Главная
Производная от функции в функции: Дифференцирование функции, заданной неявно

Производная от функции в функции: Дифференцирование функции, заданной неявно

34. Производная от функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал.

Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю.

Производная функции f(x) есть некоторая функция

f ’(x), произведенная из данной функции.

Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x) ).

Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

35.

Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функции. Производные сложных функций.

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

36. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование – в некоторых случаях целесообразнее функцию сначала прологарифмировать, а результат продифференцировать.

Однако производные степенных функций находят только логарифмическим дифференцированием.

Производная степенно-показательной функции равна сумме производно показательной функции, при условии

U=const, и производной степенной функции, при условии V=const.

37. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞, который основан на применении производных.

Правило Лопиталя, при 0 / 0.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращается в нуль в этой точке: .

Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x0

Если существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [x0;x], лежащего в окрестности точки x0 , тогда

, где с лежит между x0 и х.

При x→x0 величина с также стремится к х0; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как , то.

Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в этой окрестности

Если существует предел

, то

Неопределенности вида 0∙∞ ; ∞-∞ ; 1

∞ ; ∞0 ; 00сводятся к двум основным.

Например, 0∙∞

Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х0

38. Дифференциалы высших порядков.

Пусть y=f(x) дифференцируема функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда дифференциал dy=f ′(x)dx есть также функция х, можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала есть второй дифференциал.

Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Дифференциалn-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Функция и производная: что это и чем они отличаются

Основной базой для всех учений, познающих мир, является математика. Точная наука использует формализованный язык и изучает порядок, структуру и отношения на выбранных абстрактных объектах. Не всем обучающимся нравится математика из-за её сложности и запутанности, а, скорее всего, из-за непонимания.

Прочные изменения в отношении к математике потребуют увлеченности, сосредоточенности, последовательности, даже упрямства и, главное, практических решений. В изучении важно шаг за шагом разбираться изначально в простом и постепенно переходить к более сложному, не оставляя непонятного и непродуманного.

Существуют много различных разделов математики уже достаточно изученных и появившихся недавно. Далее рассказывается об азах математического анализа – основных начальных понятиях, определениях и правилах исследования простых функций одной переменной, производной и дифференцирования.

У студентов начальных курсов вузов появился афоризм: «Математика становится по-настоящему сложной, когда из неё пропадают цифры». И действительно, к пониманию некоторых определений и законов математической науки приближаются путем решения по правилам на конкретных примерах.

Основные определения

Начнем с терминологии – с простых общих смысловых значений первичных определений:

  • Переменная – величина или символ, может принимать любое из ряда значений в

определенной области (вес или рост ребенка)

  • Функция – назначение, работа, деятельность, определенное действие над переменной, обозначим f(x) (зависимость веса ребенка от его роста)
  • Предел – лимит, граница, край (горизонт – граница обзора)
  • Производная – образованная, вторичная, проистекшая от другого, обозначим f’(x) (скорость при движении)
  • Дифференциал – разность, различие, разделение.

Функция это просто

Функция – это результат того, что она делает с переменной, что является итогом вычисления.  Это взаимосвязь элементов, при которой изменение одного переменного обуславливает изменение в другом. Разделяют f(x) на простые и сложные.

Для отображения зависимостей используются следующие способы: алгебраический, графический, табличный, логический и даже программные.

Определяют числовые зависимости алгебраически с использованием символов переменных, равенств и неравенств (≤ и >), строится уравнение вида: y = f(x), здесь x — переменная или аргумент, а y или f(x) — функция. Каждому конкретному значению переменной x из допустимой области определения соответствует определенное значение y для заданной f (x).

На рисунке ниже представлены простые графики 3-х различных соотношений. Видно, что в f(x) 3 получается наибольшее значение y при х конкретном, в f(x) 1 — наименьшее.

Функция

Различают следующие элементарные выражения: линейная (прямая), квадратичная (парабола), кубическая, гипербола, показательная, логарифмическая, тригонометрические (приведены в таблице ниже).

Для анализа каждого вида f(x) определяют присущие им свойства (перечислены ниже), для этого используют понятия производной и дифференциала.

Производная функции

Производная – оператор, который для исходной f(x) по законам дифференцирования ставит в соответствие другую функцию, она характеризует изменение первичной f(x) аргумента x в некоторой точке. Для её детального понимания следует разобраться с более сложными определениями предела зависимости и дифференцирования.

Предел – это определение динамическое. Выражение, что x стремится к n, понимают так – х обретает значения, которые близко приближаются к п и разнятся на мизерную величину.

Дифференциал – малое изменение какой-то величины. Приращение назовем дельтой.

Производной для f(x) в точке является предел деления дельты функции к дельте переменной в данной точке, если последняя стремится к 0.

Характеристика скорости изменения зависимости в данной точке, геометрически её можно показать, как значение tg угла наклона альфа касательной к функции.

Производная

Зависимость называется дифференцируемой, если определена f’(x). Нахождение производной называется дифференцированием. Правила вычисления f’(x) и соответствия f’(x) от элементарных f(x) приведены в таблице ниже

Производная функции также функция

Каждая зависимость имеет определенные свойства, зная и исследуя их можно анализировать характер состояния и изменения f(x).

Основные свойства:

  • Данные промежутков определений и промежутков значений.
  • Нулевые значения f(x)
  • Функция возрастает или убывает в некоторых промежутках.
  • Точки MAX и MIN функции, есть ли перегиб.
  • Четная или нечетная f(x)
  • Ограниченная и неограниченная функция.
  • Есть ли асимптоты.
  • Периодичность f(x).

Функции и производные

При установлении характеристик зависимости с помощью производной используют взаимосвязи свойств f’(x) со свойствами f(x) и наоборот. На графике функции легко определяются характеристики f’(x), и наоборот по графику f’(x) понимаются характеристики первичной f(x). Фиксируя сущность каждой особенности функции, исследуют и устанавливают цепочку связей. Для определения асимптот в графиках используют понятие пределов.

Ниже приведены некоторые характеристики и зависимости f’(x) от f(x):

  • При возрастании f(x) на промежутке, f’(x) положительна.
  • В случае убывания f(x) на промежутке, f’(x) отрицательна.
  • При наличии f(x) точки MAX, в ней f’(x)=0 может не определена, и tg угла касательной меняет знак с + на -.
  • При наличии f(x) точки MIN, в ней f’(x)=0 может не определена, и tg угла касательной меняет знак с – на +.
  • При перегибе в Е графика f(x) значение f’(x) не поменяло в точке знак, f’(x)=0.

Перегиб в точке Е графика функции

Для исследования f(x) составляют схему, где каждый шаг строится по определенному алгоритму вычислений и анализа взаимосвязей составляющих элементов.

Различия функции и производной

Правила сложения и вычитания f(x) одинаковы с правилами этих действий при дифференцировании. Но правила нахождения f’(x) при действиях умножения и деления функций другие (как в таблице).

Функция первична, а производная – произведенная вторичная математическая операция, у них в большинстве случаев разные характеристики.

Точку перегиба непрерывной зависимости находят по её второй производной, должен меняться её знак в районе точки х0.

Есть такие типы функций не имеющих f’(x) в точке x0 (разрывные). В выражении ln(|x|-1) не определена в точке x0=1 производная.

Есть выражения «по модулю» аналогичные y=|x|, которые имеет излом в х0.

Для подобных зависимостей применяются лишь частично (на промежутках области определения) способы исследования их свойств с помощью производных и не всегда возможен переход от свойств f’(x) к свойствам первичной.

Нигде не обойтись без исключений из правил, и даже в математике. С целью разбора и закрепления изложенного материала обязательно следует порешать примеры, напрактиковаться, набраться опыта с пределами, дифференциалами и производными и смело переходить к интегралам.

НаукаКомментировать

7. Дифференцирующие степени функции

М. Борна

Функция функции

Если y является функцией u , а u является функция x , тогда мы говорим

“ y является функцией функции u “.

Пример 1

Не пропустите…

В этом разделе:
Цепное правило
Силовое правило

Рассмотрим функцию

y = (5 х + 7) 12 .

Если мы допустим u = 5 x + 7 (самое внутреннее выражение), то мы могли бы записать нашу исходную функцию как

у = у 12

Мы записали х как функцию х , и, в свою очередь, х является функцией х .

Это жизненно важное понятие для дифференциации, поскольку многие из функций, с которыми мы столкнемся в дальнейшем, будут функциями функций, и нам необходимо распознать их, чтобы правильно их дифференцировать.

Цепное правило

Чтобы найти производную функции от функции, нам нужно использовать цепное правило:

`(dy)/(dx) = (dy)/(du) (du)/(dx)`

Значит нам нужно

  1. Распознайте `u` (всегда выбирайте самое внутреннее выражение, обычно часть в квадратных скобках или под знаком квадратного корня).
  2. Затем нам нужно повторно выразить `y` через `u`.
  3. Затем мы дифференцируем `y` (относительно `u`), затем мы заново выражаем все через `x`. 9(-1//2)=1/кв.м`? См.:

    • Отрицательные индексы
    • Дробные индексы

    Вы можете поиграть с этим примером на странице интерактивного апплета «Дифференциация».

    Производная степени функции (степенное правило)

    Расширением цепного правила является степенное правило для дифференцирования. Находим производную от от u n (степень функции):

    94` у нас есть мощность функции.

    Ответить

    Если положить у = 2 х 3 – 1, то у = и 4 .

    Итак, теперь

    • y записывается как степень u ; и
    • u является функцией x [ u = f ( x ) ].

    Чтобы найти производную от такого выражения, мы можем использовать наш новое правило: 92)`

    Поиграйте с этим примером задачи на странице интерактивного апплета «Дифференциация».

    python – Определить функцию, которая является производной от функции

    Мне было интересно, есть ли способ определить функцию, которая является производной от функции. Я новичок в python, поэтому я не очень, я устал искать вещи, которые могут быть похожими, но пока ничего не работает. Это то, что у меня есть для моего кода прямо сейчас.

     импортировать sympy как sp
импортировать математику
х = sp.Symbol('x')
W = 15 кН/м
E = 70 # ГПа
я = 52,9*10**(-6) #м**4
L = 3 #м
е = 0,01
х = 1,8
у = 9
защита f(x):
    return ( ( y*3*(math.pi**4)*E*I/(W*L)) - ( 48*(L**3)*math.cos(math.pi*x/(2* L)) ) + ( 48*(L**3) ) + ( (math.pi**3)*(x**3)) )/(3*L*(math.pi**3))* *(1/2)
определение производной(f,x):
    возврат sp.diff(f)
печать (дерв(f,x))

    Кроме того, я не понимаю, что делает x = sp.Symbol('x') , поэтому, если бы кто-то мог это объяснить, было бы здорово.

    Любая помощь приветствуется.

    • питон
    • функция
    • производная

    1

    Вы объединяете две разные вещи: функции Python, такие как f , и математические функции, которые вы можете выразить с помощью sympy, например y = π * x/3 . f — это функция Python, которая возвращает выражение sympy. sympy позволяет вам оставаться в мире символьных математических функций, определяя такие переменные, как x = sp.Symbol('x') Таким образом, вызов f() создает символьную математическую функцию, например:

    Вы можете использовать sympy, чтобы найти производную символьной функции , возвращенную с помощью f() , но вам нужно определить ее с помощью sympy-версий функции cos() (и sp.pi если вы хотите, чтобы это было символично).

    Например:

     импортировать sympy как sp
    
х = sp.Symbol('x')
   
W = 15 кН/м
E = 70 # ГПа
I = 52,9*10**(-6) #м**4
L = 3 #м
е = 0,01
х = 1,8
у = 9
защита f(x):
    return ( ( y*3*(sp.pi**4)*E*I/(W*L)) - ( 48*(L**3)*sp.cos(sp.pi*x/(2* L)) ) + ( 48*(L**3) ) + ((sp.pi**3)*(x**3)) )/(3*L*(sp.pi**3))* *(1/2)
определение производной(f,x):
    return sp.diff(f(x)) # передать результат f(), который является функцией sympy
Дерв (f, x)

    Вы запрограммировали функцию. кажется, что это простая функция двух независимых переменных x и y.

    Возможно, x = sp.Symbol('x') – это то, как SymPy определяет независимую переменную x. Я не знаю, нужен ли вам тот или иной для y.

    Вы достаточно знаете об исчислении, чтобы знать, что вам нужна производная. Вы знаете, как дифференцировать функцию одной независимой переменной? Это помогает узнать ответ до того, как вы начнете программировать.

     y*3*(math.pi**4)*E*I/(W*L)) - ( 48*(L**3)*math.cos(math.pi*x/(2*L )) ) + ( 48*(L**3) ) + ( (math.pi**3)*(x**3)) )/(3*L*(math.pi**3))** (1/2)

    Выглядит просто.

    Только один термин с y в нем. Частная производная w.r.t. y оставляет вас с 3*(math.pi**4)*E*I/(W*L) )

    Есть только один термин с C x**3 в нем. Это легко отличить: 3 C*x**2.

    Что сложного? В чем проблема?

    В традиционном программировании каждая написанная вами функция преобразуется в серию команд, которые затем отправляются в ЦП, и возвращается результат вычисления.

Оставить комментарий