Производная от суммы от: Производная суммы функций (u+v)’

Пусть у=ƒ(и) и u=φ(х), тогда у=ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема 20.5 . Если функция u=φ(х) имеет производную u’_х в точке х, а функция у=ƒ(u) имеет производную у’_u в соответствующей точке u=φ(х), то сложная функция у=ƒ(φ(х)) имеет производную у’_х в точке х, которая находится по формуле у’_х=у’_u-u’_х.

По условию

Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

∆у=у’_u•∆u+α*∆u,                                     (20.6)

где α→0 при ∆u→0.

Функция u=φ(х) имеет производную в точке х:

этому

∆u=u¢ _х •∆х+ß•∆х, где ß→0 при ∆х→0.

Подставив значение ∆u в равенство (20.6), получим

Δy=y¢ _u(u’_х•∆х+ß*∆х)+а(u’_х•∆х+ß•∆х),

т. е.

∆у=у’u•u’_х•∆х+у’_u•ß•∆х+u’_х•а•∆х+α•ß•∆х.

Разделив полученное равенство на ∆х и перейдя к пределу при ∆х→О, получим у’_х=у’_u*u’_х.

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножыть на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=ƒ(u), u=φ(ν), ν=g(х), то у’_х=у’_u•u’_ν•ν’_х. Пусть у=ƒ(х) и х=φ(у) — взаимно обратные функции.

Теорема 20.6 . Если функция у=ƒ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную ƒ'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=φ(у) также имеет производную φ'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством

Рассмотрим обратную функцию х=φ(у). Дадим аргументу у приращение ∆у¹ 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х¹ 0 в силу строгой монотонности функции у=ƒ(х). Поэтому можно записать

Если ∆у→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение ∆х→0. И так как

то из (20.7) следуют равенства

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

<< Пример 20.3

 Найти производную функции у=log₂³tg x⁴.

Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у=u³, где u=Iog₂z, где z=tgq, где q=х⁴. По правилу дифференцирования сложной функции (у’_х=y’_u•u’_z•z’_q•q’_x) получаем:

<< Пример 20.4

 Пользуясь   правилом   дифференцирования   обратной функции, найти производную у’_х для функции  

Решение: Обратная функция х=у³+1 имеет производную х’_y =3у².

Следовательно,

производная суммы – это… Что такое производная суммы?

производная суммы

мат. derivative of sum

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

• производная структура
• производная схема

Полезное

Смотреть что такое “производная суммы” в других словарях:

• Производная функции — У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной Производная …   Википедия

• Производная функция — Производная основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел… …   Википедия

• Инвариантная производная по времени — это производная по времени инерциальной системы. В самой инерциальной системе инвариантная производная по времени есть просто обычная производная по времени: . В неинерциальной системе инвариантная производная по времени состоит из суммы обычной… …   Википедия

• Слабая производная — «Слабая производная» (в математике)  обобщение понятия производной функции («Сильная производная») для функций, интегрируемых по Лебегу (то есть из пространства ), но не являющихся дифференцируемыми. Смотрите «распределение» для ещё более… …   Википедия

• Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Вектор-функция — Вектор функция  функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть: одна скалярная переменная  тогда значения вектор функции определяют в некоторую… …   Википедия

• Дифференцирование функции — [ derivation  ] — операция определения производной рассматриваемой функции. Например, производная линейной функции (bx + a )’ = b, то есть является константой; производная  степенной функции ( xn)’ =  axn 1  ( х>0), то есть… …   Экономико-математический словарь

• дифференцирование функции — Операция определения производной рассматриваемой функции. Например, производная линейной функции (bx+a)?=b, то есть является константой; производная степенной функции (xn)?=axn 1 (х>0), то есть дифференцирование степенной функции уменьшает ее… …   Справочник технического переводчика

• Исчисление — У этого термина существуют и другие значения, см. Исчисление (значения) …   Википедия

• МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и …   Энциклопедия Кольера

• ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… …   Энциклопедия Кольера

Производная от корня суммы квадратов. Решение квадратных уравнений через производные

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

Применяем правило IV , формулы 5 и 1 .

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое –4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) – f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f “(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f “(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)” = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой “у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т. е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u “v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

AC Производная функции в точке

Мгновенная скорость изменения функции – это идея, которая лежит в основе исчисления. Это обобщение понятия мгновенной скорости, которое измеряет, насколько быстро конкретная функция изменяется в данной точке. Если исходная функция представляет положение движущегося объекта, эта мгновенная скорость изменения и есть скорость объекта. В других контекстах мгновенная скорость изменения может измерять количество клеток, добавляемых к культуре бактерий в день, количество дополнительных галлонов бензина, потребляемых за счет увеличения скорости автомобиля на одну милю в час, или количество долларов, добавленных к выплате по ипотеке. за каждый процентный пункт увеличения процентной ставки.Мгновенную скорость изменения также можно интерпретировать геометрически на графике функции, и эта связь является фундаментальной для многих основных идей в исчислении.

Напомним, что для движущегося объекта с функцией положения \ (s \ text {,} \) его средняя скорость на временном интервале от \ (t = a \) до \ (t = a + h \) определяется как частное

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {s (a + h) -s (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

Аналогичным образом мы даем следующее определение для произвольной функции \ (y = f (x) \ text {.} \)

Определение 1.3.1.

Для функции \ (f \ text {,} \) средняя скорость изменения \ (f \) на интервале \ ([a, a + h] \) задается значением

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

Эквивалентно, если мы хотим рассмотреть среднюю скорость изменения \ (f \) на \ ([a, b] \ text {,} \), мы вычисляем

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, b]} = \ frac {f (b) -f (a)} {b-a} \ text {. } \ end {уравнение *}

Важно, чтобы вы понимали, как средняя скорость изменения \ (f \) на интервале связана с его графиком.

Предварительный просмотр 1.3.1.

Предположим, что \ (f \) – это функция, заданная приведенным ниже графиком, и что \ (a \) и \ (a + h \) – входные значения, отмеченные на оси \ (x \) -. Используйте график на рисунке 1.3.2, чтобы ответить на следующие вопросы.

1. Найдите и пометьте точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \) на графике.

2. Постройте прямоугольный треугольник, гипотенуза которого представляет собой отрезок прямой от \ ((a, f (a)) \) до \ ((a + h, f (a + h)) \ text {.} \) Каковы длины соответствующих катетов этого треугольника?

3. Каков наклон линии, соединяющей точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {?} \)

4. Напишите содержательное предложение, объясняющее, как связаны средняя скорость изменения функции на заданном интервале и наклон соответствующей линии.

Подраздел 1.3.1 Производная функции в точке

Так же, как мы определили мгновенную скорость в терминах средней скорости, теперь мы определяем мгновенную скорость изменения функции в точке в терминах средней скорости изменения функции \ (f \) в связанных интервалах.Эта мгновенная скорость изменения \ (f \) в \ (a \) называется «производной от \ (f \) в \ (a \ text {,} \)» и обозначается \ (f ‘ (а) \ text {.} \)

Определение 1.3.3.

Пусть \ (f \) будет функцией, а \ (x = a \) значением в области определения функции. Мы определяем производную от \ (f \) относительно \ (x \), вычисленную в \ (x = a \) , обозначенную \ (f ‘(a) \ text {,} \) по формуле

\ begin {уравнение *} f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {,} \ end {уравнение *}

при условии, что этот предел существует.

Вслух мы читаем символ \ (f ‘(a) \) как «\ (f \) – простое число в \ (a \)» или «производная от \ (f \), вычисленная в \ (x = a \ text {.} \) »Большая часть следующих нескольких глав будет посвящена пониманию, вычислению, применению и интерпретации производных. А пока отметим следующие важные вещи.

Сначала мы рассматриваем производную при заданном значении как наклон определенной линии.

Когда мы вычисляем мгновенную скорость изменения, мы позволяем интервалу \ ([a, a + h] \) сокращаться как \ (h \ to 0 \ text {.} \) Мы можем рассматривать одну конечную точку интервала как «скользящую по направлению» к другой. В частности, при условии, что \ (f \) имеет производную в \ ((a, f (a)) \ text {,} \), точка \ ((a + h, f (a + h)) \) будет подход \ ((a, f (a)) \) как \ (h \ to 0 \ text {.} \) Поскольку процесс принятия ограничения является динамическим, может быть полезно использовать вычислительные технологии для его визуализации. . Один из вариантов – это Java-апплет, в котором пользователь может управлять движущейся точкой. Чтобы получить полезную коллекцию примеров, рассмотрите работу Дэвида Остина из Государственного университета Гранд-Вэлли и этот особенно важный пример.Для апплетов, которые были созданы в Geogebra ¹ , см. Библиотеку Марка Рено через Университет Шиппенсбурга, этот пример особенно подходит для нашей работы в этом разделе.

На рис. 1.3.5 показана последовательность фигур с несколькими разными линиями, проходящими через точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {,} \ ), генерируемые разными значениями \ (h \ text {.} \) Эти линии (показаны на первых трех рисунках пурпурным цветом) часто называют секущими линиями кривой \ (y = f (x) \ text {.} \) Секущая линия кривой – это просто линия, проходящая через две точки на кривой. Для каждой такой линии наклон секущей линии равен \ (m = \ frac {f (a + h) – f (a)} {h} \ text {,} \), где значение \ (h \) зависит от расположения выбранной нами точки. На диаграмме видно, как при \ (h \ to 0 \ text {,} \) секущие линии начинают приближаться к единственной линии, проходящей через точку \ ((a, f (a)) \ text {.} \) Если предел наклона секущих линий существует, мы говорим, что результирующее значение – это наклон касательной линии к кривой. Эта касательная линия (показанная на крайнем правом рисунке зеленым цветом) к графику \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) имеет наклон \ (m = f ‘(а) \ text {.} \)

Если касательная линия в \ (x = a \) существует, график of \ (f \) выглядит как прямая линия, если смотреть с близкого расстояния в \ ((a, f (a)) \ text {.} \) На рис. 1.3.6 мы объединяем четыре графика на рис. 1.3.5 в один слева и увеличиваем масштаб прямоугольника с центром в \ ((a, f (a)) \) справа. Обратите внимание на то, как касательная линия расположена относительно кривой \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) и насколько она похожа на кривую рядом с \ (x = a \ text {. } \)

Следующие упражнения помогут вам изучить множество ключевых идей, связанных с производными финансовыми инструментами.

Мероприятие 1.3.2.

Рассмотрим функцию \ (f \), формула которой имеет вид \ (\ displaystyle f (x) = 3–2x \ text {.} \)

1. Какой знакомый тип функции – \ (f \ text {?} \) Что вы можете сказать о наклоне \ (f \) при каждом значении \ (x \ text {?} \)
2. Вычислить среднюю скорость изменения \ (f \) на интервалах \ ([1,4] \ text {,} \) \ ([3,7] \ text {,} \) и \ ([5, 5 + h] \ text {;} \) максимально упростите каждый результат.Что вы заметили в этих количествах?
3. Используйте определение предела производной, чтобы вычислить точную мгновенную скорость изменения \ (f \) относительно \ (x \) при значении \ (a = 1 \ text {.} \), То есть вычислить \ (f ‘(1) \) с использованием определения предела. Показать свою работу. Ваш результат удивителен?
4. Без дополнительных вычислений, каковы значения \ (f ‘(2) \ text {,} \) \ (f’ (\ pi) \ text {,} \) и \ (f ‘(- \ sqrt {2}) \ text {?} \) Почему?

Мероприятие 1.3.3.2 + 16t + 32 \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на каждый из следующих вопросов.

1. Нарисуйте точный помеченный график \ (s \) по осям, представленным на рисунке 1.3.10. Вы должны уметь делать это без использования вычислительной техники.

   Рисунок 1.3.10. Оси для построения \ (y = s (t) \) в упражнении 1.3.3.
2. Вычислите среднюю скорость изменения \ (s \) на временном интервале \ ([1,2] \ text {.} \) Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
3. Используйте определение предела, чтобы вычислить мгновенную скорость изменения \ (s \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 1 \ text {.} \). Покажите свой используйте правильные обозначения, включите в свой ответ единицы измерения и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
4. На своем графике в (a) нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (s \) на \ ([1,2] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенное скорость изменения \ (s \) в момент \ (a = 1 \ text {.{t / 5} \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на следующие вопросы.

   1. Нарисуйте точный график \ (P \) для значений от \ (t = 0 \) до \ (t = 5 \) по осям, представленным на рисунке 1.3.11. Тщательно промаркируйте шкалу на осях.

      Рисунок 1.3.11. Оси для построения \ (y = P (t) \) в упражнении 1.3.4.
   2. Вычислите среднюю скорость изменения \ (P \) между 2030 и 2050 годами. Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение (на повседневном языке) найденного вами значения.
   3. Используйте определение предела, чтобы написать выражение для мгновенной скорости изменения \ (P \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \ ) Объясните, почему этот предел трудно точно оценить.
   4. Оцените предел в (c) для мгновенной скорости изменения \ (P \) в момент \ (a = 2 \), используя несколько небольших значений \ (h \). Как только вы определили точную оценку \ (P ‘(2) \ text {,} \), включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение (используя повседневный язык), чтобы объяснить значение найденного вами значения.
   5. На приведенном выше графике нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (P \) на \ ([2,4] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет собой мгновенную скорость изменения. \ (P \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \)
   6. В тщательно сформулированном предложении опишите поведение \ (P ‘(a) \) при увеличении значения \ (a \). Что это отражается на поведении данной функции \ (P \ text {?} \)

   Производная | Encyclopedia.com

   История и полезность

   Основная концепция

   Конкретный пример

   Ресурсы

   В математике производная – это точная скорость, с которой одна величина изменяется относительно другой.Греческий символ дельта (Δ) обычно используется для обозначения

   Таблица 1. Производные . (Thomson Gale.)
   Аппроксимация (с использованием производных) отрезков прямых
   x 1	x 2	2	x 2- x 1	t 2- t 1	( x 2- / ( т 2- т 1 )
   0	8	0	0.707106781	8	0,707106781	11,3137085
   1	7	0,25	0,661437828	6	0,411437828	+14,58300524
   3	5	0,433012702	0,55 94	2	0.126004292	15.87247514

   изменение при использовании производной. Геометрически производная – это наклон кривой в точке на кривой, определяемый как наклон касательной к кривой в той же точке.Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Этот процесс является центральным в области математики, называемой дифференциальным исчислением. Это также одно из двух ключевых понятий исчисления, второе – интеграл. Интегральное исчисление (или интегрирование) и дифференциальное исчисление основаны на фундаментальной теореме исчисления.

   Исчисление было независимо разработано английским физиком и математиком сэром Исааком Ньютоном (1642–1727) и немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646–1716) примерно в середине семнадцатого века.Ньютон был не только математиком, но и физиком. Он обнаружил, что математики его времени было недостаточно для решения интересующих его задач, поэтому он изобрел новую математику. Примерно в то же время другой математик, Лейбниц, развил те же идеи, что и Ньютон. Ньютон интересовался вычислением скорости объекта в любой момент. Например, если человек сидит под яблоней, как гласит легенда, Ньютон, и яблоко падает и ударяется о голову человека, этот человек может спросить, с какой скоростью двигалось яблоко непосредственно перед ударом.Что еще более важно, многие современные ученые заинтересованы в вычислении скорости, с которой положение спутника изменяется во времени (его скорость). Большинство инвесторов интересуются тем, как стоимость акции изменяется со временем (скорость ее роста). Фактически, многие из сегодняшних важных проблем в области физики, химии, инженерии, экономики, биологии и других наук связаны с нахождением скорости, с которой одна величина изменяется по отношению к другой, то есть они связаны с нахождением производной.

   Производную часто называют мгновенной скоростью изменения. Скорость изменения – это просто сравнение изменения одной величины с одновременным изменением второй величины. Например, сумма денег, которую работодатель должен работнику, по сравнению с продолжительностью времени, в течение которого работник работал за деньги, определяет ставку оплаты труда. Сравнение производится в виде отношения, делящего изменение первой величины на изменение второй величины. Когда оба изменения происходят в течение бесконечно короткого периода времени (в один и тот же момент), скорость называется мгновенной, а затем отношение называется производной.

   Чтобы лучше понять, что подразумевается под мгновенной скоростью изменения, рассмотрим график прямой линии (рис. 1).

   Наклон линии определяется как отношение подъема (вертикальное изменение между любыми двумя точками) к разбегу (одновременное горизонтальное изменение между теми же двумя точками). Это означает, что наклон прямой линии – это скорость, а именно скорость подъема линии по отношению к горизонтальной оси. Это самый простой тип скорости, потому что он постоянен, одинаков для любых двух точек, даже для двух точек, которые расположены произвольно близко друг к другу.Грубо говоря, произвольно близко друг к другу означает, что их можно сделать ближе, чем любое положительное разделение. Таким образом, производная прямой линии одинакова для каждой точки на прямой и равна ее наклону.

   Определить производную кривой несколько сложнее, потому что ее мгновенная скорость подъема изменяется от точки к точке (рис. 2).

   Тем не менее, можно оценить скорость подъема кривой в любой конкретной точке, заметив, что любой участок кривой можно аппроксимировать, заменив его прямой линией.Поскольку кто-то знает, как определить наклон прямой линии, аппроксимация скорости подъема кривой в любой точке может быть сделана путем определения наклона аппроксимирующего отрезка линии. Чем короче становится аппроксимирующий отрезок линии, тем точнее становится оценка. По мере того, как длина аппроксимирующего отрезка прямой становится произвольно короткой, то же самое происходит с его подъемом и пробегом. Так же, как в случае

   прямой линии, произвольно короткие подъем и пробег могут быть короче любой заданной положительной пары расстояний.Таким образом, их отношение представляет собой мгновенную скорость подъема кривой в точке или производной. В этом случае производная различна в каждой точке и равна наклону касательной в каждой точке. (Касательная – это прямая линия, которая пересекает кривую в одной точке.)

   Довольно простой и не совсем непрактичный пример – это падающее яблоко. Наблюдение говорит о том, что начальная скорость яблока (момент до того, как оно упало с дерева) равна нулю, и что оно быстро ускоряется.В результате многократных измерений с различными падающими объектами (без учета сопротивления ветра) ученые обнаружили, что расстояние, на которое объект падает до Земли (назовите его S) за определенный период времени (назовите его T), определяется следующим уравнением (рис. ):

   (1) S = 16 T ²

   Предположим, кого-то интересует скорость яблока после того, как оно упало на 4 фута (1,2 м). В первом приближении соедините точки, где Sl ₁ = 0 и Sl ₂ = 8 (рисунок 3 и линия 1 таблицы 1).

   Используя уравнение (1), найдите соответствующие моменты времени и вычислите наклон аппроксимирующего отрезка прямой (используйте формулу на рисунке 1). Повторите этот процесс несколько раз, каждый раз позволяя двум точкам сближаться. Если имеется калькулятор или компьютерная таблица, это довольно просто. Таблица 1 показывает результат для нескольких аппроксимирующих отрезков прямой. Сегменты линии, соответствующие первым двум записям в таблице, показаны на рисунке 3. Глядя на рисунок 3, становится ясно, что по мере того, как аппроксимирующая линия становится короче, ее наклон более точно приближает скорость подъема кривой.

   КЛЮЧЕВЫЕ УСЛОВИЯ

   Бесконечно малое – Приближение к нулю по длине. Когда расстояние между двумя точками приближается к нулю, но никогда не достигает его, говорят, что расстояние бесконечно мало.

   Мгновенно – Происходит в одно мгновение или бесконечно короткий период времени.

   Скорость – Скорость – это сравнение изменения одной величины с одновременным изменением другой, при этом сравнение производится в форме отношения.

   Соотношение – Дробь, образованная при сравнении двух величин путем деления, то есть при делении одного количества на другое.

   Наклон – Наклон – это отношение вертикального расстояния, разделяющего любые две точки на линии, к горизонтальному расстоянию, разделяющему те же две точки.

   КНИГИ

   Бертон, Дэвид М. История математики: введение . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, 2007.

   Даунинг, Дуглас. Простой способ исчисления .4-е изд. Hauppauge, New York: Barron’s Educational Services, Inc., 2006.

   Данхэм, Уильям. Галерея исчисления: шедевры от Ньютона до Лебега . Princeton, NJ: Princeton University Press, 2005.

   J. R. Maddocks

   Производная суммы функций

   Принято, что производная функции, которая является суммой двух других функций, равна сумме их производных. Это можно доказать, используя производную по определению или метод первого принципа.

   Рассмотрим функцию вида $$ y = f \ left (x \ right) + g \ left (x \ right) $$.

   Сначала мы берем приращение или небольшое изменение функции.
   \ [\ begin {в собранном виде} y + \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) + g \ left ({x + \ Delta x} \ right) \\ \ Rightarrow \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) + g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – y \\ \ end {собрано} \]

   Подставляя значение функции $$ y = f \ left (x \ right) + g \ left (x \ right) $$ в приведенное выше уравнение, мы получаем
   \ [\ begin {gather} \ Rightarrow \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) + g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right) – g \ left (x \ right) \\ \ Стрелка вправо \ Delta y = f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right) + g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ вправо) \\ \ end {собрано} \]

   Разделив обе стороны на $$ \ Delta x $$, мы получим
   \ [\ begin {gather} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right) + g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} \\ \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)}} {{ \ Delta x}} + \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} \\ \ end {собрано} \ ]

   Принимая предел обеих сторон как $$ \ Delta x \ to 0 $$, мы получаем
   \ [\ begin {gather} \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ Дельта y}} {{\ Delta x}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ left [{\ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} + \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)}} {{ \ Delta x}}} \ right] \\ \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} + \ mathop { \ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} \ \ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} + \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right ) – g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}} \\ \ end {gather} \]

   По определению производной
   \ [\ frac {{dy}} {{dx}} = f ’\ left (x \ right) + g’ \ left (x \ right) \]

   Это показывает, что производная суммы двух заданных функций равна сумме их производных.4. Практические инструкции и шаги – стенограмма видео и урока

   Использование альтернативного метода

   Ради удовольствия, давайте проверим этот результат, используя определение предела производной, которое вы можете увидеть здесь, на экране:

   У нас уже есть f ( x ), поэтому легко получить f ( x + h ). Везде, где есть x в f ( x ), замените x на x + h .Следовательно, f ( x ) = x 4 становится f ( x + h ) = ( x + h ) 4, как вы можете видеть:

   Из определения предела давайте построим, а затем упростим f ( x + h ) – f ( x ), разделенное на h , например:

   В числителе ( x + h ) 4, которые можно расширить.Один из способов расширить это – умножить ( x + h ) 2 на ( x + h ) 2, где ( x + h ) 2 будет x 2 + 2 x h + h 2. Соблюдение общих терминов:

   ( x + h ) 4 = x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4.

   Подставляя, мы получаем следующее, которое вы можете видеть здесь:

   Затем x 4 отменяется с помощью – x 4, оставляя следующее упрощенное выражение:

   Мы можем разделить каждый член числителя на h в знаменателе.Некоторые из условий h также отменяются, как вы можете видеть здесь:

   А теперь, еще раз упрощая, получаем:

   Возьмите предел, поскольку h стремится к нулю, заменив 0 на h в правой части, а затем упростив:

   Итак, как мы видим, 4 x 3 согласуется с нашим предыдущим результатом.

   Применение и пример

   Φ – это количество мощности, излучаемой на единицу площади (ватт на метр2) идеальным излучающим объектом. Φ зависит от температуры объекта. Очень хорошую оценку для Φ дает уравнение Стефана-Больцмана, которое гласит:

   Звучит немного запутанно, правда? Давайте разберемся с этим. σ – постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,67 * 10-8 Вт / (метр2 К). Температура T измеряется в Кельвинах.Это уравнение говорит, что если мы знаем температуру объекта, мы можем рассчитать, сколько энергии излучается на квадратный метр.

   Физика может показаться сложной, но уравнение так же просто, как f ( x ) = x 4. Вы понимаете, как Φ играет роль f ( x )? А T наша независимая переменная?

   Для дифференцирования этой функции используются те же шаги, что и для дифференцирования f ( x ) = x 4. Между прочим, мы могли бы захотеть дифференцировать это научное уравнение, если бы мы хотели знать, происходит ли изменение температуры, когда все уже горячий, имеет большее влияние, чем когда все холодно.На самом деле они это делают! Но все, что мы здесь делаем, это попрактикуемся в поиске производной.

   Шаг 1. Сосредоточьтесь на экспоненте.

   Показатель степени равен 4.

   Шаг 2: Сделайте копию показателя степени и поместите ее впереди.

   Коэффициент σ становится равным 4σ.

   Шаг 3: Вычтите 1 из экспоненты.

   4 – 1 = 3.

   Шаг 4: Очистите выражение.

   Средняя температура Земли составляет 288 К.Таким образом, Φ = 5,67 * 10-8 * 2884 390 Вт / м2. Если бы мы могли собирать эту энергию в единицу времени и преобразовывать ее в электричество, то квадрат размером один метр на один метр мог бы питать почти четыре 100-ваттные лампочки. Это дает нам представление о том, сколько энергии излучает горячая Земля обратно в атмосферу.

   Резюме урока

   Хорошо, давайте сделаем небольшой обзор того, что мы узнали. На этом уроке мы узнали, что нахождение производной с использованием правила мощности означает для x n , производная равна n x n -1, и что на словах это означает n перемещается перед x , а показатель степени уменьшается на 1 и становится n – 1.И, что более важно, мы узнали, что для решения этой проблемы нахождения производной x 4 нам нужно выполнить всего четыре шага:

   • Шаг 1: Сосредоточьтесь на экспоненте.
   • Шаг 2: Сделайте копию экспоненты и поместите ее впереди.
   • Шаг 3: Вычтите 1 из экспоненты.
   • Шаг 4. Очистите выражение.

   Это действительно так просто!

   Что означает производная первого порядка? Что ж, это говорит нам кое-что о том, где находится функция…

   Краткий обзор

   • Первая производная в первую очередь говорит нам о направлении движения функции. То есть он сообщает нам, увеличивается или уменьшается функция.
   • Первую производную можно интерпретировать как мгновенную скорость изменения.
   • Первую производную также можно интерпретировать как наклон касательной.

   Производная как наклон касательной линии

   Напомним, что определение производной –

   $$ \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {(x + h) – x}.$$

   Без ограничения эта дробь вычисляет наклон линии, соединяющей две точки функции (см. Левый график ниже).

   Единственное, что делает лимит, – это перемещать две точки ближе друг к другу, пока они не окажутся точно друг над другом. Но фундаментальный расчет – это все же уклон. Таким образом, конечный результат – это наклон линии, касательной к кривой в точке $$ (x, f (x)) $$.2-8 = 7 $$

   Отвечать

   Касательная линия в $$ x = 1 $$ имеет наклон $$ m = 7 $$.

   Увеличение и уменьшение

   Знак производной в определенной точке скажет нам, увеличивается или уменьшается функция вблизи этой точки. Это легко понять, если мы подумаем о производной как о наклоне касательной.Как показано на двух графиках ниже, когда наклон касательной линии положительный, функция будет увеличиваться в этой точке. Точно так же, когда наклон касательной линии отрицательный, функция будет уменьшаться.

   Мы всегда читаем графики слева направо. Так сказать, функция увеличивается, это означает, что, когда мы смотрим слева направо, значения функции становятся больше — выше по оси $$ y $$ -.

   Точно так же значения $$ y $$ – убывающей функции становятся меньше, если смотреть слева направо.2 + х – 12) = 6 (х + 4) (х-3) $$

   Шаг 2

   Нарисуйте быстрый график производной.

   Шаг 3

   Интерпретируйте график.

   Мы знаем, что когда производная положительна, функция возрастает. График выше показывает, что производная положительна (т.е.е., над осью $$ x $$ -), когда $$ x и $$ x> 3 $$.

   Мы также можем видеть, что производная отрицательна (ниже оси $$ x $$ -), когда $$ – 4 Отвечать

   Функция возрастает на интервалах от $$ (- \ infty, -4) \ cup (3, \ infty) $$. Точно так же функция убывает в интервале $$ (- 4,3) $$.

   График функции показан ниже для справки.

   Производный инструмент как скорость изменения

   Предположим, что $$ D (t) $$ представляет собой расстояние бегуна от стартовой линии. Тогда производная $$ D (t) $$ определяется выражением

   $$ D ‘(t) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {D (t + h) – D (t)} {(t + h) -t} $$

   Без ограничения дробь представляет

   $$ \ begin {align *} \ frac {D (t + h) – D (t)} {(t + h) -t} & = \ frac {\ mbox {Расстояние между двумя временами}} {\ mbox {Прошедшее время}} \ \ [6pt] & = \ frac {\ mbox {Изменение расстояния}} {\ mbox {Изменение во времени}} \\ [6pt] & = \ mbox {Средняя скорость изменения расстояния во времени} \\ [6pt] & = \ mbox {Средняя скорость} \ end {выровнять *} $$

   Когда мы применяем ограничение, прошедшее время приближается к нулю.Таким образом, значение предела – это скорость в конкретный момент времени. Это все еще скорость изменения, но теперь она происходит мгновенно.

   Пример 3

   Предположим, что расстояние бегуна от стартовой линии можно описать функцией $$ D (t) = 10 \ sqrt {t} + 5 $$ для всех значений $$ t \ in (0,16) $$, где $ $ t $$ в секундах, а расстояние в метрах. Какова скорость бегуна при $$ t = 9 $$?

   Шаг 1

   Найдите первую производную.{-1/2} = \ frac 5 {\ sqrt t} $$

   Шаг 2

   Оцените $$ D ‘(9) $$.

   $$ D ‘(9) = \ frac 5 {\ sqrt 9} = \ frac 5 3 $$

   Шаг 3

   Интерпретируйте числовое значение.

   Поскольку производная положительна, мы знаем, что функция возрастает.Это означает, что расстояние бегуна от стартовой линии увеличивается, поэтому бегун удаляется от стартовой линии.

   Значение производной говорит нам, насколько быстро бегун движется. Знак производной говорит нам, в каком направлении движется бегун.

   Отвечать

   Через 9 секунд бегун удаляется от линии старта со скоростью $$ \ frac 5 3 \ приблизительно 1.{th} $$ час работы. Что означает уравнение $$ B ‘(4) = 25 $$ с точки зрения продаж и времени?

   Шаг 1

   Определите единицы производной.

   $$ B ‘(t) = \ frac {dB} {dt} = \ frac {\ mbox {Изменение количества книг}} {\ mbox {Изменение во времени}} = \ frac {\ mbox {Количество книг}} {\ mbox {часы}} $$

   Единицами производного финансового инструмента являются: книги, проданные за час.

   Отвечать

   $$ B ‘(4) = 25 $$ означает, что в течение 4-го рабочего часа книги продавались со скоростью 25 книг в час.

   Практические задачи

   Задача 1

   Предположим, что $$ f (x) = \ sin x $$.Найдите наклон касательной в точке $$ x = \ frac \ pi 3 $$

   Показать ответ Шаг 1

   Найдите первую производную.

   Шаг 2

   Вычислить $$ f ‘\ left (\ frac \ pi 3 \ right) $$.

   Шаг 2 Ответ

   $$ f ‘\ left (\ frac \ pi 3 \ right) = \ cos \ frac \ pi 3 = \ frac 1 2 $$

   Задача 2

   Предположим, что $$ f (x) = 5e ^ {3x} $$. 2 – 6x + 3 $$.Найдите интервалы, в течение которых $$ f $$ увеличивается, и интервалы, в течение которых он уменьшается.

   Показать ответ Шаг 1

   Найдите первую производную.

   Шаг 1 Ответ

   $$ f ‘(x) = \ frac 1 2 x – 6 $$

   Шаг 2

   Определите, где $$ f ‘(x)> 0 $$.

   Шаг 2 Ответ

   $$ \ begin {align *} f ‘(x) &> 0 \\ [6pt] \ frac 1 2 x – 6 &> 0 \\ [6pt] \ frac 1 2 x &> 6 \\ [6pt] x &> 12 \ end {выровнять *} $$

   Поскольку производная линейна и положительна, когда $$ x> 12 $$, мы знаем, что производная будет отрицательной, когда $$ x. 2 (4x-5) \ end {выровнять *} $$

   Шаг 3

   Изучите график $$ f ‘(x) $$.

   Шаг 3 Ответ

   На графике видно, что производная отрицательна (под осью $$ x $$), когда $$ x. Мы также можем видеть, что производная положительна (над осью $$ x $$ -), когда $$ \ frac 5 4 и $$ x> 2 $$.

   Отвечать Показать ответ

   Функция убывает в интервале $$ (- \ infty, 5/4) $$. 2 $$ представляет собой высоту самолета (в тысячах футов) после $$ t $$ часов полета.Найдите $$ A ‘(3) $$ и интерпретируйте его контекстно.

   Показать ответ Шаг 2 Шаг 2 Ответ

   $$ А ‘(3) = 8-4 (3) = 8-12 = -4 $$

   Шаг 3

   Определите единицы производной.

   Шаг 3 Ответ

   $$ \ begin {align *} A ‘(t) & = \ frac {dA} {dt} \\ [6pt] & = \ frac {\ mbox {Изменение высоты}} {\ mbox {Изменение во времени}} \\ [6pt] & = \ frac {\ mbox {Изменение в тысячах футов}} {\ mbox {Изменение в часах}} \\ [6pt] & \ Rightarrow \ mbox {тысячи футов в час} \ end {выровнять *} $$

   Шаг 4

   Расшифровывает знак производной.

   Шаг 4 Ответ

   Поскольку производная отрицательна, мы знаем, что функция (высота) убывает. Значит, самолет должен снижаться.

   Отвечать Показать ответ

   После 3 часов полета самолет снижается со скоростью 4000 футов в час.2 + 13x – 12 $$ представляет собой прибыль, полученную конкретной компанией (в тысячах долларов) от продажи $$ x $$ тонн товаров. Найдите $$ P ‘(15) $$ и интерпретируйте его контекстно.

   Показать ответ Шаг 2 Шаг 2 Ответ

   $$ П ‘(15) = -2 (15) + 13 = 13 – 30 = -17 $$

   Шаг 3

   Определите единицы производной.

   Шаг 3 Ответ

   $$ \ begin {align *} P ‘(x) & = \ frac {dP} {dx} \\ [6pt] & = \ frac {\ mbox {Изменение прибыли}} {\ mbox {Изменение объема продаж}} \\ [6pt] & = \ frac {\ mbox {тысячи долларов}} {\ mbox {тонны товаров}} \\ [6pt] & = \ mbox {тысяча долларов за тонну товара} \ end {выровнять *} $$

   Шаг 4

   Расшифровывает знак производной.

   Шаг 4 Ответ

   Поскольку производная отрицательна, функция (прибыль) убывает.

   Отвечать Показать ответ

   При продажах на уровне 15 тонн прибыль уменьшается на 17 тысяч долларов за тонну.То есть, если бы продажи увеличились, можно было бы ожидать, что прибыль упадет с такой скоростью.

   Примечание: в бизнесе больше продаж не обязательно означает большую прибыль. Если затраты слишком высоки, производство большего количества товаров для продажи может стоить больше, чем деньги, полученные от продажи товаров.

   Задача 7

   Предположим, что $$ B (t) $$ представляет собой количество сахара в кровотоке человека (в миллиграммах сахара на децилитр крови) через $$ t $$ минут после еды.Объясните контекстуально, что означает $$ B ‘(30) = -8 $$.

   Показать ответ Шаг 1

   Определите единицы производной.

   Шаг 1 Ответ

   $$ \ begin {align *} B ‘(t) & = \ frac {dB} {dt} \\ [6pt] & = \ frac {\ mbox {Изменение уровня сахара в крови}} {\ mbox {Изменение во времени}} \\ [6pt] & = \ frac {\ mbox {Изменение в миллиграммах на децилитр}} {\ mbox {Изменение в минутах}} \\ [6pt] & = \ mbox {миллиграммы на децилитр в минуту} \ end {выровнять *} $$

   Шаг 2

   Расшифровывает знак производной.

   Шаг 2 Ответ

   Поскольку производная отрицательна, функция (уровень сахара в крови) уменьшается.

   Отвечать Показать ответ

   Через 30 минут уровень сахара в крови снижается со скоростью 8 миллиграммов на децилитр в минуту.

   Задача 8

   Предположим, что $$ L (t) $$ представляет собой длину ногтя (в мм) через $$ t $$ дней после того, как он был обрезан.Объясните контекстуально, что означает $$ L ‘(6)> 0,08 $$.

   Показать ответ Шаг 1

   Укажите единицы производного финансового инструмента.

   Шаг 1 Ответ

   $$ \ begin {align *} L ‘(t) & = \ frac {dL} {dt} \\ [6pt] & = \ frac {\ mbox {Изменение длины}} {\ mbox {Изменение во времени}} \\ [6pt] & = \ frac {\ mbox {Изменение в мм}} {\ mbox {Изменение в днях}} \\ [6pt] & = \ mbox {миллиметры в день} \ end {выровнять *} $$

   Шаг 2

   Расшифровывает знак производной.

   Шаг 2 Ответ

   Поскольку производная положительна, функция (длина) возрастает.

   Отвечать Показать ответ

   Через шесть дней после стрижки ноготь растет быстрее нуля.08 миллиметров в день.

   Задача 9

   Предположим, что $$ D (t) $$ представляет собой расстояние, на которое конкретный человек находится от своего дома в $$ t $$ минут после 8 утра.Напишите уравнение, которое означает «В 8:30 этот человек приближался к их дому со скоростью 400 футов в минуту».

   Показать ответ Шаг 1

   Определите значение $$ t $$ в измеряемой точке.

   Шаг 1 Ответ

   Поскольку в $$ t $$ время измеряется в минутах с 8 утра, интересующее нас время составляет $$ t = 30 $$.

   Шаг 2

   Определите значение производной.

   Шаг 2 Ответ

   Поскольку расстояние до человека изменяется со скоростью 400 футов в минуту, значение производной равно 400.

   Шаг 3

   Определите знак производной.

   Шаг 3 Ответ

   Поскольку расстояние от дома уменьшается, производная должна быть отрицательной.

   Отвечать Показать ответ

   $$ \ Displaystyle D ‘(30) = -400 $$

   Задача 10

   Предположим, что $$ V (t) $$ представляет собой напряжение в конкретной электрической цепи через $$ t $$ секунд после включения цепи.Напишите неравенство, означающее: «Через шесть секунд после включения цепи напряжение увеличивалось со скоростью 0,04 вольта в секунду».

   Показать ответ Шаг 1

   Определите значение $$ t $$ в измеряемый момент времени.

   Шаг 1 Ответ

   Поскольку мы измеряем напряжение через шесть секунд после включения цепи, $$ t = 6 $$.

   Шаг 2

   Определите значение производной.

   Шаг 2 Ответ

   Поскольку напряжение увеличивается со скоростью 0.04 вольта в секунду, значение производной 0,04.

   Шаг 3

   Определите знак производной.

   Шаг 3 Ответ

   Поскольку напряжение увеличивается, производная положительна.

   Ошибка: Пожалуйста, нажмите «Не робот», затем повторите попытку.

   Обзор производных финансовых инструментов

   – Расчет 2

   Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

   Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

   Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

   Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

   Вы должны включить следующее:

   Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему утверждению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

   Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

   Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
   101 S. Hanley Rd, Suite 300
   St. Louis, MO 63105
   

   Или заполните форму ниже:

   12 CFR § 628.34 – Контракты с внебиржевыми производными финансовыми инструментами. | CFR | Закон США

   § 628.34 Внебиржевые деривативные контракты.

   (а) Сумма риска –

   (1) Контракт на один внебиржевой дериватив.За исключением изменений, внесенных в параграф (b) этого раздела, сумма риска для одного внебиржевого производного контракта, который не является предметом квалифицируемого генерального соглашения о взаимозачете, равна сумме текущего кредитного риска учреждения Системы и потенциального будущего кредитного риска (PFE ) по внебиржевому деривативу.

   (i) Текущий кредитный риск. Текущий кредитный риск для одного внебиржевого деривативного контракта больше текущей стоимости внебиржевого деривативного контракта или 0.

   (ii) PFE.

   (A) PFE для одного внебиржевого производного контракта, включая внебиржевой производный контракт с отрицательной оценкой справедливой стоимости, рассчитывается путем умножения условной основной суммы внебиржевого производного контракта на соответствующий коэффициент пересчета в таблице 1 на § 628.34.

   (B) Для целей расчета либо PFE согласно этому пункту, либо валового PFE согласно пункту (a) (2) данного раздела для валютных контрактов и других подобных договоров, в которых условная основная сумма эквивалентна денежным потокам, условная основная сумма – это чистые поступления каждой стороне, подлежащей выплате на каждую дату валютирования в каждой валюте.

   (C) Для внебиржевого производного контракта, который не попадает в одну из категорий, указанных в Таблице 1 – § 628.34, PFE должен быть рассчитан с использованием соответствующего «другого» коэффициента преобразования.

   (D) Учреждение системы должно использовать эффективную номинальную основную сумму внебиржевого деривативного контракта (то есть кажущуюся или заявленную номинальную основную сумму, умноженную на любой множитель внебиржевого деривативного контракта), а не явную или заявленную номинальную основную сумму при расчете PFE. .

   (E) PFE поставщика защиты кредитного производного инструмента ограничен чистой приведенной стоимостью суммы невыплаченных премий.

   Таблица 1 – § 628.34 – Матрица коэффициентов преобразования для деривативных контрактов

   Остаток погашения	Процентная ставка	Иностранный обмен ставка и золото	Кредит (эталонный актив инвестиционного уровня)	Кредит (эталонный актив не инвестиционного уровня)	Собственный капитал	Драгоценный металлов (кроме золота)	Другое
   Один (1) год или меньше	0.00	0,01	0,05	0,10	0,06	0,07	0,10
   Более одного (1) года и менее или равного пяти (5) годам	0,005	0,05	0,05	0,10	0,08	0,07	0,12
   Более пяти (5) лет	0,015	0,075	0,05	0,10	0,10	0.08	0,15

   (2) Множественные внебиржевые контракты с производными финансовыми инструментами подлежат квалифицирующему генеральному соглашению о взаимозачете. За исключением изменений, внесенных в параграф (b) данного раздела, сумма риска для нескольких внебиржевых производных финансовых инструментов, подпадающих под действие квалифицируемого генерального соглашения о взаимозачете, равна сумме чистого текущего кредитного риска и скорректированной суммы сумм PFE для всех внебиржевых производных финансовых инструментов. контракты, подпадающие под действие соответствующего генерального соглашения о взаимозачете.

   (i) Чистый текущий кредитный риск.Чистый текущий кредитный риск – это наибольшая из чистой суммы всех положительных и отрицательных значений текущей справедливой стоимости отдельных внебиржевых контрактов с производными финансовыми инструментами, подпадающих под действие соответствующего генерального соглашения о взаимозачете, или 0.

   (ii) Скорректированная сумма сумм PFE. Скорректированная сумма сумм PFE, Anet, рассчитывается как:

   Анет = (0,4 × Агросс) + (0,6 × НГР × Агросс)

   (b) Признание снижения кредитного риска по обеспеченным внебиржевым производным финансовым контрактам.

   (1) Учреждение Системы может признать преимущества снижения кредитного риска от финансового обеспечения, которое обеспечивает внебиржевой производный контракт или несколько внебиржевых производных финансовых контрактов в соответствии с квалифицируемым генеральным соглашением о взаимозачете (набор неттинга), используя простой подход, описанный в § 628.37 (б).

   (2) В качестве альтернативы, если финансовое обеспечение, обеспечивающее контракт или набор взаимозачетов, описанных в параграфе (b) (1) данного раздела, оценивается по справедливой стоимости на ежедневной основе и с учетом требований ежедневного поддержания маржи, Система Учреждение может признать выгоды смягчения кредитного риска от финансового обеспечения, обеспечивающего договор, или взаимозачетов, установленного с использованием метода «стрижки» залога в § 628.37 (c).

   (c) Кредитный риск контрагента по внебиржевым кредитным деривативам –

   (1) Защита покупателей.Учреждение Системы, которое покупает внебиржевой кредитный производный инструмент, который признан в соответствии с § 628.36 в качестве средства снижения кредитного риска, не обязано вычислять отдельное требование к капиталу для кредитного риска контрагента в соответствии с § 628.32 при условии, что учреждение Системы делает это последовательно для всех таких кредитных производных инструментов. Учреждение Системы должно либо включить все, либо исключить все такие производные кредитные инструменты, которые являются предметом квалифицируемого генерального соглашения о взаимозачете, из любой меры, используемой для определения подверженности кредитному риску контрагента всем соответствующим контрагентам для целей капитала, основанного на оценке риска.

   (2) Провайдеры защиты.

   (i) Системное учреждение, которое является поставщиком защиты по внебиржевому кредитному производному инструменту, должно рассматривать внебиржевой кредитный производный инструмент как подверженность риску по базовому базовому активу. Системное учреждение не обязано вычислять требования к капиталу под кредитный риск контрагента для внебиржевого кредитного производного инструмента в соответствии с § 628.32, при условии, что этот подход применяется последовательно ко всем таким внебиржевым кредитным производным инструментам. Учреждение Системы должно либо включить все, либо исключить все такие внебиржевые кредитные деривативы, которые подпадают под действие квалифицируемого генерального соглашения о взаимозачете, из любой меры, используемой для определения подверженности кредитному риску контрагента.

   (ii) Положения пункта (c) (2) данного раздела применяются ко всем соответствующим контрагентам для целей капитала, основанного на оценке риска.

   (d) Кредитный риск контрагента по внебиржевым производным финансовым инструментам.

   (1) Учреждение Системы должно рассматривать внебиржевой производный финансовый инструмент как подверженный риску собственный капитал и рассчитывать взвешенную с учетом риска сумму актива для внебиржевого производного финансового инструмента в соответствии с §§ 628.51–628.53.

   (2) [Зарезервировано]

   (3) Если учреждение Системы оценивает риск контракта в соответствии с Простым подходом взвешивания рисков (SRWA) в § 628.52, учреждение Системы может принять решение не удерживать капитал, основанный на риске, против кредитного риска контрагента по внебиржевому производному контракту на акции, если он делает это для всех таких контрактов. Если внебиржевые контракты с производными финансовыми инструментами являются предметом квалифицируемого генерального соглашения о взаимозачете, учреждение Системы, использующее SRWA, должно либо включить все контракты, либо исключить все контракты из любой меры, используемой для определения подверженности кредитному риску контрагента.