Производная как решать понятное объяснение: Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования

исчисление – помогите мне понять производные и их назначение

спросил 9 лет, 3 месяца назад

Изменено 5 лет назад

Просмотрено 6к раз

$\begingroup$

Я только начинаю изучать исчисление, и мне трудно понять основную концепцию, лежащую в основе идей исчисления, особенно дифференциацию Я искал много ресурсов, но большинство из них очень похожи, объясняя вещи такими словами, как «скорость», «скорость изменения», «тангенс» и «изменение функции в отношении изменения ввода»… Я знаю правила вычисления, но цель для меня не очень ясна

Я был бы очень признателен, если бы кто-нибудь помог мне понять эту концепцию и объяснить, почему нужно вычислять «скорость изменения» функции и какую именно проблему решают производные.

Притворись, что я очень глуп (к сожалению, так оно и есть 🙂 ) и не используй какие-либо абстрактные понятия (даже если они интуитивно понятны человеку) в качестве «скорости», если это возможно Спасибо

• исчисление
• производные

$\endgroup$

11 92=12$.

Это означает, что когда $x=2$ и $f(x)=8$, то $f(x)$ изменяется в $12$ раз быстрее, чем изменяется $x$.

Итак, предположим, что $x$ увеличивается с $2$ до $2,0001$, при этом изменение равно $\Delta x=0,001$. Тогда $f(x)$ должно увеличиться с $8$ примерно до $8,0012$, при этом изменение составит примерно $\Delta f(x)=0,0012$, т.е. в $12$ раз больше. Почему не

ровно в раз больше в 12$? Поскольку при изменении $x$ с $2$ на $2,0001$ производная, то есть скорость изменения, не остается точно равной $12$.

92 = 8,0012\00060001$, так что в 12$ раз больше, это довольно близко. 3(5x+2)$», не выясняя, что дифференциальное исчисление связано с мгновенными скоростями изменения или почему это важно для развития науки. и техники за последние несколько столетий. Математики чувствуют себя вынужденными согласиться с системой, которую необходимо поддерживать, потому что эти студенты приносят деньги на обучение. Математики, которые заседают в комитетах по учебным программам на крупных факультетах, не являются теми, кому поручено преподавать математику в первом семестре, и они не знают, что там происходит. Те, кто знает, часто менее опытны и не являются теми, кто будет разрабатывать альтернативные виды курсов, и должны посвятить свою энергию публикации исследований, чтобы они могли сохранить свои рабочие места. Если вы попытаетесь включить такие вещи в курс математики за счет повторения «n x to the n минус один», студент, который пришел туда только для того, чтобы получить оценку, скажет: «Это будет на общем выпускном экзамене факультета в этом?» Конечно? Нет? Тогда почему ты тратишь на это наше время? Мой отец жертвует много денег этому университету и будет жаловаться на тебя декану. ТОЛЬКО математики могут изменить эту ситуацию, поэтому они не могут вечно ссылаться на то, что они всего лишь выполняли приказы.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Величина «скорость изменения» описывает функцию особым образом: если «скорость изменения» велика, то функция быстро возрастает, и связь в этом случае прямая. Одно из основных применений — выяснить, когда функция может «повернуться», или, скорее, когда она перестанет идти «вниз» и начнет двигаться «вверх» или наоборот. Когда производная равна нулю, то функция не возрастает и не убывает, и мы говорим (обычно), что такая точка является «минимумом» или «максимумом» функции.

Такая точка полезна для определения того, где могут быть нули или множители многочлена. Если функция не полиномична, нули в любом случае часто являются полезной информацией.

$\endgroup$

$\begingroup$

Если вы простите за самореференцию, я написал сообщение в блоге о некоторых элементах исчисления с точки зрения, которую я считаю доступной.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Есть много веских причин, по которым вам следует заботиться о производной функции! Во-первых, это дает вам представление о наклоне нелинейных функций, так что вы можете сравнить относительную «крутизну» различных функций. Этот наклон невероятно полезен, особенно в физике, потому что он позволяет вам перейти от знания положения тела в любой момент времени к знанию его мгновенной скорости, ускорения, рывка, щелчка и т. д.

Вот еще одно важное применение. Если вы посмотрите на график непрерывной функции, что вы заметите на касательной к графику, на локальных максимумах и минимумах функции? Наклон касательной равен 0! Возможность взять производную функции позволяет вам найти, где функция принимает максимальное и минимальное значения.

Производные также позволяют аппроксимировать многие функции. x$ и $\sin x$, вы даже можете получить точное значение функции в любой точке только из ее производных.

Я предполагаю, что вы еще не изучали интеграцию, но как только вы это сделаете, вы увидите, что производная становится еще более мощной в сочетании с интегралом.

$\endgroup$

$\begingroup$

В качестве реального примера использования скорости изменения….

Я работаю в компании, занимающейся машинным зрением, где компьютер очень часто находит края физического объекта. Край определяется как изменение контраста (он же белый с одной стороны, черный с другой). Если изображение медленно переходит от белого через серый к черному, то края плохо определены; другими словами, он имеет очень низкую скорость изменения. Если есть быстрый переход от белого к черному, то край хорошо выражен; имеет высокую скорость изменения.

Если скорость изменения отображается на графике xy, тогда будет пиковое значение, где расчетный край находится в пределах изображения.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Вспомните алгебру, когда вы нашли наклоны линий. ($m$ в $y = mx + b$)

Дифференциация делает то же самое, только она не ограничивается прямыми линиями. Его можно использовать на любой кривой.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Если вы посмотрите на определенную точку графика, насколько крутым будет график в этой точке? Возьмите производную.

Что делать, если вы хотите определить, становится ли график более крутым или менее крутым в определенной точке? Возьмите производную от производной (называемой второй производной).

Что делать, если вы хотите знать, насколько быстро изменяется крутизна в определенной точке? Возьмем третью производную.

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Производные важны во многих отношениях, и один из них заключается в следующем: они являются основой для дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение возникает, когда функция связана с одной или несколькими ее производными (которые могут быть разного порядка, не обязательно первого). Формируется уравнение, включающее функцию и производные версии этой функции.

Функции, связанные со своими производными, встречаются в природе. Например, масса, колеблющаяся на пружине, имеет ускорение, зависящее от ее положения: это потому, что ускорение зависит от силы, а сила пропорциональна смещению. Но ускорение — это вторая производная от положения.

Мы умеем решать дифференциальные уравнения. Когда у нас есть решение, мы можем добавить некоторые начальные условия, и уравнение будет точно описывать, что будет делать система, например, определять положение массы на пружине как функцию времени. Даже если нас не интересует ускорение, ускорение помогает нам получить это решение.

Решение дифференциальных уравнений дает нам возможность предсказывать поведение систем (в той мере, в какой реальные системы ведут себя как модели), что полезно в различных областях науки и техники.

$\endgroup$

$\begingroup$

Производные используются в «градиентном спуске» — реальной задаче машинного обучения.

Допустим, вы хотите найти локальный минимум на поверхности Земли (x, y) и у вас есть функция, которая сообщает вам текущую высоту точки (x, y). Вы можете думать об этом как о высоте над уровнем моря, на которой вы сейчас стоите на поверхности.

Взяв производную этой функции в этой точке (x, y), вы можете найти наиболее эффективный способ спуска, делать шаги один за другим таким образом, взяв производную на каждом шаге, чтобы скорректировать свой курс.

$\endgroup$

Исчисление несложно.

Производная

Исчисление состоит из нескольких основных принципов, понятных каждому. При правильном рассмотрении эти принципы легко применить к окружающему миру и увидеть, как устроен реальный мир в их терминах. Из двух основных идей Исчисления — производной и интеграла — сегодня мы сосредоточимся на производной.

Вам может понравиться эта статья сама по себе, но стоит также просмотреть предыдущую часть этой серии. Мы рассмотрели историю Исчисления и увидели, как оно возникло из двух парадоксов, выдвинутых философом 4-го века по имени Зенон Элейский. Эти парадоксы приводят к производным/интегральным идеям, которые произвели революцию в человеческом понимании движения.

Производная — это то, что необходимо для решения парадокса Зенона «Стрела». В этом парадоксе Зенон спрашивает, как стрела, летящая по воздуху, может иметь скорость в данный момент времени. Ибо в каждое мгновение стрела неподвижна. Прежде чем мы начнем процесс поиска ответа — процесс, на который у цивилизации ушло более двух тысяч лет, — давайте освежим в нашей статической памяти наше предыдущее описание производной:

Производная — Производная — это метод, который позволит нам рассчитать скорость стрелы в парадоксе «Стрела». Мы сделаем это, рассматривая положение стрелки через постепенно меньшие промежутки времени, так что точная скорость будет известна, когда время между измерениями бесконечно мало.

Неужели все так просто?

Я думаю, вы обнаружите, что это так, и даже удивитесь, почему цивилизации потребовалось так много времени, чтобы понять это. Зенону нужна скорость стрелы. Для расчета скорости нам нужны две вещи – время и положение. Скорость — это просто расстояние, деленное на время, например мили в час или футы в секунду. Если мы измерим расстояние, пройденное стрелой, и разделим его на время, затраченное на это расстояние, то это по определению будет скоростью стрелы.

Предположим, что стрелка движется с постоянной скоростью (это будет важно позже). Тогда давайте расставим маркеры через каждую милю по пути стрелки. С добавлением часов на наше запястье у нас есть все необходимое для измерения скорости стрелы. Мы наблюдаем, как стрелка летит по воздуху, и отмечаем положение стрелки, когда наши часы показывают 1 минуту. Предположим, что это положение соответствует отметке в 1 милю. Затем мы отмечаем положение стрелки, когда наши часы показывают 2 минуты, что оказывается на отметке 2 мили. Используя базовую математику, мы можем найти среднюю скорость нашей стрелы. Для простоты мы будем использовать единицу измерения скорости в милях в минуту, что позволит нам сказать, что наша стрелка двигалась со средней скоростью 1 миля в минуту.

Важно понимать, что мы берем конечную позицию, то есть p(2), вычитаем начальную позицию, p(1), и делим разницу на время, затраченное на преодоление расстояния. Это фундаментальное понимание движения с математической точки зрения. Что стрелка находится в одной точке в одно время и в другой точке в другое время.

Теперь, когда у нас есть средняя скорость между двумя моментами времени, мы можем приступить к уточнению нашего процесса. Зенон хочет знать скорость на момент во времени. Не между двумя моментами времени. Хорошо, мы знаем среднюю скорость между 1-минутной и 2-минутной временными точками. Что мешает нам уменьшить разницу? Найдем скорость стрелки между моментами времени 1 минута и 1,1 минута. Эти два момента времени намного ближе друг к другу и дадут нам лучшее представление о том, какой была скорость ровно через 1 минуту.

Для этого представим, что наши вехи разделены на более точные вехи, так что через каждую десятую мили приходится по одной вешке. Теперь мы относимся к проблеме так же, как и раньше.

Поскольку стрелка движется с постоянной скоростью, ответ всегда будет одним и тем же. Давайте на мгновение забудем об этом и продолжим настаивать на идее разделения мильных маркеров на более точные измерения, чтобы мы могли делать временной интервал между измерениями все меньше и меньше, приближая нас к моменту времени Зенона.

Давайте посмотрим на нашу среднюю скорость непосредственно перед 1-минутной точкой времени и посмотрим, что мы получим.

По мере того, как мы уменьшаем время между измерениями, скорость стрелки не меняется. Мы могли бы сделать время между измерениями еще меньше… на самом деле мы могли бы уменьшить их на 90 146 бесконечно на 90 147, пока разница не станет равной нулю, и при этом получить ту же скорость. Можно с уверенностью сказать, что мгновенная скорость стрелы в момент времени 1 минута составляет 1 милю в минуту. Технически мы решили этот парадокс. Но поскольку стрелка двигалась с постоянной скоростью, ответ довольно очевиден. Но это хорошо; Идея этого упражнения заключалась в том, чтобы познакомить вас с концепцией предела.

Принятие предела

Стрела с постоянной скоростью p( t ) = t

Несколько комментаторов в нашей предыдущей статье указали, что идея предела является важным компонентом Исчисления. Я не согласен. В приведенном выше примере процесс все более и более точных измерений времени называется «ограничивающим» процессом. В реальной вычислительной задаче мы бы ограничили это значение до нуля. Моя идея состоит в том, чтобы в этих статьях все было как можно проще, поэтому мы не будем подробно рассматривать ограничения. Но важно осознавать это. На данный момент все, что вам нужно понять, это то, что по мере того, как мы проводим все более точные измерения, мы сходимся к одному числу. Это основной мыслительный процесс, стоящий за производной.

Теперь, поскольку стрелка двигалась с постоянной скоростью, это сделало наш пример почти слишком простым. Чтобы по-настоящему понять производную и ее силу, нам нужно немного увеличить сложность. Давайте еще раз посмотрим на стрелку, но на этот раз с ускорением стрелки.

Если построить первый пример со стрелкой, движущейся с постоянной скоростью, то получится линейная функция p( t ) = t . Это означает, что пройденное расстояние всегда будет равно времени. Таким образом, в любой точке пути стрелы мы можем сказать, что прошедшее время равно пройденному расстоянию. Таким образом, на отметке в 1 милю у нас есть прошедшее время 1 минута, 2 минуты до отметки 2 мили, 3 минуты до отметки 3 и так далее.

Давайте изменим эту функцию на p( t ) = t ² . Это означает, что по истечении 1 минуты мы находимся на отметке в одну милю, через 2 минуты мы на отметке в 4 мили, через 3 минуты мы на отметке в 9 миль… вы поняли. Мы ускоряемся. Мы применим ту же технику, определяя положение стрелки в определенные моменты времени и вычисляя ее среднюю скорость. Ниже мы видим, что средняя скорость через 1 минуту составляет 3 мили в минуту.

И так же, как и раньше, мы начнем вычислять среднюю скорость через все меньшие и меньшие интервалы времени, стремясь к моменту времени 1 минута.

Как и прежде, мы, кажется, сходимся к одному числу: 2. И точно так же, как и раньше, мы можем сделать временной интервал между измерениями бесконечно маленьким… как можно ближе как 0,0, и в итоге мы получим значение 2. Мы можем сказать, что мгновенная скорость стрелы в момент времени 1 минута составляет 2 мили в минуту. Теперь мы действительно решили парадокс Зенона «Стрела». Стрела действительно движется с известной скоростью в момент времени, потому что мы ее рассчитали. Вы можете поверить, что потребовалось две тысячи лет, чтобы понять это!

Построение производной

Мы все можем согласиться с тем, что определение мгновенной скорости через все меньшие интервалы времени — простой процесс. Мы также можем согласиться с тем, что это трудоемкий и обыденный процесс. Чтобы вы не разочаровывались, производная еще не появилась. Теперь вы знаете, как работает производная, но вам еще предстоит увидеть ее полную силу. Чтобы увидеть это, нам нужно будет выполнить описанный выше процесс в другое время.

Мы доказали, что мгновенная скорость стрелы в момент времени 1 минута составляет 2 мили в минуту. Если бы мы захотели, мы могли бы пройти через утомительный процесс определения его скорости в другое время. Но не волнуйтесь, я уже сделал это для вас. Ниже приведены мгновенные скорости в моменты времени 0,7, 1,4, 2 и 3 минуты.

Используя тот же процесс, что и раньше, мы видим, что мы сходимся к одному значению, поскольку мы проводим все более и более точные измерения. В момент времени 0,7 средняя скорость становится все ближе и ближе к значению 1,4 мили в минуту. Для времени 1,4 средняя скорость явно равна 2,8 мили в минуту. Для 2-минутной отметки это 4 мили в минуту, а в течение 3 минут стрелка движется со скоростью 6 миль в минуту. Это быстрая стрела!

Схема очевидна. Мгновенная скорость в два раза превышает значение нашего начального времени измерения. Можно сказать, что если p( t ) = t ² , тогда v( t ) = 2 t . Мы можем абстрагироваться от производной, сказав, что производная функции f(x) = x ² равна 2x. Мы также можем дать обобщенное определение производной, используя пример со стрелкой Зенона:

Вы уже должны это понять. Символ маленькой пирамиды известен как дельта и просто означает «изменение». Это уравнение дает нам среднюю скорость стрелы. Как дельта t становится меньше, два положения стрелки (в числителе) сближаются, что в итоге дает нам мгновенную скорость в момент времени t . Концепция уменьшения дельты t делает уравнение производным. Если вы можете понять эту концепцию, похлопайте себя по спине. Это то, что ученик увидит на уроке calc-101. Выглядит знакомо? И теперь вы знаете это уравнение не путем грубого запоминания с карточек для заметок или подстановки переменных, как какой-нибудь клерк по вводу данных, а благодаря фундаментальному пониманию как это работает . Вот почему мы хакеры. Вот как мы катимся.

Производная — это гораздо больше, чем то, что я представил здесь, но я надеюсь, что эта статья дала вам базовое понимание лежащих в ее основе концепций. В следующей статье мы проследим тот же процесс с интегралом, который похож на перевернутую производную. Фактически, вы часто будете слышать, что интеграл называют антипроизводной.

Дополнительный кредит

Если вы чувствуете, что овладели концепцией производной (в контексте этой статьи), я призываю вас доказать это на языке, понятном вашим коллегам-хакерам — коде.