Производная примеры сложных функций: Производная сложной функции. Примеры нахождения производных сложных функций.

Производная сложных функций – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Если \(g:X \to U\) и \(f:U \to Y\), то композиция функций \(g\  и \ f\) обозначается как\(​​​​y = \left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( u \right)\) и представляет собой «двухслойную» сложную функцию или функцию от функции.

Если \( f \ и\ g\) – дифференцируемые функции, то сложная функция \(y=f(g(x))\) также дифференцируема по \(x\), и ее производная равна \({\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) } = {\frac{d}{{dx}}f\left( {g\left( x \right)} \right)g’\left( x \right) } = {\frac{{df}}{{du}}\frac{{du}}{{dx}}}\).

\(y’\left( {{x_0}} \right) = {f’\left( {g\left( {{x_0}} \right)} \right)\cdot g’\left( {{x_0}} \right)}\).

Производные сложных функций вида \(y=f(u(x))\) можно найти по формулам:

\(1. 2}} \right)}}.}\)

5.1.1.8. Примеры вычисления производных

5.1.1.8. Примеры вычисления производных Высшая математика > 5.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной > 5.1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной > 5.1.1. Производная > 5.1.1.8. Примеры вычисления производных

  Пример 1

Вычислите производную функции .

  Решение

По правилу дифференцирования сложной функции следует сначала вычислить производную экспоненты по ее сложному аргументу . Это означает, что в табличной производной  переменную  нужно заменить переменной . Эту производную необходимо умножить на производную от сложного аргумента  по переменной . Правило дифференцирования заданной функции можно записать в следующем виде

.

  Пример 2

Вычислить производную функции .

  Решение

Заданная функция является суперпозицией трех функций . Будем дифференцировать эту функцию, используя правила дифференцирования, начиная с внешней, степенной функции:

.

При этом следует понимать, что дифференцируя внешнюю функцию (степенную или косинус), нельзя менять ее сложный аргумент. Используя таблицу производных, получим

 .

Упростим полученное для производной выражение

.

  Пример 3

Вычислите производную функции .

  Решение

По правилу дифференцирования произведения функций

.

По таблице производных .

Функция  является сложной, ее производную следует вычислять по правилу дифференцирования суперпозиции функций.

.

Производная заданной функции равна

.

Замечание

Производная степенной функции  очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее запомнить

.

  Пример 4

Вычислите производную функции .

  Решение

По правилу дифференцирования частного двух функций, производную от заданной функции можно записать в виде:

.

Функции  и  – сложные. Поэтому производные от этих функций по переменной  вычислим, используя правило дифференцирования суперпозиции функций

.

Производная от функции  по переменной  получится, если в табличную производную  подставить переменную  вместо переменной , то есть

.

Производная  может быть вычислена по таблице, если учесть, что  и использовать правило дифференцирования степенной функции, то есть

.

Тогда

 .

Аналогично, по правилу дифференцирования суперпозиции функций вычисляется производная от функции .

.

Подставим вычисленные производные в формулу для производной частного и запишем производную от заданной функции в виде:

.

Замечание

Производная степенной функции  очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее запомнить

.

  Пример 5

Вычислить производную функции .

  Решение

Заданная функция называется показательно-степенной. Прежде чем вычислять ее производную, запишем эту функцию, используя основное логарифмическое тождество . Получим . Вынося показатель степени за знак логарифма, и раскрывая логарифм частного, полученное выражение можно записать в виде: .

Тогда, дифференцируя полученное выражение по правилу дифференцирования сложной функции, получим

.


 

исчисление – Дифференцирование комплексной функции действительного переменного

спросил

9 лет, 1 месяц назад

Изменено 4 года, 9 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

Пусть $f:[a,b] \to \mathbb{C}$ — комплекснозначная функция вещественной переменной. Скажем, $f(t) = u(t) + i v(t)$. Затем мы определяем производную от $f$ в точке $t \in [a,b]$ как 9{это}$.

  • исчисление
  • комплексный анализ

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Есть и другой подход к этому. Сначала мы можем определить пределы для комплексной функции действительной переменной:

Пусть $c$ — действительное число, а $f$ — комплексная функция вещественной переменной, заданная в некоторой удаленной окрестности $c$. Другими словами, существует открытый интервал $I$ такой, что $c\in I$ и $f:I\setminus{c} \to\mathbb{C} $ — функция. Комплексное число $L$ называется пределом $f$ в $c$ (обозначается $\lim_{x\to c} f(x) =L$ или $f(x)\to L$ как $x\to c$), если для любого действительного числа $\epsilon >

0$ существует соответствующее действительное число $\delta>0$ такое, что $|f(x) – L|<\epsilon $ всякий раз, когда $0<|x-c |<\дельта$.

Далее следует производная:

Пусть $I$ — открытый интервал, $c\in I$ и $f:I\to\mathbb{C}$ — функция. Производная $f$ в точке $c$, обозначаемая $f'(c) $, определяется уравнением $$f'(c) =\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)- f(c)}{h}$$ и $f$ называются дифференцируемыми в $c$, если указанный выше предел существует (в приведенном выше уравнении $h$ — действительное число).

Эти определения точно такие же, как и для вещественных функций вещественной переменной. Можно легко доказать (почти очевидным образом), что приведенное выше определение производной комплексной функции действительной переменной эквивалентно определению производной, данному в вашем вопросе. В зависимости от способа определения $f$ одно из определений может быть предпочтительным/удобным для использования. Таким образом, если действительная и мнимая части $f$ легко вычисляются, то имеет смысл использовать это определение в вашем вопросе. Если действительная и мнимая части $f$ недоступны, можно использовать определение в этом ответе. {ix} =f(x ) =\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{\cos x-i\sin x} =\cos x+i\sin x\tag{6}$$ для всех действительных значений $x $. Приравнивая действительную и мнимую части, мы получаем знакомые ряды для круговых функций, и это представляет собой доказательство этих рядов без использования теоремы Тейлора (доказательство использует свойство умножения экспоненциальных рядов, заданное в $(2)$, чтобы получить производную от $f$ и производные круговых функций, чтобы получить производную от $g$).


Примечание : Теорема о среднем значении неприменима для комплекснозначных функций действительной переменной, но результат, согласно которому «исчезновение производной означает, что функция постоянна», применим и здесь (это доказывается применением результата к вещественным функциям). и мнимые части отдельно) и использовалось в приведенном выше доказательстве.

$\endgroup$

$\begingroup$

То, что мы можем рассматривать $\imath$ как реальную константу, является следствием цепного правила:

Пусть $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ голоморфна. Определите

$$g: \mathbb{R} \to \mathbb{C}, t \mapsto \imath \, t.$$

Тогда $g'(t) = \imath$. Следовательно, применяя цепное правило, получаем

$$\frac{d}{dt} f(\imath \, t)= \frac{d}{dt} (f \circ g)(t) = f (g(t)) \cdot g'(t) = \imath f(g(t)) = \imath f(\imath \, t)$$

На самом деле нужно показать, что цепное правило применяется в эту настройку, но доказательство аналогично доказательству цепного правила с действительными значениями.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

производных – Дифференцирование сложной функции

спросил

Изменено 8 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 7к раз

$\begingroup$

Как бы вы отличили эту функцию от других? г – $$\frac{1}{z-2+3i}$$

Вам нужно разделить его и получить частные производные, верно? Хотя я не уверен, как бы вы разделили его на реальную и мнимую части, когда z и i находятся в знаменателе? 92}. $$

Мало того, что правила, которые вы выучили в первом семестре, те же самые, но и их доказательства такие же. Поэтому очень заманчиво думать, что когда вы выполняете вычисления со сложными переменными, все происходит так же, как и с реальными переменными.

Оставить комментарий