34. Производная от функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал.
Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю.
Производная функции f(x) есть некоторая функция
f ’(x), произведенная из данной функции.
Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x) ).
Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
35.
Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функции. Производные сложных функций.Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
36. Логарифмическое дифференцирование.
Логарифмическое дифференцирование – в некоторых случаях целесообразнее функцию сначала прологарифмировать, а результат продифференцировать.
Однако производные степенных функций находят только логарифмическим дифференцированием.
Производная степенно-показательной функции равна сумме производно показательной функции, при условии
37. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞, который основан на применении производных.
Правило Лопиталя, при 0 / 0.
Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращается в нуль в этой точке: .
Если существует предел
, то
Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [x0;x], лежащего в окрестности точки x0 , тогда
, где с лежит между x0 и х.
При x→x0 величина с также стремится к х0; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:
Так как ,
то.
Поэтому
(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)
Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.
Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в этой окрестности
Если существует предел
, то
Неопределенности
вида 0∙∞ ; ∞-∞ ; 1∞ ; ∞
Например, 0∙∞
Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х0
38. Дифференциалы высших порядков.
Пусть y=f(x)
дифференцируема функция, а ее аргумент
х – независимая переменная.
Тогда
дифференциал dy=f
′(x)dx
есть также функция х, можно найти
дифференциал этой функции. Дифференциал
от дифференциала есть второй дифференциал.
Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Дифференциалn-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
10. Производная функции, ее геометрический. И физический смысл
Введение бесконечно малых и больших величин связано с процессом их изменения. Изменения, как правило, характеризуют разностью между конечным (или соседним) и начальным значением. В математике, как и в физике, такую разность называют приращением. Приращение может быть положительным, когда соседнее (последующее) значение больше начального, и отрицательным.
На рис.6 приведен график некоторой непрерывной функции .
Рисунок 6 – Касательная прямая в М0 к графику функции есть предельное положение секущей М0 М1 При
Геометрический смысл производной: .
Точке М0 отвечает пара чисел , где . Изменим значение Х0, т. е. дадим ему приращение DХ и, таким образом, от точки Х0 на оси абсцисс перейдем в точку Х0 + DХ. Вследствие этого точка М0 на графике передвинется в точку М1. Изменение функции в результате этого перехода обозначим . Отношение показывает, как быстро изменяется функция с изменением
Def: Производной функции У по аргументу Х называется предел отношения приращения функции DУ к приращению аргумента DХ, вычисленный в процессе, когда приращение аргумента стремится к нулю.
На рис.6 прямая линия, соединяющая две соседние точки М0 и М1, будет секущей для графика. Она наклонена к оси ОХ под углом j, и .
Если DХ устремим к нулю, то точка М1 начнет передвигаться по графику к точке М0, а секущая М0М1 поворачиваться относительно точки М0.
В пределе, при слиянии движущейся точки М1 с неподвижной М0 секущая займет положение касательной. Угол наклона касательной к оси ОХ равен . Таким образом,
Отсюда следует геометрический смысл производной:
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке: .
В начальной школе мы проходили уравнение прямой с угловым коэффициентом: . В старших классах мы обнаружили, что угловой коэффициент равняется тангенсу угла наклона прямой к оси
Кроме касательной в каждой точке графика часто рассматривают еще одну прямую, называемую нормалью.
Def: Прямая, проходящая через точку М0 перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой в точке М0.
Уравнение нормали:
Для потребностей техники приходится рассматривать пространственные кривые, извивающиеся и закручивающиеся. Каждую точку такой кривой «сопровождает» совокупность трех единичных векторов, направленных один по касательной, второй по нормали, а третий вектор перпендикулярен к каждому из двух названных. Положение этих векторов определяют через производную от функции (или функций), описывающих кривую. И этот приём применения производных оказался исключительно эффективным при решении многих задач. Соответствующий раздел математики получил название дифференциальной геометрии.
Мы уже рассматривали функции, имеющие точки разрыва. В этих точках функция не имеет предела. Естественно ожидать, что предел отношения двух приращений и тоже не везде существует, т.
Def: Функция называется дифференцируемой в точке, если она имеет производную в этой точке. Функция называется дифференцируемой на интервале, если она имеет производную в каждой точке этого интервала.
Конечно, в точках разрыва, функция не может быть дифференцируема. А вот обратное утверждение неверно.
На рис.7 представлен график функции, непрерывной во всех точках, но не имеющей производных в точках М1, М2, М3.
В точке М1 функция не дифференцируема. К этой точке непрерывности примыкают два разных участка с разными касательными. В точке М2 также примыкают две разные ветви, но они имеют общую касательную, перпендикулярную оси
Рисунок 7 – График непрерывной во всех точках функции.
В точках X1, X2, X3 функция не дифференцируема.
В точке X1 примыкают две ветви графика с разными касательными; в точках X2 и X3 касательная к графику наклонена к оси ОХ
Под углом 90° (tg 90° – не существует)
Рассмотрим классический пример применения производной. Он связан с прямолинейным движением. Измерим время DT движения от одного дорожного столба до соседнего. Зная, с каким шагом DS устанавливаются столбы, находим среднюю скорость движения на этом конкретном участке . Переходя к пределу (уменьшая DT)Находим мгновенную скорость.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
. Могу ли я когда-нибудь ошибиться, если буду продолжать думать о производных как о соотношениях?
спросил
Изменено 6 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 4к раз
$\begingroup$
Меня предупреждали об этом, я читал ответы здесь, но я не видел встречного примера, где это не работает.
Я знаю, что на самом деле это не дробь, но действительно ли она дает один и тот же результат во всех случаях, или есть контрпримеры, о которых я должен быть предупрежден.
Я не имею в виду очевидные встречные примеры, такие как $$\frac{dy}{dx}+\frac{du}{dv} = \frac{dydv+dxdu}{dx dv}$$, которые, насколько я знаю, на самом деле ничего не значит.
- исчисление
$\endgroup$
8
$\begingroup$
$\frac{dy}{dx}$ действительно можно рассматривать как отношение. Вопрос в том, что представляют собой $dx$ и $dy$ в этом соотношении? Ответ: изменения в $x$ и $y$ по касательной к кривой в рассматриваемой точке, а не по самой кривой. См., например. https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Дифференциал
$\endgroup$
$\begingroup$
Цепное правило в двух измерениях поначалу кажется нелогичным, если вы думаете о производной (и частных производных) как об отношениях:
$$
\ frac {\ mathrm d f} {\ mathrm dt} = \ frac {\ partial f} {\ partial x} \ frac {\ mathrm dx} {\ mathrm dt} + \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ гидроразрыва {\ mathrm dy} {\ mathrm dt}.
$$
Здесь $f$ является функцией двух переменных, $x$ и $y$, обе из которых являются функциями $t$.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Эмпирическое правило заключается в том, чтобы думать таким образом только тогда, когда есть только одна независимая переменная (например, когда все ваши переменные должны рассматриваться как функции $x$). Когда все переменные, которые вы используете, зависят друг от друга, существует множество (полностью строгих) способов думать о таких выражениях, как «$dx$», просто как о значении с забавными единицами измерения, которые сокращаются в «$\frac{ dy}{dx}$”, что приводит к совершенно обычному значению.
Но когда переменных больше (например, при рассмотрении $z = f(x,y)$), этот способ мышления больше не работает. (точнее, это все еще работает, но $dx, dy, dz$ ведут себя как векторы, поэтому деление не имеет смысла)
$\endgroup$
Калькулятор частного правила | Получение отношения двух дифференцируемых функций
Введение в Калькулятор отношения частных
Калькулятор отношения частных — это онлайн-инструмент, который поможет вам найти отношение частных дифференцируемых функций.
Само правило отношения — это метод, который позволяет нам найти производную функции по отношению двух дифференцируемых функций.
Калькулятор производной частного правила позволяет быстро оценить частное правило, потому что ручной расчет может быть длительным и сложным. Вы можете мгновенно вычислить производную функции с помощью этого решателя правил частных .
Как найти калькулятор частных правил?
Есть 2 способа, с помощью которых вы можете найти этот онлайн-калькулятор производной частного правила .
- Выполните поиск в Google по ключевому слову «калькулятор частных правил с шагами». Google покажет вам много результатов, и теперь вам нужно выбирать с умом. Выберите результат из Google, который легко понять и использовать. Который точно находит производную функции в соответствии с отношением двух дифференцируемых функций.
- Найдите веб-сайт калькулятора производных и получите здесь калькулятор производных частных .
На этом веб-сайте также есть много других инструментов, таких как калькулятор локальной линейной аппроксимации и неявный калькулятор с шагами. Этот веб-сайт поможет вам понять различные расчеты дифференциации с помощью точных онлайн-калькуляторов.
На этом веб-сайте также есть много других инструментов, таких как калькулятор локальной линейной аппроксимации и неявный калькулятор с шагами. Этот веб-сайт поможет вам понять различные расчеты дифференциации с помощью точных онлайн-калькуляторов.Зачем использовать Калькулятор частных правил с шагами?
В математике исчисление является одним из самых технических и сложных понятий. Оценка частного правила также очень сложна. Если у вас есть хорошие концепции и практика, вы легко с этим справитесь. В противном случае вам понадобится внешняя помощь, чтобы понять и рассчитать.
Калькулятор производной частного предоставляет пошаговые результаты, с помощью которых вы сможете лучше понять эту концепцию. Вы можете использовать много разных примеров для расчета и понимания. Эта практика будет иметь решающее значение для вашего общего изучения этой концепции. Вот почему вам очень полезно использовать калькулятор производных частных правил .
Связанный: Вы также можете найти калькулятор третьей производной и калькулятор производной второго порядка на этом сайте.
Преимущества использования калькулятора производных коэффициентов
Это всегда полезный и разумный способ упростить использование калькулятора коэффициентов для обучения и практики. Некоторые из основных преимуществ этого решателя частных правил :
- Он экономит ваше время, которое вы тратите на выполнение ручных вычислений.
- Этот калькулятор производной , использующий правило частных , прост и удобен в использовании.
- Вы можете попрактиковаться, чтобы закрепить свои концепции правил частных.
- Он обеспечивает точные и пошаговые результаты.
- Он обеспечивает график и возможные промежуточные шаги правила отношения.
- Для использования этого калькулятора частных производных не требуется никакой платы или подписки.
Родственный: Вы также можете найти калькулятор производной по направлению и калькулятор частной производной второго порядка на этом веб-сайте.
Надежен ли решатель частных правил?
Вы можете изучить частное правило и упростить, используя Калькулятор частных правил отсюда. Онлайн-инструмент работает очень точно и быстро. Он дает точные результаты, не занимая слишком много времени.
Вы можете найти график, возможные промежуточные шаги, пошаговые результаты, используя этот калькулятор производных частных . Это также бесплатно, и вам не требуется никакой регистрации или подписки для его использования.
Связанный: Используйте этот калькулятор нормальной линии для вычисления нормальной линии функции.
Как использовать Калькулятор частных правил с шагами?
Этот решатель частных правил очень прост и удобен в использовании. Просто следуйте приведенным ниже шагам, чтобы шаг за шагом рассчитать частное правило:
- Загрузите пример, если у вас его нет для расчета.
- Введите функцию, для которой вы хотите упростить правило отношения.
