Главная
Производная от разности: Производная разности, формула и примеры

Производная от разности: Производная разности, формула и примеры

Содержание

Общее определение производной. Производная суммы и разности

Производная функции – одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное – понять смысл.

Запомним определение:

Производная – это скорость изменения функции.

На рисунке – графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден – третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля.

Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , – разная. Что касается Матвея – у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами – насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной – то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого –

тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание – в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других – убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка – точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке – точке минимума – производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастаетточка максимумаубываетточка минимумавозрастает
+0–0+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое – на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая

:

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала – и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется – она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования.

Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную

, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны

, т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u “v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Составить отношение и вычислить предел .

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования ? Благодаря единственному пределу . Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

Пример 1

По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим предел:

Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .

Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала , то, осуществив замену , получаем:

Ответ

В который раз порадуемся логарифмам:

Пример 2

Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .

Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

(1) Используем свойство логарифма .

(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .

Ответ : по определению производной:

Или сокращённо:

Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

Пример 3

В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

Пример 3: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

Найдём производную в точке :

Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции , то и
Ответ : по определению производной

Пример 4

Найти производную по определению

А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой .

Пример 4: Решение , принадлежащую , и зададим в ней приращение

Найдём производную:

Используем замечательный предел

Ответ : по определению

Пример 5

Найти производную функции , используя определение производной

Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , изададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию вместо «икса» следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число и так же подставляем его в функцию вместо «икса»: . Записываем разность , при этом необходимо полностью взять в скобки .

Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:

Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим .

Ответ : по определению.

В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы :

Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

Пример 6

Найти производную функции по определению производной

Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Пример 6: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:


Вычислим производную:


Таким образом:
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то и
Ответ : по определению.

Вернёмся к стилю №2:

Пример 7


Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :

Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:

Найдём производную:


(1) Используем тригонометрическую формулу .

(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ : по определению

Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

Пример 8

Пользуясь определением, найти производную функции

Пример 8: Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение и составим приращение функции:

Найдём производную:

Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:


Ответ : по определению

Разберём более редкую версию задачи:

Пример 9

Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.

Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число

Вычислим ответ стандартным способом:

Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо рассматривается конкретное значение.

Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу :

Ответ : по определению производной в точке.

Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

Пример 10

Используя определение, найти производную функции в точке (одно из которых может оказаться и бесконечным) , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной .

Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

  1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
  2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
  3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

  1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
  2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
  3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

  1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
  2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

  1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
  2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
  3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

  1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
  2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

  1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
  2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

  1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
  2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
  3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

Урок математики по теме “Производная суммы, разности, произведения и частного функций”

АННОТАЦИЯ

Данный урок является обучающим, где на основе темы производной рассматриваются производные суммы, разности, произведения и частного функций. Приобретение студентами знаний и умений по расчету производных способствует формированию общеучебной компетенции студентов, развитию умений самоорганизации учебной деятельности при выполнении заданий с использованием современного технического средства обучения – интерактивной доски.
На уроке интерактивную доску можно использовать как пишущую доску, т.е. с помощью специальной программы и  стилуса вести все записи и как экран, показывать презентацию новой темы, где можно вносить изменения и делать пометки, используя функцию переключения указателя мыши на «перо».
Материал может быть использован учителями-предметниками, применяющими современные технические средства обучения на своих уроках.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА

Дисциплина: Математика

Тема занятия: «Производная суммы, разности, произведения и частного функций»

Вид занятия (тип урока): комбинированный (фронтальный опрос, индивидуальная работа, работа у интерактивной доски, лекция с элементами объяснения, практическая работа).

Цели занятия:

  • Учебные:
    • закрепить знания по теме «Производная»,
    • рассмотреть и изучить основные правила дифференцирования;
    • отработать навыки нахождения производных суммы, разности, произведения и частного функций
  • Воспитательные: 
    • воспитывать познавательный интерес к предмету;
    • способствовать формированию ответственного отношения к учебному труду.
  • Развивающие:
    • развивать память и логическое мышление;
    • развивать речевую активность путем обогащения математической терминологии;
    • развивать коммуникативные навыки и навыки самоконтроля.

Межпредметные связи:

Обеспечивающие «Математика».
Обеспечиваемые «Математические методы», «Численные методы».

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЗАНЯТИЯ

Наглядные пособия: иллюстрации на интерактивной доске (Приложение 1). Презентация урока.

Раздаточный материал: индивидуальны карточки опроса (Приложение 2)

ТСО: Проектор, интерактивная доска, ноутбук.

Литература и Интернет-ресурсы:

Основная

1. Математика: в 2 кн.: Учебное пособие для студентов образовательных учреждений СПО/Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, Г.Н.Яковлев; Под ред. Г.Н.Яковлева.-5-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008.
2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват.учреждений/А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова. – 11-е изда. – М.:Просвещение, 2001.

Дополнительная:

1. Практические занятия по математике: учебное пособие для бакалавров/Н.В.Богомолов. – 11-е изд.,перераб.и доп. – М.:Издательство Юрайт, 2013.
2. Сборник задач по математике: учеб.пособие для ССУЗов. – 2-е изд., испр. – М.:Дрофа, 2005.
3. http://www.bymath.net/ Вся элементарная математика.
4. http://www.mathematics.ru/ Математика. Подготовка к ЕГЭ.
5. http://easymath.com.ua/ обучающий сайт «Математика – это просто!»

ХОД УРОКА

Организационный момент

1. Взаимное приветствие;
2. Проверка внешнего вида и состояния рабочих мест,
3. Проверка отсутствующих

Постановка целей и задач урока

1. Повторение предыдущего материала;
2. Изучение основных правил дифференцирования в нахождении производной суммы, разности, произведения и частного функций;
3. Упражнения для закрепления пройденной темы

Проверка домашнего задания

4 учащихся получают индивидуальные карточки:

Карточка №1.Найдите производную функции у:

1. у = 2х4; 2. ; 3. .

Карточка №2. Найдите производную функции у:

1. у = 4х3; 2. ; 3. .

Карточка №3. Найдите производную функции у:

1. у = 3х5; 2. ; 3. .

Карточка №4. Найдите производную функции у:

1. у = 2х3; 2. ; 3. .

Пока 4 учащихся выполняют задания по карточкам, остальные отвечают на вопросы.

Вопрос 1: Что называется производной функции у = f(х), записать ее формулу на доске?

Вопрос 2: Написать на доске основные формулы дифференцирования.

Вопрос 3: Найти производную  у = f ‘(х) функции в т . х

  1. f(1) = 2x3

Подготовка студентов к активному и сознательному усвоению нового материала

Преподаватель. Повторили как находятся производные элементарных функций. Как решить задачи с более сложной функцией?

Найдите производную следующих функций:

(Ответят, скорее всего, неправильно, потому что не знают правил дифференцирования.)

– Сегодня изучим эти правила.

Объяснение новой темы

– Запишите новую тему «Производная суммы(разности), произведения и частного функций». (Слайд 1)

Рассмотрим основные правила дифференцирования без доказательств.

Обозначим для краткости функции




Правило 1. Если функции U и V дифференцируемы в т.x, то их сумма (разность) дифференцируема в этой точке  (Слайд 2)

Пример:

Правило 2.  Если функции U и V дифференцируемы в т.x, то их произведение дифференцируемо в этой точке (Слайд 3)

Пример:

Правило 3. Если функции U и V дифференцируемы в т.х и функция V не равна 0 в этой точке, то частное  дифференцируемо в х и  (Слайд 4)

Пример:

Закрепление материала

Вернемся к тем примерам которые рассматривали ранее. Теперь зная правила дифференцирования, как бы вы их решили?

Самостоятельно в тетрадях выполняем упражнения

Упражнение № 208(а, б), 209(а, б), 210(а, б) [2]

Домашнее задание

1) Повторить основные правила дифференцирования.
2) Выучить 3 правила дифференцирования.
3) Выполнить упражнения №208(в, г), 209(в, г), 210(в, г) [2].

Подведение итогов

Сообщение оценок.
Анализ деятельности студентов на занятии.

Производная th. Производная сложной функции

Эпиграф: Однажды спросила: “Чем производная отличается от произведения?” “Производную изучают на уроке математики, а произведение – на уроке литературы”, – последовал ответ ученика.

В эпиграфе описана реальная ситуация из моей практики. Вопрос возник, когда ученик запутался в правилах дифференцирования функций, в частности, не смог определить производную произведения двух функций. Во избежание подобной трактовки этой статьи напомню, что мы занимаемся именно математикой, и здесь термин “произведение” обозначает результат операции умножения, а “производная” это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Производные элементарных функций по определению, т.е. через предел, вычисляют только однажды на лекции (на уроке), чтобы закрепить связь производной и предела. В дальнейшем нас интересует только практическое применение этого понятия, поэтому для вычисления производной пользуются готовыми Формулами и Правилами дифференцирования функций.

Здесь мы посмотрим как надо и как не надо вычислять производные, но, к сожалению, многие школьники и даже студенты это делают.

Как надо вычислять производные

Об этом написано везде, во всех учебниках и на множестве сайтов в сети.
Чтобы находить производные, нужно, пользуясь тем или иным источником, всё-таки выучить Формулы дифференцирования элементарных функций. Например, посмотрите подробную статью о Для более сложных, чем табличные, комбинированных функций применяются правила вычисления производной суммы, произведения, дроби. Соответствующие математические выражения также можно найти где угодно. Но, на мой взгляд, Правила дифференцирования функций лучше формулировать и заучивать словами:
  1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
  2. Производная суммы равна сумме производных.
  3. Производная произведения равна “производная первого сомножителя, умноженная на второй, плюс производная второго сомножителя, умноженная на первый”.
  4. Производная дроби равна “производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, деленные на знаменатель в квадрате”.
  5. Производная сложной функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней, и вычисляется “с продолжением” до табличной.
Последнее правило самое трудное для применения. Здесь допускается большое количество ошибок, поэтому о нём подробнее ниже.

Как НЕ надо вычислять производные

  1. Прежде всего, не надо усложнять простое.
  2. Не надо путать степенную x а и показательную a x функции.

В большинстве последующих примеров представлены варианты вычислений производных, в которых

1. вычисления выполнены совсем плохо , с явными ошибками;
2. правильно, но неоптимально , т.е. долго и с вероятными ошибками на невнимательность;
3. совсем хорошо .

  • Не надо усложнять простое.

    • Обратите внимание, на правило, которое я поставила под номером один.

    Если в произведении один из сомножителей является постоянной величиной, то совершенно не обязательно пользоваться правилом производной произведения. Более того, не нужно этого делать, так как часто такая операция сопровождается ошибками.

    Пример 1.

    Если в дроби числитель или знаменатель является постоянной величиной, то совершенно необязательно пользоваться правилом для производной дроби. Это действие у школьников и студентов ещё чаще сопровождается ошибками. Постоянный множитель можно выносить за знак производной!

    Пример 2.

    Пример 3.


    Самая частая ошибка в подобных примерах – забыть поставить штрих (обозначение производной) над числом или поставить его и “не увидеть” при следующем действии, т.е. не учесть, что производная константы (числа) равна нулю.

    Здесь для первого и третьего примеров простота и качество подхода c вынесением числового множителя за скобки очевидна. Но не всё так однозначно для второго примера, где в знаменателе находится тригонометрическая функция. Более того, соглашусь, что для тех учеников, которые плохо владеют производной сложной функции (правилом 5), более предпочтительным в этом примере может оказаться правило дифференцирования дроби.

    Однако, для ряда других функций, особенно для степенных, просто необходимо знаменатель “превращать” в числитель, а корни — в степени, потому что в этом случае мы сможем воспользоваться самой простой и самой запоминающейся табличной формулой (x α) ” = αx α − 1 .

    Пример 4.

    Пример 5.


    В этих двух примерах, представлены обычные ошибки при дифференцировании дроби с константой, а в следующем примере переход от корня к дробной степени нужен потому, что иначе часто забывают, что подобная функция не является табличной и должна дифференцироваться по правилу для сложной функции.

    Пример 6.

  • Не надо путать слагаемые и сомножители (сумму и произведение).

    • Константа-слагаемое при дифференцировании обнуляется, константа-сомножитель при дифференцировании сохраняется.

    Кроме того, почему-то для многих учеников производную функции y = x 2 + 0,1 вычислить легче, чем такую же производную вида (0,1 + х 2) ” . И для производной функции y = 0,1х 2 часто догадываются о существовании первого правила, а для (х 2 ·0,1) ” нет.
    Если Вы допускаете ошибки такого рода, то вспомните, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется, и от перестановки сомножителей произведение не изменяется. Переставьте их так, как вам удобнее, и аккуратно примените первое или второе правила дифференцирования.

    Пример 7.


  • Не надо путать степенную x а и показательную a x функции.

    • В первом случае переменная находится в основании степени, читаем: “икс в степени а”. Во втором — переменная в показателе степени, читаем “а в степени икс”. Функции разные, формулы для вычисления производных разные. См. .

    Пример 8.

    Пример 9.

    Это пример для продвинутых. Задумайтесь о том, как бы Вы вычислили производную функции y = x x , в которой переменную поместили и в основание, и в показатель степени.
    Хорошо подумав, но не раньше, кликните по , чтобы раскрыть мой ответ.

    Это сложная функция, которая не относится напрямую ни к классу степенных, ни к классу показательных. Для вычисления производной в таких случаях часто требуется произвести предварительные преобразования. Например, здесь сначала выражение прологарифмировали, затем нашли производные обеих частей равенства по своим переменным и, наконец, составили уравнение для нахождения нужной производной по переменной х .

  • Не надо забывать о том, что производная сложной функции вычисляется “с продолжением” до получения табличной формулы.

    • Сложная функция, это функция зависящая не напрямую от заданной переменной, а от другой функции. Иными словами, её значение нельзя вычислить в одно действие. Например, функции y = sinx 2 и y = sin 2 x являются сложными. Посмотрим, как вычисляются их значения, например при х = 2.

    Для функции y = sinx 2 нужно сначала возвести x в квадрат: 2 2 = 4, а затем вычислить значение синуса 4-ёх. Сделаем это с помощью калькулятора: sin4 = −0,75680249530792825… ≈ −0,76 (не забудьте, что аргументы тригонометрических функций считаются заданными в радианах).

    Для функции y = sin 2 x сначала определяем значение синуса 2-ух с помощью калькулятора: sin2 = 0,9092974268256816…, а затем возводим это значение в квадрат sin 2 2 = (0,9092974268256816…) 2 = 0,82682181043180595… ≈ 0,83.

    Таким образом, мы сначала вычисляем значение внутренней функции, а затем используем его как аргумент для внешней.
    Согласно пятому правилу дифференцирования, при определении производной нужно поступать наоборот – сначала вычислять производную внешней функции по её аргументу, а затем умножать её на производную внутренней.

    Как я уже упоминала, в этой операции ошибаются чаще всего. Ошибки могут быть самые разные, распространены следующие три.

    1-я ошибка) Можно просто не применить нужное правило, “не заметив”, что функция сложная.
    В следующем примере формулы дифференцирования степенной и тригонометрической функций использованы не последовательно, а одновременно, производная неверно вычислена в одно действие.

    Пример 10.

    2-я ошибка) Можно не разобраться, где внутренняя, а где внешняя функции.
    В следующем примере показатель степени стоит над x , т.е. над аргументом, поэтому степенная функция внутренняя, а синус внешняя. Ученик воспринял это иначе, решил, что синус в квадрате и допустил ошибку.

    Пример 11.

    Чтобы избавиться от ошибок такого рода, научиться анализировать сложную функцию, отделять внутреннюю от внешней, нужно просто смотреть в каком порядке Вы бы проводили вычисления, и дифференцирование проводить в обратном порядке. При этом можно расставлять отсутствующие скобки, а если всё равно испытываете трудности, то вводить дополнительные обозначения. Что касается степеней, то можно запомнить следующее – над каким обозначением стоит показатель степени, то и является её основанием (возводится в степень).

    Пример 12.


    Здесь в конце использована тригонометрическая формула для того, чтобы записать ответ в наиболее компактной форме.

    Пример 13.


    Здесь в конце переставлены сомножители также для того, чтобы записать ответ в более компактной и удобочитаемой форме.

    3-я ошибка) Правило используется не до конца
    Один раз учли, что функция сложная и хватит. А если функция вложена несколько раз? Например, корень квадратный из суммы двух логарифмов с разными основаниями, первый из которых зависит от sinx , а второй от cosx . Или арктангенс, зависящий от натурального логарифма, который, в свою очередь, зависит от х в квадрате.

    Пример 14.


    Пример 15.

  • Не надо стесняться ставить скобки.

    • Предыдущий пример демонстрирует выход из положения с помощью введения дополнительных обозначений. Но, на мой взгляд, это всё-таки не самый оптимальный способ для длинных вычислений. Лучший подход к дифференцированию сложной функции – скобки, которые можно дописывать явно или, по мере укрепления навыка, представлять себе мысленно.
    Расставляем скобки и постепенно снаружи внутрь раскрываем их. Содержимое очередной скобки является переменной, по которой производится дифференцирование по формуле f u ” ·(u )” . Производную f u ” находим по таблице производных, заменяя в формуле x на u . Если всё сделано правильно, то процесс закончится тем, что содержимое последней, самой внутренней скобки полностью совпадёт с одной из табличных формул для производных.

    Пример 16.


    PS: В примерах 11 и 14 допущены ошибки, не только упомянутые в комментариях к ним, но ещё по одной стандартной ошибке. Заметили какие?

    Есть вопросы? пожелания? замечания?
    Обращайтесь –

    Внимание, ©mathematichka . Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

    Приведена формула производной суммы и разности функций. Приведено доказательство и подробно разобраны примеры применения этой формулы.

    Содержание

    Формула производной суммы (разности) функций

    Пусть и являются функциями от независимой переменной x . Пусть они дифференцируемы в некоторой области значений переменной x . Тогда, в этой области, производная от суммы (разности) этих функций равна сумме (разности) производных этих функций :
    (1) .

    Доказательство

    Поскольку функции и дифференцируемы при , то существуют следующие пределы, которые являются производными этих функций:
    ;
    .

    Рассмотрим функцию y от переменной x , которая является суммой функций и :
    .
    Применим определение производной.

    .

    Тем самым мы доказали, что производная от суммы функций равна сумме производных:
    .

    Тем же способом можно показать, что производная от разности функций равна разности производных:
    .
    Это можно показать и другим способом, применяя только что доказанное правило дифференцирования суммы и :
    .

    Эти два правила можно записать в виде одного уравнения:
    (1) .

    Следствие

    Выше мы рассмотрели правило нахождения производной от суммы двух функций. Это правило можно обобщить на сумму и разность от любого числа дифференцируемых функций.

    Производная от суммы (разности) любого конечного числа дифференцируемых функций равна сумме (разности) их производных . С учетом правила вынесения постоянной за знак производной , это правило можно записать так:
    .
    Или в развернутом виде:
    (2) .
    Здесь – постоянные;
    – дифференцируемые функции от переменной x .

    Доказательство следствия

    При n = 2 , применим правило (1) и правило вынесения постоянной за знак производной . Имеем:
    .
    При n = 3 применим формулу (1) для функций и :
    .

    Для произвольного числа n применим метод индукции. Пусть уравнение (2) выполняется для . Тода для имеем:

    .
    То есть из предположения, что уравнение (2) выполняется для следует, что уравнение (2) выполняется для . А поскольку уравнение (2) выполняется для , то оно выполняется для всех .
    Следствие доказано.

    Примеры

    Пример 1

    Найдите производную
    .

    Раскрываем скобки. Для этого применим формулу
    .
    Также используем свойства степенных функций .
    ;

    ;
    .

    Применяем формулу (2) для производной от суммы и разности функций.
    .

    Из таблицы производных находим:
    .
    Тогда
    ;
    ;
    .

    Окончательно имеем:
    .

    Пример 2

    Найти производную от функции от переменной x
    .

    Приведем корни к степенным функциям .
    .
    Применяем правило дифференцирования суммы и разности.
    .
    Применяем формулы из таблицы производных .
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    .
    Подставляем:
    .
    Приводим дроби к общему знаменателю.
    .
    Здесь мы учли, что заданная функция определена при .
    .

    Вычисление производной – одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:
    • Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций
    Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена “шпаргалка” основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.

    Производные простых функций

    1. Производная от числа равна нулю
    с´ = 0
    Пример:
    5´ = 0

    Пояснение :
    Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях – скорость его изменения всегда равна нулю.

    2. Производная переменной равна единице
    x´ = 1

    Пояснение :
    При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

    3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
    сx´ = с
    Пример:
    (3x)´ = 3
    (2x)´ = 2
    Пояснение :
    В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

    Откуда следует, что
    (cx + b)” = c
    то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).


    4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
    |x|” = x / |x| при условии, что х ≠ 0
    Пояснение :
    Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 – единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных – наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

    5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
    (x c)”= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
    Пример:
    (x 2)” = 2x
    (x 3)” = 3x 2
    Для запоминания формулы :
    Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.

    6. Производная дроби 1/х
    (1/х)” = – 1 / x 2
    Пример:
    Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
    (1/x)” = (x -1)” , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
    (x -1)” = -1x -2 = – 1 / х 2

    7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
    (1 / x c)” = – c / x c+1
    Пример:
    (1 / x 2)” = – 2 / x 3

    8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
    (√x)” = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
    Пример:
    (√x)” = (х 1/2)” значит можно применить формулу из правила 5
    (х 1/2)” = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

    9. Производная переменной под корнем произвольной степени
    (n √x)” = 1 / (n n √x n-1)

    С правочные материалы по теме «производная». Базовый школьный уровень.
    Теоретические сведения для учеников, преподавателей и репетиторов по математике. В помощь к проведению занятий.

    Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть

    Таблица производных основных математических функций:

    Правила вычисления производных

    Производная суммы двух любых выражений равна сумме производных этих выражений (производная суммы равна сумме производных)

    Производная разности двух любых выражений равна разности производных этих слагаемых (производная разности равна разности производных).

    Производная от произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго (сумма поочередно взятых производных от множителей).
    Комментарий репетитора по математике: когда я короткими фразами напоминаю ученику о правиле вычисления производной от произведения, я говорю так: производная первого множителя на второй плюс обмен штрихами!


    Производная от частного двух выражений равна частному разности поочередно взятых производных от множителей и квадрата знаменателя.

    Производная от произведения числа на функцию . Чтобы найти производную от произведения числа на буквенное выражение (на функцию) нужно умножить это число на производную этого буквенного выражения.

    Производная сложной функции:

    Для вычисления производной сложной функции необходимо найти производную внешней функции и умножить ее на производную внутренней функции.

    Ваши комментарии и отзывы к странице с производными:
    Александр С.
    Очень нужна была таблица. В интернете одна из самых. За пояснения и правила тоже огромное спасибо. Хотя бы по одному примеру ещё к ним и вообще было бы отлично было. Еще раз огромное спасибо.

    Колпаков А.Н, репетитор по математике: хорошо, постараюсь в ближайшее время дополнить страницу примерами.

    Виртуальный математический справочник.
    Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

    Нахождение производной — курсы по математике «Geniusmath»

    После изучения самого понятия производной следующим вопросом встает нахождение производной функции. В данной статье мы рассмотрим основные методы и приведем примеры.

    Таблица производных элементарных функций

    Элементарными в математике называют следующий функции: многочлены, степенные функции, показательные функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифмическая функция и их комбинации. Эти функциии достаточно изучены, в частности для них найдены их производные.

    Приведем таблицу производных всех функций, которые изучаются в школе:

    Доказательство данных формул лежит за пределами школьной программы, так как требует более глубокого понимания понятия предела функции. 

    Правила нахождения производных

    Процесс нахождения производных в математике называют дифференцированием. Именно это слово чаще всего употребляется в литературе по математическому анализу.

    Для поиска производных для различных комбинаций элементарных функций применяются специальные правила дифференцирования. Основных правил пять:

    1. Правило суммы и разности 
    2. Правило умножения на константу
    3. Правило дифференцирования произведения
    4. Правило дифференцирования частного
    5. Правило дифференцирования сложной функции

    1. Правило суммы и разности

    Производная  суммы (разности) функций — это сумма (разность) производных функций.

    Если говорить математическим языком: .

    Если говорить более простым языком: для каждого слагаемого производная вычисляется отдельно.

    Первое правило является довольно простым, приведем примеры:

    В первом примере выражение состоит из двух слагаемых:  и . Производная первого слагаемого равна 1, производная второго слагаемоего равна . Выражение второго примера состоит из трех слагаемых, чьи производные посчитаны отдельно.

    2. Правило умножения на константу 

    Производная  произведения константы и функции — это произведение константы и  производной функции.

    Математическим языком правило звучит так: . Простым языком: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

    Данное правило тоже не вызывает трудностей, примеры:

    3. Правило дифференцирования произведения

    Производная произведения двух функций — это сумма произведения производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй.

    Данное правило сложно воспринимать в текстовом виде. Куда лаконичнее оно выглядит на математическом языке: .

    Эта формула заметно сложнее первых двух, приведем примеры:

    Для нахождения производной произведения трех функций сгруппируем вторую и третью функцию:

    Аналогичным образом можно поступить для нахождения производной от произведения большого количества функций.

    4. Правило дифференцирования частного

    Производная частного двух функций — разность произведения производной делимого на делитель и произведения делимого на производную делителя отнесенная к квадрату делителя.

    Данное правило еще сложнее воспринимать в таком виде, так что приведем математическую запись: .

    Примеры:

    5. Правило дифференцирования сложной функции

    Сложной называют функцию, аргументом которой является другая функция. Тогда саму функцию называют внешней, а её аргумент — внутренней. Например, , где внешняя функця синус вычисляется от внутренней функции, состоящей из многочлена. 

    Дифференцирование сложной функции – процесс несложный, но формулировка правила можем изрядно напугать:

    Производная сложной функции — произведение производной внешней функции по внутренней функции и производной внутренней функции.

    Так как производную функции по другой функции не рассматривают в школах, приведем альтернативную интерпретацию:

    Производная сложной функции — это произведение производной внешней функции с подстановкой внутренней функции и производной внутренней функции.

    Данное правило очень сложно воспринимать и на математическом языке: . 

    Проще не стало? Попробуем разобраться: для начала нам нужно вычислить производную внешней функции по некой переменной t, после чего подставить в данную производную внутреннюю функцию вместо t, полученное выражение необходимо умножить на производную внутренней функции.

    Куда проще понять его на примерах:

    Разберем первый пример. Внешняя функция —  , внутренняя  — . Производная  равна , который будет вычисляться от внутренней функции, то есть нужно выполнить подстановку . Полученное выражение умножим на производную , то есть на 3.

    Надеюсь, стало проще!

    Производная разности функций

    Установлено, что производная функции, являющаяся разностью двух других функций, равна разности их производных. Это можно доказать, используя производную по определению или метод первого принципа.

    Рассмотрим функцию вида $$ y = f \ left (x \ right) – g \ left (x \ right) $$.

    Сначала возьмем приращение или небольшое изменение функции:
    \ [\ begin {gather} y + \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left ({x + \ Delta x} \ right) \\ \ Rightarrow \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – y \\ \ end { собрано} \]

    Подставляя значение функции $$ y = f \ left (x \ right) – g \ left (x \ right) $$ в приведенное выше уравнение, мы получаем
    \ [\ begin {gather} \ Rightarrow \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right) + g \ left (x \ right) \\ \ Стрелка вправо \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right) – g \ left ({x + \ Delta x} \ right) + g \ left (x \ вправо) \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ left [{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)} \ right] – \ left [{g \ left ( {x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)} \ right] \\ \ end {gather} \]

    Разделив обе стороны на $$ \ Delta x $$, мы получим
    \ [\ begin {gather} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{\ left [{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)} \ right] – \ left [{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)} \ right]}} {{\ Delta x}} \\ \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} – \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)} } {{\ Delta x}} \\ \ end {gather} \]

    Принимая предел обеих сторон как $$ \ Delta x \ to 0 $$, мы имеем
    \ [\ begin {gather} \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ Дельта y}} {{\ Delta x}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ left [{\ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} – \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)}} {{ \ Delta x}}} \ right] \\ \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ до 0} \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} – \ mathop { \ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} \ \ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} – \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right ) – g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} \\ \ end {gather} \]

    По определению производной имеем
    \ [\ frac {{dy}} {{dx}} = f ’\ left (x \ right) – g’ \ left (x \ right) \]

    Это показывает, что производная разности двух данных функций равна разности их производных.2} – 6 \\ \ end {gather} \]

    Поиск производных сумм, продуктов, разностей и коэффициентов

    Производная суммы

    При вычислении производной суммы мы просто берем сумму производных. Это показано в следующей формуле.

    Первая функция, с которой ваш босс хочет, чтобы вы работали, – это сумма двух функций. Следовательно, чтобы найти производную этой функции, мы просто берем сумму производных.Для этого нам нужно признать, что производная от x 2 равна 2 x , а производная от 4 x равна 4. Теперь мы просто подставляем нашу формулу и получаем производную.

    Мы видим, что производная первой функции равна f ‘( x ) = 2 x + 4.

    Производная разности

    Вторая функция, g , является разницей. функций.Когда мы хотим найти производную разности, мы просто находим разность производных. Это похоже на правило сумм и показано в следующей формуле.

    Чтобы использовать нашу формулу в нашем примере, нам просто нужно знать, что производная 3 x 3 равна 9 x 2, а производная 5 x 2 равна 10 x . И снова мы просто подключаемся к нашей формуле.

    Используя нашу формулу, мы обнаружили, что производная второй функции равна г ‘( x ) = 9 x 2-10 x .

    Производная от продукта

    Теперь все становится немного сложнее. Третья функция является произведением функций x и ln ( x ). Когда мы хотим найти производную от продукта, мы используем правило продукта для производных финансовых инструментов.

    Таким образом, чтобы найти производную нашей функции h в нашем примере, нам нужно знать, что производная x равна 1, а производная ln ( x ) равна 1/ x , а затем нам просто нужно использовать нашу формулу.

    Мы видим, что производная третьей функции равна h ‘( x ) = ln ( x ) + 1.

    Производная от частного

    Последняя функция – это частное. Еще раз, взять производную от частного немного сложнее, чем просто взять частное от производных. У нас также есть правило частного для производных, и оно выглядит следующим образом.

    Чтобы использовать правило частного для нахождения производной j , нам нужно знать производную x и ln ( x ).Фактически мы уже знаем это из последней проблемы. Производная x равна 1, а производная ln ( x ) равна 1/ x . Все, что нам нужно сделать сейчас, это включить нашу формулу и упростить.

    Мы обнаружили, что производная последней функции равна j ‘( x ) = (1 – ln ( x )) / x 2.

    Теперь мы нашли все производные функций, которые дал вам начальник, поэтому теперь он может найти наклон каждой из этих функций при любом заданном значении x .Отличная работа! Вы должны попросить прибавку!

    Резюме урока

    Когда дело доходит до нахождения производной суммы, разницы, произведения или частного, у нас есть разные правила для каждого случая. Эти правила следующие.

    Когда мы хотим использовать одну из этих формул, мы просто вычисляем различные части формулы, а затем подключаемся и упрощаем. Мы видим, что эти формулы упрощают поиск этих производных, поэтому неплохо попытаться сохранить их в памяти для использования в будущем.

    Исчисление I – Доказательство различных производных свойств

    Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 7-2: Доказательство различных производных свойств

    В этом разделе мы собираемся доказать многие из различных производных фактов, формул и / или свойств, с которыми мы столкнулись в начале главы о производных финансовых инструментах.Не все из них будут здесь доказаны, а некоторые будут проверены только для особых случаев, но, по крайней мере, вы увидите, что некоторые из них не просто вытащили из воздуха.

    Теорема из определения производной

    Если \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируем в \ (x = a \), то \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в \ (x = a \).

    Проба

    Поскольку \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируем в \ (x = a \), мы знаем, что

    \ [f ‘\ left (a \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ frac {{f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right)}} { {х – а}} \]

    существует.Нам это понадобится немного позже.

    Если мы теперь предположим, что \ (x \ ne a \), мы можем написать следующее:

    \ [f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right) = \ frac {{f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right)}} {{x – a}} \ left ({x – a} \ right) \]

    Тогда основные свойства пределов говорят нам, что у нас есть,

    \ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left ({f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right)} \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{\ frac {{f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right)}} {{x – a}} \ left ( {x – a} \ right)} \ right] \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ frac {{f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right )}} {{x – a}} \, \, \, \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left ({x – a} \ right) \ end {align *} \]

    Первый предел справа равен \ (f ‘\ left (a \ right) \), как мы отметили выше, а второй предел явно равен нулю, так что

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left ({f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right)} \ right) = f ‘\ left (a \ right ) \ cdot 0 = 0 \]

    Хорошо, нам удалось доказать, что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left ({f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right)} \ right) ) = 0 \).Но как это помогает нам доказать, что \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в \ (x = a \)?

    Начнем со следующего.

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{f \ left (x \ right ) + е \ влево (а \ вправо) – е \ влево (а \ вправо)} \ вправо] \]

    Обратите внимание, что мы только что добавили ноль с правой стороны. Небольшая переработка и использование предельных свойств дает,

    \ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{ f \ left (a \ right) + f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right)} \ right] \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (a \ right) + \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left [{f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right)} \ right] \ end {выровнять *} \]

    Итак, мы только что доказали выше, что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ left ({f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right)} \ right) = 0 \) и поскольку \ (f \ left (a \ right) \) является константой, мы также знаем, что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (a \ right) = f \ left (a \ right) \), и это становится

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (a \ right) + 0 = е \ влево (а \ вправо) \]

    Или, другими словами, \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right) \], но это именно то, что это означает для \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в точке \ (x = a \), и поэтому мы закончили.\ prime} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) + g \ left ({x + h} \ right) – \ left ({f \ left (x \ right) + g \ left (x \ right)} \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac { {f \ left ({x + h} \ right) – f \ left (x \ right) + g \ left ({x + h} \ right) – g \ left (x \ right)}} {h} \ конец {выравнивание *} \]

    Теперь разделите дробь на две части и вспомните, что предел суммы – это сумма пределов. Используя этот факт, мы видим, что в итоге мы получаем определение производной для каждой из двух функций.\ prime} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) – f \ left (x \ right)}} {h} + \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + h} \ right) – g \ left (x \ right)}} {h} \\ & = f ‘ \ left (x \ right) + g ‘\ left (x \ right) \ end {align *} \]

    Доказательство разницы двух функций практически идентично, поэтому мы приведем его здесь без каких-либо пояснений. \ prime} = cf ‘\ left (x \ right) \)

    Это свойство очень легко доказать, используя определение, если вы помните, что мы можем вынести константу за пределы.\ prime} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{cf \ left ({x + h} \ right) – cf \ left (x \ right)}} {h} = c \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) – f \ left (x \ right)}} {h} = cf ‘\ left ( х \ вправо) \]

    Доказательство производной константы: \ (\ displaystyle \ frac {d} {{dx}} \ left (c \ right) = 0 \)

    Это очень легко доказать, используя определение производной, поэтому определите \ (f \ left (x \ right) = c \) и используйте определение производной.{n – 1}} \)

    На самом деле есть три доказательства, которые мы можем здесь предоставить, и мы собираемся рассмотреть все три здесь, чтобы вы могли увидеть их все. Однако, сказав, что для первых двух нам нужно будет ограничить \ (n \) положительным целым числом. \ prime} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) g \ left ({x + h} \ right) – f \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right) + f \ left ({x + h} \ right) g \ left ( x \ right) – f \ left (x \ right) g \ left (x \ right)}} {h} \]

    Обратите внимание, что мы добавили два члена в середину числителя.\ prime} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) \ left ({g \ left ({x + h} \ right ) – g \ left (x \ right)} \ right)}} {h} + \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left (x \ right) \ left ({ f \ left ({x + h} \ right) – f \ left (x \ right)} \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} f \ left ({x + h} \ right) \ frac {{g \ left ({x + h} \ right) – g \ left (x \ right)}} {h} + \ mathop {\ lim} \ limits_ { h \ to 0} g \ left (x \ right) \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) – f \ left (x \ right)}} {h} \ end {align *} \ ]

    На этом этапе мы можем использовать свойства limit для записи,

    \ [{\ left ({f \, g} \ right) ^ \ prime} = \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} f \ left ({x + h} \ right) } \ right) \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + h} \ right) – g \ left (x \ right)}} { h}} \ right) + \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left (x \ right)} \ right) \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ { h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) – f \ left (x \ right)}} {h}} \ right) \]

    Индивидуальные ограничения здесь:

    \ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + h} \ right) – g \ left (x \ right)}} { h} & = g ‘\ left (x \ right) & \ hspace {0.75 дюймов} & \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left (x \ right) = g \ left (x \ right) \\ \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) – f \ left (x \ right)}} {h} & ​​= f ‘\ left (x \ right) & \ hspace {0,75 дюйма} & \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} f \ left ({x + h} \ right) = f \ left (x \ right) \ end {align *} \]

    Два предела слева – это не что иное, как определение производной для \ (g \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) соответственно.Верхний предел справа кажется немного сложным, но помните, что предел константы – это просто константа. В этом случае, поскольку предел касается только разрешения \ (h \) стремиться к нулю. Ключевым моментом здесь является осознание того, что изменение \ (h \) не изменит \ (x \), и что касается этого предела, \ (g \ left (x \ right) \) является константой. Обратите внимание, что функция, вероятно, не является константой, однако, что касается ограничения, функцию можно рассматривать как константу.\ prime} = f \ left (x \ right) g ‘\ left (x \ right) + g \ left (x \ right) f’ \ left (x \ right) \]

    Проба 2

    Это гораздо более быстрое доказательство, но предполагает, что вы прочитали и поняли разделы «Неявное дифференцирование» и «Логарифмическое дифференцирование». Если вы этого не сделали, то это доказательство не будет иметь для вас большого смысла.

    Сначала напишите, вызовите произведение \ (y \), возьмите логарифм с обеих сторон и используйте свойство логарифмов с правой стороны.

    \ [\ begin {align *} y & = f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) \\ \ ln \ left (y \ right) & = \ ln \ left ({f \ left ( x \ right) g \ left (x \ right)} \ right) = \ ln f \ left (x \ right) + \ ln g \ left (x \ right) \ end {align *} \]

    Затем мы берем производную от обеих частей и решаем относительно \ (y ‘\).

    \ [\ frac {{y ‘}} {y} = \ frac {{f’ \ left (x \ right)}} {{f \ left (x \ right)}} + \ frac {{g ‘\ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} y ‘= y \ left ({\ frac {{f’ \ left (x \ right)}} {{f \ left) (x \ right)}} + \ frac {{g ‘\ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} \ right) \]

    Наконец, все, что нам нужно сделать, это вставить для \ (y \), а затем умножить это на круглые скобки, и мы получим Правило произведения.

    \ [y ‘= f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) \ left ({\ frac {{f’ \ left (x \ right)}} {{f \ left (x \ right) }} + \ frac {{g ‘\ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} \ right) \ hspace {0.\ prime} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ frac {{f \ left ({x + h} \ right)}} {{g \ left ({x + h} \ right)}} – \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \, \, \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right) – f \ left (x \ right) g \ left ({x + h} \ right)}} {{g \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right)}} \ end {align *} \]

    Чтобы немного облегчить нашу жизнь, мы переместили \ (h \) в знаменателе первого шага вперед как \ (\ frac {1} {h} \).\ prime} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {{g \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right)}} \, \ , \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right) – f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) + f \ left (x \ right ) g \ left (x \ right) – f \ left (x \ right) g \ left ({x + h} \ right)}} {h} \]

    Обратите внимание, что все, что мы сделали, это поменяли местами два знаменателя. Так как мы умножаем дроби, мы можем это сделать.

    Далее, большую фракцию можно разбить следующим образом.\ prime} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {{g \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right)}} \, \ , \ left ({\ frac {{f \ left ({x + h} \ right) g \ left (x \ right) – f \ left (x \ right) g \ left (x \ right)}} {h } + \ frac {{f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) – f \ left (x \ right) g \ left ({x + h} \ right)}} {h}} \ Правильно)\]

    В первой дроби мы вычленим \ (g \ left (x \ right) \), а во второй мы вычленим \ (- f \ left (x \ right) \). \ prime} & = \ frac {1} {{\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left ({x + h} \ right) \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left (x \ right)}} \, \ left ({\ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left (x \ right)} \ right) \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ( {x + h} \ right) – f \ left (x \ right)}} {h}} \ right) -} \ right.\\ & \ hspace {2.25in} \ left. {\ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} f \ left (x \ right)} \ right) \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ гидроразрыв {{g \ left ({x + h} \ right) – g \ left (x \ right)}} {h}} \ right)} \ right) \ end {align *} \]

    Индивидуальные лимиты:

    \ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + h} \ right) – g \ left (x \ right)}} { h} & = g ‘\ left (x \ right) & \ hspace {0.5in} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left ({x + h} \ right) & = g \ влево (х \ вправо) и \ hпространство {0.5in} & \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} g \ left (x \ right) = g \ left (x \ right) \\ \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) – f \ left (x \ right)}} {h} & ​​= f ‘\ left (x \ right) & \ hspace {0.5in} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} f \ left (x \ right) & = f \ left (x \ right) & & \ end {align *} \]

    Первые два предела в каждой строке – это не что иное, как определение производной для \ (g \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) соответственно.Средний предел в верхнем ряду мы получаем, просто вставив \ (h = 0 \). Последний предел в каждой строке может показаться немного сложным. Напомним, что предел константы – это просто константа. Ну, так как предел касается только разрешения \ (h \) стремиться к нулю, насколько это касается, \ (g \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) являются константами поскольку изменение \ (h \) не изменится \(Икс\). Обратите внимание, что функция, вероятно, не является константой, однако, что касается ограничения, функцию можно рассматривать как константу.2}}} \ end {выровнять *} \]

    Есть правило частного.

    Проба 2

    Теперь давайте проведем доказательство, используя логарифмическое дифференцирование. Сначала мы вызовем частное \ (y \), возьмем журнал с обеих сторон и воспользуемся свойством журналов с правой стороны.

    \ [\ begin {align *} y & = \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \\ \ ln y & = \ ln \ left ({ \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} \ right) = \ ln f \ left (x \ right) – \ ln g \ left (x \ вправо) \ end {align *} \]

    Затем мы берем производную от обеих частей и решаем относительно \ (y ‘\).

    \ [\ frac {{y ‘}} {y} = \ frac {{f’ \ left (x \ right)}} {{f \ left (x \ right)}} – \ frac {{g ‘\ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} y ‘= y \ left ({\ frac {{f ‘\ left (x \ right)}} {{f \ left (x \ right)}} – \ frac {{g’ \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} \ right) \]

    Затем вставьте \ (y \) и сделайте некоторые упрощения, чтобы получить правило частного. 2 }}} \ end {align *} \]

    Правило цепочки

    Если \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) обе дифференцируемые функции, и мы определяем \ (F \ left (x \ right) = \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) \), то производная F (x) равна \ (F ‘\ left (x \ right) = f’ \ left ({g \ left (x \ right)} \ right) \, \, \, g ‘\ left (x \ right) \).

    Проба

    Мы начнем доказательство с определения \ (u = g \ left (x \ right) \) и заметим, что в терминах этого определения нас просят доказать, что

    \ [\ frac {d} {{dx}} \ left [{f \ left (u \ right)} \ right] = f ‘\ left (u \ right) \ frac {{du}} {{dx}} \]

    Давайте посмотрим на производную от \ (u \ left (x \ right) \) (опять же, помните, что мы определили \ (u = g \ left (x \ right) \), и поэтому \ (u \) действительно является функцией от \ (x \)), которая, как мы знаем, существует, потому что мы предполагаем, что \ (g \ left (x \ right) \) дифференцируема.По определению имеем

    \ [u ‘\ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{u \ left ({x + h} \ right)] – u \ left (x \ right )}}{час}\]

    Отметим также, что,

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ left ({\ frac {{u \ left ({x + h} \ right) – u \ left (x \ right)}} {h}) – u ‘\ left (x \ right)} \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{u \ left ({x + h} \ right) – u \ left ( x \ right)}} {h} – \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} u ‘\ left (x \ right) = u’ \ left (x \ right) – u ‘\ left (x \ right) = 0 \]

    Теперь определимся,

    \ [v \ left (h \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {\ displaystyle \ frac {{u \ left ({x + h} \ right) – u \ left (x \ right)}} {h} – u ‘\ left (x \ right)} & {{\ mbox {if}} h \ ne 0} \\ 0 & {{\ mbox {if}} h = 0} \ end {array}} \ right.\]

    и обратите внимание, что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} v \ left (h \ right) = 0 = v \ left (0 \ right) \) и поэтому \ (v \ left (h \ right) \) непрерывно в точке \ (h = 0 \)

    Теперь, если мы предположим, что \ (h \ ne 0 \), мы можем переписать определение \ (v \ left (h \ right) \), чтобы получить,

    \ [\ begin {уравнение} u \ left ({x + h} \ right) = u \ left (x \ right) + h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \ label {eq: eq1} \ end {Equation} \]

    Теперь обратите внимание, что \ (\ eqref {eq: eq1} \) на самом деле действительно, даже если мы допустим \ (h = 0 \), и поэтому действительно для любого значения \ (h \).

    Затем, поскольку мы также знаем, что \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируемо, мы можем сделать нечто подобное. Однако мы собираемся использовать здесь другой набор букв / переменных по причинам, которые станут очевидны позже. Итак, определим,

    \ [ш \ влево (к \ вправо) = \ влево \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {\ displaystyle \ frac {{е \ left ({z + k} \ right) – f \ left (z \ right)}} {k} – f ‘\ left (z \ right)} & {{\ mbox {if}} k \ ne 0} \\ 0 & {{\ mbox {if}} k = 0} \ end {array}} \ right.\]

    , мы можем провести те же рассуждения, что и выше, чтобы показать, что \ (w \ left (k \ right) \) непрерывно в точке \ (k = 0 \) и что

    \ [\ begin {уравнение} f \ left ({z + k} \ right) = f \ left (z \ right) + k \ left ({w \ left (k \ right) + f ‘\ left (z \ right)} \ right) \ label {eq: eq2} \ end {Equation} \]

    Не радуйтесь, что здесь разные буквы, все, что мы сделали, это использовали \ (k \) вместо \ (h \) и позволили \ (x = z \). Ничего особенного, но смена букв пригодится в будущем.

    Хорошо, на данный момент не похоже, что мы действительно сделали что-то, что приближает нас к доказательству цепного правила. Вышеупомянутая работа окажется очень важной в нашем доказательстве, поэтому приступим к доказательству.

    Что нам здесь нужно сделать, так это использовать определение производной и оценить следующий предел.

    \ [\ begin {уравнение} \ frac {d} {{dx}} \ left [{f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right] = \ mathop {\ lim} \ limit_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left [{u \ left ({x + h} \ right)} \ right] – f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right]) }} {h} \ label {eq: eq3} \ end {уравнение} \]

    Обратите внимание, что даже при том, что обозначения более чем беспорядочные, если мы используем \ (u \ left (x \ right) \) вместо \ (u \), нам нужно напомнить себе здесь, что \ (u \) действительно является функция \ (x \).

    Давайте теперь воспользуемся \ (\ eqref {eq: eq1} \), чтобы переписать \ (u \ left ({x + h} \ right) \), и да, обозначения будут неприятными, но мы собираемся иметь чтобы с этим справиться. Используя \ (\ eqref {eq: eq1} \), числитель в приведенном выше пределе становится

    . \ [f \ left [{u \ left ({x + h} \ right)} \ right] – f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right] = f \ left [{u \ left (x \ right) + h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right)} \ right] – f \ left [{u \ left (x \ right )} \Правильно]\]

    Если мы затем определим \ (z = u \ left (x \ right) \) и \ (k = h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) ) \) мы можем использовать \ (\ eqref {eq: eq2} \), чтобы далее записать это как,

    \ [\ begin {align *} f \ left [{u \ left ({x + h} \ right)} \ right] – f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right] & = f \ left [{u \ left (x \ right) + h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right)} \ right] – f \ left [{ u \ left (x \ right)} \ right] \\ & = f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right] + h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘ \ left (x \ right)} \ right) \ left ({w \ left (k \ right) + f ‘\ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right) – f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right] \\ & = h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \ left ({w \ left (k \ right) + f ‘\ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right) \ end {align *} \]

    Обратите внимание, что мы смогли отменить \ (f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right] \), чтобы немного упростить ситуацию.Также обратите внимание, что \ (w \ left (k \ right) \) был намеренно оставлен таким образом, чтобы свести беспорядок к минимуму здесь, просто помните, что \ (k = h \ left ({v \ left (h \ right ) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \) здесь, поскольку это будет здесь немного важно. Давайте вернемся назад и вспомним, что все это было числителем нашего предела, \ (\ eqref {eq: eq3} \). Вставив это в \ (\ eqref {eq: eq3} \), вы получите

    \ [\ begin {align *} \ frac {d} {{dx}} \ left [{f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right] & = \ mathop {\ lim } \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \ left ({w \ left (k \ right) + f ‘\ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \ left ({w \ left (k \ right) + f’ \ left [{u \ left (x \ right) )} \ right]} \ right) \ end {align *} \]

    Обратите внимание, что \ (h \) отменяется.Затем напомним, что \ (k = h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \) и, следовательно,

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} k = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} h \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) = 0 \]

    Но, если \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} k = 0 \), как мы определили \ (k \) в любом случае, то по определению \ (w \) и Тот факт, что мы знаем, что \ (w \ left (k \ right) \) непрерывен в \ (k = 0 \), мы также знаем, что,

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} w \ left (k \ right) = w \ left ({\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} k} \ right) = w \ left (0 \ right) = 0 \]

    Также напомним, что \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} v \ left (h \ right) = 0 \).Используя все эти факты, наш предел равен

    . \ [\ begin {align *} \ frac {d} {{dx}} \ left [{f \ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right] & = \ mathop {\ lim } \ limits_ {h \ to 0} \ left ({v \ left (h \ right) + u ‘\ left (x \ right)} \ right) \ left ({w \ left (k \ right) + f’ \ left [{u \ left (x \ right)} \ right]} \ right) \\ & = u ‘\ left (x \ right) f’ \ left [{u \ left (x \ right)} \ right ] \\ & = f ‘\ left [{u \ left (x \ right)} \ right] \ frac {{du}} {{dx}} \ end {align *} \]

    Это именно то, что нам нужно было доказать, и мы закончили.

    (PDF) От различий к производным

    460 М. Д. Ортигейра, Ф. Които

    Мы должны указать, что мы не будем рассматривать проблему существования. Нас

    в основном интересует получение обобщения для хорошо известного формализма.

    Для доказательства мы начнем с введения дробных разностей, рассмотрев два случая: прямой и обратный1. Отсюда получаем прямые и

    обратные дробные производные Грюнвальда-Летникова.Для этих различий, в соответствии с идеей Диаза и Ослера, будут предложены интегральные представления из

    .

    Путь интегрирования представляет собой U-образный контур, охватывающий все полюса, и

    «замыкается» на бесконечности. Из этих представлений мы получаем дробные дифференциальные интегралы

    , используя асимптотические свойства гамма-функции.

    Как мы покажем, существует бесконечное множество способов вычисления дробной производной –

    tive: нам нужно только выбрать линию разветвления и зафиксировать подходящий путь интегрирования

    .Если α – положительное целое число, у нас есть подынтегральное выражение с полюсом: это

    хорошо известная формула Коши. Важно отметить, что соответственно

    равенству производных Коши и Грюнвальда-Летникова, путь интегрирования

    обязательно имеет форму, подобную упомянутой выше, если только α не является положительным целым числом

    . Это означает, что определения производной, основанные на бесконечных

    отрезках прямой линии, недействительны.

    Теорема, формулирующая основной результат статьи, представлена ​​в разделе 2.

    В разделе 3 мы представим общую формулировку различий,

    , с учетом двух случаев: прямого и обратного. Для них будут предложены интегральные представления

    . Из этих представлений мы получаем в разделе 4 производные интегралы

    , используя свойства гамма-функции. Напоследок

    представим некоторые выводы.

    2. Основной результат

    Основной результат этой статьи может быть сформулирован в теореме, которую мы представим ниже.Рассмотрим U-образный контур, представленный на рисунке 1.

    Пусть f (z) – функция комплексной переменной, аналитическая в области внутри, а

    – непрерывная на этом контуре. Обобщенная производная Коши дается формулой

    [4-6]:

    Dα

    df (z) = Γ (α + 1)

    2πi ZCd

    f (w) 1

    (w − z) α +1 dw, (1)

    где мы предполагаем, что линия разреза ветвления находится внутри упомянутой выше области литичности ana-

    , а Cd представляет собой U-образный контур, охватывающий линию разреза ветвления.

    К настоящему моменту мы рассматриваем линию разреза ответвления (с соответствующим контуром) в

    1Мы избегаем общепринятого использования в прямом и обратном направлениях, поскольку это может ввести в заблуждение.

    Основные правила дифференциации

    Операция дифференцирования или нахождения производной функции имеет фундаментальное свойство линейности. Это свойство упрощает получение производной для функций, построенных из основных элементарных функций с использованием операций сложения и умножения на постоянное число.Основные правила дифференцирования позволяют нам вычислять производные таких функций без использования формального определения производной. Рассмотрим эти правила подробнее.

    Производная константы

    Если \ (f \ left (x \ right) = C, \), то

    \ [f ‘\ left (x \ right) = C’ = 0. \]

    Доказательство этого правила рассматривается на странице «Определение производного инструмента».

    Постоянное множественное правило

    Пусть \ (k \) – постоянная.\ prime = f ‘\ left (x \ right) – g’ \ left (x \ right). \]

    Мы можем написать общее правило:

    Правило линейной комбинации

    Предположим, что \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) – дифференцируемые функции, а \ (a, \) \ (b \) – действительные числа. Тогда функция \ (h \ left (x \ right) = af \ left (x \ right) + bg \ left (x \ right) \) также дифференцируема и

    \ [h ‘\ left (x \ right) = af’ \ left (x \ right) + bg ‘\ left (x \ right). \ prime = 1.2}}}. \]

    См. Другие проблемы на странице 2.

    Производные правила | Математическое исчисление

    Производные правила и законы. Таблица производных функций.

    Определение производной

    Производная функции – это отношение разности значение функции f (x) в точках x + Δx и x с Δx, когда Δx бесконечно маленький. Производная – это наклон функции или наклон касательной в точке x.

    Вторая производная

    Вторая производная дается по формуле:

    Или просто выведите первую производную:

    N-я производная

    Производная n вычисляется путем вычисления f (x) n раз.

    Производная n равна производной от (n-1) производная:

    f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] ‘

    Пример:

    Найдите четвертую производную от

    .

    f ( x ) = 2 x 5

    f (4) ( x ) = [2 x 5 ] ” ” = [10 x 4 ] ” ‘= [40 x 3 ]’ ‘= [120 x 2 ]’ = 240 x

    Производная на графике функции

    Производная функции – это наклон касательной прямой.

    Производные правила

    Правило суммы производных инструментов

    Когда a и b являются константами.

    ( a f ( x ) + bg ( x ) ) ‘= a f’ ( x ) + bg ‘ ( x )

    Пример:

    Найти производную от:

    3 x 2 + 4 x.

    Согласно правилу сумм:

    a = 3, b = 4

    f ( x ) = x 2 , г ( x ) = x

    f ‘ ( x ) = 2 x , г ‘ ( x ) = 1

    (3 x 2 + 4 x ) ‘= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

    Правило о производных продуктах

    ( f ( x ) ∙ г ( x ) ) ‘= f’ ( x ) г ( x ) + f ( x ) г ‘ ( x )

    Правило производного частного

    Правило производной цепочки

    f ( g ( x )) ‘= f’ ( г ( x )) ∙ г ‘ ( x )

    Это правило можно лучше понять с помощью обозначения Лагранжа:

    Функция линейного приближения

    При малых Δx мы можем получить приближение к f (x 0 + Δx), когда мы знаем f (x 0 ) и f ‘(x 0 ):

    f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ‘( x 0 ) ⋅Δ x

    Таблица производных функций

    Название функции Функция Производная

    f ( x )

    		 f ‘( x )
    Константа

    конст.

    0

    Линейный

    x

    1

    Мощность

    x а

    a x a- 1

    Экспоненциальная

    e x

    e x

    Экспоненциальная

    a x

    a x ln a

    Натуральный логарифм

    лин ( x )

    Логарифм

    журнал b ( x )

    Синус

    грех x

    cos x

    Косинус

    cos x

    -sin x

    Касательная

    желто-коричневый x

    Арксинус

    арксин x

    Арккосин

    arccos x

    Арктангенс

    арктан x

    Гиперболический синус

    sinh x

    цвет x

    Гиперболический косинус

    цвет x

    sinh x

    Гиперболический тангенс

    tanh x

    Обратный гиперболический синус

    sinh -1 x

    Обратный гиперболический косинус

    cosh -1 x

    Обратный гиперболический тангенс

    tanh -1 x

    Примеры производных

    Пример # 1

    f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

    f ‘ ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

    Пример # 2

    f ( x ) = sin (3 x 2 )

    При применении цепного правила:

    f ‘ ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ] ‘= cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

    Тест второй производной

    Когда первая производная функции равна нулю в точке x 0 .

    f ‘( x 0 ) = 0

    Тогда вторая производная в точке x 0 , f ” (x 0 ) может указывать на тип эта точка:

    f ” ( x 0 )> 0

    		 местный минимум

    f ” ( x 0 ) <0

    		 местный максимум

    f ” ( x 0 ) = 0

    		 неопределенный

    См. Также

    Коэффициент разницы: применение функций

    Коэффициент разницы

    Каков коэффициент разницы?

    Прежде чем мы определим коэффициент разности и формулу коэффициента разности, важно сначала понять определение производных.

    В самом общем смысле производная – это мера скорости изменения функции . То есть мгновенная скорость изменения в заданной точке. Чтобы измерить это значение, мы используем так называемую касательную линию и измеряем ее наклон, чтобы получить наилучшее возможное линейное приближение в одной точке .

    Однако в этой статье мы не будем рассматривать производные финансовые инструменты в частности. Вместо этого мы рассмотрим коэффициент разности, который является ступенькой к вычислению производных функций.Коэффициент разности позволяет нам вычислить наклон секущих линий. Секущая почти такая же, как касательная, но вместо этого проходит как минимум через две точки на функции.

    Чтобы понять, каков коэффициент разницы, полезно визуализировать две точки на линии, как на следующем изображении:

    Визуализируйте две точки на линии, чтобы понять коэффициент разницы

    Если мы вспомним определение наклона, мы можем использовать это определение, чтобы найти «секущую линию», проходящую через две точки.Более того, если мы используем переменную «h» для представления разницы между двумя значениями x, мы начнем видеть формулу, развивающуюся:

    Разработайте формулу, используя определение уклона, секущей линии и переменной h

    Наконец, с некоторым сокращением терминов, мы можем прийти к самому определению коэффициента разности.

    Отмените условия, чтобы получить определение коэффициента разницы

    Следовательно, формула для коэффициента разницы:

    f (a + h) −f (a) h \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} hf (a + h) −f (a)

    Примечание : f (x) и f (a) – это одно и то же, а просто разные обозначения для записи формулы.«h» по-прежнему представляет собой разницу между значениями a или x.

    Эта теория верна для всех функций, даже если мы вывели ее из линии. Следовательно, это единственная формула коэффициента разницы, которую вам нужно знать!

    При использовании коэффициента разницы можно задать несколько типов вопросов. Чаще всего будут найдены вопросы: либо установить коэффициент разности для данной функции, либо упростить f (a + h) −f (a) h \ frac {f (a + h) -f (a)} { h} hf (a + h) −f (a) для каждой функции. К счастью, его очень легко настроить и использовать, если вы с ним познакомитесь.Сложнее всего упростить, используя рациональные функции и радикальные функции, но все же более чем управляемо с большой практикой!

    Как всегда, лучший способ попрактиковаться в этом – взглянуть на несколько примеров проблем. Но прежде чем мы это сделаем, убедитесь, что вам комфортно с некоторыми базовыми операциями с функциями, просмотрев наши видеоролики о нотации функций, функциях деления, составных функциях и уравнении наклона. . Овладение всеми этими методами значительно упростит изучение того, как использовать коэффициент разницы!

    Как найти коэффициент разницы:

    В самом простом смысле установка коэффициента разности просто включает в себя подстановку соответствующих терминов в формулу f (a + h) −f (a) h \ frac {f (a + h) -f (a)} { h} hf (a + h) −f (a).{2} – 3x + 4 (-8) f (x) = 3 (x − 4x) 2−3x + 4 (−8)

    Как видите, когда вы пытаетесь подставить термины в формулу отношения разности, первое уравнение будет намного проще, чем второе. Это связано с тем, что второе уравнение включает в себя намного больше операций, и добавление «h» в это сочетание делает ошибки намного более вероятными. Это станет более очевидным, когда мы перейдем к рассмотрению некоторых примеров проблем.

    Установите коэффициент разницы для линейных функций:

    Как это часто бывает, проще всего установить коэффициент разности для линейных функций.Для такой работы, чем меньше переменных и ниже степень, тем проще!

    Пример 1:

    Найдите коэффициент разности f (x) = 2x + 5f (x) = 2x + 5f (x) = 2x + 5

    • ШАГ 1 : настройка коэффициента разницы

    • Чтобы использовать коэффициент разности, все, что нам нужно сделать, это установить f (a) равным f (x) и внести необходимые изменения, чтобы учесть “h”. Очень важно, следить за тем, что указано в скобках, так как именно здесь чаще всего совершаются ошибки! Сделав все это, мы просто подставляем то, что нам нужно, из f (x), чтобы установить коэффициент разности.

      Вот снова формула отношения разницы.

      f (a + h) −f (a) h \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} hf (a + h) −f (a)

      Давайте найдем f (x + h), подставив (x + h) в f (x).

      f (x + h) = 2 (x + h) + 5f (x + h) = 2 (x + h) + 5f (x + h) = 2 (x + h) +5

      Затем мы можем подставить f (x + h) и f (x) в формулу.

      = 2 (x + h) + 5− (2x + 5) h \ frac {2 (x + h) + 5- (2x + 5)} {h} h3 (x + h) + 5− (2x + 5)

    • ШАГ 2 : Упростить

      После того, как мы установили коэффициент разности, все, что нам нужно сделать, это расширить все, что указано в скобках, собрать похожие термины и упростить!

      2 (x + h) + 5− (2x + 5) h \ frac {2 (x + h) + 5- (2x + 5)} {h} h3 (x + h) + 5− (2x + 5) )

      Раскройте скобки и соберите похожие термины.

      2x + 2h + 5−2x − 5h = 2hh \ frac {2x + 2h + 5-2x-5} {h} = \ frac {2h} {h} h3x + 2h + 5−2x − 5 = h3h

      Теперь упростим дробь, вычеркнув h в числителе и знаменателе.

      = 2hh = 2 \ frac {2h} {h} = 2h3h = 2

      Итак, мы знаем, что коэффициент разности f (x) = 2x + 5 равен 2

    Установите коэффициент разности для полиномиальных функций:

    Полиномиальные функции имеют такую ​​же сложность, когда дело доходит до нахождения коэффициента разности. Опять же, по мере того, как степень (наивысший показатель) полинома становится выше, возрастает и сложность.{2} + 4x-6f (x) = x2 + 4x − 6

    • ШАГ 1 : настройка коэффициента разницы

    • Опять же, чтобы использовать коэффициент разности, все, что нам нужно сделать, это установить f (a) равным f (x) и внести необходимые изменения, чтобы учесть «h». Также помните, что очень важно следить за тем, что указано в скобках, поскольку именно здесь чаще всего совершаются ошибки! В качестве важного примечания, убедитесь, что вы решаете проблемы такого рода, когда функция полностью развернута! Если бы эта функция была в факторизованной форме, было бы намного сложнее установить частное.{2} + 11x-6f (x) = x3−6×2 + 11x − 6

      • ШАГ 1 : настройка коэффициента разницы

      • Как и в случае с квадратичной функцией в предыдущем примере, чтобы использовать коэффициент разности, все, что нам нужно сделать, это установить f (a) равным f (x) и внести необходимые изменения, чтобы учесть «h». Также помните, что очень важно следить за тем, что указано в скобках, поскольку именно здесь чаще всего совершаются ошибки! Это не может быть более важным, поскольку мы начинаем иметь дело с более сложными уравнениями и функциями.Наконец, как и в предыдущем примере, убедитесь, что вы установили коэффициент разницы для функции в ее полностью развернутой форме, то есть без факторизации!

        Установить коэффициент разницы
      • ШАГ 2 : Упростить

        После того, как мы установили коэффициент разности, все, что нам нужно сделать, это расширить все, что указано в скобках, собрать похожие термины и упростить! Это намного сложнее по сравнению с квадратичным примером, так как у нас намного больше членов! Обязательно дважды и трижды проверяйте свою работу.{2} -12x-6h + 113×2 + 3xh + h3−12x − 6h + 11

      Как вы понимаете, работа с полиномами даже более высокого порядка может быть довольно сложной задачей. В этой статье мы не будем рассматривать что-либо более сложное, чем кубические функции, но не помешает бросить вызов самому себе! Практика ведет к совершенству.

      Установите коэффициент разницы для рациональных функций:

      Полиномы и линейные функции часто являются простейшими функциями, с которыми приходится иметь дело при решении задач с разностным коэффициентом.В следующих разделах рассматриваются рациональные и радикальные функции, которые сопряжены с дополнительным уровнем сложности.

      Пример 4:

      Найдите коэффициент разности f (x) = 1xf (x) = \ frac {1} {x} f (x) = x1

      • ШАГ 1 : настройка коэффициента разницы

      • Несмотря на то, что у нас есть рациональная функция, которая немного сложнее, техника все та же. Чтобы использовать коэффициент разности, все, что нам нужно сделать, это установить f (a) равным f (x) и внести необходимые изменения, чтобы учесть «h».Поскольку мы используем рациональную функцию, вам нужно уделять особое внимание деталям, чтобы убедиться, что все настроено правильно.

        f (a + h) −f (a) h \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} hf (a + h) −f (a)

        1x + h − 1xh \ frac {\ frac {1} {x + h} – \ frac {1} {x}} {h} hx + h2 −x1

      • ШАГ 2 : Упростить

        Принимая во внимание необходимое внимание, процедура остается прежней! Все, что нам нужно сделать, это расширить все, что указано в скобках, собрать похожие термины и упростить!

        1x + h − 1xh \ frac {\ frac {1} {x + h} – \ frac {1} {x}} {h} hx + h2 −x1

        = 1x + h − 1xh ∙ x (x + h) x (x + h) \ frac {\ frac {1} {x + h} – \ frac {1} {x}} {h} \ bullet \ frac {x (x + h)} {x (x + h)} hx + h2 −x1 ∙ x (x + h) x (x + h)

        = x− (x + h) x (x + h) h \ frac {\ frac {x- (x + h)} {x (x + h)}} {h} hx (x + h) x− (х + в)

        = x − x − hx (x + h) h \ frac {\ frac {x-x-h} {x (x + h)}} {h} hx (x + h) x − x − h

        = −hx (x + h) h \ frac {\ frac {-h} {x (x + h)}} {h} hx (x + h) −h

        = −1x (x + h) \ frac {-1} {x (x + h)} x (x + h) −1

      Это самая основная рациональная функция, которая существует, поэтому давайте попробуем что-то посложнее!

      Пример 5:

      Найдите коэффициент разности f (x) = 1x + 1f (x) = \ frac {1} {x + 1} f (x) = x + 11

      • ШАГ 1 : настройка коэффициента разницы

      • И снова, хотя у нас есть рациональная функция, которая немного сложнее, техника все та же.Чтобы использовать коэффициент разности, все, что нам нужно сделать, это установить f (a) равным f (x) и внести необходимые изменения, чтобы учесть «h». Поскольку мы используем рациональную функцию, вам нужно уделять особое внимание деталям, чтобы убедиться, что все настроено правильно.

        В этом примере ниже показан немного отличающийся метод. Вместо того, чтобы просто пытаться ввести все значения в формулу для коэффициента разности, первым делом нужно сначала найти f (x + h). Как только мы узнаем f (x + h), можем подставить это в уравнение разностного отношения.

        Установить коэффициент разницы
      • ШАГ 2 : Упростить

        После немного другого первого шага, остальное не изменилось. Помня о том внимании, которое нам необходимо, все, что нам нужно сделать, это расширить все, что указано в скобках, собрать похожие термины и упростить! Тогда мы легко сможем найти окончательный ответ.

        Упрощать

      Задайте коэффициент разницы для радикальных функций:

      И последнее, но не менее важное, это нахождение коэффициента разности для радикальных функций.По самой своей природе радикальные функции немного сложнее, чем все остальное. Но если мы останемся той же техникой, которую использовали со времен линейных функций, ничто не изменится!

      Пример 6:

      Найдите коэффициент разности f (x) = xf (x) = \ sqrt {x} f (x) = x

      • ШАГ 1 : настройка коэффициента разницы

      • Так же, как и в случае с рациональными функциями, не позволяйте хитрости радикальных функций вводить вас в заблуждение. Процедура такая же.Чтобы использовать коэффициент разности, все, что нам нужно сделать, это установить f (a) равным f (x) и внести необходимые изменения, чтобы учесть «h». Кроме того, поскольку мы используем радикальную функцию, вам нужно уделять особое внимание деталям, чтобы убедиться, что все настроено правильно.

        f (x + h) −f (x) h \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} hf (x + h) −f (x) = x + h − xh \ гидроразрыв {\ sqrt {x + h} – \ sqrt {x}} {h} hx + h −x

      • ШАГ 2 : Упростить

        Уделяя особое внимание корневым признакам и всем нашим терминам, все, что нам нужно сделать, это расширить все, что находится в скобках, собрать похожие термины и упростить! Тогда мы легко сможем найти окончательный ответ.

    Оставить комментарий