Производная от числа равна: Производная числа

Производная постоянной функции – константы

Правила дифференцирования функций, содержащих постоянные

Здесь мы рассмотрим следующие правила, связанные с дифференцированием функций, содержащих постоянные:
(1)   ;
(2)   ,
где C – постоянная, u – дифференцируемая функция от независимой переменной :
.

Вначале мы докажем эти правила. Затем приведем примеры вычисления производных.

Производная постоянной функции

Выясним, чему равна производная постоянной функции. Для этого применим определение производной:
(3)   .
Пусть функция является постоянной, которую обозначим как :
.
То есть не зависит от x. Значения переменной y одинаковы при любых значениях переменной x и равны . Тогда
;
;
.
То есть производная постоянной функции равна нулю:
.

Вынесение постоянной за знак производной

Теперь докажем правило (2). То есть если является дифференцируемой функцией от переменной x (на некотором множестве ее значений), то при дифференцировании, постоянный множитель можно выносить за знак производной:
(2)   .

Доказательство

Поскольку является дифференцируемой функцией, то существует производная этой функции:
.

Рассмотрим функцию от независимой переменной x следующего вида:
.
По определению производной

.

То есть
.
Что и требовалось доказать.

Примеры

Все примеры Проиллюстрируем применение рассмотренных правил (1) и (2). Далее будут рассмотрены примеры, в которых нужно найти производные функций, зависящих от переменной x.
⇓,   ⇓,   ⇓,   ⇓,   ⇓.

Пример 1

Найти производную функции
.

Решение

Функция     не содержит переменную x. Поэтому она является постоянной. Поскольку производная постоянной функции равна нулю, то производная заданной функции равна нулю:
.

Ответ

.

Пример 2

Найти производную функции от переменной x:
.

Решение

Здесь является постоянной. Выносим ее за скобки и используем таблицу производных:
.

Ответ

.

Пример 3

Найдите производную:
.

Решение

Применим свойство логарифма
.
Тогда
.
Выносим постоянную 6 за скобки и применяем таблицу производных:
.

Ответ

.

Пример 4

Продифференцировать функцию от переменной x:
.

Решение

Применим свойство экспоненты
.
Тогда
.
Но     является постоянной, не зависящей от переменной величиной. Выносим ее за скобки и используем таблицу производных:
.

Ответ

.

Пример 5

Продифференцировать по переменной x функцию, состоящую из корней:
.

Решение

Преобразуем корни в степенную функцию, применяя свойства корней:
;
;
;
;
.

Выносим постоянную     за скобки и применяем правило дифференцирования степенной функции из таблицы производных:
.
Тогда
.
Приведем корни к одинаковой степени и упростим результат:
.

Ответ

.

Производная в задачах с параметром

На этой странице вы узнаете

• Как функция отражается в зеркале?
• Как не запутаться в точках минимума и максимума при расстановке знаков на прямой?
• Может ли касательная к функции пересекать ее в другой точке?

Что может рассказать о себе функция и как раскрыть ее секреты? Как узнать поведение функции, не видя ее график? Подробнее об этом в статье.  

Производная в задачах с параметром

С помощью производной можно многое сказать о функции: где она возрастает или убывает, какие точки экстремума у нее есть, можно даже найти касательную к функции. Поэтому перед прочтением статьи рекомендуем ознакомиться с понятиями «Производная» и «Исследование функции с помощью производной». 

Вспомним несколько важных фактов, которые относятся к производной:

• производная положительна на участках возрастания функции;
• производная отрицательна на участках убывания функции;
• производная равна 0 в точках экстремума. 

Представим, что мы решили покататься на велосипеде по городу. Участки, на которых мы будем ехать в гору — это участки возрастания функции. Производная в них будет положительна: мы тратим много сил, чтобы подняться по склону вверх.

Остановимся на вершине, чтобы полюбоваться красивой панорамой. Это самая высокая точка горы— точка максимума, которая является экстремумом.  

Теперь спустимся с горы. Будем ли мы прикладывать силы? Нет, велосипед все сделает за нас. То есть производная отрицательна.

Скатившись с горы, мы попадем в самую низкую точку на рельефе, то есть в точку минимума. 

Чуть подробнее про точки минимума и максимума: 

• В точке минимума производная функции меняет знак с минуса на плюс. 
• В точке максимума производная функции меняет знак с плюса на минус. 

Рассмотрим, как эти знания могут пригодиться в решении задач с параметром. 

Как функция отражается в зеркале? Отражением функции в зеркале будет ни что иное, как производная. Именно она с точностью описывает поведение функции, ее характер и внешность.  Поскольку графики функции и производной несколько отличаются друг от друга, то это будет скорее отражение в кривом зеркале, чем в обычном.

Пример 1. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции f(x) = x³ — 48x — a равно -133 на отрезке [-5; -2]?

Решение.  

Шаг 1. Для начала найдем производную функции. 

f'(x) = 3x² — 48 = 3(x² — 16) = 3(x — 4)(x + 4)

Тогда точки экстремума будут равны x = 4 и x = -4. В этих точках производная функции будет менять знак на противоположный.

Шаг 2. Определим, какая из получившихся точек будет точкой максимума, а какая точкой минимума. 

Как не запутаться в точках минимума и максимума при расстановке знаков на прямой? Можно показать стрелочками направление функции: на промежутках с минусом стрелочки смотрят вниз, а на положительных промежутках— вверх. Так мы условно показываем график функции, а значит, можем увидеть точки минимума и максимума визуально.

В точке -4 производная функции меняет знак с минуса на плюс, а значит, это точка минимума. 

В точке 4 функция меняет знак с плюса на минус — это точка максимума. 

Нас интересует значение функции на определенном отрезке, а именно от -5 до -2. Если мы отметим этот участок на прямой, то в него войдет только точка минимума. 

На минутку вспомним нашу поездку на велосипеде. 

Допустим, мы едем по получившейся числовой прямой, включив в точке —5  фитнес-браслет для контроля пульса. От точки —5 о точки —4 будет спуск с горы, а  от точки —4 до 4 будет подъем в гору. 

Браслет был слабо заряжен, и в точке —2 он сел. Мы не успели подняться до вершины горы в точке 4 и спуститься с нее с включенным браслетом. 

Вопрос: через какую самую низкую точку на маршруте мы проехали, пока работал фитнес-браслет? Через точку минимума, то есть -4. 

Рассмотрим эти же рассуждения на языке математики: до точки -4 функция убывает, а от -4 до 4 возрастает, после точки 4 снова убывает. Если рассмотреть отрезок от -5 до -2, то от -5 до -4 функция убывает, от -4 до -2 функция возрастает. То есть в точке минимума функция точно будет принимать наименьшее значение.  

Шаг 3. Следовательно, f_наим = f(-4) = (-4)³ — 48 * (-4) — a = -64 + 192 — a = 128 — a

4. По условию наименьшее значение функции должно быть -133, откуда 128 — a = -133
a = 261

Ответ: 261

Касательная к графику

Касательная к графику — это прямая, которая имеет с графиком только одну общую точку.

Могут возникнуть вопросы: как задать касательную к графику с помощью уравнения? Как найти координаты точки касания? Как она связана с самой функцией? И на все эти вопросы дает ответ производная функции. 

Геометрический смысл производной: если провести касательную к функции в некоторой точке, то производная функции в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона. 

То есть если мы найдем производную в точке касания, то найдем и угол наклона касательной. 

Рассмотрим некоторую функцию и касательную к ней. Пусть их общая точка будет в х₀, также возьмем произвольную точку в х.  

Заметим, что касательная к графику задана уравнением y = kx + b, где k — коэффициент наклона прямой, а следовательно, k = tg(BAC)

Найдем тангенс угла наклона:

\(tg(BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{y — y_0}{x — x_0}\). 

Пусть функция, к которой проведена касательная — это f(x). По геометрическому смыслу производной получаем:

\(f'(x_0) = \frac{y — y_0}{x — x_0}\)

Мы взяли точку х₀, поскольку по геометрическому смыслу производной нам нужна именно точка касания, а не произвольная точка. 

Выразим у:

f'(x₀) * (x — x₀) = y — y₀
y = y₀ + f'(x₀) * (x — x₀)

Немного поменяем обозначения. Поскольку y и f(x) — это одно и то же, то получаем:

y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀).

Мы получили уравнение касательной:

y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀)

Допустим, нам дана произвольная прямая y = kx + b. Как понять, при каких коэффициентах она будет касательной к графику функции?

Для этого достаточно выполнение одной из двух систем:

Может ли касательная к функции пересекать ее в другой точке?  Ранее мы встречались с касательной к «Окружности». У них много общего с касательной к графику, но есть одно отличие. Касательная к окружности не может пересечь ее в другой точке, а вот касательная к функции может.  Мы не зря говорим про касательную в точке. Поскольку функция может иметь сложный график, касательная, проведенная к одной точке, может пересечь функцию в другом месте. Пример на изображении ниже.

Рассмотрим, где можно применить касательную к функции в задачах с параметром. 

Пример 2. Дана парабола y = x² + ax — 9, касательная к ней проходит через точку (0; -34). При каких значениях параметра а значение функции в точке касания равно 10 при положительных значениях х? 

Решение. 2 — 25 = 0\)
(x₀ — 5)(x₀ + 5) = 0
x₀ = 5 и x₀ = -5

Поскольку по условию х₀ должно быть положительно, получаем x₀ = 5. 

Тогда абсцисса точки касания равна 5, откуда можем найти значение функции в точке касания:

y = x² + ax — 9
y = 25 + 5a — 9
y = 16 + 5a

По условию, значение функции в точке касания равно 10, отсюда:

10 = 16 + 5a
5a = -6
a = -1,2

Ответ:  — 1,2

Фактчек

• С помощью производной можно проанализировать функцию, а именно найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, наибольшее или наименьшее значение функции. 
• Касательная к графику — прямая, которая имеет с графиком только одну общую точку. 
• Касательная задается уравнением y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀). 
• Чтобы найти значения коэффициентов в уравнении прямой, при которых она будет касательной к графику, достаточно выполнение одной из двух систем:

Термины

Точки экстремума — точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на отрезке.  

Проверь себя

Задание 1.
В каких точках производная равна 0?

1. В точках экстремума.
2. В точках, где функция возрастает.
3. В точках, где функция убывает.
4. Производная не может быть равна 0.

Задание 2. 
Чему равна производная функции?

1. Тангенсу касательной, проведенной к функции.
2. Котангенсу касательной, проведенной к функции.
3. Синусу касательной, проведенной к функции.
4. Косинусу касательно, проведенной к функции. 

Задание 3.
Как выглядит уравнение касательной?

1. y = f(x₀) — f'(x₀) * (x — x₀)
2. y = f(x) + f'(x₀) * (x — x₀)
3. y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀)
4. y = f(x₀) + f'(x₀) *(x₀ — x)

Задание 4.
Чему равен коэффициент наклона k в уравнении прямой y=kx+b?

1. Первообразной функции. x$ , потому что его наклон любой точки равен 1. Кроме того, это иррациональное ($2,71828\ldots$) число, которое никогда не заканчивается, как $\pi $.

   Итак, у меня есть два вопроса, я не могу понять

   1. Что такого особенного в том факте, что его наклон всегда равен 1?
   2. Где мы, люди, используем это число, которое так полезно, как г-н Эйлер придумал это число?

   и почему это число является константой? где мы можем найти это число в природе?

   • исчисление
   • производные
   • константы
   $\endgroup$

   3 9{i\pi} + 1 = 0$$ Как и константа $π, e$ иррационально: это не отношение целых чисел; и он трансцендентен: он не является корнем любого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами.

   $\endgroup$

   6

   Зарегистрируйтесь или войдите в систему

   Зарегистрируйтесь с помощью Google

   Зарегистрироваться через Facebook

   Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

   Опубликовать как гость

   Электронная почта

   Требуется, но никогда не отображается

   Опубликовать как гость

   Электронная почта

   Требуется, но не отображается

   Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

   исчисление – Нахождение количества решений уравнения по производной

   спросил 3 года, 4 месяца назад

   Изменено 3 года, 4 месяца назад

   Просмотрено 601 раз

   $\begingroup$

   Сегодня мой учитель дал нам этот вопрос в классе, чтобы подумать дома. Я просмотрел свой учебник, пытаясь найти способ ответить на этот вопрос, но я понятия не имею, как найти количество решений $g(x)=0$, учитывая, что у меня есть только график его производной, $g’ $.

   • исчисление
   • функции
   • производные

   $\endgroup$

   1

   $\begingroup$

   На самом деле может быть до $2$ решений для $g(x) = 0$, так как график $g(x)$ в основном представляет собой вогнутую вверх параболу с минимумом вершины при $x = 0$ . Таким образом, если критическая точка $g'(0) = 0$ возникает при $g(0) \lt 0$, то поскольку $g'(x) \lt 0$ при $x \lt 0$, это означает $g(x)$ убывает при $x \lt 0$ и, таким образом, может пересекать ось $x$ сверху вниз где-то в $(a,0)$. Точно так же, поскольку $g'(x) \gt 0$ при $x \gt 0$, это означает, что $g(x)$ возрастает при $x \gt 0$ и, таким образом, может переходить снизу вверх ось $x$ где-то в $(0,b)$.