Производная онлайн с решением: Дифференцирование функции, заданной неявно - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Тема 2. Производная и дифференциал функции

Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 5.

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 4.

Методические указания

Производной функции называется выражение, характеризующее быстроту изменения функции при изменении ее аргумента. Например, если мы имеем функцию , то, очевидно, быстрота ее изменения равна 5, то есть изменение аргумента на единицу приводит к изменению значения функции на 5 единиц. ( , а ).

В общем случае производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента . Очевидно, что если , то , и .

Производная функции обозначается штрихом около символа функции . Таким образом, согласно определению

Рассмотрим несколько примеров нахождения производных некоторых функций.

1. Степенная функция.

Пусть . Тогда, согласно определению,

Для устранения неопределенности раскроем скобки в числителе

Теперь возьмем . Тогда . Также раскрываем скобки в числителе и получаем

Производные функций с показателями степени, превышающие третью можно получить с помощью бинома Ньютона

где – число сочетаний из n по k. В развернутом виде формула бинома Ньютона имеет вид

где, в нашем случае, ,

Легко проверить, что если , то . Отсюда следует общая формула производной степенной функции . Нахождение производной функции называется дифференцированием.

Основные формулы дифференцирования

1. . 11. .

2. . 12. .

3. . 13. .

4. . 14. .

5. . 15. .

6. . 16. .

7. . 17. .

8. . 18. .

9. . 19. .

10. 20.

Рассмотрим примеры нахождения производных различных функций на конкретных примерах.

Задача 6. Найти производную функции

Решение. Применяем формулу (5) дифференцирования произведения

Далее используем формулу (2) и формулу (3) дифференцирования алгебраической суммы

При дифференцировании алгебраической суммы к первому слагаемому применим формулу (7), ко второму (4), к третьему (1), получим

Затем используем формулу (11)

Задача 7. Найти производную функции

Решение. Используем формулу (3) дифференцирования алгебраической суммы

К первому слагаемому применяем формулу (6) дифференцирования частного, а ко второму формулу (11)

Далее используем формулы (13), (7) и (14)

Для получения окончательного ответа осталось использовать формулы (12), (4) и (2), а также выполнить преобразования

= =

Задача 8. Найти производную функции

Решение. В данном случае удобнее вначале упростить данную формулу, используя свойства логарифмов

= =

Далее, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, получаем

= =

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение производной функции.

2. Каков геометрический смысл производной?

3. В чем заключается физический смысл производной?

4. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

5. Приведите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

7. Что называется дифференциалом функции? Каков его геометрический смысл?

8. Что называется производной второго порядка? Каков физический смысл производной второго порядка?

Калькулятор производных – MathCracker.com

Инструкции: Используйте этот калькулятор производной, чтобы найти производную функции, которую вы предоставляете, показывая все этапы процесса. Пожалуйста, введите функцию, для которой вы хотите вычислить производную, в поле ниже. 93).

Обратите внимание, что его можно назвать калькулятором первой производной, как и калькулятором производной. Первая производная и производные представляют одно и то же, а «первая» часть обычно опускается.

Предоставленная функция может быть полностью упрощена или нет, это не имеет значения, так как калькулятор сначала упростит функцию, если необходимо перед вычислением его производной.

После того, как действительная функция была предоставлена, вам просто нужно нажать «Рассчитать», подождать несколько секунд, и вам будут представлены все этапы расчета.

Дифференциация является основным инструментом, используемым в исчислении (наряду с интегрированием), и это важная операция, которая широко используется в более сложной математике. Некоторые очень распространенные приложения включают расчет касательной, максимумы и минимумы и многое другое.

Как вычислить производную функции?

Процесс вычисления производной функции называется дифференцированием и состоит в определении мгновенной скорости изменения точки в точке каждой точке области определения функции.

Какова мгновенная скорость изменения функции? Итак, начнем с определения скорости изменения: Рассмотрим функцию \(f\), и предположим, что у нас есть две точки, \(x_0\) и \(x_1\). В точке \(x_0\) функция равна \(f(x_0)\), а в точке \(x_1\) функция принимает значение \(f(x_1)\)

Тогда изменение f определяется как \(\Delta y = f(x_1) – f(x_0)\) (что также называется изменением y). Кроме того, изменение x определяется как \(\Дельта х = х_1 – х_0)\). Проще говоря, \(\Delta x\) — это изменение x, тогда как \(\Delta y\) — это изменение значения функции из-за изменения x.

Графически:

Производная формула

Таким образом, если \(\Delta x\) представляет собой изменение x, а \(\Delta y\) представляет собой изменение значения функции из-за изменения в x, соответствующий

скорости изменить это:

\[\text{Скорость изменения} = \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

Тогда какой будет мгновенная скорость изменения? Это соответствует анализу того, что произойдет, если \(\Delta x\) станет очень маленьким. Можно было бы ожидать, что \(\Delta y\) тоже станет маленьким, но что произойдет со скоростью между \(\Delta y\) и \(\Delta x\)?

Итак, в этом контексте мгновенная скорость изменения определяется как

\[\text{Мгновенная скорость изменения} = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]

Итак, с точки зрения непрофессионала, мы устанавливаем \(x_0\) фиксированным и вычисляем скорость изменения для значений \(x_1\), которые все ближе и ближе к \(x_0\). Используя эту идею мгновенного скорости изменения, мы можем дать следующую формулу для производной в точке \(x_0\).

\[f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) – f (x_0)}{x_1 – x_0} \]

Если указанный выше предел выходит за пределы, мы говорим, что функция f дифференцируема в точке \(x_0\). Также будем говорить, что функция дифференцируема на множестве A, если функция дифференцируема в каждой точке множества.

Этапы использования формулы производной

Шаг 1: Четко определите функцию f, которую вы хотите дифференцировать
Шаг 2: Убедитесь, что вы максимально упростили f, иначе поиск требуемого предела может быть излишне сложным
Шаг 3: Решите, будете ли вы работать с общей точкой x0 или вы задаете конкретную числовую точку для x0
Шаг 4: На основе определения функции используйте формулу \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – х_0}\). Это, подставьте значения x0 и x1 в f и посмотрите, как формула выглядит алгебраически
Шаг 5: Упростите как можно больше, ПРЕЖДЕ ЧЕМ использовать лимит
Шаг 6: Иногда проще установить x1 = x0 + h, а затем вычислить предел, когда h сходится к 0

Обратите внимание, что шаг 6 — это шаг 6, который некоторым нравится по умолчанию. Действительно, альтернативная производная формула, которая может показаться более простой для упрощения:

\[f'(x_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h} \]

, это формула, которую вы можете найти в своем учебнике, вместо другой.

Производные правила

Казалось бы, чертовски много работы, чтобы вычислить производную, используя формулу. И действительно, это мог бы быть трудоемкий процесс, если бы мы решили проработать каждый процесс дифференцирования по формуле производной.

К счастью, есть ряд функций (а именно полиномы, тригонометрические функции) для которых мы точно знаем, каковы их производные.

Кроме того, у нас есть правила дифференцирования, которые позволяют нам найти производную функции, которая является составной функцией и/или комбинацией элементарных функций (для которых мы знаем их производную), в терминах элементарных производных.

Каковы шаги для вычисления производной?

Шаг 1: Определите функцию f, которую вы хотите выделить. Упростите, насколько это возможно, ПЕРЕД вычислением производной
Шаг 2: Определите, требуется ли вам использовать производную формулу или нет
Шаг 3: Если необходимо использовать производную формулу, используйте \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – x_0 } \), или ты можно использовать \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h} \), если кажется, что проще приблизиться к
Шаг 4: Если вам не требуется использовать формулу производной, вы можете использовать основные правила дифференцирования: Линейность, Правило продукта, правило частного и Цепное правило, которое поможет вам свести расчет производной к использованию основных известных производных

Часто функция, для которой вы пытаетесь найти производную, не является простой функцией, а является базовой комбинацией нескольких простых функций. Например, функция

\[f(x) = x + \cos(x) + \sin(x)\]

сама по себе не является элементарной функцией, а является составной функцией трех элементарных функций, \(x\), \(\sin x\) и \(\cos x\).

Применение производных

Кто-то может подумать: «Ну, производные предполагают пределы, и это сверхтеоретически, поэтому у них не должно быть слишком много применений», но вы совершенно ошибаетесь. Магия производных в том, что они, по сути, связаны со скоростью изменения функций, которые могут представлять различные типы процессов. 92\справа)\)

Таким образом, мы получаем следующий график для функции на интервале \([-5, 5]\):

Пример: Калькулятор производных

Найдите производную от \( f(x) = \displaystyle \ дробь{4}{х}\). Везде ли он четко определен? График это.

Решение. Функция, для которой требуется производная, имеет вид \(\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}\).

Дальнейшее упрощение не требуется, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению его производной: 92}\)