51.Определение производной функции в точке. (производная – это скорость).
Пусть функция определена на некотором интервале и – некоторая фиксированная точка этого интервала. – приращение аргумента. – приращение функции. Составим отношение и рассмотрим предел этого отношения при .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю. Обозначается . По определению: .
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой, операция нахождения производной называется дифференцированием.
52. Механический, геометрический и экономический смысл производной.
Механический: – средняя скорость. – мгновенная скорость. Обобщая можно сказать, что если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная функции есть скорость протекания этого процесса.
Геометрический:
– угловой коэффициент секущей.
– угловой коэффициент касательной.
Экономический: пусть выражает количество производимой продукции u за время t. – изменение количества продукции за период времени t. – средняя производительность труда за время . – производительность труда в момент времени .
53.Таблица производных элементарных функций. Правила вычисления производных.
При вычислении производных нужно знать 1. Таблицу производных; 2. Правило производных.
1. c’ = 0; 2. X’ = 0; 3. ; 4. и ; 5. ; 6. – .
54.Дифференциал функции и его геометрическая интерпретация. Свойства дифференциала.
Пусть производная имеет в точке x производную отличную от нуля. , то есть при . Воспользуемся следующим утверждением: если функция имеет предел, то , , где – бмф. Тогда можно записать, что при и – бмф. Первое слагаемое правой части называется главной частью приращения .
Дифференциалом
функции
в точке x
называется главная часть ее приращения,
равная произведению производной функции
на приращение аргумента и обозначается
dy
или df.
.
Геометрический смысл дифференциала функции: Дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение .
Свойства дифференциала:
1. dc=0; 2. D(cu)=cdu; 3. D(u+v)=du+dv; 4. D(uv)=vdu+udv; 5. ; 6. Если и – дифференциал функции, образующей сложную функцию , то . Дифференциал сложной функции определяется формулой . Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.
55.Производные и дифференциалы высших порядков.
Производная сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной n-ого порядка называется производная от производной (n-1)-ого порядка. Обозначается – 2-ого порядка, – 3-его порядка, или – 4-ого порядка, – производная n-ого порядка. Если производная 1-ого порядка от пути есть скорость, то – ускорение точки в момент времени .
Пусть
– дифференцируемая функция, а x
– независимая переменная.
Тогда ее
1-ый дифференциал
также есть функция и можно найти
дифференциал этой функции. Дифференциал
от дифференциала функции
называется дифференциалом 2-ого порядка
и обозначается
или
.
.
Аналогично определяется дифференциал
любого порядка. Дифференциал n-ого
порядка называется дифференциалом от
дифференциала (n-1)-ого
порядка.
“Производная функции. Определение, геометрический смысл, правила дифференцирования”
Производная функции
- Определение производной
- Геометрический смысл производной
- Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
- Производные основных элементарных функций
- Правила дифференцирования
- Производная сложной функции
- Производная неявно заданной функции
- Логарифмическое дифференцирование
Определение производной
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b) .
Аргументу x придадим некоторое приращение :
Найдем соответствующее приращение функции:
y
Если существует предел
f(x+ Δx )
то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:
f(x )
0
х
x+ Δx
Определение производной
Итак, по определению:
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b) , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием .
Значение производно функции y = f(x) в точке x 0 обозначается одним из символов:
Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.
Геометрический смысл производной
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М 1 :
Через точки М и М 1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.
y
y
М 1
f(x+ Δ x )
М
М
f(x )
f(x )
φ
α
0
х
х
x+ Δ x
0
х
х
При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М 1 неограниченно приближается по кривой к точке М , а секущая ММ 1 переходит в касательную.
Геометрический смысл производной
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции
Если точка касания М имеет координаты (x 0 ; y 0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x 0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Уравнение касательной
Уравнение нормали
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Теорема
Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней.
Доказательство:
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х , следовательно существует предел:
при
где
По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции
Функция y = f(x) – непрерывна.
Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.
Производные основных элементарных функций
1
Степенная функция:
Придадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение:
Формула бинома Ньютона:
K – факториал
Производные основных элементарных функций
По формуле бинома Ньютона имеем:
Тогда:
Производные основных элементарных функций
2
Логарифмическая функция:
Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.
Правила дифференцирования
Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.
Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема
Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u , то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:
Пример
Вычислить производную функции
Пример
Вычислить производную функции
Данную функцию можно представить следующим образом:
Коротко:
Производная неявно заданной функции
Если функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным относительно y , то говорят, что функция задана в явном виде .
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y :
Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х , рассматривая при этом y как функцию от х , и полученное выражение разрешить относительно производной.
Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать , а затем результат продифференцировать .
Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Логарифмическое дифференцирование
Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.
Функция называется степенно – показательной .
Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.
Базовый актив (дериватив) — определение, принцип работы, примеры
К
Джеймс Чен
Полная биография
Джеймс Чен, CMT — опытный трейдер, инвестиционный консультант и стратег глобального рынка.
Узнайте о нашем редакционная политика
Обновлено 29 декабря 2020 г.
Рассмотрено
Майкл Дж. Бойл
Рассмотрено Майкл Дж. Бойл
Полная биография
Майкл Бойл — опытный специалист в области финансов, более 10 лет занимающийся финансовым планированием, деривативами, акциями, фиксированным доходом, управлением проектами и аналитикой.
Узнайте о нашем Совет по финансовому обзору
Что такое базовый актив
Базовый актив — это финансовые активы, на которых основана цена производного инструмента. Опционы – это пример производного инструмента. Производный инструмент — это финансовый инструмент, цена которого основана на другом активе.
Что такое базовый актив?
Основы базового актива
Базовые активы придают производным их стоимость. Например, опцион на акции XYZ дает держателю право покупать или продавать XYZ по цене исполнения до истечения срока действия.
Базовым активом для опциона являются акции XYZ.
Базовый актив может использоваться для идентификации предмета в рамках соглашения, который обеспечивает стоимость контракта. Базовый актив поддерживает ценную бумагу, участвующую в соглашении, которую стороны соглашаются обменять в рамках производного контракта.
Понимание производных контрактов
Цена опциона или фьючерсного контракта зависит от цены базового актива. В опционном контракте продавец должен либо купить, либо продать базовый актив покупателю в указанную дату по согласованной цене. Покупатель не обязан приобретать базовый актив, но может воспользоваться своим правом, если захочет. Если срок действия опциона подходит к концу, а базовый актив не изменился достаточно благоприятно, чтобы оправдать исполнение опциона, покупатель может допустить истечение срока действия, и он потеряет сумму, которую он заплатил за опцион.
Фьючерсы являются обязательством перед покупателем и продавцом. Продавец фьючерса соглашается предоставить базовый актив по истечении срока, а покупатель контракта соглашается купить базовый актив по истечении срока.
Цена, которую они получают и платят, соответственно, является ценой, по которой они заключили фьючерсный контракт. Большинство фьючерсных трейдеров закрывают свои позиции до истечения срока действия, поскольку, например, розничным трейдерам и хедж-фондам не нужно физически вступать во владение баррелями нефти. Но они могут купить или продать контракт по одной цене, и, если она движется благоприятно, они могут выйти из сделки и таким образом получить прибыль. Фьючерсы являются деривативом, потому что цена фьючерсного контракта на нефть основана, например, на динамике цен на нефть.
Ключевые выводы
- Базовые активы представляют собой активы, из которых производные получают свою стоимость.
- Знание стоимости базового актива помогает трейдерам определить соответствующее действие (купить, продать или удержать) с их производным инструментом.
Пример базового актива
В случаях, связанных с опционами на акции, базовым активом является сама акция.
Например, для опциона на покупку 100 акций компании X по цене 100 долларов базовым активом являются акции компании X. Базовый актив используется для определения стоимости опциона до истечения срока действия. Стоимость базового актива может измениться до истечения срока действия контракта, что повлияет на стоимость опциона. Стоимость базового актива в любой момент времени позволяет трейдерам узнать, стоит ли исполнять опцион или нет.
Базовым активом также может быть валюта или рыночный индекс, например S&P 500. В случае фондовых индексов базовый актив состоит из обыкновенных акций в составе индекса фондового рынка.
Определение типов торговли и ценных бумаг
Что такое внебиржевые (OTC)?
Внебиржевой (OTC) процесс торговли ценными бумагами через брокерско-дилерскую сеть, в отличие от централизованной биржи, такой как Нью-Йоркская фондовая биржа.
Внебиржевая торговля может включать акции, облигации и деривативы, которые представляют собой финансовые контракты, стоимость которых определяется базовым активом, таким как товар.
Когда компании не соответствуют требованиям для листинга на стандартной биржевой бирже, такой как NYSE, их ценные бумаги могут продаваться на внебиржевом рынке, но могут по-прежнему подлежать некоторому регулированию со стороны Комиссии по ценным бумагам и биржам.
Ключевые выводы
- Внебиржевые (OTC) ценные бумаги торгуются без листинга на бирже.
- Ценные бумаги, торгуемые на внебиржевом рынке, могут обслуживаться дилером или брокером, специализирующимся на внебиржевых рынках.
- Внебиржевая торговля помогает продвигать акции и финансовые инструменты, которые в противном случае были бы недоступны для инвесторов.
- Компании с внебиржевыми акциями могут привлекать капитал за счет продажи акций.
Внебиржевая торговля
Понимание внебиржевой торговли (OTC)
Акции, которые торгуются через OTC, обычно представляют собой небольшие компании, которые не могут соответствовать требованиям листинга официальных бирж.
Многие другие виды ценных бумаг также торгуются на внебиржевом рынке.
Акции, торгуемые на биржах, называются зарегистрированными, тогда как акции, торгуемые через OTC, называются нелистинговыми.
Торговые транзакции могут осуществляться через электронные платформы сопоставления OTC Markets Group: OTCQX; OTCQB; и Pink Open Market, также известный как OTC Pink или “Pink Sheets”.
FINRA управляла внебиржевой биржей, известной как OTC Bulletin Board (OTCBB), но FINRA официально прекратила деятельность OTCBB 8 ноября 2021 года.
Типы внебиржевых ценных бумаг
Акции
Акции, которые торгуются через OTC, часто представляют собой небольшие компании, которым запрещено листинг на NYSE из-за стоимости в 295 000 долларов и до 75 000 долларов на Nasdaq. На внебиржевых рынках котируются некоторые известные крупные компании, такие как Allianz SE, BASF SE, Roche Holding Ag и Danone SA.
Облигации
Облигации не торгуются на официальной бирже, но банки продают их через брокерско-дилерские сети, и они также считаются внебиржевыми ценными бумагами.
Производные
Деривативы — это частные контракты, заключенные брокером, и могут быть опционами, форвардами, фьючерсами или другими соглашениями, стоимость которых основана на стоимости базового актива, такого как акции.
ДОПОГ
Американские депозитарные расписки (АДР), иногда называемые АДА, или банковские сертификаты, представляющие определенное количество акций иностранной компании.
Иностранная валюта
Иностранные валюты, которые торгуются на Forex, внебиржевом обмене валюты.
Криптовалюта
Криптовалюты, такие как Биткойн и Эфириум, торгуются на внебиржевом рынке.
Внебиржевые рынки
OTC Markets Group управляет некоторыми из самых известных сетей, таких как Best Market (OTCQX), Venture Market (OTCQB) и Pink Open Market. Хотя внебиржевые сети не являются официальными биржами, такими как NYSE, они по-прежнему имеют квалификационные требования, установленные SEC.
OTCQX
OTCQX не перечисляет акции, которые продаются менее чем за пять долларов, известные как грошовые акции, подставные компании или компании, проходящие процедуру банкротства.
OTCQX включает только 4 % всех внебиржевых акций, торгуемых на бирже, и требует соблюдения самых высоких стандартов отчетности и строжайшего контроля со стороны SEC.
В него входят иностранные компании, котирующиеся на иностранных биржах, и некоторые американские компании, которые планируют в будущем выйти на NYSE или Nasdaq.
OTCQB
OTCQB часто называют «венчурным рынком» с концентрацией развивающихся компаний, которые должны отчитываться о своих финансовых результатах в SEC и подчиняться некоторому надзору.
Розовые простыни
Внебиржевые розовые листы — это самый рискованный уровень внебиржевой торговли, для которого не требуется предоставлять финансовые отчеты или регистрироваться в Комиссии по ценным бумагам и биржам. В розовых листах есть несколько законных компаний, однако здесь перечислено множество подставных компаний и компаний, не осуществляющих фактическую коммерческую деятельность.
Хотя Nasdaq работает как дилерская сеть, акции Nasdaq обычно не классифицируются как внебиржевые, поскольку Nasdaq считается фондовой биржей.
Плюсы и минусы рынка безрецептурных препаратов
Облигации, АДР и деривативы торгуются на внебиржевом рынке, однако инвесторы сталкиваются с большим риском при инвестировании в более спекулятивные внебиржевые ценные бумаги. Требования к подаче заявок между листинговыми платформами различаются, и может быть трудно найти финансовую информацию о бизнесе. Большинство финансовых консультантов рассматривают торговлю внебиржевыми акциями как спекулятивное предприятие.
Акции, торгуемые на внебиржевом рынке, как правило, не славятся большим объемом сделок. Меньший объем акций означает, что может не быть готового покупателя, когда придет время торговать акциями. Кроме того, спред между ценой покупки и ценой продажи обычно больше, поскольку эти акции могут делать нестабильные движения на любых рыночных или экономических данных.
Внебиржевой рынок является альтернативой для небольших компаний или тех, кто не хочет или не может листинговаться на стандартных биржах.
Листинг на стандартной бирже — это дорогостоящий и трудоемкий процесс, который выходит за рамки финансовых возможностей многих небольших компаний. Компании также могут обнаружить, что листинг на внебиржевом рынке обеспечивает быстрый доступ к капиталу за счет продажи акций.
Плюсы
OTC обеспечивает доступ к ценным бумагам, недоступным на стандартных биржах, таким как облигации, АДР и деривативы.
Меньшее количество правил внебиржевой торговли позволяет входить на рынок многим компаниям, которые не могут или не хотят размещать листинг на других биржах.
Благодаря торговле дешевыми дешевыми акциями спекулятивные инвесторы могут получить значительную прибыль.
Минусы
Внебиржевые акции имеют меньшую торговую ликвидность из-за низкого объема, что приводит к задержкам в завершении сделки и большим спредам между спросом и предложением.
Меньше регулирования приводит к менее доступной общедоступной информации, вероятности устаревшей информации и возможности мошенничества.
Внебиржевые акции склонны к волатильности при выпуске рыночных и экономических данных.
Безопасен ли внебиржевой рынок?
Внебиржевой рынок обычно считается рискованным, с мягкими требованиями к отчетности и более низкой прозрачностью, связанной с этими ценными бумагами. Многие акции, которые торгуются на внебиржевом рынке, имеют более низкую цену и могут быть очень волатильными. В то время как некоторые акции на внебиржевом рынке в конечном итоге котируются на основных биржах, другие внебиржевые акции терпят неудачу. Как и в случае любых инвестиций, важно как можно тщательнее изучить акции и компании.
Что является примером внебиржевого рынка?
Внебиржевой рынок — это рынок, на котором финансовые ценные бумаги торгуются через брокерско-дилерскую сеть, а не через финансовую биржу.
Внебиржевой рынок не является централизованным и происходит между двумя сторонами, например, сделка между двумя лицами, которые покупают и продают акции компании, не котирующейся на бирже. Внебиржевой рынок может состоять из любых ценных бумаг, таких как акции, товары и деривативы.
Как инвестору купить ценную бумагу на внебиржевом рынке?
Чтобы купить ценную бумагу на внебиржевом рынке, укажите конкретную ценную бумагу для покупки и сумму для инвестирования. OTCQX — один из крупнейших и наиболее уважаемых рынков внебиржевых акций. Большинство брокеров, которые продают биржевые ценные бумаги, также продают внебиржевые ценные бумаги, и это можно сделать в электронном виде на платформе брокера или по телефону.
Что такое внебиржевой производный инструмент?
Внебиржевой дериватив — это любая производная ценная бумага, торгуемая на внебиржевом рынке. Производный инструмент — это финансовая ценная бумага, стоимость которой определяется базовым активом, например акцией или товаром.