Производная произведения двух функций: Производная произведения функций (u*v)' - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Производная произведения двух функций

Пусть функция w (х) равна произведению двух функций u (х) и v (х):

w (х) = u (х) • v (х).

То же самое мы будем записывать кероче:

w = u • v.

Предположим, что функции u и v дифференцируемы. Будет ли дифференцируемым их произведение w? Имеем: .

Δw = w (x + Δ x) – w (x) = u (x + Δ x) v (x + Δ x) – u (x) v (x).

Но

u (x + Δ x) – u (x) =

Δu,

v (x + Δ x)- v (x) = Δv.

Отсюда

u (x + Δ x) = u + Δu,

v (x + Δ x) = v + Δv.

Следовательно,

Δw = (u + Δu) (v + Δv) – uv = u • v + u • Δv + Δu • v + Δu • Δv

– uv =

= u Δv + Δu v + Δu Δv.

Поэтому

^Δ^w/_Δ_x = u ^Δ^v/_Δ_x + v ^Δ^u/_Δ_x+ ^Δ^u/_Δ_xΔv

При Δx -> 0 получаем:

u -> u

v -> v

^Δ

^u/_Δ_x -> u

^Δ^v/_Δ_x -> v

Покажем, что при Δx -> 0 Δv также стремится к нулю. Действительно,

Δv = ^Δ^v/_Δ_x • Δx = v • 0 = 0.

Таким образом,

$$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta x} = uv+uv+u\cdot 0 = uv+uv $$

Итак, в рассматриваемом случае производная существует и равна:

(uv) = uv + uv.

Производная произведения двух функций равна произведению производной от первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную от второй функции.

Примеры.

1) Найти производную функции у = (х + а) (х + b).

По правилу дифференцирования произведения

у = (х + а) (х + b) + (х + а

) (х + b) = 1 • (х + b) + (х + а) • 1 = 2х+ а+ b.

2) Найти производную функции у = (х + 1) (x² – 3).

Имеем:

у = (х + 1) (x² – 3) + (х + 1) (x² – 3) = (1 + 0) (x² – 3) + (х + 1) (2х + 0) =
=3x² + 2x – 3.

5. Производные произведения и отношения двух функций.

Ответ. (u(x)⋅v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). Производная

произведения равна производная первой функции на вторую плюс первая функция, умноженная на производную второй. Пример. Найти производную функции y(x)=xsinx. Так как заданная функция есть произведением двух функций u(x)=x и v(x)=sinx, то производную y′(x) находим как от произведения. Согласно формуле имеем: y′(x)=(xsinx)′=(x)′⋅sinx+x⋅(sinx)′=$$=1⋅sinx+x⋅cosx=sinx+xcosx. Ответ. y′(x)=sinx+xcosx.

Если функции и дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v, причём . т.е. производная
частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

6. Производные сложной и обратной функции.

Ответ. Дифференцирование сложной функции: . Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией. Пример. Найти производную функции . Представим, что нам нужно вычислить значение выражения при (вместо единицы может быть любое число). В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет функцией: .

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет функцией:

После этого нужно применить правило дифференцирования сложной функции . Начинаем решать – заключаем всю функцию в скобки и ставим справа вверху штрих: Сначала находим производную функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные шаблоны применимы и в том случае, если «икс» заменить любой дифференцируемой функцией . В данном примере вместо «икс»: . . Функция не изменилась. Очевидно, что . Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так: . Далее производная второй функции: . Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения: . Готово.

Производная обратной функции.

Примеры.

7. Производные основных элементарных функций.

Ответ. Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: степенная функция с любым действительным показателем; показательная и логарифмическая функции; тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Формулы:

8. Производные высших порядков.

Ответ. Вот функция: и вот её первая производная: . Вторая производная – это производная от 1-й производной: .

Вторую производную уже считают производной высшего порядка. Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной: . Четвёртая производная – есть производная от 3-й производной: . Пятая производная: , и очевидно, что все производные более высоких порядков тоже будут равны нулю: . Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие обозначения: , производную же «энного» порядка обозначают через .

При этом надстрочный индекс нужно обязательно заключать в скобки – чтобы отличать производную от «игрека» в степени. Иногда встречается такая запись: – третья, четвёртая, пятая, …, «энная» производные соответственно.
Пример. Дана функция . Найти .

2} \, dx = +\infty$, и что $f$ несколько регулярно колеблется.

ПРИЛОЖЕНИЕ: Спасибо Дейву Л. Ренфро за указание на обзорную статью Эндрю М. Брукнера, Яна Маржика и Клиффорда Э. Вейла «Некоторые аспекты произведений производных» [American Mathematical Monthly 99 # 2 (февраль 1992 г.) , 134-145]. В нем обобщаются некоторые связанные исследования, мотивированные этим вопросом. Во введении они указывают на контрпример, приведенный в статье Витольда Вилькоша «Некоторые свойства производных функций» [Fundamenta Mathematicae, vol. 2(1), (192 \sin \frac1x$ при $x \ne 0$ и $F(0)=0$. Тогда $F'(x) = -2x \sin \frac1x + \cos \frac1x$ при $x \ne 0$ и $F'(0)=0$. Функция $h(x) = x \mapsto -2x \sin \frac1x$ непрерывна (с $h(0)=0$), поэтому она является производной по основной теореме исчисления.

2 \frac1x = 1$ при $x \ne 0$ и $k'(0)+l'(0)= 0$. Отсюда следует, что функция $m(x) = k(x) + l(x)$ дифференцируема с $m'(x) = 1$ при $x \ne 0$ и $m'(0)=0 $. Однако легко видеть, что такой функции не существует. 92$ не является производной, но нетрудно показать, что ни одна из них не является производной (поскольку это почти одна и та же функция).

Производные суммы, произведения и частного функций.

В математике производная функции — это скорость изменения одной величины по отношению к другой. Кроме того, оценка производной данной функции в конкретном месте требует эффективного применения определенных правил, соблюдения ограничений. Мы можем определить производную в любой точке для данной функции f по x, то есть f(x). Если производная этой функции встречается в каждой точке, она создает новую функцию, называемую производной от f, которая представлена как f’, df/dx или f’(x). Мы знаем, что можем выполнять различные операции над числами. Точно так же алгебра может быть определена для производных функций, таких как сумма, разность, произведение и частное.

В математике производная означает скорость изменения одной функции по отношению к изменению переменной. Производные необходимы при решении задач, связанных с исчислением. Как правило, ученые наблюдают за изменяющимися системами (динамическими системами), чтобы определить скорость изменения некоторой интересующей нас переменной, затем включают эту информацию в дифференциальное уравнение и используют методы интегрирования для получения функции, которую можно использовать для предсказания поведения исходной переменной. системы в различных условиях.

Правило сумм

Производная суммы равна сумме производных согласно правилу сумм для производных. При определении производной суммы мы просто складываем производные вместе.

Для f(x)=g(x)+h(x), f'(x)=g'(x)+h'(x)

Производная суммы двух функций есть сумма их производных . Производная суммы двух функций = Производная первой функции + Производная второй функции.

Производная функции, являющейся суммой двух других функций, равна сумме их производных. Это можно показать, используя подход производной по определению или метод первого принципа.

Правило произведения

В исчислении правило произведения используется для определения производной или дифференцирования функции, выраженной как произведение двух дифференцируемых функций. То есть мы можем использовать правило произведения или метод Лейбница для определения производной функции типа f(x).g(x), где f(x) и g(x) дифференцируемы. Правило произведения — это прямое применение идеи пределов и производных в дифференцировании.

В соответствии с правилом произведения производных, если функция f(x) является произведением двух функций u(x) и v(x), производная функции определяется как:

Если f(x) = u(x).v(x), то верно следующее:

f′(x) = u′(x) × v(x) + u(x) × v′ (x)

Правило отношения

В исчислении правило отношения — это метод определения производной или дифференцирования функции, представленной в форме отношения или деления двух дифференцируемых функций. То есть мы можем использовать метод частных для вычисления производной функции вида: f(x)/g(x), при условии, что и f(x), и g(x) дифференцируемы, а g(x) не не равно 0. При дифференцировании правило частного следует непосредственно за правилом произведения и идеей пределов вывода.

В математическом анализе правило отношения представляет собой метод определения производной любой функции, представленной в виде отношения, которое представляет собой деление одной функции на другую функцию.

То есть, если нам дана функция вида: f(x) = u(x)/v(x), мы можем определить ее производную, используя производную частного правила, как: f'(x) = [u (x)/v(x)]’ = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)]/[v(x)]2

Заключение

производная — это математическая функция, которую можно геометрически описать как наклон линии, касательной к кривой в каждой точке. Если f дифференцируема и непрерывна между точками [a, b], то это изменение h бесконечно мало. Обозначается символом х. Тогда изменение исходной функции f(x), обозначенное буквой y, столь же незначительно.

Производная произведения двух функций: Производная произведения функций (u*v)’