Элементы высшей математики
Элементы высшей математики
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕЧАСТЬ ПЕРВАЯ.  § 1. Ось § 2. Вектор § 3. Направленные углы § 4. Проекция вектора с оси на ось § 5. Векторные цепи § 6. Цепи углов § 7. Проекции вектора на две взаимно перпендикулярные оси § 8. Угол между двумя лекторами. Условия параллельности и перпендикулярности S 9. Упражнения и контрольные вопросы Глава 2. КООРДИНАТЫ § 1. Метод координат § 2. Основные задачи, решаемые методом координат § 3. Упражнения Глава 3. ФУНКЦИИ § 1. Переменные в постоянные § 2. Понятие о функциональной зависимости § 3. Классификация математических функций § 4. Обзор и графическое изображение простейших функции одного аргумента § 5. Обратные функции § 7. Упражнения Глава 4. ПРЯМАЯ § 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку § 2. Общее уравнение прямой § 3. Частные случаи § 4. Переход к уравнению с угловым коэффициентом § 5. Построение прямой § 6. Определение угла между двумя прямыми § 7.  Условие совпадения прямых§ 8 Пересечение прямых § 9. Расстояние от точки до прямой § 10. Другой подход к выводу уравнения прямой § 11. Прямая, проходящая через две точки § 12. Уравнение прямой в отрезках на осях § 13. Задачи на прямую линию Глава 5. ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ § 2. Эллипс. Построение посредством нитн. Зависимость между полуосями и полуфокусным расстоянием § 3. Построение эллипса по точкам § 4. Уравнение эллипса § 5. Связь эллипса с окружностью § 6. Директрисы эллипса § 7. Гипербола. Построение посредством нити § 8. Построение гиперболы по точкам § 9. Уравнение гиперболы § 10. Асимптоты. Геометрическое значение b § 11. Директрисы гиперболы § 12. Парабола. Построение по точкам § 13. Уравнение параболы § 14. Преобразование координат § 15. Пример на упрощение уравнения кривой путем параллельного переноса осей § 16. Поворот осей § 18.  Полярные координаты§ 19. Спираль Архимеда § 20. Логарифмическая спираль § 21. Примеры на составление полярных уравнений кривых § 22. Выражение прямоугольных координат через полярные § 23. Уравнение лемнискаты § 24. Параметрическое задание линий § 25. Построение графика § 26. Циклоида § 27. Упражнения Глава 6. ВЕКТОРЫ, ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Оси, векторы, углы § 2. Проекции § 3. Проекции на три взаимно перпендикулярные оси. Длина вектора через проекции § 4. Простейшие зависимости, содержащие величину вектора, проекции и направляющие косинусы § 6. Координаты § 7. Выражение проекций вектора через координаты конца и начала § 8. Выражение длины вектора через координаты концов. Расстояние между двумя точками § 9. Деление отрезка в данном отношении § 10. График уравнения с двумя переменными § 11.  Поверхность как след, образуемый перемещением некоторой деформируемой плоской кривой§ 12. Цилиндрические поверхности § 13. Обратная задача. Уравнение шаровой поверхности § 15. Общее уравнение плоскости § 16. Частные случаи § 17. Выяснение расположения плоскости относительно осей § 18. Угол между плоскостями. Условие параллельности. Условие перпендикулярности § 19. Условие совпадения плоскостей § 20. Расстояние от точке до плоскости § 21. Прямая как пересечение двух плоскостей § 22. Прямая, проходящая через данную точку § 23. Прямая, проходящая через две точки § 24. Переход от системы уравнений прямой в общем виде к системе в виде пропорций § 25. Угол между прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности § 26. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности § 28. Другие простейшие поверхности § 29.  Кривая в пространстве как пересечение двух поверхностей§ 30. Параметрические уравнения § 31. Винтовая линия § 32. Параметрические уравнения в механике § 33. Переход от параметрического представления к общему и обратно § 34. Преобразование координат § 35. Упражнения ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Бесконечно малые § 2. Понятие предела переменной величины § 3. Понятие бесконечно большой § 4. Свойства бесконечно малых § 6. Предел непрерывной функции § 7. Геометрическое истолкование непрерывности § 8. Свойство непрерывной функции § 9. Предел функции, зависящей от нескольких переменных § 10. Особые случаи разыскания предела § 11. Замечательный тригонометрический предел § 12. Признак существования предела § 13. Сходимость бесконечных рядов § 14. Простейшие признаки сходимости § 15. Основание натуральных логарифмов § 16. Порядок бесконечно малых § 17.  x.§ 9. Производные произведения и частного. Производные tg x и ctg x. § 11. Сводка основных формул § 12. Дифференциал § 13. Основные формулы для дифференциалов § 14. Высшие производные § 15. Высшие дифференциалы § 16. Дифференцирование неявных функций § 17. Дифференцирование функций, заданных параметрическим способом § 18. Преобразование дифференциалов к новой переменной § 19. Упражнения Глава 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1. Непрерывность первой производной § 2. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум § 3. Приложение к построению графиков § 4. Наибольшее и наименьшее значения функции § 6. Направление выпуклости, точки перегиба § 7. Приложение к построению графиков § 8. Построение графиков разрывных функций § 9. Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака первой производной § 10.  Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака второй и высших производных§ 11. Асимптоты § 12. Дифференциал дуги § 13. Направляющие косинусы касательной § 14. Радиус кривизны, центр кривизны § 15. Дифференциал дуги и направляющие косинусы касательной для кривой в пространстве § 16. Упражнения § 1. Функции многих переменных. Область определения. Непрерывность § 2. Частные производные и полный дифференциал § 3. Частные производные и полный дифференциал сложной функции многих переменных § 4. Дифференцирование неявных функций § 5. Частные производные и полные дифференциалы высшего порядка § 6. Упражнения ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Глава 1. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ § 2. Общий наибольший делитель § 3. Общее наименьшее кратное § 4. Простые числа § 5. Единственность разложения на простые сомножители § 6. Непрерывные дроби и их связь с алгоритмом Евклида Вопросы к главе 1 Глава 2.  § 1. Функции [x] и {x} § 2. Мультипликативные функции § 3. Число делителей и сумма делителей § 4. Функция Мёбиуса § 5. Функция Эйлера Вопросы к главе II Глава 3. СРАВНЕНИЯ § 2. Свойства сравнений, подобные свойствам равенств § 3. Дальнейшие свойства сравнений § 4. Полная система вычетов § 5. Приведенная система вычетов § 6. Теоремы Эйлера и Ферма Вопросы к главе 3 Глава 4. СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ § 2. Сравнения первой степени § 3. Система сравнений первой степени § 4. Сравнения любой степени по простому модулю § 5. Сравнения любой степени по составному модулю Глава 5. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ § 2. Символ Лежандра § 3. Символ Якоби § 4. Случай составного модуля Вопросы к главе 5 Глава 6. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ § 2. Первообразные корни по модулям § 3. Разыскание первообразных корней по модулям § 4. Индексы по модулям § 5.  a§ 7. Индексы по любому составному модулю Вопросы к главе 6 Глава 7. ХАРАКТЕРЫ § 2. Важнейшие свойства характеров Вопросы к главе 7 РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ Решения к главе 2 Решения к главе 3 Решения к главе 4 Решения к главе 5 Решения к главе 6 ОТВЕТЫ К ЧИСЛЕННЫМ ПРИМЕРАМ |
ЧАСТНОЕ (функция ЧАСТНОЕ) – Служба поддержки Майкрософт
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ЧАСТНОЕ в Microsoft Excel.
Совет: Если вы хотите разделить числные значения, используйте оператор /, так как в Excel нет функции DIVIDE. Например, чтобы разделить 5 на 2, введите =5/2 в ячейку, которая возвращает 2,5.
Функция QUOTIENT для этих же чисел =QUOTIENT(5;2) возвращает 2, так как функция QUOTIENT не возвращает остаток. Другие способы дележения чисел см. в этой теме.
Описание
Возвращает целую часть результата деления с остатком. Эта функция используется, когда нужно отбросить остаток от деления.
Синтаксис
ЧАСТНОЕ(числитель;знаменатель)
Аргументы функции ЧАСТНОЕ указаны ниже.
Замечание
Если один из аргументов не является числом, то quotient возвращает #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Пример
Скопируйте пример данных из следующей таблицы и вставьте его в ячейку A1 нового листа Excel. Для переключения между формулами и их результатами нажмите клавишу F2. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
|
Формула |
Описание |
Результат |
|---|---|---|
|
=ЧАСТНОЕ(5; 2) |
Целая часть результата деления 5/2 |
2 |
|
=ЧАСТНОЕ(4,5; 3,1) |
Целая часть результата деления 4,5/3,1 |
1 |
|
=ЧАСТНОЕ(-10;3) |
Целая часть результата деления -10/3 |
-3 |
См.
также
ПРОИЗВЕД
Умножение и деление чисел в Excel
Расчет процентов
Краткое руководство: форматирование чисел на листе
3-3x)$? В более общем плане мы бы как иметь формулу для вычисления производной $f(x)/g(x)$, если мы уже знаете $f'(x)$ и $g'(x)$. Вместо того, чтобы атаковать эту проблему в лоб, заметим, что мы уже решили часть задачи: $f(x)/g(x)= f(x)\cdot(1/g(x))$, то есть это “действительно” произведение, и мы можем вычислить производную, если знаем $f'(x)$ и $(1/г(х))’$. Так что на самом деле единственный новый бит информации, который нам нужен, это $(1/g(x))’$ через $g'(x)$. Как и в случае с правилом произведения, установим это и посмотреть, как далеко мы можем получить: $$ \выравнивание{ {d \ над dx} {1 \ над g (x)} & = \ lim _ {\ Delta x \ to0} {{1\over g(x+\Delta x)}-{1\over g(x)}\over\Delta x}\cr &=\lim_{\Delta x\to0} {{g(x)-g(x+\Delta x)\over g(x+\Delta x)g(x)}\over\Delta x}\cr &=\lim_{\Delta x\to0} {g(x)-g(x+\Delta x)\over g(x+\Delta x)g(x)\Delta x}\cr &=\lim_{\Delta x\to0} -{g(x+\Delta x)-g(x)\over \Delta x} {1\over g(x+\Delta x)g(x)}\cr &=-{г'(х)\над г(х)^2}\кр }$$ Теперь мы можем объединить это с правилом продукта: $${d\over dx}{f(x)\over g(x)}=f(x){-g'(x)\over g(x)^2}+f'(x){1\ над g(x)}={-f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\над g(x)^2}= {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\над g(x)^2}.
$$
92)$ является примером класса
кривых, каждая из которых называется ведьмой Аньези .
Нарисуйте кривую и найдите касательную к кривой в точке
$х= 5$. (Слово ведьма здесь является неправильным переводом
оригинальный итальянский, как описано на
http://mathworld.wolfram.com/WitchofAgnesi.html и
http://witchofagnesi.org/.
(отвечать)Пример 3.4.9 Если $f'(4) = 5$, $g'(4) = 12$, $(fg)(4)= f(4)g(4)=2$ и $g(4) = 6$ , вычислить $f(4)$ и $\ds{d\over dx}{f\over g}$ в 4. (отвечать)
Объяснение урока: Объединение правил произведения, частного и цепочки
В этом объяснении мы узнаем, как найти первую производную функция с использованием комбинаций произведения, частного и цепных правил.
Многие функции можно составить из более простых функций, комбинируя их в одним или несколькими из следующих способов:
- сложение и вычитание: 𝑢(𝑥)+𝑣(𝑥) и 𝑢(𝑥)−𝑣(𝑥),
- умножение и деление: 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) и 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥),
- Состав: 𝑢(𝑣(𝑥)).
К счастью, мы помним, что существуют правила дифференцирования функций, которые формируются этими способами. Для сложения и вычитания мы можем использовать линейность производной; для умножения и деления у нас есть правило произведения и факторное правило; для композиции мы можем применить цепное правило. Давайте рассмотрим эти правила.
Правило: Правила дифференцирования
Для дифференцируемых функций 𝑢(𝑥) и 𝑣(𝑥) и константы 𝑎,𝑏∈ℝ, имеем следующие правила:
- Линейность : (𝑎𝑢(𝑥)+𝑏𝑣(𝑥))′=𝑎𝑢′(𝑥)+𝑏𝑣′(𝑥).
- Правило произведения : (𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))′=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥).
- Частное правило : для 𝑣(𝑥)≠0, 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)′=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)(𝑣(𝑥)).
- Цепное правило : (𝑢(𝑣(𝑥)))′=𝑢′(𝑣(𝑥))𝑣′(𝑥).
Эти правила можно использовать не только по отдельности, но и в
связи друг с другом, что позволяет различать любую комбинацию
элементарные функции.
Однако мы должны понимать, что это часто не
тривиальное упражнение, и может быть сложно определить правильные правила для
применяются, лучший порядок их применения и существуют ли алгебраические
упрощения, облегчающие процесс. В этом объяснителе мы
рассмотрим ряд примеров, которые подчеркнут навыки, которые нам нужны
ориентироваться в этом ландшафте.
Рассмотрим пример дифференцирования сложной функции, объединяющей множество различных операций вместе, и как мы можем справиться с дифференциацией путем разделение его на отдельные части. Предположим, у нас есть 𝑓(𝑥)=𝑥+4𝑥−3𝑥+6+√2𝑥−5.
На первый взгляд это может показаться невозможным, но мы можем разбить его на части. Как правило, лучший способ сделать это — начать с рассмотрения самых внешних слой первый и работает внутрь. Если мы это сделаем, то увидим, что это сумма из двух функций: 𝑓(𝑥)=𝑥+4𝑥−3𝑥+6+√2𝑥−5=𝑔(𝑥)+ℍ(𝑥). ()()
Используя линейность дифференцирования, это означает, что мы можем дифференцировать
𝑔(𝑥) и ℎ(𝑥)
по отдельности, а затем сложите их вместе.
Если мы рассмотрим
𝑔(𝑥) отдельно таким образом, мы можем видеть, что
𝑔(𝑥)=𝑥+4𝑥−3𝑥+6=(𝑢(𝑥)).()
Другими словами, 𝑔(𝑔 ) представляет собой композицию функции, поэтому мы можем применить цепное правило, чтобы помочь нам дифференцировать его. Это из означает, что нам нужно найти производную от 𝑢(𝑥), но его тоже можно разбить на более мелкие части. Продолжая этот процесс, мы можем продолжать удалять слои сложности. из функции, пока мы не придем к элементарным выражениям, которые мы знаем, как дифференцировать. Наглядно это можно представить следующим образом.
Обратите внимание, что все функции в нижней части дерева — это функции, которые мы можно легко дифференцировать. Таким образом, мы видим, что, применяя соответствующие правил на каждом этапе, мы можем найти производные даже самых сложных функции.
Теперь мы рассмотрим несколько примеров, где мы применяем этот подход, хотя и для
чуть более простые случаи.
Для начала рассмотрим полином высокой степени
функция, которая была учтена.
Пример 1. Нахождение первой производной полиномиальной функции в точке с помощью Правила продукта и цепочки
Найдите первую производную от 𝑦=(𝑥−5)(𝑥−2) в точке (1,−4).
Ответ
Давайте сначала проанализируем данную функцию и посмотрим, какие правила мы можем применить к ней. Это. Поскольку это полиномиальная функция, мы могли бы расширить все скобки через умножение и взять производные от отдельные компоненты, но это потребовало бы большого количества расчетов. Вместо этого было бы более эффективно разделить его на части, объединив несколько правил дифференцирования вместе. Прежде всего отметим, что это является произведением функций: 𝑦=(𝑥−5)(𝑥−2)=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥).()()
Вспомним, что правило произведения говорит нам, что производная произведения
две дифференцируемые функции задаются выражением
(𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))′=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥).
Чтобы использовать эту формулу, нам нужно знать производные 𝑢′(𝑥) и 𝑣′(𝑥). Первую функцию, 𝑢(𝑥)=𝑥−5, можно дифференцировать используя правило степени, чтобы получить 𝑢′(𝑥)=1. За 𝑣(𝑥), заметим, что это композиция функций: 𝑣(𝑥)=(𝑥−2)=(𝑔(𝑥)).()
То есть, если 𝑓(𝑥)=𝑥 и 𝑔(𝑥)=𝑥−2, тогда 𝑣(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥)). Мы напомним, что производная композиции функций может быть найдена с помощью цепное правило, которое (𝑓(𝑔(𝑥)))′=𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥).
Используя правило степени, мы находим, что производная от 𝑓 равна 𝑓′(𝑥)=6𝑥 и производная от 𝑔 равно 𝑔′(𝑥)=1. Подставляя их в формуле выше (вместе с 𝑔(𝑥)=𝑥−2), мы получаем 𝑣′(𝑥)=𝑓′(𝑥−2)⋅1=6(𝑥−2).
Теперь, когда у нас есть и 𝑣′(𝑥), и
𝑢′(𝑥), мы можем заменить
𝑢(𝑥)=𝑥−5,
𝑣(𝑥)=(𝑥−2),
𝑢′(𝑥)=1, и
𝑣′(𝑥)=6(𝑥−2)
в формулу правила продукта, чтобы получить
дд𝑦𝑥=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)=1⋅(𝑥−2)+(𝑥−5)⋅6(𝑥−2)=(𝑥−2)(( 𝑥−2)+6(𝑥−5))=(𝑥−2)(7𝑥−32).
Наконец, нам нужно найти первую производную в точке (1,−4). Обратите внимание, что (1,−4) – координата точки на график, представляющий заданную функцию, и в этот момент 𝑥-координата равна 1. Таким образом, подставляем в 𝑥=1 найти dd𝑦𝑥|||=(1−2)(7⋅1−32)=(−1)(−25)=25.
Как видим, часто бывает полезно иметь возможность разбивать вниз функции в компоненты, с которыми мы можем работать индивидуально, используя продукт и цепочку правила. Рассмотрим еще один пример, когда нам выгодно совмещать разные правила вместе.
Пример 2. Дифференцирование комбинаций полиномиальных и корневых функций с помощью Правила продукта и цепочки
Найти dd𝑥5𝑥√2𝑥+2 при 𝑥=1.
Ответ
Нас попросили дифференцировать функцию, которая является комбинацией
полиномиальные функции и функции квадратного корня, поэтому давайте подумаем, как лучше поступить
с этим.
Одна из возможностей – взять член 5𝑥 в квадратный корень.
и используйте цепное правило, чтобы дифференцировать результирующую функцию квадратного корня. Другой способ состоит в том, чтобы признать, что это произведение функций, как показано ниже:
5𝑥√2𝑥+2=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥).()()
Таким образом, поскольку 𝑢(𝑥) и 𝑣(𝑥) — дифференцируемые функции, мы можем использовать правило продукта, которое гласит, что (𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))′=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥).
Чтобы использовать это, мы должны вычислить 𝑢′(𝑥) и 𝑣′(𝑥). Прежде всего, 𝑢(𝑥)=5𝑥 можно дифференцировать с помощью степенное правило, чтобы получить 𝑢′(𝑥)=5. За 𝑣(𝑥), мы не можем напрямую использовать правило мощности, но мы можем разбить его на части, признав, что это композиция функций следующим образом: 𝑣(𝑥)=2𝑥+2=√𝑔(𝑥).()
То есть 𝑣(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥)), где
𝑓(𝑥)=√𝑥 и
𝑔(𝑥)=2𝑥+2. Таким образом, мы можем использовать цепное правило, т.
(𝑓(𝑔(𝑥)))′=𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥).
Теперь мы можем найти как 𝑓′(𝑥), так и 𝑔′(𝑥), используя правило степени, которое дает нам 𝑓′(𝑥)=12√𝑥,𝑔′(𝑥)=4𝑥.
Подставляя их в уравнение цепочки, мы получаем 𝑣′(𝑥)=12√𝑔(𝑥)⋅4𝑥=4𝑥2√2𝑥+2=2𝑥√2𝑥+2.
Взяв эту функцию для 𝑣′(𝑥), вдоль с 𝑢′(𝑥)=5, 𝑢(𝑥)=5𝑥 и 𝑣(𝑥)=√2𝑥+2, мы можем подставить их в уравнение правила произведения, чтобы получить дд𝑥5𝑥√2𝑥+2=5⋅√2𝑥+2+5𝑥⋅2𝑥√2𝑥+2=5√2𝑥+2+10𝑥√2𝑥+2.
Теперь вспомним, что нам нужно вычислить эту функцию в 𝑥=1. Делая это, мы получаем следующее решение: дд𝑥5𝑥√2𝑥+2||=5⋅√2⋅1+2+10⋅1√2⋅1+2=5√4+10√4=10+5=15.
В первых двух примерах мы рассмотрели функции, требующие
как правило продукта, так и правило цепи должны быть дифференцированы. В следующем примере
мы будем рассматривать функцию, определенную в терминах полиномов и квадратного корня
функции, где нам нужно будет использовать частное правило.
Пример 3. Дифференцирование функции, включающей рациональные функции, в точке с помощью Правила дифференцирования
Оценить dd𝑦𝑥 в (1,−1), если 𝑦=−2𝑥√3𝑥+1.
Ответ
В этом примере мы хотим определить первую производную заданного рациональной функции, применяя правила дифференцирования и оценивая это в точке (1,−1).
Поскольку нам, скорее всего, придется применять более одного правила дифференциация, будет полезно рассмотреть, в каком порядке мы хотим применить их внутрь. Лучший способ сделать это — рассмотреть самую внешнюю часть функционировать и посмотреть, как его можно разбить; если мы сделаем это, мы увидим, что данная функция является частным следующих функций: 𝑦=−2𝑥√3𝑥+1=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥).()()
Чтобы определить производную от этого, мы будем использовать
правило отношения, которое утверждает, что для функции
𝑦=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥), имеем,
для 𝑣(𝑥)≠0,
dd𝑦𝑥=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑣(𝑥).
Таким образом, мы можем определить производную данной функции, полагая 𝑢(𝑥)=−2𝑥 и 𝑣(𝑥)=√3𝑥+1 в числителе и знаменатель соответственно. Чтобы применить это правило, нам нужно оценить производные от 𝑢(𝑥) и 𝑣(𝑥).
Производная от 𝑢(𝑥) является простой и можно найти из степенного правила как 𝑢′(𝑥)=−2. С 𝑣(𝑥) — композиция двух функций, 𝑓(𝑥)=√𝑥 и 𝑔(𝑥)=3𝑥+1, чтобы найти производную 𝑣(𝑥), мы будем использовать цепное правило, которое утверждает, что для составной функции 𝑓(𝑔(𝑥)) мы имеем (𝑓(𝑔(𝑥)))′=𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥).
Чтобы применить это правило, нам нужно вычислить производные от 𝑓 и 𝑔 относительно 𝑥, оба из которых можно найти с помощью приложения силовое правило следующим образом: 𝑓′(𝑥)=12√𝑥,𝑔′(𝑥)=6𝑥.
Подстановка этих выражений обратно в правило цепочки с помощью
𝑔(𝑥)=3𝑥+1, находим производную от
𝑣 относительно 𝑥 следующим образом:
𝑣′(𝑥)=3𝑥√3𝑥+1.
Подставляя 𝑢=−2𝑥, 𝑢′(𝑥)=−2, 𝑣(𝑥)=√3𝑥+1, и 𝑣′(𝑥), как показано выше, теперь мы можем применить частное правило следующим образом: dd𝑦𝑥=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑣(𝑥)=−2√3𝑥+1+2𝑥3𝑥+1.√900900 Умножая числитель и знаменатель на √3𝑥+1, мы можем упростить дробь, что даст нам dd𝑦𝑥=−23𝑥+1+2𝑥⋅3𝑥(3𝑥+1)√3𝑥+1=−6𝑥−2+6𝑥(3𝑥+1)√3𝑥+1=−2(3𝑥+1)√3𝑥+1 .
Подстановка заданной точки 𝑥=1 в это выражение дает dd𝑦𝑥|||=−2(3+1)√3+1=−14.
До сих пор мы видели только примеры примеров, где оптимально применять
правило произведения или частного, за которым следует цепное правило, но противоположный порядок может
быть более естественным в зависимости от заданной функции. В каждом случае мы должны сделать
уверен, что порядок, в котором мы применяем производные правила, имеет смысл. Позволь нам
рассмотрим ситуацию, когда нам, возможно, придется изменить порядок применения
правила.
Пример 4. Дифференцирование композиции рациональных функций и функций корня с помощью Цепные и частные правила
Если 𝑦=2𝑥+12𝑥−1, определить дд𝑦𝑥.
Ответ
Здесь нас попросили вычислить производную функции, которая представляется сочетанием различных функций. Так как мы, вероятно, придется использовать более одного правила дифференцирования, чтобы сделать это, мы должны начать рассматривая, какой из них применить в первую очередь. Мы делаем это, глядя на самая внешняя часть функции и работающая внутрь. Так как внешняя часть является квадратным корнем, мы можем видеть, что у нас есть 𝑦=2𝑥+12𝑥−1=√𝑣(𝑥).()
То есть 𝑦=𝑢(𝑣(𝑥)), где
𝑢(𝑥)=√𝑥 и
𝑣(𝑥)=2𝑥+12𝑥−1. Мы заметили
что, поскольку это композиция дифференцируемых функций, мы можем использовать
цепное правило, которое говорит, что
(𝑢(𝑣(𝑥)))′=𝑢′(𝑣(𝑥))𝑣′(𝑥).
Чтобы использовать эту формулу, нам нужно 𝑢′(𝑥) и 𝑣′(𝑥), первое из которых может быть просто получается с помощью правила мощности, чтобы получить 𝑢′(𝑥)=12√𝑥. Для последнее, мы можем видеть, что это частное дифференцируемых функций: 𝑣(𝑥)=2𝑥+12𝑥−1=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).()()
Следовательно, мы можем применить правило отношения. Напомним, что для 𝑔(𝑥)≠0, это 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)′=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)(𝑔(𝑥)).
Каждый из 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) — полиномиальная функция, поэтому мы можем дифференцировать их по силовому правилу. Это дает нам 𝑓′(𝑥)=6𝑥,𝑔′(𝑥)=6𝑥.
Тогда, подставив эти функции в формулу правила отношения, получим 𝑣′(𝑥)=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)(𝑔(𝑥))=6𝑥2𝑥−1−2𝑥+16𝑥(2𝑥−1) =−12𝑥(2𝑥−1).
Теперь, когда у нас есть 𝑣′(𝑥), и
𝑢′(𝑥)=12√𝑥, давайте
напомним, что наша исходная производная может быть найдена с использованием цепного правила как
следует:
dd𝑦𝑥=𝑢′(𝑣(𝑥))𝑣′(𝑥)=12(𝑣(𝑥))⋅−12𝑥(2𝑥−1).
Напомним, что 𝑣(𝑥)=2𝑥+12𝑥 −1, что означает, что 𝑣(𝑥)=2𝑥−12𝑥+1. Если мы подставим это в приведенное выше уравнение, мы получим dd𝑦𝑥=122𝑥−12𝑥+1⋅−12𝑥(2𝑥−1).
Мы можем немного упростить это, воспользовавшись тем фактом, что 𝑎𝑏=√𝑎√𝑏 чтобы получить dd𝑦𝑥=12√2𝑥−1√2𝑥+1⋅−12𝑥(2𝑥−1)=−6𝑥√2𝑥−1√2𝑥+1(2𝑥−1)2=−6𝑥√2𝑥+1(2𝑥−1).
Обратите внимание, что существует альтернативный способ решения вышеуказанной проблемы. Если бы у нас было использовали тот факт, что 𝑎𝑏=√𝑎√𝑏 с самого начала, мы бы имели 𝑦=√2𝑥+1√2𝑥−1.
Если бы мы взяли производную от этого, мы могли бы сначала использовать правило отношения вместо этого следует цепное правило для функций в числителе и знаменатель. Тем не менее, это приведет к аналогичному объему работы, чтобы добраться до тот же ответ.
Вспомним, что существует еще одна форма задачи дифференцирования, которую мы могли бы решить.
сталкиваться.
Предположим, нам нужно найти dd𝑦𝑥, где
𝑦=𝑓(𝑧),𝑧=𝑔(𝑥).
Если 𝑦 не указано явно через 𝑥, мы не можем дифференцировать его напрямую. Вместо этого мы можем использовать следующую форму цепное правило: ддддд𝑦𝑥=𝑦𝑧⋅𝑧𝑥.
Поскольку мы можем дифференцировать 𝑦 по 𝑧 и 𝑧 по отношению к 𝑥, это позволяет нам вычислить производную. В качестве альтернативы мы могли бы заменить 𝑧=𝑔(𝑥) в уравнение для 𝑦, чтобы получить 𝑦=𝑓(𝑔(𝑥)).
Напомним, что, записав таким образом, мы можем вернуться к исходной форме цепочки правило, которое мы использовали до сих пор: (𝑓(𝑔(𝑥)))′=𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥).
Заметим, что это просто другой способ записи
dd𝑦𝑥, как показано выше (в частности,
𝑓′(𝑔(𝑥))=𝑦𝑧дд
и 𝑔′(𝑥)=𝑧𝑥dd). Также важно отметить, что замена
𝑧=𝑔(𝑥) в уравнение для 𝑦
таким образом может привести к упрощению выражения, т.
возможность, мы могли бы дифференцировать его без использования цепного правила (но это
не всегда так).
В любом случае, давайте рассмотрим пример в этом стиле, где мы должны использовать цепное правило с дополнительными осложнениями, связанными с необходимостью использования другого правила дифференциация.
Пример 5. Дифференцирование композиции рациональных функций с помощью Цепные и частные правила
Вычислить dd𝑦𝑥 в 𝑥=4, если 𝑦=𝑧+3𝑧+13 и 𝑧=𝑥−10𝑥−3.
Ответ
В этом примере нам нужно дифференцировать функцию по 𝑥, который явно не указан в терминах 𝑥.
Одной из возможностей дифференцировать это было бы заменить уравнение для 𝑧 в функцию для 𝑦, так что мы можем дифференцировать 𝑦 непосредственно по 𝑥. Однако это привело бы к дробям внутри дроби, которые могут быть грязными.
Вместо этого давайте воспользуемся цепным правилом, чтобы различать это. Напомним, что
цепное правило может быть записано в терминах
d𝑦 и
d𝑥 (т.
е. обозначение Лейбница)
следующее:
ддддд𝑦𝑥=𝑦𝑧⋅𝑧𝑥.
Таким образом, вычислим dd𝑦𝑧 и дд𝑧𝑥. Обе функции отношения многочленов (которые являются дифференцируемыми функциями), что означает мы можем использовать частное правило, чтобы дифференцировать их. Напомним, что для 𝑣(𝑥)≠0, частное правило определяется выражением 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)′=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)(𝑣(𝑥)).
Для 𝑦 мы можем отключить переменную 𝑥 для 𝑧, и мы имеем 𝑢(𝑧)=𝑧+3 и 𝑣(𝑧)=𝑧+13. Производная от них функции со степенным правилом просты; мы получили 𝑢′(𝑧)=1 и 𝑣′(𝑧)=1. Объединив все это в уравнение частного правила, мы получаем dd𝑦𝑧=𝑢(𝑧)𝑣(𝑧)′=1⋅(𝑧+13)−(𝑧+3)⋅1(𝑧+13)=10(𝑧+13).
Мы можем выполнить очень похожий расчет для
дд𝑧𝑥. Позволять
𝑧=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), так что
𝑓(𝑥)=𝑥−10 и
𝑔(𝑥)=𝑥−3 с производными
𝑓′(𝑥)=1 и
𝑔′(𝑥)=1.
Затем, используя правило отношения,
мы получили
дд𝑧𝑥=1⋅(𝑥−3)−(𝑥−10)⋅1(𝑥−3)=7(𝑥−3).
Возвращаясь к нашей формуле цепного правила, мы умножаем эти два производные вместе, чтобы получить dd𝑦𝑥=10(𝑧+13)⋅7(𝑥−3)=70(𝑧+13)(𝑥−3).
Мы могли бы выразить это чисто через 𝑥, но это ненужным, так как нам нужно только оценить производную при заданном точка, 𝑥=4. Обратите внимание, что в этот момент 𝑧=4−104−3=−6. Таким образом, позволяя 𝑥=4 и 𝑧=−6 имеем dd𝑦𝑥|||=70(−6+13)(4−3)=107.
Давайте повторим несколько важных моментов, которые мы узнали в этом объяснении.
Ключевые моменты
- Используя правила дифференцирования, а именно произведение, частное, и цепные правила, мы можем вычислить производные любой комбинации элементарные функции.
- Важно учитывать порядок, в котором мы используем правила, так как это
помогите нам выбрать наиболее эффективный метод.
