3. Производная функции в точке. Правила, дифференцирования.
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.
4.Производная сложной и обратной функции.
Пусть
теперь задана сложная
функция ,
т.
е. переменная
Теорема. Если и дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной:
.
Утверждение
легко получается из очевидного
равенства (справедливого
при
Перейдем к рассмотрению производной обратной функции.
Пусть
на множестве дифференцируемая
функция имеет
множество значений и
на множестве существует обратная
функция .
Теорема. Если в точке производная , то производная обратной функции
.
Эта формула легко получается из геометрических соображений.
Так как есть тангенс угла наклона касательной линии к оси , то есть тангенс угла наклона той же касательной (той же линии ) в той же точке к оси .
Если и острые, то , а если тупые, то .
В обоих случаях . Этому равенству и равносильно равенство
.
5.Геометрический и физический смысл производной.
1) Физический
смысл производной.
Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная– скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке. Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная– скорость в момент времени. Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то– скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.
2) Геометрический смысл производной.
Пусть – некоторая кривая,– точка на кривой.
Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.
Касательной к кривой в точкеназывается предельное положение секущей, если точкастремится к, двигаясь по кривой.
Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная
Рассмотрим кривую
y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)).
Пусть в точке он
имеет невертикальную касательную.
Ее уравнение:(уравнение
прямой, проходящей через точкуи
имеющую угловой коэффициент k).
По определению углового коэффициента , где– угол наклона прямойк оси.
Пусть– угол наклона секущейк оси, где. Так как– касательная, то при
⇒⇒.
Следовательно,
.
Таким образом, получили, что– угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке(геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точкеможно записать в виде
Производная функции – Математика – Уроки
Тема: Производная функции.
Цель: Ввести понятия «производная функции», научить обучающихся находить производную функции в точке по определению.
Определения: Производная функции в точке, производная функции, дифференцирование.
Ход урока:
Организационный момент.
Добиться дисциплины в классе.
Проверить готовность учеников к уроку, мобилизовать внимание.
Актуализация знаний.
Введение нового материала.
Пусть функция y=f(x) определена на промежутке [a;b]. Точка x [a;b]. В точке x функция y=f(x) имеет значение f(x).Точка (x+∆x)[a;b]. В точке (x+∆x) функция y=f(x) имеет значение f(x+∆x). Разность (x+∆х – x) – приращение аргумента. Обозначается ∆x.
Р азность f(x+∆x) – f(x)– приращение функции. Обозначается ∆ y, т.е.
∆y = f(x+∆x) – f(x).
Составим отношение
.
Если ∆x 0, то
.
Этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x.
Определение: Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Обозначают производную : f'(x) или или . Обычно, если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть обозначена у’, читать: «производная функции у» или , читать: «производная функции у по х». Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена f ‘(х), читать: «производная функции f(x)».
Определение: Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Функция y=f(x), которая имеет производную в точке x, называется дифференцируемой в этой точке. Функция y=f(x), которая имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.
Общее правило дифференцирования (нахождения производной) следующее:
1) найти приращение ∆y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента х+ ∆x и x;
2) найти отношение ∆y/∆x, для этого полученное выше равенство разделить на ∆x;
3) найти предел отношения ∆y/∆x при ∆x →0.
Еще Софья Ковалевская говорила : “Математик должен быть поэтом в душе”. Приведу стихотворение (из учительского фольклора) о производной с использованием таблицы алгоритмического поиска производной.
Пример 1. (Учитель на доске, ученики записывают в тетрадь) Найти производную функции у = х3 + 1 в любой точке x.
Решение. 1) ∆y = (x + ∆x)3 + 1 — (х3 + 1).
По выполнении действий:
∆y = Зx2∆x+Зx∆x 2+∆x 3;
2) ∆y/∆x=3x2 + Зx∆x+∆x 2;
3) у‘= lim(3x2+3x∆x+∆x 2 )= 3x2+3x0+0 = 3x2.
∆x→0
Пример 2. (учитель с классом) Найти производную функции .
Решение: Составим отношение:
Значит, .
Пример 3. (Учитель с классом) Найти производную функции f(x)=x
Решение:
(x)’=1
Пример 4.
(Учитель с классом) Найти производную функции f(x)=5x+7.
Решение: Составим отношение:
. Но
Значит, (5x+7)’=5.
Пример 5. (Ученики выполняют самостоятельно в тетрадях) Найти производную функции f(x)=ax+b.
Решение: Составим отношение:
(ax+b)’=a.
Замечание: Заметим, что производная линейной функции у= kx+b есть величина постоянная, равная k.
Пример 6. (Один ученик у доски, остальные – в тетрадях) Найти производную функции f(x)=C (Const)
Решение:
Таким образом, (C)’=0
Решение упражнений
Вычислите ∆y/∆x в точке х0, если: а) у=2х2, х0 = 1, ∆x равно 0,5; 0,1; 0,01; б) у=х2, х0 = 1, ∆x равно 0,5; 0,1; 0,01.
К какому числу стремится отношение ∆y/∆x при ∆x→0, если
а) ∆y/∆x =8 х0 +4 ∆ х, х0 равно 2; -1;
б) ∆y/∆x =3 х02+3 х0∆ х +(∆ х) 2, х0 равно 1; -21;
в) ∆y/∆x = -2 х0 + ∆ х, х0 равно 1; 3?
Пользуясь определением производной, найдите значения производной функции у, если:
а) у = х2 – 3х в точках -1; 2;
б) у=2х3 в точках 0; 1;
в) у =4 – х2 в точках 3;0.
Учитель с учениками обсуждают полученные результаты.
Домашнее задание.
1. Пользуясь определением производной, найти значения производной функции у в точке, если:
у = х2 – 3х +7 в точках -3; 4; 7;
у = х2 – 9х – 18 в точках -1;2;
у =4 – 6х + х2 в точках -2; 2;
у=2х3– 29х – 18 в точках -1; 3;
у=2х3 +4х2 – 11х – 13 в точках 0;1;
у=-3х3 -42х2 -24х – 1 в точках 1; 4,
, в точке 1.
2.
Пользуясь определением производной, найти производную функции у, если:
,
,
у = 5 − 6x ,
у= 4 − 7x,
,
,
у = 2х2 – 13х +3,
у=-3x2-13x,
у=7x2+3x,
у =4 – 5х + 2х2,
у = 3х2 – 2х – 8,
у=х3– 9х – 4,
у=3х3 – 4х2 – 8х – 4,
у =-2х3 -4х2 -4х,
у = ,
у = ,
Подведение итогов урока.
Вопросы:
1) Что называется приращением аргумента?
2) Что называется приращение функции?
3) Что называется производной функции y = f(x) в точке x?
4) Как называется операция нахождение производной?
5) Какая функция называется дифференцируемой в точке?
6) Какая функция называется дифференцируемой на отрезке?
Отметить учащихся, активно работавших на уроке.
3.2 Производная как функция
Цели обучения
- Определить производную функцию заданной функции.
- Постройте производную функцию по графику заданной функции.
- Укажите связь между производными и непрерывностью.
- Опишите три условия, при которых функция не имеет производной.
- Объясните значение производной высшего порядка.
Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.
Если мы продифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получим скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке даст ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже при нескольких значениях с использованием методов из предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения. 9{\prime}(a)[/latex] мы также можем использовать [latex]\frac{dy}{dx}\Big|_{x=a}[/latex] Использование [latex]\frac{dy} Нотация {dx}[/latex] (называемая нотация Лейбница) довольно распространена в технике и физике. Чтобы лучше понять эти обозначения, вспомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих по мере приближения секущих к касательной. Наклоны этих секущих часто выражаются в виде [латекс]\фракция{\Delta y}{\Delta x}[/latex], где [латекс]\Delta y[/латекс] — разница в [латексе] значения y[/latex], соответствующие разности значений [latex]x[/latex], которые выражаются как [latex]\Delta x[/latex] ((Рисунок)).
Показать решение
Теперь, когда мы можем изобразить производную, давайте рассмотрим поведение графиков. Сначала рассмотрим связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. На самом деле функция может быть непрерывной в точке и не быть дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин. 9{\ prime} (a) = \ underset {x \ to a} {\ lim} \ frac {f (x) -f (a)} {xa} [/ латекс].
Мы хотим показать, что [latex]f(x)[/latex] непрерывен в [latex]a[/latex], показав, что [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x )=f(a)[/латекс]. Таким образом,
[латекс]\begin{array}{lllll} \underset{x\to a}{\lim}f(x) & =\underset{x\to a}{\lim}(f(x) -f(a)+f(a)) & & & \\ & =\underset{x\to a}{\lim}(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot ( x-a)+f(a)) & & & \text{Умножить и разделить} \, f(x)-f(a) \, \text{by} \, x-a.
Рис. 5. Функция [latex]f(x)=\sqrt[3]{x}[/latex] имеет вертикальную касательную в точке [latex]x=0[/latex]. Она непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.
Функция [latex]f(x)=\begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}) & \text{if} \, x \ne 0 \\ 0 & \text{if} \, x = 0 \end{cases}[/latex] также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что 9{\ prime} (0) = \ underset {x \ to 0} {\ lim} \ frac {x \ sin (1 / x) -0} {x-0} = \ underset {x \ to 0} {\ lim} \sin(\frac{1}{x})[/latex].
Этого предела не существует, в основном потому, что наклоны секущих постоянно меняют направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).
Рис. 6. Функция [latex]f(x)=\begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}) & \text{if} \, x \ne 0 \\ 0 & \ text{if} \, x = 0 \end{cases}[/latex] не дифференцируема в точке 0.
Итого:
- Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, так как всякая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она может не быть дифференцируемой.
- Мы видели, что [latex]f(x)=|x|[/latex] не может быть дифференцируемым в 0, потому что пределы наклона касательных линий слева и справа не совпадают. Визуально это вылилось в острый угол на графике функции в 0. Отсюда делаем вывод, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть в этой точке «гладкой».
- Как мы видели на примере [latex]f(x)=\sqrt[3]{x}[/latex], функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
- Как мы видели с [латексом]f(x)=\begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}) & \text{if} \, x \ne 0 \\ 0 & \text{ if} \, x = 0 \end{cases}[/latex] функция может не быть дифференцируемой в точке и более сложными способами.
2 + bx + c & \text{if} \, x < - 10 \\ -\frac{1}{4}x + \frac{5}{2} & \text{if} \, x \ge -10 \end{cases}[/latex], где [latex]x [/latex] и [latex]f(x)[/latex] указаны в дюймах. Чтобы вагон двигался по трассе плавно, функция [latex]f(x)[/latex] должна быть непрерывной и дифференцируемой при -10. Найдите значения [latex]b[/latex] и [latex]c[/latex], которые делают [latex]f(x)[/latex] непрерывными и дифференцируемыми. 92 & \text{if} \, x \ge 3 \end{cases}[/latex] обе непрерывны и дифференцируемы в 3.Показать решение
Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорость. Производная скорости — это скорость изменения скорости, то есть ускорение. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать брать производные, чтобы получить третью производную, четвертую производную и так далее.
В совокупности они обозначаются как 9{\prime}(x)=0[/латекс]. - Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна. Функция не является дифференцируемой в точке, если она не является непрерывной в этой точке, если она имеет в этой точке вертикальную касательную или если график имеет острый угол или точку возврата.
- Производные высшего порядка — это производные производных от второй производной до производной [latex]n\text{th}[/latex].
- Производная функция 92[/latex]
6. [latex]f(x)=\sqrt{2x}[/latex]
Показать решение
7. [латекс]f(x)=\sqrt{x-6}[/latex]
8. [латекс]f(x)=\frac{9}{x}[/latex ]
Показать решение
9. [латекс]f(x)=x+\frac{1}{x}[/latex]
10. [латекс]f(x)=\frac{1}{\sqrt{ x}}[/latex]
Показать решение
В следующих упражнениях используйте график [latex]y=f(x)[/latex] для построения графика его производной [latex]f^{\prime}(x)[/latex].
9h-1}{h}[/latex]Показать решение
Для следующих функций:
- набросок графика и
- используют определение производной, чтобы показать, что функция не является дифференцируемой в точке [latex]x=1[/latex].
21. [латекс]f(x)=\begin{case} 2\sqrt{x} & \text{if} \, 0 \le x \le 1 \\ 3x-1 & \text{if } \, x>1 \end{case}[/latex]
22. [latex]f(x)=\begin{cases} 3 & \text{if} \, x<1 \\ 3x & \text{if} \, x \ge 1 \end{cases}[/latex] 92+2 & \text{if} \, x \le 1 \\ x & \text{if} \, x>1 \end{cases}[/latex]
24. [latex]f(x )=\begin{case} 2x & \text{if} x \le 1 \\ \frac{2}{x} & \text{if} \, x>1 \end{cases}[/latex]
Показать решение
Для следующих графиков
- определите, для каких значений [latex]x=a[/latex] существует [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] но [latex]f[/latex] не является непрерывным в точке [latex]x=a[/latex], и
- определить, для каких значений [latex]x=a[/latex] функция непрерывна, но не дифференцируема при [latex]x=a[/latex]. 9{\ prime} (x) = \ underset {h \ to 0} {\ lim} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ латекс]
37. [latex]P(x)[/latex] обозначает население города в момент времени [latex]x[/latex] в годах.
38. [latex]C(x)[/latex] обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную на льготы [latex]x[/latex] клиентами в парке развлечений.
Показать решение
39. [латекс]R(x)[/латекс] обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства [латекс]х[/латекс] радиочасов.
40. [latex]g(x)[/latex] обозначает оценку (в процентах), полученную за тест с учетом [latex]x[/latex] часов обучения.
Показать решение
41. [latex]B(x)[/latex] обозначает стоимость (в долларах) учебника по социологии в университетских книжных магазинах США в [latex]x[/latex] лет с 1990 года.
42.
[латекс]р(х)[/латекс] обозначает атмосферное давление на высоте [латекс]х[/латекс] футов.Показать решение 9{\prime}(t)[/latex] представляет и как оно ведет себя при увеличении [latex]t[/latex].
- Что говорит нам производная о том, как этот город пострадал от вспышки гриппа?
2 + bx + c & \text{if} \, x < - 10 \\ -\frac{1}{4}x + \frac{5}{2} & \text{if} \, x \ge -10 \end{cases}[/latex], где [latex]x [/latex] и [latex]f(x)[/latex] указаны в дюймах. Чтобы вагон двигался по трассе плавно, функция [latex]f(x)[/latex] должна быть непрерывной и дифференцируемой при -10. Найдите значения [latex]b[/latex] и [latex]c[/latex], которые делают [latex]f(x)[/latex] непрерывными и дифференцируемыми. 92 & \text{if} \, x \ge 3 \end{cases}[/latex] обе непрерывны и дифференцируемы в 3.
В совокупности они обозначаются как 9{\prime}(x)=0[/латекс].
9h-1}{h}[/latex]
9{\ prime} (x) = \ underset {h \ to 0} {\ lim} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ латекс]
[латекс]р(х)[/латекс] обозначает атмосферное давление на высоте [латекс]х[/латекс] футов.Показать решение
В следующих упражнениях используйте следующую таблицу, в которой показана высота [латекс]h[/латекс] ракеты Сатурн-5 для миссии Аполлон-11 [латекс]t[/латекс] через несколько секунд после запуска.
| Время (секунды) | Высота (метры) 9{\ простое число} (т) [/латекс]. Линейная, квадратичная или кубическая функция лучше всего соответствует данным?52. Используя наилучшую линейную, квадратичную и кубическую аппроксимацию данных, определите, что [латекс]H”(t), \, G”(t)[/латекс] и [латекс]F ”(t)[/latex] есть. Каков физический смысл [латекс]H”(t), \, G”(t)[/латекс] и [латекс]F”(t)[/латекс] и каковы их единицы измерения? Показать решение Глоссарий
Исчисление — производная функция — открытый справочник по математике Это устройство не может отображать анимацию Java.
1. ПараболаАпплет изначально показывает параболу слева и производную Функция параболы справа. В нижней части апплета есть ползунок, который управляет координатой x , которая отображается в поле ввода рядом с ползунком. На левом графике красная линия, представляет собой касательную линию с координатой x . Переместите ползунок и обратите внимание, что касательные линии перемещаются так, что они всегда касаются парабола на 9Координата 0641 x задается ползунком. В нижний левый угол графика функции представляет собой прямоугольник, который дает значение функции f ( x ). Теперь посмотрите на правый график, на котором показана производная функция f.
‘ ( х ). Во-первых, посмотрите на красную касательную; что это
склон? Его наклон должен быть производной от текущей координаты x ,
так что это также должно быть значение производной функции для
что 9Координата 0641 x . Щелкните поле «x=» и замените его содержимое на 0. Теперь перетащите ползунок вправо. Обратите внимание, что наклон красной касательной возрастает, производная функция также возрастает. Перетащите ползунок в влево после 0. Обратите внимание, что по мере того, как наклон красной касательной становится больше отрицательна, то же самое делает производная функция. Производная функция говорит вы скорость изменения f для любого заданного разрешения x , т.е. эквивалентно рассказу о наклоне графика f для любого дано х . Когда производная положительна, функция возрастает. Когда производная отрицательна, функция убывает. Отсюда производная говорит вам что-то об исходной функции. Что происходит, когда производная равна 0? Где это происходит в этом примере? Почему производная 0 в этой точке? Обратите также внимание на то, что производная функция выглядит как прямая линия. 2. Синусоидальная функцияВыберите второй пример из выпадающего меню, показывающий синус функция. Как выглядит производная функция? Перетащите ползунок, понаблюдайте за наклоном красной касательной и посмотрите, сможете ли вы связать наклон касательной к значению производной функции. Это производная 0 в любой точке? Что характеризует эти точки? 3. Показательная функцияВыберите третий пример, показывающий экспоненциальную функцию. Что значит как выглядит производная функция? Перетащите ползунок, следите за наклоном красную касательную и посмотрите, сможете ли вы соотнести наклон касательной линии к значению производной функции. Обратите внимание, что для экспоненциальная функция, ее производная функция никогда не бывает отрицательной (т.е. правый график никогда не опускается ниже x -ось). Почему? Что такое речь идет о графике экспоненциальной функции, что означает, что производная никогда не бывает отрицательным? 4. ГиперболаВыберите четвертый пример, показывающий гиперболу. Что это производная функция выглядит? Перетащите ползунок, следите за наклоном красная касательная и посмотрите, сможете ли вы связать наклон касательной к значению производной функции. Обратите внимание, что для этой гиперболы его производная функция никогда не бывает положительной (т. е. правый график никогда не поднимается выше x -ось). Почему? Что это о график гиперболы означает, что производная никогда не бывает положительной? Что происходит при x = 0 для гиперболы? Почему производная неопределенный? Каков наклон касательной (есть ли касательная линия)? ИсследуйтеВы также можете ввести собственное определение функции в поле “f(x)=”, чтобы посмотрите, как выглядят производные других функций. Другие темы дифференциации
(C) 2011 Copyright Math Open Reference. |
|---|
Вышеупомянутое статическое изображение
Этот наклон показан в рамке внизу.
левый угол графика производной. Точка на графике
производная функция также отмечена красным перекрестием.
Делать
вы думаете, что так будет всегда, или это связано с какими-то особыми
свойство парабол?