Производная формула произведения: Производная произведения, формула и примеры

“Производная произведения и производная частного”

Тема урока: Вычисление производных. Производная произведения и частного.

Задачи:

Образовательные:

• Применить формулы вычисления производных при решении примеров.

• Проверить умение применять правила дифференцирования.

Развивающие:

• Развивать у учащихся умение учебного труда.

• Развивать умение анализировать, проводить рассуждения.

• Развивать устойчивый интерес к предмету.

Воспитательные:

• Формировать умение аргументированно отстаивать свои взгляды.

• Формировать способность к взаимопомощи, работе в паре, группе, коллективе.

Тип урока: урок закрепления.

Оборудование: учебники, дидактические материалы, плакат №12.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

 Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

Пример 1

Найти производную функции 

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от . 
Сначала применяем наше правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

Пример 2

Найти производную функции 

В данной функции содержится сумма  и произведение двух функций –  квадратного трехчлена   и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки  используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:

Готово.

При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .

Пример 3

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)

 

Производная частного функций

Пример 4

Найти производную функции 

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны. 
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь.

И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

Пример 5

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Время от времени встречаются хитрые задачки:

Пример 6

Найти производную функции 

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула  достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Пример 6

Найти производную функции 

Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

Пример 7

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Ответы:

Пример 3: 

Пример 5: 

Пример 7: 

4. Решение примеров.

5. Рефлексия.

6. Домашнее задание.

définition de %d0%a4%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d0%b0%20%d0%9b%d0%b5%d0%b9%d0%b1%d0%bd%d0%b8%d1%86%d0%b0%20(%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7%d0%b2%d0%be%d0%b4%d0%bd%d0%be%d0%b9%20%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7%d0%b2%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f) et synonymes de %d0%a4%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d0%b0%20%d0%9b%d0%b5%d0%b9%d0%b1%d0%bd%d0%b8%d1%86%d0%b0%20(%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7%d0%b2%d0%be%d0%b4%d0%bd%d0%be%d0%b9%20%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7%d0%b2%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f) (russe)



%d0%a4%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d0%b0%20%d0%9b%d0%b5%d0%b9%d0%b1%d0%bd%d0%b8%d1%86%d0%b0%20(%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7%d0%b2%d0%be%d0%b4%d0%bd%d0%be%d0%b9%20%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7%d0%b2%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f) : définition de %d0%a4%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d0%b0%20%d0%9b%d0%b5%d0%b9%d0%b1%d0%bd%d0%b8%d1%86%d0%b0%20(%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7%d0%b2%d0%be%d0%b4%d0%bd%d0%be%d0%b9%20%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7%d0%b2%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f) et synonymes de %d0%a4%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d0%b0%20%d0%9b%d0%b5%d0%b9%d0%b1%d0%bd%d0%b8%d1%86%d0%b0%20(%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7%d0%b2%d0%be%d0%b4%d0%bd%d0%be%d0%b9%20%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7%d0%b2%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f) (russe)

Contenu de sensagent

• définitions
• synonymes
• antonymes
• encyclopédie

• определение
• синоним

dictionnaire et traducteur pour sites web

Alexandria

Une fenêtre (pop-into) d’information (contenu principal de Sensagent) est invoquée un double-clic sur n’importe quel mot de votre page web. LA fenêtre fournit des explications et des traductions contextuelles, c’est-à-dire sans obliger votre visiteur à quitter votre page web !

Essayer ici, télécharger le code;

Solution commerce électronique

Augmenter le contenu de votre site

Ajouter de nouveaux contenus Add à votre site depuis Sensagent par XML.

Parcourir les produits et les annonces

Obtenir des informations en XML pour filtrer le meilleur contenu.

Indexer des images et définir des méta-données

Fixer la signification de chaque méta-donnée (multilingue).

Renseignements suite à un email de description de votre projet.

Lettris

Lettris est un jeu de lettres gravitationnelles proche de Tetris. Chaque lettre qui apparaît descend ; il faut placer les lettres de telle manière que des mots se forment (gauche, droit, haut et bas) et que de la place soit libérée.

boggle

Il s’agit en 3 minutes de trouver le plus grand nombre de mots possibles de trois lettres et plus dans une grille de 16 lettres.

Il est aussi possible de jouer avec la grille de 25 cases. Les lettres doivent être adjacentes et les mots les plus longs sont les meilleurs. Participer au concours et enregistrer votre nom dans la liste de meilleurs joueurs ! Jouer

Dictionnaire de la langue française
Principales Références

La plupart des définitions du français sont proposées par SenseGates et comportent un approfondissement avec Littré et plusieurs auteurs techniques spécialisés.
Le dictionnaire des synonymes est surtout dérivé du dictionnaire intégral (TID).

L’encyclopédie française bénéficie de la licence Wikipedia (GNU).

Traduction

Changer la langue cible pour obtenir des traductions.
Astuce: parcourir les champs sémantiques du dictionnaire analogique en plusieurs langues pour mieux apprendre avec sensagent.

 

6744 visiteurs en ligne

calculé en 0,062s

allemand anglais arabe bulgare chinois coréen croate danois espagnol espéranto estonien finnois français grec hébreu hindi hongrois islandais indonésien italien japonais letton lituanien malgache néerlandais norvégien persan polonais portugais roumain russe serbe slovaque slovène suédois tchèque thai turc vietnamien

allemand anglais arabe bulgare chinois coréen croate danois espagnol espéranto estonien finnois français grec hébreu hindi hongrois islandais indonésien italien japonais letton lituanien malgache néerlandais norvégien persan polonais portugais roumain russe serbe slovaque slovène suédois tchèque thai turc vietnamien

Правила дифференцирования

Сегодня на уроке мы повторим определение производной функции. Вспомним известные формулы производных. Познакомимся с правилами дифференцирования суммы, произведения и частного. Познакомимся с формулой нахождения производной сложной функции.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте напомним определение производной.

Пусть функция  определена на некотором промежутке,  – точка этого промежутка и число  такое, что  также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения  при  (если этот предел существует), называется производной функции  в точке  и обозначается . Таким образом, .

Вспомним, что , , , .

Теперь приступим к рассмотрению правил дифференцирования.  

Итак, производная суммы равна сумме производных, то есть .

Это свойство производной можно сформулировать так: если каждая из функций  и  имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива данная формула.

Давайте докажем эту формулу, используя определение производной.

Производная разности равна разности производных, то есть .

Отметим, что производная суммы нескольких функций равна сумме производных этих функций.

Давайте найдём производную функции .

.

Следующее правило дифференцирования. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: .

Найдём производную функции .

Познакомимся с ещё двумя правилами дифференцирования.

Производная произведения двух функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй множитель и произведения первого множителя на производную второго множителя.

Отметим, что эта формула справедлива при условии, что функции  и  имеют производную в точке .

Найдём производную функции .

И познакомимся с ещё одной формулой, которую используют для нахождения производной частного. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель представляет собой разность произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя.

Эта формула справедлива при условии, что функции  и  имеют производную в точке , причём функция .

Найдём производную функции .

Сейчас давайте поговорим о производной сложной функции.

Посмотрите на функцию . Данную функцию можно рассматривать как сложную функцию , где .

Получается, что  – это функция, аргументом которой является функция .

Таким образом, сложная функция – это функция от функции .

, где .

 

Найдём производную функции .

А сейчас давайте выполним задание. Найдите производные следующих функций.

а) ; б) ; в) .

Решение.

Правило произведения для деривативов

Большая часть вычислений и поиска производных связана с определением того, какое правило применимо к какому случаю. Проще говоря, правило произведения применяется, когда ваша функция является произведением двух других функций.

В этом руководстве мы рассмотрим, как запомнить правило продукта, как распознать, когда его следует использовать, и, наконец, как его использовать.

реклама

Содержание:

1. Запоминание правила произведения
2. Примеры
3. Подсказка: следите за ярлыками

Запоминание правила продукта

Существует простой способ запомнить это важное правило: дважды выпишите произведение (сложив два члена), а затем найдите производную первого члена в первом произведении и производную второго члена во втором произведении.х\влево(1 + х\вправо)}\конец{выравнивание}\)

Как видите, в задачах с правилом произведения вы на самом деле просто заменяете производный вопрос на два более простых вопроса.

Подсказка: следите за ярлыками

Эту подсказку также можно назвать «теперь, когда вы знаете правило продукта, не применяйте его вслепую». Чтобы понять, что это значит, рассмотрим следующую функцию:

\(у = \влево(х+4\вправо)\влево(х+1\вправо)\)

Это произведение \(x+4\) и \(x+1\), поэтому, если мы хотим найти производную, мы должны использовать правило произведения, верно?

Это правда — вы могли бы использовать это. {\ простое число} = 2x + 5 \)

Это то, что вы хотите научиться замечать. Есть много задач, где вы можете избавить себя от вычислительной работы, упростив заранее. Однако в предыдущих примерах это было невозможно, поэтому правило произведения было лучшим подходом.

реклама

Резюме

Правило произведения используется для нахождения производной любой функции, являющейся произведением двух других функций. Самый быстрый способ запомнить его — подумать об общей схеме, которой он следует: «выпишите произведение дважды, заштрихуйте 1-е, заштрихуйте 2-е».

Продолжить изучение производных

Предыдущий: Правило степени для производных

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и наборы задач.

Подпишитесь, чтобы время от времени получать электронные письма (раз в пару или три недели), сообщающие о новинках!

Родственные

Правило произведения производных

Правило произведения производных: $$\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = f’\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right)g’\left( x \right)$$. Мы можем прочитать это как производная произведения двух функций, равная производной первой функции, умноженной на вторую функцию как она есть, плюс первая функция как она есть, умноженная на производную второй функции. Это правило произведения можно доказать, используя первый принцип или производную по определению.

Рассмотрим функцию вида $$y = f\left( x \right)g\left( x \right)$$.

Сначала мы берем приращение или небольшое изменение функции.
\[\begin{gathered}y + \Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right)g\left( {x + \Delta x} \right) \\ \Rightarrow \Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right)g\left( {x + \Delta x} \right) – y \\ \end{собрано} \]

Подставляя значение функции $$y = f\left( x \right)g\left( x \right)$$ в приведенное выше уравнение, мы получаем
\[ \Rightarrow \Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right)g\left( {x + \Delta x} \right) – f\left( x \right)g\left( x \right)\]

Вычитая и добавляя $$f\left( x \right)g\left( {x + \Delta x} \right)$$ в правой части, мы имеем
\[\Rightarrow \Delta y = f\left ( {x + \Delta x} \right)g\left( {x + \Delta x} \right) – f\left( x \right)g\left( {x + \Delta x} \right) + f \влево( x \вправо)g\влево( {x + \Delta x} \вправо) – f\влево( x \вправо)g\влево( x \вправо)\]

Разделив обе части на $$\Delta x$$, мы получим
\[\begin{gathered}\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right)g\left( {x + \Delta x} \right) – f\left( x \right)g\left( {x + \Delta x} \right) + f\left( x \right)g\left( {x + \Delta x} \right) – f\left( x \right)g\left( x \right)}}{{\Delta x}} \\ \frac{{ \Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right)g\left( {x + \Delta x} \right) – f\left( x \right)g\left( {x + \Delta x} \right)}}{{\Delta x}} + \frac{{f\left( x \right)g\left( {x + \Delta x } \right) – f\left( x \right)g\left( x \right)}}{{\Delta x}} \\ \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \ frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) – f\left( x \right)}}{{\Delta x}}g\left( {x + \Delta x} \right) + f\left( x \right)\frac{{g\left( {x + \Delta x} \right) – g\left( x \right)}}{{\Delta x}} \\ \end{собраны } \]

Принимая предел обеих сторон как $$\Delta x \to 0$$, мы имеем
\[\begin{gathered}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) – f\left ( x \right)}}{{\Delta x}}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} g\left( {x + \Delta x} \right) + f\left( x \right)\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g\left( {x + \Delta x} \right) – g\left( x \right)}}{{ \Delta x}} \\ \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = f’\left( x \right)g\left( {x + 0} \right) + f\left( x \ right)g’\left( x \right) \\ \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = f’\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right)g’\left( x \right) \\ \Rightarrow \frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right ] = f’\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right)g’\left( x \right) \\ \end{gathered} \]

ПРИМЕЧАНИЕ : Если продолжить произведение трех функций, то  
\[\Стрелка вправо \frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right)g\ влево( x \вправо)h\влево( x \вправо)} \вправо] = f’\влево( x \вправо)g\влево( x \вправо)h\влево( x \вправо) + f\влево( x \right)g’\left( x \right)h\left( x \right) + f\left( x \right)g\left( x \right)h’\left( x \right)\]

Пример : Найдите производную $$y = \left( {2{x^2} + 5} \right)\left( {4x – 1} \right)$$

У нас есть данная функция как
\[y = \left( {2{x^2} + 5} \right)\left( {4x – 1} \right)\]

Дифференцируя по переменной $$x$$, получаем
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {2{x^2} + 5} \вправо)\влево( {4x – 1} \вправо)\]

Теперь, используя формулу производной квадратного корня, мы имеем
\[\begin{gathered}\frac{{dy}}{{dx}} = \left( {2{x^2} + 5} \ справа)\frac{d}{{dx}}\left( {4x – 1} \right) + \left( {4x – 1} \right)\frac{d}{{dx}}\left( {2 {x^2} + 5} \right) \\ \frac{{dy}}{{dx}} = \left( {2{x^2} + 5} \right)\left( 4 \right) + \left( {4x – 1} \right)\left( {4x} \right) \\ \Стрелка вправо \frac{{dy}}{{dx}} = \left( {8{x^2} + 20} \right) + \left( {16{x^2} – 4x} \right) \\ \Стрелка вправо \frac{{dy}}{{dx}} = 24{x^2} – 4x + 20 \\ \ конец {собранный} \]

Понимание производной суммы, произведения или частного

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.4 – 𝑎) ∙ (𝑏 – 𝑐𝑥) =

Наша формула правила произведения гласит:

Для h(x) = f(x)*g(x),

h'(x) =f'(x)g(x) + f(x)g'( Икс).

В этом случае наша функция равна

h(x) = (x ⁴ – a)*(b-cx),

, поэтому мы можем сказать, что

f(x) = x ⁴ – а и

g(x) = b-cx.

Затем мы можем найти производные. Используя правило степени, мы знаем, что

f'(x) = 4x ³ и

g'(x) = -c.

Собрав все вместе, производные h(x) равны

h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 4x ³ (b- вх) + (х ⁴ -а)(-в).

Мы можем распределять и упрощать, поэтому

h'(x) = 4bx ³ – 4cx ⁴ – cx ⁴ + ca

= -5cx ⁴ +

Чтобы найти уравнение касательной, мы воспользуемся нашей формулой точка-наклон, то есть нам понадобится точка и наклон.Наклон задается производной в точке x=0 или h'(0). Итак,

h'(0) = -5c(0) ⁴ + 4b(0) ³ + ca

= 0 + 0 + ca

= ca.

Наша точка дается путем подстановки x=0 к нашей исходной функции, чтобы найти упорядоченную пару (0,y) ака. (0,ч(0)).

h(0) = (0 ⁴ – a)*(b-c(0))

= (-a)(b)

= -ba .

Таким образом, наша точка интереса (0, -ba)

Формула точка-наклон говорит для наклона m и точки (x ₀ ,y ₀ ), уравнение прямой линии через эту точку:

yy ₀ =m(xx ₀ ).

Теперь просто заменим наши значения, где:

m = ca

x ₀ = 0 и

y ₀ = -ba

и мы получим

x

или

у = cax – ba.

Это в окончательной форме или y=mx + b, так что это ваш ответ!

К сожалению, у меня нет вашей программы, поэтому я не могу изобразить это, используя один из предложенных графических ресурсов, но помните, что определение касательной линии — это прямая линия, которая проходит по графику в определенной точке и имеет то же самое. наклон в этой точке .Если это то, что имеет ваш график, вы на правильном пути!

Повторная производная произведений ряда Тейлора (правило произведения Лейбница) | by buraian

Следуя предыдущей статье, которую я написал здесь о рядах Тейлора, в этой статье я представляю метод вывода правила произведения Лейбница из теоремы Тейлора и правила произведения Коши.

Правило Лейбница дает нам красивую замкнутую форму для n-й производной произведения двух функций как суммы биномиальных коэффициентов и производных отдельных функций:

Показатель степени обозначает производные, поэтому «n» в левой части означает n-я производная произведения

Почти похоже на биномиальную теорему для разложения производных, не так ли? Интересно, есть ли область математики, изучающая подобные отношения.

Правило произведения Коши в контексте этой статьи дает хороший способ найти произведение двух бесконечных полиномиальных рядов. Для иллюстрации рассмотрим два бесконечных полиномиальных ряда, представленных как P и Q, определенных следующим образом:

(1) и (2)

Теперь умножение этих двух рядов даст еще один бесконечный многочлен, но на этот раз с некоторыми другими коэффициентами:

(3)

Теперь остается только связать коэффициенты полиномиального ряда в произведении i.k в произведении

(4)

Но, проявив некоторую смекалку, мы могли бы переписать сумму в терминах одного индекса, написав j = ki,

(5)

Отлично, теперь мы «умножили» два полиномиальный ряд и… пришло время объединить теорему Тейлора таким образом, чтобы мы могли применить ее, чтобы получить правило Лейбница. Вперед!

Давайте рассмотрим две «хорошие» функции, которые ведут себя хорошо (в отличие от этой непослушной) с их разложениями Тейлора вокруг некоторой точки x = a,

(6)

И произведение двух вышеприведенных функций может быть записано в виде другого полиномиального ряда ( xa) как так:

(7)

Теперь здесь мы запускаем «Коши», потому что, если вы внимательно посмотрите, те же самые аргументы, которые мы использовали для получения формулы Коши, применимы здесь, с той лишь разницей, что здесь это (xa ) вместо «х». Из (4) коэффициенты таковы:

(8) Все оценивается как x=a, , но было бы слишком загромождено, если бы я добавил и это, поэтому я отказался от оценки.

Мы переключимся на более красивое и эстетически приятное обозначение числа раз, когда мы брали производную от функции, с помощью показателя степени функции. Перепишем (8) в новом обозначении:

(9)

Теперь это элегантно, но выглядит так, будто формула умоляет нас сохранить k! вместо этого, чтобы мы могли получить биномиальный коэффициент, так что давайте просто сделаем это:

(10) k! не зависит от суммирования, так что мы можем его вынести.

Теперь, когда мы закончили украшать математику, давайте вернемся к нашему первоначальному доказательству.В (7) мы могли бы непосредственно записать полином Тейлора для произведения двух функций: индивидуальный полиномиальный ряд s должен быть одинаковым! Следовательно, мы можем написать:

Но но но, мы только что получили «хорошее» выражение для c_k в (9), используя это: вещь), мы приходим к общей теореме Лейбница для дифференцирования произведения двух функций:

Круто, а?

Предположим, мы хотим получить «сотую производную», возможно, что-то вроде следующего:

Мы можем просто подставить это в формулу:

Учитывая, что производная экспоненциальной функции сама по себе, а также отметив что все высшие производные за пределами третьей производной от x³ равны нулю, мы обнаруживаем, что верхний индекс суммирования равен трем, поскольку все после него равны нулю.

Теперь, если мы воспользуемся «n-й» производной формулы монома из оригинальной статьи из серии Тейлора, мы получим:

Расширяя это с помощью простого суммирования, мы получаем наш ответ. Сделав шаг назад и увидев общую картину, мы видим, что правило Лейбница говорит нам, как легко вычислить n-ю производную произведения двух функций по формулам для n-й производной каждой функции в произведении.

И все! Надеюсь, вам всем понравилось читать эту статью 🙂 Бонус: попробуйте вывести расширенное правило произведения Лейбница для произведения трех или более функций.. возможно, применима аналогия с полиномиальной теоремой?

Правило произведения или формула произведения для слабой производной

Задача: Вывести формулу произведения для слабой производной

выполняется для всех таких, что и .

Доказательство: Шаг 1: докажите,

Шаг 2: докажите случай за шагом 1. Читатели также могут ознакомиться с доказательством на странице 269 книги «Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных» (Хаим Брезис)

Шаг 3: Определите

тогда является кусочно гладким в и . Итак, по лемме 7.8 в bk Гилбарга и Трудингера и

Обозначают и . По шагу 2 имеем и

Обратите внимание, что по предположению

По теореме доминирующей сходимости, полагая

Шаг 4:Рассмотрите задачу с дополнительным предположением и .

Сначала мы предполагаем . Определять . Так как , то удовлетворяет , причем

Предположим, определено на , где .Тогда – кусочно-гладкая функция по и . По лемме 7.8 о книге Гилбарга и Трудингера . Обратите внимание, что по завершении шага 3

это

По теореме доминирующей сходимости, как

и

Сдача, подразумевает

Так как для любого

по теореме доминирующей сходимости, позволяя

Если мы только знаем, рассмотрим и повторим приведенное выше доказательство

обратите внимание, что это эквивалентно

Шаг 5: Рассмотрим самый общий случай без дополнительных предположений. С

шаг 4 будет означать

Так

и

 

Замечание: Кто может упростить это доказательство? Это уродливо.

Нравится:

Нравится Загрузка…

Родственные

Экспоненциальное правило для производной: теория и приложения

Когда дело доходит до расчета производной, существует эмпирическое правило, которое звучит примерно так: либо функция является базовой , и в этом случае мы можем обратиться к таблица производных , или функция составная , и в этом случае мы можем дифференцировать ее рекурсивно  — разбив ее на производные ее составных частей  с помощью ряда производных правил .{r-1}$ для всех $x \ne 0$.

Если функция $f+g$ корректно определена на интервале $I$, причем $f$ и $g$ дифференцируемы на $I$, то $\displaystyle (f+g)’ = f’ + g’$ на $I$.

Если функция $fg$ корректно определена на интервале $I$, причем $f$ и $g$ дифференцируемы по на $I$, то $\displaystyle (fg)’ = f’ – g ‘$ на $I$.

Если функция $fg$ корректно определена на интервале $I$, причем $f$ и $g$ дифференцируемы по на $I$, то $\displaystyle (fg)’ = f’g + fg’$ на $I$.{-1}(x)]} \qquad (x \in I) \end{align*}

(подробности см. в руководстве по теореме об обратной функции )

По большей части эти правила более чем достаточно для обработки подавляющего большинства функций, с которыми можно столкнуться. Однако, когда мы смотрим на наш репертуар функций , мы видим, что чего-то еще не хватает, а именно:

А как насчет функций, построенных с помощью возведения в степень ?

Здесь, побуждаемые необычным чувством безотлагательности, мы начинаем играть с идеей производной степени , впоследствии заканчивая тем, что разрабатываем правило именно для этой цели. g (A+B)$, где:

• $A$ получается путем взятия производной степени , умноженной на логарифм основания .
• $B$ получается путем взятия производной от по основанию , умноженной на отношение с показателем степени наверху.

На самом деле, немного потренировавшись, можно освоить Экспонентное правило так же хорошо, как мы делаем это с Частным правилом — и это не говоря уже о том, какой новый мир он открывает для нашего фанатики ментального исчисления !

Традиционно, чтобы вычислить производную степенной функции , нужно было бы либо прибегнуть к логарифмическому дифференцированию , либо стандартизации base-e  перед дифференцированием.С появлением правила экспоненты оба эти подхода в основном устарели — не потому, что они неуместны сами по себе, а потому, что они уже применялись во время вывода правила экспоненты. {\, \ln x}$ корректно определено на $I$, причем как $\cos x$, так и $\ln x$ также дифференцируемы на $I$.{\, ​​\ln x}}$ и его производная. Довольно круто. Правильно?

Да. Это было немного перебором символов, но, надеюсь, это иллюстрирует, почему правило экспоненты может быть ценным активом в нашем арсенале производных правил . В то время как для простой степенной функции этот подход может показаться излишним , для неоднократно возводимых в степень степенных функций с одной вложенной внутри другой, становится очевидным, что правило экспоненты является абсолютно правильным.

Помимо автоматизации процесса дифференцирования степенных функций, Экспоненциальное правило — особенно когда сочетает с другими традиционными производными правилами — действительно может творить чудеса с точки зрения использования функций, которые ранее были слишком пугающими / утомительные для решения — например, те, которые нам трудно найти в типичном учебнике по математическому анализу.