Производная функции f x: Дифференцирование функции, заданной неявно

Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры

• Понятие производной по направлению
• Примеры нахождения производной по направлению
• Градиент функции

Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению

1) функции одной переменной;

2) функции трёх переменных в нашем случае.

Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy отображается приращение функции f(x), соответствующее приращению аргумента x. Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x, y, z отображаются на осях Оx, Оy, Оz. Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?

И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.

Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, – это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).

Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:

1) функцию u = f(M), определённую в окрестности точки M с координатами x, y, z;

2) произвольный вектор l с направляющими косинусами cosα, cosβ, cosγ.

Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l. На получившейся прямой отметим точку M1, координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:

Величину отрезка MM1 можно обозначить .

Функция u = f(M) при этом получит приращение

.

Определение производной по направлению. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается , то есть

.

Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:

.

Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.

Пример 1. Найти производную функции в точке M0(1; 2; 3) по направлению вектора .

Решение. Найдём частные производные функции в точке M0:

Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:

Следовательно,

Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

А сейчас – домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.

Пример 2. Найти производную функции в точке M0(1; 2) по направлению вектора , где M1 – точка с координатами (3; 0).

Посмотреть правильное решение и ответ

.

---

Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере – в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.

Пример 3. Найти производную функции в точке M0(1; 1; 1) по направлению вектора .

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора

Найдём частные производные функции в точке M0:

Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

.

Градиент функции нескольких переменных в точке M0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M0 и величину этого максимального роста.

Как найти градиент?

Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:

.

То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.

Для градиента функции двух переменных формула короче:

.

Пример 4. Найти градиент функции в точке M0(2; 4;).

Решение. Найдём частные производные функции в точке M0:

Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:

.

К началу страницы

Пройти тест по теме Функции нескольких переменных

Поделиться с друзьями

Производные

• Что такое производная
• Найти производную: алгоритм и примеры решений
• Производные произведения и частного функций
• Производная суммы дробей со степенями и корнями
• Производные простых тригонометрических функций
• Производная сложной функции
• Производная логарифмической функции
• Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
• Дифференциал функции
• Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
• Правило Лопиталя

Функции нескольких переменных

• Функция двух и более переменных. Её область определения
• Поверхности второго порядка
• Частные производные
• Касательная плоскость и нормаль к поверхности
• Производная по направлению, градиент функции
• Экстремумы функции двух переменных
• Условные экстремумы и функция Лагранжа

В скольких точках производная функции положительна

Не откладывайте! ЗАГОВОРИТЕ на Английском!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2014-03-24

В этой статье мы рассмотрим несколько задач связанных со свойствами производной функции. Задачи этого типа чрезвычайно просты. Повторять теорию я здесь не буду, она уже подробно изложена на блоге. Рекомендую изучить следующие статьи «Исследование функций. Это нужно знать!» и «Применение производной к исследованию графиков функций», после чего вопросов у вас не останется.

Что хотелось бы отметить особо! При прочтении условия сразу отмечайте какой график дан: график функции или график производной функции. Это важно! Часто именно из-за такой невнимательности выпускники допускают ошибки. Например, график производной принимают за график самой функции и соответственно получают неверный ответ. Рекомендую также изучить статью «Дан график производной функции. Задачи!», в которой схожие задания уже были разобраны. Рассмотрим задачи:

317539. На рисунке изображён график функции у = f(x)  и восемь точек на оси абсцисс: x₁, x₂,  x₃, …,  x₈. В скольких из этих точек производная функции  f(x)  положительна?

Известно, что производная функции положительна на интервалах возрастания. В данном случае таким интервалам принадлежат точки: x₁, x₂, x₅, x₆,  x₇. Всего пять точек.

Ответ: 5

317540. На рисунке изображён график функции у = f(x)  и двенадцать точек на оси абсцисс: x₁, x₂,  x₃, …, x₁₂. В скольких из этих точек производная функции  f(x)  отрицательна?

 

Известно, что производная отрицательна на интервалах убывания функции. В данном случае таким интервалам принадлежат точки: x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₁₁, x₁₂. Всего семь точек.

Ответ:  7

317541. На рисунке изображён график у = f’(x)  производной функции  f(x)  и восемь точек на оси абсцисс: x₁, x₂,  x₃, …,    x₈. В скольких из этих точек функция  f(x)  возрастает?

Известно, что на интервалах возрастания функции её производная положительна. В данном случае производная функции имеет положительное значение в точках x₄, x₅, x₆ (то есть на интервале, где график производной расположен выше оси ох).  Всего три точки.

Ответ: 3

317542. На рисунке изображён график у = f’(x)  производной функции  f(x)  и восемь точек на оси абсцисс: x₁, x₂,  x₃, …,  x₈. В скольких из этих точек функция  f(x) убывает?

Известно, что на интервалах убывания функции её производная отрицательна. В данном случае производная функции имеет отрицательное значение в точках x₁, x₂, x₃, x₄, x₈ (то есть на интервалах, где график производной расположен ниже оси ох). Всего пять точек.

Ответ: 5

500248.  На рисунке изображён график дифференцируемой функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂,  x₃, …,    x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x)  отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек. 

Известно, что производная отрицательна на интервалах убывания функции. В данном случае таких интервалов два и им принадлежат точки: x₄, x₅, x₉. Всего три точки.

Ответ: 3

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Категория: Производная Графики Функции MAX MIN | ЕГЭ-№7

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Дифференцируемая — Формула, Правила, Примеры

Дифференцируемая функция — это функция одной переменной в исчислении, производная которой существует в каждой точке во всей ее области определения. Касательная к графику дифференцируемой функции всегда невертикальна в каждой внутренней точке своей области определения. Дифференцируемая функция не имеет излома, точки возврата или угла. Дифференцируемая функция всегда непрерывна, но всякая непрерывная функция не является дифференцируемой.

В этой статье мы исследуем значение дифференцируемости, как использовать правила дифференцируемости, чтобы определить, дифференцируема ли функция, поймем важность пределов дифференцируемости и откроем другие интересные ее аспекты.

1.	Что такое дифференцируемое?
2.	Правила для дифференцируемых функций
3.	Некоторые распространенные формулы дифференцируемости
4.	Предельная формула для дифференцируемых функций
5.	Разница между дифференцируемой и непрерывной функцией
6.	Часто задаваемые вопросы о дифференциальном

Что такое дифференцируемое?

Функция называется дифференцируемой, если производная функции существует во всех точках области определения. В частности, если функция f(x) дифференцируема в точке x = a, то f′(a) существует в области. Рассмотрим несколько примеров полиномиальных и трансцендентных функций, которые являются дифференцируемыми:

• f(x) = x ⁴ – 3x + 5
• f(x) = x ¹⁰⁰
• f(x) = sin x
• f(x) = е ^х

Правила для дифференцируемых функций

Если f, g — дифференцируемые функции, то мы можем использовать некоторые правила для определения производных их суммы, разности, произведения и частного.

Вот некоторые формулы дифференцируемости, используемые для нахождения производных дифференцируемой функции:

• (ж + г)’ = ж’ + г’
• (ф – г)’ = ж’ – г’
• (фг)’ = ф’г + фг’
• (f/g)’ = (f’g – fg’)/f ²

Пример

Воспользуемся правилами дифференцируемости для нахождения производной функции f(x) = (2x+1) ³

df/dx = d(2x+1) ³ /dx

= d(8x ³ + 12x ² + 6x + 1)/dx

= 24x ² + 24x + 6

= 6(2x+1) ²

Некоторые распространенные формулы дифференцируемости

В исчислении дифференцирование дифференцируемых функций представляет собой математический процесс определения скорости изменения функций по отношению к переменной. Некоторые общие формулы дифференцируемости, которые мы используем для решения различных математических задач:

• Вывод sin x: (sin x)’ = cos x
• Производная от cos x: (cos x)’ = -sin x
• Производная тангенса х: (тангенс х)’ = сек ² х
• Производная от cot x: (cot x)’ = -cosec ² x
• Производная от sec x: (sec x)’ = sec x. tan x
• Производная cosec x: (cosec x)’ = -cosec x.cot x
• Производная от x ⁿ : (x ⁿ )’ = nx ^n-1
• Производное e ^x : (e ^x )’ = e ^x
• Производная от ln x: (ln x)’ = 1/x

Предельная формула для дифференцируемых функций

Существует альтернативный способ определить, дифференцируема ли функция f(x), используя пределы. Функция f(x) дифференцируема в точке x = a, если существует следующий предел:

\[\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h} \]

Пример: Рассмотрим функцию абсолютного значения, заданную выражением f(x) = |x|

Определим, дифференцируема ли эта функция при c = 0 или нет. Найдем предел \(\begin{align}\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\end{align}\). 9{+}}\dfrac{|h|}{h}&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{h}{h}\\&=1\end{align}\]

Вы заметили, что лимиты разные?

Это означает, что предел \(\begin{align}\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\end{align}\) не существует при c = 0 для f(x) = |x|.

Отсюда следует, что функция абсолютного значения f(x) = |x| не дифференцируема при x = 0,

Разница между дифференцируемой и непрерывной функциями

Говорят, что функция непрерывна в точке, если ее график непрерывен в этой точке. Дифференцируемая функция всегда является непрерывной функцией, но непрерывная функция не обязательно дифференцируема.

Пример

Мы уже обсуждали дифференцируемость функции абсолютного значения. Ясно, что на графике функции абсолютного значения нет разрывов. Функция непрерывна всюду. В частности, функция непрерывна при x=0, но не дифференцируема при x=0.

Следовательно, основное различие между дифференцируемой и непрерывной функцией состоит в том, что дифференцируемая функция всегда является непрерывной функцией, но непрерывная функция может быть не дифференцируемой.

Советы и рекомендации по дифференцируемым функциям

• Если на графике есть острый угол в точке, то функция в этой точке не дифференцируема.
• Если график имеет излом в какой-то точке, то функция в этой точке не дифференцируема.
• Если график имеет вертикальную касательную в точке, то функция не дифференцируема в этой точке.

Важные замечания по дифференцируемым

• Дифференцируемые функции – это функции, производные которых существуют.

• Если функция дифференцируема, то она непрерывна.

• Если функция непрерывна, то она не обязательно дифференцируема.

• График дифференцируемой функции не имеет изломов, углов и точек возврата.

Связанные темы по дифференцируемым

• Дифференцирование тригонометрических функций

• Производная от ln x

• Производная формула

• Дифференциация

Часто задаваемые вопросы о дифференциальном

Что является дифференцируемым в исчислении?

Функция называется дифференцируемой, если производная функции существует во всех точках области определения.

Дифференцируема ли кубическая функция?

Да, кубическая функция дифференцируема. Например, функция f(x) = x ³ является дифференцируемой, а ее производная равна f′(x) = 3x ²

. Что означает дважды дифференцируемая функция?

Если функция дважды дифференцируема, то это означает, что вторая производная функции существует.

Почему функция абсолютного значения не дифференцируема при 0?

Функция абсолютного значения не дифференцируема в 0, поскольку в этой точке график функции имеет острый угол.

Какие распространенные дифференцируемые формулы?

• Вывод sin x: (sin x)’ = cos x
• Производная от cos x: (cos x)’ = -sin x
• Производная тангенса х: (тангенс х)’ = сек ² х
• Производная от cot x: (cot x)’ = -cosec ² x
• Производная от sec x: (sec x)’ = sec x.tan x
• Производная cosec x: (cosec x)’ = -cosec x.cot x
• Производная от x ⁿ : (x ⁿ )’ = nx ^n-1
• Производное e ^x : (e ^x )’ = e ^x
• Производная от ln x: (ln x)’ = 1/x

Когда функция дифференцируема?

дифференцируемая функция — это функция одной переменной в исчислении, производная которой существует в каждой точке во всей ее области определения.