основных
элементарных функций. Знание этих формул
совместно с ранее полученными правилами
дифференцирования позволит нам выполнять
дифференцирование элементарных функций.
Пусть . Применяя формулу (1) получим
. (1)
Пусть . Тогда
. (2)
3. Получим производную степенной функции с вещественным показателем степени. При этом воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин.
. (3)
В частном случае, когда = целое число
. (4)
4. Для получения формулы дифференцирования показательной функции (также воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин
. (5)
В частном случае, когда
. (6)
5. Для получения формулы дифференцирования логарифмической функции (также воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин. В результате получим
. (1)
В частном случае, когда
.
(2)
Перейдем теперь к вычислению производных тригонометрических функций.
6. Найдем производную функции . Пользуясь таблицей эквивалентных бесконечно малых величин, получим
. (9)
7. Найдем производную функции . Пользуясь таблицей эквивалентных бесконечно малых величин, получим
. (10)
8. Найдем производную функции . Пользуясь правилами дифференцирования, получим
. (11)
9. Найдем производную функции . Пользуясь правилом дифференцирования частного от деления двух функций, получим
. (12)
10. Найдем производную функции , где, а. Очевидно, тогда пользуясь формулами (3.1) и (9), получим
. (13)
Здесь было использовано свойство функции на промежутке.
11. Найдем производную
функции
,
где,
а.
Очевидно,
тогда пользуясь формулами (3.
1) и (10),
получим
. (14)
Здесь было использовано свойство функции на промежутке.
12. Найдем производную функции , где, а. Очевидно, тогда пользуясь формулами (3.1) и (11), получим
. (15)
13. Найдем производную функции , где, а. Очевидно, тогда пользуясь формулами (3.1) и (12), получим
. (16)
14. Так как гиперболический синус определяется соотношением
, то
. (17)
15. Так как гиперболический косинус определяется соотношением
, то
. (18)
Графики гиперболического синуса и косинуса представлены на рис. 1.
Рис. 1. Синус и косинус гиперболические1
16. Так как гиперболический тангенс определяется соотношением
, то
.
(19)
17. Так как гиперболический котангенс определяется соотношением
, то
. (20) Графики гиперболического тангенса и котангенса представлены на рис. 2.
Рис. 2. Тангенс и котангенс гиперболические2
Результаты вычисления производных представлены в таблице.
Таблица
Производная и ее свойства. Производная функции
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) .
Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t .
Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций.
Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
(first derivative) Темп прироста значения функции при приросте ее аргумента в какой-либо точке, если сама функция в этой точке определена. На графике первая производная функции показывает угол ее наклона. Если у=f(x), ее первая производная в точке х0 является пределом, к которому стремится f(x0+а)–f(x0)/а по мере того, как а стремится к бесконечно малой величине. Первая производная может обозначаться dy/dx или y´(x). Функция у(х) имеет постоянное значение в точке х0, если dy/dx в точке х0 равно нулю. Равная нулю первая производная является необходимым, но недостаточным условием для того, чтобы функция достигала в данной точке своего максимума или минимума.
Экономика. Толковый словарь. – М.: “ИНФРА-М”, Издательство “Весь Мир”. Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М. . 2000 .
Экономический словарь . 2000 .
Смотреть что такое “ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ” в других словарях:
– (derivative) Темп приращения значения функции при приращении ее аргумента в какой либо точке, если сама функция в этой точке определена.
На графике первая производная функции показывает угол ее наклона. Если у=f(x), ее первая производная в точке… … Экономический словарь
У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной Производная … Википедия
Производная основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел… … Википедия
Краевая задача специального вида; заключается в отыскании в области Dпеременных x=(x1,…, х п).решения дифференциального уравнения (1) четного порядка 2т по заданным значениям всех производных порядка не выше тна границе Sобласти D(или ее части) … Математическая энциклопедия
– (second derivative) Первая производная (first derivative) от первой производной функции. Первая производная измеряет наклон функции; вторая производная измеряет, как изменяется наклон с увеличением аргумента.
Вторая производная от y = f(x)… … Экономический словарь
Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Дробная про … Википедия
– (cross partial derivative) Влияние изменения одного аргумента функции от двух и более переменных на производную данной функции, взятую по другому аргументу. Если y=f(x,z), то ее производная, или первая производная функции у по аргументу х, равна… … Экономический словарь
аналог скорости точки – Первая производная перемещения точки по обобщенной координате механизма …
аналог угловой скорости звена – Первая производная угла поворота звена по обобщенной координате механизма … Политехнический терминологический толковый словарь
обобщённая скорость механизма – Первая производная от обобщенной координаты механизма по времени … Политехнический терминологический толковый словарь
Книги
- Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии , Мищенко А.
С.. Настоящий сборник задач призван максимально отразить существующие требования к курсам дифференциальной геометрии и топологии как со стороны новых программ, так исо стороны других курсов… - Мои научные статьи. Книга 3. Метод матриц плотности в квантовых теориях лазера, произвольного атома , Бондарев Борис Владимирович. В этой книге рассмотрены опубликованные научные статьи, в которых методом матриц плотности изложены новые квантовые теории лазера, произвольного атома и квантового осциллятора с затуханием.…
С.. Настоящий сборник задач призван максимально отразить существующие требования к курсам дифференциальной геометрии и топологии как со стороны новых программ, так исо стороны других курсов…Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.
Константа y = C Степенная функция y = x p (x p) ” = p · x p – 1 | Показательная функция y = a x (a x) ” = a x · ln a В частности, при a = e имеем y = e x (e x) ” = e x |
Логарифмическая функция (log a x) ” = 1 x · ln a В частности, при a = e имеем y = ln x (ln x) ” = 1 x | Тригонометрические функции (sin x) ” = cos x (cos x) ” = – sin x (t g x) ” = 1 cos 2 x (c t g x) ” = – 1 sin 2 x |
Обратные тригонометрические функции (a r c sin x) ” = 1 1 – x 2 (a r c cos x) ” = – 1 1 – x 2 (a r c t g x) ” = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) ” = – 1 1 + x 2 | Гиперболические функции (s h x) ” = c h x (c h x) ” = s h x (t h x) ” = 1 c h 2 x (c t h x) ” = – 1 s h 2 x |
Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.
Производная постоянной
Доказательство 1
Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x 0 = x , где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f (x) = C . Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆ x → 0:
lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C – C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0
Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0 ∆ x . Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.
Итак, производная постоянной функции f (x) = C равна нулю на всей области определения.
Пример 1
Даны постоянные функции:
f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = – 8 7
Решение
Опишем заданные условия.
В первой функции мы видим производную натурального числа 3 . В следующем примере необходимо брать производную от а , где а – любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4 . 13 7 22 , четвертый – производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби – 8 7 .
Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)
f 1 ” (x) = (3) ” = 0 , f 2 ” (x) = (a) ” = 0 , a ∈ R , f 3 ” (x) = 4 . 13 7 22 ” = 0 , f 4 ” (x) = 0 ” = 0 , f 5 ” (x) = – 8 7 ” = 0
Производная степенной функции
Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: (x p) ” = p · x p – 1 , где показатель степени p является любым действительным числом.
Доказательство 2
Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p = 1 , 2 , 3 , …
Вновь опираемся на определение производной.
Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
(x p) ” = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p – x p ∆ x
Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:
(x + ∆ x) p – x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p – 1 · ∆ x + C p 2 · x p – 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p – 1 · x · (∆ x) p – 1 + C p p · (∆ x) p – x p = = C p 1 · x p – 1 · ∆ x + C p 2 · x p – 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p – 1 · x · (∆ x) p – 1 + C p p · (∆ x) p
Таким образом:
(x p) ” = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p – x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p – 1 · ∆ x + C p 2 · x p – 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p – 1 · x · (∆ x) p – 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p – 1 + C p 2 · x p – 2 · ∆ x + . . . + C p p – 1 · x · (∆ x) p – 2 + C p p · (∆ x) p – 1) = = C p 1 · x p – 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p – 1) ! · x p – 1 = p · x p – 1
Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.
Доказательство 3
Чтобы привести доказательство для случая, когда p – любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.
Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.
Итак, x > 0 . Тогда: x p > 0 . Логарифмируем равенство y = x p по основанию e и применим свойство логарифма:
y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x
На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:
(ln y) ” = (p · ln x) 1 y · y ” = p · 1 x ⇒ y ” = p · y x = p · x p x = p · x p – 1
Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.
Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x
Тогда x p
Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x
y ” (x) = (- (- x) p) ” = – ((- x) p) ” = – p · (- x) p – 1 · (- x) ” = = p · (- x) p – 1 = p · x p – 1
Последний переход возможен в силу того, что если p – нечетное число, то p – 1 либо четное число, либо нуль (при p = 1), поэтому, при отрицательных x верно равенство (- x) p – 1 = x p – 1 .
Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p .
Пример 2
Даны функции:
f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 – 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12
Определите их производные.
Решение
Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y = x p , опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:
f 1 (x) = 1 x 2 3 = x – 2 3 ⇒ f 1 ” (x) = – 2 3 · x – 2 3 – 1 = – 2 3 · x – 5 3 f 2 ” (x) = x 2 – 1 4 = 2 – 1 4 · x 2 – 1 4 – 1 = 2 – 1 4 · x 2 – 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x – log 7 12 ⇒ f 3 ” (x) = – log 7 12 · x – log 7 12 – 1 = – log 7 12 · x – log 7 12 – log 7 7 = – log 7 12 · x – log 7 84
Производная показательной функции
Доказательство 4
Выведем формулу производной, взяв за основу определение:
(a x) ” = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x – a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x – 1) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x – 1 ∆ x = 0 0
Мы получили неопределенность.
Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z = a ∆ x – 1 (z → 0 при ∆ x → 0). В таком случае a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.
Осуществим подстановку в исходный предел:
(a x) ” = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x – 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z
Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:
(a x) ” = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a
Пример 3
Даны показательные функции:
f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x
Необходимо найти их производные.
Решение
Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:
f 1 ” (x) = 2 3 x ” = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · (ln 2 – ln 3) f 2 ” (x) = 5 3 x ” = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 ” (x) = 1 (e) x ” = 1 e x ” = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e – 1 = – 1 e x
Производная логарифмической функции
Доказательство 5
Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма.
Опираясь на определение производной, получим:
(log a x) ” = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) – log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a
Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.
Пример 4
Заданы логарифмические функции:
f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x
Необходимо вычислить их производные.
Решение
Применим выведенную формулу:
f 1 ” (x) = (log ln 3 x) ” = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 ” (x) = (ln x) ” = 1 x · ln e = 1 x
Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x .
Производные тригонометрических функций
Доказательство 6
Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.
Согласно определению производной функции синуса, получим:
(sin x) ” = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) – sin x ∆ x
Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:
(sin x) ” = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) – sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x – x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2
Наконец, используем первый замечательный предел:
sin ” x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x
Итак, производной функции sin x будет cos x .
Совершенно также докажем формулу производной косинуса:
cos ” x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) – cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 – 2 · sin x + ∆ x – x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = – lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = – sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = – sin x
Т.е. производной функции cos x будет – sin x .
Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:
t g ” x = sin x cos x ” = sin ” x · cos x – sin x · cos ” x cos 2 x = = cos x · cos x – sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g ” x = cos x sin x ” = cos ” x · sin x – cos x · sin ” x sin 2 x = = – sin x · sin x – cos x · cos x sin 2 x = – sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = – 1 sin 2 x
Производные обратных тригонометрических функций
Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.
Производные гиперболических функций
Доказательство 7
Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:
s h ” x = e x – e – x 2 ” = 1 2 e x ” – e – x ” = = 1 2 e x – – e – x = e x + e – x 2 = c h x c h ” x = e x + e – x 2 ” = 1 2 e x ” + e – x ” = = 1 2 e x + – e – x = e x – e – x 2 = s h x t h ” x = s h x c h x ” = s h ” x · c h x – s h x · c h ” x c h 2 x = c h 2 x – s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h ” x = c h x s h x ” = c h ” x · s h x – c h x · s h ” x s h 2 x = s h 2 x – c h 2 x s h 2 x = – 1 s h 2 x
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью.
Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля.
Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Можно выносить за знак производной :
(af(x)” =af ” (x).
Например :
Производная алгебраической суммы нескольких функций (взятых в неизменном числе) равна алгебраической сумме их производных :
(f 1 (x) + f 2 (x) – f 3 (x))” = f 1 ” (x) + f 2 ” (x) – f 3 ” (x).
Например :
(0,3 х 2 – 2 х + 0,8)” = (0,3 х 2)” – (2 х)” + (0,8)” = 0,6 х – 2 (производная последнего слагаемого уравнения равна нулю).
Если производная функции g отлична от нуля, то отношение f/g также имеет конечную производную .
Данное свойство можно записать в виде:
.
Пусть функции y = f(x) и y = g(x) имеют конечные производные в точке x 0 . Тогда функции f ± g и f · g также имеют конечные производные в этой точке . Тогда получим:
(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,
(f · g) ′ = f ′ · g + f · g ′.
Производная сложной функции.
Пусть функция y = f(x) имеет конечную производную в точке x 0 , функция z = s(y) имеет конечную производную в точке y 0 = f(x 0).
Тогда сложная функция z = s (f(x)) также имеет конечную производную в этой точке. Сказанное можно записать в виде:
.
Производная обратной функции.
Пусть функция y = f(x) имеет обратную функцию x = g(y) на некотором интервале (a, b) и существует отличная от нуля конечная производная этой функции в точке x 0 , принадлежащая области определения , т.е. x 0 ∈ (a, b).
Тогда обратная функция имеет производную в точке y 0 = f(x 0):
.
Производная неявной функции.
Если функция y = f(x) задана неявно уравнением F(x, y(x)) = 0, то её производная находится из условия:
.
Говорят, что функция y = f(x) задана неявно , если она тождественно удовлетворяет соотношению:
где F(x, y) – некоторая функция двух аргументов.
Производная функции, заданной параметрически.
Если функция y = f(x) задана параметрическим образом с помощью рассмотренной
2}}}.\]Чтобы доказать эту формулу, рассмотрим приращение частного:
\[\require{cancel} \Delta \left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u + \Delta u}}{{v + \Delta v}} – \frac {u}{v} = \frac{{\left( {u + \Delta u} \right)v – u\left( {v + \Delta v} \right)}}{{v\left( {v + \Delta v} \right)}} = \frac{{\cancel{uv} + v\Delta u – \cancel{uv} – u\Delta v}}{{v\left( {v + \Delta v } \right)}} = \frac{{v\Delta u – u\Delta v}}{{v\left( {v + \Delta v} \right)}}.\]
Производная от частного выражается следующим образом: 93}}}.
\)
Пример 5
Найдите производную функции \(y = \frac{{2x + 1}}{{2x – 1}}\) в точке \(x = 1.\)
Пример 6
Вычислите производную от \(y = \tan x\), используя правило частных.
Пример 7
Найти производную функции котангенса \(y = \cot x.\)
Пример 8
Найти производную функции секанса \(y = \sec x.\)
Пример 1.
Найдите производную функции \({y = {\frac{2}{x}}}.\) 92}x}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \frac{1}{{\cos x}} = \tan x\sec x.\]
Дополнительные проблемы см. на стр. 2.
Дифференциальное исчисление. Правило частных
Правило частного дает нам производную частного двух функций (одна функция делится на другую функцию). Мы знаем, что можем найти дифференциал полиномиальной функции, складывая дифференциалы отдельных членов полинома, каждый из которых является функцией сам по себе. Поэтому заманчиво предположить, что для функции, являющейся частным двух функций, мы можем просто разделить производную числителя на производную знаменателя.
К сожалению, все будет не так просто. Итак, как нам найти производную? Давайте посмотрим на пример. Предположим, нам нужно найти производную следующего выражения:
| y = | x 2 + 5 |
| 3 x – 9 |
Справа от знака равенства находится частное двух функций. Найти производную каждой функции по отдельности относительно легко. Однако, чтобы найти производную от частного, нам нужно будет использовать правило отношения. Правило гласит, что производная от частного двух функций равна произведению знаменатель и производная числителя минус произведение числителя и производной знаменателя , всего знаменателя в квадрате . Сформулируем это алгебраически. Предположим, у нас есть выражение:
| y = | u | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| v |
Производная находится по следующей формуле:| г г | = |
| ||||||
| d x | v 2 |
Давайте воспользуемся формулой правила частного, чтобы найти производную от y = ( x 2 + 5) / (3 x – 9). Начнем с нахождения производной каждой функции отдельно:
| d | ( x 2 + 5) = 2 x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d 1
Теперь присвоим функции соответствующим переменным в формуле: u ( x ) = x 2 + 5 v ( x ) = 3 x 9016 Подставив приведенные выше значения в формулу частного правила, мы получим:
Здесь следует отметить несколько вещей.
Далее мы присваиваем функции переменным формулы: u ( x ) = 4 x – 2 v ( x ) = x 2 + 1 Подставляя эти значения в формулу частного правила, мы получаем:
Теперь предположим, что у нас есть такое выражение:
Используя формулу правила отношения, чтобы найти производную, мы получаем:
Действительно ли нам нужно было использовать правило частного здесь? Предположим, мы просто перепишем выражение как:
Всякий раз, когда вам нужно дифференцировать выражение, включающее частное двух функций, всегда стоит проверить, можете ли вы переписать выражение, как мы сделали здесь. Если это так, вы сможете найти производную без применения правила частного. Есть еще один сценарий, связанный с частным, на который мы должны обратить внимание. Что произойдет, если нам нужно найти обратная функции? Нам еще предстоит дифференцировать дробь, у которой знаменатель будет функцией, но числитель всегда будет один (1). Рассмотрим следующее выражение:
Оказывается, мы можем получить производную от обратной любой функции u , используя следующую несколько менее сложную формулу:
Итак, мы могли бы просто написать:
Исходя из этого, предположим, что у нас есть следующее выражение:
Поскольку эта функция представляет собой просто обратную величину, умноженную на 90 167, пять 90 168 (5), мы можем рассматривать пять в числителе как постоянный коэффициент и просто использовать формулу для производной обратной величины, как мы делали выше:
Неизбежно возникнут ситуации, когда вам нужно найти производную от частного двух функций. |
Во-первых, числитель в формуле правила частных почти такой же, как формула для правило продукта – отличие только в том, что оператор сложения заменяется оператором вычитания. Второе, что следует отметить, это то, что, поскольку используется вычитание, члены в числителе должны стоять в правильном порядке. Давайте посмотрим на другой пример. На этот раз мы найдем производную от y = (4 x – 2) / ( x 2 + 1). И снова ищем производную от частного двух функций. Как и прежде, начнем с нахождения производной каждой функции в отдельности:
0923 · 