121. Геометрический и физический смысл производной
Рассмотрим график функции в декартовой системе координат (рис. 10.2). Возьмем на графике точку и точку . Проведем через эти точки прямую . Эта прямая называется Секущей. Ее уравнением будет , а угловой коэффициент этой прямой равен тангенсу угла наклона секущей:
Если то секущая MN поворачивается вокруг точки и переходит в касательную с угловым коэффициентом
Если , то секущая MN поворачивается вокруг точки М и в пределе переходит в касательную с угловым коэффициентом .
Угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению производной функции в этой
точке: .
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке.
Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной (рис. 10.3).
Нормаль – это прямая, перпендикулярная к касательной в точке касания (рис.
Уравнение касательной к кривой в точке запишем как уравнение прямой, которая проходит через заданную точку: .
Уравнение нормали к кривой в точке запишем так: .
Пример 1. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
Решение. 1) Найдем значение функции, если : .
2) Найдем первую производную функции: .
3) Найдем значение производной, если : .
4) Запишем уравнение касательной, которая проходит через данную точку : или .
Ответ. Уравнение касательной: .
Пример 2. Напишите уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой .
Решение. 1) Найдем значение функции, если : .
2) Найдем первую производную функции: .
3) Найдем значение производной, если : .
4) Запишем уравнение нормали, которая проходит через данную точку : или .
Ответ. Уравнение нормали: .
Рассмотрим задачу о свободном падении тела и найдем мгновенную скорость его движения.
Из физики мы знаем, что , где H – высота падения, G – ускорение свободного падения, T – время падения.
За время тело проходит расстояние , а за время – расстояние . Приращение аргумента (времени
Приращение функции будет равно:
Найдем предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента T , если ΔT Стремится к нулю:
.
В левой части равенства мы получили значение производной функции , а в правой части значение мгновенной скорости тела в момент времени T0.
Физический смысл производной. Производная функции в точке есть мгновенная скорость изменения функции в точке , т. е. скорость протекания процесса, который описывается зависимостью .
Например, если дана функция , то ее производная будет , тогда значение производной в точке будет , а значение производной в точке будет . Это значит, что в точке функция изменяется в 4 раза быстрее аргумента , а в точке изменяется в 6 раз быстрее (т.
Операция нахождения (взятия) производной функции называется Дифференцированием функции.
Ответьте на вопросы
1. Что показывает угловой коэффициент K в уравнении прямой ?
2. Чему равен угловой коэффициент касательной к кривой в точке ?
3. Как найти угловой коэффициент нормали к кривой в точке ?
4. В чем состоит геометрический смысл производной?
5. В чем состоит физический смысл производной?
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Исследование функции с помощью производной
Не откладывайте! ЗАГОВОРИТЕ на Английском!
ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?
Александр | 2013-01-05
Исследование функции с помощью производной. В этой статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с исследованием графика функции.
В таких задачах, даётся график функции y = f (x) и ставятся вопросы, связанные с определением количества точек, в которых производная функции положительна (либо отрицательна), а также другие. Их относят к заданиям на применение производной к исследованию функций.
Решение таких задач, и вообще задач связанных с исследованием, возможно только при полном понимании свойств производной для исследования графиков функций и геометрического смысла производной. Поэтому настоятельно рекомендую вам изучить соответствующую теорию. Можете изучить статью на блоге, а также посмотреть справочник (но в нём краткое изложение).
Задачи, где дан график производной мы будем также рассматривать в будущих статьях, не пропустите! Итак, задачи:
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−6; 8). Определите:
1. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;
2. Количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;
3.
Количество точек, в которых производная равна нулю;
1. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). В них содержатся целые точки −5, −4, 1, 2, 3, 4, и 7. Получили 7 точек.
2. Прямая y = 2 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = 2 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек четыре: –3; 0; 4,2; 6,9
3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.
Решите самостоятельно:
Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Посмотреть решение.
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−5; 5). Определите:
1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;
2. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 3;
3.
Количество точек, в которых производная равна нулю;
1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (1,4; 2,5) и (4,4;5). В них содержится только одна целая точка х = 2.
2. Прямая y = 3 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = 3 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот).
Таких точек четыре: –4,3; 1,4; 2,5; 4,4
3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.
Решите самостоятельно:
Определите количество целых точек, в которых производная функции f (x) отрицательна.
Посмотреть решение.
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−2; 12). Найдите:
1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;
2. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;
3.
Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;
4. Количество точек, в которых производная равна нулю.
1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (–2; 1), (2;4), (7; 9) и (10;11). В них содержатся целые точки: –1, 0, 3, 8. Всего их четыре.
2. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11;12). В них содержатся целые точки 5 и 6. Получили 2 точки.
3. Прямая y = 2 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = 2 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек семь: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.
4. Производная равна нулю в семи точках (в точках экстремума), их мы уже указали.
Решите самостоятельно:
Найдите сумму точек экстремумов функции f (x).
Посмотреть решение.
Как видите, ничего сложного нет. Желаю вам успехов!
С уважением, Александр Крутицких
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Категория: Производная Графики Функции MAX MIN | ЕГЭ-№7Производная
НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!
ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!
Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!
Замучили боль и скованность в мышцах спины?
*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.
| 1 | Найти производную – d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную – d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную – d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную – d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную – d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную – d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную – d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную – d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную – d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную – d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную – d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную – d/dx | бревно натуральное 5х92 |
2nd-Devative of-CSCX-Google Suce
ALLBILDERVIDEOSNEWSMAPSSHOPPINGBücher
Найдите вторую производную y=csc(x).
y=csc(x) y = csc(x). Шаг 1. Найдите первую производную. Нажмите, чтобы увидеть больше шагов… Шаг 1.1… Найдите вторую производную.Энлихе Фраген
Что является производным от CSCX?
Как найти вторую производную?
Как найти вторую производную от f(x) = csc(x) – исчисление Ларсона
www.youtube.com › смотреть
10.02.2017 · В этом коротком уроке я объясню, как найти вторую производная от f(x) = csc(x). Примечание: Вам нужно…
Дауэр: 6:13
Прислан: 10.02.2017
1151 FF: Вторая производная косеканса – YouTube
www.youtube.com › смотреть
26.08.2021 · Вычисление второй производной csc(x).
Дауэр: 3:10
Прислан: 26.08.2021
Как найти f”(x)=csc x? – Socratic
socratic.org › вопросы › как-вы-находите-f-x-csc-x
(Вопрос отредактирован – вы не можете использовать двойную кавычку клавиатуры для второй производной, она интерпретирует это как означающее
Производная Cosec x – Формула, Доказательство, Примеры – Cuemath
www.
cuemath.com › тригонометрия › производная c…
Двойная производная от csc x равна csc x (cot2x + csc2x). Двойная производная есть не что иное, как вторая производная функции, которая может быть получена с помощью …
Найдите вторую производную y = csc x. – Study.com
homework.study.com › Математика › Дифференциальное исчисление
Ответ на вопрос: Найдите вторую производную от y = csc x. Зарегистрировавшись, вы получите тысячи пошаговых решений домашних заданий. Вы…
Найдите производную функции. y = ln |csc x – кроватка x – Study.com
homework.study.com › Математика › Дифференциальное исчисление
Ответ на вопрос: Найдите производную функции. y = ln |csc x – раскладушка x| Зарегистрировавшись, вы получите тысячи пошаговых решений для ваших…
Es fehlt: 2nd- | Muss Folgendes enthalten:2nd-
Решенная Найдите вторую производную функции. е (х) = | Chegg.com
www.chegg.com › вопросы и ответы › find-sec.