Производная от п: Mathway | Популярные задачи

2

Содержание

Производные правила | Математическое исчисление

Производные правила и законы. Таблица производных функций.

  • Производное определение
  • Производные правила
  • Таблица производных функций
  • Производные примеры

Производное определение

Производная функции – это отношение разности значений функции f (x) в точках x + Δx и x к Δx, когда Δx бесконечно мало. Производная – это наклон функции или наклон касательной в точке x.

 

Вторая производная

Вторая производная определяется по формуле:

Или просто выведите первую производную:

N-я производная

Производная n вычисляется путем вычисления f (x) n раз.

В п – е производная равна производной от (п-1) производное:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] ‘

Пример:

Найдите четвертую производную от

е ( х ) = 2 х 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] ” ” = [10 x 4 ] ” ‘= [40 x 3 ]’ ‘= [120 x 2 ]’ = 240 x

Производная на графике функции

Производная функции – это наклон касательной прямой.

Производные правила

Правило производной суммы

( af ( x ) + bg ( x )) ‘= af’ ( x ) + bg ‘ ( x )

Правило производного продукта

( f ( x ) ∙ g ( x )) ‘= f’ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ‘

( x )

Правило производного частного
Правило производной цепочки

f ( g ( x )) ‘= f’ ( g ( x )) ∙ g ‘ ( x )

Правило производной суммы

Когда a и b постоянные.

( af ( x ) + bg ( x )) ‘= af’ ( x ) + bg ‘ ( x )

Пример:

Найдите производную от:

3 х 2 + 4 х.

Согласно правилу сумм:

а = 3, б = 4

е ( х ) = х 2 , g ( х ) = х

f ‘ ( x ) = 2 x , g’ ( x ) = 1

(3 х 2 + 4 х ) ‘= 3⋅2 х + 4⋅1 = 6 х + 4

Правило производного продукта

( f ( x ) ∙ g ( x )) ‘= f’ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ‘ ( x )

Правило производного частного

Правило производной цепочки

f ( g ( x )) ‘= f’ ( g ( x )) ∙ g ‘ ( x )

Это правило можно лучше понять с помощью обозначений Лагранжа:

Функция линейной аппроксимации

Для малых Δx мы можем получить приближение к f (x 0 + Δx), когда мы знаем f (x 0 ) и f ‘(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ‘( x 0 ) ⋅Δ x

Таблица производных функций

Название функции Функция Производная

f ( x )

f ‘( x )
Постоянный

const

0

Линейный

х

1

Сила

х а

топор а- 1

Экспоненциальный

e x

e x

Экспоненциальный

а х

a x ln a

Натуральный логарифм

ln ( x )

Логарифм

журнал b ( x )

Синус

грех х

cos x

Косинус

cos x

-sin x

Касательная

загар х

Арксинус

arcsin x

Арккосин

arccos x

Арктангенс

arctan x

Гиперболический синус

зп х

cosh x

Гиперболический косинус

cosh x

зп х

Гиперболический тангенс

tanh x

Обратный гиперболический синус

sh -1 x

Обратный гиперболический косинус

cosh -1 x

Обратный гиперболический тангенс

танх -1 х

Производные примеры

Пример # 1

е ( х ) = х 3 +5 х 2 + х +8

f ‘ ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Пример # 2

е ( х ) = грех (3 х 2 )

При применении цепного правила:

f ‘ ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]’ = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Тест второй производной

Когда первая производная функции равна нулю в точке x 0 .

f ‘( x 0 ) = 0

Тогда вторая производная в точке x 0 , f ” (x 0 ), может указывать на тип этой точки:

 

f ” ( x 0 )/ 0

местный минимум

f ” ( х 0 ) <0

локальный максимум

f ” ( х 0 ) = 0

неопределенный

 


  • Исчисление
  • Преобразование Лапласа ( ℒ  )
  • Символы исчисления

§ 1. Производная



§ 1. Производная

 

п. 1. Основные понятия

 Пусть дана функция f(x

). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности Dх = х-х0 и D = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответ­ственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Оче­видно, что х = х0+Dх, у = у0+Dу, Dу = f(x0+Dx)-f(x0
). В дальнейшем будем считать значение х0 фиксированным, а х – переменным. При этом Dх и Dу являются пе­ременными величинами.

Производной функции у f(x) в точке х0 называется  если этот предел существует. Производная обозначается у’(x0) или f’(x0). Таким образом, .

Пусть Х {х}-множество всех таких х, для которых существует y(х).

Очевидно, что (х) является функцией, определенной на множестве Х.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференци­руемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (a, b), называется дифференцируемой на интервале (a, b).

Из курса средней школы известен геометрический смысл производной. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, тогда угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке (х0, f

(х0)) равен у’(х0).

Из курса средней школы известен также физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону = f(t), где – время, S – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость точки в момент времени t равна: = S’(t).

Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0

, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть аргумент х получает в точке х0 приращение Dх ¹ 0. Ему соответствует некоторое приращение функции Dу. Вычислим предел:

а это и означает непрерывность функции в точке х0.

Заметим, что обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не дифференцируемы. Примерами могут слу­жить функции у = çх çи  в точке х = 0. В обоих случаях (0) не существует.

Заметим, что график у = çх çв точке х = 0 не имеет касательной, а график  в точке х=

0 имеет вертикальную касательную – ось Оу.

 

 

п. 2. Вычисление производной

Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы:

1.      С’ = 0, где С – константа.

2.      (хn) ‘ = n×xn-1, где n – натуральное число

3.      (ax)’= axlna, где а>0, a ¹ 1. В частности, (ех)’ = ех

4.      , где а>0, a ¹ 1. В частности, 

5.      (sinx)’ = cosx

6.      (cosx)’ = -sinx

В курсе средней школы установлены основные правила дифференцирования.

Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u×v, . Последнее при условии, что v(x) ¹ 0. Причем

(u+v)’ = u’+v’

(u×v)’ = u’v+uv’

Следствием последних трех соотношений являются следующие два: (сu)’ = cu’, где с – константа, и (u-v)’ = u’-v’

Используя правило нахождения производной частного, легко получаются формулы:  и , которые выполняются для любого х, при котором существует tgx и cosx ¹ 0 или существует ctgx и sinx¹0.

 

п. 3. Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некото­ром интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f’(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у f–1(x) имеет производную [f–1(x)], причем

 или 

Доказательство. По условию теоремы функция x = f(y) монотонна и дифференци­руема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f–1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение Δх¹0. Тогда функция у = f–1(x) получит приращение Δу, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у f–1(x) непрерывна, то Δу®0 при Δх®0. Тогда .

Пользуясь доказанной теоремой, вычислим производные обратных триго­нометрических функций. Для функции у = arcsinx обратной является функция = siny, которая является в интервале  монотонной и дифференцируе­мой. Ее производная x’ = cosy в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому . Таким образом .

Аналогично получаются формулы

п. 4. Производная сложной функции

Пусть = f(u) и = g(x). Тогда функция = f(g(x)) называется сложной функ­цией от х.

Теорема 1. Если функция u=g(x) имеет производную u’x в точке х, а функ­ция = f(u) имеет производную у’u в соответствующей точке u, то сложная функция = f(g(x)) в точке х имеет производную у’xпричем у’= у’u× u’x.

Доказательство. Дадим х приращение Δх. Тогда u и у получат соответст­венно приращения Δu и Δу. Будем считать, что Δu при Δх®0 не принимает зна­чений, равных нулю. Тогда . Так как функция = g(x) дифференцируема, а следовательно, непрерывна, то Δu®0 при Δх®0. Поэтому . Тогда . Это означает, что у’= у’u× u’x.

Заметим, что теорема верна и в случае, когда при Δх®0 Δu принимает значения, равные нулю.

Примеры. Найти производную функции.

1.      у = lnarctgx

 .

2. y = cos3(x2)

y’ = 3cos2(x2)(-sin(x2))2x = -6xsin(x2)cos2(x2)

3. 

.

 

 

п. 5. Производные гиперболических функций

, поэтому 

Аналогично: (chx)‘ = shx.

Аналогично: 

п. 6. Производная степенной функции с любым действительным показателем

Известно, что (xn)‘ = nxn-1 для натурального n. Пусть теперь n любое дейст­вительное число и х>0. Справедливо тождество x= enlnx. Тогда у = enlnx – сложная функция и ее производная вычисляется следующим образом: y’ = (enlnx)’ = enlnx(nlnx)’ = enlnx =  x= nxn-1. Итак, при любом действитель­ном n и х>0 верна формула (xn)‘ = nxn-1. Можно показать, что эта формула справедлива и при х<0, если при этом функция y = xn определена.

п. 7. Таблица формул дифференцирования

В таблице приняты обозначения: с, n – любые действительные числа; а – любое положительное действительное число, кроме единицы.  u= u(x) – функция, дифференцируемая в точке х, = f (u) – функция, дифференцируемая в соответствующей точке u. Таблица составлена на основании формул дифференцирования основных элементарных функций и теоремы о производной сложной функции.

 

1.(с)‘ = 0

 

 

8. ,

2. (un)‘ = nun-1u’

 

 

9. 

3(au) = aulnau’

10. 

 

3а. (eu= euu’

 

 

11. 

4.  

 

 

4а. 

13. (chu)‘ = shu×u’

5(sinu)‘ = cosu×u’

14. 

6.(cosu)‘ = –sin×u’

15. 

7.  

16. 

 

 

п. 8. Производные высших порядков

Предположим, что функция = f(x) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в). Тогда ее производная f’(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции f(x)и обозначается y” или f”(x).

Таким образом, f”(x) = (f’(x)) ‘. При этом f’(x) называется первой произ­водной или производной первого порядка функции f(x).

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, производной n –го порядка функции = f(x) в точке х называ­ется первая производная производной (n-1)-го порядка функции f(x) при ус­ловии, что в точке х существуют все производные от первого до n –го порядков. Обозначение: y(n) или f(n)(x). Таким образом, f(n)(x) = ( f(n-1)(x)) ‘.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

 

Примеры.

1.                 Найти у”’ для функции y = cos2x.

y’ = 2cosx(-sinx) = –sin2x

y” = –2cos2x

y”’ = 4sin2x

2.                 Найти y(n) для функции y = e3x, y’ = 3e3x, y” = 32e3x, y”’ = 33e3x,…, y(n) = 3ne3x

Механический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону = f(t), где t-время, f(t) – путь, пройденный за время t. Из физики известно, что при этом ускорение точки в момент времени t равно производной скорости по t.  Таким образом, ускорение w(t) = v’(t) = S”(t) равно второй производной пути по времени.

п. 9. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями:

= x(t)= y(t)tÎ(a;b).

Предположим, что функции x(t), y(t), имеют производные на (a;b) и функция x(t) имеет обратную функцию = g(х), которая также имеет производную в соответствующих точках х. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию у от х можно рассматривать как сложную функцию = y(t), t = g(х), – промежуточный аргумент. По правилу дифференцирования сложной функции получаем y’= y’t’= y’gxПо теореме о дифференцировании обратной функции g. Учитывая это, получаем y’=.

Если существует у”х, то рассуждая аналогично, получаем

Вообще,  при условии, что все производные существуют.

Пример. x = cos3ty=sin3t. Вычислить у”хx= – 3cos2t sint, y’t=3sin2tcost, поэтому  . Тогда .

 

 

п. 10. Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть значения переменных х и у связаны уравнением

F(xy) = 0.                                                                                                         (1)

Если функция = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию = f(x) неявно или что функция = f(x) есть неявная функция.

Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным.

Для нахождения производной у’х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у’х.

Пример 1. Вычислить у’х.

У5+ху-х= 0

Продифференцируем обе части по х. Получим 5у4у’+у+ху’-2х=0Выразим у’. y(5у4) = 2х-у, у’ = (2х-у)/(5у4).

Пример 2.                                                                                                              

tg(x+yxy

Продифференцируем обе части по х. Получим  или . Отсюда или . Окончательно .

Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство

y‘ = g(xy)                                                                                                       (2)

Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y’.

Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции.

Пример. х221=0. Найти у”.

Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим 2х+2уу’ = 0, откуда у’ = –. Продифференцируем обе части последнего равенства по х, получим  или . Подставим , вместо у’. .

 

 

п. 11. Логарифмическое дифференцирование

Функция вида = [u(x)]v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у’ существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции.

Пример. Найти производную функции = (sinx)x

Логарифмируем функцию по основанию е:ln= x lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х, получаем

,

отсюда  или .

Рассмотренный прием называется логарифмическим дифференцированием. Он применяется не только для вычисления производных степенно-показательных функций, но и в случаях, когда аналитическое выражение функции содержит несколько множителей.

Пример. Найти производную функции . Логарифмируя, получаем . Дифференцируем обе части полученного равенства:

, отсюда  или .

ПРОИЗВОДНЫЕ – Что такое ПРОИЗВОДНЫЕ?

Слово состоит из 11 букв: первая п, вторая р, третья о, четвёртая и, пятая з, шестая в, седьмая о, восьмая д, девятая н, десятая ы, последняя е,

Слово производные английскими буквами(транслитом) – proizvodnye

  • Буква п встречается 1 раз. Слова с 1 буквой п
  • Буква р встречается 1 раз. Слова с 1 буквой р
  • Буква о встречается 2 раза. Слова с 2 буквами о
  • Буква и встречается 1 раз. Слова с 1 буквой и
  • Буква з встречается 1 раз. Слова с 1 буквой з
  • Буква в встречается 1 раз. Слова с 1 буквой в
  • Буква д встречается 1 раз. Слова с 1 буквой д
  • Буква н встречается 1 раз. Слова с 1 буквой н
  • Буква ы встречается 1 раз. Слова с 1 буквой ы
  • Буква е встречается 1 раз. Слова с 1 буквой е

Значения слова производные. Что такое производные?

Производная

ПРОИЗВОДНАЯ – производной функции y = f(x), заданной на некотором интервале (a, b) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента…

Энциклопедия Кругосвет

Производная, основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции; П. есть функция, определяемая для каждого х как предел отношения:, если он существует.

БСЭ. — 1969—1978

ПРОИЗВОДНАЯ (derivative) Темп приращения значения функции при приращении ее аргумента в какой-либо точке, если сама функция в этой точке определена. На графике первая производная функции показывает угол ее наклона.

Райзберг Б.А. Современный экономический словарь. – 1999

Производная функции

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).

ru.wikipedia.org

Производные единицы СИ

Международная система единиц (СИ) определяет набор из семи основных единиц, из которых формируются все другие единицы измерения. Эти другие единицы называются производными единицами СИ и также считаются частью стандарта.

ru.wikipedia.org

Производное произведение

ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ — произведения, созданные в результате перевода с одного языка на другой или переработки оригинального произведения: обработки, аннотирования, реферирования, аранжировки, переработки, пересказа, резюмирования…

Издательский словарь. — 2003

ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ – по законодательству РФ об авторском праве переводы, обработки, аннотации, рефераты, резюме, обзоры, инсценировки, аранжировки и другие переработки произведений науки, литературы и искусства.

Словарь юридических терминов. – 2000

Производное произведение — это произведение, основанное на одном или нескольких ранее существовавших произведениях, включающие такие элементы как перевод на другой язык, музыкальную аранжировку, постановку на сцене, художественную обработку. ..

ru.wikipedia.org

Производные финансовые инструменты

Производные финансовые инструменты Производные финансовые инструменты – финансовые инструменты, порождающие права и обязанности, исполнение которых ведет к передаче от одной стороны финансового инструмента к другой одного или более финансовых рисков…

Словарь финансовых терминов

Производные финансовые инструменты – финансовые инструменты, порождающие права и обязанности, исполнение которых ведет к передаче от одной стороны финансового инструмента к другой одного или более финансовых рисков…

Словарь финансовых терминов

Производные финансовые инструменты – финансовые инструменты, порождающие права и обязанности, исполнение которых ведет к передаче от одной стороны финансового инструмента к другой одного или более финансовых рисков…

glossary. ru

Ковариантная производная

Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.

ru.wikipedia.org

КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — абсолютное дифференцирование, – операция, инвариантным образом определяющая понятия производной и дифференциала для полей геометрич. объектов на многообразиях – векторов, тензоров, форм и т. д.

Математическая энциклопедия. – 1977-1985

КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ – обобщение понятия производной для полей различных геометрических объектов на многообразиях – векторов, тензоров, форм и т. д.

Математическая энциклопедия. – 1977-1985

Терпены и их производные

Терпены и их производные класс соединений, важных в практическом отношении и весьма интересных в теоретическом; большею частью вырабатываются и выделяются растениями в виде так наз. эфирных масел (см.)…

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. – 1890-1907

ГИДРОКСИЛАМИНА ПРОИЗВОДНЫЕ ОРГАНИЧЕСКИЕ

ГИДРОКСИЛАМИНА ПРОИЗВОДНЫЕ ОРГАНИЧЕСКИЕ. Среди производных ациклич. ряда (физ. св-ва см. в табл.) различают N-производные (общие ф-лы RNHOH и RR’NOH), О-производные (Nh3OR) и N,О-производные (RNHOR’ и RR’NOR

Химическая энциклопедия

ГИДРОКСИЛАМИНА ПРОИЗВОДНЫЕ ОРГАНИЧЕСКИЕ . Среди производных ациклич. ряда (физ. св-ва см. в табл.) различают N-производные (общие ф-лы RNHOH и RR’NOH), О-производные (NH 2OR) и N,О-производные (RNHOR’ и RR’NOR”) гидроксиламина.

Химическая энциклопедия. – 1988

Равенство смешанных производных

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

ru.wikipedia.org

Дифференциальное уравнение в частных производных

Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

ru.wikipedia.org

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ – уравнение вида. где F- заданная действительная функция точки х=(x t,, х п)области Dевклидова пространства Е п…

Математическая энциклопедия. – 1977-1985

Уравнения математической физики, дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений.

БСЭ. — 1969—1978

Примеры употребления слова производные

С конца апреля в рекламной сети Google можно рекламировать алкогольные напитки и производные из них, сообщает ain.ua.


  • Слова из слова “производные”
  • Слова на букву “п”
  • Слова, начинающиеся на “пр”
  • Слова c буквой “е” на конце
  • Слова c “ые” на конце
  • Слова, начинающиеся на “про”
  • Слова, начинающиеся на “прои”
  • Слова, оканчивающиеся на “ные”
  • Слова, заканчивающиеся на “дные”
  1. производном
  2. производность
  3. производную
  4. производные
  5. производный
  6. производственник
  7. производственница

Производная первая производная – Энциклопедия по экономике

Второй метод определения оптимальной мощности предприятия – аналитический. Он основан на построении сложных экономико-математических моделей затрат, как функции объемов выпускаемой предприятием продукции. Оптимальную мощность в этом случае находят, приравнивая нулю первую производную рассматриваемой математической функции.  [c.168]
Аналитический способ определения Гэ. Оцт заключаете я в нахождении расчетной формулы зависимости затрат от срока службы машины. Экономически оптимальный срок службы определяется решением уравнения, представляющего приравненную нулю первую производную найденной функции.  [c.245]

Для этого необходимо взять первую производную (В + 2х) регрессионного уравнения (3.8) и приравнять ее нулю, отсюда величина искомой мощности выразится отношением  [c.107]

Оптимизационные формулы, применяя которые выделяют экономически оптимальный вариант проектного решения (второй тип задач вариантного проектирования), составляются на базе формулы, определяющей величину приведенных затрат. Минимум приведенных затрат затем определяют, дифференцируя эту формулу по искомой переменной и приравнивая к нулю полученную первую производную.  [c.180]

Эта парабола имеет точку минимума в фактической области вариации факторного признака. Для нахождения значения фактора, при котором достигается минимальное значение результативного признака, следует приравнять нулю первую производную по х уравнения (8.30)  [c.264]


Пусть х — переменная, характеризующая объем затрат, произведенных в системе. Тогда S(x) — функция затрат и результат развития системы. Определить точку на -образной кривой, при которой начинается этап старения системы, достаточно легко, так как при этом должно выполняться условие первая производная функции S(x) = 0. Это условие обозначим XQ. Точку на оси х, при которой выполняется это условие, обозначим хл  [c.126]

Одним из них является определение оптимального размера заказа (х0), соответствующего минимальной сумме расходов ТС, путем отыскания первой производной от суммы расходов (ТС) по размеру заказа (х), приравниваем ее к нулю (см. уравнение 13.8).  [c.262]

При такой, кусочно-линейной, интерполяции требуется найти всего 2т чисел (каждый прямолинейный отрезок определяется ровно двумя коэффициентами), но, к сожалению, построенная таким образом аппроксимирующая кусочно-линейная функция не обладает нужной гладкостью уже первая производная этой функции терпит разрывы в узлах интерполяции.  [c.126]

Недостающие два условия для полного определения коэффициентов можно получить, задав, например, значения первых производных на концах отрезка [л 0, х ] (граничные условия)  [c.128]

С0 — совокупная величина постоянных расходов. Рассчитав первую производную по параметру Б из вышеуказанной формулы, получим  [c.44]

Отметим, что точки оптимальности для обеих функций равны (первые производные данных функций совпадают), однако значения в точке оптимальности различны. Это обстоятельство имеет определенное значение при наличии альтернативы по выпуску двух или нескольких видов продукции на одной и той же производственной линии. При равенстве расчетных величин маржинального дохода во внимание принимается значение функции ВПЗ, так как разница валовых поступлений-затрат непосредственным образом влияет на уровень финансового дефицита и финансовой устойчивости предприятия в целом.  [c.49]


Ма = (-0,0019 х Б + 114,9) х Б – 5,9 х Б — 90 х Б — на максимум. Извлекая первую производную, получим  [c. 49]

Эта точка соответствует минимуму функции совокупных издержек (при величине (OQ) большей вышеуказанной первая производная (ТС) имеет положительное значение, то есть функция (ТС) является возрастающей при величине (OQ) меньшей вышеуказанной первая производная (ТС) имеет отрицательное значение, то есть функция (ТС) является убывающей)  [c.284]

Первая производная в практике маркетинговых исследований, как правило, не рассчитывается, а заимствуется из математических справочников. В табл. 5.12 приводятся производные наиболее употребительных функций.  [c.230]

Какой показатель в линейной модели спроса соответствует первой производной функции в формуле теоретического коэффициента эластичности  [c.232]

Из условий экстремума задачи (1)-(3) с помощью несложных преобразований может быть получено выражение для первой производной функции R(y)  [c.204]

Акции и облигации являются первыми производными действительного капитала. Кроме них на рынках обращаются бумаги, в основе которых лежит не действительный, а фиктивный капитал, т. е. они являются уже вторыми производными действительного капитала. К таким бумагам, в частности, относятся акции инвестиционных или холдинговых компаний.  [c.30]

Под предельной же величиной полезности, как правило, понимается величина дополнительного эффекта, обусловленного вовлечением в процесс производства или потребления дополнительной единицы анализируемого фактора (ресурса, продукта, блага, товара и т.п.). Таким предельным понятиям из области экономики формально соответствует математическое понятие первой производной.  [c.221]

В более распространенных вариантах оценивания характеристик полезности отдельных товаров предлагается использовать процедуру дифференцирования по частным производным функции общей полезности всего набора TU. (Q) с определением предельных полезностей благу-го и у -го товаров MU.. (Q) и MU… (Q). Так, применяя частные производные первого порядка, получаем следующие варианты предельных характеристик  [c.240]

Приравняем к нулю первую производную -g— при условии, что  [c. 53]

Далее поочередно находятся и приравниваются нулю первые производные ло величинам а0, а, а2, а3,.. ., ап, например  [c.36]

Таким образом, коэффициент п численно равен первой производной кривой освоения в точке начала освоения В при сх = 1. Если через эту точку провести прямую, касательную кривой освоения, то угол ее наклона а1 (см. рис. 5.5) и даст величину коэффициента п.  [c.166]

Первая производная функции с = сгМ-п в точке А близка к нулю. Так, А. В. Проскуряков считает, что в условиях крупносерийного производства освоение можно принять законченным при N = 2500 и п = 0,32 (80% технологического оснащения) [67]. Первая производная в точке конца освоения  [c.167]

Математически, изменение стоимости – это первая производная от стоимости. Нас интересует максимизация этой производной.  [c.173]

Итак, если в накопительных товарах капиталиста интересует первая производная, изменение (рост) их стоимости, то во временных – их способность приносить прибыль, изменение изменения стоимости. То есть вторая производная от стоимости.  [c.180]

Во-первых, средства производства должны приносить простую прибыль. От самого производства можно абстрагироваться, и считать, что это обычное вложение денег, приносящее столько-то процентов годовых. Как мы отмечали в предыдущей главе, простая прибыль – это первая производная от стоимости.  [c.216]

Конечно, вторая производная зависит от первой производной. Но особенность заключается в том, что в расчёт берётся не прошлая, но будущая, ожидаемая, предсказываемая прибыль -вперёд на X лет. Это и даёт хорошую почву для спекуляций и строительства пирамид.  [c.217]

Изменение стоимости – прибыль – это первая производная. Вторая производная -стоимость акций производителей. Но инвестор выбирает акции не по стоимости акций, а по изменению их стоимости, по росту акций. Это третья производная. В силу конкуренции между разными акциями инвестор выбирает акции даже не по их абсолютному росту, а по изменению скорости роста относительно скорости роста других акций. Это четвёртая производная.  [c.223]

Аналогично “первой производной” опциона пут назовем инструмент Р (Е), платежная функция которого р (х,Е) = 1 – %(х,Е), т.е. равна характеристической функции множества х х 0. Здесь также в числителе стоит вертикальный спред, но на этот раз длинный вертикальный спред медведя.  [c.8]

Строго говоря, введение таких инструментов, как “первые производные” опционов, оправдано лишь с теоретической точки зрения на реальном рынке их точное воспроизведение невозможно. Наилучшим рыночным приближением к таким инструментам могут служить подходящего объема (элементарные) вертикальные спреды, образованные соседними страйками.  [c.8]

Введем еще в качестве инструментов “вторые производные” опционов колл и пут, платежные функции которых совпадают между собой и равны 5(х Е) (дельта-функции относительно Е). Эти инструменты можно рассматривать как пределы инструментов (С (Е+АЕ) – С (Е)) I АЕ и (Р (Е+АЕ) – Р (Е)) I АЕ при АЕ -> 0 и обозначать С”(Е) и Р”(Е) соответственно. Их можно рассматривать также (если раскрыть содержание “первых производных”) как пределы при ДЕ – 0 инструментов (С(Е+2АЕ)-2С(Е+АЕ)+С(Е)) I (АЕ)2 и (Р(Е+2АЕ)-2Р(Е+АЕ)+Р(Е)) I (АЕ)2 соответственно.  [c.8]

И для третьего типа рассматриваются варианты смешанного представления портфеля опционов. Если исходить из соотношения (10), но провести интегрирование по частям по-иному, внося под знак дифференциала “первые производные” опционов, то будем иметь представление  [c.10]

Для таких случаев окажется полезным следующее представление, учитывающее возможность бесконечности первой производной функции g в точке v (при его выводе с помощью интегрирования по частям образуются вспомогательные комбинации инструментов С(х) – (v) и Р(х) – P(v)),  [c.12]

Модель Блэка-Шоулса позволяет точно рассчитать дельту, то есть первую производную цены опциона. Это мгновенная скорость изменения опциона по отношению к изменению U (цены базового инструмента)  [c.156]

Теперь вернемся к уравнению [1. 06] и вновь рассмотрим игру в монетку с выплатой два-к-одному . У нас имеется две сделки, или два возможных сценария. Взяв первую производную от [1.06] по /, получим  [c.62]

Наконец, покажем, что оптимальное /не зависит от Т. Взяв первую производную от оценочного TWR в форме [1.13] по переменной Т, получим  [c.63]

Первой производной функции полезности In x будет х”1.  [c.114]

Показатель степени характеризует крутизну кривой. Меньшее его значение предпочтительно. Переход от крутых участков к пологим характеризует окончание про-лесса освоения (точка /V0 n). На кривых она явно не выражена. Положение граничной точки следует устанавливать на основе количественного и качественного анализа процесса освоения. Характеристикой подобной точки может служить величина первой производной уравнения кривой освоения, поскольку производная определяется отношением приращения функции к соответствующему приращению аргумента, т. е. приращением трудоемкости к приращению количества выпущенных изделий.  [c.192]

Отметим один любопытный факт в рамках модели EOQ. Оптимум достигается в той точке, где величина операционных издержек равна величине издержек по содержанию запасов. Это равенство вытекает из формулы первой производной фунции совокупных издержек (как уже отмечалось, в точке оптимума первая производная данной функции равна 0).  [c.263]

Дельта, или просто А – это первая производная от модели ценоообразования опциона (МЦО). Этот индекс можно рассматривать в трех аспектах  [c.34]

Пусть на (теоретическом) рынке торгуются опционы колл и пут для всех страйков из множества всех вещественных чисел R. Наряду с этими опционами будем рассматривать и производные от них инструменты. Так, “первой производной” опциона колл назовем инструмент С (Е), платежная функция которого с (х,Е) = l(x,E), где % -характеристическая функция множества х х>Е . Этот инструмент можно рассматривать как предел инструмента (С(Е+АЕ) – С(Е)) / АЕ при АЕ —> 0. Отметим, что в числителе стоит инструмент, являющийся коротким вертикальным спредом быка.  [c.8]

Все предложенные представления портфеля G относятся к первому типу представлений, которые выражают портфель в виде интегралов от “первых производных” опционов. Преобразуя портфель с помощью интегрирования по частям и используя свойства опционов, можно получить еще два типа представления на основе только “вторых производных” опционов или только самих опционов.  [c.10]

Теорема Ролля утверждает, что если некая функция пересекает линию, параллельную оси х в двух точках а и Ь, и функция непрерывна на интервале [а, Ь], то на этом интервале существует по крайней мере одна точка, в которой первая производная этой функции обращается в нуль (т. е. имеется по крайней мере один относительный экстремум).  [c.61]

Поскольку все функции с положительным арифметическим математическим ожиданием пересекают ось х дважды (в качестве оси х выступает ось f), при / = 0 и в той точке справа, где / дает такие расчетные HPR, что их дисперсия превосходит среднее арифметическое HPR минус один. Эти две точки будут определять наш интервал [а, Ь] на оси х. Далее, первая производная фундаментального уравнения торговли (т. е. оценочного TWR) будет непрерывна при всех/внутри данного интервала, поскольку /дает такие значения AHPR и дисперсии HPR внутри интервала, которые дифференцируемы на нем. Следовательно, оценочное TWR как функция от/непрерывна внутри интервала. Значит, согласно теореме Ролля, на этом интервале должен быть по  [c.61]

Большее предпочтительнее меньшего. В экономической литературе это часто называется ненасыщением. Другими словами, функция полезности никогда не приведет к предпочтению меньшего капитала большему при достоверных исходах или равенстве их вероятностей. Поскольку при росте капитала должна расти и полезность, то первая производная от полезности как функции капитала должна быть положительной. То есть  [c.114]

Производная функции П 6 — презентация на Slide-Share.ru 🎓

1

Первый слайд презентации

Производная функции П_6

Изображение слайда

2

Слайд 2

Найдите значение выражения: 6

Изображение слайда

3

Слайд 3

Рассмотрим задачу: Мы едем на машине из Санкт – Петербурга в Петрозаводск (428 км). На весь путь ушло 5 часов. Как узнать, с какой скоростью мы ехали? Мы всё время ехали с такой скоростью? Какую скорость мы получим?

Изображение слайда

4

Слайд 4

Рассмотрим задачу: Чему равна скорость движения автомобиля на участке при t 1 =2 ч и t 2 = 3 ч ? (1;80) (2;175) (3;270) (4;385) (5;428) Какова средняя скорость движения на этом участке?

Изображение слайда

5

Слайд 5

Рассмотрим задачу: Представьте себе, на посту ГИБДД скорость отслеживается с помощью радара. В момент пересечения луча радара автомобилем на табло радара высвечиваются цифры скорости. Будет ли она равна средней скорости ? Как можно назвать такую скорость? Мгновенной Если отрезок времени стремится к 0, скорость из средней превращается в мгновенную: Что происходит с расстоянием между автомобилем и радаром?

Изображение слайда

6

Слайд 6

=x 0 + ∆ x y=f(x ) x 0 f(x)=f(x 0 + ∆x) f(x 0 ) ∆ x ∆ f приращение аргумента : x y ∆ х = х – х 0 (1) Приращение функции : ∆ f = f(x 0 +∆x )-f(x 0 ) (2) ∆ f = f(x)-f(x 0 ) (3) x В окрестности точки х 0 возьмём точку х Пусть х 0 – фиксированная точка, f( х 0 ) – значение функци в точке х 0 Расстояние между точками х и х 0 обозначим ∆х. Оно называется приращением аргумента и равно разности между х и х 0 : Первоначальное значение аргумента получило приращение ∆х, и новое значение х равно х 0 +∆х Функция f( х ) тоже примет новое значение: f(x 0 +∆x) Т.е., значение функции изменилось на величину f(x)-f(x 0 ) = f(x 0 +∆x)-f(x 0 ), КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ ∆ f Дана функция f(x) Перейдем от конкретной ситуации к любой математической функции f(x )

Изображение слайда

7

Слайд 7

=x 0 + ∆ x y=f(x) x 0 f(x)=f(x 0 + ∆x) f(x 0 ) ∆ x ∆ f y x Перейдем от конкретной ситуации к любой математической функции f(x)

Изображение слайда

8

Слайд 8

Производной функции f в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Определение производной: Алгоритм нахождения производной: 1. ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 ) 2. 3.

Изображение слайда

9

Слайд 9

Вычислите производную функции 1. 2. 3. Вычислите производную

Изображение слайда

10

Слайд 10

Вычислите производную функции 1. 2. 3. Вычислите производную

Изображение слайда

11

Слайд 11

Вычислить производную функции: 1. 3. 2.

Изображение слайда

12

Слайд 12

Вычислить производную функции: 1. 3. 2.

Изображение слайда

13

Слайд 13

+0 = =

Изображение слайда

14

Слайд 14

Домашнее задание Найдите производные функций: Вычислите:

Изображение слайда

15

Последний слайд презентации: Производная функции П 6

Домашнее задание – ответы Найдите производные функций: Вычислите:

Изображение слайда

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найти производную – d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найти производную – d/dx
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную – d/dx грех(2x)
23 Найти производную – d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную – d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценка интеграла 9бесконечность
45 Найти производную – d/dx х/2
46 Найти производную – d/dx -cos(x)
47 Найти производную – d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную – d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную – d/dx лог х
86 Найти производную – d/dx арктан(х)
87 Найти производную – d/dx бревно натуральное 5х92

Значение производной

Подход

к

C A L C U L U S

Содержание | Главная

5

Скорость изменения функции
при определенном значении x

Наклон прямой

Наклон касательной к кривой

Сеанс кривой

Коэффициент разности

Определение производной

Производная от f ( x ) = x 2

Дифференцируемый при x

Обозначения для производной

Простое частное разности

Раздел 2: Проблемы

Производная от ф ( х ) = 2 х – 5

Уравнение касательной к кривой

Производная от f ( x ) = x 3

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРИМЕНЯЕТСЯ К вещам, которые не изменяются с постоянной скоростью. Скорость под действием силы тяжести, число рождений и смертей в популяции, единицы х на каждую единицу х . Значения функции, называемой производной, будут варьироваться в зависимости от скорости изменения.

Теперь, поскольку мы считаем x независимой переменной, а y зависимой, то любое изменение Δ x значения x приведет к изменению Δ y значения у . На прямой скорость изменения — столько-то единиц х на каждую единицу х — постоянна и называется наклоном линии.

Наклон прямой линии это число:

Δ у
Δ х
 =    =   Изменение y -координата
Изменение x -координата
 .

(Тема 8 предварительного исчисления.)

Прямая линия имеет один и только один наклон; одна и только одна скорость изменения.

Если x представляет, например, время, а y представляет расстояние, то

Прямолинейный график, который их связывает, указывает на постоянную скорость. Скажем, 45 миль в час — в каждый момент времени.

Наклон касательной к кривой

Исчисление, однако, связано со скоростью изменения, которая не является постоянной.

Если эта кривая представляет расстояние Y против времени X , тогда скорость изменения — скорость — в каждый момент времени непостоянна. Вопрос, который задает исчисление, звучит так: «Какова скорость изменения точно в точке P ?» Ответом будет наклон касательной к кривой в этой точке. И метод нахождения этого наклона — этого числа — был замечательным открытием как Исаака Ньютона (1642–1727), так и Готфрида Лейбница (1646–1716). Это метод нахождения того, что называется производной.

Сеанс кривой

Касательная — это прямая линия, которая касается кривой. Сеанс – это прямая линия, пересекающая кривую. Следовательно, рассмотрим секущую, которая пересекает кривую в точках P и Q . Тогда наклон этой секущей равен

.
Δ у
Δ х
 = 

Но исчисление снова задает вопрос:  Как функция изменяется точно при x 1 ?

Каков наклон касательной к кривой в точке P ?

Однако мы не можем вычислить в точности как при P , потому что тогда Δ y и Δ x оба будут равны 0, а значение будет совершенно неоднозначным.

Поэтому мы будем рассматривать все более короткие расстояния Δ x , что приведет к последовательности секущих —

— последовательность склонов. И мы определим тангенс в точке P как предел этой последовательности наклонов.

Этот наклон, этот предел и будет значением того, что мы назовем производной.

Коэффициент разности

Пусть y = f ( x ) — непрерывная функция, и пусть координаты фиксированной точки P на графике равны ( x , f ( x 90)). (Тема 4 предварительного исчисления.) Теперь пусть x изменится на величину Δ x . Тогда новая координата x равна x + Δ x .
Это координата x Q на графике.

Но при изменении значения х происходит результирующее изменение Δ y
в значении y , то есть в значении f ( х ). Его новое значение равно f ( x + Δ x ). Координаты Q : ( x + Δ x ,   f ( x + Δ x )).

Затем

Вот определение наклона касательной в точке Р :

Наклон касательной в точке P
представляет собой предел изменения функции (числитель)
, деленный на изменение независимой переменной
по мере того, как это изменение приближается к 0.

Поскольку Δ x , а не x , является переменной, приближающейся к 0, x остается постоянной, и этот предел будет функцией x . Так как он будет производным от f ( x ), мы называем это производной функцией или производной от f ( x ). Чтобы напомнить нам, что это производное от f ( x ), мы обозначаем его как f’ ( x ) — “ f-prime из x “.

Это частное —

— называется фактором Ньютона или разностным фактором. Его вычисление и упрощение — фундаментальная задача дифференциального исчисления.

Опять же, коэффициент разности является функцией Δ x . Но для упрощения письменных вычислений вместо Δ x мы будем писать ч .

Δ x = ч
 
Δ у = f ( x + ч ) − f ( x )

Тогда частное разности становится:

Теперь выразим определение производной следующим образом.

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.  Под производной функции f ( x ) мы понимаем следующий предел, если он существует:

Назовем этот предел функцией f ‘ ( x ) — “ f – простое число x ” — и когда этот предел существует, мы говорим, что f само по себе дифференцируемо при x , и что f имеет производная.

 

Итак, мы берем предел разностного отношения, когда ч приближается к 0. Когда этот предел существует, это означает, что разностное частное можно приблизить к этому пределу — “ f ‘ ( x )” — как нам угодно. (Урок 2.)

Что касается x , мы должны считать его фиксированным. Это конкретное значение, при котором мы оцениваем   f ‘ ( x ).

На практике мы должны упростить частное разности, прежде чем приблизить h к 0. Мы должны выразить числитель —

f ( x + ч ) − f ( x )

— таким образом, что мы можем разделить его на 909:20 ч .

Подводя итог: производная — это функция — правило — которое присваивает каждому значению x наклон касательной в точке ( x , f ( x )) на график f ( x ). Это скорость изменения f ( x ) в этой точке.

В качестве примера применим определение, чтобы доказать, что наклон касательной к функции f ( x ) = x 2 , в точке ( x , x 2 ) будет 2 x .

  ТЕОРЕМА. f ( x )  =  x 2
 
подразумевает     
 
  f ( x )  =   2 х .

Доказательство.   Вот коэффициент разности, который мы будем упрощать:

1)   ( x + ч ) 2 x 2
          ч
 
2) = x 2 + 2 xh + h 2 x 2
             h
 
3) = 2 xh + h 2
ч
 
4) = 2 x + ч .

Переходя от строки 1) к строке 2, мы возвели в квадрат бином x + h . (Урок 18 алгебры.)

Переходя к строке 3), мы вычли x 2 с. То есть мы вычли из ( x ).

Переходя к строке 4), мы разделили числитель на ч . (Урок 20 из Алгебра.)

Мы можем это сделать, потому что h никогда не равняется 0, даже когда мы берем предел (Урок 2).

Завершим определение производной и возьмем предел:

f ‘ ( x ) = (2 х + ч )
 
  = 2 х .

Это то, что мы хотели доказать.

 

 

Всякий раз, когда мы применяем определение, мы должны алгебраически манипулировать разностным коэффициентом, чтобы мы могли просто заменить h на 0. На самом деле, вся теория пределов со всеми ее сложностями и тонкостями была изобретена именно для того, чтобы оправдать это. (Бедных Ньютона и Лейбница критиковали за оправдания того, что 19изобретатели пределов 20-го века не любили.) Здесь мы можем положить ч = 0, потому что частное разности уменьшается до 2 x + ч и, следовательно, является полиномом от ч .

Проблема. Пусть f ( х ) = х 2 , и вычислим наклон касательной к графику –

а)  при x = 5,

С г. по г. ( x ) = 2 x , тогда при x = 5 наклон касательной равен 10.

б) при x = −3. −6.

в) при x = 0, 0,

Дифференцируемый при x

Согласно определению, функция будет дифференцируемой при разрешении x , если там существует определенный предел. Графически это означает, что график с этим значением x будет иметь касательную линию. При каких же значениях функция не дифференцируемы?

Там, где нет касательной

Выше приведены два примера. Функция слева не имеет производной при x = 0, потому что там функция разрывна. При x = 0 касательной явно нет.

Что касается графика справа, это функция абсолютного значения, y  = | х |. (Тема 5 предварительного расчета.) И невозможно определить касательную в точке x = 0, потому что там график образует острый угол. На самом деле, наклон касательной при приближении x к 0 слева равен −1. Однако наклон, приближающийся справа, равен +1. Наклон касательной в точке 0 — которая была бы производной в точке x = 0 — следовательно , ​​не существует . (Определение 2.2.)

Функция абсолютного значения, тем не менее, непрерывна при x = 0. Поскольку левый предел самой функции как x приближается к 0 равно правому пределу, а именно 0. Это показывает, что непрерывность в точке не является гарантией дифференцируемости — существования касательной — в этой точке.

(Наоборот, если функция дифференцируема в точке — если есть касательная — она также будет и там непрерывной. График будет гладким и не будет иметь разрывов.)

Поскольку дифференциальное исчисление является изучением производных, оно в основном связано с функциями, которые дифференцируемы при всех значениях их областей определения. Такие функции называются дифференцируемыми функциями.

Можете ли вы назвать элементарный класс дифференцируемых функций?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите “Обновить” (“Reload”).
Сначала подумай об этом сам!

Полиномы.

Обозначения для производной

Поскольку производная является этим пределом: тогда символ для самого предела (Читайте: “dee- y , ди- х .”)

Например, если

у = х 2 ,
 
  тогда, как мы видели,
= 2 х .

“Ди- и , ди- x — производное от y по отношению к x — равно 2 x .

Мы также пишем

г ‘ ( х ) = 2 х .

y -простое число x равно 2 x “.

Этот символ сам по себе:     д  
дх
 (“ди, ди- х “) , называется

дифференцирующий оператор . Мы должны взять производную от того, что следует за ним.

Например,

  д  
дх
f ( x ) обозначает производную по отношению к x от f ( x ).

  д  
дт
(4 t 3 − 5) обозначает производную по отношению к t
  г (4 т 3 − 5).

И так далее.

Простое разностное частное

Коэффициент разности — это версия . И время от времени мы будем использовать последний. То есть изменение значения функции y = f ( x ) равно y + Δ y . Следовательно, коэффициент разности равен

.

Иногда будет удобно выразить разностное частное как

Примечание : как Δ x приближается к 0 — по мере приближения точки Q к P по кривой — тогда Δ y или, что то же самое, Δ f также приближается к 0. То есть

Теперь учащийся должен решить задачи, требующие определения производной.

Содержание | Главная


Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
Даже 1 доллар поможет.


Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: [email protected]


Некоторый оператор ( p , q ) $(p,q)$ -производной и связанные с ним разделенные разности | Журнал неравенств и приложений

  • Исследования
  • Открытый доступ
  • Опубликовано:
  • Serkan Araci 1 ,
  • Uğur Duran 2 ,
  • MEHMET ACIKGOZ 2 &
  • 2 &
  • . Журнал неравенств и приложений том 2016 , Номер статьи: 301 (2016) Процитировать эту статью

    • г.

      3879 доступов

    • 34 Цитаты

    • Сведения о показателях

    Abstract

    Недавно Софонеа (Gen. Math. 16:47-54, 2008) рассмотрел некоторые соотношения в контексте квантового исчисления , связанного с 0920 q -производный оператор \(D_{q}\) и разделенная разность. В качестве приложений постквантового исчисления , известного как \((p,q)\)-исчисление, мы выводим несколько соотношений, включающих \((p,q)\)-оператор производной и разделенные разности.

    Введение

    Квантовое исчисление имеет множество приложений в области специальных функций и во многих других областях (см. [1–7]). Далее существует возможность расширения q -исчисления до постквантового исчисления, обозначаемого \((p,q)\)-исчислением. На самом деле такое расширение квантового исчисления не может быть получено непосредственно заменой q через \(q/p\) в q -исчисление. При случае \(p=1\) в \((p,q)\)-исчислении может быть получено q -исчисление (см. [6, 7]). Недавно Чакрабарти и Джаганнатан [8] ввели рассмотрение \((p,q)\)-целого числа, чтобы обобщить или унифицировать несколько форм q -осцилляторных алгебр, хорошо известных в физической литературе, связанных с теорией представлений однопараметрических квантовых алгебр (см. также [3–5] и [9]). Они также рассмотрели необходимые элементы \((p,q)\)-исчисления, включающие \((p,q)\)-экспоненциальное, \((p,q)\)-интегрирование и \(( p, q)\)-дифференцирование. Корчино [10] развил теорию \((p,q)\)-расширения биномиальных коэффициентов, а также установил некоторые свойства, параллельные свойствам обычных и q – биномиальные коэффициенты, которые состоят из горизонтальной производящей функции, треугольного, вертикального и горизонтального рекуррентных соотношений, а также обратного соотношения и соотношения ортогональности. Саджанг [11] исследовал некоторые свойства \((p,q)\)-производных и \((p,q)\)-интеграций. Саджанг [11] также предоставил два подходящих полиномиальных базиса для \((p,q)\)-производной и дал различные свойства этих базисов.

    Число \(( p,q )\) равно

    9{n}}{p-q} \quad( p\neq q ), $$

    , что является естественным обобщением числа q : то есть мы имеем ( ср. [10] и [11] )

    $$ \lim_{p\rightarrow1} [n] _{p,q}:= [n] _{q}. $$

    Ясно, что обозначение \([n]_{p,q}\) симметрично, т. е.

    $$ [n] _{p,q}= [n] _{q, п}. $$

    Биномиальные коэффициенты \((p,q)\)-Гаусса, заданные как

    $$ \begin{bmatrix} n\\ k \end{bmatrix} _{p,q}=\frac{ [ n ] _{p,q}!}{[n-k] _{p,q}! [ k ] _{p,q}!} \quad( n\geqq k ) $$ 9{n-k} \begin{bmatrix} n\\ k-1 \end{bmatrix} _{p,q}, \end{aligned}$$

    , где \(k\in \{ 0,1,2,\ ldots,n \}\) ( ср. [10] и [11]).

    Пусть p и q — элементы комплексных чисел и \(D=D_{p,q}\subset \mathbb{C}\) такие, что \(x\in D\) влечет \(px\ в D\) и \(qx\в D\). Здесь, в этом исследовании, мы даем следующие два определения, которые включают постквантовое обобщение работы Софонеи [1].

    Определение 1

    909{\prime} ( 0 ), $$

    при условии, что функция f дифференцируема в 0. Отметим, что

    $$ D_{p,q}=D_{q,p}. $$

    Кроме того,

    $$ ( D_{p,q}fg ) ( x ) =g ( px ) ( D_{p,q}f ) ( x ) +f ( qx ) ( D_{p,q }g ) ( x ) $$

    (1. 2)

    и

    $$ \biggl( D_{p,q}\frac{f}{g} \biggr) ( x ) =\frac{g ( px ) ( D_ {p, q} f ) ( x ) -f ( px ) ( D_ {p, q} g ) ( x ) }{g ( px ) g ( qx ) } \ quad \ bigl ( g ( px ) g ( qx ) \neq0 \bigr) $$ 9{n}х. $$

    Теперь сформулируем следующую теорему.

    Теорема 1

    Пусть р и к комплексные числа с

    $$ 0< \vert q\vert < \vert p\vert \leqq1\quad \textit{and}\quad f:D_{p,q}\rightarrow\mathbb{C}. $$

    9{n-k}}{ [n] _{p,q}!}. $$

    Теперь рассмотрим \((p,q)\)-аналог правила Лейбница, чтобы представить его посредством разделенных разностей. Прежде всего, нам нужно получить \(( p,q ) \)-аналог правила Лейбница по следующей лемме.

    Лемма

    Пусть функции \(f:D_{p,q}\стрелка вправо\mathbb{C}\) и \(g:D_{p,q}\стрелка вправо\mathbb{C}\) 9{k} \bigr). $$

    Доказательство

    Лемму легко доказать, применяя принцип математической индукции. Поэтому мы опускаем доказательство леммы. □

    Теперь сформулируем \(( p,q )\)-правило Лейбница, используя разделенные разности следующим образом.

    Теорема 3

    Пусть функции \(f:D_{p,q}\стрелка вправо\mathbb{C}\) и \(g:D_{p,q}\стрелка вправо\mathbb{C}\) 9{k}f \bigr) ( x ) , \end{aligned}$$

    согласно теореме 4. □

    Наконец, мы можем дать следующий результат.

    Следствие 2

    Пусть р и к — комплексные числа такие, что

    $$ 0< \vert q\vert < \vert p\vert \leqq1. $$ 9{n}x\) может быть порожден линейной комбинацией \((p,q)\)-производных порядка k . В случае, когда \(p=1\), результаты, полученные в этой статье, будут соответствовать результатам, основанным на относительно более известных числах q .

    Ссылки

    1. Софонеа, Д. Ф.: Некоторые свойства q -исчисления. Генеральная математика. 16 , 47-54 (2008)

      MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

    2. Sofonea, DF: Численный анализ и q -исчисление. I. Octogon 11 , 151-156 (2003)

      MathSciNet Google ученый

    3. Шривастава, Х.М.: Некоторые обобщения и основные (или q -) расширения многочленов Бернулли, Эйлера и Генокки. заявл. Мат. Инф. науч. 5 , 390-444 (2011)

      MathSciNet Google ученый

    4. Шривастава, Х.М., Чой, Дж.: Дзета и q – Дзета-функции и связанные с ними ряды и интегралы. Эльзевир, Амстердам (2012)

      МАТЕМАТИКА Google ученый

    5. Виктор, К., Покман, К.: Квантовое исчисление. Спрингер, Нью-Йорк (2002)

      МАТЕМАТИКА Google ученый

    6. Гупта В.: \((p,q)\)-операторы Баскакова-Канторовича. заявл. Мат. Инф. науч. 10 (4), 1551-1556 (2016)

      Артикул Google ученый

    7. Милованович Г.В., Гупта В., Малик Н.: \((p,q)\)-бета-функции и их приложения в приближении. Бол. соц. Мат. Мексикана (2016). arXiv:1602.06307v2 [математика.CA]

    8. Чакрабарти Р., Джаганнатан Р.: \((p,q)\)-осцилляторная реализация двухпараметрических квантовых алгебр. Дж. Физ. А, мат. Генерал 24 , L711 (1991)

      MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

    9. Джаганнатан, Р., Рао, К.С.: Двухпараметрические квантовые алгебры, базовые числа-близнецы и связанные с ними обобщенные гипергеометрические ряды. arXiv:math/0602613 [math.NT]

    10. Корчино, Р.Б.: О \(P,Q\)-биномиальных коэффициентах. Электрон. Дж. Комб. Теория чисел 8 , идентификатор статьи A29 (2008 г.)

      MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

    11. Саджанг, П.Н.: Об основной теореме (\(p,q\))-исчисления и некоторых \((p,q)\)-формулах Тейлора. архив: 1309.3934 [математика.QA]

    Download references

    Author information

    Authors and Affiliations

    1. Department of Economics, Faculty of Economics, Administrative and Social Science, Hasan Kalyoncu University, Gaziantep, 27410, Turkey

      Serkan Araci

    2. Department математики, факультет искусств и наук, Газиантепский университет, Газиантеп, 27310, Турция

      Угур Дуран и Мехмет Аджикгоз

    3. Факультет математики и статистики, Университет Виктории, Виктория, Британская Колумбия, V8W 3R4, Канада

      Хари М. Шривастава

    4. Китайский медицинский университет, Тайчжун, 40402, Тайвань, Китайская Республика

      Хари М. Шривастава

    Авторы

    1. Serkan Araci

      Посмотреть публикации автора

      Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

    2. Uğur Duran

      Посмотреть публикации автора

      Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

    3. Mehmet Acikgoz

      Посмотреть публикации автора

      Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

    4. Hari M Srivastava

      Просмотр публикаций автора

      Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

    Автор, ответственный за переписку

    Связь с Серкан Арачи.

    Дополнительная информация

    Конкурирующие интересы

    Авторы заявляют об отсутствии конкурирующих интересов.

    Вклад авторов

    Все авторы внесли равный вклад в эту работу. Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

    Права и разрешения

    Открытый доступ Эта статья распространяется в соответствии с условиями международной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии вы должным образом указываете автора (авторов) и источник, предоставляете ссылку на лицензию Creative Commons и указываете, были ли внесены изменения.

    Перепечатки и разрешения

    Об этой статье

    4.6 Направленные производные и градиент — исчисление Том 3

    Цели обучения

    • 4.6.1 Определить производную по заданному направлению для функции двух переменных.
    • 4.6.2 Определите вектор градиента данной функции с действительным знаком.
    • 4.6.3 Объясните значение вектора градиента в отношении направления изменения вдоль поверхности.
    • г.
    • 4.6.4 Используйте градиент, чтобы найти касательную к кривой уровня данной функции.
    • 4.6.5 Рассчитывайте производные по направлению и градиенты в трех измерениях.

    В Частные производные мы ввели частную производную. Функция z=f(x,y)z=f(x,y) имеет две частные производные: ∂z/∂x∂z/∂x и ∂z/∂y.∂z/∂y. Эти производные соответствуют каждой из независимых переменных и могут быть интерпретированы как мгновенные скорости изменения (то есть как наклоны касательной). Например, ∂z/∂x∂z/∂x представляет собой наклон касательной, проходящей через заданную точку на поверхности, определенной формулой z=f(x,y),z=f(x,y), при условии, что касательная параллельна x -ось. Точно так же ∂z/∂y∂z/∂y представляет наклон касательной, параллельной оси y.ось y. Теперь рассмотрим возможность касательной, параллельной ни одной из осей.

    Направленные производные

    Начнем с графика поверхности, определяемой уравнением z=f(x,y).z=f(x,y). Учитывая точку (a,b)(a,b) в области определения f,f, мы выбираем направление движения из этой точки. Мы измеряем направление, используя угол θ, θ, который измеряется против часовой стрелки в x , y -плоскость, начиная с нуля от положительной оси x (рис. 4.39). Расстояние, которое мы проходим, равно hh, а направление, в котором мы путешествуем, задается единичным вектором u=(cosθ)i+(sinθ)j.u=(cosθ)i+(sinθ)j. Таким образом, координата z второй точки на графике задается как z=f(a+hcosθ,b+hsinθ).z=f(a+hcosθ,b+hsinθ).

    Рисунок 4,39 Нахождение производной по направлению в точке графика z=f(x,y).z=f(x,y). Наклон черной стрелки на графике указывает значение производной по направлению в этой точке.

    Мы можем рассчитать наклон секущей, разделив разницу z-значений z-значений на длину отрезка, соединяющего две точки в области. Длина отрезка h.h. Следовательно, наклон секущей равен

    .

    мс=f(a+hcosθ,b+hsinθ)−f(a,b)h.msec=f(a+hcosθ,b+hsinθ)−f(a,b)h.

    Чтобы найти наклон касательной в том же направлении, мы берем предел, когда hh приближается к нулю.

    Определение

    Предположим, что z=f(x,y)z=f(x,y) является функцией двух переменных с областью определения D.D. Пусть (a,b)∈D(a,b)∈D и определим u=cosθi+sinθj.u=cosθi+sinθj. Тогда производная по направлению от ff в направлении uu равна

    Duf(a,b)=limh→0f(a+hcosθ,b+hsinθ)−f(a,b)h,Duf(a,b)=limh→0f(a+hcosθ,b+hsinθ)− f(a,b)h,

    (4.36)

    при условии существования предела.

    Уравнение 4.36 дает формальное определение производной по направлению, которое можно использовать во многих случаях для расчета производной по направлению.

    Пример 4.31

    Нахождение производной по направлению из определения

    Пусть θ=arccos(3/5). θ=arccos(3/5). Найдите производную по направлению Duf(x,y)Duf(x,y) функции f(x,y)=x2−xy+3y2f(x,y)=x2−xy+3y2 в направлении u=(cosθ)i+ (sinθ)j.u=(cosθ)i+(sinθ)j. Что такое Duf(−1,2)?Duf(−1,2)?

    Решение

    Прежде всего, поскольку cosθ=3/5cosθ=3/5 и θθ острое, отсюда следует

    sinθ=1−(35)2=1625=45.sinθ=1−(35)2=1625=45.

    Используя f(x,y)=x2−xy+3y2,f(x,y)=x2−xy+3y2, мы сначала вычисляем f(x+hcosθ,y+hsinθ):f(x+hcosθ,y +hsinθ):

    f(x+hcosθ,y+hsinθ)=(x+hcosθ)2−(x+hcosθ)(y+hsinθ)+3(y+hsinθ)2=x2+2xhcosθ+h3cos2θ−xy −xhsinθ−yhcosθ−h3sinθcosθ+3y2+6yhsinθ+3h3sin2θ=x2+2xh(35)+9h325−xy−4xh5−3yh5−12h325+3y2+6yh(45)+3h3(1625)=x2−xy+3y2+2xh5+ 9h35+21yh5.f(x+hcosθ,y+hsinθ)=(x+hcosθ)2−(x+hcosθ)(y+hsinθ)+3(y+hsinθ)2=x2+2xhcosθ+h3cos2θ−xy−xhsinθ −yhcosθ−h3sinθcosθ+3y2+6yhsinθ+3h3sin2θ=x2+2xh(35)+9h325-xy-4xh5-3yh5-12h325+3y2+6yh(45)+3h3(1625)=x2-xy+3y2+2xh5+9h35+21yh5.

    Подставим это выражение в уравнение 4.36: 2xh5+9h35+21yh5)−(x2−xy+3y2)h=limh→02xh5+9h35+21yh5h=limh→02×5+9h5+21y5=2x+21y5. Duf(a,b)=limh→0f(a+hcosθ ,b+hsinθ)−f(a,b)h=limh→0(x2−xy+3y2+2xh5+9h35+21yh5)−(x2−xy+3y2)h=limh→02xh5+9h35+21yh5h=limh→ 02×5+9h5+21y5=2x+21y5.

    Чтобы вычислить Duf(−1,2),Duf(−1,2), подставим x=−1x=−1 и y=2y=2 в этот ответ:

    Duf(-1,2)=2(-1)+21(2)5=-2+425=8.Duf(-1,2)=2(-1)+21(2)5=- 2+425=8.

    (См. следующий рисунок.)

    Рисунок 4.40 Нахождение производной по заданному направлению uu в заданной точке поверхности. Плоскость касается поверхности в данной точке (−1,2,15).(−1,2,15).

    Другой подход к вычислению производной по направлению включает частные производные, как указано в следующей теореме.

    Теорема 4.12

    Производная по направлению функции двух переменных

    Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) — функция двух переменных xandy,xandy, и предположим, что fxfx и fyfy существуют, а f(x, y)f(x, y) равно везде дифференцируемый. Тогда производная по направлению от ff в направлении u=cosθi+sinθju=cosθi+sinθj определяется выражением

    Duf(x,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ. Duf(x ,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ.

    (4,37)

    Доказательство

    Уравнение 4.36 утверждает, что производная по направлению от f в направлении u=cosθi+sinθju=cosθi+sinθj задается как

    Duf(a,b)=limt→0f(a+tcosθ,b+tsinθ)−f(a,b)t. Duf(a,b)=limt→0f(a+tcosθ,b+tsinθ)−f (а,б)т.

    Пусть x=a+tcosθx=a+tcosθ и y=b+tsinθ,y=b+tsinθ, и определить g(t)=f(x,y).g(t)=f(x,y) . Поскольку fxfx и fyfy существуют и, следовательно, ff дифференцируема, мы можем использовать цепное правило для функций двух переменных, чтобы вычислить g′(t):g′(t):

    g′(t)=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ.g′(t)=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt=fx(x ,y)cosθ+fy(x,y)sinθ.

    Если t=0,t=0, то x=x0(=a)x=x0(=a) и y=y0(=b),y=y0(=b), поэтому

    g′(0)=fx(x0,y0)cosθ+fy(x0,y0)sinθ.g′(0)=fx(x0,y0)cosθ+fy(x0,y0)sinθ.

    По определению g′(t),g′(t) также верно, что

    g′(0)=limt→0g(t)−g(0)t=limt→0f(x0+tcosθ,y0+tsinθ)−f(x0,y0)t.g′(0)=limt→0g(t )−g(0)t=limt→0f(x0+tcosθ,y0+tsinθ)−f(x0,y0)t.

    Следовательно, Duf(x0,y0)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ. Duf(x0,y0)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ.

    Пример 4,32

    Нахождение производной по направлению: альтернативный метод

    Пусть θ=arccos(3/5).θ=arccos(3/5). Найдите производную по направлению Duf(x,y)Duf(x,y) функции f(x,y)=x2−xy+3y2f(x,y)=x2−xy+3y2 в направлении u=(cosθ)i+ (sinθ)j.u=(cosθ)i+(sinθ)j. Что такое Duf(−1,2)?Duf(−1,2)?

    Решение

    Сначала мы должны вычислить частные производные f:f:

    fx=2x−yfy=−x+6y,fx=2x−yfy=−x+6y,

    Затем мы используем уравнение 4.37 с θ=arccos( 3/5): θ = arccos (3/5):

    Duf(x,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ=(2x−y)35+(−x+6y)45=6×5−3y5−4×5+24y5=2x+ 21y5.Duf(x,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ=(2x−y)35+(−x+6y)45=6×5−3y5−4×5+24y5=2x+ 21у5.

    Чтобы вычислить Duf(−1,2),Duf(−1,2), пусть x=−1x=−1 и y=2:y=2:

    Duf(−1,2)=2(− 1)+21(2)5=-2+425=8.Duf(-1,2)=2(-1)+21(2)5=-2+425=8.

    Это тот же ответ, что и в примере 4.31.

    Контрольно-пропускной пункт 4,28

    Найдите производную по направлению Duf(x,y)Duf(x,y) от f(x,y)=3x2y−4xy3+3y2−4xf(x,y)=3x2y−4xy3+3y2−4x в направлении u=(cosπ3)i+(sinπ3)ju=(cosπ3)i+(sinπ3)j, используя уравнение 4.37. Что такое Дуф(3,4)? Дуф(3,4)?

    Если вектор, заданный для направления производной, не является единичным вектором, то делить нужно только на норму вектора. Например, если мы хотим найти производную по направлению функции из примера 4.32 в направлении вектора 〈−5,12〉,〈−5,12〉, мы должны сначала разделить на его величину, чтобы получить u.u. Это дает нам u=〈−(5/13),12/13〉.u=〈−(5/13),12/13〉. Тогда

    Duf(x,y)=∇f(x,y)·u=−513(2x−y)+1213(−x+6y)=−2213x+1713y.Duf(x,y)=∇f(x ,y)·u=−513(2x−y)+1213(−x+6y)=−2213x+1713y.

    Градиент

    Правая часть уравнения 4.37 равна fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ,fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ, что можно записать как скалярное произведение двух векторов. Определим первый вектор как ∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y) j и второй вектор как u=(cosθ)i+(sinθ)j.u=(cosθ)i+(sinθ)j. Тогда правая часть уравнения может быть записана как скалярное произведение этих двух векторов:

    Duf(x,y)=∇f(x,y)·u. Duf(x,y)=∇f(x,y)·u.

    (4,38)

    Первый вектор в уравнении 4.38 имеет специальное название: градиент функции f.f. Символ ∇∇ называется набла , а вектор ∇f∇f читается как «дельф».

    Определение

    Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) функция от xandyxandy такая, что fxfx и fyfy существуют. Вектор ∇f(x,y)∇f(x,y) называется градиентом ff и определяется как

    ∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y) j.∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j.

    (4.39)

    Вектор ∇f(x,y)∇f(x,y) также записывается как «gradf». «gradf».

    Пример 4,33

    Поиск градиентов

    Найдите градиент ∇f(x,y)∇f(x,y) каждой из следующих функций:

    1. f(x,y)=x2−xy+3y2f(x,y) =x2−xy+3y2
    2. f(x,y)=sin3xcos3yf(x,y)=sin3xcos3y
    Решение

    Для обеих частей a. и b., мы сначала вычисляем частные производные fxfx и fy,fy, затем используем уравнение 4.39.


    1. fx(x,y)=2x−yandfy(x,y)=−x+6y, поэтому∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j= (2x−y)i+(−x+6y)j.fx(x,y)=2x−yandfy(x,y)=−x+6y, поэтому∇f(x,y)=fx(x,y) i+fy(x,y)j=(2x−y)i+(−x+6y)j.
    2. г. 91 953 90 919 3sin3xsin3y)j.fx(x,y)=3cos3xcos3yandfy(x,y)=−3sin3xsin3y, поэтому∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j=(3cos3xcos3y)i −(3sin3xsin3y)j.

    Контрольно-пропускной пункт 4.29

    Найдите градиент ∇f(x,y)∇f(x,y) функции f(x,y)=(x2−3y2)/(2x+y).f(x,y)=(x2−3y2 )/(2х+у).

    Градиент имеет несколько важных свойств. Мы уже видели одну формулу, использующую градиент: формулу для производной по направлению. Напомним из скалярного произведения, что если угол между двумя векторами aa и bb равен φ,φ, то a·b=‖a‖‖b‖cosφ.a·b=‖a‖‖b‖cosφ. Следовательно, если угол между ∇f(x0,y0)∇f(x0,y0) и u=(cosθ)i+(sinθ)ju=(cosθ)i+(sinθ)j равен φ,φ, то

    Duf(x0,y0)=∇f(x0,y0)·u=‖∇f(x0,y0)‖‖u‖cosφ=‖∇f(x0,y0)‖cosφ. Duf(x0,y0)= ∇f(x0,y0)·u=‖∇f(x0,y0)‖‖u‖cosφ=‖∇f(x0,y0)‖cosφ.

    ‖u‖‖u‖ исчезает, потому что uu — единичный вектор. Таким образом, производная по направлению равна величине градиента, оцененной в точке (x0,y0)(x0,y0), умноженной на cosφ.cosφ. Напомним, что cosφcosφ находится в диапазоне от −1−1 до 1,1. Если φ=0,φ=0, то cosφ=1cosφ=1 и ∇f(x0,y0)∇f(x0,y0) и uu указывают в одном направлении. Если φ=π,φ=π, то cosφ=−1cosφ=−1 и ∇f(x0,y0)∇f(x0,y0) и uu указывают в противоположных направлениях. В первом случае значение Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) максимально; во втором случае значение Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) минимизируется. Если ∇f(x0,y0)=0,∇f(x0,y0)=0, то Duf(x0,y0)=∇f(x0,y0)·u=0Duf(x0,y0)=∇f(x0 ,y0)·u=0 для любого вектора u.u. Эти три случая изложены в следующей теореме.

    Теорема 4.13

    Свойства градиента

    Предположим, что функция z=f(x,y)z=f(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0)(x0,y0) (рис. 4.41).

    1. Если ∇f(x0,y0)=0,∇f(x0,y0)=0, то Duf(x0,y0)=0Duf(x0,y0)=0 для любого единичного вектора u. u.
    2. Если ∇f(x0,y0)≠0,∇f(x0,y0)≠0, то Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) максимизируется, когда uu указывает в том же направлении, что и ∇f(x0, у0).∇f(x0,y0). Максимальное значение Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) равно ‖∇f(x0,y0)‖.‖∇f(x0,y0)‖.
    3. г. Если ∇f(x0,y0)≠0,∇f(x0,y0)≠0, то Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) минимизируется, когда uu указывает в противоположном направлении от ∇f(x0, у0).∇f(x0,y0). Минимальное значение Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) равно −‖∇f(x0,y0)‖.−‖∇f(x0,y0)‖.

    Рисунок 4.41 Градиент указывает максимальное и минимальное значения производной по направлению в точке.

    Пример 4,34

    Нахождение максимальной производной по направлению

    Найдите направление, для которого производная по направлению f(x,y)=3×2−4xy+2y2f(x,y)=3×2−4xy+2y2 в точке (−2,3)(− 2,3) является максимальным. Каково максимальное значение?

    Решение

    Максимальное значение производной по направлению возникает, когда ∇f∇f и единичный вектор указывают в одном направлении. Поэтому начнем с вычисления ∇f(x,y):∇f(x,y):

    fx(x,y)=6x−4yandfy(x,y)=−4x+4y, поэтому∇f(x ,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j=(6x−4y)i+(−4x+4y)j.fx(x,y)=6x−4yandfy(x,y)= −4x+4y, поэтому∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j=(6x−4y)i+(−4x+4y)j.

    Затем мы оцениваем градиент в (−2,3):(−2,3):

    ∇f(−2,3)=(6(−2)−4(3))i+(−4 (−2)+4(3))j=−24i+20j.∇f(−2,3)=(6(−2)−4(3))i+(−4(−2)+4(3 ))j=−24i+20j.

    Нам нужно найти единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и ∇f(−2,3),∇f(−2,3), поэтому следующим шагом будет деление ∇f(−2,3)∇ f(−2,3) по его величине, которая равна (−24)2+(20)2=976=461.(−24)2+(20)2=976=461. Следовательно,

    ∇f(−2,3)‖∇f(−2,3)‖=−24461i+20461j=−66161i+56161j.∇f(−2,3)‖∇f(−2,3) ‖=−24461i+20461j=−66161i+56161j.

    Это единичный вектор, указывающий в том же направлении, что и ∇f(−2,3).∇f(−2,3). Чтобы найти угол, соответствующий этому единичному вектору, решим уравнения

    cosθ=-66161andsinθ=56161cosθ=-66161andsinθ=56161

    для θ.θ. Поскольку косинус отрицательный, а синус положительный, угол должен лежать во втором квадранте. Следовательно, θ=π−arcsin((561)/61)≈2,45 рад. θ=π−arcsin((561)/61)≈2,45 рад.

    Максимальное значение производной по направлению в точке (−2,3)(−2,3) равно ‖∇f(−2,3)‖=461‖∇f(−2,3)‖=461 (см. следующий рисунок).

    Рисунок 4,42 Максимальное значение производной по направлению при (-2,3)(-2,3) находится в направлении градиента.

    Контрольно-пропускной пункт 4.30

    Найдите направление, для которого производная по направлению g(x,y)=4x−xy+2y2g(x,y)=4x−xy+2y2 в точке (−2,3)(−2,3) является максимальной . Каково максимальное значение?

    На рис. 4.43 показана часть графика функции f(x,y)=3+sinxsiny.f(x,y)=3+sinxsiny. Учитывая точку (a,b)(a,b) в области определения f,f, максимальное значение градиента в этой точке определяется выражением ‖∇f(a,b)‖.‖∇f(a,b )». Это было бы равно скорости наибольшего подъема, если бы поверхность представляла собой топографическую карту. Если бы мы пошли в противоположном направлении, это была бы скорость наибольшего спуска.

    Рисунок 4,43 Типичная поверхность в ℝ3.ℝ3. Учитывая точку на поверхности, производную по направлению можно рассчитать с помощью градиента.

    При использовании топографической карты самый крутой склон всегда находится в том направлении, где горизонтали ближе всего друг к другу (см. Рисунок 4.44). Это аналогично контурной карте функции, если предположить, что кривые уровня получены для равноотстоящих значений во всем диапазоне этой функции.

    Рисунок 4,44 Контурная карта для функции f(x,y)=x2−y2f(x,y)=x2−y2 с использованием значений уровня от −5−5 до 5,5.

    Градиенты и кривые уровня

    Напомним, что если кривая параметрически задана парой функций (x(t),y(t)),(x(t),y(t)), то вектор x′(t)i+y′( t)jx′(t)i+y′(t)j касается кривой для каждого значения tt в области. Теперь предположим, что z=f(x,y)z=f(x,y) является дифференцируемой функцией xandy,xandy, и (x0,y0)(x0,y0) находится в ее области определения. Предположим далее, что x0=x(t0)x0=x(t0) и y0=y(t0)y0=y(t0) для некоторого значения t,t, и рассмотрим кривую уровня f(x,y)=k. f (х,у)=к. Определить g(t)=f(x(t),y(t))g(t)=f(x(t),y(t)) и вычислить g′(t)g′(t) на уровне изгиб. По правилу цепи,

    g′(t)=fx(x(t),y(t))x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t).g′(t)=fx (x(t),y(t))x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t).

    Но g′(t)=0g′(t)=0, потому что g(t)=kg(t)=k для всех t.t. Следовательно, с одной стороны,

    fx(x(t),y(t))x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t)=0;fx(x(t),y(t) )x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t)=0;

    с другой стороны,

    fx(x(t),y(t))x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t)=∇f(x,y)·〈x′(t ),y′(t)〉.fx(x(t),y(t))x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t)=∇f(x, у)·〈x′(t),y′(t)〉.

    Следовательно,

    ∇f(x,y)·〈x′(t),y′(t)〉=0.∇f(x,y)·〈x′(t),y′(t)〉=0.

    Таким образом, скалярное произведение этих векторов равно нулю, что означает, что они ортогональны. Однако второй вектор касается кривой уровня, что означает, что градиент должен быть нормален к кривой уровня, что приводит к следующей теореме.

    Теорема 4.14

    Градиент нормален к кривой уровня

    Предположим, что функция z=f(x,y)z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в открытом круге с центром в точке (x0,y0). (x0,y0). Если ∇f(x0,y0)≠0,∇f(x0,y0)≠0, то ∇f(x0,y0)∇f(x0,y0) нормальна кривой уровня функции ff в точке (x0,y0) .(х0,у0).

    Мы можем использовать эту теорему, чтобы найти касательные и нормальные векторы к линиям уровня функции.

    Пример 4,35

    Нахождение касательных к кривым уровня

    Для функции f(x,y)=2×2−3xy+8y2+2x−4y+4,f(x,y)=2×2−3xy+8y2+2x−4y+4, найдите касательный вектор к кривой уровня в точке (−2,1).(−2,1). Начертите кривую уровня, соответствующую f(x,y)=18f(x,y)=18, и нарисуйте ∇f(−2,1)∇f(−2,1) и касательный вектор.

    Решение

    Сначала мы должны вычислить ∇f(x,y):∇f(x,y):

    fx(x,y)=4x−3y+2andfy=−3x+16y−4so∇f(x,y)=(4x−3y+2)i+(−3x+16y−4)j.fx(x ,y)=4x−3y+2 и fy=−3x+16y−4so∇f(x,y)=(4x−3y+2)i+(−3x+16y−4)j.

    Затем мы оцениваем ∇f(x,y)∇f(x,y) в (−2,1):(−2,1):

    ∇f(−2,1)=(4(− 2)−3(1)+2)i+(−3(−2)+16(1)−4)j=−9i+18j.∇f(−2,1)=(4(−2)−3 (1)+2)i+(−3(−2)+16(1)−4)j=−9i+18j.

    Этот вектор ортогонален кривой в точке (−2,1).(−2,1). Мы можем получить касательный вектор, поменяв местами компоненты и умножив любой из них на −1,−1. Так, например, −18i−9j−18i−9j — касательный вектор (см. следующий график).

    Рисунок 4,45 Повернутый эллипс с уравнением f(x, y) = 18. В точке (–2, 1) эллипса нарисованы две стрелки, один касательный вектор и один нормальный вектор. Вектор нормали отмечен ∇f(–2, 1) и перпендикулярен касательному вектору.

    Контрольно-пропускной пункт 4.31

    Для функции f(x,y)=x2−2xy+5y2+3x−2y+4,f(x,y)=x2−2xy+5y2+3x−2y+4 найдите касательную к кривой уровня в точке (1,1).(1,1). Нарисуйте график кривой уровня, соответствующей f(x,y)=9f(x,y)=9 и нарисуйте ∇f(1,1)∇f(1,1) и касательный вектор.

    Трехмерные градиенты и производные по направлениям

    Определение градиента можно распространить на функции более чем двух переменных.

    Определение

    Пусть w=f(x,y,z)w=f(x,y,z) — функция трех переменных такая, что существуют fx,fy,fzfx,fy,fz. Вектор ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z) называется градиентом ff и определяется как

    ∇f(x,y,z)=fx(x,y,z) i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k.∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z) j+fz(x,y,z)k.

    (4.40)

    ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z) также можно записать как gradf(x,y,z).gradf(x,y,z).

    Вычисление градиента функции с тремя переменными очень похоже на вычисление градиента функции с двумя переменными. Сначала мы вычисляем частные производные fx,fy,fx,fy и fz,fz, а затем используем уравнение 4.40.

    Пример 4,36

    Поиск градиентов в трех измерениях

    Найдите градиент ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z) каждой из следующих функций:

    1. f(x,y,z)=5×2−2xy+y2−4yz+z2+3xzf(x,y,z)=5×2−2xy+y2−4yz+z2+3xz
    2. f(x,y,z)=e−2zsin2xcos2yf(x,y,z)=e−2zsin2xcos2y
    Решение

    Для обеих частей a. и b., мы сначала вычисляем частные производные fx,fy,fx,fy и fz,fz, затем используем уравнение 4. 40.


    1. fx(x,y,z)=10x−2y+3z,fy(x,y,z)=−2x+2y−4zandfz(x,y,z)=3x−4y+2z,so∇ f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(10x−2y+3z)i+(−2x +2y−4z)j+(−4x+3y+2z)k.fx(x,y,z)=10x−2y+3z,fy(x,y,z)=−2x+2y−4zandfz(x,y ,z)=3x−4y+2z, поэтому∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k =(10x−2y+3z)i+(−2x+2y−4z)j+(−4x+3y+2z)k.
    2. г.

    3. fx(x,y,z)=−2e−2zcos2xcos2y,fy(x,y,z)=−2e−2zsin2xsin2yandfz(x,y,z)=−2e−2zsin2xcos2y,so∇f(x,y, z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(2e−2zcos2xcos2y)i+(−2e−2z)j+(−2e− 2z)=2e−2z(cos2xcos2yi−sin2xsin2yj−sin2xcos2yk).fx(x,y,z)=−2e−2zcos2xcos2y,fy(x,y,z)=−2e−2zsin2xsin2yandfz(x,y,z)=− 2e−2zsin2xcos2y, поэтому∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(2e−2zcos2xcos2y) i+(-2e-2z)j+(-2e-2z)=2e-2z(cos2xcos2yi-sin2xsin2yj-sin2xcos2yk).

    Контрольно-пропускной пункт 4,32

    Найдите градиент ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z) функции f(x,y,z)=x2−3y2+z22x+y−4z.f(x,y,z) )=x2−3y2+z22x+y−4z.

    Производную по направлению также можно обобщить на функции трех переменных. Чтобы определить направление в трех измерениях, необходим вектор с тремя компонентами. Этот вектор является единичным вектором, и компоненты единичного вектора называются направленными косинусами . Дан трехмерный единичный вектор uu в стандартной форме (т. е. начальная точка находится в начале координат), этот вектор образует три различных угла с положительными осями x−, y−, x−, y− и z- осей. . Назовем эти углы α,β,α,β и γ.γ. Тогда направленные косинусы задаются как cosα,cosβ,cosα,cosβ и cosγ.cosγ. Это компоненты единичного вектора u;u; поскольку uu — единичный вектор, верно, что cos2α+cos2β+cos2γ=1.cos2α+cos2β+cos2γ=1.

    Определение

    Предположим, что w=f(x,y,z)w=f(x,y,z) является функцией трех переменных с областью определения D.D. Пусть (x0,y0,z0)∈D(x0,y0,z0)∈D и пусть u=cosαi+cosβj+cosγku=cosαi+cosβj+cosγk — единичный вектор. Тогда производная от ff по направлению в направлении uu определяется как )t,Duf(x0,y0,z0)=limt→0f(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)−f(x0,y0,z0)t,

    (4. 41)

    , если существует предел .

    Мы можем вычислить производную по направлению функции трех переменных, используя градиент, что приводит к формуле, аналогичной уравнению 4.38.

    Теорема 4.15

    Производная по направлению функции трех переменных

    Пусть f(x,y,z)f(x,y,z) — дифференцируемая функция трех переменных, и пусть u=cosαi+cosβj+cosγku=cosαi+cosβj+cosγk — единичный вектор. Тогда производная по направлению от ff в направлении uu равна

    Duf(x,y,z)=∇f(x,y,z)·u=fx(x,y,z)cosα+fy(x,y,z)cosβ+fz(x,y,z) cosγ.Duf(x,y,z)=∇f(x,y,z)·u=fx(x,y,z)cosα+fy(x,y,z)cosβ+fz(x,y,z) )cosγ.

    (4.42)

    Три угла α,β и γα,β и γ определяют единичный вектор u.u. На практике мы можем использовать произвольный (неединичный) вектор, а затем разделить его на величину, чтобы получить единичный вектор в нужном направлении.

    Пример 4,37

    Нахождение производной по направлению в трех измерениях

    Вычислить Duf(1,−2,3)Duf(1,−2,3) в направлении v=−i+2j+2kv=−i+2j+2k для функция

    f(x,y,z)=5×2−2xy+y2−4yz+z2+3xz. f(x,y,z)=5×2−2xy+y2−4yz+z2+3xz.

    Решение

    Сначала находим величину v:v:

    ‖v‖=(−1)2+(2)2+(2)2=3.‖v‖=(−1)2+(2)2 +(2)2=3.

    Следовательно, v‖v‖=−i+2j+2k3=−13i+23j+23kv‖v‖=−i+2j+2k3=−13i+23j+23k является единичным вектором в направлении v,v , поэтому cosα=-13,cosβ=23 и cosγ=23.cosα=-13,cosβ=23 иcosγ=23. Далее вычисляем частные производные f:f:

    fx(x,y,z)=10x−2y+3zfy(x,y,z)=−2x+2y−4zfz(x,y,z)= −4y+2z+3x,fx(x,y,z)=10x−2y+3zfy(x,y,z)=−2x+2y−4zfz(x,y,z)=−4y+2z+3x,

    , затем подставьте их в уравнение 4.42:

    Duf(x,y,z)=fx(x,y,z)cosα+fy(x,y,z)cosβ+fz(x,y,z)cosγ= (10x−2y+3z)(−13)+(−2x+2y−4z)(23)+(−4y+2z+3x)(23)=−10×3+2y3−3z3−4×3+4y3−8z3−8y3 +4z3+6×3=−8×3−2y3−7z3.Duf(x,y,z)=fx(x,y,z)cosα+fy(x,y,z)cosβ+fz(x,y,z)cosγ =(10x−2y+3z)(−13)+(−2x+2y−4z)(23)+(−4y+2z+3x)(23)=−10×3+2y3−3z3−4×3+4y3−8z3− 8y3+4z3+6×3=-8×3-2y3-7z3.

    Наконец, чтобы найти Duf(1,−2,3),Duf(1,−2,3), мы подставляем x=1,y=−2,andz=3:x=1,y=−2, andz=3:

    Duf(1,−2,3)=−8(1)3−2(−2)3−7(3)3=−83+43−213=−253. Duf(1, −2,3)=−8(1)3−2(−2)3−7(3)3=−83+43−213=−253.

    Контрольно-пропускной пункт 4,33

    Расчет Duf(x,y,z)Duf(x,y,z) и Duf(0,−2,5)Duf(0,−2,5) в направлении v=−3i+12j−4kv =−3i+12j−4k для функции f(x,y,z)=3×2+xy−2y2+4yz−z2+2xz.f(x,y,z)=3×2+xy−2y2+4yz−z2+ 2xz.

    Раздел 4.6 Упражнения

    В следующих упражнениях найдите производную по направлению, используя только определение предела.

    260.

    f(x,y)=5−2×2−12y2f(x,y)=5−2×2−12y2 в точке P(3,4)P(3,4) в направлении u=(cosπ4)i+( sinπ4)ju=(cosπ4)i+(sinπ4)j

    261.

    f(x,y)=y2cos(2x)f(x,y)=y2cos(2x) в точке P(π3,2)P(π3,2) в направлении u=(cosπ4)i+(sinπ4 )ju=(cosπ4)i+(sinπ4)j

    262.

    Найдите производную по направлению от f(x,y)=y2sin(2x)f(x,y)=y2sin(2x) в точке P(π4,2)P(π4,2) в направлении u=5i +12j.u=5i+12j.

    Для следующих упражнений найдите производную функции по направлению в точке PP в направлении uu или vv, в зависимости от ситуации.

    263.

    f(x,y)=xy,f(x,y)=xy,P(0,−2),P(0,−2),v=12i+32jv=12i+32j

    264.

    h(x,y)=exsiny,P(1,π2),v=−ih(x,y)=exsiny,P(1,π2),v=−i

    265.

    h(x,y,z)=xyz,P(2,1,1),v=2i+j−kh(x,y,z)=xyz,P(2,1,1),v=2i+ й-к

    266.

    f(x,y)=xy,P(1,1),u=〈22,22〉f(x,y)=xy,P(1,1),u=〈22,22〉

    267.

    f(x,y)=x2−y2,u=〈32,12〉,P(1,0)f(x,y)=x2−y2,u=〈32,12〉,P(1,0)

    268.

    f(x,y)=3x+4y+7,u=〈35,45〉,P(0,π2)f(x,y)=3x+4y+7,u=〈35,45〉,P( 0,π2)

    269.

    f(x,y)=excosy,u=〈0,1〉,P=(0,π2)f(x,y)=excosy,u=〈0,1〉,P=(0,π2)

    270.

    f(x,y)=y10,u=〈0,−1〉,P=(1,−1)f(x,y)=y10,u=〈0,−1〉,P=(1,− 1)

    271.

    f(x,y)=ln(x2+y2),u=〈35,45〉,P(1,2)f(x,y)=ln(x2+y2),u=〈35,45〉, Р(1,2)

    272.

    f(x,y)=x2y,P(−5,5),v=3i−4jf(x,y)=x2y,P(−5,5),v=3i−4j

    273.

    f(x,y,z)=y2+xz,P(1,2,2),v=〈2,−1,2〉f(x,y,z)=y2+xz,P(1,2 ,2),v=〈2,−1,2〉

    В следующих упражнениях найдите производную функции по направлению в направлении единичного вектора u=cosθi+sinθj.u=cosθi+sinθj.

    274.

    f(x,y)=x2+2y2,θ=π6f(x,y)=x2+2y2,θ=π6

    275.

    f(x,y)=yx+2y,θ=−π4f(x,y)=yx+2y,θ=−π4

    276.

    f(x,y)=cos(3x+y),θ=π4f(x,y)=cos(3x+y),θ=π4

    277.

    w(x,y)=yex,θ=π3w(x,y)=yex,θ=π3

    278.

    f(x,y)=xarctan(y),θ=π2f(x,y)=xarctan(y),θ=π2

    279.

    f(x,y)=ln(x+2y),θ=π3f(x,y)=ln(x+2y),θ=π3

    Для следующих упражнений найдите градиент.

    280.

    Найдите градиент f(x,y)=14−x2−y23.f(x,y)=14−x2−y23. Затем найдите градиент в точке P(1,2).P(1,2).

    281.

    Найдите градиент f(x,y,z)=xy+yz+xzf(x,y,z)=xy+yz+xz в точке P(1,2,3).P(1,2, 3).

    282.

    Найти градиент f(x,y,z)f(x,y,z) в точке PP и в направлении u:u:f(x,y,z)=ln(x2+2y2+3z2) ,P(2,1,4),u=−313i−413j−1213k.f(x,y,z)=ln(x2+2y2+3z2),P(2,1,4),u=−313i −413j−1213k.

    283.

    f(x,y,z)=4x5y2z3,P(2,−1,1),u=13i+23j−23kf(x,y,z)=4x5y2z3,P(2,−1,1),u= 13i+23j−23k

    Для следующих упражнений найдите производную функции по направлению в точке PP в направлении Q.Q.

    284.

    f(x,y)=x2+3y2,P(1,1),Q(4,5)f(x,y)=x2+3y2,P(1,1),Q(4,5)

    285.

    f(x,y,z)=yx+z,P(2,1,−1),Q(−1,2,0)f(x,y,z)=yx+z,P(2,1 ,−1),Q(−1,2,0)

    Для следующих упражнений найдите производную функции в точке PP в направлении u. u.

    286.

    f(x,y)=−7x+2y,P(2,−4),u=4i−3jf(x,y)=−7x+2y,P(2,−4),u=4i−3j

    287.

    f(x,y)=ln(5x+4y),P(3,9),u=6i+8jf(x,y)=ln(5x+4y),P(3,9),u=6i+ 8j

    288.

    [T] Используйте технологию, чтобы нарисовать кривую уровня f(x,y)=4x−2y+3f(x,y)=4x−2y+3, которая проходит через P(1,2)P(1 ,2) и нарисуйте вектор градиента в точке P.P.

    289.

    [T] Используйте технологию, чтобы нарисовать кривую уровня f(x,y)=x2+4y2f(x,y)=x2+4y2, которая проходит через P(−2,0)P(−2,0 ) и нарисуйте вектор градиента в точке P.P.

    Для следующих упражнений найдите вектор градиента в указанной точке.

    290.

    f(x,y)=xy2−yx2,P(−1,1)f(x,y)=xy2−yx2,P(−1,1)

    291.

    f(x,y)=xey-ln(x),P(-3,0)f(x,y)=xey-ln(x),P(-3,0)

    292.

    f(x,y,z)=xy−ln(z),P(2,−2,2)f(x,y,z)=xy−ln(z),P(2,−2,2)

    293.

    f(x,y,z)=xy2+z2,P(−2,−1,−1)f(x,y,z)=xy2+z2,P(−2,−1,−1)

    Для следующих упражнений найдите производную функции.

    294.

    f(x,y)=x2+xy+y2f(x,y)=x2+xy+y2 в точке (−5,−4)(−5,−4) в направлении наиболее быстрого возрастания функции

    295.

    f(x,y)=exyf(x,y)=exy в точке (6,7)(6,7) в направлении наиболее быстрого возрастания функции

    296.

    f(x,y)=arctan(yx)f(x,y)=arctan(yx) в точке (−9,9)(−9,9) в направлении наиболее быстрого возрастания функции

    297.

    f(x,y,z)=ln(xy+yz+zx)f(x,y,z)=ln(xy+yz+zx) в точке (−9,−18,−27)(−9,−18,−27) в направлении, в котором функция возрастает наиболее быстро

    298.

    f(x,y,z)=xy+yz+zxf(x,y,z)=xy+yz+zx в точке (5,−5,5)(5,−5,5) в направлении функция возрастает наиболее быстро

    Для следующих упражнений найдите максимальную скорость изменения ff в данной точке и направление, в котором это происходит.

    299.

    f(x,y)=xe−y,f(x,y)=xe−y,(1,0)(1,0)

    300.

    f(x,y)=x2+2y,f(x,y)=x2+2y,(4,10)(4,10)

    301.

    f(x,y)=cos(3x+2y),(π6,−π8)f(x,y)=cos(3x+2y),(π6,−π8)

    Для следующих упражнений найдите уравнения

    .
    1. касательная плоскость и
    2. нормаль к данной поверхности в данной точке.

    302.

    Поверхность уровня f(x,y,z)=12f(x,y,z)=12 для f(x,y,z)=4×2−2y2+z2f(x,y,z)=4×2−2y2 +z2 в точке (2,2,2).(2,2,2).

    303.

    f(x,y,z)=xy+yz+xz=3f(x,y,z)=xy+yz+xz=3 в точке (1,1,1)(1,1,1)

    304.

    f(x,y,z)=xyz=6f(x,y,z)=xyz=6 в точке (1,2,3)(1,2,3)

    305.

    f(x,y,z)=xeycosz−z=1f(x,y,z)=xeycosz−z=1 в точке (1,0,0)(1,0,0)

    Для следующих упражнений решите задачу.

    306.

    Температура TT в металлическом шаре обратно пропорциональна расстоянию от центра шара (начало координат: (0,0,0)).(0,0,0)). Температура в точке (1,2,2)(1,2,2) составляет 120°С.120°С.

    1. Найти скорость изменения температуры в точке (1,2,2)(1,2,2) в направлении точки (2,1,3).(2,1,3).
    2. г.
    3. Покажите, что в любой точке сферы направление наибольшего повышения температуры задается вектором, указывающим на начало координат.

    307.

    Электрический потенциал (напряжение) в определенной области пространства задается функцией V(x,y,z)=5×2−3xy+xyz.V(x,y,z)=5×2−3xy+xyz.

    1. Найти скорость изменения напряжения в точке (3,4,5)(3,4,5) в направлении вектора 〈1,1,−1〉.〈1,1,−1〉 .
    2. В каком направлении быстрее всего изменяется напряжение в точке (3,4,5)?(3,4,5)?
    3. г.
    4. Какова максимальная скорость изменения напряжения в точке (3,4,5)?(3,4,5)?

    308.

    Если электрический потенциал в точке (x,y)(x,y) xy -плоскости равен V(x,y)=e−2xcos(2y),V(x,y)=e− 2xcos(2y), то вектор напряженности электрического поля в точке (x,y)(x,y) равен E=−∇V(x,y).E=−∇V(x,y).

    1. Найдите вектор напряженности электрического поля в точке (π4,0).(π4,0).
    2. Показать, что в каждой точке плоскости электрический потенциал быстрее всего убывает в направлении вектора E.E.
    3. г.

    309.

    В двух измерениях движение идеальной жидкости определяется потенциалом скорости φ.φ. Компоненты скорости жидкости uu в направлении x- и vv в направлении y задаются выражением 〈u,v〉=∇φ.〈u,v〉=∇φ. Найдите компоненты скорости, связанные с потенциалом скорости φ(x,y)=sinπxsin2πy.φ(x,y)=sinπxsin2πy.

    Физическая интерпретация производной

    Введение в производную

    Вычисление производной является фундаментальной концепцией дифференциального исчисления. Производная определяется как мгновенная скорость изменения в данной точке.

    Мы обычно различаем два вида функций, неявные и явные функции. Явные функции — это функции, в которых известное значение независимой переменной «x» напрямую приводит к значению зависимой переменной «y». Неявные функции — это функции, в которых известное значение «x» напрямую не дает значения «y». Неявное дифференцирование отличается от явного. Мы используем простые правила дифференцирования, такие как правило произведения, правило степени, правило отношения, правило цепи, правило сумм и правило разности, чтобы найти производные явных функций.

    Лучшие репетиторы по математике

    Поехали

    Физическая интерпретация производной

    В этой статье мы изучим физическую интерпретацию производной, объяснив разницу между средней и мгновенной скоростью изменения. Мы также решим некоторые примеры, связанные с мгновенной скоростью изменения. Итак, приступим.

    Средняя скорость

    Мы знаем, что производные представляют скорость изменения. Однако мы используем слово «мгновенный» всякий раз, когда определяем производную. Вы можете подумать, что средняя и мгновенная скорость изменения одинаковы. Однако это не так. Возьмем пример со скоростью. Средняя скорость определяется ниже:

    «Средняя скорость представляет собой отношение пройденного расстояния (Δd) к прошедшему времени (Δt)».

    Формула для средней скорости приведена ниже:

    Графическое представление средней скорости приведено ниже:

    Следующий пример пояснит, что средняя скорость не совпадает с мгновенной скоростью.

    Пример

    Автомобиль проезжает 90 километров из одного города в другой за 100 минут. Какова его средняя скорость?

    Решение

    Формула для средней скорости =

    Чтобы преобразовать эту среднюю скорость в километры в час, мы умножим среднюю скорость на 60.

    =

    Таким образом, средняя скорость или скорость автомобиля составляет 54 километра в час. час. Это средняя скорость автомобиля за 100 минут движения. Конечно, скорость автомобиля в этот период времени не оставалась постоянной. Он продолжал меняться каждую минуту. Средняя скорость не отображает скорость изменения в конкретный момент, вместо этого она показывает среднюю скорость изменения в 100-минутном временном интервале. Следовательно, чтобы понять, какова была скорость или скорость объекта в конкретной точке, нам нужно вычислить мгновенную скорость или скорость. Другими словами, мы можем сказать, что средние скорости отличаются от мгновенных, потому что средние скорости не отображают скорость изменения в конкретный момент.

    Мгновенная скорость

    Мгновенная скорость отличается от средней скорости. Она определяется как:

    Мгновенная скорость – это предел функции скорости, когда Δt приближается к нулю, то есть производная пространства по времени”.

    Формула мгновенной скорости приведена ниже:

       

    Графическое представление мгновенной скорости приведено ниже.

    Пример

    Связь между расстоянием, пройденным автомобилем в метрах, и временем в минутах определяется функцией . Вычислите мгновенную скорость в момент времени t = 5 минут.

    Решение

    Чтобы вычислить мгновенную скорость, нам нужно найти производную исходной функции.

    Мы упростим производную и перепишем ее как:

    Подставим в функцию, чтобы получить мгновенную скорость в минутах:

    метров в минуту

    Как видите, мы подставили значение t в производную функции вместо самой функции. Следовательно, чтобы определить скорость изменения в конкретной точке, нам всегда нужно сначала продифференцировать функцию.

    Примеры мгновенной скорости изменения

    Теперь в этом разделе мы решим еще несколько примеров мгновенной скорости изменения.

    Пример 1

    Положение мяча после времени t в минутах определяется следующей функцией:

    а) Шар движется вверх или вниз в момент времени t = 3 минуты?

    б) Перестанет ли когда-нибудь двигаться мяч?

    Решение

    Чтобы ответить на поставленный выше вопрос, нам нужно найти производную исходной функции.

    Часть a

    Чтобы определить, движется ли мяч вверх или вниз в момент t = 3 минуты, мы должны заменить t на 3 в производной функции.

    Так как скорость мяча положительна, то можно сказать, что мяч движется вверх в момент времени t = 3 минуты.

    Часть b

    Чтобы определить, остановится ли шарик в движении или нет, нам нужно узнать момент времени, в который производная функции после подстановки значения t становится равной нулю. При t = 1 минута производная функции становится равной нулю.

    Следовательно, в момент времени t = 1 минута мяч не движется.

     

    Пример 2

    Предположим, что количество воды, которое может содержать резервуар в t минут, определяется функцией . Рассчитайте следующее.

    а) Увеличивается или уменьшается объем воды в резервуаре в момент t = 2 мин.

    б) Увеличивается или уменьшается объем воды в резервуаре в момент времени t = 4 мин.

    Решение

    Этот вопрос состоит из двух частей. Чтобы найти объем резервуара в определенный интервал времени, нам нужно сначала продифференцировать исходную функцию. Дифференцирование означает нахождение производной функции.

    Часть a

    Объем резервуара =

    Мы продифференцируем эту функцию объема, используя правило суммы и степени.

    Перепишем приведенную выше функцию в упрощенном виде следующим образом:

    Теперь найдем, уменьшался или увеличивался объем воды в водохранилище в момент t = 2 мин путем подстановки 2 в производную от громкость.

    Так как -8 отрицательно, то можно предположить, что объем резервуара уменьшается при t = 2 минуты.

    Часть b

    Дифференцированная функция объема =

    Поместите t = 4 в приведенную выше функцию, чтобы получить объем воды в резервуаре при t = 4 минуты.

    Положительная скорость изменения показывает, что объем увеличивается при t = 4 минуты.

    Частные производные

    Частные производные

    Определение частной производной

    Пусть f(x,y) — функция двух переменных. Затем мы определяем партиал производные   как

    Определение частной производной

        


    если эти пределы существуют.

    Алгебраически мы можем думать о частной производной функции с по x как производная от функции с y поддерживается постоянной. Геометрически производная по x в точке Р представляет наклон кривой, проходящей через P, проекция которой на ху плоскость представляет собой горизонтальную линию. (Если вы путешествуете на восток, насколько круты ты лазишь?)

    Пример

    Пусть

    f(x,y) = 2x + 3y

    затем

    Мы также используем обозначение f x и ф у для частных производных по x и y соответственно.

    Упражнение:  

    Найдите f y для функции из приведенного выше примера.


    Нахождение частных производных простым способом

    Поскольку частная производная по x есть производная по остальным переменных, остающихся постоянными, мы можем найти частную производную, взяв обычная производная, считая остальные переменные постоянными.

    Пример
     
    Пусть

    f(x,y)  =  3xy 2  – 2x 2 г

    затем

    f x   =  3y 2  – 4xy

    и

            f y = 6xy – 2x 2

    Упражнения

    Найдите обе частные производные для

    1. f(x,y) = xy sin x

    2. х + у
      f(x,y) =                     
      х – у


    Частицы высшего порядка

    Как и в случае с функцией одной переменной, мы можем определить вторые производные для функции двух переменных. За функции двух переменных, имеем четыре типа:

    ф хх , f xy      f yx и     f yy

    Пример

    Пусть

    f(x,y) = y e x  

    затем

    f x   = уе x

    и

    f y   =  e x

    Теперь взяв части каждого из них, мы получим:

    е хх = да x f xy = e x         f ух = е х и       f yy = 0

    Обратите внимание, что    

    f xy   =   f yx  

    Теорема  

    Пусть f(x,y) — функция с непрерывным вторым порядком производные, затем

    f ху =   f гх


    Функции более чем двух переменных

    Предположим, что

    f(x,y,z)  = xy – 2yz 

    является функцией трех переменных, тогда мы можем определить частные производные во многом так же, как мы определили частные производные по трем переменным.

Оставить комментарий