Производная от п: Mathway | Популярные задачи - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Производная простыми словами

План изучения темы

Понятие производной.
Геометрический смысл производной.
Уравнение касательной в данной точке.
Физический смысл производной.
Таблица производных.
Правила нахождения производных различных функций и их комбинаций.
Производная сложной функции.

Понятие производной

Производной функции называется математическое понятие, характеризующее скорость изменения функции.

На рисунке видно три графика функции. Как считаете, какой из них растёт быстрее? Ответ очевиден: график под номером 3.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется y с изменением x. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается f'(x)

Геометрический смысл производной

Покажем, как найти производную с помощью графика.

На рисунке перед вами график некоторой функции y=f(x). Возьмём на нём произвольную точку А с абсциссой в x₀

Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Этот тангенс и показывает нам значение производной в точке касания, то есть:

С другой стороны, касательная задаётся формулой прямой с коэффициентом наклона k. Значит, можно расширить нашу формулу и связать её с данным коэффициентом:

Если функция в точке возрастает, то k>0, если же функция убывает, то k<0. Так же ведёт себя и значение производной в данной точке.

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

Пример 1

На рисунке изображён график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции в точке с абсциссой -4. Найдите значение производной функции в точке .

Решение: проведём касательную в точку

Видим, что в данной точке функция убывает, значит значение производной будет отрицательное. Теперь глядя на получившийся прямоугольный треугольник видно, что вертикальный катет у него 3, а горизонтальный 4. Имеем в итоге:

Ответ: -0,75

Пример 2

На рисунке изображён график – производной функции . На оси абсцисс отмечены 10 точек: . Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции ?

Решение: так как перед нами график не самой функции, а её производной, то там где производная отрицательна – функция убывает. И, наоборот, где производная положительна, там функция возрастает. Нам нужны точки, находящиеся на промежутках убывания. Значит, выбираем те, которые лежат ниже оси ОХ. Это точки . Видим, что таких точек 6.

Ответ: 6

ЕЩЁ БОЛЬШЕ ЗАДАЧ НА ПРОИЗВОДНУЮ С РАЗБОРОМ (ЧАСТЬ 1)

ЕЩЁ БОЛЬШЕ ЗАДАЧ НА ПРОИЗВОДНУЮ С РАЗБОРОМ (ЧАСТЬ 2)

Уравнение касательной в данной точке

Физический смысл производной

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

Первая производная от перемещения – это скорость:

Вторая производная от перемещения (или же производная от скорости) – это ускорение:

Пример 3

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента начала движения.

Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=4.

Решение: нужно воспользоваться производной функции . Тогда получим, что .

Подставив в данное выражение t=4, получим ответ на вопрос задачи: 14 метров в секунду.

Ответ: 14

Таблица производных

a,n,m – это некоторые числа, х – независимая переменная.

Правила нахождения производных различных функций и их комбинаций.

Пример 4

Найдите производную функции если, и

Решение:

Способ 1

Способ 2

Это два способа нахождения производной от произведения функций. Из-за того, что функции степенные, можно пользоваться любым, какой считаете удобнее.

Пример 5

Найдём производную для функций из предыдущего примера.

Решение:

Видим, что пользуясь третьим правилом дифференцирования, можно получить производную от частного данных функций.

Производная сложной функции.

Пример 6

Задания для самостоятельного решения по производным (30 штук)

Скачать по ссылке

Видео разбор 30 примеров

Производные правила | Математическое исчисление

Производные правила и законы. Таблица производных функций.

Производное определение

Производная функции – это отношение разности значений функции f (x) в точках x + Δx и x к Δx, когда Δx бесконечно мало. Производная – это наклон функции или наклон касательной в точке x.

Вторая производная

Вторая производная определяется по формуле:

Или просто выведите первую производную:

N-я производная

Производная n вычисляется путем вычисления f (x) n раз.

В п – е производная равна производной от (п-1) производное:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] ‘

Пример:

Найдите четвертую производную от

е ( х ) = 2 х

⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] ” ” = [10 x ⁴ ] ” ‘= [40 x ³ ]’ ‘= [120 x ² ]’ = 240 x

Производная на графике функции

Производная функции – это наклон касательной прямой.

Производные правила

Правило производной суммы

Когда a и b постоянные.

( af ( x ) + bg ( x )) ‘= af’ ( x ) + bg ‘ ( x )

Пример:

Найдите производную от:

3 х ² + 4 х.

Согласно правилу сумм:

а = 3, б = 4

е ( х ) = х ² , g ( х ) =

f ‘ ( x ) = 2 x^{, g’ ( x ) = 1}

(3 х ² + 4 х ) ‘= 3⋅2 х + 4⋅1 = 6 х + 4

Правило производного продукта

( f ( x ) ∙ g ( x )) ‘= f’ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ‘ ( x )

Правило производного частного

Правило производной цепочки

f ( g ( x )) ‘= f’ ( g ( x )) ∙ g ‘ ( x )

Это правило можно лучше понять с помощью обозначений Лагранжа:

Функция линейной аппроксимации

Для малых Δx мы можем получить приближение к f (x ₀ + Δx), когда мы знаем f (x ₀ ) и f ‘(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f ‘( x ₀ ) ⋅Δ x

Таблица производных функций

Название функции	Функция	Производная
Название функции	f ( x )	f ‘( x )
Постоянный	const	0
Линейный	х	1
Сила	х ^а	топор ^а-¹
Экспоненциальный	e ^x	e ^x
Экспоненциальный	а ^х	a ^x ln a
Натуральный логарифм	ln ( x )
Логарифм	журнал _b ( x )
Синус	грех х	cos x
Косинус	cos x	-sin x
Касательная	загар х
Арксинус	arcsin x
Арккосин	arccos x
Арктангенс	arctan x
Гиперболический синус	зп х	cosh x
Гиперболический косинус	cosh x	зп х
Гиперболический тангенс	tanh x
Обратный гиперболический синус	sh ^-1x
Обратный гиперболический косинус	cosh ^-1x
Обратный гиперболический тангенс	танх ^-1х

Производные примеры

Пример # 1

е ( х

) = х ³ +5 х ² + х +8

f ‘ ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

Пример # 2

е ( х ) = грех (3 х ² )

При применении цепного правила:

f ‘ ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]’ = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

Тест второй производной

Когда первая производная функции равна нулю в точке x ₀ .

f ‘( x ₀ ) = 0

Тогда вторая производная в точке x ₀ , f ” (x ₀ ), может указывать на тип этой точки:

f ” ( x ₀ )/ 0	местный минимум
f ” ( х ₀ ) <0	локальный максимум
f ” ( х ₀ ) = 0	неопределенный

Смотрите также

ГК РФ Статья 1260. Переводы, иные производные произведения. Составные произведения / КонсультантПлюс

ГК РФ Статья 1260. Переводы, иные производные произведения. Составные произведения

1. Переводчику, а также автору иного производного произведения (обработки, экранизации, аранжировки, инсценировки или другого подобного произведения) принадлежат авторские права соответственно на осуществленные перевод и иную переработку другого (оригинального) произведения.

2. Составителю сборника и автору иного составного произведения (антологии, энциклопедии, базы данных, интернет-сайта, атласа или другого подобного произведения) принадлежат авторские права на осуществленные ими подбор или расположение материалов (составительство).

(в ред. Федерального закона от 12.03.2014 N 35-ФЗ)

Базой данных является представленная в объективной форме совокупность самостоятельных материалов (статей, расчетов, нормативных актов, судебных решений и иных подобных материалов), систематизированных таким образом, чтобы эти материалы могли быть найдены и обработаны с помощью электронной вычислительной машины (ЭВМ).

3. Переводчик, составитель либо иной автор производного или составного произведения осуществляет свои авторские права при условии соблюдения прав авторов произведений, использованных для создания производного или составного произведения.

4. Авторские права переводчика, составителя и иного автора производного или составного произведения охраняются как права на самостоятельные объекты авторских прав независимо от охраны прав авторов произведений, на которых основано производное или составное произведение.

5. Автор произведения, помещенного в сборнике или ином составном произведении, вправе использовать свое произведение независимо от составного произведения, если иное не предусмотрено договором с создателем составного произведения.

6. Авторские права на перевод, сборник, иное производное или составное произведение не препятствуют другим лицам переводить либо перерабатывать то же оригинальное произведение, а также создавать свои составные произведения путем иного подбора или расположения тех же материалов.

7. Издателю энциклопедий, энциклопедических словарей, периодических и продолжающихся сборников научных трудов, газет, журналов и других периодических изданий принадлежит право использования таких изданий. Издатель вправе при любом использовании такого издания указывать свое наименование или требовать его указания.

Авторы или иные обладатели исключительных прав на произведения, включенные в такие издания, сохраняют эти права независимо от права издателя или других лиц на использование таких изданий в целом, за исключением случаев, когда эти исключительные права были переданы издателю или другим лицам либо перешли к издателю или другим лицам по иным основаниям, предусмотренным законом. 2)\ ‘=2x\). Поэтому $f'(1)=2\cdot 1=2$

п.2. Производная суммы двух функций

Рассмотрим функцию $h(x)$, которую можно представить в виде суммы двух других функций: $h(x)=f(x)+g(x)$. Найдем её производную из общего алгоритма.
Пусть $\triangle x$ – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции $h(x)$: \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=(f(x+\triangle x)+g(x+\triangle x))-(f(x)+g(x))=\\ =(f(x+\triangle x)-f(x))+(g(x+\triangle x)-g(x))=\triangle f+\triangle g \end{gather*} где $\triangle f$ и $\triangle g$ – приращения каждой из функций-слагаемых.
Ищем производную: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f+\triangle g}{\triangle x}= \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle g}{\triangle x}=f'(x)+g'(x) \end{gather*} Или: $\left(f(x)+g(x)\right)’=f'(x)+g'(x)$

Производная суммы двух функций равна сумме производных: $$ \left(f(x)+g(x)\right)’=f'(x)+g'(x) $$

Например:
$\left(x^2+\frac1x\right)’=(x^2)’+\left(\frac1x\right)’=2x-\frac{1}{x^2}$

п.

2\)

п.4. Производная произведения двух функций

Рассмотрим функцию $h(x)$, которую можно представить в виде произведения двух других функций: $h(x)=f(x)\cdot g(x)$. Найдем её производную из общего алгоритма.
Пусть $\triangle x$ – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции $h(x)$: \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=(f(x+\triangle x)\cdot g(x+\triangle x))-(f(x)\cdot g(x)) \end{gather*} Приращения каждого из множителей: \begin{gather*} \triangle f=f(x+\triangle x)-f(x)\Rightarrow f(x+\triangle x)=\triangle f+f(x)\\ \triangle g=g(x+\triangle x)-g(x)\Rightarrow g(x+\triangle x)=\triangle g+g(x) \end{gather*} Подставим: \begin{gather*} \triangle h=(\triangle f+f(x))\cdot (\triangle g+g(x))-f(x)\cdot g(x)=\\ =\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot \triangle g+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)=\\ =\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot \triangle g \end{gather*} Ищем производную: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot\triangle g}{\triangle x}=\\ =\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot\frac{\triangle g}{\triangle x}\right)+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot g(x)+f(x)\cdot\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle g}{\triangle x}=\\ =f'(x)\cdot g'(x)\cdot 0+f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) \end{gather*} Или: $\left(f(x)\cdot g(x)\right)’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых:
производная первой функции на вторую плюс первая функция на производную второй: $$ \left(f(x)\cdot g(x)\right)’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) $$

Например:
$ (x^2\sqrt{x})’=(x^2)’\cdot\sqrt{x}+x^2\cdot (\sqrt{x})’=2x\sqrt{x}+\frac{x^2}{2\sqrt{x}}=x\sqrt{x}\left(2+\frac12\right)=\frac52x\sqrt{x} $

п.

5. Производная частного двух функций

Рассмотрим функцию $h(x)$, которую можно представить в виде частного двух других функций: $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$. Найдем её производную из общего алгоритма.
Пусть $\triangle x$ – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции $h(x)$: \begin{gather*} \triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=\frac{f(x+\triangle x)}{g(x+\triangle x)}-\frac{f(x)}{g(x)} \end{gather*} Приращения каждого из множителей: \begin{gather*} \triangle f=f(x+\triangle x)-f(x)\Rightarrow f(x+\triangle x)=\triangle f+f(x)\\ \triangle g=g(x+\triangle x)-g(x)\Rightarrow g(x+\triangle x)=\triangle g+g(x) \end{gather*} Подставим: \begin{gather*} \triangle h=\frac{\triangle f+f(x)}{\triangle g+g(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g-f(x)\cdot g(x)}{\left(\triangle g+g(x)\right)\cdot g(x)}=\\ =\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{\left(\triangle g+g(x)\right)\cdot g(x)}=\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{g(x+\triangle x)\cdot g(x)} \end{gather*} Ищем производную: \begin{gather*} h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f\cdot g(x)-f(x)\cdot \triangle g}{\triangle x\cdot g(x+\triangle x)\cdot g(x)}=\\ =\frac{\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot g(x)\right)-\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(f(x)\cdot\frac{\triangle g}{\triangle x}\right)}{g(x+0)\cdot g(x)}=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \end{gather*} Или: $ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} $

Производная частного двух функций равна дроби:
в числителе производная первой функции на вторую минус первая функция на производную второй, в знаменателе – квадрат второй функции: $$ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} $$

Например:
\begin{gather*} \left(\frac{3x+2}{x^2}\right)’=\frac{(3x+2)’\cdot x^2-(3x+2)\cdot (x^2)’}{(x^2)^2}=\frac{3x^2-(3x+2)\cdot 2x}{x^4}=\\ =\frac{3x^2-6x^2-4x}{x^4}=\frac{-3x^2-4x}{x^4}=-\frac{x(3x+4)}{x^4}=-\frac{3x+4}{x^3} \end{gather*}

п.

2=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: $\left\{0;\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$

Формулы производных

Что такое производная функция – это основное математическое понятие, находится на одном уровне с интегралами, при анализе. Данная функция в определенной точке дает характеристику скорости изменений функции в данной точке.
Такие понятия как дифференцирование и интегрирование, первое расшифровывается как действие поиска производной, второе наоборот, восстанавливает функцию отталкиваясь от данной производной.
Вычислениям производной отводится важная часть в дифференциальных расчетах.
Для наглядного примера, изобразим производную на координатной плоскости.

в функции у=f(х) фиксируем точки М в которой (х0; f(X0)) и N f (x0+?x) к каждой абсциссе есть приращение в виде ?x. Приращением называется процесс когда изменяется абсцисса, тогда меняется и ордината. Обозначается как ?у.
Найдем тангенс угла в треугольнике MPN используя для этого точки М и N.

tg? = NP/MP = ?у/?x.

При ?x идущем к 0. Пересекающая МN все ближе к касательной МТ и угол ? будет ?. Следовательно, tg ? максимальное значение для tg ?.

tg ? = lim от ?x-0 tg ? = lim от ?x-0 ?у/?x

Таблица производных

Если проговаривать формулировку каждой формулы производных. Таблица будет проще запоминаться.
1) Производная от постоянного значения равняется 0.
2) Х со штрихом равняется единице.
3) Если есть постоянный множитель, просто выносим ео за производную.
4) Чтобы найти производную степень, нужно показатель данной степени умножить на степень с таким же основанием, у которого показатель на 1 меньше.
5) Поиск корня равен одному, деленному 2 этих корня.
6) Производная одного, деленного на Х равняется одному разделенному на Х возведенный в квадрат, со знаком минус.
7) П синус равняется косинусу
8) П косинус равняется синусу со знаком минус.
9) П тангенс равняется одному, деленному на косинус в квадрате.
10) П котангенс равняется одному со знаком минус, деленная на синус в квадрате.

В дифференцировании также существуют правила, которые тоже проще выучить проговаривая их в слух.

1) Очень просто, п. слагаемых равняется их сумме.
2) Производная в умножении равняется умножению первого значения на второе, прибавляя к себе умножение второго значения на первое.
3) Производная в делении равняется умножению первого значения на второе, отнимая от себя умножение второго значения на первое. Дробь деления на второе значение в квадрате.
4) Формулировка является частным случаем третьей формулы.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Задачи, приводящие к понятию производной — урок. Алгебра, 10 класс.

Задача 1 (о скорости движения). Материальная точка движется по прямой, на которой заданы начало отсчёта, единица измерения (метр) и направление. Закон движения задан формулой $s=s(t)$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — расстояние материальной точки от начала отсчёта (её координата) в момент времени $t$ (в метрах). Найти скорость движения материальной точки в момент времени $t$ (в $м/с$).

Решение. Пусть в момент времени $t$ материальная точка была в положении $T$.

В момент времени t+Δt материальная точка будет в точке $K$, то есть OK=st+Δt.

Значит, за Δt секунд материальная точка переместилось из $T$ в точку $K$. Имеем: TK=OK−OT=st+Δt−s(t). Полученную разность мы назвали приращением функции: st+Δt−s(t)=Δs. Итак, TK=Δs(м). Средняя скорость vср движения материальной точки за промежуток времени t;t+Δt равна vср=ΔsΔt $(м/с)$.

А скорость $v(t)$ в момент времени $t$ (мгновенная скорость) — это тоже скорость движения за промежуток времени t;t+Δt, но Δt выбирается очень маленьким, почти равным нулю, то есть Δt→0. Это значит, что v(t)=limΔt→0vср.

Итак,

Задача 2 (о касательной к графику функции). На графике функции $y=f(x)$ взяли точку $M(a;f(a))$ и в этой точке провели касательную к графику функции. Необходимо определить угловой коэффициент этой касательной.

Решение. Дадим аргументу приращение Δx и рассмотрим на графике точку $P$ с абсциссой a+Δx. Ордината точки $P$ равна fa+Δx. Угловой коэффициент секущей $MP$ равен тангенсу угла между секущей и осью $x$: kсек=ΔyΔx.

При Δx, стремящемся к нулю, точка $P$ будет приближаться по графику к точке $M$. При этом касательная будет предельным положением секущей. Значит, угловой коэффициент касательной равен kкас=limΔx→0kсек. Используя приведённую выше формулу для kсек, получаем:

kкас=limΔx→0ΔyΔx.

3.2 Линейность производной

Операция называется линейной, если она ведет себя «хорошо» по отношению к умножение на константу и сложение. Название происходит от уравнение прямой, проходящей через начало координат, $f(x)=mx$ и следующие два свойства этого уравнения. Во-первых, $f(cx)=m(cx)=c(mx)=cf(x)$, поэтому константа $c$ может быть «вынесена наружу» или «перемещена сквозь» функция $f$. Во-вторых, $f(x+y)=m(x+y)=mx+my= f(x)+f(y)$, поэтому Символ сложения также можно перемещать по функции.

Соответствующие свойства для производной:

$$(cf(x))’ = {d\over dx}cf(x) = c {d\over dx} f(x) = cf'(x),$$ и $$(f(x)+g(x))’ = {d\over dx}(f(x)+g(x)) = {d\over dx} f(x)+{d\over dx} г(х) =f'(x)+g'(x).$$

Легко увидеть или, по крайней мере, поверить, что это правда, думая об интерпретации производных расстояния/скорости. Если один объект находится в позиции $f(t)$ в момент времени $t$, мы знаем, что его скорость задана на $f'(t)$. Предположим, что другой объект находится в позиции $5f(t)$ в момент времени $t$, а именно, что он всегда в 5 раз дальше по маршруту, чем первый объект.Тогда он «должен» все время работать в 5 раз быстрее.

Второе правило несколько сложнее, но здесь есть один из способов представьте это. Предположим, что бортовой вагон находится в позиции $f(t)$ в время $t$, поэтому автомобиль движется со скоростью $f'(t)$ (чтобы быть конкретно, скажем, что $f(t)$ дает позицию на треке задняя часть автомобиля). Предположим, что муравей ползет сзади машину вперед, так что ее позиция на машине равна $g(t)$ и его скорость относительно автомобиля равна $g'(t)$.Тогда в реальности в момент времени $t$ муравей находится в позиции $f(t)+g(t)$ вдоль пути, и его скорость “очевидно” $f'(t)+g'(t)$.

Мы не хотим полагаться на какие-то более или менее очевидные физические интерпретация, чтобы определить, что верно математически, так что давайте посмотрим как проверить эти правила вычислением. Мы сделаем один и оставим другой для упражнений. $$\выравнивание{ {d\over dx}(f(x)+g(x)) &= \lim_{\Delta x\to 0} {f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x) – (f(x)+g(x))\over \Delta x} \cr &= \lim_{\Delta x\to 0} {f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x) – f(x)-g(x)\over \Delta x} \cr &= \lim_{\Delta x\to 0} {f(x+\Delta x)-f(x) +g(x+\Delta x) -g(x)\over \Delta x} \cr &= \lim_{\Delta x\to 0} \left({f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x} +{g(x+\Delta x) -g(x)\over \Delta x}\right) \cr &= \lim_{\Delta x\to 0} {f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x} + \lim_{\Delta x\to 0} {g(x+\Delta x) -g(x)\over \Delta x} \cr &=f'(x)+g'(x)\cr }$$ Это иногда называют правилом сумм для производных.н$. Какова производная (по $x$) $P$? (отвечать)

Пример 3.2.12 Найдите кубический многочлен, график которого имеет горизонтальные касательные в точках $(-2, 5)$ и $(2, 3)$. (отвечать)

Пример 3.2.13 Докажите, что $\ds{d\over dx}(cf(x))= cf'(x)$, используя определение производной.

Пример 3. 2.14 Предположим, что $f$ и $g$ дифференцируемы в $x$. Показывать что $f-g$ дифференцируема в $x$ с помощью двух линейных свойства из этого раздела.{n}х. $$

Теперь сформулируем следующую теорему.

Теорема 1

Пусть р и д быть комплексными числами с

$$ 0< \vert q\vert < \vert p\vert \leqq1\quad \textit{and}\quad f:D_{p,q}\rightarrow\mathbb{C}.{n-k}}{ [n] _{p,q}!}. $$

Теперь рассмотрим $(p,q)$-аналог правила Лейбница, чтобы представить его посредством разделенных разностей. Прежде всего, нам нужно получить $( p,q ) $-аналог правила Лейбница по следующей лемме.

Лемма

Пусть функции $f:D_{p,q}\стрелка вправо\mathbb{C}$ и $g:D_{p,q}\стрелка вправо\mathbb{C}$ будет $(p,q)$- дифференцируемая порядка и . {k} \ bigl ( f ( x ) \ bigr) .{k}f \bigr) ( x ) , \end{aligned}$$

согласно теореме 4. □

Наконец, мы можем дать следующий результат.

Следствие 2

Пусть р и д — комплексные числа такие, что

$$ 0< \vert q\vert < \vert p\vert \leqq1.{k}} \biggr) , $$

что очевидно доказывает следствие 2. □

Производная на поле p-адических чисел

Г.Н. Агаев, Н.Я. Виленкин, Г.М. Джафарли, А.И. Рубинштейн, Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах . Баку: Элм, 1981.

Google Scholar

П. Л. Батцер и Х. Дж. Вагнер, «Ряды Уолша Фурье и понятие производной», Applicable Anal. 3 , 29–46 (1973).