Производная от а: Производная показательной функции (a^x)’

свойства экспоненты и основные формулы

Многие числа обрели свою величину и суеверное значение еще в древности. В наши дни к ним добавляются новые мифы. Существует много легенд о числе пи, немногим уступают ему в известности знаменитые числа Фибоначчи. Но, пожалуй, самым удивительным является число е, без которого не может обойтись современная математика, физика и даже экономика.

Арифметическое значение числа е равно приблизительно 2,718. Почему не точно, а приблизительно? Потому что это число иррациональное и трансцендентное, его нельзя выразить дробью с натуральными целыми числами или многочленом с рациональными коэффициентами. Для большинства расчетов указанной точности значения в 2,718 достаточно, хотя современный уровень вычислительной техники позволяет определить его значение с точностью более триллиона знаков после запятой.

Главной особенностью числа е является то, что производная его показательной функции f (x) = e^x равно значению самой функции е^х. Такого необычного свойства нет больше ни у какой другой математической зависимости. Расскажем об этом чуть подробнее.

Содержание:

• Что такое предел
• Что такое производная функции
• Производная экспоненты
• Некоторые интересные факты о числе е
• Видео

Что такое предел

Вначале разберемся с понятием предела. Рассмотрим какое-нибудь математическое выражение, например, i = 1/n. Можно увидеть, что при увеличении «n «, значение «i «будет уменьшаться, а при стремлении «n» к бесконечности (которая обозначается значком ∞), «i» будет стремиться к предельному значению (называемого чаще просто пределом), равному нулю. Выражение предела (обозначаемого как lim) для рассматриваемого случая можно записать в виде lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Существуют различные пределы для различных выражений. Одним из таких пределов, вошедших в советские и российские учебники как второй замечательный предел, является выражение lim n →∞ (1+1/ n) ⁿ . Уже в Средневековье было установлено, что пределом этого выражения является число е.

К первому же замечательному пределу относят выражение lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Как найти производную e^x – в этом видео.

Что такое производная функции

Для раскрытия понятия производной следует напомнить что такое функция в математике. Чтобы не загромождать текст сложными определениями, остановимся на интуитивном математическом понятии функции, заключающимся в том, что в ней одна или несколько величин полностью определяют значение другой величины, если они взаимосвязаны. Например, в формуле S = π ∙ r ² площади круга, значение радиуса r полностью и однозначно определяет площадь круга S.

В зависимости от вида, функции могут быть алгебраическими, тригонометрическими, логарифмическими и др. В них могут быть взаимосвязаны два, три и более аргументов. Например, пройденное расстояние S, которое объект преодолел с равноускоренной скоростью, описывается функцией S = 0,5 ∙ a ∙ t ² + V ∙ t, где «t» — время движения, аргумент «а» ускорение (может быть как положительной, так и отрицательной величиной) и «V» начальная скорость движения. Таким образом, величина пройденного расстояния зависит от значений трех аргументов, два из которых («а» и «V») постоянны.

Покажем на этом примере элементарное понятие производной функции. Оно характеризует скорость изменения функции в данной точке. В нашем примере это будет скорость движения объекта в конкретный момент времени. При постоянных «а» и «V» она зависит только от времени «t», то есть говоря научным языком нужно взять производную функции S по времени «t».

Этот процесс называется дифференцированием, выполняется путем вычисления предела отношения прироста функции к приросту ее аргумента на ничтожно малую величину. Решения подобных задач для отдельных функций часто является непростым делом и здесь не рассматриваются. Также стоит отметить, что некоторые функции в определенных точках вообще не имеют таких пределов.

В нашем же примере производная S по времени «t» примет вид S’ = ds/dt = а ∙ t + V, из которого видно, что скорость S’ изменяется по линейному закону в зависимости от «t».

Производная экспоненты

Экспонентой называется показательная функция, в качестве основания которой находится число е. Она обычно отображается в виде F (x) = e^x, где показатель степени x является переменной величиной. Данная функция обладает полной дифференцируемостью во всем диапазоне вещественных чисел. С ростом x она постоянно возрастает и всегда больше нуля. Обратная к ней функция — логарифм.

Известный математик Тейлор сумел разложить эту функцию в ряд, названный его именем e^x = 1 + x/1! + x ² /2! + x ³ /3! + … в диапазоне x от — ∞ до + ∞.

Закон, базирующийся на этой функции, называется экспоненциальным. Он описывает:

• возрастание сложных банковских процентов;
• увеличение популяции животных и населения планеты;
• время окоченения трупа и многое другое.

Повторим еще раз замечательное свойство данной зависимости — значение ее производной в любой точке всегда равно значению функции в этой точке, то есть (e^x)’ = e^x .

Приведем производные для наиболее общих случаев экспоненты:

• (e^ax)’ = a ∙ e^ax ;
• (e^{f (x)})’ = f'(x) ∙ e^{f (x)}.

Используя данные зависимости, несложно найти производные для других частных видов этой функции.

Некоторые интересные факты о числе е

С этим числом связаны фамилии таких ученых, как Непер, Отред, Гюйгенс, Бернулли, Лейбниц, Ньютон, Эйлер, и другие. Последний собственно и ввел обозначение е для этого числа, а также нашел первые 18 знаков, используя для расчета открытый им ряд е = 1 + 1/1! + 2/2! + 3/3! …

Число e встречается в самых неожиданных местах. Например, оно входит в уравнение цепной линии, которое описывает провис каната под действием собственного веса, когда его концы закреплены на опорах.

Видео

Тема видеоурока – производная показательной функции.

Производная, Геометрический смысл производной | univer-nn.ru

Перед прочтением информации на текущей странице советуем посмотреть видео о производной и её геометрическом смысле

Также смотрите пример вычисления производной в точке

Касательной к линии l в точке М0 называется прямая М0Т — предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится к М0 вдоль данной линии (т. е. угол устремится к нулю) произвольным образом.

Производной функции у = f{x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производную функции у = f{x) в точке х0 в контрольных по математике и учебниках обозначают символом f'(x0). Следовательно, по определению

Термин «производная» (а также «вторая производная») ввел Ж. Лагранж (1797), к тому же он дал обозначения y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Обозначение dy/dx впервые встречается у Лейбница (1675).

Геометрический смысл производной

Производная функции y = f(х) при х = xо равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е.

где а — угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат.

Уравнение касательной к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо ) принимает вид

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f(x0) не равно 0, то уравнение нормали к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо) запишется так:

Физический смысл производной

Если x = f(t) — закон прямолинейного движения точки, то x’ = f’(t) — скорость этого движения в момент времени t. Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Если отношение dy/dх при х->х0 имеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными.

Очевидно, функция f{x) определенная в некоторой окрестности точки х0, имеет производную f’{x) тогда и только тогда, когда односторонние производные существуют и равны между собой.

Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной к графику распространяется и на этот случай: касательная в данном случае параллельна оси Оу.

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. Если промежуток является замкнутым, то на концах его имеются односторонние производные.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Math Tutor – Производные – Обзор методов

Math Tutor – Производные – Обзор методов – Производные

Если вы хотите одновременно следовать другому тексту о деривативах в отдельное окно, нажмите здесь, чтобы Теория и здесь для решения проблем.

Здесь мы покажем алгоритм вычисления производных. Дифференциация является основой для большинства расчетов в реальном анализе, поэтому вам следует освоить его хорошо. Желаемый уровень мастерства прост: вы должны быть уверены, что вы может найти (не долго думая) производную любой функции, которая придет к вам, предполагая, что он собран с использованием элементарных функций и алгебраические операции/композиции. Алгоритм, изложенный ниже, способен именно это.

Чтобы уметь различать, нужно знать наизусть два основных вещи:
Словарь , то есть элементарные производные.
Грамматика , что означает пять основных правил операций:

Также удобно помнить, что производная линейна, т. е. когда дифференцируя суммы, дифференцируем каждое слагаемое в отдельности; более того, мультипликативные константы могут быть извлечены из производной.

Есть две возможности для производных. Иногда мы можем использовать элементарный производные и сразу напишите результат. Однако обратите внимание, что мы можем использовать формулы для элементарных производных только в точности так, как указано, любые модификация означает, что формулы больше не работают, и мы должны использовать правила. Например, хотя мы можем написать эту производную от грех(

х ) это потому что ( х ), это правило не распространяется на модификации типа sin(2 x ),sin( x ² ),sin ² ( x ) и т. д. Например, производная sin(2 x ) определенно не cos(2 х ).

Вторая возможность заключается в том, что у нас есть выражение, которого нет в списке. элементарных производных. Затем мы должны использовать правила, чтобы разбить его на строительные блоки, которые, наконец, сделаны с использованием элементарных производных.

алгоритм для этого ниже, но прежде чем мы перейдем к нему, одно замечание относительно обозначение.

У новичков иногда возникают проблемы с применением производной символ, например, их может запутать обозначение цепи правило выше. На самом деле это просто. Начнем с примера. Рассмотрим функция f ( x ) = x ² . Когда мы пишем f  ′(5), то символ f  ′ представляет конкретную функцию, а именно функция f  ′( x ) = 2 x , в который мы подставляем 5:   f  ′(5) = 10. С другой стороны, обозначение [ f

(5)]′ означает, что мы сначала подставьте 5 и только потом дифференцируйте. С f (5) — константа, получаем [ f (5)]′ = [25]′ = 0. Если это делает смысле, то два обозначения из цепного правила также должны быть понятны. [ g (  f  )]′ означает, что мы сначала оцениваем состав, а затем дифференцировать составленную функцию. С другой стороны, г ′(  f  ) означает, что мы сначала дифференцировать г как независимую функцию, а затем заменить f в полученную производную (то есть составляем производную от г с внутренней функцией f  ).

Производная выражения

Алгоритм производной.
Шаг 1. Посмотрите на выражение, которое предполагается дифференцировать и определить операцию, которая выполняется последней. Это может быть алгебраический операция или внешняя функция в композиции. Если вам нужно освежить в памяти это, проверьте примечание к заказу оценка.
Шаг 2. В зависимости от «последней операции» применить соответствующий правило грамматики. Правило разбивает дифференцированное выражение на более простое выражения, некоторые из них необходимо различать.
Шаг 3. Проверить производные, полученные из правила из шага 2. Если все они элементарные, воспользуйтесь словарем. Вы сделали. Если некоторые производные более сложные, для каждой из них повторяем процесс начиная с шага 1.

Обратите внимание, что ни одно из приведенных выше правил или элементарных производных не применимо к общие полномочия . Их следует различать по их каноническому форма .
Также нет правила дифференцирования абсолютного значения. Функции, которые функция должна быть переписана как разделенная функция, см. ниже.

Внимание! Результаты, которые мы получаем с помощью этой процедуры, дают производную только в таких точках, что данное выражение существует в их окрестностях. Это означает, что мы можем использовать этот алгоритм для нахождения производной функции только в точках, в окрестностях которых функция определяется одной формулой. Что произойдет, если это не так, например, если f дается одним формула слева и другая формула справа от точки, где мы хотим получить производную? правильная процедура описана ниже.

Производная как интуитивная процедура. Хотя есть и другие способы запоминать и применять правила, у меня были лучшие результаты с интуитивным подход «различить и забыть». Дифференциация немного похожа на чистку лук. Вы всегда видите только самый внешний слой, операцию, которая выполняется последний. Все остальное, как бы сложно оно ни было, в данный момент не имеет значения. за исключением того, что он как целое участвует в самой внешней операции. Ты не нужно беспокоиться об этом, так как он «скрыт» внешним слоем. Когда вы подаете заявку соответствующее правило для внешней операции, эта конкретная операция сделано, и вам больше не нужно об этом беспокоиться (кроме необходимости копировать то, что выходит из него), как только оно дифференцировано (путем применения правила), вы забываете об этом и переходите к следующему слою; так как мы закончили с наружным слоем обнажается следующий.

Лучше всего это видно в цепном правиле. Например, когда мы различаем cos( г ( x )), это правило говорит

[cos( г ( x ))]′ = −sin( г ( x ))⋅[ г ( x )]′.

Как это согласуется с вышесказанным? Самая внешняя операция косинус, и мы делаем неважно, что внутри косинуса, косинус скрывает это от нас. Итак, мы дифференцировать косинус, цепное правило говорит, что мы должны заменить внутри выражения в производную от косинуса, а затем сделать “раз”. В с этим косинусом покончено, проблема ушла, мы наконец видим что было внутри него и настало время его дифференцировать.

Точно так же мы можем интерпретировать, например, правило произведения. Когда мы хотим дифференцировать f ⋅ g , нам в данный момент все равно каковы индивидуальные факторы, мы сосредоточимся только на внешнем действии. Правило гласит, что для дифференцирования этой операции мы должны перейти к выражение ж  ′⋅ г  +  ж  ⋅ г ′. Таким образом, продукт вышел из проблемы, ушел от дифференциации, мы переходим на следующий слой и посмотрите на факторы f и g , которые были скрыто от нас. Затем эта процедура пилинга повторяется до тех пор, пока мы не сможем применить элементарные производные.

Как мы уже говорили ранее, это всего лишь один из возможных подходов к деривативам. Некоторые люди предпочитают другие способы, например, чисто формальные (они на каждом шаге записывайте, какие части f , а какие g и применять правила буквально). Выбирайте тот способ, который вам больше подходит.

Пример: Найдите производную от

Решение: Последней выполненной операцией является умножение, данное функция является произведением члена в скобках и дроби. Поэтому мы применить правило произведения.

Мы получили два слагаемых с производными, ни одно из них не является элементарным функция. Таким образом, мы рассматриваем каждую производную как новую задачу.

Выражение в квадратных скобках (первое) имело сложение в качестве последней операции. это непонятно, какое из двух добавлений последнее, но нам все равно, т.к. линейность говорит нам, что мы просто различаем каждый термин отдельно.

Второй дифференцированный член — это четкая дробь, мы используем частное правило.

Теперь у нас много производных, берем слева. Логарифм – это элементарная функция, производная которой находится в словаре. Второй срок сложнее. Последняя операция, которую мы делаем, — экспоненциальная, поэтому композиция, и мы должны использовать цепное правило, например, в форме [ e   ^y ]′ =  e   ^г г ′. Следующий член тоже выглядит как нечто более сложное, а именно дробь, и в самом деле, частное правило помогло бы нам. Тем не менее, опытный дифференциатор знает, что такие выражения легче обрабатывать при изменении во власть.

До последней фракции. Первый член сверху представляет собой линейную комбинацию, поэтому мы используем тот факт, что производная является линейной. Другими словами, мы знаем, что должны принять производную каждого слагаемого в отдельности, а в первом мы можем вытащить вывести мультипликативную постоянную из производной. Второй дифференцированный термин (в конце) представляет собой составное выражение, в качестве последнего мы делаем квадратный корень, поэтому мы применяем цепное правило.

Почти там, снова берем его слева. Производные синуса и x ⁻³ есть в словаре. В последней дроби мы снова имеют элементарные производные от x ² и 2 ^x . Последняя производная представляет собой сумму, поэтому мы дифференцируем каждый член отдельно.

Осталось немного его отшлифовать и найти домен. Мы переписываем негатив мощность в виде дроби, поскольку так она выглядит лучше. Кроме того, большая фракция немного упрощается, если мы вытащим корень во втором члене числитель из числителя.

Обратите внимание, что размер домена составляет всего x  > 0, хотя само выражение имеет смысл также для всех отрицательных x . Тем не менее, домен производная ограничена прежде всего областью определения данной функции.

Некоторые примечания:
1. Если не преобразовывать 1/ x ³ в отрицательную степень, а применять частное правило к нему, мы получаем тот же ответ, это просто немного больше сложный.

2. Что произойдет, если мы забудем, что мультипликативные константы могут быть вытащили из производной? Вместо простого расчета [13 x ² ]′ = 13[ x ² ]’ мы используем правило произведения, чтобы получить тот же вывод:

3. Опытный дифференцирующий не стал бы писать все шаги. Когда применяя правила к заданному выражению, выражение постепенно “расцветает” или «растет ветками», усложняется с каждым шагом. Однако есть логика к этому, и если у вас есть опыт, вы можете сохранить немного этого в твоя голова. Таким образом, ответ часто пишут прямо, строя его по частям. кусок. Когда данное выражение более сложное, это может быть опасно, так как при различении одной части легко забыть, что другая должна сделать также, можно также перепутать брекетинг. Хорошей мерой безопасности является идти средним путем. Делайте в голове ровно столько, сколько сможете безопасно удержать и упростить общую картину, оставив некоторые части «на потом» с помощью []′ обозначение. Например, приведенный выше пример может быть выполнен в два этапа, например это:

Односторонние производные

Вопрос: Найдите f ′′ ₊ ( a ).

Лучший случай: Если функция f задана некоторым выражение на некоторой окрестности a , мы можем найти (двустороннее) производная с использованием вышеуказанного алгоритма и односторонняя должны быть одинаковыми.

Типичный случай: Функция f задается определенным выражение о некоторой правой окрестности [ a , a  +  b ) из a и это выражение непрерывно там. Тогда мы можем использовать удобный теорема:

другими словами, мы находим производную выражения, используя приведенное выше алгоритм для x  >  a а затем взять предел этой производной для x → a ⁺ . Пример смотрите в разделе Производная и предел в Теория – МВТ.

Другие случаи: Довольно много вещей может пойти не так, это невозможно охватывают все возможные случаи. В общем, если мы не можем использовать вышеуказанные приемы, мы обычно возвращаются к определению и пытаются разобраться.

Вопрос: Найти f ′′ _– ( a ).

Очевидно, мы используем соответствующие модификации описанных выше процедур.

Разделение функций и производных

Функции разделения — это функции, которые определяются разными выражениями на различные наборы (см. Введение в Функции – Теория – Реальные функции). Мы будем игнорировать монстров и сосредоточимся на разумные функции расщепления, те, определения которых основаны на интервалах которые идут друг за другом, и их конечное число (некоторые интервалы могут быть вырожденными, т. е. одной точкой).

Процедура: Рассмотрим “разумную” функцию разделения f .
Шаг 1. Для каждого невырожденного интервала в определении f находим производную соответствующего выражения, которая дает функцию там. Этот результат затем также дает производную f на внутренний этого интервала.
Шаг 2. Если область f покрыта внутренностями из Шага 1, мы сделали. В противном случае есть точки в области f не являющиеся покрыты внутренними частями выше, и нам нужно исследовать f  ′ в эти точки. Рассмотрим одну такую ​​точку a .
а) Если эта точка является конечной точкой интервала из определения и также конечная точка домена, это означает, что f определен на каком-то справа или слева от и , но не с другой стороны. Следовательно производной нет, но может быть односторонняя производная. Мы исследовать его, как описано выше. Обратите внимание, что если f не является непрерывным справа/слева на a , то он не может иметь подходящего одностороннего производная там, так что нам не нужно утруждать себя ее поиском.

b) Другой интересный случай состоит в том, что a находится внутри области, но не внутри любого из интервалов из определение f . Тогда f скорее всего определяется разными формулы справа и слева от и . Таким образом, несмотря на наличие шанс для обычной двусторонней производной, мы не можем использовать алгоритм выше (см. Предупреждение там). Опять же, если функция не является непрерывной в точке a , мы сразу знаем, что производной нет.

Поэтому предположим, что f непрерывна в точках a и определяется двумя разные выражения справа и слева от и . Тогда мы можем найдите односторонние производные, используя предельный трюк, как описано выше, и Сравните их. Если односторонние производные совпадают, они также дают производная от f и a .

Пример: Находим производную от абсолютного значения f ( x ) = | х |.

Поскольку нет правила для абсолютного значения, начнем с того, что избавимся от него:

Поскольку f определяется выражением x на открытом интервале (0,∞), находим f  ′ , применяя обычный алгоритм к выражению x . Аналогично находим f  ′ на (−∞, 0) применяя обычный алгоритм выражения – x . Таким образом, у нас есть

Осталось найти производную в 0. Модуль непрерывен там у нас есть хорошие выражения слева и справа, так что мы можем использовать лимитный трюк:

Таким образом, ответ

Дополнительные примеры производных см. Решенные проблемы – производная, но очевидно, производные используются в Решенных задачах по другим темам в глава Производные, а также.

Численность, математика и статистика – Набор академических навыков

Дифференциация

ContentsToggle Главное меню 1 Определение 2 Обозначение 3 Свойства 4 Таблица производных 5 Применение дифференцирования 6 Пример работы 7 Пример видео7.1 Пример 8 Рабочие тетради 9 Проверьте себя 10 См. также 11 Внешние ресурсы

Определение

5 Дифференциация4 это метод, используемый для вычисления скорости изменения функции $f(x)$ по отношению к ее входу $x$. Эта скорость изменения известна как производная от $f$ по отношению к $x$.

Первая производная функции $y=f(x)$ обозначается $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$, где $\mathrm{d}y$ обозначает бесконечно малое изменение $y$ и $\mathrm{d}x$ бесконечно малое изменение $x$. Он определяется следующим образом:

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\lim_{\large{h\to 0}}\left[\frac{f(x+) h)-f(x)}{h}\right].\]

Процесс нахождения производной с использованием этого предела известен как дифференцирование от первых принципов. На практике часто пользоваться этим методом неудобно; производные многих функций можно найти, используя стандартные производные в сочетании с такими правилами, как цепное правило, правило произведения и правило отношения.

Обозначение

Существует несколько различных обозначений для дифференцирования. Все они «правильные», и некоторые из них более распространены в одних областях, чем другие. Полезно знать каждую систему обозначений, даже если вы не используете ее регулярно.

Обозначения Лейбница

Для данной функции $y=f(x)$ первая производная от $y$ по $x$ обозначается \[\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{ d}x}\]

Вторая производная от $y$ по $x$ обозначается 9n}\]

Производная от $y$ по $x$ в точке $x=a$ обозначается

\[\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x }\Biggl\vert_{ \Large{x=a} }\]

Обозначение Лагранжа

Также упоминается как простое обозначение . В этих обозначениях штрих (штрих) используется для обозначения производной функции.

Для функции $y=f(x)$ первая производная от $y$ по $x$ обозначается

\[y'(x)=y’ \text{ или эквивалентно } f’ (х)=f’.\]

Примечание: При использовании этой записи нет необходимости включать аргумент функции. Из контекста должно быть очевидно, что является аргументом функции. Если непонятно, используйте другое обозначение.

Вторая и третья производные от $y$ по $x$ обозначаются

\[(y’)’=y” \text{ и } (y”)’=y”’ \ text{ или эквивалентно } (f’)’=f” \text{ и } (f”)’=f”’. \]

Надстрочная римская цифра или число в квадратных скобках используется для обозначения старшей производной. Например, четвертая производная от $y$ по $x$ обозначается 9{(n)}.\]

Нотация Ньютона

Также называется точечной записью . В этих обозначениях точка ставится над именем функции для обозначения производной функции по времени.

Для функции $x=f(t)$ первая и вторая производные от $x$ по времени $t$ обозначаются

\[\dot{x} \text{ и } \ddot{ x}.\]

Примечание: это обозначение используется строго для обозначения производной по времени.

Недвижимость

Производная константы равна $0$ – постоянная функция не меняется.

Дифференцирование линейная операция . Для заданных функций $f(x)$ и $g(x)$ и вещественных чисел $\alpha$ и $\beta$ выполняется следующее свойство:

\[\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{ d} x} \ Bigl [\ alpha \, f (x) + \ beta \; g (x) \ Bigl] = \ alpha \ dfrac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x} + \ beta\dfrac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\]

Таблица производных

Таблица стандартных производных, где $n$ — любое действительное число, а $k,a$ — любые константы. 92\bigl]\Biggl|_{x=2}= 2x\Biggl|_{x=2}=2\cdot2=4$.

Стационарные точки и оптимизация

Стационарные точки функции $y=f(x)$ — это точки, в которых производная равна нулю. Их можно найти, установив $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ и найдя $x$. Характер этих стационарных точек ( максимума , минимума или точки перегиба ) можно определить с помощью производных тестов.

Поскольку эти локальные максимумы и минимумы представляют максимальное или минимальное значение $f(x)$ в пределах локальной области, поиск стационарных точек полезен в задачах оптимизации.

Примечание: глобальное максимальное или минимальное значение функции $f(x)$ всегда находится в точке, где либо производная $f'(x)=0$, либо производная не существует. Однако точка $x$, для которой $f'(x)=0$, не обязательно является глобальным максимальным или минимальным значением функции $f(x)$. Такие точки могут представлять собой локальный максимум, локальный минимум или стационарную точку перегиба; таким образом, требуется дальнейший анализ, чтобы определить, является ли точка глобальный максимум или минимум.

Физика

Физика часто связана с изучением скорости изменения и того, как различные величины взаимодействуют друг с другом; поэтому производные и дифференциальные уравнения необходимы для математического описания многих физических величин и явлений.

Пример : скорость объекта определяется как скорость изменения его положения во времени. Для объекта в одномерном движении с положением, описываемым $x=x(t)$, его скорость $v$ определяется выражением: 9{ \large{0} }=5.\]

По свойствам дифференцирования производная любой константы $c$ равна $\dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d}x}\Bigl[ c\Bigl]=0$. Следовательно, производная от $1$ равна:

\[\dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\Bigl[1\Bigl]=0.\]

Наконец, из таблицы стандартных производные, производная от $\cos{t}$ равна

\[\dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\Bigl[\cos{t}\Bigl]=-\sin{ t}.\]

Таким образом, скорость объекта определяется как:

\begin{align} v=\dot{x} &= \dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d}t }\Bigl[t^3+5t-1+\cos{t}\Bigl] \\ &=3t^2+5-0-\sin{t} \\ &=3t^2+5-\sin{ т}. \end{выравнивание} 9{2\large{x}}$ и $x(t)=2\cos{(2t)}$.

Рабочие тетради

Эти рабочие тетради, выпущенные HELM, являются хорошими вспомогательными средствами, содержащими ключевые моменты для повторения и множество рабочих примеров.

• Введение дифференциации.
• Использование таблицы производных.
• Высшие производные.

Проверь себя

Проверь себя: тест Numbas на дифференцирование

Проверь себя: тест Numbas на дифференцирование, включая правила цепи, произведения и частного

См. также

• Цепная линейка
• Правило продукта
• Частное правило

Внешние ресурсы

• Базовая дифференциация — рабочая тетрадь для повышения квалификации в центре по математике .
• Листовка с таблицей производных в math center.