Производная частного: Производная частного функций (u/v)’

Урок 11. правила дифференцирования – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №11. Правила дифференцирования.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• разбор основных правил дифференцирования функций;
• примеры вычисления производной линейной функции;
• правила вычисления производных произведения и частного.

Глоссарий по теме

Производная суммы равна сумме производных.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции.

Производная разности равна разности производных.

Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования. Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных: (f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g'(x).

Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции

f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))’ = f ‘(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных: (f(x) – g(x))’ = f ‘(x) – g'(x).

А теперь рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования.

Рассмотрим второе правило дифференцирования:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(cf(x))’=cf ‘ (x)

Переходим к третьему правилу дифференцирования. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго. (f(x)·g(x)) ‘=f’ (x)·g(x)+f(x)·g’ (x)

Четвертое правило дифференцирования: производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Сложная функция

Производная сложной функции находится по формуле:

(f(g(x))) ‘=f ‘(g(x))·g’ (x)

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем производную функции:

Решение:

производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого

Ответ:

Пример 2.

Найти производную функции f(x)=8x³+3x²-x.

Решение:

f(x)=8x³+3x²-x

f’(x)=(8x³)’+(3x²)’-x’

Рассмотрим каждый член многочлена по отдельности

(8x³) ‘=8(x³) ‘=8·3x²=24x²

(3x²) ‘=3(x²) ‘=3·x=6x

(-x) ‘=-(x) = -1

f’ (x)=(8x³) ‘+(3x²) ‘-x’=24x²+6x-1.

Ответ: f’ (x)=24x²+6x-1.

Пример 3.

Найти производную функции f(x)=(3x-4)(4-5x).

Решение:

Воспользуемся формулой производной произведения:

f’ (x)=(3х-4) ‘ (4-5х) + (3х-4)(4-5х) ‘=3(4-5х)-5(3х-4)=12-15х-15х+20= 32

Ответ: f’ (x)=32

Пример 4.

Найти производную функции

Решение:

Воспользуемся формулой производной частного:

Ответ:

Пример 5.

Найти производную функции F(x)=(2x-1)²

Решение:

По правилу нахождения производной от сложной функции, получаем:

F’ (x)=((2x-1)²) ‘·(2x-1)=2(2x-1)·2=4(2x-1)=8x-4.

Ответ: F’ (x)=8x-4.

Найти производную произведения и частного. Производная функции. Исчерпывающее руководство (2019). Зачем раскладывать производные на множители

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо – в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ – раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности – включая административные, технические и физические – для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования.

Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u “v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Производная частного с примерами решения

Содержание:

1. Производная частного. Нахождение и доказательство
2. Примеры с решением
3. Пример 1.
4. Пример 2.
5. Производная частного
6. Пример 3.

Если функции и имеют производные в точке , то их произведение и частное (при условии, что ) имеют производные и справедливы равенства :

Производная частного. Нахождение и доказательство

Производная частного является произведением произведения производных числителя и знаменателя на произведение производных числителя и знаменателя, деленное на квадрат знаменателя.

Теорема 1:

Если функции и имеют производные в точке , то их произведение также имеет в этой точке производную, равную

(1)

Коротко равенство (1) записывают так:

Доказательство.

В точке зададим приращение аргумента и вычислим приращения функций и :

откуда

. Теперь вычислим приращеиие функции :

Тогда

При имеем, так как функция в точке имеет производную, поэтому она в этой точке непрерывна (см, п. 4.3). Тогда

следовательно, в точке

Теорема 1 доказана.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Теорема 2:

Если функции и имеют производные в точке и , то их частное также имеет в этой точке производную, равную

Коротко это равенство записывают так:

Доказательство.

В точке зададим приращение аргумента и вычислим приращение функции :

Тогда

При имеем, так как функция в точке имеет производную, следовательно, она в этой точке непрерывна (см. п. 4.3). Тогда , поэтому в точке

Теорема 2 доказана.

Пока что мы рассмотрели только простейший пример.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Производная частного

Если функции и имеют в точке производные и если , то в этой точке существует производная их частного , которая вычисляется по формуле

Пример 3.

Найти , если

Решение:

20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции u=u(х) и ν=ν(х) – две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.

Теорема 20.2 . Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)’=u’±ν’.

Обозначим у=u±ν. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 20.3 . Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)’=u’ν+v’u.

т. е. (u•ν)’=u’•ν+u•ν‘.

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ∆ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0.

Можно показать, что:

а)  (с•u)’=с•u’, где с = const;  б)  (u•ν•w)’=u’v•w+u•v’•w+u•v•w’.  

Теорема 20.4. Производная частного двух функций     если ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Пусть у=u/v. Тогда

Следствие 20.1.

  

Следствие 20.2.

20.5. Производная сложной и обратной функций

Пусть у=ƒ(и) и u=φ(х), тогда у=ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема 20.5 . Если функция u=φ(х) имеет производную u’_х в точке х, а функция у=ƒ(u) имеет производную у’_u в соответствующей точке u=φ(х), то сложная функция у=ƒ(φ(х)) имеет производную у’_х в точке х, которая находится по формуле у’_х=у’_u-u’_х.

По условию

Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

∆у=у’_u•∆u+α*∆u,                                     (20.6)

где α→0 при ∆u→0.

Функция u=φ(х) имеет производную в точке х:

этому

∆u=u¢ _х •∆х+ß•∆х, где ß→0 при ∆х→0.

Подставив значение ∆u в равенство (20.6), получим

Δy=y¢ _u(u’_х•∆х+ß*∆х)+а(u’_х•∆х+ß•∆х),

т.е.

∆у=у’u•u’_х•∆х+у’_u•ß•∆х+u’_х•а•∆х+α•ß•∆х.

Разделив полученное равенство на ∆х и перейдя к пределу при ∆х→О, получим у’_х=у’_u*u’_х.

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножыть на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=ƒ(u), u=φ(ν), ν=g(х), то у’_х=у’_u•u’_ν•ν’_х. Пусть у=ƒ(х) и х=φ(у) — взаимно обратные функции.

Теорема 20.6 . Если функция у=ƒ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную ƒ'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=φ(у) также имеет производную φ'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством

Рассмотрим обратную функцию х=φ(у). Дадим аргументу у приращение ∆у¹ 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х¹ 0 в силу строгой монотонности функции у=ƒ(х). Поэтому можно записать

Если ∆у→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение ∆х→0. И так как

то из (20.7) следуют равенства

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

<< Пример 20.3

 Найти производную функции у=log₂³tg x⁴.

Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у=u³, где u=Iog₂z, где z=tgq, где q=х⁴. По правилу дифференцирования сложной функции (у’_х=y’_u•u’_z•z’_q•q’_x) получаем:

<< Пример 20.4

 Пользуясь   правилом   дифференцирования   обратной функции, найти производную у’_х для функции  

Решение: Обратная функция х=у³+1 имеет производную х’_y =3у².

Следовательно,

Russian – Производная частного для функции tg x

Здравствуйте!

На прошлом занятии мы рассматривали формулу производной частного,

которая напрямую вытекает из формулы производной произведения.

Если нам дана функция вида f(x)/g(x), то ее производная равна вот этому выражению.

Давайте применим эту формулу на практике и найдем производную чего-то полезного.

Итак, чему равна производная tg x по аргументу х.

Вы, вероятно, спросите: «Как можно к этой функции

применить формулу производной частного?» Вспомните определение тангенса.

Как еще мы можем записать tg x?

tg x – это то же самое, что и (sin x)/(cos x).

Вот теперь перед нами частное двух функций.

Ну, что ж, применим формулу производной частного.

Это будет производная sin x умножить на cos x… а чему равна производная sin x?

Она равна cos x. Производная sin x равна cos x.

И cos x мы умножаем на функцию в знаменателе, на cos x.

… минус функция в числителе, то есть sin x,

умножить на производную функции в знаменателе.

А чему равна производная cos х?

Производная cos x равна минус sin x.

Сюда записываем просто sin x, а минус на этот минус дает плюс,

И все это делится на функцию в знаменателе в квадрате.

Все это делится на cos x в квадрате.

Давайте упростим это выражение.

В числителе у нас cos x умножается на cos x, а это то же самое, что и cos²x.

А (sin x)*(sin x)=sin²x. А чему равно cos²x+sin²x?

Это основное тригонометрическое тождество.

Давайте его запишем вот здесь: cos²x+sin²x=1.

Это очень упрощает наш ответ. cos²x+sin²x=1. В числителе у нас 1.

Таким образом, производная тангенса равна 1,

деленной на (cos x)^2, мы можем записать это как cos²x.2. Запишем это так: sec²x.

Мы знаем, чему равны производные sin x и cos x.

Используя формулу производной частного

(которая напрямую вытекает из формулы производной произведения),

мы нашли производную tg x.

Производная tg x равна sec²x. На этом все. До скорых встреч!

Математика для экономистов | Онлайн-курсы подготовки по олимпиадной экономике

Математика для экономистов | Онлайн-курсы подготовки по олимпиадной экономике

Математика для экономистов

• Производная
  • Простое определение
  • Строгое определение
  • Геометрический смысл
  • Правила дифференцирования
    • Производная константы
    • Вынос константы из под производной
    • Производная суммы (разности) функций
    • Производная произведения функций
    • Производная частного функций
    • Производная сложной функции
  • Арифметика производных
• Прогрессии
  • Арифметическая прогрессия и ее сумма
  • Геометрическая прогрессия и ее сумма
    • Сумма бесконечно убывающей прогрессии

Производная

Простое определение

Производная — скорость изменения функции в данной точке.

Строгое определение

Для формирования строгого определения необходимо знание пределов (но грубо говоря, предел — то куда стремится функция при приближении аргумента к какому-то значению).

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ это $$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}$$

Или другими словами, отношение приращения функции к приращению аргумента при небольших приращениях аргумента. По другому это же можно записать как $$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}$$

Геометрический смысл

С геометрической точки зрения производную функции можно интерпретировать как касательную

Правила дифференцирования

Чтобы решать задачи строгое определение чаще всего не нужно, но следующие правила вам могут оказаться полезными. Если производные от функций $f(x)$ и $g(x)$ существуют и равны $f'(x)$ и $g'(x)$ соответственно, то следующие выражения верны:

Производная константы:

$$(C)’ = 0$$

Производная константы равна нулю, так как константа не изменяет своего положения при изменении аргумента.x \ln x$$

Прогрессии

Прогрессия — ряд увеличивающихся или уменьшающихся по какому-либо правилу чисел. Заметьте, что их бесконечно много, так как зная правило всегда можно построить новое число последовательности.

Арифметическая прогрессия и ее сумма

Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с d. Число d называется разностью прогрессии. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$a_i = a_1 + d \times (i-1)$$

Чтобы найти сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, разобьем последовательность на пары — каждому элементу с номером $i$ сопоставим элемент номер $n+1+i$: первому элементу будет соответствовать последний, второму – предпоследний и так далее (если количество элементов нечетно, то элемент посередине назовем парой). Заметим, что сумма элементов каждой из пар одинаковая, она равна $2a_1+d(n-1)$, а пар всего $n/2$, значит формула суммы будет –

$$\sum\limits_{arithm} = (a_1 + d(n-1)) \times \dfrac{n}{2} = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$$

Геометрическая прогрессия и ее сумма

Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число $q>0$.n – 1) }{q-1}$$

Сумма бесконечно убывающей прогрессии

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия, у которой $0 $$\sum\limits_{geom} = \dfrac{b_1}{1-q}$$

Если у вас еще остались вопросы, то ответы на них можно найти на онлайн-курсах по экономике Экономический Олимп. Экономический Олимп – с нами вы постигнете экономику. Наша миссия — дать всем нашим ученикам возможность поступить в лучшие вузы страны.

Все темы

Производные частного | tvoireferaty.bitballoon.com

На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, полного дифференциала функции. Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на странице Математические формулы и таблицы.

Начнем с самого понятия функции двух переменных, я постараюсь ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные,называютсянезависимыми переменными или аргументами.

Пример: – функция двух переменных.

Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквыиспользуется буква.

Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например,– всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменныхс геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ, которыйникогда не давал списывать мой вузовский преподаватель является моим «коньком».

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

Обозначения: или– частная производная по «икс»или– частная производная по «игрек»

Начнем с .Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).

Решаем. На данном уроке я буду приводить полное решение сразу, а комментарии давать ниже.

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если Вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием(сразу откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.

(2) Используем правила дифференцирования ,. Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так каксчитается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуацииничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое: здесь, наоборот, выносить нечего. Так какконстанта, то– тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(3) Используем табличные производные и.

(4) Упрощаем, или, как я люблю говорить, «причесываем» ответ.

Теперь .Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой (постоянным числом).

(1) Используем те же правила дифференцирования ,. В первом слагаемом выносим константуза знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку– уже константа.

(2) Используем таблицу производным элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для(да и вообще почти для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так: и.

Подведем итог, чем же отличается нахождение частных производных от нахождения «обычных» производных функции одной переменной:

1) Когда мы находим частную производную , переменная считается константой.

2) Когда мы находим частную производную , переменная считается константой.

3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (,либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.

Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.

Обозначения: или– вторая производная по «икс»или– вторая производная по «игрек»или–смешанная производная «икс по игрек» или–смешанная производная «игрек по икс»

В понятии второй производной нет ничего сложного. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.

Для наглядности я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:

Сначала найдем смешанные производные:

Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».

Аналогично:

Для практических примеров справедливо следующее равенство:

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.

Находим вторую производную по «икс». Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз:

Аналогично:

Следует отметить, что при нахождении ,нужно проявитьповышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для проверки не существует.

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, рекомендую ознакомиться уроком Как найти производную?

При определенном опыте частные производные из примеров №№1,2 будут решаться Вами устно.

Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что. Записать полный дифференциал первого порядка.

Решение: Находим частные производные первого порядка:

Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что– константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.

(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и, а, значит, и их произведениесчитается постоянным числом.

(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.

(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .

(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .

(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило:.

Теперь находим смешанные производные второго порядка:

, значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.

Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:

То есть, в формулу нужно тупо просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов ив этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:

Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что. Записать полный дифференциал первого порядка.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции.

Найти частные производные первого порядка функции . Записать полный дифференциал.

Решение:

(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . С урокаПроизводная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у насне меняется.

(2) Здесь используем свойство корней: , выносим константуза знак производной, а кореньпредставляем в нужном для дифференцирования виде.

Аналогично:

Запишем полный дифференциал первого порядка:

Найти частные производные первого порядка функции . Записать полный дифференциал.

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое

Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.

Найти частные производные первого порядка функции .

(2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль). Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместобыла дана функция– важно, что здесьпроизведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс», а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.

(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит,считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:

– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!

На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:

– Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем.

Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).

Найти частные производные первого порядка функции .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.

Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.

Пример 2: ,,,,

Пример 6: , ,

Титульный лист инженерная графика а4

Исчисление I – Правило произведения и частного

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-4: Правило о продукте и соотношении

В предыдущем разделе мы отметили, что должны быть осторожны при дифференцировании продуктов или коэффициентов. Пришло время взглянуть на продукты и коэффициенты и понять, почему.3} – x} \ right) \ left ({10 – 20x} \ right) \) Показать все решения Скрыть все решения

На данный момент действительно не так много причин для использования правила продукта. Как мы отметили в предыдущем разделе, все, что нам нужно сделать для любого из них, – это просто умножить произведение, а затем дифференцировать. 2}} \ right) \]

Теперь возьмем производную.2} + 40x – 10 \ end {align *} \]

Поскольку это было легко сделать, мы пошли дальше и немного упростили результаты.

Давайте теперь поработаем пару примеров с правилом частного. В этом случае, в отличие от примеров правил произведения, для пары из этих функций потребуется правило частного, чтобы получить производную. Однако в отношении последних двух мы можем избежать правила частного, если захотим, как мы увидим.

Пример 2 Различайте каждую из следующих функций.6}}} \) Показать решение

Кажется странным иметь этот здесь, а не быть первой частью этого примера, учитывая, что он определенно кажется проще, чем любой из двух предыдущих. На самом деле так проще. Есть смысл сделать это здесь, а не сначала. В этом случае есть два способа вычислить эту производную. Есть простой и трудный путь, и в этом случае трудный путь – это правило частного. В этом суть этого примера.

Давайте воспользуемся правилом частного и посмотрим, что у нас получится.7}}} \]

Так вот, это был «трудный» путь. Итак, что в этом было такого сложного? На самом деле это было не так сложно, просто есть более простой способ сделать это, вот и все. Однако при этом распространенной ошибкой здесь является неправильное определение производной числителя (константы). По какой-то причине многие люди в подобных задачах будут указывать производную числителя как 1 вместо 0! Кроме того, есть некоторые упрощения, которые необходимо сделать в такого рода задачах, если вы используете правило частного.5} \]

Наконец, давайте не будем забывать о наших приложениях деривативов.

Пример 3 Предположим, что количество воздуха в воздушном шаре в любой момент времени \ (t \) определяется выражением \ [V \ left (t \ right) = \ frac {{6 \ sqrt [3] {t}}} {{4t + 1}} \]

Определите, наполняется ли баллон воздухом или из него выходит воздух при \ (t = 8 \). \ prime} h + \ left [{f \, g} \ right] h ‘\]

Обратите внимание, что мы помещаем скобки в часть \ (f \, g \), чтобы прояснить, что мы думаем об этом термине как об одной функции.\ prime} = \ left [{f ‘\, g + f \, g’} \ right] h + \ left [{f \, g} \ right] h ‘= f’ \, g \, h + f \, g ‘\, h + f \, g \, h’ \]

Любое правило продукта с большим количеством функций может быть получено аналогичным образом.

С помощью этого и предыдущего разделов мы теперь можем различать степени \ (x \), а также суммы, разности, произведения и частные этих видов функций. Однако в мире есть гораздо больше функций, которые не представлены в этой форме. В следующих нескольких разделах приведены многие из этих функций, а также их производные.

Правило частного – проблема 1

Правило частного утверждает, что производная функции h (x), где h (x) = f (x) / g (x), равна h ‘(x) = (g (x) f’ (x) – f ( х) г ‘(х)) / (г (х)) ² .

Например, пусть h (x) = x ² / 4x ³ -7. Наши функции f и g: f (x) = x ² и g (x) = 4x ³ -7. Используя нормальные правила дифференцирования, мы знаем, что f ‘(x) = 2x и g’ (x) = 12x ² .Подставьте эти значения в формулу: h ‘(x) = ((4x ³ -7) (2x) – (x ² ) (12x ² )) / (12x ² ) ² . Расширяя, мы получаем h ‘(x) = (8x ⁴ -14x – 12x ⁴ ) / 144x ⁴ = (-4x ⁴ -14x) / 144x ⁴ . В упрощенном виде это становится h ‘(x) = (- 2x ³ -7) / 72x ³ .

Давайте разберемся с правилом частного.Итак, давайте просто вспомним, что правило частного – это то, как мы дифференцируем частное двух функций; е и ж. Мы будем называть f высокой функцией, а g – низкой функцией. Помните, что правило частного: низкий d высокий минус высокий d низкий по квадрату того, что ниже.

Итак, давайте рассмотрим эту проблему. Мы хотим дифференцировать y, равное e, на x, превышающее x². Таким образом, производная dy / dx будет иметь значение low d high. Итак, мне нужно вставить дробную черту. Низкое значение d равно x², умноженное на производную e от x, которое равно e от x, минус высокое d low, которое e на x, умноженное на производную этого парня, которое равно 2x, над квадратом того, что внизу.Это становится x для четвертого.

Это можно немного упростить. Я могу вытащить букву е на точку x. У меня осталось x² минус 2x. Теперь один из этих x сократится со знаменателем. Итак, этот х, этот х и этот парень. Так что у меня остаётся x минус 2 на x³. Вот и ваш ответ.

Попробуем еще. У меня y равно x² плюс 3x плюс 2 больше 5 минус x. Опять же, производная низкая d высокая. Итак, это низкая функция. D high будет 2x плюс 3 минус высокий d низкий. Высокая функция: x² плюс 3x плюс 2.D low будет -1, производная 5 минус x, -1 по квадрату того, что ниже. Итак, 5 минус x².

Я могу это упростить. Не хочу, выглядит ужасно. 5 минус x, давайте посмотрим, что мы получим -2x². Мы собираемся получить 10х минус 3х. Итак, плюс 7x, и тогда мы получим +50. Тогда здесь мы получим минус, минус плюс x². Мы собираемся получить плюс 3x. Мы собираемся получить плюс 2 на 5 минус x². Я оставлю знаменатель таким.

Просто объединить одинаковые термины в числителе; У меня будет минус x².2} \) и обратите внимание, что \ (q (t) = \ frac {g (t)} {f (t)} \ text {.} \) Перепишите формулу для \ (q \), разделив каждый член в числитель по знаменателю и упростите запись \ (q \) как сумму постоянных кратных степеней \ (t \ text {.} \). Затем вычислите \ (q ‘(t) \), используя сумму и постоянное кратное правила.

Верно или неверно: \ (q ‘(t) = \ frac {g’ (t)} {f ‘(t)} \ text {.} \)

Подраздел 2.3.1 Правило продукта

Как показано в части (b) предварительного просмотра 2.3.1, в целом неверно, что производная произведения двух функций является произведением производных этих функций.Чтобы понять, почему это так, мы рассмотрим пример, включающий значимые функции.

Допустим, инвестор регулярно покупает акции определенной компании. Пусть \ (N (t) \) представляет количество акций, которыми владеют в день \ (t \ text {,} \), где \ (t = 0 \) представляет первый день, в который акции были куплены. Пусть \ (S (t) \) задает стоимость одной акции в день \ (t \ text {;} \), обратите внимание, что единицы на \ (S (t) \) – это доллары за акцию. Чтобы вычислить общую стоимость запасов в день \ (t \ text {,} \), мы берем продукт

\ begin {уравнение *} V (t) = N (t) \, \ text {акции} \ cdot S (t) \, \ text {долларов за акцию} \ text {.} \ end {уравнение *}

Заметьте, что со временем как количество акций, так и стоимость данной акции будут меняться. Производная \ (N ‘(t) \) измеряет скорость, с которой изменяется количество акций, а \ (S’ (t) \) измеряет скорость, с которой изменяется стоимость одной акции. Как эти соответствующие скорости изменения влияют на скорость изменения функции общей стоимости?

Чтобы помочь нам понять взаимосвязь между изменениями в \ (N \ text {,} \) \ (S \ text {,} \) и \ (V \ text {,} \), давайте рассмотрим некоторые конкретные данные.

• Предположим, что в день 100 инвестор владеет 520 акциями, а текущая стоимость акций составляет 27,50 долларов за акцию. Это говорит нам, что \ (N (100) = 520 \) и \ (S (100) = 27,50 \ text {.} \)
• На 100-й день инвестор покупает дополнительно 12 акций (таким образом, количество удерживаемых акций увеличивается со скоростью 12 акций в день).
• В тот же день цена акции растет со скоростью 0,75 доллара за акцию в день.

В нотации исчисления последние два факта говорят нам, что \ (N ‘(100) = 12 \) (долей в день) и \ (S’ (100) = 0.75 \) (долларов за акцию в день). С какой скоростью изменяется общая стоимость вложений инвестора на 100-й день?

Обратите внимание, что увеличение общей стоимости происходит из двух источников: растущее количество акций и рост стоимости каждой акции. Если увеличивается только количество акций (и стоимость каждой акции постоянна), скорость, с которой будет расти общая стоимость, является произведением текущей стоимости акций и скорости, с которой изменяется количество акций. То есть скорость, с которой будет изменяться общая стоимость, равна

.

\ begin {уравнение *} S (100) \ cdot N ‘(100) = 27.50 \, \ frac {\ text {доллары}} {\ text {share}} \ cdot 12 \, \ frac {\ text {share}} {\ text {day}} = 330 \, \ frac {\ text { долларов}} {\ text {день}} \ text {.} \ end {уравнение *}

Обратите особое внимание на то, как имеют смысл единицы измерения и покажите скорость, с которой изменяется общее значение \ (V \), измеренное в долларах в день.

Если вместо этого количество акций постоянно, но стоимость каждой акции растет, скорость, с которой будет расти общая стоимость, будет произведением количества акций и скорости изменения стоимости акций.Общая стоимость растет со скоростью

.

\ begin {уравнение *} N (100) \ cdot S ‘(100) = 520 \, \ text {share} \ cdot 0,75 \, \ frac {\ text {долларов за акцию}} {\ text {day}} = 390 \, \ frac { \ text {доллары}} {\ text {день}} \ text {.} \ end {уравнение *}

Конечно, когда меняется и количество акций, и стоимость каждой акции, мы должны включать оба этих источника. В этом случае скорость роста общей стоимости составляет

.

\ begin {уравнение *} V ‘(100) = S (100) \ cdot N’ (100) + N (100) \ cdot S ‘(100) = 330 + 390 = 720 \, \ frac {\ text {долларов}} {\ text { день}} \ text {.} \ end {уравнение *}

Мы ожидаем, что общая стоимость вложений инвестора вырастет примерно на 720 долларов на 100-й день. ¹

Хотя этот пример показывает, почему правило продукта верно, есть некоторые тонкие проблемы, которые необходимо распознать. Во-первых, если стоимость акции действительно вырастет ровно на 0,75 доллара в день 100, а количество акций действительно вырастет на 12 в день 100, то мы ожидаем, что \ (V (101) = N (101) \ cdot S ( 101) = 532 \ cdot 28.25 = 15029 \ text {.} \) Если, как указано выше, мы ожидаем, что общая стоимость вырастет на 720 долларов, то с \ (V (100) = N (100) \ cdot S (100 ) = 520 \ cdot 27.50 = 14300 \ text {,} \), то, кажется, мы должны найти, что \ (V (101) = V (100) + 720 = 15020 \ text {.} \) Почему два результата различаются на 9? Один из способов понять, почему возникает эта разница, – это признать, что \ (N ‘(100) = 12 \) представляет собой мгновенную скорость изменения , в то время как наше (неформальное) обсуждение также рассматривало это число как общее изменение количество акций в течение одного дня. Формальное доказательство правила продукта решает эту проблему, принимая предел, поскольку изменение входных данных стремится к нулю.

Затем мы расширяем нашу перспективу с конкретного примера, приведенного выше, до более общей и абстрактной настройки произведения \ (p \) двух дифференцируемых функций, \ (f \) и \ (g \ text {.} \) If \ (P (x) = f (x) \ cdot g (x) \ text {,} \) наша работа выше предполагает, что \ (P ‘(x) = f (x) g’ (x) + g (x) f ‘(x) \ text {.} \) Действительно, формальное доказательство, использующее предельное определение производной, может быть дано, чтобы показать, что следующее правило, называемое правилом произведения , в целом выполняется.

Правило продукта.

Если \ (f \) и \ (g \) – дифференцируемые функции, то их произведение \ (P (x) = f (x) \ cdot g (x) \) также является дифференцируемой функцией, и

\ begin {уравнение *} P ‘(x) = f (x) g’ (x) + g (x) f ‘(x) \ text {.} \ end {уравнение *}

В свете предыдущего примера с акциями, правило продукта также имеет интуитивный смысл: скорость изменения \ (P \) должна учитывать как скорость \ (f \), так и \ (g \). меняется, а также насколько велики \ (f \) и \ (g \) в рассматриваемой точке.x \ text {.} \)

Подраздел 2.3.2 Правило частного

Поскольку частные и продукты тесно связаны, мы можем использовать правило продукта, чтобы понять, как брать производную от частного. Пусть \ (Q (x) \) определяется как \ (Q (x) = f (x) / g (x) \ text {,} \), где \ (f \) и \ (g \) оба дифференцируемы функции. Оказывается, \ (Q \) дифференцируем везде, где \ (g (x) \ ne 0 \ text {.} \) Нам нужна формула для \ (Q ‘\) в терминах \ (f \ text { ,} \) \ (g \ text {,} \) \ (f ‘\ text {,} \) и \ (g’ \ text {.} \) Умножая обе части формулы \ (Q = f / g \) на \ (g \ text {,} \), мы видим, что

\ begin {уравнение *} f (x) = Q (x) \ cdot g (x) \ text {.} \ end {уравнение *}

Теперь мы можем использовать правило продукта, чтобы различать \ (f \ text {.} \)

\ begin {уравнение *} f ‘(x) = Q (x) g’ (x) + g (x) Q ‘(x) \ text {.} \ end {уравнение *}

Нам нужна формула для \ (Q ‘\ text {,} \), поэтому мы решаем это уравнение для \ (Q’ (x) \ text {.} \)

\ begin {уравнение *} Q ‘(x) g (x) = f’ (x) – Q (x) g ‘(x) \ end {уравнение *}

и разделив обе стороны на \ (g (x) \ text {,} \), мы получим

\ begin {уравнение *} Q ‘(x) = \ гидроразрыва {f’ (x) – Q (x) g ‘(x)} {g (x)} \ text {.т} \ текст {.} \ end {уравнение *}

В общем, мы должны быть осторожны при выполнении любого такого упрощения, так как мы не хотим правильно выполнять правило частного, а затем делаем ошибку алгебры.

Мероприятие 2.3.3.

Используйте правило частного, чтобы ответить на каждый из приведенных ниже вопросов. Не забывайте тщательно маркировать любые найденные производные по имени. То есть, если вам дана формула для \ (f (x) \ text {,} \), четко обозначьте формулу, которую вы найдете для \ (f ‘(x) \ text {.} \). Нет необходимости алгебраически упростите любую вычисляемую производную.т} \ текст {,} \ end {уравнение *}

, где \ (I \) измеряется в свечах, а \ (t \) измеряется в миллисекундах. 2} \ text {.2} \ текст {.} \ end {уравнение *}

Хотя некоторые упрощения возможны, мы оставляем \ (s ‘(y) \) в его нынешней форме.

Успех в применении производных правил начинается с распознавания структуры функции, за которым следует осторожное и усердное применение соответствующих производных правил. Лучший способ научиться этому процессу – использовать большое количество примеров.

Мероприятие 2.3.4.

Используйте соответствующие производные правила, чтобы ответить на каждый из приведенных ниже вопросов.t} \ text {.} \) Найти мгновенную скорость частицы в данный момент \ (t = 1 \ text {.} \)

Предположим, что \ (f (x) \) и \ (g (x) \) – дифференцируемые функции, и известно, что \ (f (3) = -2 \ text {,} \) \ (f ‘( 3) = 7 \ text {,} \) \ (g (3) = 4 \ text {,} \) и \ (g ‘(3) = -1 \ text {.} \) Если \ (p (x ) = е (x) \ cdot g (x) \) и \ (\ displaystyle q (x) = \ frac {f (x)} {g (x)} \ text {,} \) вычислить \ (p ‘ (3) \) и \ (q ‘(3) \ text {.} \)

Поскольку алгебраическая сложность функций, которые мы можем дифференцировать, продолжает расти, важно помнить, что все значения производной продолжают оставаться в силе.Независимо от структуры функции \ (f \ text {,} \) значение \ (f ‘(a) \) сообщает нам мгновенную скорость изменения \ (f \) по отношению к \ (x \) в момент \ (x = a \ text {,} \), а также наклон касательной к \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \ text {.} \)

Правило частных, экспоненты и логарифмы – лучше объяснение

В прошлый раз мы рассматривали деривативы с помощью метафоры «машины». Функции – это машина с рычагом ввода (x) и вывода (y). Производная, dy / dx, показывает, сколько «покачиваний на выходе» мы получаем, когда покачиваем ввод:

Теперь мы можем сделать машину большего размера из более мелких (h = f + g, h = f * g и т. Д.). Производные правила (правило сложения, правило продукта) дают нам «общее колебание» с точки зрения частей. Правило цепочки является особенным: мы можем «увеличить» одну производную и переписать ее в терминах другого ввода (например, преобразовать «мили в час» в «мили в минуту» – мы преобразуем вход «время»).

И, сделав это резюме, давайте построим нашу интуицию для сложных производных правил. Вперед!

Деление (Правило частичного)

Ах, правило частного – тот, который никто не помнит.О, может быть, вы запомнили это с помощью песни типа «Низкий-высокий, высокий-низкий …», но это непонимание!

Пришло время визуализировать правило деления (кто говорит «частное» в реальной жизни?). Ключ в том, чтобы рассматривать деление как тип умножения:

У нас есть прямоугольник, у нас есть площадь, но стороны – «f» и «1 / g». Вход x изменяется сбоку (на dx), поэтому f и g меняются (на df и dg) … но как себя ведет 1 / g?

Цепное правило спешит на помощь! Мы можем заключить 1 / g в красивую чистую переменную, а затем «увеличить», чтобы увидеть, что да, у нее есть деление внутри.

Итак, давайте представим, что 1 / g – это отдельная функция, m. Внутри функции m есть деление, но не обращайте на это внимания на минуту. Мы просто хотим совместить две перспективы:

• f изменяется на df, вкладывающая площадь df * m = df * (1 / g)
• м меняется на дм, площадь влияния dm * f =?

Мы легко превратили m в 1 / г. Отлично. Но что такое dm (сколько 1 / g изменилось) в терминах dg (сколько g изменилось)?

Нам нужна разница между соседними значениями 1 / g: 1 / g и 1 / (g + dg).Например:

• В чем разница между 1/4 и 1/3? 1/12
• Как насчет 1/5 и 1/4? 1/20
• Как насчет 1/6 и 1/5? 1/30

Как это работает? Получаем общий знаменатель: для 1/3 и 1/4 это 1/12. И разница между «соседями» (например, 1/3 и 1/4) будет равна 1 / общий знаменатель, иначе 1 / (x * (x + 1)). Посмотрим, сможешь ли ты понять, почему!

Если мы сделаем нашу производную модель совершенной и предположим, что между соседями нет разницы, +1 уйдет, и мы получим:

(Это полезно как общий факт: изменение с 1/100 на 1/101 = одна десятитысячная)

Разница отрицательная, потому что новое значение (1/4) меньше исходного (1/3).2 * дг. Этот трюк с подстановкой используется во всем исчислении, чтобы помочь разделить грубые вычисления. «О, похоже, мы выполняем прямое умножение. Ой, мы увеличили масштаб и увидели, что одна переменная на самом деле является делением – измените перспективу на внутреннюю переменную и умножьте на коэффициент преобразования».

Уф. Чтобы преобразовать наше покачивание “dg” в покачивание “dm”, мы делаем:

И получаем:

Ура! Теперь ваш чрезмерно увлеченный учебник может упростить это до:

и горит! Оно горит! Это «упрощение» скрывает, что правило деления – всего лишь разновидность правила продукта.фу. Больше не надо.

Но если foo контролируется чем-то еще, тогда нам нужно умножить скорость изменения на коэффициент преобразования (d (foo) / dx), когда мы перейдем к этой внутренней точке зрения.

Натуральный логарифм

Производная ln (x) равна 1 / x. Обычно это дается как факт.

Моя интуиция подсказывает мне, что ln (x) – это время, необходимое для роста до x:

• ln (10) – время для увеличения от 1 до 10 при условии 100% непрерывного роста

Хорошо, хорошо. x?

Это плохая мамочка.2 + 3: где бы мы умножили на du / dx?

Давайте подумаем: du / dx вступает в игру только с точки зрения u (когда v изменяется, u является статическим значением, и не имеет значения, что u может быть далее разбито с точки зрения x). вклад u составляет

, если бы нам нужна была точка зрения “dx”, мы бы включили сюда du / dx:

Мы умножаем на коэффициент преобразования “du / dx”, чтобы получить вещи с точки зрения x. Точно так же, если бы v было более сложным, мы бы использовали термин dv / dx при вычислении точки зрения v.

Посмотрите, что произошло – мы вычислили родовой d / du и при необходимости преобразовали его в более конкретный d / dx.

С бесконечно малыми проще

Отделение dy от dx в dy / dx «противоречит правилам» ограничений, но отлично работает с бесконечно малыми. Вы можете очень быстро выяснить производные правила:

Правило продукта:

Мы устанавливаем “df * dg” равным нулю, когда выпрыгиваем из мира бесконечно малых и возвращаемся к нашей обычной системе счисления. x достигнет следующего значения (x единиц / сек означает 1 / x до следующего значения)

С практикой идеи начинают сбываться.Не беспокойтесь о том, что вас запутают – я все еще пытался злоупотреблять цепным правилом при работе с экспонентами. Обучение – это процесс!

Счастливая математика.

Приложение: Частные производные инструменты

Допустим, наша функция зависит от двух входов:

Производную f можно увидеть с точки зрения x (как f изменяется с x?) Или с точки зрения y (как f изменяется с y?). Это та же идея: у нас есть две «независимые» точки зрения, которые мы объединяем для общего поведения (это похоже на объединение точек зрения двух солипсистов, которые считают себя единственными «настоящими» людьми во вселенной).

Если x и y зависят от одной и той же переменной (например, t, времени), мы можем написать следующее:

Это часть правила цепочки – мы объединяем две точки зрения, и для каждой точки зрения мы погружаемся в ее основную причину (время).

Если x и y в остальном независимы, мы представляем производную по каждой оси в векторе:

Это градиент, способ обозначить «С этой точки, если вы путешествуете в направлении x или y, вот как вы изменитесь».Мы объединили наши одномерные «точки зрения», чтобы получить представление обо всей двумерной системе. Ого.

Другие сообщения в этой серии

1. Нежное введение в изучение исчисления
2. Понимание исчислений с помощью метафоры банковского счета
3. Доисторическое исчисление: открытие числа Пи
4. Аналогия с исчислением: интегралы как умножение
5. Исчисление: построение интуиции для производных
6. Как понять деривативы: правила продукта, власти и цепочки
7. Как понимать производные: правило частного, экспоненты и логарифмы
8. Интуитивное знакомство с ограничениями
9. Интуиция к серии Тейлора (аналогия с ДНК)
10. Зачем нужны пределы и бесконечно малые?
11. Обучение исчислению: преодоление нашей искусственной потребности в точности
12. Дружеский чат о том, 0.999 … = 1
13. Аналогия: камера исчисления
14. Практика абстракции: графы исчисления
15. Quick Insight: более простая арифметика с исчислением
16. Как сложить от 1 до 100 с помощью исчисления
17. Интеграл греха (x): геометрическая интуиция

Вычислительные производные – производные от коэффициента функций

Производные от коэффициента функций

Деление внутри производных инструментов сложнее, чем другие правила, которые мы видели до сих пор.Освободите место в старом банке памяти для правила Quotient Rule. Правило частного утверждает, что производная функции равна

Правило частного сложнее, чем правило произведения. Вот несколько важных моментов, о которых нужно помнить.

• В числителе используется вычитание. Не сложение, а вычитание:
  
  

• Знаменатель – это квадрат знаменателя исходной функции:
  
  

• Числитель:
  
  f ‘g – fg’ ,

not the наоборот.

Один из способов запомнить это состоит в том, что мы сначала читаем числитель дроби, а в правиле частного сначала берем производную числителя:

Также может быть полезна мнемоника. Если мы подумаем об исходной функции как

, то числитель в правиле частного будет

«low dee-high минус high dee-low», где «dee» означает «производная». Фраза действительно звучит красиво.

«low dee-high минус high dee-low» означает

gf ‘- fg ‘,

, но это то же самое, что

f ‘g – fg’ .

Это много чего нужно запомнить, но практика сделает это легче. После того, как мы изучим правило цепочки, мы сможем воссоздать правило частных.

Если функция записана в виде дроби, это не обязательно означает, что нам нужно использовать правило частного для нахождения производной. Если знаменатель функции является константой, мы можем переписать функцию и избежать использования правила частного.

• Производные этих других триггерных функций

  Мы нашли производные синуса и косинуса, и теперь, когда у нас есть правило частного, мы можем брать производные всех тех других триггерных функций, которые мы еще не обсуждали.

  Мы будем использовать три общих шага, чтобы найти производные от этих функций в примерах и упражнениях.

  • Перепишите функцию в виде синуса и косинуса.
  • Найдите производную, используя правило частного.
  • Запишите функцию в терминах триггерных функций.

  Так как каждая триггерная функция может быть записана как отношение синусов и косинусов, этот метод будет работать каждый раз в обязательном порядке. Что вы думаете об этом?

Дифференциальное исчисление – правило частных

Правило частного дает нам производную частного двух функций (одна функция делится на другую).Мы знаем, что мы можем найти дифференциал полиномиальной функции, сложив вместе дифференциалы отдельных членов полинома, каждый из которых является самостоятельной функцией. Поэтому возникает соблазн предположить, что для функции, являющейся частным двух функций, мы можем просто разделить производную числителя на производную знаменателя. К сожалению, все будет не так просто. Так как же нам найти производную? Давайте посмотрим на пример.Предположим, нам нужно найти производную от следующего выражения:

y =	x 2 + 5
	3 x – 9

Справа от знака равенства стоит частное двух функций. Найти производную каждой функции по отдельности относительно легко. Однако, чтобы найти производную от частного, нам нужно будет использовать правило частного.Правило гласит, что производная частного двух функций равна произведению знаменателя и производной числителя за вычетом произведения числителя и производной знаменателя , во всем знаменатель возведет в квадрат . Сформулируем это алгебраически. Предположим, у нас есть выражение:

где u и v – обе функции.Производная определяется следующей формулой:

Давайте воспользуемся формулой правила частного, чтобы найти производную от y = ( x ² + 5) / (3 x – 9). Начнем с нахождения производной каждой функции отдельно:

Теперь мы назначим функции соответствующим переменным в формуле:

u ( x ) = x ² + 5

v ( x ) = 3 x – 9

Подставляя указанные выше значения в формулу правила частного, получаем:

d y	=		=	(3 x – 9) (2 x ) – ( x 2 + 5) (3)
d x		v 2		(3 x – 9) 2

d y	=	=	6 x 2 – 18 x – 3 x 2 – 15
d x			9 x 2 – 54 x + 81

d y	=	3 x 2 – 18 x -15
d x		9 x 2 – 54 x + 81

d y	=	x 2 – 6 x – 5
d x		3 x 2 -18 x + 27

d y	=	x 2 – 6 x – 5
d x		3 ( x 2 -6 x + 9)

Здесь нужно отметить несколько моментов.Во-первых, числитель в формуле правила частного почти совпадает с формулой для правила произведения – с той лишь разницей, что оператор сложения заменен оператором вычитания. Второе, на что следует обратить внимание, – это то, что, поскольку используется вычитание, члены числителя должны появляться в правильном порядке . Давайте посмотрим на другой пример. На этот раз мы найдем производную от y = (4 x – 2) / ( x ² + 1).И снова мы ищем производную от частного двух функций. Как и раньше, начнем с нахождения производной каждой функции в отдельности:

Затем мы присваиваем функции переменным формулы:

u ( x ) = 4 x – 2

v ( x ) = x ² + 1

Подставляя эти значения в формулу правила частного, получаем:

d y	=		=	( x 2 + 1) (4) – (4 x -2) (2 x )
d x		v 2		( x 2 + 1) 2

d y = 9089 9089	(4 x 2 + 4) – (8 x 2 -4 x )
d x	( x 2 + 1) 2

d y	=	-4 x 2 + 4 x + 4
d x		( x 2 + 1) 2

Теперь предположим, что у нас есть такое выражение:

Используя формулу правила частного, чтобы найти производную, мы получаем:

d y	=		=	(7) (3 x 2 + 2) – ( x 3 + 2 x ) (0)
d x		v 2		49

d y	=	21 x 2 + 14
d x		49

d y	=	3 x 2 + 2
d x		7

Неужели нам действительно нужно использовать здесь правило частного? Предположим, мы просто переписываем выражение как:

y =	1	· ( x 3 + 2 x )
	7

Теперь мы можем просто применить основные правила дифференцирования, включая правило постоянного коэффициента:

Всякий раз, когда вам нужно различать выражение, включающее частное двух функций, всегда стоит проверить, можете ли вы переписать выражение, как мы это сделали здесь.Если это так, вы сможете найти производную без применения правила частного. Есть еще один сценарий, связанный с коэффициентом, на который мы должны обратить внимание. Что произойдет, если нам нужно найти , обратное функции? Нам по-прежнему нужно различать дробь, знаменатель которой будет функцией, но числитель всегда будет на (1). Рассмотрим следующее выражение:

Используя формулу правила частного, чтобы найти производную, мы получаем:

d	(	1	( x 3 + 2 x )	)	=	1	· 0	9	d 9089 + 2 x ) =	3 x 2 + 2
d x		7				7		d x	7 90

d y	=		=	( x 2 + 3) (0) – (1) (2 x )
d x		v 2		( x 2 + 3) 2

d y = 9089	-2 х
d x	( x 2 + 3) 2

Оказывается, мы можем получить производную обратной величины от любой функции и , используя следующую несколько менее сложную формулу:

Итак, мы могли бы просто написать:

d y	=	-2 x
d x		( x 2 + 3) 2

Исходя из этого, предположим, что у нас есть следующее выражение:

y =	5
	x 2 + 2 x + 3

Поскольку эта функция представляет собой просто обратную величину, умноженную на пять (5), мы можем рассматривать пятерку в числителе как постоянный коэффициент и просто использовать формулу для производной обратной величины, как мы делали выше:

d y	= 5 ·
d x		( x 2 + 2 x + 3) 2

d y	= 5 5 ·	-2 ( х + 1)
d x		( x 2 + 2 x + 3) 2

d y	=	-10 ( х + 1)
d x		( x 2 + 2 x + 3) 2

Неизбежно возникнут ситуации, когда вам нужно будет найти производную от частного двух функций.Если вы не имеете дело с обратным (или некоторым кратным обратным), и вы не можете упростить функцию так, чтобы она не была частным (например, если знаменатель является постоянным значением), тогда вам, вероятно, потребуется использовать правило частного, чтобы найти производную.

Видео с вопросом: Нахождение первой производной частного тригонометрических функций с помощью правила частных

Расшифровка стенограммы

Если 𝑦 равно девяти sin в квадрате 𝑥 на всех пяти плюс пять cos, найти d𝑦 по d𝑥.

Доу попросил нас найти до. Это производная от по 𝑥. И мы можем видеть, что given задается как отношение двух функций. И мы знаем, как различать обе эти функции, поэтому сделаем это с помощью правила частного. Напомним, что правило частного говорит нам, если из 𝑥 и 𝑣 из являются дифференцируемыми функциями и производная 𝑢 от 𝑢 над 𝑣 из 𝑥 по 𝑥 равна 𝑢 простому числу 𝑥, умноженному на числа 𝑥 минус простому числу 𝑥 умноженное на из, все деленное на из, все в квадрате.

Итак, чтобы применить правило частного, нам нужно установить 𝑢 of как функцию в нашем числителе, то есть девять sin в квадрате 𝑥, и 𝑣 of как функцию в нашем знаменателе, то есть пять плюс пять cos. И мы видим, что для использования правила частного нам нужно будет найти выражения для простого числа и простого числа. Начнем с простого числа. Это производная девяти грехов в квадрате от по отношению к 𝑥.

Есть несколько способов отличить квадрат греха от.Мы могли бы записать это как грех 𝑥, умноженный на грех, и использовать правило произведения, мы могли бы использовать правило цепочки или мы могли бы использовать формулу двойного угла для косинуса. Любой из этих методов подойдет. Однако мы собираемся сделать это, используя общее правило мощности.

Напомним, что общее правило степеней гласит, что для дифференцируемой функции от и действительной константы производная 𝑓 от 𝑥, возведенная в-ю степень по 𝑥, равна 𝑛 раз простому числу, умноженному на все возведены в степень минус один.В этом случае наша внутренняя функция 𝑓 от 𝑥 является грехом, а наша экспонента 𝑛 равна двум. Также стоит отметить, что девять – это постоянный коэффициент, поэтому мы можем взять его вне производной. Итак, у нас равно двум, а 𝑓 из 𝑥 – это грех 𝑥. Однако, чтобы использовать общее правило степеней, нам все еще нужно найти выражение для простого числа. Это производная от греха по отношению к 𝑥, которая, как мы знаем, равна cos.

Теперь мы можем использовать общее правило степеней, чтобы найти выражение для простого числа.Нам просто нужно подставить, равное двум, 𝑓 из 𝑥 – это грех 𝑥, а 𝑓 из cos – это cos в наше общее правило мощности. Затем нам нужно умножить все это на коэффициент девять. Это дает нам простое число 𝑥 равно девяти умноженным на два cos two, умноженным на грех, возведенный в степень два минус один. И это упрощает получение 18 sin 𝑥 cos 𝑥.

Однако мы еще не закончили. Нам все еще нужно найти выражение для простого числа. Это производная пять плюс пять cos по отношению к.И мы можем просто оценить эту производную по срокам. Во-первых, пять – это постоянная величина. Таким образом, скорость его изменения относительно будет равна нулю. Далее, мы знаем, что производная пяти cos от по 𝑥 будет равна пяти отрицательным величинам sin.

Теперь мы готовы найти выражение для d𝑦 на d𝑥, используя правило частного. Подставляя в наши выражения для 𝑢 из, 𝑣 из, 𝑢 простого числа и простого числа, мы получаем, что d𝑦 на d𝑥 равно 18 sin, умноженному на cos, умноженному на пять плюс пять cos из минус отрицательные пять грехов 𝑥 умножить на девять грехов в квадрате 𝑥, все деленное на пять плюс пять cos 𝑥, все в квадрате.И мы можем сделать несколько разных вещей, чтобы упростить это. Во-первых, мы вычтем из числителя общий множитель девяти грехов.. Сделав это, мы смогли переписать d𝑦 на d𝑥 в виде следующего выражения.

Есть несколько способов упростить это выражение. Во-первых, в знаменателе мы хотим вычесть из квадрата множитель пять. Но помните, поскольку это возведено в квадрат, это означает, что в конечном итоге мы получим множитель пять в квадрате. Это означает, что мы можем переписать наш знаменатель как пять в квадрате, умноженные на единицу, плюс cos 𝑥, все в квадрате.Затем мы хотим распределить два cos числа по внутренним скобкам в числителе. И, делая это и упрощая, мы получаем 10 cos плюс 10 умноженных на квадрат cos. Итак, это дает нам следующее выражение для d𝑦 через d𝑥. И может быть трудно понять, как мы собираемся упростить это дальше.

Чтобы упростить это, нам нужно заметить, что квадрат cos плюс квадрат греха равен единице. Мы знаем это благодаря пифагорейской идентичности. Было бы легче понять, как мы собираемся использовать это, переписав 10 cos в квадрате 𝑥 как пять cos в квадрате плюс пять cos в квадрате.Тогда, используя нашу пифагорейскую идентичность, пять cos в квадрате плюс пять sin в квадрате будут просто равны пяти. Таким образом, используя пифагорейскую идентичность, мы смогли переписать наше выражение для d𝑦 на d𝑥 как девять sin of умножить на 10 cos от 𝑥 плюс пять умноженных на квадрат cos плюс пять, все разделенное на пять в квадрате, умноженное на единицу, плюс cos 𝑥 все в квадрате.

Следующее, что мы хотим сделать, это отменить общий множитель пять в числителе и знаменателе. Это дает нам следующее выражение.И сейчас может быть очень сложно понять, как мы собираемся упростить это дальше. Нам нужно заметить кое-что интересное о двух cos из плюс cos в квадрате плюс один. Нам нужно заметить, что это равно единице плюс cos в квадрате. Мы можем заметить это, распределив квадрат между скобками и переставив термины. Фактически, один плюс cos во всем квадрате – это именно то, что у нас есть в знаменателе, поэтому мы можем исключить этот общий множитель. Итак, если исключить этот общий фактор, все, что у нас останется, – это в девять или пять раз больше, чем.И это наш окончательный ответ.

Таким образом, с помощью правила частного мы смогли показать, что если nine равно девяти sin в квадрате 𝑥 на всех пяти плюс пять cos of, то d𝑦 на d𝑥 будет равно девяти, превышающему пятикратный грех .

.