Производная онлайн 2 порядка: Вторая и третья производные функции

Производная второго порядка. Выпуклости, точки перегиба

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. ПРОИЗВОДНАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ВЫПУКЛОСТИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.

ГБОУ №1392 имени Д. Рябинкина
Давтян Римма Артемовна
ПРОИЗВОДНАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ВЫПУКЛОСТИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.

2. Содержание

Производные второго порядка
Вогнутость, выпуклости и точки перегиба
Понятие касательной
к данной непрерывной
Определение: Касательной
кривой в данной ее точке М (точка
касания) называется предельное
положение секущей ММ’, проходящей
через точку М, когда вторая точка
пересечения М’ неограниченно
приближается по кривой к первой.
Рис. 1
Общее определение производной
Определение: Производной функции у = f(х)
называется предел отношения
приращения функции к приращению
аргумента при условии, что
приращение аргумента стремится к
нулю, если этот предел существует
y
x 0 x
y f ( x) lim
Найти производную функции у = х2
x 0
y = (х + x )2
y lim
x 0
y ( x x) 2 x 2 2 x * x ( x) 2
y
lim
(2 x x) 2 x
x 0
x
(х2)’ = 2х
Смысл производной
Физический
Геометрический
Если функция описывает f ( x) k касательной к
какой-либо физический
графику функции y=f (x) в
процесс, то y f (x) есть точке, абсцисса которой
скорость

протекания
равна x.
y
этого процесса.
Например
Точка движется
прямолинейно по закону S t 2
.Найти скорость движения
в момент времени t=3
y=kx+b
Уравнение
касательной к кривой
y x2 1
в точке А(1;2)
k y ( x) ( x2 1) 2 x
k=2*1=2
2=2*1+b
b=0
y=2x
Производная сложной функции
ТЕОРЕМА:
Если у = f(z)и z= (x)— дифференцируемые
функции от своих аргументов, то производная
сложной функции
y f (x)
существует и равна производной данной
функции у по промежуточному аргументу z,
умноженной на производную самого промежуточного
аргумента г по независимой переменной х, т. е.
y x y z z x
Например
y ln( x 3x 1)
2
1
y x y * x (2 x 3)
u
y ln
x 2 3x 1
2x 3
x 2 3x 1
Производная обратной функции
ТЕОРЕМА. Для дифференцируемой функции с
производной, не равной нулю, производная обратной
функции равна обратной величине производной данной
функции.
Доказательство. Пусть у = f(х) Например y=arctg x
y 0
x=tg x обратная для y
y x f ( x) 0
1
1
x ( y)
y x
x
1
(tgy)
cos 2 x
x
y
2
1:
cos
y
cos 2 y
y
x
cos 2 y sin 2 y
1
x
y
2
lim
1 : lim
cos
y
y 0 y
x 0 x
2
1
2
1
ctg
y
sin y
1
1
1
xy
2
1
tg
x
yx
1 x2
Производная неявной функции
Определение:
Если y как функция от x задается
соотношением F(x, y)=0, где F(x, y) выражение, содержащее x и y, то y
называется неявной функции от x.
Алгоритм нахождения производных заданных
функций в неявном виде.
1) Находим производную от
Пример. Найти y
левой части равенства F(x,
y)=0, рассматривая y как
x 3 y 2 5 xy 4
функцию от x и
3 2
приравниваем ее к нулю.
(5xy) 4
(
x
y
)
2) Решаем полученное уравнение
относительно y, в
( x3 ) y 2 x3 ( y 2 ) (5x) y 5xy 0
результате будем иметь
выражение производной от
2 2
3
неявной функции в виде
3x y x 2 yy 5 y 5xy
y=f(x)
Производная функции, заданной
параметрически
ТЕОРЕМА:
Если
функция
параметрически
у
от
x (t )
где функции (t ) и
и
аргумента
задана
y (t )
(t )
дифференцируемы и (t )
0 , то производная
y
этой функции есть
x
yt
xt
x
y
х
t2
t3
Например
yt 3t 2
xt 2t
3
y x yt : xt 3t : 2t t
2
2
Понятие о производных высших порядков
Производная f ‘(х) от
Пример
функции f (х) называется
производной первого порядка
1)Пусть y = sin x
и представляет собой
Тогда имеем последовательно
некоторую новую функцию.
y cos x, y sin x, y cos x, y IV sin x,…..
Может случиться, что эта
3
функция сама имеет
2)Пусть y( x) 4 x 2 cos x
производную. Тогда
Найти: y
производная от производной
y 12 x 2 2 sin x
первого порядка называется
производной второго порядка
y 24 x 2 cos x
или второй производной и
y 24 x 2 sin x

обозначается так: f “(х).
Итак,
f ( x) f ( x)
f ( x) f ( x)
Вогнутость и выпуклость графика
функции. Точки перегиба
Определение: График дифференцируемой функции у =
f(х) называется вогнутым вверх (или
выпуклым вниз) в промежутке (а, b), если
соответствующая часть кривой
y f ( x)( x a, b )
расположена выше касательной,
проведенной в любой ее точке М(х, f(x)).
Аналогично, график дифференцируемой
функции у = f(х) называется выпуклым вверх
(или вогнутым вниз) в промежутке (а, b),
если соответствующая часть кривой
расположена ниже касательной,
проведенной к любой ее точке М(х, f(х))
Определение: Точкой перегиба графика дифференцируемой
функции у = f(х) называется его точка, при
переходе через которую кривая меняет свою
вогнутость на выпуклость или наоборот
ТЕОРЕМА:
Если для дважды дифференцируемой функции y =
f(х) вторая ее производная f “(х) положительна внутри
промежутка (а,b), то график этой функции вогнут
вверх в данном промежутке.
Доказательство: Пусть f “(х) > 0 при а<х<bих0 — любая
точка промежутка (а, b). Сравним в
точке х ординату у кривой y=f(x)
ординатой у ее касательной MоN,
проведенной в точке
Достаточные условия вогнутости
(выпуклости) графика функции.
Теорема: Если же вторая
производная f”(х) отрицательна
внутри промежутка (а, b), то
график функции у = f(х) вогнут
вниз в этом промежутке.
Доказательство:
Аналогично
доказывается, что если
f “(x) < 0 при а < х < b,
то график функции у =
f(х) вогнут вниз на
промежутке (а, b).

English     Русский Правила

1. Производные высших порядков Понятие производных высших порядков

Пусть функция дифференцируема в некотором интервале. Тогда её производная , вообще говоря, зависит отх , то есть является функцией от х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании производной.

Определение. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной и обозначается символом или, то есть

.

Пример 1. Найти вторую производную от функции .

Решение. Найдем первую производную функции:

.

Находим вторую производную как производную первой производной:

.

Определение. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается символом или.

Определение. Производной n-ого порядка функции называется первая производная от производной (n-1)-го порядка данной функции и обозначается символом или:

.

Определение. Производные порядка выше первого называются высшими производными.

Пример 2. Найти производную четвертого порядка функции .

Решение. Находим последовательно первую, вторую, третью и четвертую производные:

, ,,.

Пример 3.Найти производную n-ого порядка для функции (k–const).

Решение. Имеем:

, ,,.

Пример 4. Найти производную n-ого порядка для функции .

Решение. Имеем:

,

,

,

,

.

Замечание. Аналогично можно получить формулу n-ой производной функции :

.

Пример 5. Найти производную n-ого порядка для степенной функции , гдеи- любое вещественное число.

Решение. Дифференцируя последовательно, получим:

, ,,

.

В частном случае, когда , гдеm – натуральное число, получим:

, при.

Замечание. При строгом выводе формулы для производной n-ого порядка следует применять метод математической индукции.

Вторая производная параметрически заданной функции

Если функция задана параметрически уравнениями , то для нахождения производной второго порядка нужно продифференцировать выражение для её первой производной, как сложной функции независимой переменной.

Так как , то

,

и с учетом того, что

,

получим

, то есть

.

Аналогично можно найти третью производную

.

Пример 7. Найти вторую производную параметрически заданной функции ,.

Решение.,

.

Для нахождения производной n-ого порядка от произведения двух функций большое практическое значение имеет формула Лейбница.

Пусть u и v – некоторые функции от переменной х, имеющие производные любого порядка и y=uv. Выразим n-ую производную через производные функцийu и v.

Имеем последовательно

,

,

.

Легко подметить аналогию между выражениями для второй и третьей производных и разложением бинома Ньютона соответственно во второй и третьей степенях, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производной, а сами функции можно рассматривать как «производные нулевого порядка». Учитывая это, получим формулу Лейбница:

. (2)

Эту формулу можно доказать методом математической индукции.

Пример. Найти пятую производную функции .

Решение. Положим и. Найдем,,,,;. Подставляя эти выражения в формулу Лейбница при, получим

.

Калькулятор производных с шагами | Калькулятор дифференцирования

Введение в калькулятор производных с шагами

В исчислении есть два основных понятия, т. е. интегрирование и дифференцирование. Дифференциация обратна интегрированию. Как и интеграция, расчет деривативов носит технический характер и требует надлежащего внимания и внимания.

Калькулятор производных представляет собой онлайн-инструмент, который обеспечивает полное решение дифференцирования. Калькулятор дифференцирования помогает кому-то вычислять производные во время выполнения с помощью нескольких щелчков мыши.

Калькулятор дифференциации предоставляет полезные результаты в виде шагов, которые помогают пользователям и особенно учащимся подробно изучить эту концепцию.

Для вычисления производных по x и y используйте калькулятор неявного дифференцирования с шагами.

Формулы, используемые калькулятором производных

Калькулятор производных обратных функций использует приведенную ниже формулу для нахождения производных функции. Формула производной:

$$ \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{Δx \to 0} \frac{f(x+Δx) – f(x)}{Δx} $$ 92 x $$

Связанный: Нажмите на исчисление, если хотите изучить различные способы нахождения производной функции.

Производные правила, используемые Калькулятором дифференцирования

С помощью производной мы можем найти наклон функции в любой заданной точке. Правила дифференцирования используются для вычисления производной функции. Наиболее важные правила дифференцирования:

$$ \frac{d}{dx} (f(x) \pm g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) \pm \frac{d }{dx}g(x) $$

9{n-1} $$

Постоянное множественное правило:

$$ \frac{d}{dx}[cf(x)] = c. \frac{d}{dx}f(x) $$

Здесь c = реальное число

Правило суммы и разности:

Правило продукта:

$$ \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f(x) \frac{d}{dx}[g(x)] + g(x) \frac{ d}{dx}[f(x)] $$

или

$$ \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f(x)g'(x) + g(x)f'(x) $$

Вы также можете использовать калькулятор производных правил произведения для обучения и практики. 92} $$

Также найдите калькулятор производной частного правила для более точных вычислений.

Этот веб-сайт предоставляет полное решение для дифференцирования и всех расчетов, связанных с деривативами. Найдите калькулятор частичной дифференцировки и калькулятор производной по направлению на этом веб-сайте, чтобы еще больше укрепить свои представления о дифференцировании.

Как работает калькулятор производных?

Калькулятор производных с шагами — это онлайн-инструмент, который использует формулы и правила производных для вычисления точных результатов. Калькулятор дифференциации позволяет пользователям вводить данные в виде уравнения.

Калькулятор дифференцирования затем решает это уравнение, используя другие правила производных или формулы. Если вы хотите продолжить расчет, используйте калькулятор второй производной с шагами.

Кроме того, если вы хотите рассчитать его выше, на этом сайте есть другое решение для вас. Вы можете использовать калькулятор третьей производной с шагами на этой платформе, чтобы получить точные результаты.

Как найти калькулятор производных?

Онлайн-калькулятор производных найти несложно. Вы можете либо ввести полный URL-адрес этого калькулятора дифференциации в своей поисковой системе, либо выполнить поиск в Google по его названию. Вы можете выполнить поиск в Google с помощью «калькулятора производной» или «калькулятора обратной производной», и вы найдете наш новейший и точный онлайн-инструмент.

Связанный: На этой платформе вы также можете найти аппроксимацию касательной с помощью калькулятора линеаризации. Вы также можете получить большую помощь от бесплатного онлайн-калькулятора производных цепного правила.

Как использовать калькулятор производных с шагами?

Наш дифференциальный калькулятор очень прост в использовании, так как вам необходимо следовать приведенной ниже процедуре:

1. Напишите свое уравнение в первом поле ввода или загрузите любое уравнение, нажав на кнопку.
2. Выберите переменную, которую вы хотите дифференцировать.
3. Выберите, сколько раз вы хотите различать.
4. Нажмите кнопку «РАССЧИТАТЬ».

Сразу после нажатия на кнопку расчета наш калькулятор дифференцирования решит ваше уравнение и предоставит подробные результаты. Эти результаты помогут вам понять и изучить концепцию, практикуясь во время выполнения.

Для закрепления расчетов относительно нормальной линии уравнения, вам нужно попробовать калькулятор уравнения нормальной линии, предлагаемый этим веб-сайтом.

Связанные калькуляторы

Существует множество других калькуляторов, связанных с дифференциальным калькулятором, которые вы можете использовать на этом веб-сайте бесплатно. Эти инструменты:

• Калькулятор производной в точке
• Калькулятор n-й производной
• Калькулятор крайних точек
• Калькулятор уклона криволинейной линии
• Калькулятор производных графиков
• Калькулятор производной касательной линии
• Калькулятор 4-й производной
• Калькулятор производной обратной функции
• Калькулятор второго неявного дифференцирования
• Определение калькулятора производной
• Калькулятор 5-й производной
• Калькулятор 6-й производной

Часто задаваемые вопросы

Как дифференцировать функцию f(x)=5,4x+2,4?

Данная функция:

$$ f(x) \;=\; 5.4x+2.4 $$

Дифференцирование с обеих сторон по ‘x’

$$f'(x) \;=\; d/dx(5.4x+2.4)$$

Имеем,

$$ f'(x) \;=\; d/dx(5.4x)+d/dx(2.4) $$ $$ f'(x) \;=\; 5.4(1)+0 \;=\; 5.4 $$

Таким образом, мы можем различать эту простую функцию вручную. Кроме того, мы также можем использовать дифференциальный калькулятор функций для онлайн-расчетов.

Как вычислить производную функции?

Чтобы вычислить производную функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Помните, что производная — это вычисление скорости изменения функции.
2. Применить производную к функции по независимой переменной, входящей в функцию.
3. Упростите функцию, чтобы получить точное значение производной.

Та же процедура использовалась калькулятором производных для расчета скорости изменения функции в режиме онлайн.

Что такое производная x?

Производная x равна 1. Она относится к результату, полученному дифференцированием x различными способами. Нахождение скорости изменения функции включает в себя процесс дифференцирования. Таким образом, вы можете найти калькулятор производной для этого процесса. 9⁡2x $$

Производная от cos ² x — это производная тригнометрической функции, которая несколько сложна для студентов, не умеющих запоминать тригнометрические тождества. Для таких студентов решатель производных является отличным инструментом для вычисления производной тригонометрической функции.

Как отличить e

^x ?

Поскольку производная экспоненциальной функции с основанием “e” равна e ^x , дифференцирование e в степени x эквивалентно самому e в степени x. Математически это записывается как d/dx (e ^х ) = е ^х .

Это может оцениваться в дифференцирующем решателе для перекрестной проверки ответа и его шагов онлайн.

Алан Уокер

Последнее обновление 16 февраля, 2023

Я математик, технарь и автор контента. Я люблю решать шаблоны различных математических запросов и писать так, чтобы все могли понять. Математика и технология сделали свое дело, и теперь пришло время извлечь из этого пользу.

Калькулятор секундной производной Шаг за шагом с решением

Знакомство с калькулятором второй производной

Калькулятор второй производной с шагами — это онлайн-инструмент, который вычисляет производную функции до второго порядка. Он применяет формулу производной два раза к заданной функции.

В области математики онлайн-инструменты предоставляют учащимся и математикам дополнительный способ быстрее учиться. Для этой цели мы представляем второй калькулятор теста производной, который работает эффективно.

Что такое калькулятор двойной производной?

Калькулятор второй производной — это бесплатный онлайн-инструмент, упрощающий понимание производной. Это поможет вам шаг за шагом вычислить вторую производную функции и вычислить все возможные действия.

Хотя производная не является сложной концепцией, иногда может быть сложно вычислить вторую производную, поскольку она используется для нахождения максимального и минимального значений. Для выполнения этих вычислений полезно использовать Калькулятор второй производной.

Как пользоваться калькулятором второй производной?

Калькулятор двойных производных — эффективный и мощный инструмент, который можно использовать, выполнив элементарные шаги. Эти шаги:

1. Зайдите на веб-сайт из своего браузера или вы можете использовать производный калькулятор с приложением Math шагов на вашем устройстве Android.
2. Вы должны записать функцию в поле «Введите функцию» на странице веб-сайта. Или загрузите пример, чтобы увидеть, как использовать этот калькулятор.
3. Выберите переменную из раскрывающегося списка поля «По отношению к».
4. Вы можете просмотреть показанную функцию после того, как введете ее в поле.
5. На последнем этапе нажмите кнопку «Рассчитать».

Когда вы нажмете кнопку, калькулятор теста второй производной покажет пошаговые результаты в течение нескольких секунд.

Формула, используемая Калькулятором второй производной

Поскольку производная функции показывает, насколько функция изменяется по отношению к независимой переменной. А вот вторая производная означает мгновенную скорость изменения функции.

Второй калькулятор производных дважды применяет формулу производной к заданной функции. На первом этапе он находит первую производную, используя формулу производной один раз. Затем он снова применяет формулу производной. Например:

Если y=fx — функция, применяющая формулу производной к y.

$$ у’ \;= \; \frac{d}{dx}(y) \;=\; \frac{d}{dx}\{f(x)\} $$

Снова применяя производную от y по x.

$$ у” \;=\; \frac{d}{dx}(y’) \;=\; \frac{d}{dx}\Biggr[\frac{d}{dx}{f(x)}\Biggr] $$ 92}{f(x)} $$

Эта формула используется калькулятором второй производной с шагами.

Зачем использовать калькулятор теста второй производной?

Основной причиной вычисления второй производной функции является анализ скорости изменения относительно ее независимой переменной. Использование калькулятора второй производной помогает вам построить график в соответствии с разницей в функции. Калькулятор двойных производных обсуждает мгновенное изменение в каждой точке диаграммы.

В математике математики используют критерий второй производной для проверки вогнутости кривизны графика функции. Калькулятор второй производной с шагами не только вычисляет вторую производную, но и показывает кривизну путем построения графика. Вот почему необходимо использовать этот инструмент, чтобы помочь в решении и на каждом этапе его получения.

Преимущества использования Калькулятора второй производной

Калькулятор второй производной — это эффективный инструмент со многими функциями и преимуществами. Это полезно для студентов, потому что экономит время и усилия при ручных вычислениях.

Некоторые из существенных преимуществ использования второй производной калькулятора:

1. Он предоставляет результат шаг за шагом.
2. Он прост в использовании, поскольку содержит простые шаги.
3. Пошаговый калькулятор второй производной — это бесплатный онлайн-инструмент. Вам не нужно платить какую-либо плату или выполнять какое-либо предложение, чтобы получить к нему доступ.
4. На странице веб-сайта не отображаются всплывающие окна, что делает его уникальным инструментом.
5. Если вы новый пользователь, веб-сайт предоставляет вам возможность загрузки примеров, чтобы понять, как ее использовать.
6. Вероятность ошибки в результатах минимальна, поскольку производная вычисляется точно. Он также проверяет результаты путем интегрирования.
7. Калькулятор двойной производной с шагами может работать с любой функцией, такой как экспоненциальная, тригонометрическая, полиномиальная и т. д.
8. Экономит ваше время при ручных вычислениях, предоставляя результаты в течение нескольких секунд.
9. Вы также можете найти корень функции с помощью Калькулятора второй производной.

Какая польза от второй производной?

Вторая производная используется для измерения мгновенной скорости изменения функции по отношению к независимой переменной. Он также используется для проверки кривизны графика функции. Он может сообщить нам максимальное и минимальное значение функции. Вторая производная функции также предполагает, что наклон тангенса положительный или отрицательный.

Другие связанные калькуляторы

Миссия Calculatores — предоставить лучшие онлайн-калькуляторы. На этом веб-сайте есть соответствующие калькуляторы, которые вы можете использовать, чтобы улучшить свое обучение. Вот эти онлайн-калькуляторы производных:

• Калькулятор неявного дифференцирования с бесплатными шагами для решения неявных функций и дифференцирования.
• Калькулятор частичного дифференцирования с шагами для нахождения частной производной функции нескольких переменных.
• Калькулятор третьей производной для нахождения третьей производной функции.
• Калькулятор линейной аппроксимации f(x y) для нахождения локальной линейной аппроксимации или аппроксимации касательной.
• Калькулятор цепных правил с шагами для дифференциации составных функций.
• Правило произведения производного калькулятора с шагами для дифференцирования произведения двух функций.
• Калькулятор производных частных для вычисления знаменателя и числителя производной функции.
• Калькулятор наклона нормальной линии для вычисления перпендикуляра к касательной в точке касания.

Часто задаваемые вопросы

Точность производной калькулятора до секунды?

Да, калькулятор производных секунд точен, и вы можете вычислять производные двух переменных с полной точностью.

Предоставляет ли вторая производная калькулятора шаги?

Да, секундный калькулятор дает пошаговые результаты. Таким образом, вы можете учиться и практиковаться, используя этот второй калькулятор производных тестов с бесплатными шагами.

Должны ли учащиеся использовать калькулятор производной второго порядка?

Да, этот калькулятор двойного дифференцирования создан специально для учащихся. Вы можете ввести свои данные несколько раз и найти двойную производную функции.

Алан Уокер

Последнее обновление 02 июня 2022 г.