Производная от скорости ускорение: Простая физика – EASY-PHYSIC

2}{2}\right)’=0+v_0\cdot 1+\frac a2\cdot 2t=v_0+at $$ Чтобы найти ускорение, нужно найти производную от скорости: $$ a(t)=v'(t)=x”(t)=(v_0+at)’=0+a\cdot 1=a=const $$

п.2. Физические величины как производные от других величин

Если рассматривать уравнение процесса \(s=f(t)\), его производной будет величина $$ f'(t)=\lim_{\triangle t\rightarrow 0}\frac{\triangle s}{\triangle t} $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Исходная величина (процесс)

Производная по времени

Координата \(x(t)\)

Скорость \(v(t)=x'(t)\)
Ускорение \(a(t)=v'(t)=x”(t)\)

Угол поворота \(\varphi(t)\)

Угловая скорость \(\omega(t)=\omega'(t)\)
Угловое ускорение \(\beta(t)=\omega'(t)=\varphi”(t)\)

Масса горючего ракеты \(m(t)\)

Скорость расходования горючего \(u(t)=m'(t)\)

Температура тела \(T(t)\)

Скорость нагрева \(v_T(t)=T'(t)\)

Заряд \(q(t)\)

Сила тока \(I(t)=q'(t)\)

Работа \(A(t)\)

Мощность \(N(t)=A'(t)\)

Магнитный поток \(Ф(t)\)

ЭДС индукции \(\varepsilon(t)=-Ф'(t)\)

Число атомов радиоактивного вещества \(N(t)\)

Скорость радиоактивного распада \(I(t)=-N'(t)\)

Конечно же, в физике далеко не обязательно берут производную только по времени. 2/ч) \end{gather*} Ответ: 3,625 см²/ч

о вредности термина «замедление» / Хабр

Довольно часто, особенно в обиходе инженерных дисциплин, употребляется понятие «замедление» то есть ускорение, действие которого приводит к уменьшению модуля скорости. При этом такому ускорению приписывается некий отрицательный знак, подчеркивающий этот самый замедляющий эффект.

По моему скромному мнению данное понятие является не только избыточным, но и вредным с методической точки зрения. Оно бросает своего рода мутную вуаль на суть величин, описывающих механическое движение.

На самом деле, чтобы описать то же торможение автомобиля или парашютиста совершенно необязательно приписывать ускорению знак, достаточно понимания, что ускорение есть величина векторная и умения грамотно переходить от операций с векторами к операциям с их проекциями на оси выбранной системы координат.

Статья имеет своей целью развенчать необходимость использования термина «замедление» при решении практических задач механики, и, если читателя не смущает очередная лекция по теормеху, добро пожаловать под кат.

Рассмотрим вектор , такой, что

то есть модуль и направление этого вектора зависят от времени. Вычислим изменение изменение этого вектора, произошедшее за промежуток времени

Теперь, используя тот факт, что для векторов определена операция умножения на число, умножим (1) на величину, обратную приращению времени . В силу того, что мы получим вектор , направленный в ту же сторону что и вектор (1) (см. рисунок 1)

Рис. 1. Геометрический смысл производной вектора по времени

Теперь перейдем к пределу при

Соотношение (2) есть предел отношения приращения вектор-функции к приращению её аргумента и называется производной вектора по времени. Как видно из наших выкладок производная от вектора по времени также является вектором. Как направлен этот вектор?

Будем рассуждать, глядя на геометрическую интерпретацию на рисунке 1.

Вектор занимает положение секущей по отношению к траектории, которую описывает конец вектора за промежуток времени . Эта траектория называется годографом вектор-функции . Секущая пересекает годограф в точках A и B. При стремлении к нулю точка A остается неподвижной, а точка B смещается в сторону точки A. В пределе секущая займет положение касательной к годографу в точке A.

То есть, можно ввести следующее определение

Производная от вектора по времени есть вектор , направленный по касательной к годографу вектора

Таким образом, производная от вектора показывает, каким образом меняется как модуль, так и направление вектора. Ни о каком «знаке» производной тут речи не идет в принципе. И не может идти — производная от вектора по времени это так же вектор, а для вектора нет понятия знака.

Допусти теперь что наш вектор обладает неизменной длиной, то есть

а меняется лишь его направление в пространстве. Будет ли у этого вектора отличная от нуля производная? Конечно будет! Умножим вектор скалярно сам на себя

Продифференцируем (3) по времени

Производная от модуля вектора равна нулю, ведь модуль не меняется во времени. Тогда, используя правило дифференцирования произведения раскрываем левую часть (4)

используя свойство коммутативности скалярного произведения, получаем

или

То есть, скалярное произведение вектора на собственную производную равно нулю а значит

Таким образом, производная вектора с постоянной длиной не только не равна нулю, а она есть вектор, перпендикулярный исходному. Годографом такого вектора будет окружность с радиусом, равным длине вектора (рисунок 2).

Мы сталкиваемся с такой ситуацией, когда вычисляем ускорение точки, движущейся равномерно по окружности. У неё есть центростремительное ускорение, перпендикулярное вектору скорости.

Производная от вектора будет равна нулю лишь в том случае, если вектор не меняет ни модуль, ни направление.

Рис 2. Вектор с постоянной длиной, его годограф и производная

Теперь, исходя из вышеизложенного, дадим определение скорости материальной точки. Пусть положение точки в пространстве характеризуется вектором , называемым

радиус-вектором точки (см. рисунок 3). Тогда

Вектором скорости точки называется первая производная от радиус-вектора точки по времени
Вектор скорости точки направлен по касательной к её траектории.

Все верно — траектория и есть годограф радиус-вектора, причем выбор начала отсчета O из которого мы выпускаем радиус-вектор роли не играет.

Рис. 3. Векторы скорости и ускорения материальной точки

Аналогичным образом вводится и понятие ускорения

Вектор ускорения точки есть первая производная от вектора скорости точки по времени
Вектор ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости.

Геометрическая иллюстрация этих определений показана на рисунке 3. При движении точки по окружности с постоянной по модулю скоростью ускорение направлено точно к центру этой окружности (рисунок 4)

в полном соответствии с определением производной от вектора постоянного по модулю. В этом случае вектор ускорения как раз показывает каким образом меняется направление вектора скорости.

Решая задачу по механике мы неизбежно переходим от векторных уравнений к уравнениям в проекциях на оси выбранной системы координат. И, если вектор ускорения направлен против вектора скорости, то знак его проекции отличается от знака проекции вектора скорости. Причем последняя может быть отрицательной, а проекция ускорения — положительной, все зависит от выбранной системы координат!. Именно в этой ситуации в инженерной практике употребляют термин «замедление».

Однако знак проекции и её именование к механике отношения не имеют, они относятся уже к формальной процедуре вычислений при решении задачи и механического смысла не несут.

Так что понятие «замедление» есть результат вольной интерпретации промежуточных результатов вычислений.

Благодарю за проявленное внимание!

Механический смысл второй производной

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f(t), где s – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения это функция времени:

$v = v(t)$

В момент времени t скорость имеет значение $v_0 = v(t)$. Рассмотрим момент времени $t + \Delta t$. Ему соответствует значение скорости

$v_1 = v(t + \Delta t)$

Приращению времени $\Delta $t соответствует приращение скорости

Средним ускорением $\Delta $t является отношение

Ускорением $\omega $ в момент t называется предел среднего ускорения при $\Delta $t стремящемся к 0. {2} -4t+1\right){{‘} } =9t-4\]

Поскольку ускорением является вторая производная, имеем:

\[\omega =x”=9t-4\]

Приравняем полученное ускорение к нулю и выразим время t

\[9t-4=0\] \[t=\frac{4}{9} сек\]

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15.12.2021

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Скорость, скорость, ускорение — расчет AP BC

Все ресурсы расчета AP BC

2 диагностических теста 86 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

AP Исчисление BC Справка » Производные » Применение производных » Velocity, Speed, Acceleration

Положение автомобиля задается следующей функцией:

Какова функция скорости автомобиля?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Функция скорости автомобиля равна первой производной функции положения автомобиля и равна

Производная была найдена по следующим правилам:

, , ,  

Отчет Ошибка

Пусть

Найдите первую и вторую производную функции.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти первую и вторую производную, мы должны использовать цепное правило.

Цепное правило гласит, что если

 

и

, то производная равна

Чтобы найти первую производную функции

Мы устанавливаем

и

, поскольку производной экспоненциальной функции является самой экспоненциальной функцией, мы получаем

и дифференцирующие мы используем правило мощности, которое утверждает

9000 9000

AS AS AS AS AS. таких

И так

 

Для решения второй производной положим

и

0004

Поскольку производной экспоненциальной функции является самой экспоненциальной функцией, мы получаем

и дифференцируем правило мощности, в котором говорится

как таковые

и второй становится

 

Сообщить об ошибке

Найдите функцию скорости частицы, если ее положение определяется следующей функцией:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Функция скорости задается первой производной функции положения:

и была найдена с использованием следующих правил:

, , , 

Сообщить об ошибке функция

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Нужно найти первую и вторую производные.

Мы используем свойства, что

• Производная от    равна  
• Производная от   равна  

Как таковые

Чтобы найти вторую производную, мы снова дифференцируем и используем правило произведения, которое устанавливает

Настройка

  и  

Мы обнаруживаем, что

Как таковой

Отчет о ошибке

Учитывая функцию скорости

, где является реальным числом, что найдите функцию ускорения

.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Мы можем найти функцию ускорения из функции скорости, взяв производную:

Мы можем рассматривать функцию

как композицию следующих функций

 

, так что . Это означает, что мы используем цепное правило

, чтобы найти производную. У нас есть и, поэтому у нас есть

Сообщить об ошибке

Положение объекта задается уравнением . Чему равно его ускорение в t = 2?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Если эта функция дает положение, первая производная дает скорость, а вторая производная дает ускорение.

Теперь подставьте 2 для t:

Сообщить об ошибке

Уравнение моделирует положение объекта через t секунд. Чему равно ускорение за 3 секунды?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Если эта функция дает положение, первая производная дает скорость, а вторая производная дает ускорение.

Модуль 3 для t:

Сообщить об ошибке

Уравнение моделирует положение объекта через t секунд. Какова его скорость через секунды?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Если эта функция дает положение, первая производная даст скорость.

Плагин для t:

Сообщить об ошибке

Положение объекта моделируется уравнением Какова скорость через секунды?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Если эта функция дает положение, первая производная дает скорость. Чтобы различать, используйте цепное правило: . В этом случае  и . Так как  и , первая производная равна .

Плагин для t:

Сообщить об ошибке

Положение частицы на оси задается функцией from .

Когда частица меняет направление?

Возможные ответы:

Не меняет направление в заданных пределах

Правильный ответ:

Не меняет направление в заданных пределах

Пояснение:

Чтобы определить, когда частица меняет направление, нам нужно найти критические значения . Это делается путем нахождения функции скорости, установки ее равной и решения для

.

Следовательно .

Решения для этого на единичной окружности , так что это значения  , при которых частица обычно меняет направление. Однако заданный нами интервал равен , который не содержит . Следовательно, частица не меняет направления на данном интервале.

Сообщить об ошибке

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы AP Calculus BC

2 Диагностические тесты 86 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

3.6 Нахождение скорости и перемещения по ускорению – University Physics Volume 1

3 Движение по прямой

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Вывести кинематические уравнения для постоянного ускорения с помощью интегрального исчисления.
• Используйте интегральную формулировку кинематических уравнений при анализе движения.
• Найдите функциональную форму зависимости скорости от времени по заданной функции ускорения.
• Найдите функциональную форму зависимости положения от времени по заданной функции скорости.

В этом разделе предполагается, что у вас достаточно знаний в области исчисления, чтобы быть знакомым с интегрированием. В разделах «Мгновенная скорость и скорость» и «Среднее и мгновенное ускорение» мы ввели кинематические функции скорости и ускорения с помощью производной. Взяв производную от функции положения, мы нашли функцию скорости, и точно так же, взяв производную от функции скорости, мы нашли функцию ускорения. Используя интегральное исчисление, мы можем работать в обратном направлении и вычислять функцию скорости из функции ускорения, а функцию положения из функции скорости.

Кинематические уравнения из интегрального исчисления

Начнем с частицы с ускорением a (t) — известная функция времени. Поскольку производная по времени от функции скорости есть ускорение,

[латекс]\фрак{д}{дт}в(т)=а(т),[/латекс]

, мы можем взять неопределенный интеграл от обеих сторон, нахождение

[латекс]\int \frac{d}{dt}v(t)dt=\int a(t)dt+{C}_{1},[/latex]

, где C ₁ есть постоянная интегрирования. Поскольку [latex]\int \frac{d}{dt}v(t)dt=v(t)[/latex], скорость определяется как

[латекс]v(t)=\int a(t)dt+{C}_{1}. [/латекс]

Точно так же производная по времени функции положения является функцией скорости,

[латекс] \frac{d}{dt}x(t)=v(t).[/latex]

Таким образом, мы можем использовать те же математические манипуляции, которые мы только что использовали, и найти

[latex]x(t)=\int v(t)dt+{C}_{2},[/latex]

, где C ₂ — вторая константа интегрирования.

Используя эти интегралы, мы можем вывести кинематические уравнения для постоянного ускорения. С a ( t ) = a константа, и, выполняя интегрирование на рисунке, мы находим

[latex]v(t)=\int adt+{C}_{1}=at+{C}_ {1}.[/latex]

Если начальная скорость равна v (0) = v ₀ , тогда

[латекс]{v}_{0}=0+{C}_{ 1}.[/latex]

Тогда C ₁ = v ₀ и

[латекс]v(t)={v}_{0}+at,[/latex]

, что (Уравнение). Подстановка этого выражения на рисунок дает 9{2}[/латекс]. а) Какова функция скорости моторной лодки? б) В какой момент времени скорость достигает нуля? в) Какова функция положения моторной лодки? г) Каково водоизмещение моторной лодки с момента начала торможения до момента, когда скорость равна нулю? (e) Нарисуйте график функций скорости и положения.

Стратегия

(a) Чтобы получить функцию скорости, мы должны проинтегрировать и использовать начальные условия, чтобы найти константу интегрирования. (b) Приравняем функцию скорости к нулю и решим для т . (c) Точно так же мы должны проинтегрировать, чтобы найти функцию положения, и использовать начальные условия, чтобы найти константу интегрирования. (d) Поскольку начальная позиция принимается равной нулю, нам нужно только оценить функцию позиции при [latex]t=0[/latex].

Решение

Примем t = 0 за время, когда лодка начинает замедляться.

1. Показать ответ

   Из функциональной формы ускорения мы можем решить рисунок, чтобы получить v ( 9{3}=21,1\,\текст{м}\текст{. }[/латекс]

Рис. 3.30 (a) Скорость моторной лодки как функция времени. Моторная лодка уменьшает скорость до нуля за 6,3 с. В моменты времени, превышающие это значение, скорость становится отрицательной, то есть лодка меняет направление. (b) Положение моторной лодки в зависимости от времени. В момент времени t = 6,3 с скорость равна нулю, и лодка остановилась. В моменты времени, превышающие это, скорость становится отрицательной — это означает, что если лодка продолжает двигаться с тем же ускорением, она меняет направление и направляется обратно к тому месту, где она возникла.

Значение

Функция ускорения линейна во времени, поэтому при интегрировании используются простые полиномы. На рисунке мы видим, что если мы расширим решение за точку, где скорость равна нулю, скорость станет отрицательной, и лодка изменит направление. Это говорит нам о том, что решения могут дать нам информацию, выходящую за рамки нашего непосредственного интереса, и мы должны быть осторожны при их интерпретации. {2}[/латекс]. а) Что такое функция скорости? б) Что такое функция положения? в) Когда скорость равна нулю? 9{3}.[/латекс]

Скорость можно записать как v ( t ) = 5 t (1 – t ), что равно нулю при t = 0 и t = 1 с.

Резюме

• Интегральное исчисление дает нам более полную формулировку кинематики.
• Если известно ускорение a ( t ), мы можем использовать интегральное исчисление для получения выражений для скорости v ( t ) и положения х ( т ).
• Если ускорение постоянно, интегральные уравнения сводятся к рисунку и рисунку для движения с постоянным ускорением.

Ключевые уравнения

“> 9{2}-2g(y-{y}_{0})[/латекс]

Рабочий объем	[латекс] \ Дельта х = {х} _ {\ текст {f}} – {х} _ {\ текст {я}} [/латекс]
Полный водоизмещение	[латекс] \ Дельта {х} _ {\ текст {Всего}} = \ сумма \ Дельта {х} _ {\ текст {я}} [/латекс]
Средняя скорость	[латекс]\overset{\text{–}}{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ {т}_{2}-{т}_{1}}[/латекс]
Мгновенная скорость	[латекс]v(t)=\frac{dx(t)}{dt}[/латекс]
Средняя скорость	[латекс]\текст{Средняя скорость}=\overset{\text{–}}{s}=\frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Прошедшее время}}[/latex]
Мгновенная скорость	[латекс]\текст{Мгновенная скорость}=|v(t)|[/латекс]
Среднее ускорение	[латекс]\overset{\text{–}}{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{{v}_{f}-{v}_{0}}{ {t}_{f}-{t}_{0}}[/латекс]
Мгновенное ускорение	[латекс]а(т)=\фрак{дв(т)}{дт}[/латекс]
Положение по средней скорости	[латекс] х = {х} _ {0} + \ overset {\ текст {–}} {v} т [/латекс]
Средняя скорость	[латекс]\overset{\text{–}}{v}=\frac{{v}_{0}+v}{2}[/latex]
Скорость от ускорения	[латекс]v(t)=\int a(t)dt+{C}_{1}[/латекс]
Положение по скорости	[латекс] х (т) = \ int v (т) dt + {C} _ {2} [/латекс]

Концептуальные вопросы

Когда задана функция ускорения, какая дополнительная информация необходима для нахождения функции скорости и функции положения?

Задачи

Ускорение частицы изменяется со временем согласно уравнению [латекс]а(т)=р{т}^{2}-q{t}^{3}[/латекс]. {5\,\текст{/}2}[/латекс]; 9{-1}[/latex], где A = 2 м/с, B = 0,25 м и [латекс] 1,0\,\text{s}\le t\le 8,0\,\text{s }[/латекс]. Определить ускорение и положение частицы при t = 2,0 с и t = 5,0 с. Предположим, что [латекс]x(t=1\,\text{s})=0[/латекс].

Частица, находящаяся в состоянии покоя, покидает точку отсчета, ее скорость увеличивается со временем согласно соотношению v ( t ) = 3,2 t м/с. Через 5,0 с скорость частицы начинает уменьшаться согласно [16,0 – 1,5( 9{2}}{2}-5,0(11))-58,75=109=7(11,0\,\текст{s})+{C}_{2}\стрелка вправо {C}_{2}=32\, \text{m}\hfill \\ \quad x(t)=7t+32\,\text{m}\hfill \\ \phantom{\rule{1.5em}{0ex}}x\ge 11.0\,\ text{s}\Rightarrow x(12.0\,\text{s})=7(12)+32=116\,\text{m}\hfill \end{array}[/latex]

Дополнительные задачи

Профессиональный игрок в бейсбол Нолан Райан мог подать бейсбольный мяч со скоростью примерно 160,0 км/ч. При такой средней скорости сколько времени потребовалось мячу, брошенному Райаном, чтобы достичь домашней площадки, которая находится в 18,4 м от насыпи питчера? Сравните это со средним временем реакции человека на зрительный стимул, которое составляет 0,25 с.

Самолет вылетает из Чикаго и совершает 3000-километровый перелет в Лос-Анджелес за 5 часов. Второй самолет вылетает из Чикаго на полчаса позже и прибывает в Лос-Анджелес в то же время. Сравните средние скорости двух самолетов. Не обращайте внимания на кривизну Земли и разницу в высоте между двумя городами.

Показать решение

Возьмите запад, чтобы быть положительным направлением.

1-й самолет: [латекс]\overset{\text{–}}{\nu }=600\,\text{км/ч}[/latex]

2-я плоскость [латекс]\overset{\text{–}}{\nu }=667,0\,\text{км/ч}[/латекс] 9{-8}\,\text{s}[/латекс]

Водитель скорой помощи везет пациента в больницу. Двигаясь со скоростью 72 км/ч, она замечает, что светофор на предстоящем перекрестке загорелся желтым. Чтобы добраться до перекрестка до того, как загорится красный свет, она должна проехать 50 м за 2,0 с. а) Какое минимальное ускорение должна иметь машина скорой помощи, чтобы добраться до перекрестка до того, как загорится красный сигнал светофора? б) С какой скоростью машина скорой помощи доедет до перекрестка?

Мотоцикл, который равномерно замедляется, проходит 2,0 км подряд за 80 с и 120 с соответственно. Вычислите: а) ускорение мотоцикла и б) его скорость в начале и в конце 2-километровой поездки. 9{2}[/латекс]. Затем она движется с постоянной скоростью в течение следующих 5,0 мин. Затем она замедляется с постоянной скоростью так, что через 3,0 мин останавливается в точке B. а) Нарисуйте график зависимости скорости от времени для поездки. б) Чему равно ускорение за последние 3 мин? в) Какое расстояние проехал велосипедист?

Два поезда движутся со скоростью 30 м/с в противоположных направлениях по одному и тому же пути. Инженеры одновременно видят, что они находятся на встречном курсе, и включают тормоза, когда расстояние между ними составляет 1000 м. Предполагая, что оба поезда имеют одинаковое ускорение, каким должно быть это ускорение, чтобы поезда остановились перед столкновением? 9{2}[/латекс]

Грузовой автомобиль длиной 10,0 м, движущийся с постоянной скоростью 97,0 км/ч, наезжает на автомобиль длиной 3,0 м, движущийся с постоянной скоростью 80,0 км/ч. Сколько времени проходит между моментом, когда передняя часть грузовика окажется на одном уровне с задней частью автомобиля, и моментом, когда задняя часть грузовика окажется на одном уровне с передней частью автомобиля?

Полицейская машина спряталась немного в стороне от шоссе. {2}[/ латекс]; Шаг 2, решение для [latex]t[/latex]: [latex]t=\frac{2\overset{\text{–}}{v}}{a}[/latex]. Автомобиль движется с постоянной скоростью 40 м/с, что является его средней скоростью. Ускорение полицейской машины 4 м/с ² . Оценивая t , время, за которое полицейская машина достигнет мчащейся машины, мы имеем [latex]t=\frac{2\overset{\text{–}}{v}}{a}=\frac{2( 40)}{4}=20\,\text{s}[/latex].

Пабло бежит полумарафон со скоростью 3 м/с. Другой бегун, Джейкоб, отстает от Пабло на 50 метров с той же скоростью. Джейкоб начинает ускоряться со скоростью 0,05 м/с ² . а) Сколько времени потребуется Джейкобу, чтобы поймать Пабло? б) Какое расстояние преодолел Иаков? в) Какова конечная скорость Якова?

Необоснованные результаты Бегун приближается к финишу и находится на расстоянии 75 м; ее средняя скорость в этом положении 8 м/с. В этот момент она замедляется со скоростью 0,5 м/с ² . За какое время она пересечет финишную черту с расстояния 75 м? Это разумно?

Показать решение

При этом ускорении она полностью останавливается в [латекс]t=\frac{-{v}_{0}}{a}=\frac{8}{0. {2}=64\,\text{m}[/latex], что меньше расстояния, на котором она находится от финишной черты, поэтому она никогда не финиширует в гонке.

Самолет разгоняется до 5,0 м/с ² за 30,0 с. За это время он преодолевает расстояние 10,0 км. Каковы начальная и конечная скорости самолета?

Сравните расстояние, пройденное объектом, скорость которого изменилась в два раза по сравнению с начальной скоростью, с объектом, скорость которого изменилась в четыре раза по сравнению с начальной скоростью за тот же период времени. Ускорения обоих тел постоянны.

Показать раствор

[латекс]{x}_{1}=\frac{3}{2}{v}_{0}t[/latex]

[латекс]{x}_{2}=\frac{5}{3}{x}_{1}[/латекс]

Объект движется на восток с постоянной скоростью и находится в положении [латекс]{x}_{0}\,\text{at}\,\text{время}\,{t}_{0}=0[ /латекс]. а) Какое ускорение должен иметь объект, чтобы его полное перемещение стало равным нулю через t ? (b) Какова физическая интерпретация решения для случая [латекс]t\to \infty[/латекс]?

Мяч брошен прямо вверх. На своем пути вверх он проходит окно высотой 2,00 м на высоте 7,50 м от земли, и ему требуется 1,30 с, чтобы пройти мимо окна. Какова была начальная скорость мяча?

Показать решение

[latex]{v}_{0}=7,9\,\text{м/с}[/latex] скорости в нижней части окна.

[латекс]v=7.9\,\текст{м/с}[/латекс]

[латекс]{v}_{0}=14,1\,\текст{м/с}[/латекс]

Монета сбрасывается с воздушного шара, находящегося на высоте 300 м над землей и поднимающегося вверх со скоростью 10,0 м/с. Для монеты найдите (а) максимальную достигнутую высоту, (б) ее положение и скорость через 4,00 с после того, как ее отпустили, и (в) время до того, как она упадет на землю.

Мягкий теннисный мяч падает на твердый пол с высоты 1,50 м и отскакивает на высоту 1,10 м. а) Определите его скорость непосредственно перед ударом об пол. (b) Рассчитайте его скорость сразу после того, как он оторвется от пола на обратном пути вверх. (c) Рассчитайте его ускорение при контакте с полом, если этот контакт длится 3,50 мс [латекс](3,50\times {10}^{-3}\,\text{s})[/latex] (d) Сколько шар сжимается при ударе о пол, если пол абсолютно жесткий? 9{-3}\,\текст{м}[/латекс]

Необоснованные результаты . Капля дождя падает из облака на высоте 100 м над землей. Сопротивлением воздуха пренебречь. Какова скорость капли дождя в момент удара о землю? Это разумное число?

Сравните время нахождения в воздухе баскетболиста, прыгнувшего с пола на 1,0 м вертикально, со временем игрока, прыгнувшего на 0,3 м вертикально.

Показать решение

Предположим, что игроки падают из состояния покоя с высоты 1,0 м и 0,3 м.

0,9{2}?[/latex] (b) Как далеко объект падает на Луну, где ускорение свободного падения составляет 1/6 от земного?

Воздушный шар поднимается над землей с постоянной скоростью 3,0 м/с. Через минуту после старта с воздушного шара случайно сбрасывается мешок с песком. Вычислите: а) время, за которое мешок с песком достигает земли, и б) скорость мешка с песком в момент удара о землю.

Показать раствор

а. [latex]t=6.37\,\text{s}[/latex] с положительным корнем;

б. [латекс]v=59,5\,\текст{м/с}[/латекс]

(a) Мировой рекорд был установлен в беге на 100 м среди мужчин на Олимпийских играх 2008 года в Пекине Усэйном Болтом из Ямайки. Болт пересек финишную черту со временем 9,69 с. Если мы предположим, что Болт ускорялся в течение 3,00 с, чтобы достичь своей максимальной скорости, и поддерживал эту скорость до конца гонки, рассчитайте его максимальную скорость и его ускорение. (b) Во время той же Олимпиады Болт также установил мировой рекорд в беге на 200 м со временем 19.30 с. Используя те же предположения, что и для бега на 100 м, какова была его максимальная скорость в этом забеге?

Предмет падает с высоты 75,0 м над уровнем земли. а) Определите путь, пройденный за первую секунду. б) Определить конечную скорость, с которой тело упадет на землю. в) Определите расстояние, пройденное за последнюю секунду движения до удара о землю.

Показать раствор

а. [латекс]у=4,9\,\текст{м}[/латекс];

б. [латекс]v=38,3\,\текст{м/с}[/латекс]; 9{2}[/латекс]; в. Наклон функции положения равен нулю или скорость равна нулю. Возможны два решения: t = 0, что дает x = 0, или t = 10,0/12,0 = 0,83 с, что дает x = 1,16 м. Второй ответ является правильным выбором; д. 0,83 с (д) 1,16 м

Велосипедист мчится в конце гонки, чтобы одержать победу. Она имеет начальную скорость 11,5 м/с и ускоряется со скоростью 0,500 м/с ² за 7,00 с. а) Какова его конечная скорость? (b) Велосипедист продолжает движение с этой скоростью до финиша. Если она находится в 300 м от финиша, когда начинает разгоняться, сколько времени она сэкономила? (c) Победитель, занявший второе место, был на 5,00 м впереди, когда победитель начал ускоряться, но он не смог ускориться и двигался со скоростью 11,8 м/с до финиша. Какая разница во времени финиша в секундах между победителем и призером? Как далеко от финиша финишировал занявший второе место?

В 1967 году новозеландец Берт Манро установил мировой рекорд для индийского мотоцикла на соляных равнинах Бонневиль в штате Юта, со скоростью 295,38 км/ч. Длина трассы в один конец составила 8,00 км. Темпы ускорения часто описываются временем, которое требуется для достижения 96,0 км/ч из состояния покоя. {2}[/латекс], 295,38 км/ч = 82,05 м/с, [латекс]t=12,3\,\text{с}[/латекс] время разгона до максимальной скорости

[латекс]х=504,55\,\текст{м}[/латекс] расстояние, пройденное при ускорении

[латекс]7495.44\,\текст{м}[/латекс] на постоянной скорости

[латекс]\фракция{7495,44\,\текст{м}}{82,05\,\текст{м/с}}=91,35\,\текст{с}[/латекс], поэтому общее время равно [латекс]91,35\ ,\text{s}+12,3\,\text{s}=103,65\,\text{s}[/latex].

Скорость, ускорение и длина дуги

Скорость и ускорение

Определение скорости и скорости

В исчислении с одной переменной скорость определяется как производная от функция положения. Для векторного исчисления мы делаем такое же определение.

Определение скорости Пусть г(т) быть дифференцируемой векторной функцией, представляющей положение вектор частицы в момент времени t. Затем вектор скорости является производной вектора положения. v (t) = r ‘(t) = x'(t) i + y'(t) j + z'(t) k

Пример

Найдите вектор скорости v (t), если вектор положения:

r(t) =  3t i + 2t ² j – sin t k  

 

Решение

Мы просто возьмите производную

Когда мы думаем о скорости, мы думаем о том, как быстро мы едем. Скорость не должна быть отрицательный. В одном исчислении переменных скорость была абсолютным значением скорость. Для векторного исчисления это величина скорости.

Определение скорости Пусть р (т) быть дифференцируемой векторной функцией, представляющей положение частица. Тогда скорость частицы есть величина вектора скорости. Скорость  =  || v (т) || =  || р ‘(т) ||

Пример

Позволять

р (т) = 3 i + 2t j + стоимость t k

Найдите скорость через p/4 с.

Решение

Сначала находим вектор скорости

v (t) = r ‘(t) = 2 j – син т к

У нас есть

v (p/4) = 2 j – /2 k

Его величина равна квадратному корню из суммы квадраты или

Скорость  =  || в || знак равно

---

Ускорение

В исчислении одной переменной мы определили ускорение частицы как вторую производную функция положения. Для векторного исчисления ничего не меняется.

Определение ускорения Пусть г(т) быть дважды дифференцируемой векторной функцией, представляющей позицию вектор частицы в момент времени t. Тогда вектор ускорения является второй производной вектора положения. a (t)  =  r ”(t)  =  x”(t) я + y”(t) j + z”(t) k

Пример

Найдите скорость и ускорение функции положения

р (т) = (2t – 2) i + (t ² + t + 1)j  

, когда т = -1. Затем нарисуйте векторы.

 

Решение 

вектор скорости равен

        v (t) =  r ‘(t)  =  2 i   + (2t + 1) j

Заглушка в -1 для t дает

v (-1)  =  2 i – j

Взять другую производную, чтобы найти ускорение.

a (t) = v ‘(t) = 2 j

Ниже фото векторов.

---

Движение снаряда

Так как векторы скорости и ускорения определяемые как первая и вторая производные вектора положения, мы можем вернуться к вектору положения путем интегрирования.

 

Пример

Вы оператор противоракетной обороны и заметили ракета направляется к вам на позицию

        р _е = 1000 i + 500 j

со скоростью

v _e   =  – 30 i + 3 j  

Вы можете запустить противоракету на 100 метров за второй. Под каким углом стрелять, чтобы перехватить ракета. Предположим, что гравитация является единственной силой, действующей на снаряды.

 

Решение

Вектор ускорения ракеты противника

a _e (t)  =  -9,8 j  

Интегрируя, получаем вектор скорости

v _e (t)  =  v ₁ i + (v ₂ – 9.8t) j

Установка t = 0 и использование начального скорость вражеской ракеты дает

v _e (t)  =  -30 i + (3 – 9,8t) j

Сейчас интегрируйте снова, чтобы найти функцию положения

r _e (t)  =  (-30t + r ₁ ) i + (-4,9t ² + 3t + r ₂ ) j

Снова установка t = 0 а также использование начальных условий дает

r _e (t) = (-30t + 1000) i + (-4,9 т ² + 3t + 500) j

Разгон вашей противоракеты также

        a _y (t) =  -9,8 j  

Интегрируя, получаем вектор скорости

v _y (t)  =  v ₁ i + (v ₂ – 9,8t) j

Поскольку модуль нашей скорости равен 100, мы можем скажем

        v _г (0) = 100 cos q i + 100 sin q j

Так что

v _y (t) = 100 cos q i + (100 sin q – 9.