Производная от интеграла определенного: Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике – Элементы математического анализа

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике – Элементы математического анализа

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

      Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат   Oty ,   ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать   Ot ,   а не   Ox   (рис. 1).

Рис.1

      Пусть   y = f (t)   – непрерывная на отрезке   [a, b]  функция, принимающая только положительные значения.

      Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции   y = f (t)   сверху, отрезком   [a, b]   снизу, а справа и слева отрезками прямых   t = a   и   t = b   (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Рис.2

      Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции   f (t)   в пределах от   a   до   b   и обозначают

(1)

      Формула (1) читается так: «Интеграл от   a   до   b   от функции   f (t)   по   dt»

      Определение 3. В формуле (1) функцию   f (t)   называют подынтегральной функцией, переменную   t   называют переменной интегрирования, отрезок   [a, b]  называют отрезком интегрирования, число   b   называют верхним пределом интегрирования, а число   a   – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

      Если обозначить   (x)   площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых   t = a   и   t = x   (рис. 3),

Рис.3

то будет справедлива формула

(2)

      Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

      Другими словами, справедлива формула

      Доказательство. Из формулы (2) следует, что

(3)

где через  Δx   обозначено приращение аргумента   x   (рис. 4)

Рис.4

      Из формул (3) и (2) получаем, что

(4)

где через  ΔS  обозначено приращение функции   S (x),   соответствующее приращению аргумента   Δx   (рис. 5)

Рис.5

      Если ввести обозначения

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

(5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx  и высотой   m,   и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx   и высотой   M.

      Из неравенства (5) следует, что

откуда, переходя к пределу при  Δx → 0,   получаем

      В силу непрерывности функции   y = f (t)   выполнено равенство

      По определению производной функции   S (x)   имеем

(6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

      Следствие 1. Функция   S (x)   является первообразной подынтегральной функции   f (x)  .

Теорема Ньютона – Лейбница

      Теорема Ньютона-Лейбница. Если   F (x)   – любая первообразная функции   f (x),   то справедливо равенство

(7)

      Доказательство. Поскольку   S (x)   и   F (x)   – две первообразных функции   f (x),   то существует такое число   c,  что выполнено равенство

      Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

(9)

      Подставив в формулу (9) значение   x =  a,  получаем равенство

(10)

      Заметим, что

(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой   t = a,   равна   0 .

      Из формул (10) и (11) следует, что

c = – F (a) ,

и формула (9) принимает вид

,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

      Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

      Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

      Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования   t ,   так и с любой другой переменной интегрирования, например,   x :

      Замечание 4.Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций   f (x),   но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

      Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = e – x,     y = 0,     x = 0,     x = ln 3.

      Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

Рис.6

      Найдем площадь этой криволинейной трапеции:

      Ответ.

      Задача 2. График функции   y = f (x)   изображен на рисунке 7.

Рис.7

Вычислить интеграл

(13)

      Решение. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции   y = f (x),   ограниченной снизу осью абсцисс   Ox   и ограниченной с боков отрезками прямых   x = 2   и   x = 9.   Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна   9,   а площадь трапеции равна   20.   Таким образом, интеграл (13) равен   29.

      Ответ.   29.

      Задача 3. Вычислить определенный интеграл

(14)

      Решение. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

      Ответ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Производная интеграла с переменным верхним пределом.

Пусть f(x) неопределенна на [a,b]. Возмем на нем произвольную т. x и рассмотрим определенный интеграл:

он сужествует для всех x и является ф-ей своего верхнего предела.

Теорема:

Пусть f(x) – непрерывна на [a,b], тогда ф-я (1) имеет производную в любой т. x, причем F’(x) = f(x).

Другими словами:

Производная от определенного интеграла по его верхнему пределу, равна значению подинтегральной ф-и в верхнем пределе.

Док-во:

Дадим аргументу x прирожение, что (x + ), тогда ф-я F получить прирощение

Применяем т. о Среднем значинии ф-ии:

Переходим к lim при

F’(x) =

  1. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть ф-я f(x)-непрерывна на [a,b], а ф-я F(x) первообразная. Тогда:

Док-во:

Рассмотрим ф-ю Ф(х) = . Эта ф-я является первообразной для f(x) на [a,b].

А любые две первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную.

Ф(х) = F(x) + C, т.е.

  1. Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть f (x) – непрерывная на отрезке [ab] функция, а функция и ее производная непрерывны на отрезке где Тогда справедлива формула

Доказывается по Ньютону-Лейбницу.

  1. Интегрирование четных и нечетных функций.

  1. Определенный интеграл. Интегрирование по частям.

Пусть ф-я f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобьем его на n-частей и составим интегральные суммы.

Число I называется пределом интегральных сумм:

ф-ии f(x) на отрезке [a,b], если для любого ε > 0 существует δ>0, что для любого разбиения отрезка [a,b] на части с длинами < δ, неравенство:

выполняются при любом выборе точек .

Если при любом разбиении отрезка [a,b] на части и при любом выборе точек на их интегральные суммы имеют один и тот же конечный предел, то этот предел называется определенным интегралом и обозначается:

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) – непрерывные функции, которые имеют непрерывные производные на отрезке [ab]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям:

  1. Нахождение площадей плоских фигур в прямоугольных координатах.

Пусть f(x) – непр. на [a,b] и a > b

1-й случай: 2-й случай:

3-й случай: 4-й случай:

5-й случай:

Пусть кривая ab задана параметрическими уравнениями:

где и непрер. Причем имеет непрерывную производную

α <= t <= β.

Тогда:

  1. Нахождение площадей плоских фигур в полярных координатах.

  1. Вычисление объемов тел вращения.

  1. Длина кривой в прямоугольных координатах. Длина кривой заданной в параметрической форме.

  1. Длина кривой в полярных координатах. Дифференциал длины дуги кривой.

  1. Несобственные интегралы первого рода. Теоремы сравнения.

Необходимым условием существования интеграла является ограниченность функции f(x). Поэтому интеграл от неограниченной функции в обычном смысле не существует. Однако, можно распространить определение определенного интеграла на неограниченные функции при помощи введения некоторых понятий.

Случай неограниченной области:

Пусть функция f(x) определена для всех x >= a и интегрируема на каждом конечном отрезке от a до b. Рассмотрим ф-ю аргумента b.

Если при b→+ ф-я I(b) имеет конечный предел, то мы называем несобственный интеграл – сходящимся.

Если при b→+ ф-я I(b) не имеет конечный предел, то мы называем несобственный интеграл – несходящимся.

Теоремы сравнения:

Тогда :1)

2)

Если для Больших х: , от .

23. Интеграл с переменным верхним пределом

Будем считать нижний предел интЕГрала постоянным, а верхний переменным. Придавая верхнему пределу различные значения, будем получать соответствующие значения интеграла; следовательно, при РассматриВаемом условии интеграл является функцией своего верхнего предела.

Остановимся на общепринятых обозначениях. Независимая ПереМенная в верхнем пределе обычно обозначается той же буквой, скажем Х, что и переменная интегрирования. Таким образом, например, записывают:

Однако переменная Х в подынтегральном выражении служит лишь вспомогательной переменной — переменной интегрирования, пробегающей в процессе составления интеграла (суммирования) значения от

А до Х — Верхнего предела интеграла. Если нам нужно вычислить частное значение функции , например, при , т. е. , то мы подставим B вместо X в верхний предел интеграла, но, разумеется, не будем подставлять B вмесТо переменной интегрирования. Поэтому нагляднее было бы употреблять такую запись:

Взяв для переменной интегрирования какую-нибудь другую букву (здесь T). Мы, однако, будем часто обозначать одной буквой и переменную интегрирования, и независимую переменную в верхнем пределе, всегда помня их различный смысл в символе интеграла.

Свойства интеграла, изученные в предыдущем параграфе, относятся и к интегралу с переменным верхним пределом.

Производная от интеграла. Весьма важно изучить связь между функцией и данной подынтегральной функцией .

ТеореМА IX (о производной интеграла по верхнему пределу). Производная от интеграла по его верхнему пределу равна подынтегральноЙ функции:

(*)

Доказательство. Придадим аргументу Х приращение . Тогда наращенное значение функции будет:

Значит,

Т. е.

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем (теорема VIII), найдем:

Где x — точка, лежащая между Х и .

По определению производной имеем:

Но если , то стремится к Х; поэтому и подавно , а так как НеПРерывная функция, то

Что и требовалось доказать.

Из теоремы следует также, что

(**)

Необходимо заметить, что результаты в формулах (*) и (**) Не зависят от обозначения переменной

Интегрирования; имеют место, например, такие равенства:

Рассмотрим геометрический смысл теоремы. Функция выражает переменную площадь криволинейной трапеции с переменным основанием , ограниченной линией . В теореме IX утверждается, что производная от площади трапеции по абсциссе равна ординате линии, ограничивающей трапецию (отрезок на рис. 8), или что дифференциал площади трапеции равен площади прямоугольника

ABDE со сторонами, равными соответственно приращению основания трапеции и ординате линии в крайней точке.

Итак, мы видим, что Производной оТ фУНкции является данная функция . Следовательно является Первообразной от функции .

Формула Ньютона — ЛейбНИца. Теперь мы подошли к завершаюЩЕму этапу наших рассуждений, позволяющему установить обходный путь для вычисления определенных интегралов.

Теорема Х. ЗначенИЕ определенного ИНтеграла равНО Разности зНАчеНИй любой первообразноЙ От подынтегральной функции, Взятых ПРи верхНЕм и НИжнем пределах интеграла:

где (*)

Равенство (*) называется

Формулой Ньютона — ЛейБНИЦа.

Другими словами,

Значение ОПределенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования.

Доказательство. Рассмотрим функцию

Так как она является первообразной от функции , Ее нужно искать среди функций Где какая-нибудь из первообразных от .

СледовательНО,

Где С1Некоторая определенная постоянНАя. Для отыскания ее воспользуемся еще одним известным нам свойством функции , а именно тем, что

Отсюда т. Е. Итак,

При получаем доказываемое равенство (*).

Разность значений функции записывают часто так:

Вертикальная черта с нижним и верхним индексами, стоящая справа от символа функции и называемая Знаком двойной подстановки, указывает, что из значения функции, принимаемого ею при верхнем индексе, нужно вычесть ее значение, принимаемое при нижнем индексе.

Воспользовавшись этим обозначением, формуле (*) можно придать вид

Причем,

Формула Ньютона — Лейбница дает нам замечательный ключ к вычислению определенных интегралов. Она позволяет находить определенный интеграл, обходя суммирование, при помощи первообразных функций. Для иллюстрации возьмем несколько простых примеров.

Так как есть первообразная от , то

Так как одной из первообразных от служит то

Одной из первообразных от ЕX является ЕX, в силу чего

Одной из первообразных от cos Х служит sin Х, поэтому

Если взять какие-нибудь другие первообразные от подынтегральных функций (т. е. отличающиеся от выше взятых на постоянные величины), то, очевидно, получим те же результаты.

Заметим теперь, что, так как есть первообразная от , то

Это можно записать так:

Мы пришли к несколько иному виду формулы Ньютона — Лейбница, позволяющему основную теорему этого пункта выразить так:

Приращение функции в интервале равно определенному интегралу по этому интервалу от дифференцИАла функции.

Формулы

(**)

Устанавливают точный характер связи между определенным интегралом и производной.

Эти формулы показывают, что если от какой-либо функции взять сначала интеграл с независимой переменной в качестве верхнего предела, а затем результат дифференцировать по этому пределу или, наоборот, сначала функцию дифференцировать, а затем интегрировать (с независимой переменной в качестве верхнего предела), то эта функция остается неизменной. Следует, однако, заметить, что в первом случае от функции требуется только непрерывность, а во втором — непрерывная дифференцируемость, причем результат в этом втором случае, строго говоря, остается не вполне неизменным: из взятой функции вычитаЕТся постоянная, зависящая от нижнего предела интеграла.

Окончательным, весьма важным результатом настоящего параграфа является достигнутый нами вывод, что Определенное интегрирование функций сводится к нахождению первообразных от этих функций.

Замечание. Теперь очень легко показать, что путь S, найденный нами при помощи интеграла (по скорости V), действительно совпадает с тем путем, исходя из которого была определена скорость. Пусть путь S как функция времени T задан так: . Тогда .

Поэтому

Откуда по формуле Ньютона — Лейбница (считая, что ) получаем:

Что и требовалось доказать.

< Предыдущая   Следующая >

Математический анализ. Часть I | Открытые видеолекции учебных курсов МГУ

Курс лекций «Математический анализ. Часть I» читается для студентов физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 1 семестре.

Первая часть курса знакомит студента с основными понятиями математического анализа, такими как числовая последовательность, предел последовательности, производная, дифференциал, комплексные числа, неопределенный и определенный интегралы.

Понятия математического анализа используются затем во всех последующих математических дисциплинах, а также в курсах общей и теоретической физики. Поэтому активное изучение учащимися курса анализа позволяет заложить фундамент для успешного восприятия более сложных понятий и в математике, и в различных разделах современной теоретической физики.

Излагаемый в данном курсе материал полностью соответствует действующей программе по математическому анализу для физических специальностей. При рассмотрении многих вопросов особое внимание уделяется приложениям математических понятий и утверждений в физике.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Вещественные числа. Часть 1..
Рациональные числа. Иррациональные числа Сравнение вещественных чисел Точные грани ограниченного числового множества 

Лекция 2. Вещественные числа. Часть 2..
Точные грани ограниченного числового множества  Арифметические действия над вещественными числами Некоторые числовые неравенства Геометрическое изображение вещественных чисел Некоторые числовые множества Понятие функции.

Лекция 3. Предел функции. Часть 1..
Определение предела функции (продолжение)

Лекция 4. Предел функции. Часть 2..
Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Лекция 5. Непрерывность функции. Часть 1..
Точки разрыва функции. Свойства пределов функций (начало)

Лекция 6. Непрерывность функции. Часть 2..
Свойства пределов функций (окончание) Теорема о существовании и непрерывности обратной функции Непрерывность элементарных функций (начало)

Лекция 7. Непрерывность функции. Часть 3..
Непрерывность элементарных функций (окончание) Замечательные пределы

Лекция 8. Производные функций..
Асимптотические формулы Производные и дифференциалы Производные некоторых элементарных функций Односторонние производные Физический и геометрический смысл производной Дифференциуемость и дифференциал функции

Лекция 9. Производные и дифференциалы. Часть 1..
Производные и дифференциалы. Дифференцируемость и дифференциал функции Правила дифференцирования Производная обратной функции

Лекция 10. Производные и дифференциалы. Часть 2..
Производные и дифференциалы. Дифференцируемость и дифференциал функции Правила дифференцирования Производная обратной функции

Лекция 11. Производные и дифференциалы. Часть 3..
Дифференциалы высших порядков (окончание) Вектор-функция и её производные

Лекция 12. Интегралы. Часть 1..
Первообразная и неопределённый интеграл Основные свойства неопределённых интегралов Два метода интегрирования

Лекция 13. Интегралы. Часть 2..
Интегрирование рациональных функций Понятие определённого интеграла Суммы Дарбу (начало)

Лекция 14. Интегралы. Часть 3..
Суммы Дарбу (окончание) Необходимое и достаточное условие интегрируемости Классы интегрируемых функций (начало)

Лекция 15. Интегралы. Часть 4..
Классы интегрируемых функций (окончание) Свойства определённого интеграла Формулы среднего значения Формула Ньютона — Лейбница (начало)

Лекция 16. Интегралы. Часть 5..
Формула Ньютона — Лейбница (окончание) Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле  Геометрические приложения определённого интеграла Физические приложения определённого интеграла (несколько слов)

Лекция 17. Числовые последовательности. Часть 1..
Числовые последовательности. Теорема о вложенных сегментах Предельные точки последовательности Критерий Коши сходимости последовательности (начало)

Лекция 18. Числовые последовательности. Часть 2..
Критерий Коши сходимости последовательности (окончание) Второе определение предела функции Критерий Коши существования предела функции Теоремы об ограниченности непрерывных функций

Лекция 19. Основные теоремы о непрерывных функциях..
Изучение свойств непрерывно дифференцируемых функций (продолжение) Вторая теорема Вейерштрасса Равномерная непрерывность функции Теорема Кантора Локальный экстремум

Лекция 20. Теоремы о непрерывных и дифф. функциях..
Правило Лопиталя. Формула Тейлора Формула Маклорена (начало)

Лекция 21. Исследование поведения функций. Часть 1..
Формула Маклорена Точки локального экстремума и промежутки монотонности

Лекция 22. Исследование поведения функций. Часть 2..
Исследование поведения функций и построение графиков Точки локального экстремума и промежутки монотонности функции (окончание) Направление выпуклости и точки перегиба графика функции Асимптоты графика функции Схема построения графика функции

Математика Тесты с ответами Тема 7-12

Для быстрого поиска по странице нажмите Ctrl+F и в появившемся окошке напечатайте слово запроса (или первые буквы)

 

Тема 7. Интегральное исчисление (часть 1)

Отметьте верные утверждения

совокупность всех производных функции называется неопределенным интегралом от этой функции

+неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого

+если в определение интеграла ʃ f(x)dx = F(x) + С вместо аргумента х подставить выражение (kх + b), то это приведет к появлению дополнительного множителя 1/k перед первообразной

+производная от первообразной для некоторой функции равна самой этой функции

функция F(x) = 2х является первообразной для функции f(x) = х2.

Производная функции  имеет вид …

а)

б)

в)

+г)

Неопределенный интеграл от функции – это.

одна первообразная функции

совокупность всех производных функции

совокупность всех дифференциалов функции

площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и еще двумя прямыми

+совокупность всех первообразных функции

Отметьте верные утверждения:

+a) ʃ dF(x)=F(x)+C, C – const

b) d(ʃ f(x)dx) = ʃ f(x)dx

+c) ʃ (f1(x)+f2(x))dx = ʃ f1(x)dx+ ʃ f2(x)dx

d) ʃ dF(x)=C*F(x), C – const

e) (ʃ f(x)dx)’ = dx

 

Друзья, более 600 собак Воронежского приюта Дора очень нуждаются в поддержке! Приют бедствует, не хватает средств на корм и лечение.  Не откладывайте добрые дела, перечислите прямо сейчас любую сумму на «Голодный телефон» +7 960 111 77 23 или карту сбербанка . По всем вопросам обращаться +7 903 857 05 77 (Шамарин Юрий Иванович) 

 

Производная произведения (x+2)exравна …

а) ex

б) –ex(x+1)

+в) ex(x+3)

г) ex-1(e+2x+x2)

 

Тема 8. Интегральное исчисление (часть 2)

Отметьте верные утверждения:

+a) функция F(x)=x3/3+6,5 является первообразной для f(x)=x2

+b) совокупность все первообразны функций называется неопределенным интегралом от этой функции

c) функция F(x)= x2 является первообразной для f(x)= x3/3

d) – правильная дробь

+e)  – рациональная дробь

Множество первообразны функции f(x)=1/(2-2x) имеет вид …

1)

2)

+3)

4)

К методам интегрирования относятся:

+интегрирование по частям

+метод нелинейной подстановки

+ метод линейной подстановки

метод Гаусса

дифференцирование

Отметьте верные утверждения:

+a) если F(x) – некоторая первообразная для f(x). то все функции вида F(x) + С. где С – произвольное число, также являются первообразными для f(x)

b) если F(х) – некоторая первообразная для f(x). то все функции вида C*F(x). где. С – произвольное число, также являются первообразными для f(x)

+c) интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

+d)  – правильная дробь

e) дробь  НЕ является рациональной

Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если…

хотя бы в одной точке х этого промежутка F ‘(x) = f(x)

+если в каждой точке х этого промежутка F ‘(x) = f(x)

хотя бы в одной точке х этого промежутка f ‘(x) = F(x)

если в каждой точке х этого промежутка f ‘(x) = F(x)

 

Тема 9. Интегральное исчисление (часть 3)

Определенный интеграл – это (отметьте верные утверждения)…

для неположительной функции площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, прямыми х = а, х = b и осью абсцисс

предел производной функции при стремлении аргумента к нулю

разложение неопределенного интеграла на множители

+для неположительной функции площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, прямыми х = а, х = b и осью абсцисс, взятая со знаком минус

+предел интегральной суммы при стремлении наибольшей из длин отрезков к нулю

Интегральная сумма – это…

предел суммы произведений длин отрезков, на которые разбит отрезок интегрирования на значения функции в точках этих отрезков

формула Ньютона-Лейбница

неопределенный интеграл

+сумма произведений длин отрезков, на которые разбит отрезок интегрирования, на значения функции в точках этих отрезков

определенный интеграл

Для рационализации интеграла можно использовать:

дифференцирование пределов интегрирования

+подстановки Эйлера

+замену переменной

+выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента с последующей заменой переменной

замену неопределенного интеграла на определенный

Отметьте верные утверждения:

+определенный интеграл – это определенное число

все свойства определенного интеграла аналогичны свойствам неопределенного интеграла

неопределенный интеграл – это определенное число

+производная от интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу равна подынтегральной функции

+постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

Отметьте верные утверждения:

+1) если F(x) – некоторая первообразная для f(x). то все функции вида F(x) + С. где С – произвольное число, также являются первообразными для f(x)

2) если F(х) – некоторая первообразная для f(x). то все функции вида C*F(x). где. С – произвольное число, также являются первообразными для f(x)

+3) интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

+4)  – правильная дробь

5) дробь  НЕ является рациональной

 

Тема 10. Матрицы

Матрицы имеют одинаковую размерность. Если Е – единичная матрица того же размера, что и матрицы А,В,С , и матрица С=3А+В–Е , тогда верно равенство

Е=С–3А–В

+В=С–3А+Е

С–Е=3А+В

А=С–В+Е
Если  , то матрица 4А имеет вид …

+а)

б)

в)

г)

Определитель  равен …

95

83

87

+91

Даны матрицы  и . Тогда А+В равно …

а)

+б)

в)

г)

Определитель  равен …

+а) а11а22 – а12а21

б) а11а12 – а21а22

в) а21а22 – а11а12

г) а11а21 – а12а22

 

Тема 11. Основные свойства определителей

Для матрицы  не существует обратной, если x равно …

а) –π/6

+б) π/2

в) π/3

г) –π/4

При перестановке местами двух столбцов матрицы ее определитель

не меняется

+умножается на (-1)

становится равным нулю

Если матрица содержит одинаковые строки, то ее определитель равен …

1

+0

неизвестному числу

Если строка матрицы состоит из одних нулей, то определитель матрицы равен

1

+0

неизвестному числу

Для матрицы  не существует обратной, если значение x равно …

     1

   –2

+  2

   –1

 

Тема 12. Ранг матрицы

Что такое ранг матрицы?

порядок обратной матрицы

+наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы

отличный от нуля определитель матрицы

Какие преобразования матрицы относятся к элементарным?

+умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля

прибавление к каждому элементу строки или столбца одного и того же числа

вычитание другой матрицы

+изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

Если система линейных уравнений имеет более одного решения, то такая система…

+Совместная

Несовместная

+неопределенная

У какой из этих матриц ранг может равняться четырем?

квадратная матрица третьего порядка

+матрица размерности четыре на пять

матрица размерности три на четыре

Если система линейных уравнений имеет только одно решение, то такая система.

неопределенная

+определенная

несовместная

Производная интеграла: интуиция и примеры

Давайте поговорим о том, что такое производная от интеграла. Этот вопрос задают многие читатели. Кажется, что все мы знаем, что существует связь между производной и интегралом, но мы совершенно не можем ее запомнить. На этой странице я хочу изучить эту тему и подробно все объяснить, чтобы вы могли не сомневаться в этом.

Производная неопределенного интеграла

В исчислении есть различие между неопределенным и определенным интегралом.Определение неопределенного интеграла данной функции: функция, производная которой является данной функцией. Мы подробно рассказали об этом на странице о неопределенных интегралах.

Это определение фактически говорит нам, какова производная интеграла. Фактически, у нас есть

То есть производная интеграла равна функции, которую вы интегрируете . Нам нужно осознать тот факт, что приведенное выше уравнение верно из-за определения неопределенного интеграла.Нам не нужно ничего доказывать. Просто по определению.

Вот почему вы всегда можете проверить свой ответ на проблему интеграции, взяв производную от того, что вы получили, и показать, что она равна функции, которую вы интегрируете.

Вы можете сохранить изображение приведенного выше уравнения в постоянной памяти жесткого диска: производная неопределенного интеграла равна функции, которую вы интегрируете.

Теперь поговорим о случае определенных интегралов.

Производная определенного интеграла

Говоря о производной и определенном интеграле, мы должны говорить о фундаментальной теореме исчисления.Определение определенного интеграла гораздо более интуитивно понятно, чем определение неопределенного интеграла.

Определенный интеграл функции на заданном интервале определяется как площадь под графиком функции внутри данного интервала. Мы подробно говорили об этом на страницах, посвященных определенному интегралу и основам исчисления.

На этих страницах мы пришли к выводу, что если у вас есть примитив F функции f, то

Эта формула дает эффективный метод вычисления определенных интегралов.На странице, посвященной фундаментальной теореме исчисления, мы сосредоточились на том, чтобы показать интуицию, лежащую в основе этой формулы, и ее доказательство.

Однако по пути мы узнали кое-что интересное. Например, мы определили очень интересную функцию

Эта функция выдает площадь под графиком на интервале [a, x]. Особенность в том, что это зависит от переменной x. Чтобы доказать основную теорему исчисления, мы фактически вычислили производную от F. И оказалось, что производная этой функции равна

.

Разве это не интересно? Используя обозначения Лейбница, мы можем увидеть эту формулу с другой точки зрения.Берем производную от определенного интеграла

Это уравнение говорит нам, как вычислить производную от определенного интеграла. Обратите внимание, что эта формула работает для любого a и любого x.

Эта формула имеет очень интересную интуитивную интерпретацию. Как мы уже говорили, функция F, заданная интегралом в уравнении, дает площадь под графиком от a до x. Формула говорит нам, как эта область меняется при изменении x. Производная дает нам скорость изменения функции, помните?

На словах уравнение говорит, что скорость изменения площади под графиком от a до x равна высоте формы в крайнем случае, соответствующем x.

На странице, посвященной фундаментальной теореме исчисления, где я использовал букву A для обозначения F, я использовал следующую картинку, чтобы объяснить эту концепцию.

Здесь мы рассматриваем красную область выше как функцию точки x на оси x. Как показано на рисунке, скорость изменения площади A ‘(x) равна высоте в точке x, которая определяется как f (x).

Я думаю, что это решает вопрос о производной целостности. Если у вас все еще есть сомнения или вы хотите обсудить проблему, оставьте мне комментарий ниже.Я с радостью вам помогу.

Calculus – документация SymPy 1.8

В этом разделе рассказывается, как выполнять основные вычислительные задачи, такие как производные, интегралы, пределы и разложения в ряды в SymPy. Если вы не знакомы с математикой любой части этого раздела, вы можете спокойно пропустить его.

 >>> из импорта sympy *
>>> x, y, z = символы ('x y z')
>>> init_printing (use_unicode = True)
 

Деривативы

Для получения производных используйте функцию diff .{x y z} \).

 >>> выражение = ехр (х * у * г)
>>> diff (expr, x, y, y, z, z, z, z)
 3 2 ⎛ 3 3 3 2 2 2 ⎞ x⋅y⋅z
x ⋅y ⋅⎝x ⋅y ⋅z + 14⋅x ⋅y ⋅z + 52⋅x⋅y⋅z + 48⎠⋅ℯ
>>> diff (expr, x, y, 2, z, 4)
 3 2 ⎛ 3 3 3 2 2 2 ⎞ x⋅y⋅z
x ⋅y ⋅⎝x ⋅y ⋅z + 14⋅x ⋅y ⋅z + 52⋅x⋅y⋅z + 48⎠⋅ℯ
>>> diff (expr, x, y, y, z, 4)
 3 2 ⎛ 3 3 3 2 2 2 ⎞ x⋅y⋅z
x ⋅y ⋅⎝x ⋅y ⋅z + 14⋅x ⋅y ⋅z + 52⋅x⋅y⋅z + 48⎠⋅ℯ
 

diff также можно назвать методом.Два способа вызова diff : точно так же, и предоставляются только для удобства.

 >>> expr.diff (x, y, y, z, 4)
 3 2 ⎛ 3 3 3 2 2 2 ⎞ x⋅y⋅z
x ⋅y ⋅⎝x ⋅y ⋅z + 14⋅x ⋅y ⋅z + 52⋅x⋅y⋅z + 48⎠⋅ℯ
 

Чтобы создать неоцененный производный инструмент, используйте класс Производный инструмент . Он имеет тот же синтаксис, что и у diff .

 >>> производная = производная (выражение, x, y, y, z, 4)
>>> производное
     7
    ∂ ⎛ x⋅y⋅z⎞
────────── ⎠
  4 2
∂z ∂y ∂x
 

Чтобы оценить неоцененную производную, используйте метод doit .

 >>> производное.doit ()
 3 2 ⎛ 3 3 3 2 2 2 ⎞ x⋅y⋅z
x ⋅y ⋅⎝x ⋅y ⋅z + 14⋅x ⋅y ⋅z + 52⋅x⋅y⋅z + 48⎠⋅ℯ
 

Эти неоцененные объекты полезны для отсрочки оценки производная или для печатных целей. Они также используются, когда SymPy не знать, как вычислить производную выражения (например, если оно содержит неопределенную функцию, которая описана в Решении Раздел Дифференциальные уравнения).

Производные неуказанного порядка могут быть созданы с использованием кортежа (x, n) , где n – это порядок производной по отношению к x .

 >>> m, n, a, b = символы ('m n a b')
>>> expr = (a * x + b) ** m
>>> expr.diff ((x, n))
  п
 ∂ ⎛ m⎞
───⎝ (a⋅x + b) ⎠
  п
∂x
 

Интегралы

Чтобы вычислить интеграл, используйте функцию интегрировать . Есть два вида интегралов, определенных и неопределенных.Чтобы вычислить неопределенный интеграл, то есть первообразной или примитивной, просто передайте переменную после выражение.

 >>> интегрировать (cos (x), x)
грех (х)
 

Обратите внимание, что SymPy не включает константу интегрирования. Если вы хотите, вы можете добавить его сами или перефразировать вашу задачу в виде дифференциального уравнения и используйте для его решения dsolve , который добавляет константу (см. Решение дифференциальных уравнений).

Чтобы вычислить определенный интеграл, передайте аргумент (интегральная_переменная, нижний_ предел, верхний_ предел) .{2}} \, dx \, dy, \]

до

 >>> интегрировать (exp (-x ** 2 - y ** 2), (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))
π
 

Если интегрировать не может вычислить интеграл, он возвращает неоцененный Интегральный объект .

 >>> expr = интегрировать (x ** x, x)
>>> печать (выражение)
Интеграл (x ** x, x)
>>> expr
⌠
⎮ х
⎮ x dx
⌡
 

Как и в случае с производной производной , вы можете создать неоцененный интеграл, используя Интеграл .Чтобы позже оценить этот интеграл, позвоните по номеру doit .

 >>> expr = Integral (журнал (x) ** 2, x)
>>> expr
⌠
⎮ 2
⎮ журнал (x) dx
⌡
>>> expr.doit ()
         2
x⋅log (x) - 2⋅x⋅log (x) + 2⋅x
 

интегрировать использует мощные алгоритмы, которые постоянно улучшаются для вычислений как определенные, так и неопределенные интегралы, включая эвристическое сопоставление с образцом алгоритмы типа, частичная реализация алгоритма Риша и алгоритм, использующий G-функции Мейера, т.е. полезно для вычисления интегралов в терминах специальных функций, особенно определенные интегралы.Вот пример некоторых возможностей интегрировать .

 >>> integ = Integral ((x ** 4 + x ** 2 * exp (x) - x ** 2-2 * x * exp (x) - 2 * x -
... ехр (х)) * ехр (х) / ((х - 1) ** 2 * (х + 1) ** 2 * (ехр (х) + 1)), х)
>>> интег
⌠
⎮ ⎛ 4 2 х 2 х х х
⎮ ⎝x + x ⋅ℯ - x - 2⋅x⋅ℯ - 2⋅x - ℯ ⎠⋅ℯ
⎮ ────────────────────────────────────────── dx
⎮ 2 2 ⎛ x ⎞
⎮ (х - 1) ⋅ (x + 1) ⋅⎝ℯ + 1⎠
⌡
>>> интег.сделай это()
                 Икс
   ⎛ х ⎞ ℯ
log⎝ℯ + 1⎠ + ──────
               2
              х - 1
 
 >>> integ = Целое (sin (x ** 2), x)
>>> интег
⌠
⎮ ⎛ 2⎞
⎮ sin⎝x ⎠ dx
⌡
>>> integ.doit ()
         ⎛√2⋅x⎞
3⋅√2⋅√π⋅S⎜────⎟⋅Γ (3/4)
         ⎝ √π ⎠
───────────────────────
       8⋅Γ (7/4)
 
 >>> Integral = Интеграл (x ** y * exp (-x), (x, 0, oo))
>>> интег
∞
⌠
⎮ y -x
⎮ x ⋅ℯ dx
⌡
0
>>> интег.сделай это()
⎧ Γ (y + 1) при re (y)> -1
⎪
⎪∞
⎪⌠
⎨⎮ y -x
⎪⎮ x ⋅ℯ dx в противном случае
⎪⌡
⎪0
⎩
 

В последнем примере возвращено выражение Piecewise , поскольку интеграл не сходится, если \ (\ Re (y)> 1. \)

Пределы

SymPy может вычислять символические пределы с помощью функции limit . Синтаксис для вычисления

\ [\ lim_ {x \ to x_0} f (x) \]

– это предел (f (x), x, x0) .

 >>> предел (sin (x) / x, x, 0)
1
 

limit следует использовать вместо sub всякий раз, когда точка оценки это особенность. Несмотря на то, что в SymPy есть объекты для представления \ (\ infty \), использование их для оценки не является надежным, потому что они не отслеживают вещи нравится скорость роста. Кроме того, такие вещи, как \ (\ infty – \ infty \) и \ (\ frac {\ infty} {\ infty} \) возвращает \ (\ mathrm {nan} \) (не число). Например

 >>> expr = x ** 2 / exp (x)
>>> выр.sub (x, oo)
нан
>>> предел (expr, x, oo)
0
 

Подобно Derivative и Integral , предел имеет неоцененный аналог, Лимит . Чтобы оценить это, используйте doit .

 >>> expr = Предел ((cos (x) - 1) / x, x, 0)
>>> expr
     ⎛cos (x) - 1⎞
 лим ⎜──────────⎟
х─ → 0⁺⎝ х ⎠
>>> expr.doit ()
0
 

Чтобы оценить предел только с одной стороны, передайте '+' или '-' в качестве четвертого аргумент предел .4 \) опускаются. Условия заказа могут быть созданы и обработаны вне серии . Они автоматически впитывают термины более высокого порядка.

 >>> х + х ** 3 + х ** 6 + O (х ** 4)
     3 ⎛ 4⎞
х + х + O⎝x ⎠
>>> х * O (1)
О (х)
 

Если вам не нужен срок заказа, используйте метод removeO .

 >>> expr.series (x, 0, 4) .removeO ()
 2
Икс
── + x + 1
2
 

Обозначение O поддерживает произвольные предельные значения (кроме 0):

 >>> ехр (x - 6).ряд (x, x0 = 6)
            2 3 4 5
     (Икс - 6) (Икс - 6) (Икс - 6) (Икс - 6) ⎛ 6 ⎞
-5 + ──────── + ──────── + ──────── + ──────── + x + O⎝ (x - 6); х → 6⎠
        2 6 24 120
 

Конечные разности

До сих пор мы рассматривали выражения с аналитическими производными и примитивные функции соответственно. Но что, если мы хотим иметь выражение для оценки производной кривой, для которой нам не хватает представление закрытой формы, или для которого мы не знаем функционал значения пока.Один из подходов – использовать конечную разность подход.

Самый простой способ дифференцировать с помощью конечных разностей – использовать функция diffate_finite :

 >>> f, g = символы ('f g', cls = функция)
>>> дифференцировать_конечное (f (x) * g (x))
-f (x - 1/2) ⋅g (x - 1/2) + f (x + 1/2) ⋅g (x + 1/2)
 

Если у вас уже есть экземпляр Derivative , вы можете использовать as_finite_difference метод для генерации приближений производная в произвольном порядке:

 >>> f = Функция ('f')
>>> dfdx = f (x).diff (x)
>>> dfdx.as_finite_difference ()
-f (х - 1/2) + f (х + 1/2)
 

здесь производная первого порядка была аппроксимирована около x с использованием минимальное количество баллов (2 для производной 1-го порядка) оценивается равноудаленно, используя размер шага 1. Мы можем использовать произвольные шаги (возможно, содержащие символические выражения):

 >>> f = Функция ('f')
>>> d2fdx2 = f (x) .diff (x, 2)
>>> h = символ ('h')
>>> d2fdx2.as_finite_difference ([- 3 * h, -h, 2 * h])
f (-3⋅h) f (-h) 2⋅f (2⋅h)
─────── - ───── + ─────────
     2 2 2
  5⋅ч 3⋅ 15⋅ч
 

Если вас просто интересует оценка веса, вы можете это сделать. вручную:

 >>> final_diff_weights (2, [-3, -1, 2], 0) [- 1] [- 1]
[1/5, -1/3, 2/15]
 

обратите внимание, что нам нужен только последний элемент в последнем подсписке вернулся из Finin_diff_weights . Причина в том, что функция также генерирует веса для младших производных и используя меньшее количество точек (см. документацию Finin_diff_weights Больше подробностей).

Если использовать Finin_diff_weights, выглядит сложным, и as_finite_difference метод Derivative экземпляров недостаточно гибок, вы можете использовать apply_finite_diff , который принимает порядок , x_list , y_list и x0 в качестве параметров:

 >>> x_list = [-3, 1, 2]
>>> y_list = символы ('a b c')
>>> apply_finite_diff (1, x_list, y_list, 0)
  3⋅a b 2⋅c
- ─── - ─ + ───
   20 4 5
 

аспектов и «Grundvorstellungen» концепций производной и интеграла

  • Бендер П.(1990а). Ausbildung von Grundvorstellungen und Grundverständnissen – ein tragendes didaktisches Konzept für den Mathematikunterricht – erläutert an Beispielen aus den Sekundarstufen, insbesondere der SII, Beiträge zum 1990–314. Хильдесхайм: Францбекер.

    Google ученый

  • Бендер П. (1990b). Zwei «Zugänge» zum Integralbegriff? mathematica didactica , 14 , 102–127.

    Google ученый

  • Бендер П. (1991). Ausbildung von Grundvorstellungen und Grundverständnissen – ein tragendes didaktisches Konzept für den Mathematikunterricht – erläutert an Beispielen aus den Sekundarstufen. В издании H. Postel (Ed.), Mathematik lehren und lernen, Festschrift für Heinz Griesel (стр. 48–60). Ганновер: Шредель.

    Google ученый

  • Bezuidenhout, J., И Оливье А. (2000). Представления студентов об интегральном. В Т. Накахара и М. Кояма (ред.), Труды 24-й конференции Международной группы психологии математического образования (PME) (том 2, стр. 73–80). Хиросима: PME.

  • Безуиденхаут Дж., Хуман П. и Оливье А. (1998). Некоторые заблуждения, лежащие в основе понимания первокурсниками «средней оценки» и «среднего значения». В A. Olivier et al. (Ред.), Труды 22-й конференции Международной группы психологии математического образования (т.2. С. 96–101). Стелленбош: PME.

  • Бинголбали Э. и Монаган Дж. (2008). Новый взгляд на концептуальный образ. Образовательные исследования по математике , 68 (19), 19–36.

    Артикул Google ученый

  • Биза, И. (2011). Модели представлений студентов о касательной ICME 11. http://tsg.icme11.org/document/get/80. По состоянию на 14 марта 2016 г.

    Google ученый

  • Блюм, В., И Кирш, А. (1996). Die beiden Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung. mathematik lehren , 78 , 60–65.

    Google ученый

  • Блюм В. и Тёрнер Г. (1983). Didaktik der Analysis . Геттинген: Vandenhoeck & Ruprecht.

    Google ученый

  • Блюм, В., Хофе, Р. в., Джордан, А., Кляйне, М. (2004). Grundvorstellungen als aufgabenanalytisches und Diagnostisches Instrument bei PISA.В M. Neubrand (Ed.), Mathematische Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern in Deutschland (стр. 145–157). Висбаден: VS Verlag für Sozialwissenschaften.

  • Блюм, В., Хофе, Р.В., Джордан, А., Кляйне, М., и Пекрун, Р. (2005). Grundvorstellungen als empirische Kategorie bei Quantitativen Studien. В G. Graumann (Ed.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2005 (стр. 103–106). Хильдесхайм: Францбекер.

  • Бюхтер, А. (2012).Schülervorstellungen zum Tangentenbegriff. В M. Ludwig, M. Kleine (Eds.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2012 (стр. 169–172). Мюнстер: WTM.

  • Бюхтер А. (2014). Analysisunterricht zwischen Begriffsentwicklung und Kalkülaneignung – Befunde und konzeptionelle Überlegungen zum Tangentenbegriff. Der Mathematikunterricht , 60 (2), 41–49.

    Google ученый

  • Бюхтер, А., & Хенн, Х.-В. (2010). Элементный анализ. Von der Anschauung zur Theorie 903 15. Гейдельберг: Спектрум.

    Книга Google ученый

  • Кроуфорд А.Р. и Скотт У.Э. (2000). Понимание наклона. Учитель математики , 93 (2), 14–118.

    Google ученый

  • Danckwerts, R., & Vogel, D. (1986). Was ist das Integral. Der Mathematikunterricht , 32 (2), 59–72.

    Google ученый

  • Danckwerts, R., & Vogel, D. (2006). Анализ verständlich unterrichten . Гейдельберг: Spektrum Akademischer Verlag.

    Google ученый

  • Дик, Э. (2010). Kritische Untersuchungen über den Tangentenbegriff in Mathematischer, Didaktischer und mathematikhistorischer Sicht.В A. Lindner, S. Ufer (Eds.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2010 (стр. 233–236). Мюнстер: WTM.

  • Дрей, Т., и Маног, К. (2006). Преодоление разрыва между математикой и физическими науками. В Турецкой математической ассоциации (ред.), Труды 3-й международной конференции по преподаванию математики на уровне бакалавриата (CD-ROM) . Стамбул: Турецкое математическое общество.

  • Энгельке Н. и Сили В.(2009). Прыжок большой гориллы: расследование по сумме Римана. Труды 12-й специальной группы по интересам Математической ассоциации Америки по исследованиям в области математического образования на бакалавриате , Роли, Северная Каролина.

    Google ученый

  • Фридрих, Х. (2001). Schülerinnen- und Schülervorstellungen vom Grenzwertbegriff beim Ableiten . Падерборн: Gesamthochschule Paderborn. Диссертация.

    Google ученый

  • Hahn, & Prediger, S.(2008). Bestand und Änderung – Ein Beitrag zur didaktischen Rekonstruktion der Analysis. Journal für Mathematikdidaktik , 29 (3/4), 163–198.

    Артикул Google ученый

  • Холл, W. (2010). Заблуждения студентов о языке исчисления: определенные и неопределенные интегралы. Труды 13-й ежегодной конференции по исследованиям в области высшего математического образования , Роли, Северная Каролина, 25–28 февраля 2010 г.

    Google ученый

  • Герберт С. и Пирс Р. (2012). Что такое ставка? Имеет ли значение контекст или представление? Журнал исследований математического образования , 23 (4), 455–477.

    Артикул Google ученый

  • Херфорд, П., и Рейнхардт, Г. (1980). Mathematik. Studienbriefe zur Fachdidaktik für Lehrer der Sekundarstufe II.Zugänge zur Integralrechnung Analysis MA 3 . Вайнхайм: Beltz.

    Google ученый

  • Хофе Р.В. (1995). Grundvorstellungen Mathematischer Inhalte . Гейдельберг: Spektrum Akademischer Verlag.

    Google ученый

  • Хофе Р.В., Кляйне М., Блюм В. и Пекрун Р. (2005). О роли «Grundvorstellungen» в развитии математической грамотности – первые результаты лонгитюдного исследования PALMA. Средиземноморский журнал исследований в области математического образования , 4 , 67–84.

    Google ученый

  • Хуанг, К.-Х. (2012). Репрезентативная гибкость студентов инженерных специальностей – случай определенного интеграла. Мировые транзакции в области инженерного и технологического образования , 10 (3), 162–167.

    Google ученый

  • Hußmann, S.(2001). Konstruktivistisches Lernen an Intentionalen Problemen – Theoretische und empirische Studie zu den Auswirkungen konstruktivistischer, computerorientierter Lernarrangements im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II auf die Begriffsbildungöver das . Эссен: Universität Essen. Диссертация.

    Google ученый

  • Янке, Х.Н. (ред.) (1999). Geschichte der Analysis . Гейдельберг: Spektrum Akademischer Verlag.

    Google ученый

  • Джонс, С.Р. (2013). Понимание интегрального: символические формы студентов. Журнал математического поведения , 32 , 122–141.

    Артикул Google ученый

  • Килпатрик, Дж., Хойлс, К., Сковсмоз, О., и Валеро, П. (ред.). (2005). Значение в математическом образовании . Нью-Йорк: Спрингер.

    Google ученый

  • Кирш, А.(1979). Ein Vorschlag zur visuellen Vermittlung einer Grundvorstellung vom Ableitungsbegriff. Der Mathematikunterricht , 25 (3), 25–41.

    Google ученый

  • КМК (2012 г.). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 18.10.2012). Кёльн: Вольтерс Клувер.

    Google ученый

  • Коллер, Х.-C. (Ред.). (2008). Sinnkonstruktion und Bildungsgang. Studien zur Bildungsgangforschung (том 24). Опладен: Барбара Будрич.

    Google ученый

  • Куропатов А., Дрейфус Т. (2013). Построение целостной концепции на основе идеи накопления: предложение к школьной программе. Международный журнал математического образования в науке и технологиях , 44 (5), 641–651.

    Артикул Google ученый

  • Лейдерс, Т. (2014). Modellierung Mathematischer Kompetenzen – Kriterien für eine Validitätsprüfung aus fachdidaktischer Sicht. Journal für Mathematikdidaktik , 35 (1), 7–48.

    Артикул Google ученый

  • Маки, Д. (2002). Использование компьютерной алгебры для поощрения глубокого обучения математическим вычислениям.http://www.math.uoc.gr/~ictm2/Proceedings/pap415.pdf. По состоянию на 14 марта 2016 г.

    Google ученый

  • Малле, Г. (2003). Vorstellungen vom Differenzenquotienten fördern. Mathematik lehren , 2003 (118), 57–62.

    Google ученый

  • Мамоло, А., & Зазкис, Р. (2012). Застрял на соглашении: история производных отношений. Образовательные исследования по математике , 81 , 161–177.

    Артикул Google ученый

  • Мёллер, Х. (2013). Элементарный анализ . Мюнстер: MathKompass.

    Google ученый

  • Ольденбург, Р. (2012). Bewegungsvorgänge lokal betrachtet. Praxis der Mathematik , 44 , 25–28.

    Google ученый

  • Пикерт, Г.(1962). Die Einführung des Stetigkeits- und Grenzwertbegriffs in der Schule. L’Enseignement Mathématique , 8 , 303–310.

    Google ученый

  • Расмуссен, К., и Борба, М.С. (2014). Преподавание и изучение математического анализа – Памяти Арнольда Кирша. ZDM – Международный журнал по математическому образованию . DOI: 10.1007 / s11858-014-0615-x.

    Google ученый

  • Расмуссен, К., Марронгель, К., и Борба, М.С. (2014). Исследования в области исчисления: что мы знаем и куда нам нужно идти? ZDM – Международный журнал по математическому образованию , 46 (4), 507–515.

    Артикул Google ученый

  • Расслан С., & Толл Д. (2002). Определения и образы для определенного интегрального понятия. В A.D. Cockburn, & E. Nardi (Eds.), Proceedings of the 26th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Norwich, UK.(т. 4, стр. 89–96). Университет Восточной Англии, Школа образования и профессионального развития.

  • Рембовски В. (2016). Изображение концепта и определение понятий из «Математикдидактика» «Изображение понятий и определение понятий в математике». В U. Kortenkamp, ​​& A. Lambert (Eds.), Verfügbare digitale Werkzeuge im Mathematikunterricht richtig nutzen . Хильдесхайм: Францбекер.

    Google ученый

  • Ро, К.Х. (2008). Изображения учащихся и их понимание определений предела последовательности. Образовательные исследования по математике , 69 (3), 217–234.

    Артикул Google ученый

  • Шмидт, У. (2015). Von der Änderungsrate zum Bestand. Eine kompetenzorientierte Einführung in die Integralrechnung für das grundlegende Niveau. В: W. Blum et al. (Eds.), Bildungsstandards aktuell: Mathematik in der Sekundarstufe II (стр.230–243), Брауншвейг: Bildungshaus.

  • Сили В. (2006). Определенные интегралы, суммы Римана и площадь под кривой: что необходимо и достаточно? В S. Alatorre, J.L. Cortina, M. Sáiz, & A. Méndez (Eds.), Труды 28-го ежегодного собрания Североамериканского отделения Международной группы психологии математического образования (т. 2. С. 46–53). Мерида, Мексика: Национальный педагогический университет.

    Google ученый

  • Сили, В., & Oehrtman, М. (2005). Студенческое понимание накопления и сумм Римана. В Дж. Ллойд, М. Уилсон, Дж. Уилкинс и С. Бем (ред.), Труды 27-го ежегодного собрания Североамериканского отделения Международной группы психологии математического образования . Евгений, Орегон: Все академические.

    Google ученый

  • Sirotic, N., & Zazkis, A. (2007). Иррациональные числа: разрыв между формальным и интуитивным знанием. Образовательные исследования по математике , 65 (1), 49–76.

    Артикул Google ученый

  • Пень, С. (1999). Знание учителями средней математики концепции уклона. Ежегодное собрание Американской ассоциации исследований в области образования , Чикаго, Иллинойс, 28 марта 1997 г.

    Google ученый

  • Толл Д. (1987). Построение концептуального образа касательной.В Труды одиннадцатой международной конференции PME . Монреаль: PME-XI.

    Google ученый

  • Талль Д. (ред.) (1991). Высшее математическое мышление . Нидерланды: Kluwer Academic Publishers.

    Google ученый

  • Талль Д. (2012). Как люди учатся математически мыслить . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.

    Google ученый

  • Талл Д. и Виннер С. (1981). Образ понятия и определение понятия в математике с особым упором на пределы и непрерывность. Образовательные исследования по математике , 12 (2), 151–169.

    Артикул Google ученый

  • Тиг, Д.Дж. (1996). Подход локальной линейности к исчислению. ICME 8. http: // курсы.ncssm.edu/math/Talks/PDFS/icme_8.pdf. Доступ 14 марта 2016 г.

    Google ученый

  • Тойшер Д. и Рейс Р.Э. (2010). Наклон, скорость изменения и крутизна: понимают ли учащиеся эти концепции. Учитель математики , 193 (7), 519–524.

    Google ученый

  • Тирош Д. и Цамир П. (2004). Что может получить математическое образование от подхода концептуальных изменений? И что может получить подход концептуальных изменений от его применения к математическому образованию? Обучение и обучение , 14 (5), 535–540.

    Артикул Google ученый

  • Томпсон, А.Г., и Томпсон, П.В. (1996). Говоря о ставках концептуально, Часть II: Математические знания для обучения. Журнал исследований в области математического образования , 27 (1), 2–24.

    Артикул Google ученый

  • Томпсон, П.В. (1994). Развитие концепции скорости и ее связь с концепцией скорости.В Г. Харел и Дж. Конфри (ред.), Развитие мультипликативного мышления в изучении математики . Олбани, штат Нью-Йорк: Государственный университет Нью-Йорка.

    Google ученый

  • Томпсон, П.В., и Сильверман, Дж. (2007). Понятие накопления в исчислении. В M. Carlson, & C. Rasmussen (Eds.), Установление связи: Исследования и преподавание в области математики на бакалавриате (стр. 117–131).Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки.

    Google ученый

  • Thompson, P.W., & Thompson, A.G. (1994). Говоря о рейтингах концептуально, Часть I: борьба учителя. Журнал исследований в области математического образования , 25 (3), 279–303.

    Артикул Google ученый

  • Thompson, P.W., Byerley, C., & Hatfield, N.(2013). Концептуальный подход к исчислению стал возможным благодаря технологиям. Компьютеры в школах , 30 , 124–147.

    Артикул Google ученый

  • Титце, Ю.П., Клика, М., и Вольперс, Х.Х. (2000). Fachdidaktische Grundfragen, Didaktik der Analysis – Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II . Висбаден: Vieweg.

    Google ученый

  • Торнер, Г., Потари Д. и Захариадес Т. (2014). Исчисление в европейских классах: учебная программа и обучение в различных образовательных и культурных контекстах. ZDM – Международный журнал по математическому образованию , 46, (4), 549–560.

    Артикул Google ученый

  • Убуз Б. (2007). Интерпретация графа и построение его производного графа: стабильность и изменение представлений студентов. Международный журнал математического образования в науке и технологиях , 38 (5), 609–637.

    Артикул Google ученый

  • Виннер С. (1991). Роль определений в преподавании и изучении математики. В Д. Толл (ред.), Продвинутое математическое мышление . Дордрехт: Клувер.

    Google ученый

  • Виннер, С. (2011). Роль примеров в изучении математики и в повседневных мыслительных процессах. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik , 43 (2), 247–256.

    Артикул Google ученый

  • Виннер, С., и Гершковиц, Р. (1980). Концептуальные образы и общие когнитивные пути в развитии некоторых простых геометрических концепций. В R. Karplus (Ed.), Труды четвертой международной конференции по психологии математического образования (стр. 177–184). Беркли, Калифорния: PME.

    Google ученый

  • Фоллрат, Х.-J. (1984). Methodik des Begriffslehrens . Штутгарт: Клетт.

    Google ученый

  • Vosniadou, S., & Verschaffel, L. (2004). Расширение подхода концептуальных изменений к изучению и преподаванию математики. Обучение и обучение , 14 (5), 445–451.

    Артикул Google ученый

  • Уолтер У. (2004). Анализ 1 .Берлин: Springer.

    Google ученый

  • Weigand, H.-G. (1993). Zur Didaktik des Folgenbegriffs . Мангейм: BI.

    Google ученый

  • Weigand, H.-G. (2014). Begriffsbildung. У Р. Брудера, Л. Хефендель-Хебекера, Б. Шмидт-Тиме и Х.-Г. Weigand (Eds.), Handbuch Mathematikdidaktik (стр. 255–278). Берлин Гейдельберг: Springer.

    Google ученый

  • Разница между производной и интегралом

    Автор: Admin

    Производная vs интеграл

    Дифференциация и интеграция – две фундаментальные операции в Calculus.У них есть множество приложений в нескольких областях, таких как математика, инженерия и физика. И производная, и интеграл обсуждают поведение функции или поведение физического объекта, который нас интересует.

    Что такое производная?

    Предположим, что y = ƒ (x) и x 0 находится в области ƒ. Тогда lim Δx → ∞ Δy / Δx = lim Δ x → ∞ [ƒ (x 0 + Δx) – ƒ (x 0 )] / Δx называется мгновенной скоростью изменения ƒ при x 0 , если этот предел существует бесконечно.Этот предел также называется производной от at и обозначается ƒ (x).

    Значение производной функции f в произвольной точке x в области определения функции определяется как lim Δ x → ∞ [ƒ (x + Δx) – ƒ (x)] / Δx. Это обозначается одним из следующих выражений: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D x y.

    Для функций с несколькими переменными мы определяем частную производную. Частная производная функции с несколькими переменными – это ее производная по одной из этих переменных, при условии, что другие переменные являются константами.Символ частной производной – ∂.

    Геометрически производную функции можно интерпретировать как наклон кривой функции ƒ (x).

    Что такое интегральный?

    Интеграция или антидифференциация – это процесс, обратный дифференциации. Другими словами, это процесс поиска исходной функции, когда задана производная функции. Следовательно, интеграл или антипроизводная функции ƒ (x) if (x) = F (x) может быть определена как функция F (x) для всех x в области определения ƒ (Икс).

    Выражение ∫ƒ (x) dx обозначает производную функции ƒ (x). Если ƒ (x) = F (x), то ∫ƒ (x) dx = F (x) + C, где C – константа, ∫ƒ (x) dx называется неопределенным интегралом от ƒ ( Икс).

    Для любой функции ƒ, которая не обязательно неотрицательна и определена на интервале [a, b], a b ƒ (x) dx называется определенным интегралом ƒ на [a, b]. x}.Икс} \; dx. \ nonumber \)

    Авторы и авторство

    Реальный анализ

    – контрпримеры к дифференцированию под знаком интеграла?

    Я исследую дифференциацию под знаком интеграла (я хочу быть намного быстрее и увереннее в выполнении этой общей задачи). Меня интересуют хорошие контрпримеры, где оба выражения

    $ \ frac {d} {dx} \ int f (x, y) dy $

    и

    $ \ int \ frac {\ partial} {\ partial x} f (x, y) dy $

    существуют при некотором значении x, но не равны.x \ int \ frac {\ partial} {\ partial s} f (s, y) dyds $.

    Затем снова используя FTC, первый интеграл и производная сокращаются при условии, что $ \ int \ frac {\ partial} {\ partial s} f (s, y) dy $ непрерывно.

    Таким образом, в целом мне нужны допущения для переключения порядка интеграции:

    1) f абсолютно непрерывен в направлении x

    2) df / da интегрируем в прямоугольнике, где одна сторона представляет собой небольшой интервал, содержащий x, а другая – все направление y.

    3) $ \ int \ frac {\ partial} {\ partial x} f (x, y) dy $ непрерывно.

    4) и, конечно же, определены исходные выражения.

    Это было самое общее, на что я мог пойти. Условия кажутся беспорядочными и легко забываемыми, поэтому я хотел бы найти более приятные условия, которые я мог бы использовать в целом, если это возможно.

    Условие 3) казалось, что его проще всего отбросить, но я нашел контрпример, в котором выполняются все другие условия, кроме этого:

    Пусть y будет положительными целыми числами, а dy будет счетной мерой, поэтому мы просто пытаемся перевернуть сумму и производную.Пусть

    $ f (x, y) = x $ для $ \ frac {1} {y + 1}

    Тогда мы видим, что интеграл от производной функции $ f $ равен $ 0 $ при $ x = 0 $, а производная интеграла равна $ 1 $ при $ x = 0 $, что дает один контрпример. Здесь условия 1) и 3) не были выполнены, но пример можно легко изменить, чтобы сделать 1) выполненным.

    Интеграл производной по функции

    Интегрирование производной по функции $$ x $$ – еще одна важная формула интегрирования.

    Интегрирование производной по функции $$ x $$ имеет вид
    \ [\ int {\ frac {{f ‘\ left (x \ right)}} {{f \ left (x \ right)}} dx =} \ ln f \ left (x \ right) + c \]

    Теперь рассмотрим
    \ [\ begin {gather} \ frac {d} {{dx}} \ left [{\ ln f \ left (x \ right) + c} \ right] = \ frac {d} {{dx }} \ ln f \ left (x \ right) + \ frac {d} {{dx}} \ left (c \ right), \, \, \, \, f \ left (x \ right)> 0 \ \ \ Rightarrow \ frac {d} {{dx}} \ left [{\ ln f \ left (x \ right) + c} \ right] = \ frac {1} {{f \ left (x \ right)} } \ frac {d} {{dx}} f \ left (x \ right) + 0 \\ \ Rightarrow \ frac {d} {{dx}} \ left [{\ ln f \ left (x \ right) + c} \ right] = \ frac {1} {{f \ left (x \ right)}} f ‘\ left (x \ right) \\ \ Rightarrow \ frac {{f’ \ left (x \ right)} } {{f \ left (x \ right)}} = \ frac {d} {{dx}} \ left [{\ ln f \ left (x \ right) + c} \ right] \\ \ Rightarrow \ frac {{f ‘\ left (x \ right)}} {{f \ left (x \ right)}} \, dx = d \ left [{\ ln f \ left (x \ right) + c} \ right] \, \, \, \, {\ text {- – -}} \ left ({\ text {i}} \ right) \\ \ end {gather} \]

    Интегрируя обе части уравнения (i) относительно $$ x $$, получаем
    \ [\ int {\ frac {{f ‘\ left (x \ right)}} {{f \ left (x \ right) )}} \, dx} = \ int {d \ left [{\ ln f \ left (x \ right) + c} \ right]} \]

    Поскольку интегрирование и дифференцирование являются процессами, обратными друг другу, знак интеграла $$ \ int {} $$ и $$ \ frac {d} {{dx}} $$ с правой стороны компенсируют друг друга, т.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *