Производная от неопределенного интеграла равна: Неопределенный интеграл - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл от функции – это сумма произвольной постоянной и первообразной для данной функции. Из первообразной функции следует, что неопределенный интеграл – это множество для этой функции всех первообразных. Некоторая первообразная для функции обозначается буквой х, произвольная постоянная обозначается «с», а символом «∫» обозначается сам неопределенный интеграл. Интегрированием функции называется процесс отыскания от функции неопределенного интеграла.

Определение неопределенного интеграла

f(x)dx = F(x) + C

где F'(x) = f(x), C = const

Если dy = f(x)dx, то y =

f(x)dx

Основные свойства неопределенного интеграла

f(x)dx = f(x)dx

(

f(x)dx

)’

= f(x)

dF(x) = F(x) + C

kf(x)dx = k

f(x)dx (k ≠ 0)

(f(x) + g(x) – h(x))dx =

f(x)dx +

g(x)dx –

h(x)dx

Основные методы интегрирования

—метод разложения—

f(x)dx =

(x)dx +

(x)dx ,

где f(x) = f

(x) + f

(x)

—метод подстановки—

Если x = φ(t), то

f(x)dx =

f(φ(t))φ'(t)dt

—метод интегрирования по частям—

udV = uV –

Vdu

Интегралы некоторых функций

dx =

x	m + 1
m + 1

+ C (m ≠ -1)

dx
x

= ln|x| + C (x ≠ 0)

dx = e

+ C

dx =

a	x
ln(a)

+ C (a > 0, a ≠ 1)

cos(x)dx = sinx + C

sin(x)dx = -cosx + C

dx
cos	2	x

= tgx + C

dx
sin	2	x

= -ctgx + C

dx
√	1 – x	2

= arcsinx + C = -arccosx + C

dx
1 + x	2

= arctgx + C = -arcctgx + C

dx
1 – x	2

1
2

1 + x
1 – x

+ C

dx
x	2	– 1

1
2

x – 1
x + 1

+ C

2.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

. (4)

Действительно, дифференцируя выражение (3), с учетом (1) получим:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

. (5)

По определению дифференциала и свойству 1, имеем:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

. (6)

Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать.

Найдем дифференциал обеих частей равенства. На основании свойства 2, дифференциал левой части будет равен подынтегральному выражению. Тогда . Отсюда.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

. (7)

Равенство (7) означает, что правая и левая его части являются семействами первообразных от одной и той же функции. Тогда, в силу (1), для доказательства этого равенства необходимо показать, что производные от обеих частей равны.

Продифференцируем левую и правую части равенства:

. .

Производные от обеих частей равны, значит равенство верно.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух и более функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

. (8)

Доказывается аналогично предыдущему.

6. Свойство инвариантности формулы интегрирования.

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой от нее функции

, то есть, если

, (9)

то

, (10)

где- любая дифференцируемая функция отх.

Это свойство дает возможность применять приведенную ниже таблицу интегралов не только при интегрировании по независимой переменной х, но и по любой другой дифференцируемой по независимой переменнойх функции, что расширяет применение таблицы основных интегралов.

В рассмотренном выше примере, когда , а первообразная

,то есть , вместо независимой переменнойх может стоять любая дифференцируемая функция отх, например,.

Тогда неопределенный интеграл будет иметь вид:

Заметим, что интеграл равен рассмотренному интегралу .

Воспользовавшись тем, что , то есть, вносяпод знак дифференциала, мы свели вычисление интеграла от тригонометрической функции к интегралу степенной функции. Необходимо так стремиться преобразовать подынтегральное выражение, чтобы оно приняло вид известного интеграла, например, табличного.

3. Таблица основных интегралов

1. ; 9.;

2. ; 10.;

3. ; 11.;

3.а; 11.а;

3.б; 12.;

4.; 12.а;

5. ; 13.;

6.; 14.;

7.; 15.;

8.; 16..

Замечание.В таблице производных нет выражений для производных от функций, стоящих в правых частях формул 11.а, 12.а, 13, 14, 15, 16. Это интегралы от часто встречающихся функций. В справедливости формул легко убедиться путем непосредственного дифференцирования.

Например, дифференцируя правую часть формулы 13, получим:

. Отсюда .

4. Основные методы интегрирования

4.1. Непосредственное интегрирование

Этот метод состоит в непосредственном применении таблицы интегралов и их свойств. Если же подынтегральное выражение не является табличным, то необходимо путем тождественных преобразований привести подынтегральную функцию к табличному виду.

Вычислить следующие интегралы.

Пример 1. .

Решение. Представим интеграл от алгебраической суммы в виде суммы интегралов (свойство 5), вынося постоянные множители за знаки интегралов (свойство 4) и применяя формулы 2 и 3 таблицы интегралов, получим:

Замечание. Здесь и далее произвольные постоянные, входящие по определению в каждый интеграл из суммы, объединяем в одну произвольную постоянную.

Пример 2. .

Решение. Производим почленное деление, выносим постоянные множители, пользуемся табличными интегралами 3 и 6:

Пример 3. .

Решение. Воспользуемся выражением для косинуса половинного угла:.

Пример 4. .

Решение. Воспользуемся основным тригонометрическим равенством:

Производная от определенного интеграла равна

Содержание:

1 Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции
2 Производная от определенного интеграла по верхнему пределу
3 Теорема Ньютона — Лейбница
4 Примеры решения задач

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Например.

Рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Теорема Ньютона — Лейбница

Примеры решения задач

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат Oty , ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать Ot , а не Ox (рис. 1).

Пусть y = f (t) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, принимающая только положительные значения.

Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции

y = f (t) сверху, отрезком [a, b] снизу, а справа и слева отрезками прямых t = a и t = b (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции f (t) в пределах от a до b и обозначают

(1)

Формула (1) читается так: «Интеграл от a до b от функции f (t) по dt »

Определение 3. В формуле (1) функцию f (t) называют подынтегральной функцией, переменную t называют переменной интегрирования, отрезок [a, b] называют отрезком интегрирования, число b называют верхним пределом интегрирования, а число a – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Если обозначить S (x) площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых t = a и t = x (рис. 3),

то будет справедлива формула

(2)

Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

Другими словами, справедлива формула

Доказательство. Из формулы (2) следует, что

(3)

где через Δx обозначено приращение аргумента x (рис. 4)

Из формул (3) и (2) получаем, что

(4)

где через ΔS обозначено приращение функции S (x), соответствующее приращению аргумента Δx (рис. 5)

Если ввести обозначения

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

(5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой m, и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой M.

Из неравенства (5) следует, что

В силу непрерывности функции y = f (t) выполнено равенство

(6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

Следствие 1. Функция S (x) является первообразной подынтегральной функции f (x) .

Теорема Ньютона — Лейбница

Теорема Ньютона-Лейбница. Если F (x) – любая первообразная функции f (x), то справедливо равенство

(7)

S (x) = F (x) + c

(8)

Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

(9)

Подставив в формулу (9) значение x = a , получаем равенство

(10)

(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой t = a, равна 0 .

Из формул (10) и (11) следует, что

и формула (9) принимает вид

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования t , так и с любой другой переменной интегрирования, например, x :

Замечание 4. Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций f (x), но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

Ответ.

Задача 2. График функции y = f (x) изображен на рисунке 7.

(13)

Решение. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), ограниченной снизу осью абсцисс Ox и ограниченной с боков отрезками прямых x = 2 и x = 9. Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна 9, а площадь трапеции равна 20. Таким образом, интеграл (13) равен 29.

(14)

Решение. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

Ответ.

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b . Пусть функция f ( x ) интегрируема на отрезке [ a , b ]. Если , то функция f ( x ) также интегрируема на любом отрезке [ a , x ]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [ a , b ], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф( x ) :

. (8)

Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t , так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования.

Интеграл (8) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Сформулируем основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающую связь между производной и интегралом.

Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

. (9)

Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция на отрезке [ a , b ] имеет на нем первообразную, причем этой первообразной является функция Ф( x ), а так как всякая другая первообразная функции f ( x ) может отличаться от данной Ф( x ) лишь на постоянную, то устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралом .

Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ], то

, (10)

где F ( x ) — некоторая первообразная функции f ( x ).

Формула (10) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Формулу Ньютона — Лейбница можно переписать как

где .

Вывод. Определенный интеграл от непрерывной функции f ( x ) равен разности значений любой первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Формула Ньютона — Лейбница открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, так как задача сводится к задаче вычисления неопределенных интегралов.

П р и м е р 2. Вычислить интеграл .

Решение. .

Если считать переменным нижний предел интегрирования, то пользуясь формулой Ньютона — Лейбница, получим

. (11)

Если f ( x ) — непрерывная, φ( x ), ψ( x ) — дифференцируемые функции, то производная от интеграла по переменной x

. (12)

П р и м е р 3. Найти производную по x от интеграла .

Решение. Здесь ; ; ; ; . φ΄( x ) = 2 x . Пользуясь формулой (12), получим

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции Свойства неопределенного интеграла. 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3

Автомобили	Астрономия	Биология	География	Дом и сад	Другие языки	Другое	Информатика
История	Культура	Литература	Логика	Математика	Медицина	Металлургия	Механика
Образование	Охрана труда	Педагогика	Политика	Право	Психология	Религия	Риторика
Социология	Спорт	Строительство	Технология	Туризм	Физика	Философия	Финансы
Химия	Черчение	Экология	Экономика	Электроника

Читайте также:

A. электроноакцепторными свойствами атома азота
IV ПОЛЕЗНЫЕ СВОЙСТВА ПРОДУКТОВ
V1: Понятие логистики. Сущность и свойства логистической системы
XI. ПРИСПОСОБЛЕНИЕ И ДРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ, СВОЙСТВА. СПОСОБНОСТИ И ДАРОВАНИЯ АРТИСТА
Банковская система: понятие, свойства ,типы, уровни, элементы. Банковская система РФ.
Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений. n-арные отношения
Бюджетная линия и ее свойства

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

(1.3.1)

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(1.3.2)

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

(1.3.3)

где С – постоянного слагаемого.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

, (1.3.4)

где – некоторое число, .

5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой из этих функций:

(1.3.5)

6. Если справедливо равенство: , то справедливым будет и соотношение:

. (1.3.6)

Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать .

На основании свойства 2 и (1.3.2.) дифференциал неопределенного интеграла , откуда .

Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно заключить, что операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала являються взаимообратными (знаки и взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3 с точностью до постоянного слагаемого).

Свойство 6 означает, что линейное изменение аргумента у функции под знаком интеграла ведет к аналогичному изменению аргумента первообразной, с поправкой на множитель ).

Таблица основных интегралов и ее применение

1.	(1.4.1)
2.	, (1.4.2)
3.	(1.4.3)
4.	(1.4.4)
5.	(1.4.5)
6.	(1.4.6)
7.	(1.4.7)
8.	(1.4.8)
9.	(1.4.9)
10.	(1.4.10)
11.	(1.4.11)
12.	(1.4.12)
13.	(1.4.13)
14.	(1.4.14)
15.	(1.4.15)
16.	(1.4.16)
17.	(1.4.17)
18.	(1.4.18)

Рассмотрим на примерах применение таблицы и некоторых свойств интегралов, (такие вычисления называются непосредственным интегрированием).

Пример 1.4.1. Найти .

Решение.	По свойству 5 для алгебраической суммы функций
	По табличным формулам (1.4.5), (1.4.3), (1.4.2), (1.4.13) возьмем интегралы и прибавим одну общую константу
.

Пример 1.4.2. Найти .

Решение.

По формуле (1.4.13) при а = 5 получим

Пример 1. 4.3.Найти .

Решение.

По формуле (1.4.18) при k = 7 .

Пример 1.4.4.Найти .

Решение.

Пример 1.4.5.Найти .

Решение.

Пример 1.4.6.Найти .

Решение.

По формуле 17 при = .

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 94 | Нарушение авторских прав

	\|	следующая страница ==>
ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И	\|	Интегрирование с помощью замены переменной

mybiblioteka.

su – 2015-2022 год. (0.037 сек.)

Свойства неопределенного интеграла

1)Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

2)Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

3)Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .

4)Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где – некоторое число.

5)Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .

33 вопросМетод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

34 вопросСпособ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Замечание. Новую переменную можно не выписывать явно, а производить преобразования функции под знаком дифференциала (путем введения постоянных и переменных под знак дифференциала).

Алгоритм вычисления:

1) Делаем замену.

2) Дифференцируем замену .

3) Под знаком интеграла переходим к новой переменной.

4) Находим табличный интеграл.

5) Возвращаемся к старой переменной.

35 вопросИнтегрирование – действие, обратное дифференцированию, то каждому правилу дифференцирования должно соответствовать некоторое правило интегрирования.

Пусть и – дифференцируемые функции от х. Имеем: , откуда .

Интегрируя обе части последнего равенства, получим: , или

Это и есть формула интегрирования по частям.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей и (последний обязательно содержит ) и согласно формуле данное интегрирование заменяется двумя:

1) при отыскании из выражения для ;

2) при отыскании интеграла от .

Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно.

Правило интегрирования по частям нередко позволяет довести интегрирование до конца

36 вопросОпределенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при , т.е. .

– нижний предел, – верхний предел, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

Замечание 1. Переменную под знаком интеграла можно обозначать любой буквой: и т. д.

Замечание 2. В отличие от неопределенного интеграла , который представляет семейство функций (первообразных), определенный интеграл есть определенное число.Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть на отрезке задана неотрицательная функция . Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью абсцисс (рис.10.2) численно равна определенному интегралу от функции на .

Экономический смысл определенного интеграла.

Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда объем продукции , произведенной за промежуток времени , равен .

Теорема (достаточное условие существования определенного интеграла). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

37 вопрос Формула Ньютона-Лейбница – даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница – основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F – первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования. ..

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? – задался я вопросом…

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры…

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор…

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Тема 4.3. Неопределенный интеграл — FINDOUT.SU

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно – исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку “Продолжить”, я принимаю политику конфиденциальности

Лекция 1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла

1.1. Первообразная

Определение. Функция F ( x ) называется первообразной функции f ( x ), если они обе существуют на одном и том же множестве, и производная функции F ( x ) равна функции f ( x ).

Например, функция:

· y = sin x – первообразная для y = cos x

· y = – cos x – первообразная для y = sin x

· y = 2x + 1 – первообразная для y = 2

· y = ln x – первообразная для y = 1/x (на множестве x > 0) и т.д.

Операция нахождения первообразной называется интегрирование. Это операция, обратная дифференцированию.

Вспоминаем таблицу первообразных элементарных функций

Функция f(x)	Первообразная F(x)
1) Постоянная: C
2) Степенная:
Частные случаи:



Для степенной
3) Показательная:
Частный случай:
4) Тригонометрические:



5) Правила интегрирования:
5. 1)
5.2)
5.3) Для сложной функции

1.2. Неопределенный интеграл

Для любой функции существует бесконечно много первообразных, которые имеют общую часть, а различаются лишь постоянными (числами).

Например, для функции

являются первообразными, т.к. . И подобных первообразных можно составить сколько угодно.

Определение. Совокупность всех первообразных для данной функции f ( x ) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается .

Здесь:

f ( x ) — подынтегральная функция, f ( x ) dx – подынтегральное выражение, dx – дифференциал аргумента.

Тогда, общая формула: , где C – произвольная постоянная.

Таким образом, для вычисления неопределенного интеграла, нужно найти все первообразные

заданной функции.

Например: и т.д.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных интегральных кривых F ( x ), F ( x )+ C ₁ , F ( x )+ C ₂ и т.д.

Отмечаем: если функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке, то на этом промежутке существует первообразная функции F(x), а, следовательно, и неопределенный интеграл ∫f(x)dx.

Примеры. Найти:

1.3. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме их интегралов:

Справедливо для любого количества слагаемых. Необходимо помнить, существуют ли все функции на одном и том же множестве.

Таблица основных интегралов

1.	13.
2.	14.
3 .	15.
4.	16.
5.	17.
6.	18.
7.	19.
8.	20.
9.	21.
10.
11.	22. Для сложной функции:
12.	22. Для сложной функции:

Лекция 2. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование

Существует несколько стандартных методов вычисления интегралов. Непосредственное интегрирование подразумевает вычисление неопределенного интеграла только при помощи свойств интеграла и таблицы основных интегралов.

Примеры. Вычислить интегралы:

В примере № 20 использована операция «домножения на сопряженное», в примере № 23 – метод выделения полного квадрата:

Домашнее задание № 9 «Непосредственное интегрирование»

Вычислить интегралы:

Лекция 3. Методы интегрирования. Метод подстановки

3.1. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)

Если не удается найти интеграл непосредственно, то интегрируем методом подстановки.

Сущность метода: введением новой переменной интегрирования свести заданный интеграл к новому, который вычисляется непосредственно.

При этом должен остаться интеграл, в котором будет только одна переменная. Для этого обозначаем вводимую переменную и считаем . После интегрирования необходимо вернуться к исходной переменной.

Пример оформления:

3. 2. Практическая работа № 8 «Методы интегрирования»

В примере № 7 воспользуемся методом выделения полного квадрата, чтобы свести интеграл к табличному.

Домашнее задание № 10 «Интегрирование методом подстановки»

Вычислить интегралы:

А)

Б)

В)

Г)

Д)

Е)

Ж)

З)

Ответы:

А):

Б):

В):

Г):

Д):

Е):

Ж):

З):

Лекция 4. Методы интегрирования. Интегрирование по частям

4.1. Вывод формулы

Пусть функции имеют непрерывные производные на промежутке X. Найдем:

а) дифференциал от произведения u ∙ v:

(1)

б) интеграл от обеих частей равенства (1):

Здесь: по свойству неопределенного интеграла № 3 (см. Лекцию 1) (2)

Тогда: формула интегрирования по частям

Таким образом, подынтегральное выражение f ( x ) dx представляется в виде произведения множителей u и dv, т.е. исходно

(В правой части постоянную C не пишут, т.к. при интегрировании она появится в du).

Алгоритм нахождения интеграла:

1) разбить исходный интеграл на u и dv;

2) найти du и v;

3) вычислить заданный интеграл по формуле.

4.2. Типовые задачи

Здесь главное увидеть, что принять за u и что за dv. При этом существуют типовые разбиения в различных видах интегралов.

А) В интегралах вида:

(P(x) – многочлен относительно x, a – некоторое число)

Полагают: u = P ( x ), все остальное – dv

Пример:

Б) В интегралах вида:

Полагают: P ( x ) dx = dv, все остальное – u

Пример:

Решение:

В) В интегралах вида: , где a и b некоторые числа, за u можно принять любую функцию:

Пример:

Здесь пришлось применить интегрирование по частям дважды.

Так приходится делать и в случае понижения степени (как правило, тригонометрических функций и многочленов).

Интегралы вида:

существуют, но не выражаются через элементарные функции.

4.3. Решение примеров

Домашнее задание № 11 «Интегрирование по частям»

Вычислить интегралы (в скобках приведены ответы):

Исчисление

– В чем разница между неопределенным интегралом и первообразной?

Спросил 8 лет, 10 месяцев назад

Изменено 7 лет, 2 месяца назад

Просмотрено 88 тысяч раз

$\begingroup$

Я думал, что это разные слова для обозначения одного и того же, но, похоже, я ошибся. Помощь.

исчисление
терминология

х f(t)\,dt$? А из того же выражения, когда $f$ может быть не так красиво, как хотелось бы?

Я не возражаю, если люди захотят называть эти вещи по-другому и/или настаивать на том, что они чем-то отличаются, но я не вижу в них принципиальной разницы.

Итак, суть в том, чтобы просто знать об использовании в любом источнике…

(Нет, я не хотел бы оказаться в классе, где оценки деликатно зависят от таких предполагаемых различий.)

$\endgroup$ 9bf(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)$ для всех $a

$\endgroup$

$\begingroup$

Первообразной функции $f$ является одна функция $F$, производная которой равна $f$. Неопределенный интеграл $f$ — это множество из всех первообразных $f$. Если $f$ и $F$ такие, как описано только что, неопределенный интеграл от $f$ имеет вид $\{F+c \mid c\in \mathbb{R}\}$. Обычно люди не используют нотацию построителя наборов и пишут такие вещи, как «$\int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C$».

Меня этому учили. Один из других ответов здесь совершенно другой. Я погуглил и, к моему удивлению, Википедия определяет несобственный интеграл как единственную функцию. Я нашел ссылку на http://people.hofstra.edu/stefan_waner/realworld/tutorials4/frames6_1.html, которая согласуется с моим ответом. Я не знаю, есть ли в математическом сообществе консенсус относительно правильного ответа.

$\endgroup$

$\begingroup$

Ответ, который я всегда видел: интеграл обычно имеет определенный предел, тогда как первообразная обычно является общим случаем и почти всегда будет иметь $\mathcal{+C}$, константу интегрирования, в конце Это. Это единственная разница между ними, кроме того, что они полностью одинаковы.

Вы будете в безопасности в классе, если будете считать их идентичными, если ни один из них не имеет определенного предела.

$\endgroup$

$\begingroup$

(http://math.mit.edu/suppnotes/suppnotes01-01a/01ft.pdf) p 1 sur 7

Первообразная — это неопределенный интеграл.

$\endgroup$

$\begingroup$

(Дж. Стюарт. Исчисление, стр. 391) Я считаю, что Стюарт определяет первообразную как неопределенный интеграл.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я думаю, что неопределенный интеграл и антипроизводная — очень близкие вещи, но определенно равные друг другу. неопределенный интеграл, обозначенный символом «∫», представляет собой семейство всех антипроизводных подынтегральной функции f(x), а антипроизводная — это множество возможных ответов, которые можно вычислить из неопределенного интеграла. 2+0 и т. д., и все они являются членами ∫2xdx. поэтому семейство, то есть ∫2xdx, является интегралом, и все его члены являются первообразными.

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Производная интеграла – Формула

Производная интеграла — это результат, полученный дифференцированием результата интеграла. Интеграция – это процесс нахождения «анти» производной, и, следовательно, дифференцирование интеграла должно привести к самой исходной функции. Но это не может быть сценарием со всеми определенными интегралами.

Давайте узнаем больше о производной интеграла (в разных случаях) вместе с другими примерами.

1.	Что такое производная интеграла?
2.	Дифференцирование неопределенного интеграла
3.	Производная определенного интеграла
4.	Часто задаваемые вопросы о производной интеграла

Что такое производная интеграла?

производная от интеграла функции есть сама функция. Но это всегда верно только в случае неопределенных интегралов. Производная определенного интеграла функции есть сама функция только тогда, когда нижний предел интеграла есть константа, а верхний предел есть переменная, по которой мы дифференцируем. Подводя итог:

Производной неопределенного интеграла функции является сама функция. т. е. d/dx ∫ f(x) dx = f(x)
Производная определенного интеграла с постоянными пределами равна 0, т. е. d/dx ∫ _a ^b f(t) dt = 0
Производная определенного интеграла, нижний предел которого — константа, а верхний предел — переменная, сама является функцией от данной переменной (верхняя граница).
т. е. d/dx ∫ _a ^x f(t) dt = f(x), где «а» — константа, а «х» — переменная.

Рассмотрим подробно каждый из этих случаев. Кроме того, давайте посмотрим, как вычислять определенные интегралы, которые не совпадают ни с одним из последних двух случаев.

Дифференцирование неопределенного интеграла

Рассмотрим неопределенный интеграл ∫ x ^3/2 dx. Если мы оценим это, используя степенное правило интегрирования, мы получим (2x ^5/2 )/5 + C. Если мы продифференцируем это, используя степенное правило дифференцирования, мы получим (2/5) (5/2) ( х ^3/2 ) + 0 = х ^3/2 . Если мы поместим это интегрирование и дифференцирование в один шаг, мы можем записать это как

d/dx ∫ x ^3/2 dx = x ^3/2 .

т. е. производная от неопределенного интеграла равна самой исходной функции (это своеобразный “символ производной и интеграла сокращаются друг с другом”). Таким образом, для любой функции f(x) можно написать

d/dx ∫ f(x) dx = f(x)

Производная определенного интеграла

Определенный интеграл имеет вид ∫ _a ^b f(t) dt. Но здесь пределы не всегда должны быть постоянными. Может быть 3 случая.

Оба предела могут быть постоянными.
Нижний предел — константа, а верхний предел — переменная.
Оба ограничения могут включать переменные.

Мы изучим, как найти производную интеграла в каждом из этих случаев.

Когда оба предела являются константами

Рассмотрим определенный интеграл ∫ _a ^b f(x) dx, где a и b являются константами. Тогда по второй фундаментальной теореме исчисления ∫ _a ^b f(x) dx = F(b) – F(a), где F(x) = ∫ f(t) dt. Теперь вычислим его производную. d/dx∫ _a ^b f(x) dx = d/dx [F(b) – F(a)] = 0 (поскольку F(b) и F(a) — константы). Таким образом, когда оба предела являются константами, производная определенного интеграла равна 0,

, т. е. d/dx ∫ _a ^b f(t) dt = 0

Когда один из пределов является постоянным и ‘x’ является переменной. Тогда по первой фундаментальной теореме исчисления d/dx ∫

_a ^x f(t) dt = f(x). Это отражало бы тот факт, что производная интеграла является самой исходной функцией.

Вот несколько примеров.

д/дх ∫ ₂ ^х т ³ дт = х ³ .
d/dx ∫ _-1 ^x sin t ² dt = sin x ² .

Обратите внимание, что здесь нижний предел должен быть постоянным. Если верхний предел является константой, а нижний предел является переменной, скажем, d/dx ∫ _x ² t ³ dt, то мы перепишем (используя свойство определенного интеграла) как – d/dx ∫ ₂ ^x t ³ dt и теперь его результат с использованием приведенных выше примеров равен -x ³ .

Когда оба предела имеют переменные

Рассмотрим интеграл ∫ _t² ^t³ log (x ³ + 1) dx. Здесь оба предела включают переменную t. В таких случаях мы применяем свойство определенного интеграла, которое гласит: dt, и мы предполагаем, что «b» является случайной константой при применении этого свойства. Тогда мы можем записать приведенный выше интеграл в виде

∫ _T² ^T³ Log (x ³ + 1) DX = ∫ _T² ¹ Log (x ³ + 1) DX + ∫ _{1 ³ + 1) DX + ∫ _{1 ³ + 1) DX + ∫ _{1 ³ + 1). + 1) dx}}}

Теперь применим другое свойство определенных интегралов, которое гласит: ∫ _a ^b f(t) dt = – ∫ _b ^a f(t) dt. Используя это, мы можем записать ∫ _t² ¹ log (x ³ + 1) dx как – ∫ ₁ ^t² log (x ³ + 1) дх. Теперь приведенный выше шаг становится:

= – ∫ ₁ ^T² Log (x ³ + 1) DX + ∫ ₁ ^T³ Log (x ³ + 1) DX

2 . с обеих сторон,

d/dt ∫ _t² ^t³ бревно (x ³ + 1) dx = – d/dt ∫ ₁ ^{t² 930173 бревно (2x 30913 /dt ∫ ₁ ^t³ log (x ³ + 1) dx}

Для первого интеграла предположим, что t ² = u, а для второго интеграла предположим, что t ³ = v. По цепному правилу можно записать 1) dx] [du/dt] + [d/dv ∫ ₁ ^v log (x ³ + 1) dx] [dv/dt]

= – [d/du ∫ ₁ u log (x ³ + 1) dx ] [ 2t ] + [ d/dv ∫ ₁ ^v log (x ³ + 1) dx ] [ 3t ^{2 _{5 каждый 90 Нижний предел интеграла — константа, а верхний предел — переменная, их производные равны функциям по соответствующим переменным. то есть}}

= [- log (u ³ + 1) ] [ 2t ] + [log (v ³ + 1) ] [ 3t ² ]

Замена u = t ² и v1 = t 3 здесь,

= – 2t log (t ⁶ + 1) + 3t ² log (t ⁹ + 1)

Эта процедура очень полезна для нахождения производной интеграла.

Производная формулы интеграла

Мы видели, что производная интеграла ∫ _t² ^t³ log (x ³ + 1) dx is – 2t log (t ⁶ + 1) + 3t ² log (t ⁹ + 1), и это можно записать как 3t ² log (t ⁹ + 1) – 2т бревно (t ⁶ + 1). Обратите внимание, что производная от верхнего предела t ³ равна 3t ², а производная от нижнего предела t ² равна 2t. Таким образом, мы можем вычислить производную интегральной формулы следующим образом:

∫ _g(t) ^h(t) f(x) dx = h'(t) · f(h(t)) – g'(t) · f(g(t))

где f(h(t)) и f(g(t)) — составные функции. т. е. найти производную интеграла:

Шаг 1: Найти производную верхнего предела и затем подставить верхний предел в подынтегральную функцию. Умножьте оба результата.
Шаг 2: Найдите производную от нижнего предела и подставьте нижний предел в подынтегральное выражение. Умножьте оба результата.
Шаг 3: Вычтите приведенные выше результаты по порядку.

☛ Связанные темы:

Калькулятор определенных интегралов
Интегральный калькулятор
Калькулятор неопределенных интегралов

Часто задаваемые вопросы о производной интеграла

Как найти производную интеграла?

Производная интеграла — это сама функция, когда нижний предел интеграла является константой, а верхний предел — просто переменной. т. е. d/dx ∫ _a ^x f(t) dt = f(x), где а — константа.

Какова производная интеграла, если предел не является константой?

Чтобы найти производную интеграла, когда оба предела определенного интеграла не являются постоянными, мы применяем следующие два свойства, чтобы разделить данный интеграл на два интеграла, каждый из которых имеет свой нижний предел, чтобы быть константой.

Также применяем метод подстановки интегрирования, если верхний предел каждого интеграла не является просто переменной. Тогда производная каждого из интегралов есть сама функция с точки зрения ее соответствующей верхней границы.

Как происходит дифференцирование интеграла?

Для дифференцирования интегралов:

Проверьте, является ли нижний предел константой. Если это так, то производная интеграла является самой функцией (в терминах верхнего предела).
Если оба предела не являются постоянными, то разделите интеграл на два интеграла, используя свойства определенных интегралов и записав нижний предел каждого из интегралов как константу. Тогда производная каждого интеграла будет равна функции самой верхней переменной.

Как найти производную интеграла без ограничений?

Если интеграл не имеет пределов, то его производная является самой фактической функцией. Например, d/dx ∫ f(x) dx = f(x). Это потому, что интеграция — это просто обратный процесс дифференциации.

Является ли интеграл от производной самой функцией?

Да, интеграл от производной — это сама функция, но добавленная константа может меняться. Например, d/dx (x ² ) = 2x, где ∫ d/dx (x 9где C – постоянная интегрирования.

Всегда ли производная интеграла является самой функцией?

Нет, производная интеграла функции не обязательно должна быть равна самой функции. Это происходит только тогда, когда интеграл является неопределенным интегралом или определенным интегралом, нижняя граница которого является константой, а верхняя граница – переменной.

Производная интеграла – Photomath

Explore Derivatives

Итак, вы освоили производные (NBD) — но теперь вам нужно найти производную интеграла? Что вообще такое интеграл?

Мы можем ответить на все это и даже больше!

Начнем здесь: Интеграл — это набор всех первообразных функции. Таким образом, производная от интеграла есть производная от первообразной функции.

Это вас немного потрясло? Честно, то же самое. Давайте посмотрим, что все это на самом деле означает!

Что значит найти производную интеграла?

Интеграл является первообразной, а дифференцирование (или нахождение производной) является обратной процедурой интегрирования (или нахождения интеграла).

Как мы уже упоминали, найти производную интеграла означает найти производную первообразной, которая определяется второй основной теоремой исчисления.

Вторая фундаментальная теорема исчисления утверждает, что если $$f$$ непрерывна на $$[a,b]$$ и $$a\leq x\leq b$$, производная интеграла от $$f $$ можно рассчитать следующим образом: 9{x}f(t)dt=f(x)$$

Не забудьте держать под рукой наши правила дифференцирования — они нам еще понадобятся!

Постоянное кратное свойство производных	$$\frac{d}{dx}\left(c\times f(x)\right)=c\times\frac{d}{dx}\left(f(x) \right)$$
Правило сумм для производных	$$\frac{d}{dx}\left(f(x) + g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)+\frac{d }{dx}\left( g(x) \right)$$
Правило разности для производных	$$\frac{d}{dx}\left(f(x) – g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)-\frac{d }{dx}\left( g(x) \right)$$
Правило произведения для производных	$$\frac{d}{dx}\left(f(x)\times g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)\times g( x)+f(x)\times\frac{d}{dx}\left( g(x) \right) $$ 9{-1}\влево(х\вправо)\вправо)}$$

Почему производная интеграла так полезна?

Вы уже научились решать линейные, квадратные и многие другие уравнения. Но до того, как вы научились их решать, вы изучили необходимые вам базовые вычисления, такие как сложение, вычитание, умножение и т. д.

Нахождение производной интеграла похоже на базовую арифметику для решения дифференциальных уравнений, которую вы изучите очень скоро. Итак, овладев этими навыками сейчас, вы настроите себя на успех в будущем! 93}$$

Это было не так уж и плохо, правда? Когда вы начнете работать над другими проблемами, запомните эти шаги, и вы будете золотыми:

Резюме исследования

Перепишите интеграл в виде суммы так, чтобы только один предел интегрирования в обоих интегралах зависел от независимой переменной.
Используйте цепное правило, чтобы найти производную.
Примените вторую фундаментальную теорему исчисления.
Если замена была использована, замените обратно.
Найдите производную выражения.

Сделай сам!

Готовы продолжать оттачивать свои навыки? Попробуйте применить эти шаги к этим практическим задачам!

Возьмем производную функции:

$$\frac{d}{dx}\int_{\pi}^{x^2} t^3dt$$ 92$$
$$\ln(2-\sin{x})+\ln{(2+\sin{x})}$$

Если у вас проблемы с решением, ничего страшного! Несколько раз спотыкаться полезно для обучения. Если вы не можете найти выход из проблемы, отсканируйте ее с помощью приложения Photomath, и мы проведем вас на другую сторону!

Вот краткий обзор того, что вы увидите:

00:00 / 00:00

Есть домашнее задание по математике?

Зайдите в приложение Photomath, чтобы быстро найти пошаговые решения всех ваших математических задач.

Антипроизводные APEX и неопределенная интеграция

Рисунок 5.1.1. Видео-введение в раздел 5.1

Для заданной функции $y=f(x)\text{,}$ дифференциальное уравнение – это уравнение, которое включает $y\text{,}$ $x\text{ ,}$ и производные $y\text{.}$ Например, простое дифференциальное уравнение: 92 + 123{,}456{,}789\) также имеет производную от $2x\text{.}$ Дифференциальное уравнение $y’ = 2x$ имеет много решений. Это приводит нас к некоторым определениям.

Определение 5.1.2. Первообразные и неопределенные интегралы.

Пусть задана функция $f(x)$. Первопроизводная функции $f(x)$ — это функция $F(x)$ такая, что $\Fp(x) = f(x)\text{.}$

Множество всех первообразных $f(x)$ есть неопределенный интеграл от $f\text{,}$, обозначаемый

\begin{уравнение*} \int f(x) \,dx\text{.} \end{уравнение*}

Рисунок 5.1.3. Видеопрезентация определения 5.1.2

Обратите внимание на наше определение: мы ссылаемся на как на первопроизводную $f\text{,}$, а не на как на первопроизводную $f\text{,}$ ) так как всегда бесконечное количество. Мы часто используем заглавные буквы для обозначения первообразных.

Когда $f$ непрерывна, знание одной первообразной $f$ позволяет нам найти бесконечно больше, просто добавляя константу. Это не только дает нам еще первообразных, это дает нам всех из них. Это следствие теоремы дифференцирования о среднем значении, и мы уже встречались с этим результатом в теореме 3. 2.11. Этот факт достаточно важен, чтобы мы переформулировали его, используя наш новый первообразный язык и обозначения.

Теорема 5.1.4. Антипроизводные формы.

Пусть $F(x)$ и $G(x)$ – первообразные непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $I\text{.}$. Тогда существует постоянная $C$ такая, что на $I\text{,}$

\begin{уравнение*} G(x) = F(x) + C\text{.} \end{equation*}

Учитывая непрерывную функцию $f$, определенную на интервале $I$ и одну из ее первообразных $F\text{,}$, мы знаем все первообразных $ f$ на $I$ имеют вид $F(x) + C$ для некоторой константы $C\text{.}$ Используя определение 5.1.2, мы можем сказать, что

\begin{уравнение*} \int f(x) \,dx = F(x) + C \text{.} \end{уравнение*}

Давайте проанализируем это неопределенное целочисленное обозначение.

Рисунок 5.1.5. Первообразная запись

На рис. 5.1.5 показаны типичные обозначения неопределенного интеграла. Символ интегрирования $\int\text{,}$ на самом деле представляет собой «удлиненную букву S», означающую «возьмите сумму». Позже мы увидим, как связаны суммы и первообразных .

Функция, для которой мы хотим найти первообразную, называется подынтегральной функцией . Он содержит дифференциал переменной, по которой мы интегрируем. Символ $\int$ и дифференциал $dx$ не являются «подставками для книг», между которыми зажата функция; скорее, символ $\int$ означает «найти все первообразные следующего за ним», а функции $f(x)$ и $dx$ перемножаются; $dx$ не «просто сидит там».

Другим важным аспектом $dx$ является то, что он сообщает нам, по какой переменной мы берем первообразную, подобно тому, как $\lzo{x}$ означало бы брать производную по \ (x\text{,}\), а $\lzo{t}$ будет производной относительно $t\text{.}$

Давайте попрактикуемся в использовании этих обозначений.

Пример 5.1.6. Вычисление неопределенных интегралов.

Вычислить $\int \sin(x) \,dx\text{.}$

Решение.

Нас просят найти все функции $F(x)$ такие, что $\Fp(x) = \sin(x)\text{. }$ Некоторые размышления приведут нас к одному решению: $ F(x) = -\cos(x)\text{,}$, поскольку $\lzoo{x}{-\cos(x)} = \sin(x)\text{.}$

Таким образом, неопределенный интеграл от $\sin(x)$ равен $-\cos(x)\text{,}$ плюс постоянная интегрирования. Итак:

\begin{equation*} \int \sin(x) \,dx = -\cos(x) + C\text{.} \end{equation*}

Часто задаваемый вопрос: «Что случилось с $dx\text{?}$?» Неосведомленный ответ: «Не беспокойтесь об этом. Просто уходит». Полное понимание включает следующее.

Этот процесс антидифференциации действительно решает дифференциал вопрос. Интеграл

\begin{уравнение*} \целое \sin(x) \,dx \end{уравнение*}

представляет нам дифференциал, $dy = \sin(x) \, dx\text{.}$ Он спрашивает: «Что такое $y\text{?}$». Мы нашли множество решений, все формы $y = -\cos(x) +C\text{.}$

Переписывание $dy = \sin(x)\,dx\text{,}$

\begin{уравнение*} \int \sin(x) \,dx \text{ as } \int\,dy\text{. } \end{уравнение*}

Это вопрос: «Какие функции имеют дифференциал вида $dy\text{?}$?» Ответ: «Функции вида $y+C\text{,}$, где $C\ ) является константой». Что такое \(y\text{?}$ У нас есть много вариантов, каждый из которых отличается константой; самый простой выбор: $y = -\cos(x)\text{.}$ 92+4x+5\text{.}\)

Этот последний шаг «проверки нашего ответа» важен как с практической, так и с теоретической точки зрения. В общем, брать производные легче, чем находить первообразные, поэтому проверять нашу работу легко и важно по мере обучения.

Мы также видим, что производная от нашего ответа возвращает функцию под интегралом. Таким образом, мы можем сказать, что:

\begin{уравнение*} \lzoo{x}{\int f(x)\,dx} = f(x)\text{.} \end{уравнение*}

Дифференциация «отменяет» работу антидифференцировки.

Теорема 2.7.17 дала список производных общих функций, которые мы узнали на тот момент. Мы повторяем здесь часть этого списка, чтобы подчеркнуть взаимосвязь между производными и первообразными. х+С\\ \amp\lzoo{x}{\ln(x)} = \frac1 x,\ x \gt 0\amp\amp \int \frac{1}x\,dx = \ln\abs{x}+C \end{выравнивание*} 92}\)). Пример:

\begin{уравнение*} \int 5\cos(x) \,dx = 5\cdot\int \cos(x) \,dx = 5\cdot (\sin(x) +C) = 5\sin(x) + C\text{ .} \end{уравнение*}

На последнем шаге мы можем считать, что константа также умножается на 5, но «5 умноженная на константу» все еще является константой, поэтому мы просто пишем «$C$».

\begin{уравнение*} \int \big(f(x)\pm g(x)\big)\,dx =\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx \end{уравнение*}

Это правило суммы/разности: мы можем разбивать интегралы на части, когда подынтегральная функция содержит члены, которые добавляются/вычитаются, как мы делали в примере 5.1.7. Итак: 90+С\)”; скорее смотрите последнее правило из списка.

Мы представляем антидифференцировку как «операцию, обратную» дифференцировке. Вот полезная цитата для запоминания:

«Обратные операции выполняют противоположные действия в обратном порядке». 2}} – (\sqrt{x} + 2)(x – 5) dx\) 92 – 10х\вправо) + С \end{выравнивание*}
Подраздел 5.1.1 Проблемы с начальным значением
В разделе 2.3 мы видели, что производная функции положения дает функцию скорости, а производная функции скорости описывает ускорение. Теперь мы можем пойти «другим путем»: первообразная функции ускорения дает функцию скорости и т. д. Пока есть только одна производная данной функции, первообразных бесконечно много. Поэтому мы не можем спрашивать: «Что такое скорость объекта, ускорение которого равно -32 ^футов ⁄ _{с ²} ?», поскольку существует более одного ответа.
Мы можем найти ответ , если вместе с вопросом предоставим больше информации, как это сделано в следующем примере. Часто дополнительная информация поступает в виде начального значения , значения функции, которое известно заранее.
Пример 5.1.10.
Найдите функцию $f(x)$ такую, что 92+\cos(x)+1\text{. }\)
Пример 5.1.12. Решение задач с начальными значениями.
Ускорение свободного падения падающего объекта составляет -32 ^футов ⁄ _{с ²} . В момент времени $t=3\text{,}$ падающий объект имел скорость -10 ^футов ⁄ _с . Найдите уравнение скорости тела.
Решение.
Мы хотим знать функцию скорости, $v(t)\text{.}$ Мы знаем две вещи:
Ускорение, т.е. $v'(t)= -32\text{ ,}$ и
скорость в определенное время, т. е. $v(3) = -10\text{.}$
Используя первую часть информации, мы знаем, что $v(t)$ является первообразной $v'(t)=-32\text{.}$. Итак, мы начнем с нахождения неопределенного интеграла от $-32\текст{:}$
\begin{уравнение*} \int (-32)\,dt = -32t+C=v(t)\text{.} \end{equation*}
Теперь мы используем тот факт, что $v(3)=-10$, чтобы найти $C\text{:}$
\begin{align*} v(t) \amp = -32t+C\\ v(3) \ампер = -10\\ -32(3)+С \amp = -10\\ С \амп = 86 \end{выравнивание*}
Таким образом, $v(t)= -32t+86\text{. }$ Мы можем использовать это уравнение, чтобы понять движение объекта: когда $t=0\text{,}$ объект скорость $v(0) = 86$ ^футов ⁄ _с . Поскольку скорость положительна, объект двигался вверх.
Когда объект начал двигаться вниз? Сразу после $v(t) = 0\text{:}$
\begin{equation*} -32t+86 = 0 \подразумевается t = \frac{43}{16} \приблизительно 2,69\text{s}\text{.} \end{equation*}
Признайте, что мы можем довольно многое определить о пути объекта, зная только его ускорение и скорость в определенный момент времени.
Пример 5.1.13. Решение задач с начальными значениями.
Найти $f(t)\text{,}$ при условии, что $\fpp(t) = \cos(t)\text{,}$ $\fp(0) = 3$ и \ (ф(0) = 5\текст{.}\)
Решение.
Начнем с нахождения $\fp(t)\text{,}$, который является производным от $\fpp(t)\text{:}$
\begin{align*} \int \fpp(t)\,dt \amp = \int \cos(t) \,dt\\ \amp = \sin(t) + C\\ \amp = \fp(t)\text{. } \end{align*}
Итак, $\fp(t) = \sin(t) +C$ для правильного значения $C\text{.}$ Нам дано, что $\fp( 0) = 3\текст{,}$ итак:
\begin{выравнивание*} \sin(0) +C \amp = 3\\ C \амп = 3\текст{.} \end{align*}
Используя начальное значение, мы нашли $\fp(t) = \sin(t) + 3\text{.}$ Теперь найдем $f(t)$ по снова интегрирование. Мы будем использовать другую константу интегрирования, так как мы уже определили $C$ равным $3$ выше.
\begin{уравнение*} f(t)=\int \fp(t) \,dt = \int (\sin(t) +3)\,dt = -\cos(t) + 3t + D\text{.} \end{equation*}
Нам дано, что $f(0) = 5\text{,}$ поэтому
\begin{align*} -\cos(0) + 3(0) + D \амп = 5\\ -1 + С \амп = 5\\ С \ ампер = 6 \end{выравнивание*}
Таким образом, $f(t) = -\cos(t) + 3t + 6\text{.}$
В этом разделе представлены первообразные и неопределенный интеграл. Мы обнаружили, что они необходимы при поиске функции с учетом информации о ее производной (производных). Например, мы нашли функцию скорости по заданной функции ускорения.
В следующем разделе мы увидим, как положение и скорость неожиданно связаны площадями определенных областей на графике функции скорости. Затем, в разделе 5.4, мы увидим, как тесно связаны друг с другом площади и первообразные. Эта связь невероятно важна, на что указывает название теоремы, описывающей ее: Основная теорема исчисления.
Упражнения 5.1.2 Упражнения
Термины и понятия
1.
Дайте определение термину «первообразная» своими словами.
2.
Что точнее: «тот» первообразный $f(x)$ или «некий» первообразный $f(x)\text{?}$
3.
Используйте свои слова для определения неопределенного интеграла от $f(x)\text{.}$
4.
Заполните пропуски: «Обратные операции выполняют действия по порядку».
5.
Что такое «задача начального значения»?
6.
Производная функции положения является функцией.
7.
Первообразная функции ускорения есть функция.
8.
Если $F(x)$ является первообразной $f(x)\text{,}$ и $G(x)$ является первообразной $g(x)\text{, }$ дают первообразную $f(x)+g(x)\text{.}$
Проблемы
Группа упражнений.
Вычисление неопределенного интеграла. Не забывайте константу интегрирования! 9п\,дн\текст{.}\)

29.

Эта задача исследует, почему теорема 5.1.8 утверждает, что $\ds \int \frac1x\,dx = \ln\abs{x} + C\text{.}$

Каков домен $y = \ln(x)\text{?}$
Найти $\lzoo{x}{\ln(x) }\text{.}$
Каков домен $y = \ln(-x)\text{?}$
Найти $\lzoo{x}{\ln(-x)}\text{.}$

Вы должны обнаружить, что $1/x$ имеет два типа первообразных, в зависимости от того, является ли $x \gt 0$ или $x\lt 0\text{.}$ В одном выражении дайте формула для $\ds \int \frac{1}{x}\, dx$, учитывающая эти разные домены, и объясните свой ответ. 9{x}\cos\!\left(x\right)}\text{,}\) find $dy\text{. }$

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Интеграция

Начнем с вопроса.

Вопрос: Назовите две функции F(x), такие что F'(х) = х

Ответ: 1/2 x ² и 1/2 x ² + 3

Мы можем видеть, что если

F'(х) = х

тогда

F(х) = 1/2 х ² + С

для некоторой константы C.

Мы называем F(x) первообразной или интеграл от f(x) и записать

В общем, если

F'(x) = f(x)

тогда мы пишем

Из производной формулы

д
х ⁿ = nx ^n-1
dx

Получаем интегральная формула

Правило силы

Просто как и с производными, чтобы найти первообразную суммы или разности, мы можем возьмем первообразную каждого члена. Также, как и производные, первообразную произведения или частного найти нелегко.

Пример

Какой из них легко найти первообразную

A. 8x ³ – 6x

В. х

x ⁵ + 2

Решение

Мы можем легко найти первообразную части А., найдя производная от 8x ³ и 6x отдельно. Первообразная

8(1/4 х ⁴ ) – 6(1/2 х ² ) + C = 2x ⁴ – 3x ² + C

B. Этот, с другой стороны, это частное. У нас нет способа найти его первообразная.

Упражнение

Найдите следующие интегралы:

(х + x ² )dx
1/ х ² дх
(12 шт. ) ² шт.
1 / дх
(1 – 2x) ²⁰ dx

Особые решения

Мы видели, что интеграл дает целое семейство решений, параметризованных на C. В большинстве приложений нам дается начальное или другое условие и, следовательно, найти значение C. Первообразная с известным С называется конкретное решение .

Пример

Найдите решение для

F'(х) = 4x – 3

При условии

Ф(1) = 2

Решение:

Сначала найдем первообразную:

Ф(х) = 2x ² – 3x + С

Теперь подставьте 1 вместо x и 2 для F, чтобы получить:

2 = 2(1) ² – 3(1) + C = -1 + C

Так что C = 3. Частным решением является

F(x) = 2x ² – 3x + 3.

Пример

Найти решение дифференциального уравнения

dy/dx = 3x ² – 4x + 2

Решение

Находим первообразную числа

3x ² – 4x + 2

Мы можем найти эту первообразную, найдя первообразную x ² , х и 2 отдельно.

3(1/3 х ³ ) – 4(1/2 x ² ) + 2x

= x ³ – 2x ² + 2x

Обратите внимание, что, поскольку производная константы равна нулю, добавление константы первообразная приводит к другой первообразной для той же функции. Мы можно записать окончательный ответ как

х ³ – 2x ² + 2x + С

, где C представляет собой любую константу.

приложений

Поскольку ускорение свободного падения есть константа a = 32, мы можем вывести уравнения физики.

Пример

Предположим, что мы пинаем футбольный мяч с начальной скоростью вверх 100 футов в секунду, через какое время он упадет на землю?

Решение

У нас есть

v(t) = -32 дт = -32т + С

v(0) = 100 = С

с(т) = (-32t + 100)дт = -16т ² + 100т + С

с(0) = 0 = С

следовательно

с(т) = -16t ² + 100t = t(-16t + 100)

Чтобы

с(т) = 0, когда -16t + 100 = 0

или же

т = 100/16 = 6,25

Чтобы коснуться земли, потребуется 6,25 секунды.

Пример

Предположим, что предельный доход горнолыжного курорта равен

М = 50 – 0,01 х

И предположим, что при 50 долларах за билет горнолыжный курорт будет 2000 лыжников.

Найдите уравнение спроса.

Решение

Поскольку предельный доход является производной от дохода, первообразная предельного дохода.

р = (50 – 0,01x) дх = 50x – 0,005 x ² + C

Доход равен цена умножается на количество. это

50x – 0,005 x ² + C =

пикс.

Сейчас найдите C, заметив, что когда p = 50, х = 2000.

50(2000) – 0,0005 (2000) ² + C = (50)(2000)

80 000 + C = 1 000 000

C = 920 000

Подстановка C в наше уравнение и деление на x дает уравнение спроса

р = 50 – 0,005 х + 920 000 / х

Назад на домашнюю страницу Math 116

Назад к математике Дом Департамента

электронная почта Вопросы и предложения

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл (также называемый первообразной , а иногда примитивным интегралом ) связан с определенным интегралом посредством фундаментальной теоремы исчисления — темы, которую мы будем более подробно исследовать в другом месте этой статьи. раздел. Мы знаем, что определенный интеграл даст нам площадь области под кривой для непрерывной функции на замкнутом интервале. Таким образом, он оценивается как число. Неопределенный интеграл не дает числа. Скорее, неопределенный интеграл является функцией . На самом деле, как мы увидим, это целое семейство функций с бесконечным числом членов.

Название первообразной на самом деле довольно хорошо описывает природу неопределенного интеграла. По сути это напротив производной. Предположим, у нас есть функция ƒ( x ), для которой мы хотим найти неопределенный интеграл. Мы уже установили, что ищем функцию. Оказывается, ƒ( x ) на самом деле является производной искомой функции. Давайте посмотрим на пример. Предположим, мы хотим найти неопределенный интеграл функции ƒ( x ) = x ² + 2 x . Мы знаем, что ƒ( x ) является производной искомой функции, но как нам обратить процесс дифференцирования, чтобы получить неопределенный интеграл? Давайте подумаем, что нам нужно было сделать, чтобы получить производную в первую очередь.

Рассмотрим терм x ² . Когда мы дифференцируем степень x , мы умножаем коэффициент x на показатель степени, в которую возводится x , а затем уменьшаем показатель степени на единицу. Чтобы обратить процесс вспять, нам нужно увеличить показатель степени на единицу и разделить коэффициент на 9.0055 x по новому показателю. Таким образом, новый показатель степени x будет равен три (3), а новый коэффициент x будет равен одна треть ( ¹ / ₃ ). Таким образом, интеграл от x ² равен ¹ / ₃ x ³ . Применяя ту же процедуру к терму 2 x , мы видим, что интеграл от 2 x должен быть равен x ². Функция, которую мы ищем, которую мы назовем F ( x ) – поэтому будет:

F ( x ) = ¹ / ₃ x ³ + x ²

Если это верно, то нахождение производной этой функции должно дать нам исходную функцию ƒ( x ) = x ² + 2 x .

Применяя основные правила дифференцирования к F ( x ) подтвердит, что это так:

F ′( x ) = x ² + 2 x

В общих чертах, мы можем определить неопределенный интеграл от ƒ( x ) как любую функцию F ( x ), такую, что:

F ′( x ) = ƒ( x )

Однако здесь есть потенциальная проблема. Рассмотрим следующие возможности для Ф ( х ):

F ( x ) = ¹ / ₃ x ³ + x ^{+ 2}

F ( x ) = ¹ / ₃ x ³ + x ²6

F ( x ) = ¹ / ₃ х ³ + х ² + π

F ( x ) = ¹ / ₃ x ³ + x ² + e ²

Теперь подумайте, какой будет производная для каждой из этих функций. Вы, конечно, обнаружите, что все они будут иметь одну и ту же производную, т.е.

F ′( x ) = x ² + 2 x

Почему? Потому что последний член в каждом случае является константой . Всякий раз, когда мы дифференцируем константу, мы получаем ноль. Поэтому на самом деле не имеет значения, какой постоянный член у нас есть в конце функции при дифференцировании. Любой набор функций, отличающихся друг от друга только постоянным членом, будет иметь одну и ту же производную. Если подумать, это совершенно логично. Почему? Поскольку производная функции просто дает нам наклон этой функции для заданного значения x . Добавление постоянного значения к функции не изменяет ее наклон , а только ее вертикальную ориентацию. Мы можем видеть это на иллюстрации ниже.

Добавление постоянного члена к функции не меняет ее наклон

На самом деле существует бесконечное количество функций, которые дадут нам точно такую же производную. Единственная разница между ними будет заключаться в постоянном члене. Поэтому мы, возможно, могли бы записать неопределенный интеграл функции ƒ( x ) = x ² + 2 x следующим образом:

F ( x ) = ¹ / ₃ x ³ + x ^{+ 2}

где знак вопроса представляет неизвестное постоянное значение. Вскоре мы вернемся к вопросу о том, как поступить с этой неизвестной величиной. А пока обратим внимание на обозначения, которые мы должны использовать здесь для неопределенного интеграла. Вы, наверное, помните, как писать определенный интеграл для функции ƒ( x ):

7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779н Интегральный символ (это длинный символ ‘s’ над левой частью) говорит нам, что мы смотрим на интеграл, а символы a и b сразу справа от интеграла.

символ интеграции нижний и верхний пределы интегрирования соответственно. Функция ƒ( x ) — это подынтегральная функция (т.е. то, что мы интегрируем), а d x в конце говорит нам, что x — это наша переменная интегрирования (это также можно увидеть как представляющие бесконечно малые приращения x ). Теперь посмотрите, как мы записываем неопределенных интегралов от ƒ( x ):

∫	B	ƒ ( x ) D x
	A

∫	ƒ( x ) d x

На первый взгляд это выглядит так же, как запись определенного интеграла. Обратите внимание, однако, что верхний и нижний пределы интегрирования отсутствуют. Это потому что там есть нет домена интеграции . В то время как определенный интеграл приводит нас к числу, представляющему площадь ограниченной области под графиком функции, неопределенный интеграл есть просто другая функция — функция, которую мы фактически получаем, обращая процесс дифференцирования, который дал воспользуемся функцией ƒ( х ). Этот процесс, обратный дифференцировке, называется антидифференцировкой (или неопределенной интеграцией ).

Нам все еще нужно что-то сделать с постоянным членом, который был потерян при дифференцировании (для упрощения мы будем работать, исходя из предположения, что было постоянным членом, даже если это не так). Конечно, невозможно определить значение постоянного члена. Как только оно было устранено в процессе дифференциации, оно исчезло навсегда. Но как показать эту отсутствующую константу в наших обозначениях? Ответ на самом деле очень прост. Мы просто используем букву C в качестве заполнителя. Вот как мы записываем неопределенный интеграл функции ƒ( x ) = x ² + 2 x :

∫	x ² + 2 x d x = ¹ / ₃ x ³ + x ² + C

Буква C представляет все возможные значения отсутствующей константы, в том числе ноль . Мы называем C константой интегрирования . d x , следующее за интегралом, является дифференциалом . На самом деле вы уже должны быть хорошо знакомы с ним из изучения дифференциального исчисления. Это очень важно, и никогда нельзя опускать . Почему? Ну, во-первых, он сообщает нам, где заканчивается выражение, которое нужно проинтегрировать (интегральная функция ). В приведенном выше примере его отсутствие не вызвало бы особых проблем, но рассмотрим следующий неопределенный интеграл:

∫

3 x ² + 2 x D x + 3 = x ³ + x x ³ + 56669 9056 ^{.
Предположим, мы забыли включить d x в левую часть уравнения? Очевидно, что наши обозначения будут неверны. Гораздо важнее, однако, тот факт, что мы получим неправильных ответов , т.е.
∫ 3 x ² + 2 x + 3  =   x ³ + x ² + 3 x + C
Есть и другие веские причины всегда включать дифференциал. Например, он сообщает нам, для какой переменной мы интегрируем (то есть интегрируем ли мы для x или для какой-либо другой переменной). Это особенно важно, если мы хотим углубиться в область многомерного исчисления. Даже если мы никогда не пойдем дальше исчисления с одной переменной, мы неизбежно столкнемся с проблемами интеграции, гораздо более сложными, чем примеры, которые мы рассматривали до сих пор. Это часто будет включать в себя манипулирование уравнениями с использованием алгебраических операций, основанных на наличии дифференциала.
Собрав воедино все, что мы уже узнали, теперь мы можем выразить неопределенный интеграл функции ƒ( x ) следующим образом:
∫ ƒ( x ) d x   =   F ( x ) + где F ( x ) удовлетворяет условию, что:
F ′( x )  =  ƒ( х )
Хотя мы будем говорить об основной теореме исчисления более подробно в другом месте, здесь стоит кратко изложить эту теорему, чтобы дать вам представление о том, как связаны интегрирование и дифференцирование и почему неопределенный интеграл может помочь нам вычислить определенный интеграл для интегрируемой функции. Сама теорема состоит из двух частей. Первая часть, которую иногда называют первой фундаментальной теоремой исчисления , по сути просто говорит нам, что интеграция и дифференцирование являются противоположностями друг друга. Вторая часть, которую иногда называют второй фундаментальной теоремой исчисления , говорит нам, что мы можем вычислить определенный интеграл для функции, используя один из ее неопределенных интегралов (которых, помните, существует бесконечное число ).
Мы уже видели пример того, как можно применить первую часть теоремы для нахождения неопределенного интеграла функции, просто применяя степенное правило для интегрирования. Это правило по существу является , обратное степенного правила, используемого при дифференцировании. Он основан на квадратурной формуле Кавальери , названной в честь итальянского математика семнадцатого века Бонавентуры Франческо Кавальери (1598-1647). Формула правила степени интегрирования выглядит следующим образом:
950505050505559505050505050505050505050505050559505055 ^{.0055 C}
∫ AX ^N D x = A x ^{N +17393}
n +1
Обратите внимание, что n не должно быть равно минус один ( n ≠ -1), поскольку в этом случае знаменатель в правой части формулы будет равен нулю. Буквы a и C обозначают постоянный коэффициент x и постоянную интегрирования соответственно. Это правило само по себе позволяет интегрировать все полиномиальные функции одной переменной. Как и при дифференцировании, мы интегрируем каждое слагаемое отдельно, и знак плюс или минус перед каждым слагаемым не меняется. Для более сложных функций потребуются дополнительные правила, о которых мы поговорим в другом месте этого раздела. Интеграция не имеет эквивалентов для правил произведения и частного, используемых при дифференцировании. Если мы сталкиваемся с продуктом или частным в проблеме интеграции, нам нужно найти другие способы справиться с ними.
Наиболее важным следствием второй фундаментальной теоремы исчисления является то, что она дает нам относительно простой способ вычисления определенного интеграла для функции. В двух словах, он говорит нам, что если функция непрерывна на некотором замкнутом интервале, то определенный интеграл для этого интервала (или область интегрирования ) может быть вычислен путем нахождения значений неопределенного интеграла (который это функция, помните) на каждом конце интервала. Определенным интегралом будет разница между этими двумя величинами. Другими словами, если функция F ( x ) — неопределенный интеграл от функции ƒ( x ), а ƒ( x ) непрерывен на замкнутом интервале [ a , b ], тогда:
∫ b ƒ( x ) d x   =   F ( b ) – F ( a )
a
Давайте попробуем пример. Найдем определенный интеграл для функции ƒ( x ) = 2 x ⁵ – 10 x ³ + 5 для -2 ≤ x ≤ 2. График этой функции показан ниже. Как видите, определенный интеграл будет иметь как положительную, так и отрицательную составляющие.

График функции ƒ( x ) = 2 x ⁵ – 10 x ³ + 5 для -2 ≤ x ≤ 2

Применяя степенное правило интегрирования к каждому члену функции по очереди, получаем следующее:
∫ 2 x ⁵ d x   =  2 x ⁶   =   1 x ⁶
6 3
∫ -10 x ³ d x   =  -10 x ⁴   =  – 5 x ⁴
4 2
∫ 5 d x   =  5 x   =  5 x
1
Таким образом, неопределенный интеграл F ( x ) для функции ƒ ( x ) = 2 x ⁵ – 10 x ³ + 5 равен:
Ф ( x ) = ∫ 2 x ⁵ – 10 x ³ + 5 D x = ¹ /5 x = ¹ /. / ₂ x ⁴ + 5 x
А определенный интеграл для функции ƒ( х ) = 2 х ⁵ – 10 х ³ + 5 при -2 ≤ х ≤ 2 будет:
∫ 2 2 x ⁵ – 10 x ³ + 5 D x = F (2) – x = 5556 (2) – x = 55 (2) – x = 5 (2) – x = 5 (2) – x = 5 (2) – x = 5 (2) – x = 5 (2) – x = 5 (2) – x = . -2
∫ 2 2 x ⁵ – 10 x ³ + 5 D x x ³ + 5 D x = 210172 3 + 5 D x = ³ + 5 D x = ³ + 5 D x = ³ + 5 D x = ³ + 5 D x x .
Оставить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Поиск:
Рубрики
Вакансии
Востребованные вакансии
Обучение в Европе
Обучение за границей
Работа
Работа для всех
Советы абитуриенту
Студенту
Студенческие будни
Разное
2019 © Все права защищены. Карта сайта
Меню Поиск:
Советы абитуриенту
Работа для всех
Востребованные вакансии
Студенческие будни
Обучение за границей}