Производная формула умножения: Производная произведения | Математика

Содержание

определение, как найти, примеры решений

Калькулятор вычисляет производные всех элементарных функций, приводя подробное решение. Переменная дифференцирования определяется автоматически.

Производная функции — одно из важнейших понятий в математическом анализе. К появлению производной привели такие задачи, как, например, вычисление мгновенной скорости точки в момент времени , если известен путь в зависимоти от времени , задача о нахождении касательной к функции в точке.

Чаще всего производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует.

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда производной функции в точке называется предел, если он существует

Как вычислить производную функции?

Для того, чтобы научиться дифференцировать функции, нужно выучить и понять правила дифференцирования и научиться пользоваться таблицей производных .

Правила дифференцирования

Пусть и — произвольные дифференцируемые функции от вещественной переменной, — некоторая вещественная постоянная. Тогда

— правило дифференцирования произведения функций

— правило дифференцирования частного функций

0 height=33 width=370> — дифференцирование функции с переменным показателем степени

— правило дифференцирования сложной функции

— правило дифференцирования степенной функции

Производная функции онлайн

Наш калькулятор быстро и точно вычислит производную любой функции онлайн. Программа не допустит ошибки при вычислениях производной и поможет избежать долгих и нудных расчётов. Онлайн калькулятор будет полезен и в том случае, когда есть необходимость проверить на правильность своё решение, и если оно неверно, быстро найти ошибку.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо – в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ – раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности – включая административные, технические и физические – для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

При решении задач дифференцирования приходится искать производные функций различных классов. В этой статье мы рассмотрим основные

правила дифференцирования , которые будем постоянно использовать при нахождении производных. Все эти правила докажем на основе определения производной функции и обязательно остановимся на подробном решении примеров, чтобы понять принцип их применения.

При доказательстве правил дифференцирования будем считать функции f(x) и g(x) дифференцируемыми на некотором промежутке X .

То есть, для любого справедливо , где – приращения соответствующих функций.

В другой записи .

К основным правилам дифференцирования относят:

Вынесение постоянного множителя за знак производной.

Докажем формулу . По определению производной имеем:

Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому

На этом доказательство первого правила дифференцирования завершено.

Достаточно часто приходится сначала упрощать вид дифференцируемой функции, чтобы воспользоваться таблицей производных и правилами нахождения производных. Следующие примеры это наглядно подтверждают.

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

По свойствам логарифмической функции можно перейти к записи . Осталось вспомнить производную логарифмической функции и вынести постоянный множитель:

Пример.

Решение.

Преобразуем исходную функцию .

Применяем правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы берем производную показательной функции:

Производная суммы, производная разности.

Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных .

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

Упростим вид исходной функции .

Используем правило производной суммы (разности):

В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

Осталось воспользоваться таблицей производных:

Производная произведения функций.

Докажем правило дифференцирования произведения двух функций .

Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что и (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).

Что и требовалось доказать.

Пример.

Продифференцировать функцию .

Решение.

В данном примере . Применяем правило производной произведения:

Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

В этом примере . Следовательно,

Давайте рассмотрим случай нахождения производной произведения трех функций. В принципе, по этой же системе можно дифференцировать произведение и четырех, и пяти, и двадцати пяти функций.

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Будем исходить из правила дифференцирования произведения двух функций. В качестве функции f(x) будем считать произведение (1+x)sinx , а в качестве g(x) возьмем lnx :

Для нахождения вновь применяем правило производной произведения:

Используем правило производной суммы и таблицу производных:

Подставляем полученный результат:

Как видите, порой приходится применять несколько правил дифференцирования в одном примере. Сложного в этом ничего нет, главное действовать последовательно и не мешать все в кучу.

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

Функция представляет собой разность выражений и , поэтому

В первом выражении выносим двойку за знак производной, а ко второму выражению применяем правило дифференцирования произведения:

Производная частного двух функций (производная дроби).

Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X .

Эпиграф: Однажды спросила: “Чем производная отличается от произведения?” “Производную изучают на уроке математики, а произведение – на уроке литературы”, – последовал ответ ученика.

В эпиграфе описана реальная ситуация из моей практики. Вопрос возник, когда ученик запутался в правилах дифференцирования функций, в частности, не смог определить

производную произведения двух функций. Во избежание подобной трактовки этой статьи напомню, что мы занимаемся именно математикой, и здесь термин “произведение” обозначает результат операции умножения, а “производная” это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Производные элементарных функций по определению, т.е. через предел, вычисляют только однажды на лекции (на уроке), чтобы закрепить связь производной и предела. В дальнейшем нас интересует только практическое применение этого понятия, поэтому для вычисления производной пользуются готовыми Формулами и Правилами дифференцирования функций.

Здесь мы посмотрим как надо и как не надо вычислять производные, но, к сожалению, многие школьники и даже студенты это делают.

Как надо вычислять производные

Об этом написано везде, во всех учебниках и на множестве сайтов в сети.
Чтобы находить производные, нужно, пользуясь тем или иным источником, всё-таки выучить Формулы дифференцирования элементарных функций. Например, посмотрите подробную статью о Для более сложных, чем табличные, комбинированных функций применяются правила вычисления производной суммы, произведения, дроби. Соответствующие математические выражения также можно найти где угодно. Но, на мой взгляд, Правила дифференцирования функций лучше формулировать и заучивать словами:
  1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
  2. Производная суммы равна сумме производных.
  3. Производная произведения равна “производная первого сомножителя, умноженная на второй, плюс производная второго сомножителя, умноженная на первый”.
  4. Производная дроби равна “производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, деленные на знаменатель в квадрате”.
  5. Производная сложной функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней, и вычисляется “с продолжением” до табличной.
Последнее правило самое трудное для применения. Здесь допускается большое количество ошибок, поэтому о нём подробнее ниже.

Как НЕ надо вычислять производные

  1. Прежде всего, не надо усложнять простое.
  2. Не надо путать степенную x а и показательную a x функции.

В большинстве последующих примеров представлены варианты вычислений производных, в которых

1. вычисления выполнены совсем плохо , с явными ошибками;
2. правильно, но неоптимально , т.е. долго и с вероятными ошибками на невнимательность;
3. совсем хорошо .

  • Не надо усложнять простое.
  • Обратите внимание, на правило, которое я поставила под номером один.

    Если в произведении один из сомножителей является постоянной величиной, то совершенно не обязательно пользоваться правилом производной произведения. Более того, не нужно этого делать, так как часто такая операция сопровождается ошибками.

    Пример 1.

    Если в дроби числитель или знаменатель является постоянной величиной, то совершенно необязательно пользоваться правилом для производной дроби. Это действие у школьников и студентов ещё чаще сопровождается ошибками. Постоянный множитель можно выносить за знак производной!

    Пример 2.

    Пример 3.


    Самая частая ошибка в подобных примерах – забыть поставить штрих (обозначение производной) над числом или поставить его и “не увидеть” при следующем действии, т.е. не учесть, что производная константы (числа) равна нулю.

    Здесь для первого и третьего примеров простота и качество подхода c вынесением числового множителя за скобки очевидна. Но не всё так однозначно для второго примера, где в знаменателе находится тригонометрическая функция. Более того, соглашусь, что для тех учеников, которые плохо владеют производной сложной функции (правилом 5), более предпочтительным в этом примере может оказаться правило дифференцирования дроби.

    Однако, для ряда других функций, особенно для степенных, просто необходимо знаменатель “превращать” в числитель, а корни — в степени, потому что в этом случае мы сможем воспользоваться самой простой и самой запоминающейся табличной формулой (x α) = αx α − 1 .

    Пример 4.

    Пример 5.


    В этих двух примерах, представлены обычные ошибки при дифференцировании дроби с константой, а в следующем примере переход от корня к дробной степени нужен потому, что иначе часто забывают, что подобная функция не является табличной и должна дифференцироваться по правилу для сложной функции.

    Пример 6.

  • Не надо путать слагаемые и сомножители (сумму и произведение).
  • Константа-слагаемое при дифференцировании обнуляется, константа-сомножитель при дифференцировании сохраняется.

    Кроме того, почему-то для многих учеников производную функции y = x 2 + 0,1 вычислить легче, чем такую же производную вида (0,1 + х 2) . И для производной функции y = 0,1х 2 часто догадываются о существовании первого правила, а для (х 2 ·0,1) нет.
    Если Вы допускаете ошибки такого рода, то вспомните, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется, и от перестановки сомножителей произведение не изменяется. Переставьте их так, как вам удобнее, и аккуратно примените первое или второе правила дифференцирования.

    Пример 7.


  • Не надо путать степенную x а и показательную a x функции.
  • В первом случае переменная находится в основании степени, читаем: “икс в степени а”. Во втором — переменная в показателе степени, читаем “а в степени икс”. Функции разные, формулы для вычисления производных разные. См. .

    Пример 8.

    Пример 9.

    Это пример для продвинутых. Задумайтесь о том, как бы Вы вычислили производную функции y = x x , в которой переменную поместили и в основание, и в показатель степени.
    Хорошо подумав, но не раньше, кликните по , чтобы раскрыть мой ответ.

    Это сложная функция, которая не относится напрямую ни к классу степенных, ни к классу показательных. Для вычисления производной в таких случаях часто требуется произвести предварительные преобразования. Например, здесь сначала выражение прологарифмировали, затем нашли производные обеих частей равенства по своим переменным и, наконец, составили уравнение для нахождения нужной производной по переменной х .

  • Не надо забывать о том, что производная сложной функции вычисляется “с продолжением” до получения табличной формулы.
  • Сложная функция, это функция зависящая не напрямую от заданной переменной, а от другой функции. Иными словами, её значение нельзя вычислить в одно действие. Например, функции y = sinx 2 и y = sin 2 x являются сложными. Посмотрим, как вычисляются их значения, например при х = 2.

    Для функции y = sinx 2 нужно сначала возвести x в квадрат: 2 2 = 4, а затем вычислить значение синуса 4-ёх. Сделаем это с помощью калькулятора: sin4 = −0,75680249530792825… ≈ −0,76 (не забудьте, что аргументы тригонометрических функций считаются заданными в радианах).

    Для функции y = sin 2 x сначала определяем значение синуса 2-ух с помощью калькулятора: sin2 = 0,9092974268256816…, а затем возводим это значение в квадрат sin 2 2 = (0,9092974268256816…) 2 = 0,82682181043180595… ≈ 0,83.

    Таким образом, мы сначала вычисляем значение внутренней функции, а затем используем его как аргумент для внешней.
    Согласно пятому правилу дифференцирования, при определении производной нужно поступать наоборот – сначала вычислять производную внешней функции по её аргументу, а затем умножать её на производную внутренней.

    Как я уже упоминала, в этой операции ошибаются чаще всего. Ошибки могут быть самые разные, распространены следующие три.

    1-я ошибка) Можно просто не применить нужное правило, “не заметив”, что функция сложная.
    В следующем примере формулы дифференцирования степенной и тригонометрической функций использованы не последовательно, а одновременно, производная неверно вычислена в одно действие.

    Пример 10.

    2-я ошибка) Можно не разобраться, где внутренняя, а где внешняя функции.
    В следующем примере показатель степени стоит над x , т.е. над аргументом, поэтому степенная функция внутренняя, а синус внешняя. Ученик воспринял это иначе, решил, что синус в квадрате и допустил ошибку.

    Пример 11.

    Чтобы избавиться от ошибок такого рода, научиться анализировать сложную функцию, отделять внутреннюю от внешней, нужно просто смотреть в каком порядке Вы бы проводили вычисления, и дифференцирование проводить в обратном порядке. При этом можно расставлять отсутствующие скобки, а если всё равно испытываете трудности, то вводить дополнительные обозначения. Что касается степеней, то можно запомнить следующее – над каким обозначением стоит показатель степени, то и является её основанием (возводится в степень).

    Пример 12.


    Здесь в конце использована тригонометрическая формула для того, чтобы записать ответ в наиболее компактной форме.

    Пример 13.


    Здесь в конце переставлены сомножители также для того, чтобы записать ответ в более компактной и удобочитаемой форме.

    3-я ошибка) Правило используется не до конца
    Один раз учли, что функция сложная и хватит. А если функция вложена несколько раз? Например, корень квадратный из суммы двух логарифмов с разными основаниями, первый из которых зависит от sinx , а второй от cosx . Или арктангенс, зависящий от натурального логарифма, который, в свою очередь, зависит от х в квадрате.

    Пример 14.


    Пример 15.

  • Не надо стесняться ставить скобки.
  • Предыдущий пример демонстрирует выход из положения с помощью введения дополнительных обозначений. Но, на мой взгляд, это всё-таки не самый оптимальный способ для длинных вычислений. Лучший подход к дифференцированию сложной функции – скобки, которые можно дописывать явно или, по мере укрепления навыка, представлять себе мысленно.
    Расставляем скобки и постепенно снаружи внутрь раскрываем их. Содержимое очередной скобки является переменной, по которой производится дифференцирование по формуле f u ·(u ) . Производную f u находим по таблице производных, заменяя в формуле x на u . Если всё сделано правильно, то процесс закончится тем, что содержимое последней, самой внутренней скобки полностью совпадёт с одной из табличных формул для производных.

    Пример 16.


    PS: В примерах 11 и 14 допущены ошибки, не только упомянутые в комментариях к ним, но ещё по одной стандартной ошибке. Заметили какие?

    Есть вопросы? пожелания? замечания?
    Обращайтесь –

    Внимание, ©mathematichka . Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

    СУММПРОИЗВ (функция СУММПРОИЗВ)

    Функция СУММПРОИВ ВОЗВРАЩАЕТ сумму продуктов соответствующих диапазонов или массивов. По умолчанию операция умножения, но возможна с добавлением, вычитанием и делением.

    В этом примере мы используем СУММПРОИВ для возврата общего объема продаж для данного элемента и его размера:

    SumPRODUCT соответствует всем экземплярам элемента Y/Size M и суммирует их, поэтому в данном примере “21 плюс 41” равен 62.

    Синтаксис

    Чтобы использовать операцию по умолчанию (умножение):

    =СУММПРОИВ(массив1;[массив2];[массив3];…)

    Аргументы функции СУММПРОИЗВ описаны ниже.

    Аргумент

    Описание

    массив1   

    Обязательно

    Первый массив, компоненты которого нужно перемножить, а затем сложить результаты.

    [массив2], [массив3],…    

    Необязательно

    От 2 до 255 массивов, компоненты которых нужно перемножить, а затем сложить результаты.

    Выполнение других арифметических операций

    Используйте функцию СУММПРОИВ, как обычно, но вместо запятых, разделяющих аргументы массива, используйте нужные арифметические операторы (*, /, +, -). После выполнения всех операций результаты суммются обычным образом.

    Примечание: Если вы используете арифметические операторы, заключите аргументы массива в скобки и используйте скобки для группировки аргументов массива для управления порядком арифметических операций.

    Примечания

    • Аргументы, которые являются массивами, должны иметь одинаковые размерности. В противном случае функция СУММПРОИЗВ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!. Например, =СУММПРОИВ(C2:C10;D2:D5) возвращает ошибку, так как диапазоны не одного размера.

    • В функции СУММПРОИВТ ненумерические записи массива обрабатывают их так, как если бы они были нулями.

    • Для лучшей производительности не следует использовать суммпроив с полными ссылками на столбцы. Рассмотрим функцию =СУММПРОИВ(A:A;B:B), чтобы умножить 1 048 576 ячеек в столбце A на 1 048 576 ячеек в столбце B перед их добавлением. 

    Пример 1

    Чтобы создать формулу на примере выше, введите =СУММПРОИВ(C2:C5;D2:D5) и нажмитеввод . Каждая ячейка в столбце C умножается на соответствующую ячейку в той же строке столбца D, и результаты сбавляются. Общая сумма продуктов составляет 78,97 долларов США.

    Чтобы ввести более длинную формулу, которая дает такой же результат, введите =C2*D2+C3*D3+C4*D4+C5*D5 и нажмите ввод . После нажатия ввод результат будет таким же: 78,97 долларов США. Ячейка C2 умножается на D2, а ее результат добавляется к результату ячейки C3, умноженной на ячейку D3 и так далее.

    Пример 2

    В следующем примере sumPRODUCT возвращает суммарные чистую сумму продаж по агенту продаж, у которых есть как общие продажи, так и расходы по агенту. В этом случае мы используем таблицу Excel, в которой используются структурированные ссылки вместо стандартных Excel диапазонов. Здесь вы увидите, что диапазоны “Продажи”, “Расходы” и “Агент” имеют ссылку по имени.

    Формула: =СУММПРОИМ(((Таблица1[Продажи])+(Таблица1[Расходы]))*(Таблица1[Агент]=B8)) и возвращает сумму всех продаж и расходов агента, указанных в ячейке B8.

    Пример 3

    В этом примере мы хотим получить общую сумму по конкретному товару, проданного в конкретном регионе. В данном случае, сколько вишней было продается в восточном регионе?

    Вот формула: =СУММПРОИВ((B2:B9=B12)*(C2:C9=C12)*D2:D9). Сначала оно умножает количество вхождений восточного на количество совпадающих вишней. Наконец, она суммирует значения соответствующих строк в столбце Продажи. Чтобы узнать, Excel вычисляет формулу, выйдите из ячейки формулы, а затем перейдите в > Вычислить формулу >.

    Дополнительные сведения

    Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

    См. также

    Выполнение условных вычислений в диапазонах ячеек

    Сумм на основе нескольких критериев с помощью СУММЕ ЕСЛИМЕСЯ

    Подсчет на основе нескольких критериев с помощью функции СЧЁТЕФС

    Среднее значение на основе нескольких критериев с помощью функции ССВЕIFS

    Контрольная работа по теме “Производная функции”

    Контрольная работа №3.

    Вариант 1.

    1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону

    В какой момент времени ускорение тела будет равно нулю.

    1. Исследовать функцию . Найти координаты точек экстремума и промежутки выпуклости функции.

    2. Найти производные функций:

    Контрольная работа №3.

    Вариант 2.

    1. При движении тела по прямой расстояние S(t) в метрах от начальной точки М изменяется по закону . (t – время в секундах). Через сколько секунд после начала движения мгновенное ускорение тела будет равно 58 м/с2.

    2. Исследовать функцию . Найти промежутки монотонности и координаты точек перегиба.

    3. Найти производные функций:

    Контрольная работа №3.

    Вариант 3.

    1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону В какой момент времени ускорение тела будет равно нулю?

    2. Исследовать функцию . Найти координаты точек экстремума и промежутки выпуклости функции.

    3. Найти производные функций:

    Контрольная работа №3.

    Вариант 4.

    1. Тело движется по прямой так, что его скорость (в метрах в секунду) изменяется по закону . Какую скорость приобретет тело в момент, когда его ускорение станет равным 12

    2. Исследовать функцию . Найти промежутки монотонности и координаты точек перегиба.

    3. Найти производные функций:

    Контрольная работа №3.

    Вариант 5.

    1. Тело движется по прямой так, что его скорость (в метрах в секунду) изменяется по закону . Какую скорость приобретет тело в момент, когда его ускорение станет равным 10

    2. Исследовать функцию . Найти координаты точек экстремума и промежутки выпуклости функции.

    3. Найти производную функции:

    Контрольная работа №3.

    Вариант 6.

    1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону В какой момент времени ускорение тела будет равно нулю.

    2. Исследовать функцию . Найти промежутки монотонности и координаты точек перегиба.

    3. Найти производную функции:

    Контрольная работа№3.

    Вариант 7.

    1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону Вычислить ускорение движения в момент t=3 сек.

    2. Исследовать функцию . Найти координаты точек экстремума и промежутки выпуклости функции.

    3. Найти производную функции:

    Контрольная работа №3.

    Вариант 8.

    1. Две тела движутся по законам соответственно. В какой момент времени ускорения движения тел будут равны?

    2. Исследовать функцию . Найти промежутки монотонности и координаты точек перегиба.

    3. Найти производную функции:

    Критерии оценок:

    оценка «5» – при выполнении всех заданий

    оценка «4» – при выполнении 1 и 3 задания и части 2 задания

    оценка «3» – при выполнении 50% работы

    Таблица производных.

    Производная – одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

    Это знакомство позволит:

    – понимать суть несложных заданий с производной;

    – успешно решать эти самые несложные задания;

    – подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

    Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

    Для успешного выполнения большинства заданий достаточно знать всего несколько терминов – чтобы понять задание, и всего несколько правил – чтобы его решить. И всё. Это радует. 

    Термины и обозначения.

    В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование.

    Важно понять, что дифференцирование – это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

    Дифференцирование – действие над функцией.

    Производная – результат этого действия.

    Так же, как, например, сумма – результат сложения. Или частное – результат деления.

    Зная термины, можно, как минимум, понимать задания. Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

    Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y’ или f'(x) или S'(t) и так далее.

    Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)’, (x3)’, (sinx)’ и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

    Нахождение производной – это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

    Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

    1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

    2. Правила дифференцирования.

    3. Производная сложной функции.

    Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

     

    Таблица производных.

    В мире – бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Этот класс функций называется элементарные функции. Дифференцирование функций “с нуля”, т.е. исходя из определения производной и теории пределов – штука достаточно трудоёмкая. Таблица производных самых популярных функций. Слева – элементарная функция, справа – её производная.

    Функция y

    Производная функции y’

    1

    C (постоянная величина)

    C’ = 0

    2

    x

    x’ = 1

    3

    xn   (n – любое число)

    (xn)’ = nxn-1

    x2   (n = 2)

    (x2)’ = 2x

    4

    sin x

    (sin x)’ = cosx

    cos x

    (cos x)’ = – sin x

    tg x

    ctg x

    5

    arcsin x

    arccos x

    arctg x

    arcctg x

    4

    ax

    ex

    5

    loga x

    ln x     (a = e)

    Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции – одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

    Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице – вроде и нету…

    Рассмотрим несколько примеров:

    1. Найти производную функции y = x3

    Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

    (x3)‘ = 3·x3-1 = 3x2

    Вот и все дела.

    Ответ: y’ = 3x2

     

    2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

    Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню – это уже новая функция.

    По табличке находим синус и соответствующую производную:

    y’ = (sin x)’ = cosx

    Подставляем ноль в производную:

    y'(0) = cos 0 = 1

    Это и будет ответ.

     

    3. Продифференцировать функцию:

    Что, внушает? ) Такой функции в таблице производных и близко нет.

    Напомню, что продифференцировать функцию – это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает…

    Но если увидеть, что наша функция – это косинус двойного угла, то всё сразу налаживается!

    Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

    Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx. А это – табличная функция. Сразу получаем:

    Ответ: y’ = – sin x.

     

    Пример для продвинутых выпускников и студентов:

    4. Найти производную функции:

    Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

    А икс в степени одна десятая – это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

    Вот и всё. Это будет ответ.

     

    Надеюсь, что с первым китом дифференцирования – таблицей производных – всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования

    Правила дифференцирования.

     

    Чтобы найти производную от любой функции, надо освоить всего три понятия:

    1. Таблица производных.

    2. Правила дифференцирования.

    3. Производная сложной функции.

    Дифференцирование – это операция нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е. выражения “найти производную функции” и “продифференцировать функцию” – это одно и то же.

    Выражение “правила дифференцирования” относится к нахождению производной от арифметических операций.

    Вот они, правила дифференцирования:

    Действие

    Производная

    1

    Производная суммы

    (U+V)’ = U’+V’

    2

    Производная разности

    (U-V)’ = U’- V’

    3

    Производная произведения

    (U·V)’ = U’·V +U·V’

    4

    Производная от произведения на постоянное число

    (C·V)’ = CV’

    5

    Производная частного

    Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).

    Рассмотрим несколько примеров. Сначала – самые простые.

    Найти производную функции y=sinx – x2

    Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx – это функция U, а x2 – функция V. Имеем полное право написать:

    y’ = (sinx – x2)’ = (sinx)’- (x2)’

    Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных. Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x2), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:

    y’ = (sinx)’ – (x2)’ = cosx – 2x

    Правило 1 дифференцирования суммы работает точно так же.

    А если у нас несколько слагаемых? Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Например:

    Найти производную функции y=sinx – x2+cosx – x +3

    Смело пишем:

    y’ = (sinx)’ – (x2)’ + (cosx)’ – (x)’ + (3)’

    Опять находим в таблице производные синуса, квадрата икса, косинуса, чистого икса и тройки. Тройка – постоянная величина, в таблице обозначена буквой “С”. Производная любой постоянной величины равна нулю. Можно сразу записать ответ:

    y’ = cosx – 2x – sinx – 1

    Как видим, первые два правила дифференцирования просты и безотказны.)  

    Переходим к примерам на правило 3. Производная произведения чуть посложнее. Главное здесь – увидеть в исходной функции, что взять за U, а что – за V. Например:

    Найти производную функции y=sinx · cosx.

    Здесь всё очевидно. sinx – это U, cosx – это V. Пишем прямо по правилу:

    y’ = (sinx)’ ·cosx + sinx · (cosx)’ = cosx·cosx – sinx·sinx = cos2x – sin2x

    Производную мы уже нашли. Обычно, если упрощение простое и очевидное, его нужно сделать. В нашем случае получилась формула косинуса двойного угла. Можно написать ответ:

    y’ = cos2x – sin2x = cos2x

    Рассмотрим следствие из правила 3, т.е. правило 4. Эта формула получается прямо из производной для умножения функций. Если y=CU, где С – какое-то постоянное число, а U – любая функция, то:

    y’ =(C·U)’ = C’·U + C·U’ = 0·U + C·U’ = C·U’

    Словами говорят, что постоянную можно вынести из под знака производной.

    Например, по этому правилу все производные от выражений, типа 5х, 3,4х, -2х и так далее, сразу же превращаются в постоянные числа:

    (5х)’ = 5·(x)’ = 5·1 = 5

    (-2х)’ = -2·(x)’ = -2·1 = -2

    Пример посложнее:

    Найти производную функции y=5sinx – 3x2.

    Если расписывать подробно, получится вот так:

    y’ = (5sinx – 3x2)’ = (5sinx)’- (3x2)’

    В скобках – произведения функций (постоянное число – тоже функция!). К первой и второй скобкам надо бы использовать правило 3, но сокращённый вариант (правило 4) – куда приятнее! Просто выносим числа за знак производной:

    y’ = (5sinx)’- (3x2)’ = 5(sinx)’- 3(x2)’

    Далее находим в таблице значения производных и результат просто умножаем на эти числа:

    y’ = 5(sinx)’- 3(x2)’ = 5cosx – 3·2x = 5cosx – 6x

    Переходим к производной частного.

    Правило 5.

    Пример:

    Найти производную функции

    Расписываю по правилу 5. Подробно, со всеми скобочками и штрихами:

    Берём производные (они табличные) в правой части:

    Приводим к приличному виду:

    Если требуется дальнейшее упрощение, можно в числителе вынести икс за скобки и сократить с иксом в знаменателе. Получим ответ:

    Вот мы и рассмотрели, как находить производные функций с помощью правил дифференцирования.

    Разумеется, сумма, разность, частное и произведение могут комбинироваться в самых разных сочетаниях. Например:

    Продифференцировать функцию:

    y=(x2+2) · (x3-4)

    Здесь под функцией U скрывается выражение (x2+2), а под функцией V – выражение (x3-4). Расписываем прямо по правилу:

    y’ = (x2+2)’ · (x3-4) + (x2+2) · (x3-4)

    Теперь нужно довести дело до конца, т.е. вычислить производные от скобок. В первых скобках будет сумма функций:

    (x2+2)’ = (x2)’ + 2′ = 2x

    Во вторых – разность функций:

    (x3-4)‘ = (x3)’ – 4′ = 2x

    Можно записать ответ:

    y’ = 2х · (x3-4) + (x2+2) · 3x2

    Упрощаем, т.е. перемножаем и приводим подобные:

    y’ = 2x4-8х + 3x4+6x2 = 5x4+6x2

    Вот и всё. Достаточно производную от сложной функции расписать подробно, со всеми скобочками и штрихами, по подходящему правилу. Затем последовательно брать производные от скобок. Всё и получится.

     

    Всё просто, но… могут случиться и сюрпризы. Попадётся, например, вот такое задание:

    Найти производную функции y=x3· sinx · cosx.

    Здесь у нас умножаются три функции. Нет подходящего правила. Мы вправе превратить умножение трёх функций в произведение двух, чтобы правило 3 в дело запустить. Просто возьмём за U и V то, что нам нужно. Например, пусть

    U=x3· sinx

    Тогда

    V = cosx

    Выделим эти U и V скобочками в исходной функции:

    y=(x3· sinx) · (cosx).

    Скобки никак не меняют исходную функцию, можно брать производную по правилу 3:

    y’=((x3· sinx) · (cosx))’= (x3· sinx)‘· (cosx)+(x3· sinx) · (cosx)’

    Теперь видно, что в скобках (x3· sinx)‘ у нас опять произведение функций. Но уже двух. Можно расписать производную этих скобок отдельно. Теперь за U у нас пойдёт x3, а за V sinx:

    (x3· sinx)’ = (x3)’ · sinx +x3· (sinx)’= 3x2· sinx + x3· cosx

    Вот практически и всё. Возвращаемся к исходной функции и вставляем наш результат промежуточного дифференцирования на своё место. Сразу же и производную от косинуса во втором слагаемом возьмём:

    y’= (3x2· sinx + x3· cosx) · cosx + (x3· sinx) · (-sinx)

    Производную нашли. Если требуется, перемножаем скобки и записываем ответ:

    y’= 3x2· sinx · cosx + x3· cos2x x3· sin2x

    Замечу, что в этом примере U и V можно было выбрать по другому. За U взять x3, а за Vsinx · cosx. Это без разницы. Результат будет тот же самый.

    В примерах постоянно приходится дифференцировать дроби. Но, если в знаменателе дроби – постоянное число, правила 5 можно избежать! Действия с дробями гласят, что деление можно заменить на умножение. Вот так:

    Это даёт возможность вместо правила 5 использовать куда более простое и удобное правило 4. Например:

    Найти производную функции:

    В процессе дифференцирования слегка преобразуем исходную функцию. Превратим деление в умножение:

    Кстати, преобразование исходной функции перед дифференцированием вполне возможно и, иногда, очень помогает. Скажем, производная от функции:

    берётся достаточно хлопотно. Таблицы производных и правил дифференцирования здесь недостаточно. Это сложная функция. Но если её преобразовать до дифференцирования, применив формулу

    cos2α, пример решается в уме.

    Практические советы:

    1. Перед дифференцированием смотрим, нельзя ли упростить исходную функцию.

    2. В замороченных примерах расписываем решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.

    3. При дифференцировании дробей с постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся правилом 4.

    Дифференцирование матрицы :: Александр Набатчиков

    Обновление: 1 января 2017
    Обновление: 14 июля 2019

    Просматривая форум, я наткнулся на своё сообщение более чем 8-летней давности. В сообщении я задавал общественности вопрос, который, в общем-то, сводился к проблеме дифференцирования матрицы по вектору. На момент написания данной заметки, ответ я так и не получил. В то же время, сейчас я не вижу принципиальных трудностей в этой задаче.

    Проблема в частой для технических ВУЗ-ов ситуации: на первом курсе тебе рассказывают о физических явлениях, для описания которых необходимо понимание ротора, градиента, дивергенции, а что это за операторы и как ими пользоваться – расскажут на втором курсе.

    На первый взгляд ничего непонятно: оператор дифференцирования применяется к матрицам, некоторые из которых ещё и транспонированы, дифференцирование происходит по вектору и т.п. Но не стоит паниковать: есть правила для вычисления производной и от следа матрицы, и от детерминанта произведения матриц или логарифма детерминанта матрицы – в нашем (форумном) случае всё довольно просто.

    Сперва опишем общие правила дифференцирования при работе с подобными объектами.

    Производная вектора по скаляру – вектор той же размерности, состоящий из производных соответствующих элементов Производная скалярной функции f от векторного аргумента x – вектор той же размерности, что и x, равный
    (То есть вектор, составленный из частных производных f по элементам вектора x.)
    Производная векторной функции g размерности m по векторному аргументу x размерности n – матрица размером m×n, в которой первая строка состоит из частных производных элемента g1 по элементам вектора x и т.д.: Следующие два результата из линейной алгебры можно получить, аккуратно проделав дифференцирование по правилам, рассмотренным ранее (тем не менее, для любопытствующих я их вывел). Эти формулы часто используются, поэтому выпишем и их:
    Уточню, что первая формула (как справедливо отмечено в комментариях) справедлива только для симметричной матрицы A. В общем же случае, справа будет получено выражение (A+AT)*x. Для симметричной матрицы A, оператор транспонирования даёт саму матрицу A, что позволяет упростить выражение до указанного выше вида 2*A*x.

    Пример


    Собственно, возвращаясь к изначальной проблеме (вопрос на форуме):
    Как продифференцировать (2.38) и получить (2.39) ?

    Рассмотрим производные слагаемых из (2.38).

    Для первого – всё очевидно из самого смысла производной:


    Второе слагаемое (здесь воспользуемся одной из готовых формул, описанных ранее):
    Третье слагаемое (воспользуемся той же готовой формулой, но предварительно немного “доработаем” выражение):
    Если Вы не поняли “превращения” выше – ещё раз детальнее:
    Здесь мы воспользовались свойствами транспонирования матриц:


    Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
    […]
    Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.


    При помощи этих свойств мы осуществили преобразования, сводящие выражение к виду, удобному для применения готовой формулы.

    Четвёртое слагаемое (воспользуемся другой готовой формулой):


    Соберём всё воедино и сгруппируем слагаемые:
    Именно такой результат мы получили в (2.39).

    Правило продукта – формула, доказательство, определение, примеры

    Правило произведения в исчислении – это метод нахождения производной или дифференцирования функции, заданной в виде произведения двух дифференцируемых функций. Это означает, что мы можем применить правило произведения или правило Лейбница, чтобы найти производную функции в виде: f (x) · g (x), так что и f (x), и g (x) дифференцируемы. Правило продукта напрямую следует концепции пределов и производных дифференциации.Давайте разберемся с формулой правила продукта, ее доказательством с помощью решенных примеров подробно в следующих разделах.

    Что такое правило продукта?

    Правило произведения в исчислении – это метод, используемый для нахождения производной любой функции, заданной в форме произведения, полученного умножением любых двух дифференцируемых функций. Правило произведения на словах гласит, что производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения второй функции с дифференцированием первой функции и произведения первой функции с дифференцированием второй функции.Это означает, что если нам дана функция вида: f (x) · g (x), мы можем найти производную этой функции, используя производную правила произведения как,

    \ (\ frac {d} {dx} \) f (x) · g (x) = [g (x) × f ‘(x) + f (x) × g’ (x)]

    Формула правила продукта

    Мы можем вычислить производную или оценить дифференциацию произведения двух функций, используя формулу правила произведения в исчислении. Формула правила продукта имеет вид

    .

    \ (\ frac {d} {dx} \) f (x) = \ (\ frac {d} {dx} \) {u (x) · v (x)} = [v (x) × u ​​’ (x) + u (x) × v ‘(x)]

    где,

    • f (x) = произведение дифференцируемых функций u (x) и v (x)
    • u (x), v (x) = дифференцируемые функции
    • u ‘(x) = Производная функции u (x)
    • v ‘(x) = Производная функции v (x)

    Вывод формулы правила продукта

    В предыдущем разделе мы узнали о формуле произведения для нахождения производных от произведения двух дифференцируемых функций.Для любых двух функций правило произведения может быть дано в нотации Лагранжа как

    .

    (u v) ‘= u’ · v + u · v ‘
    или в обозначениях Лейбница как

    \ (\ dfrac {d} {dx} \) (u · v) = \ (\ dfrac {du} {dx} \) · v + u · \ (\ dfrac {dv} {dx} \)

    Давайте посмотрим здесь доказательство формулы правила произведения. Существуют различные методы доказательства формулы правила произведения, представленной как

    .
    • Использование первого принципа
    • Использование правила цепочки

    Доказательство формулы правила продукта с использованием первого принципа

    Чтобы доказать формулу правила произведения с использованием определения производной или пределов, пусть функция h (x) = f (x) · g (x), такая, что f (x) и g (x) дифференцируемы в точке x.

    ⇒ h ‘(x) = \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \) [h (x + Δx) – h (x)] / Δx

    = \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \) \ (\ frac {f (x + Δx) g (x + Δx) – f (x) g (x)} {Δx} \)

    = \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \) \ (\ frac {f (x + Δx) g (x + Δx) – f (x) g (x + Δx) + f (х) g (x + Δx) – f (x) g (x)} {Δx} \)

    = \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[f (x + Δx) – f (x)] g (x + Δx) + f (x) [g (x + Δx) – g (x)]} {Δx} \)

    = \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[f (x + Δx) – f (x)] g (x + Δx)} {Δx} + \ mathop {\ lim } \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {f (x) [g (x + Δx) – g (x)]} {Δx} \)

    = \ ((\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[f (x + Δx) – f (x)]} {Δx}) (\ mathop {\ lim} \ limits_ { Δx \ to 0} g (x + Δx)) + (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} f (x)) (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[g (x + Δx) – g (x)]} {Δx}) \)

    = \ (g (x) \ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[f (x + Δx) – f (x)]} {Δx} + f (x) \ mathop { \ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[g (x + Δx) – g (x)]} {Δx} \)

    ∵ \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[f (x + Δx) – f (x)]} {Δx} \) = f ‘(x) и \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[g (x + Δx) – g (x)]} {Δx} \) = g ‘(x)

    ⇒ \ (\ frac {d} {dx} \) f (x) · g (x) = [g (x) × f ‘(x) + f (x) × g’ (x)]

    Значит, доказано.

    Доказательство формулы правила продукта с использованием цепного правила

    Мы можем вывести формулу правила произведения в исчислении, используя формулу правила цепи, рассматривая правило продукта как частный случай правила цепи. Пусть f (x) – дифференцируемая функция такая, что h (x) = f (x) · g (x).

    \ (\ frac {d} {dx} \) (f · g) = [δ (fg) / δf] [df / dx] + [δ (fg) / δg] [dg / dx] = g (df / dx) + f (dg / dx)

    Значит, доказано.

    Правило продукта для продукта, состоящего более чем из двух функций

    Правило продукта можно обобщить на продукты более чем двух факторов, используя одну и ту же формулу правила продукта.Например, для трех функций u (x), v (x) и w (x) произведение, заданное как u (x) v (x) w (x), мы имеем,

    \ (\ frac {d (uvw)} {dx} = \ frac {du} {dx} vw + u \ frac {dv} {dx} w + uv \ frac {dw} {dx} {\ frac {d (uvw)} {dx}} = {\ frac {du} {dx}} vw + u {\ frac {dv} {dx}} w + uv {\ frac {dw} {dx}} \)

    Как применить правило продукта для дифференциации?

    Чтобы найти производную функции вида h (x) = f (x) g (x), как f (x), так и g (x) должны быть дифференцируемыми функциями. Мы можем применить следующие шаги, чтобы найти вывод дифференцируемой функции h (x) = f (x) g (x), используя правило произведения.

    • Шаг 1: Запишите значения f (x) и g (x).
    • Шаг 2: Найдите значения f ‘(x) и g’ (x) и примените формулу правила произведения, заданную следующим образом: h ‘(x) = \ (\ frac {d} {dx} \) f (х) · g (x) = [g (x) × f ‘(x) + f (x) × g’ (x)]

    Давайте посмотрим на следующий пример, приведенный ниже, чтобы лучше понять правило продукта.

    Пример: Найдите f ‘(x) для следующей функции f (x), используя правило произведения: f (x) = x · log x.

    Решение:

    Здесь f (x) = x · log x

    и (х) = х
    v (x) = журнал x

    ⇒u ‘(x) = 1
    ⇒v ‘(х) = 1 / х

    ⇒f ‘(x) = [v (x) u’ (x) + u (x) v ‘(x)]
    ⇒f ‘(x) = [журнал x • 1 + x • (1 / x)]
    ⇒f ‘(x) = журнал x + 1

    Ответ: Производная от x log x с использованием правила произведения равна log x + 1.

    ☛ Темы, связанные с правилом продукта:

    Часто задаваемые вопросы по правилу продукта

    Что такое продуктовое правило дифференциации в исчислении?

    Правило произведения – это одно из правил производных, которое мы используем для нахождения производной функций вида P (x) = f (x) · g (x).Производная функции P (x) обозначается P ‘(x). Если производная функции P (x) существует, мы говорим, что P (x) дифференцируема, что означает, что дифференцируемые функции – это те функции, у которых существуют производные. Функция P (x) дифференцируема в точке x = a, если существует следующий предел.

    \ (P ‘(x) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {P (a + h) -P (a)} {h} \)

    Как найти производную с помощью правила продукта?

    Производные произведения двух дифференцируемых функций могут быть вычислены в исчислении с использованием правила произведения.Нам нужно применить формулу правила произведения для дифференцирования функции вида f (x) = u (x) v (x). Формула правила продукта имеет вид
    . f ‘(x) = [u (x) v (x)]’ = [u ‘(x) × v (x) + u (x) × v’ (x)]
    где f ‘(x), u’ (x) и v ‘(x) – производные функций f (x), v (x) и u (x).

    Что такое формула правила продукта?

    Формула производной правила произведения – это правило в дифференциальном исчислении, которое мы используем для нахождения производной произведения двух или более функций. Предположим, что две функции u (x) и v (x) дифференцируемы, тогда можно применить правило произведения, чтобы найти (d / dx) [u (x) v (x)] as,

    f ‘(x) = [u (x) v (x)]’ = [u ‘(x) × v (x) + u (x) × v’ (x)]

    Как вывести формулу правила продукта?

    Формула правила продукта может быть получена разными методами.Они представлены как,

    • Использование производных и предельных свойств или первого принципа
    • Использование правила цепочки

    Щелкните здесь, чтобы просмотреть подробное подтверждение формулы продукта.

    Как использовать правило продукта для дифференциации?

    Правило произведения можно использовать при нахождении дифференцирования функции f (x) вида u (x) v (x). Производная этой функции с использованием правила произведения может быть задана как, f ‘(x) = [u (x) v (x)]’ = [u ‘(x) × v (x) + u (x) × v’ ( x)]

    Как вывести правило продукта, используя определение лимитов и производных финансовых инструментов?

    Доказательство правила произведения может быть дано с использованием определения и свойств пределов и производных.Для функции f (x) = u (x) · v (x) производная f ‘(x) может быть задана как,

    ⇒ h ‘(x) = \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \) [h (x + Δx) – h (x)] / Δx

    = \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \) \ (\ frac {f (x + Δx) g (x + Δx) – f (x) g (x)} {Δx} \)

    = \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \) \ (\ frac {f (x + Δx) g (x + Δx) – f (x) g (x + Δx) + f (х) g (x + Δx) – f (x) g (x)} {Δx} \)

    = \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[f (x + Δx) – f (x)] g (x + Δx) + f (x) [g (x + Δx) – g (x)]} {Δx} \)

    = \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[f (x + Δx) – f (x)] g (x + Δx)} {Δx} + \ mathop {\ lim } \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {f (x) [g (x + Δx) – g (x)]} {Δx} \)

    = \ ((\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[f (x + Δx) – f (x)]} {Δx}) (\ mathop {\ lim} \ limits_ { Δx \ to 0} g (x + Δx)) + (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} f (x)) (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[g (x + Δx) – g (x)]} {Δx}) \)

    = \ (g (x) \ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[f (x + Δx) – f (x)]} {Δx} + f (x) \ mathop { \ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[g (x + Δx) – g (x)]} {Δx} \)

    ∵ \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[f (x + Δx) – f (x)]} {Δx} \) = f ‘(x) и \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {[g (x + Δx) – g (x)]} {Δx} \) = g ‘(x)

    ⇒ \ (\ frac {d} {dx} \) f (x) · g (x) = [g (x) × f ‘(x) + f (x) × g’ (x)]

    Каковы приложения формулы производной правила произведения? Приведите примеры.

    Мы можем применить правило произведения, чтобы найти дифференцирование функции вида u (x) v (x). Например, для функции f (x) = x 2 sin x, мы можем найти производную как, f ‘(x) = sin x · 2x + x 2 · cos x.

    Как найти производную от произведения более чем двух функций с помощью правила произведения?

    Мы можем обобщить формулу дифференциации продуктов более чем двух функций, используя одну и ту же формулу правила продукта. Например, для трех функций u (x), v (x) и w (x) произведение, заданное как u (x) v (x) w (x), мы имеем,

    \ (\ frac {d (uvw)} {dx} = \ frac {du} {dx} vw + u \ frac {dv} {dx} w + uv \ frac {dw} {dx} {\ frac {d (uvw)} {dx}} = {\ frac {du} {dx}} vw + u {\ frac {dv} {dx}} w + uv {\ frac {dw} {dx}} \)

    Как мы можем проверить правило частного с помощью правила произведения в исчислении?

    Чтобы доказать правило частного с использованием правила произведения и правила цепочки, мы можем выразить функцию f (x) = u (x) / v (x) как f (x) = u (x) • 1 / v (x) и далее примените формулу правила произведения, чтобы найти f ‘(x) = (1 / v (x)) u’ (x) – u (x) • (1 / v (x)) 2 • v ‘(x) = \ (\ гидроразрыва {u ‘(x) v (x) – u (x) v’ (x)} {[v (x)] ^ 2} \).\ prime} = u’v + uv ‘. \]

    Докажем приведенную выше формулу, используя определение производной. Для этого находим приращение функций \ ({uv} \), предполагая, что аргумент изменяется на \ (\ Delta x: \)

    \ [\ Delta \ left ({uv} \ right) = u \ left ({x + \ Delta x} \ right) v \ left ({x + \ Delta x} \ right) – u \ left (x \ вправо) v \ влево (х \ вправо). \]

    Учтите, что

    \ [u \ left ({x + \ Delta x} \ right) = u \ left (x \ right) + \ Delta u, \; \; \; v \ left ({x + \ Delta x} \ right ) = v \ left (x \ right) + \ Delta v, \]

    , где \ (\ Delta u \) и \ (\ Delta v \) – приращения, соответственно, функций \ (u \) и \ (v \).Опуская для краткости аргумент \ (x \) функций \ (u \) и \ (v \), мы можем записать приращение \ (\ Delta \ left ({uv} \ right) \) в следующем виде:

    \ [\ require {cancel} \ Delta \ left ({uv} \ right) = \ left ({u + \ Delta u} \ right) \ left ({v + \ Delta v} \ right) – uv = \ cancel {uv} + u \ Delta v + v \ Delta u + \ Delta u \ Delta v – \ cancel {uv} = u \ Delta v + v \ Delta u + \ Delta u \ Delta v. \ prime = \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta \ left ({uv} \ right)}} {{\ Delta x }} = \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{u \ Delta v + v \ Delta u + \ Delta u \ Delta v}} {{\ Delta x}} = \ lim \ limits_ { \ Delta x \ to 0} \ frac {{u \ Delta v}} {{\ Delta x}} + \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{v \ Delta u}} {{\ Delta x}} + \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}} \ cdot \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta v .\]

    В первом пределе функция \ (u \) не зависит от приращения \ (\ Delta x \). Поэтому его можно вынести за знак ограничения. То же самое относится к функции \ (v \) во втором члене. Рассчитываем отдельно предел \ (\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta v: \)

    \ [\ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta v = \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ left ({\ frac {{\ Delta v}} {{\ Delta x} } \ cdot \ Delta x} \ right) = \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta v}} {{\ Delta x}} \ cdot \ lim \ limits _ {\ Delta x \ в 0} \ Delta x = v ‘\ cdot 0 = 0.\ prime = \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{u \ Delta v}} {{\ Delta x}} + \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{v \ Delta u}} {{\ Delta x}} + \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}} \ cdot \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta v = u \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta v}} {{\ Delta x}} + v \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}} + \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta u}} {{\ Delta x}} \ cdot \ lim \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ Delta v = uv ‘+ vu’ + u ‘\ cdot 0 = u’v + uv’.\ prime} = \ frac {1} {{2 \ sqrt x}} \ cdot \ left ({1 + x} \ right) + \ sqrt x \ cdot {1} = \ frac {{1 + x}} { {2 \ sqrt x}} + \ sqrt x = \ frac {{1 + x}} {{2 \ sqrt x}} + \ frac {{2 \ sqrt x \ sqrt x}} {{2 \ sqrt x} } = \ frac {{1 + x + 2x}} {{2 \ sqrt x}} = \ frac {{1 + 3x}} {{2 \ sqrt x}}. \]

    Пример 5.

    Найти производную функции \ (y = \ left ({1 – 2x} \ right) \ left ({2 – x} \ right). \ prime = – 2 \ cdot \ left ({2 – x} \ right) + \ left ({1 – 2x} \ right) \ cdot \ left ({- 1} \ right) = – \ color {blue} {4} + \ color {red} {2x} – \ color {blue} {1} + \ color {red} {2x} = \ color {red} {4x} – \ color {blue } {5}.\ prime = – 2 \ left ({2 – 3x} \ right) + \ left ({3 – 2x} \ right) \ left ({- 3} \ right) = – \ color {red} {4} + \ color {blue} {6x} – \ color {red} {9} + \ color {blue} {6x} = \ color {blue} {12x} – \ color {red} {13}. \]

    См. Другие проблемы на странице 2.

    Калькулятор производных правил продукта – Производные правила умножения

    Онлайн-калькулятор производных правил продукта помогает определить производную функции, состоящей из более мелких дифференцируемых функций.Этот калькулятор использует правило дифференцирования продукта, чтобы точно упростить вашу задачу. Этот контент наполнен целой радикальной информацией о правилах продукта.

    Читайте дальше!

    Что такое правило продукта?

    В исчислении правил произведения мы используем правило умножения производных, когда две или более функции умножаются.

    Если у нас есть две функции f (x) и g (x) , то правило произведения утверждает, что:

    «f (x), умноженная на производную g (x) плюс g (x), умноженную на производную f (x)»

    Формула правила продукта:

    Предположим, что у нас есть две дифференцируемые функции f (x) и g (x) .Формула правила производного произведения для этих функций выглядит следующим образом:

    $$ \ frac {d} {dx} f {\ left (x \ right)} g {\ left (x \ right)} = f {\ left (x \ right)} \ frac {d} {dx} g {\ left (x \ right)} + g {\ left (x \ right)} \ frac {d} {dx} f {\ left (x \ right)} $$

    Помимо использования формулы для ручных вычислений, воспользуйтесь онлайн-калькулятором производной правила продукта бесплатно, чтобы найти производную двух функций продукта.

    Как применить правило производного продукта?

    Вы можете упростить произведение двух функций, используя базовое правило умножения производной.{2} – x \ right) = \ left (12x – 1 \ right) $$

    $$ \ frac {d} {d x} g (x) $$

    $$ = \ frac {d} {d x} \ left (1–30 x \ right) $$

    $$ \ frac {d} {d x} \ left (1 – 30 x \ right) = -30 $$

    (Для пошагового расчета производной нажмите «Калькулятор производной»)

    Теперь, согласно правилу умножения производных:

    $$ \ frac {d} {dx} f {\ left (x \ right)} g {\ left (x \ right)} = f {\ left (x \ right)} \ frac {d} {dx} g {\ left (x \ right)} + g {\ left (x \ right)} \ frac {d} {dx} f {\ left (x \ right)} $$

    Подставляем производные в формулу, чтобы получить окончательный ответ.{2}}} {3} $$

    Это наш обязательный ответ.

    Как работает калькулятор производных правил продукта?

    Чтобы оценить производную двух или более функций, которые умножаются, вам необходимо следовать простому руководству, как показано ниже:

    Ввод:

    • Введите заданную функцию в меню уравнения, которое поддерживается различными функциями, такими как log, sqrt, ln, sin, cos и tan и т. Д.
    • Выберите переменную w.r.t, которую вы хотите определить производной заданной функции.Доступные переменные: a, b, c, d, x, y, z или n.
    • Выберите предел дифференциации, который не может быть превышен 5.
    • Нажмите “рассчитать”

    Выход:

    Наш бесплатный калькулятор производных правил продукта вычисляет:

    • Общая производная функции по правилу произведения.
    • Надлежащим образом упростит вашу проблему.
    • Пошаговые расчеты для лучшего понимания структуры проблемы.{13} $$

      Можно ли применить правило продукта к 4 терминам?

      Да, вы можете это сделать. Все, что вам нужно сделать, это рассмотреть производные для каждой новой функции в выражении и добавить их, чтобы получить окончательный ответ.

      Как выразить натуральный логарифм нуля?

      Натуральный логарифм (ln) определен только для x> 0 . Вот почему натуральный логарифм нуля не определен.

      ln (0) = ∞

      Какая производная от log (e)?

      Как мы знаем:

      журнал (e) = 1 .Итак, имеем:

      dy / dx = 0

      Причина в том, что мы знаем, что производная любого постоянного члена всегда равна нулю.

      Вывод:

      Продуктовое правило дифференциации находит широкое применение в области вычислений и технических наук. Математики широко используют бесплатный онлайн-калькулятор производных правил произведения, чтобы различать сложные функции в заданной точке. Этот калькулятор помогает профессионалам и студентам в одном масштабе быстро найти универсальное решение своих проблем.

      Артикул:

      Из источника википедии: Цепное правило, Гладкий анализ бесконечно малых, Правило частных, Производные обратных функций.

      Из источника ханской академии: Правило частных, Дифференцируемые частные, Правило частных с таблицей, Дифференцирующие рациональные функции.

      Из источника обучения просвету: производные и скорость изменения, производная как функция, правила дифференцирования, производные тригонометрических функций, неявное дифференцирование, высшие производные.

      Правило отношения и произведения – Формула и примеры

      Правило частного и произведения – Правило частного – это формальное правило для различения задач, в которых одна функция делится на другую. Это следует из предельного определения производной и дается выражением. Запомните правило следующим образом. Всегда начинайте с функции «низ» и заканчивайте функцией «низ» в квадрате. Правило частного определяется как количество знаменателя, умноженное на производную числителя, минус числитель, умноженное на производную знаменателя во всем квадрате знаменателя.

      Правило продукта гласит, что производная произведения двух функций – это первая функция, умноженная на производную второй функции, плюс вторая функция, умноженная на производную первой функции. Правило произведения должно использоваться, когда должна быть взята производная от частного двух функций.

      Производный по правилу частного

      Определение и формула

      Правило частного – это формула для получения производной частного от двух функций.Это несколько упрощает отслеживание всех условий. Давайте посмотрим на формулу.

      Если у вас есть функция f (x) в числителе и функция g (x) в знаменателе, то производная находится по следующей формуле:

      Правило частных Формула производной

      Возьмем g (x), умноженную на производную f (x). В этой формуле d обозначает производную. Итак, df (x) означает производную функции f, а dg (x) означает производную функции g. Формула гласит, что для нахождения производной от f (x), деленной на g (x), необходимо:

      1. Затем из этого произведения вы должны вычесть произведение f (x), умноженное на производную g (x).
      2. Наконец, вы разделите эти члены на квадрат g (x).

      Мнемоническое устройство

      Формулу правила частного может быть трудно запомнить. Возможно, вам поможет небольшое пение в стиле йодлинг. Представьте себе лягушку, которая борется: «LO dHI меньше HI dLO над LO LO». В этом мнемоническом устройстве LO относится к функции знаменателя, а HI относится к функции числителя.

      Производная правила частного

      Давайте переведем йодль лягушки обратно в формулу правила частного.

      LO dHI означает умножение знаменателя на производную числителя: g (x) умноженное на df (x).

      На

      меньше означает «минус».

      HI dLO означает умножение числителя на производную знаменателя: f (x) умноженное на dg (x).

      больше означает «разделить на».

      LO LO означает взятие самого знаменателя, умноженного на: g (x) в квадрате.

      Формула производной по правилу частного

      Теперь мы хотим иметь возможность брать производную дроби, например f / g, где f и g – две функции.Этот запомнить немного сложнее, но, к счастью, у него есть собственная песня. Формула выглядит следующим образом:

      формула

      Как запомнить эту формулу (спасибо Белоснежке и семи гномам):

      Заменяя f на hi и g на ho (hi означает верхнюю часть в числителе и ho – нижнюю часть в знаменателе), и позволяя D заменить “производную от”, формула принимает следующий вид:

      как запомнить формулу

      На словах это «хо ди, привет минус привет ди хо, хо хо».Теперь, если Sleepy и Sneezy могут это помнить, для вас это не должно быть проблемой.

      Например,

      пример

      Распространенная ошибка: Неправильное запоминание правила частного и получение дополнительного знака минус в ответе. Очень легко забыть, сначала хо-ди-хо (да, это так) или сначала привет-хо (нет, это не так).

      Правило о производном продукте и коэффициенте

      Если e (x) = f (x). g (x) и если существуют обе производные, то
      e ‘(x) = f (x).д ‘(х) + е (х). g ‘(x)
      На словах это означает, что производная продукта – это первая функция, умноженная на производную второй функции, плюс вторая функция, умноженная на производную первой функции.

      Правило продукта

      Правило частичного производного коэффициента

      Частные производные в исчислении – это производные функций многих переменных, взятые только по одной переменной в функции, при этом другие переменные рассматриваются как константы. Повторяющиеся производные функции f (x, y) могут быть взяты по одной и той же переменной, давая производные Fxx и Fxxx, или взяв производную по другой переменной, давая производные Fxy, Fxyx, Fxyy и т. Д.2 * y – 2xy равно 6xy – 2y.

      Вычислите производную функции по y, определив d / dy (Fx), рассматривая x как постоянную. В приведенном выше примере частная производная Fxy от 6xy – 2y равна 6x – 2.

      Каково определение правила частного?

      Подобно правилу произведения, правило частного – это способ дифференцировать частное или разделение функций. Правило частного определяется как количество знаменателя, умноженное на производную числителя, минус числитель, умноженное на производную знаменателя во всем квадрате знаменателя.

      Почему работает правило частного?

      Правило частного – это правило , используемое для нахождения производной функции, которая может быть записана как частное двух функций. Проще говоря, вы можете думать о правиле как о применении к функциям, которые записываются как дроби, где числитель и знаменатель сами являются функциями.

      Что такое правило произведения Лейбница?

      В исчислении общее правило Лейбница, названное в честь Готфрида Вильгельма Лейбница, обобщает правило произведения (которое также известно как «правило Лейбница»).В нем говорится, что если и являются дифференцируемыми в разы функциями, то произведение также дифференцируемо в раз и его производная дается выражением.

      Что такое определение правила продукта?

      Правило произведения – это формальное правило для дифференциации задач, в которых одна функция умножается на другую. Правило следует из предельного определения производной и дается формулой. Запомните правило следующим образом. Каждый раз выделяйте разные функции в продукте и складывайте два термина вместе.

      Какое правило произведения в вероятности?

      Правило произведения – это руководство относительно того, когда вероятности можно умножить, чтобы получить другую значимую вероятность. В частности, для определения вероятности пересечения событий используется правило продукта: пусть A и B – независимые события.

      Как решить правило продукта?

      Правило произведения – если две «части» функции умножаются вместе, а правило цепочки – если они составляются.Например, чтобы найти производную от f (x) = x² sin (x), вы используете правило произведения, а чтобы найти производную от g (x) = sin (x²), вы используете правило цепочки.

      Сообщение навигации

      Правило произведения и правило частного

      Правило произведения используется при различении двух умножаемых функций. В некоторых случаях их можно будет просто перемножить.

      Пример:

      Дифференцировать y = x 2 (x 2 + 2x – 3).

      Здесь y = x 4 + 2x 3 – 3x 2 и так:

      Однако такие функции, как y = 2x (x 2 + 1) 5 и y = xe 3x , являются либо сложнее или невозможно расширить, поэтому нам нужна новая техника.

      Правило произведения утверждает, что для двух функций u и v. Если y = uv, то:

      Для нашего примера:

      y = 2x (x 2 – 1) 5

      u = 2x

      v = (x 2 – 1) 5

      Следовательно:

      После факторизации:

      Примечание: После использования правила произведения вы обычно сможете разложить производную на множители и тогда вы можете найти стационарные точки.

      Для нашего второго примера:

      y = xe 3x , найдите точку поворота и нарисуйте график.

      u = x

      v = e 3x

      Следовательно:

      Это означает, что существует стационарная точка, когда x = -1/3 (e 3x ≠ 0).

      Также, когда x = -1/3, y = -e -1 /3 = -0,123 (3sf).

      Используя вторую производную, которую мы находим, снова используя правило произведения, мы можем определить, является ли это максимумом или минимумом.

      , когда x = -1/3

      Следовательно, существует минимум в (-1/3, -0,123)

      Чтобы нарисовать график, мы знаем, что:

      1. Когда x = 0, y = 0
      2. Есть минимум в (-1/3, -0,123)
      3. При x → ∞, y → ∞
      4. При x → −∞, y → 0 (и отрицательно)

      Следовательно, график выглядит так:

      Правило частного на самом деле является замаскированным правилом произведения и используется при дифференцировании дроби.

      Правило частного утверждает, что для двух функций, u и v,

      (Посмотрите, можете ли вы использовать правило произведения и правило цепочки для y = uv -1 , чтобы вывести эту формулу.)

      Пример:

      Дифференцировать

      Решение:

      Правило продукта

      Это обсуждение будет сосредоточено на Правиле дифференциации продукта . Это правило гласит:

      Производная произведения двух функций равна первой функции, умноженной на производную второй функции, плюс вторая функция, умноженная на производную первой функции.

      ПРАВИЛО ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ ПРОДУКТА:

      ddx [f (x) g (x)] = f (x) ddx [g (x)] + g (x) ddx [f (x)]

      Давайте поработаем несколько примеров:

      Для работы этих примеров требуется использование различных правил дифференциации. Если вы не знакомы с правилом, перейдите к соответствующей теме для обзора.

      2x (e x )

      Шаг 1. Упростите выражение

      Это выражение уже упрощено.

      2x (e x )

      Шаг 2. Примените правило продукта.

      ddx [f (x) g (x)] = f (x) ddx [g (x)] + g (x) ddx [f (x)]

      ddx [2x (ex)]

      2xddxex + exddx2x

      Шаг 3: Возьмите производную каждой части.

      Используйте правило естественной экспоненты (NER), чтобы дифференцировать e x

      Используйте постоянное кратное и степенные правила (CM / P), чтобы дифференцировать 2x.

      _________________________

      ddx2x = 2ddxx = 2 см / шт.

      Шаг 4: Подставьте производные в правило продукта и упростите.

      2x (пр.) + Ex (2)

      2ex (х + 1)

      Пример 1: x 2 (6 + 9x)

      Шаг 1. Примените правило продукта.

      ddx [f (x) g (x)] = f (x) ddx [g (x)] + g (x) ddx [f (x)]

      ddx [x2 (6 + 9x)]

      x2ddx [(6 + 9x)] + (6 + 9x) ddxx2

      Шаг 2: Возьмите производную каждой части.

      Чтобы дифференцировать 6 + 9x, примените правило сумм, правило кратных постоянных, а затем правила постоянства и степени.

      Чтобы дифференцировать x 2 , примените правило мощности.

      ddx6 + 9x

      ddx6 + ddx9x Правило суммы

      ddx6 + 9ddxxCM

      0 + 9 = 9 C&P

      _____________________

      ddxx2 = 2x

      Шаг 3: Заменить производные и упростить.

      x2 (9) + (6 + 9x) (2x)

      9×2 + 12x + 18×2

      27×2 + 12x

      Если сначала упрощается выражение, правило произведения не требуется.

      Шаг 1. Сначала упростите.

      6x 2 + 9x 3

      Шаг 2: Примените правило сумм.

      ddx [6×2 + 9×3]

      ddx6x2 + ddx9x3

      Шаг 3: Возьмите производную каждой части.

      Чтобы дифференцировать 6x 2 , примените правила постоянного кратного и степенного.

      Чтобы различать 9x 3 , примените правила постоянного кратного и степенного.

      ddx6x2

      6ddxx2 см

      6 (2x) = 12xМощность

      ______________________

      ddx9x3

      9ddxx3 см

      9 (3×2) = 27×2 Мощность

      Шаг 4: Сложить / вычесть производные и упростить.

      Запишите многочлены в порядке убывания.

      12x + 27×2

      27×2 + 12x

      Пример 2: (x5 + 6) (12×4−1)

      Шаг 1. Примените правило продукта.

      ddx [f (x) g (x)] = f (x) ddx [g (x)] + g (x) ddx [f (x)]

      ddx [(x5 + 6) (12×4−1)]

      (x5 + 6) ddx [12×4−1] + (12×4−1) ddx (x5 + 6)

      Шаг 2: Возьмите производную каждой части.

      Чтобы дифференцировать (12×4-1), примените правило разности, правило постоянного кратного, а затем правило постоянной и степенной.

      Чтобы дифференцировать (x5 + 6), примените правило сумм, а затем правила константы и степени.

      ddx12x4−1 Оригинал

      12ddxx4-ddx1Diff. Правило и CM

      42×3−0 = 2×3 Постоянная и мощность

      _____________________

      ddx (x5 + 6) Исходный

      ddxx5 + ddx6 Правило суммы

      5×4Постоянная и мощность

      Шаг 3: Заменить производные и упростить.

      (x5 + 6) (2×3) + (12×4−1) (5×4)

      2×8 + 12×3 + 52×8−5×4

      4.5×8−5×4 + 12×3

      Если сначала упрощается выражение, правило произведения не требуется.

      Шаг 1. Сначала упростите.

      Раздайте x 2 .

      12×9 − x5 + 3×4−6

      Шаг 2: Примените правило суммы / разницы.

      ddx [12×9 − x5 + 3×4−6]

      ddx12x9 − ddxx5 + ddx3x4 − ddx6

      Шаг 3: Возьмите производную каждой части.

      Чтобы дифференцировать (12×9), примените правило постоянного кратного, а затем правило мощности.

      Чтобы различать (x 5 ), примените правило мощности.

      Чтобы дифференцировать (3x 4 ), примените правило постоянного множественного числа, а затем правило мощности.

      Для дифференцирования (6) применяем правило констант.

      ddx12x9 = 12ddxx9 = 12 (9×8) = 92×8 = 4,5×8

      ___________________

      ddxx5 = 5×4

      _________________

      ddx3x4 = 3ddxx4 = 3 (4×3) = 12×3

      ___________________

      ddx6 = 0

      Шаг 4: Сложить / вычесть производные и упростить.

      4.5×8−5×4 + 12×3

      Производные функции – веб-формулы

      Производные функций:
      Постоянное правило
      Производная постоянной функции равна 0. То есть, если c – действительное число, то d [c] / dx = 0.

      Правила суммы и разности
      Сумма (или разность) двух дифференцируемых функций дифференцируема и представляет собой сумму (или разность) их производных.

      Правило постоянной множественности
      Если f – дифференцируемая функция, а c – действительное число, то cf также дифференцируемо и

      Правило продукта
      Произведение двух дифференцируемых функций, f и g, равно сам дифференцируемый. Более того, производная fg – это первая функция, умноженная на производную второй, плюс вторая функция, умноженная на производную первой.

      Правило частных
      Частное f / g двух дифференцируемых функций, f и g, само является дифференцируемым при всех значениях x, для которых g (x) не = 0.Кроме того, производная f / g определяется умножением знаменателя на производную числителя минус числитель, умноженную на производную знаменателя, деленную на квадрат знаменателя.
      ; g (x) ≠ 0

      Правило цепочки
      Если y = f (u) – дифференцируемая функция от u, а u = g (x) – дифференцируемая функция от x, то y = f (g (x) ) является дифференцируемой функцией x и

      Пример 1: Найдите y´, если y = (2x 2 + 6x) (2x 3 + 5x 2 )
      Решение : вычислить y ´ нам нужно использовать правило произведения следующим образом:


      Тогда мы можем написать,

      Пример 2: Найти производную y = 13x 4 – 6x 3 – x- 1
      Решение : Теперь, взяв каждый член по очереди:

      Пример 3: Найдите производную y = ln (g (x)) = ln (5x 2 )
      Решение :
      Затем мы применяем цепное правило, сначала идентифицируя части:


      Производная суммы – это сумма производных

      Производная константы 1 равна 0.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *