Sbor_z_u_m (1) – Стр 16
Может показаться слишком трудно, но это еще не самый зверский пример. Возьмите, например, сборник Кузнецова и вы оцените всю прелесть и простоту разобранной производной. Я заметил, что похожую штуку любят давать на экзамене, чтобы проверить, понимает студент, как находить производную сложной функции, или не понимает.
Следующий пример для самостоятельного решения.
Пример 3
Найти производную функции Подсказка: Сначала применяем правила линейности и правило дифференцирования произведения Полное решение и ответ в конце урока.
Настало время перейти к чему-нибудь более компактному и симпатичному.
Не редка ситуация, когда в примере дано произведение не двух, и трёх функций. Как найти производную от произведения трёх множителей?
Пример 4
Найти производную функции Сначала смотрим, а нельзя ли произведение трех функций превратить в произведение двух
функций? Например, если бы у нас в произведении было два многочлена, то можно было бы раскрыть скобки.
Но в рассматриваемом примере все функции разные: степень, экспонента и логарифм.
В таких случаях необходимо последовательно применить правило дифференцирования произведения два раза Фокус состоит в том, что за «у» мы обозначим произведение двух функций: , а за
«вэ» – логарифм: . Почему так можно сделать? А разве – это не произведение двух множителей и правило не работает?! Ничего сложного нет:
Теперь осталось второй раз применить правило к скобке :
Можно еще поизвращаться и вынести что-нибудь за скобки, но в данном случае ответ лучше оставить именно в таком виде – легче будет проверять.
Готово.
Рассмотренный пример можно решить вторым способом:
Оба способа решения абсолютно равноценны.
Пример 5
Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения, в образце он решен первым способом.
Рассмотрим аналогичные примеры с дробями.
151
Пример 6
Найти производную функции Здесь можно пойти несколькими путями:
или так:
Но решение запишется более компактно, если в первую очередь использовать правило
дифференцирования частного , приняв за весь числитель:
В принципе, пример решён, и если его оставить в таком виде, то это не будет ошибкой.
Но при наличии времени всегда желательно проверить на черновике, а нельзя ли ответ упростить?
Минус дополнительных упрощений состоит в том, что есть риск допустить ошибку уже не при нахождении производной, а при банальных школьных преобразованиях. С другой стороны, преподаватели нередко бракуют задание и просят «довести до ума» производную.
Более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 7
Найти производную функции Продолжаем осваивать приёмы нахождения производной, и сейчас мы рассмотрим типовой
случай, когда для дифференцирования предложен «страшный» логарифм
152
Пример 8
Найти производную функции Тут можно пойти длинным путём, используя правило дифференцирования сложной функции:
Но первый же шаг сразу повергает в уныние – предстоит взять неприятную производную от
дробной степени , а потом ещё и от дроби .
Поэтому перед тем как брать производную от «навороченного» логарифма, его предварительно упрощают, используя известные школьные свойства:
! Если под рукой есть тетрадь с практикой, перепишите эти формулы прямо туда.
Если тетради нет, перерисуйте их на листочек, поскольку оставшиеся примеры урока буду вращаться вокруг этих формул.
Само решение можно оформить примерно так: Преобразуем функцию:
Находим производную:
Предварительное преобразование самой функции значительно упростило решение. Таким образом, когда для дифференцирования предложен подобный логарифм, то его всегда целесообразно «развалить».
А сейчас пара несложных примеров для самостоятельного решения:
Пример 9
Найти производную функции
Пример 10 Найти производную функции
Все преобразования и ответы в конце урока.
153
Логарифмическая производная
Если производная от логарифмов – это такая сладкая музыка, то возникает вопрос, а нельзя ли в некоторых случаях организовать логарифм искусственно? Можно! И даже нужно.
Пример 11
Найти производную функции Похожие примеры мы недавно рассмотрели. Что делать? Можно последовательно применить
правило дифференцирования частного, а потом правило дифференцирования произведения.
Недостаток способа состоит в том, что получится огромная трехэтажная дробь, с которой совсем не хочется иметь дела.
Но в теории и практике есть такая замечательная вещь, как логарифмическая производная. Логарифмы можно организовать искусственно, «навесив» их на обе части:
Теперь нужно максимально «развалить» логарифм правой части (формулы перед глазами?). Я распишу этот процесс очень подробно:
Собственно приступаем к дифференцированию.
Заключаем под штрих обе части:
Производная правой части достаточно простая, её я комментировать не буду, поскольку если вы читаете этот текст, то должны уверенно с ней справиться.
Как быть с левой частью?
В левой части у нас сложная функция. Предвижу вопрос: «Почему, там же одна буковка «игрек» под логарифмом?».
Дело в том, что эта «одна буковка игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (если не очень понятно, обратитесь к статье Производная от функции, заданной неявно). Поэтому логарифм – это внешняя функция, а «игрек» – внутренняя
функция.
И мы используем правило дифференцирования сложной функции :
В левой части как по мановению волшебной палочки у нас «нарисовалась» производная . Далее по правилу пропорции перекидываем «игрек» из знаменателя левой части наверх правой части:
154
А теперь вспоминаем, о каком таком «игреке»-функции мы рассуждали при
дифференцировании? Смотрим на условие: Окончательный ответ:
Пример 12
Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения. Образец оформления примера данного типа в конце урока.
С помощью логарифмической производной можно было решить любой из примеров №№4-7, другое дело, что там функции проще, и, может быть, использование логарифмической производной не слишком-то и оправдано.
Производная степенно-показательной функции
Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно-показательная функция – это функция, у которой и степень и основание зависят от «икс». Классический пример, который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции:
Как найти производную от степенно-показательной функции?
Необходимо использовать только что рассмотренный приём – логарифмическую производную.
Навешиваем логарифмы на обе части:
Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень:
В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет
дифференцироваться по стандартной формуле . Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:
Дальнейшие действия несложны:
Окончательно:
Если какое-то преобразование не совсем понятно, пожалуйста, внимательно перечитайте объяснения Примера №11.
В практических заданиях степенно-показательная функция всегда будет сложнее, чем рассмотренный лекционный пример.
Пример 13 Найти производную функции
155
Используем логарифмическую производную.
В правой части у нас константа и произведение двух множителей – «икса» и «логарифма логарифма икс» (под логарифм вложен еще один логарифм). При дифференцировании константу, как мы помним, лучше сразу вынести за знак производной, чтобы она не мешалась
под ногами; и, конечно, применяем знакомое правило :
Как видите, алгоритм применения логарифмической производной не содержит в себе каких-то особых хитростей или уловок, и нахождение производной степенно-показательной функции обычно не связано с «мучениями».
Заключительные два примера предназначены для самостоятельного решения.
Пример 14
Найти производную функции
Пример 15
Найти производную функции Образцы решения и оформления совсем близко.
Не такое и сложное это дифференциальное исчисление
Решения и ответы:
Пример 1:
, , ,
, , ,
, , ,
, ,
,
, , ,
, , ,
, ,
156
Пример 3:
Пример 5:
Примечание: перед дифференцированием можно было раскрыть
скобки и использовать правило один раз.
Пример 7:
Пример 9: Сначала преобразуем функцию. Используем свойства логарифмов:
Найдем производную. Используем правило дифференцирования сложной функции:
157
Пример 10: Сначала преобразуем функцию:
Найдем производную:
Пример 12: Используем логарифмическую производную. Преобразуем функцию:
Находим производную:
Пример 14: Используем логарифмическую производную:
Пример 15: Используем логарифмическую производную:
158
7.
1.4. Производная функции, заданной неявно
Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку данный курс носит практическую направленность, мы стараемся избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?
Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .
Переменная называется независимой переменной или аргументом. Переменная называется зависимой переменной или функцией.
Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция.
До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.
Рассмотрим функцию .
Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция y в явном виде выражена через независимую переменную x.
Рассмотрим другую функцию: .
Здесь переменные x и y расположены «вперемешку».
Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу
пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить
«игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.
Разрешите познакомить: , – пример неявной функции.
В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права неявной функции соблюдены.
На этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.
Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму (без камня перед тремя дорожками).
Пример 1
159
Найти производную от функции, заданной неявно .
1)На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:
2)Используем правила линейности производной:
3)Проводим непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать и – совершенно понятно. Но что делать там, где под штрихами есть «игреки»?
– просто до безобразия, это производная от функции, равная её производной: .
Как дифференцировать .
Здесь у нас сложная функция. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция, y – внутренняя
функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :
Произведение дифференцируем по обычному правилу :
Обратите внимание, что – это тоже сложная функция, и любой «игрек с наворотами» –
это сложная функция:
Само оформление решения должно выглядеть примерно так:
Если есть скобки, то раскрываем их:
4)В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом.
В правую часть – переносим всё остальное:
5)В левой части выносим производную за скобки:
.
6) По правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:
Производная найдена. Готово.
Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например,
функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму.
На самом деле фразы: «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» – более общая.
Например (до преобразований), – это функция, заданная в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под выражением «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.
Второй способ решения
160
| 1 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм x | |
| 2 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 3 | Trovare la Derivata – d/dx | e^x | |
| 4 | Вычислим интеграл | интеграл e^(2x) по x | |
| 5 | Trovare la Derivata – d/dx | 1/x | |
| 6 | Trovare la Derivata – d/dx | x^2 | |
| 7 | Trovare la Derivata – d/dx | 1/(x^2) | |
| 8 | Trovare la Derivata – d/dx | sin(x)^2 | |
| 9 | Trovare la Derivata – d/dx | sec(x) | |
| 10 | Вычислим интеграл | интеграл e^x по x | |
| 11 | Вычислим интеграл | интеграл x^2 по x | |
| 12 | Вычислим интеграл | интеграл квадратного корня из x по x | |
| 13 | Trovare la Derivata – d/dx | cos(x)^2 | |
| 14 | Вычислим интеграл | интеграл 1/x по x | |
| 15 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x)^2 по x | |
| 16 | Trovare la Derivata – d/dx | x^3 | |
| 17 | Trovare la Derivata – d/dx | sec(x)^2 | |
| 18 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x)^2 по x | |
| 19 | Вычислим интеграл | интеграл sec(x)^2 по x | |
| 20 | Trovare la Derivata – d/dx | e^(x^2) | |
| 21 | Вычислим интеграл | интеграл в пределах от 0 до 1 кубический корень из 1+7x по x | |
| 22 | Trovare la Derivata – d/dx | sin(2x) | |
| 23 | Trovare la Derivata – d/dx | tan(x)^2 | |
| 24 | Вычислим интеграл | интеграл 1/(x^2) по x | |
| 25 | Trovare la Derivata – d/dx | 2^x | |
| 26 | График | натуральный логарифм a | |
| 27 | Trovare la Derivata – d/dx | cos(2x) | |
| 28 | Trovare la Derivata – d/dx | xe^x | |
| 29 | Вычислим интеграл | интеграл 2x по x | |
| 30 | Trovare la Derivata – d/dx | ( натуральный логарифм от x)^2 | |
| 31 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм (x)^2 | |
| 32 | Trovare la Derivata – d/dx | 3x^2 | |
| 33 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(2x) по x | |
| 34 | Trovare la Derivata – d/dx | 2e^x | |
| 35 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм 2x | |
| 36 | Trovare la Derivata – d/dx | -sin(x) | |
| 37 | Trovare la Derivata – d/dx | 4x^2-x+5 | |
| 38 | Trovare la Derivata – d/dx | y=16 корень четвертой степени из 4x^4+4 | |
| 39 | Trovare la Derivata – d/dx | 2x^2 | |
| 40 | Вычислим интеграл | интеграл e^(3x) по x | |
| 41 | Вычислим интеграл | интеграл cos(2x) по x | |
| 42 | Trovare la Derivata – d/dx | 1/( квадратный корень из x) | |
| 43 | Вычислим интеграл | интеграл e^(x^2) по x | |
| 44 | Вычислить | e^infinity | |
| 45 | Trovare la Derivata – d/dx | x/2 | |
| 46 | Trovare la Derivata – d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Trovare la Derivata – d/dx | sin(3x) | |
| 48 | Trovare la Derivata – d/dx | 1/(x^3) | |
| 49 | Вычислим интеграл | интеграл tan(x)^2 по x | |
| 50 | Вычислим интеграл | интеграл 1 по x | |
| 51 | Trovare la Derivata – d/dx | x^x | |
| 52 | Trovare la Derivata – d/dx | x натуральный логарифм от x | |
| 53 | Trovare la Derivata – d/dx | x^4 | |
| 54 | Оценить предел | предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3 | |
| 55 | Вычислим интеграл | интеграл x^2 натуральный логарифм x по x | |
| 56 | Trovare la Derivata – d/dx | f(x) = square root of x | |
| 57 | Trovare la Derivata – d/dx | x^2sin(x) | |
| 58 | Вычислим интеграл | интеграл sin(2x) по x | |
| 59 | Trovare la Derivata – d/dx | 3e^x | |
| 60 | Вычислим интеграл | интеграл xe^x по x | |
| 61 | Trovare la Derivata – d/dx | y=x^2 | |
| 62 | Trovare la Derivata – d/dx | квадратный корень из x^2+1 | |
| 63 | Trovare la Derivata – d/dx | sin(x^2) | |
| 64 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-2x) по x | |
| 65 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма квадратного корня из x по x | |
| 66 | Trovare la Derivata – d/dx | e^2 | |
| 67 | Trovare la Derivata – d/dx | x^2+1 | |
| 68 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x) по x | |
| 69 | Trovare la Derivata – d/dx | arcsin(x) | |
| 70 | Оценить предел | предел (sin(x))/x, если x стремится к 0 | |
| 71 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x) по x | |
| 72 | Trovare la Derivata – d/dx | x^5 | |
| 73 | Trovare la Derivata – d/dx | 2/x | |
| 74 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм 3x | |
| 75 | Trovare la Derivata – d/dx | x^(1/2) | |
| 76 | Trovare la Derivata – d/d@VAR | f(x) = square root of x | |
| 77 | Trovare la Derivata – d/dx | cos(x^2) | |
| 78 | Trovare la Derivata – d/dx | 1/(x^5) | |
| 79 | Trovare la Derivata – d/dx | кубический корень из x^2 | |
| 80 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x) по x | |
| 81 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x^2) по x | |
| 82 | Trovare la Derivata – d/d@VAR | f(x)=x^3 | |
| 83 | Вычислим интеграл | интеграл 4x^2+7 в пределах от 0 до 10 по x | |
| 84 | Вычислим интеграл | интеграл ( натуральный логарифм x)^2 по x | |
| 85 | Trovare la Derivata – d/dx | логарифм x | |
| 86 | Trovare la Derivata – d/dx | arctan(x) | |
| 87 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм 5x | |
| 88 | Trovare la Derivata – d/dx | 5e^x | |
| 89 | Trovare la Derivata – d/dx | cos(3x) | |
| 90 | Вычислим интеграл | интеграл x^3 по x | |
| 91 | Вычислим интеграл | интеграл x^2e^x по x | |
| 92 | Trovare la Derivata – d/dx | 16 корень четвертой степени из 4x^4+4 | |
| 93 | Trovare la Derivata – d/dx | x/(e^x) | |
| 94 | Оценить предел | предел arctan(e^x), если x стремится к 3 | |
| 95 | Вычислим интеграл | интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x | |
| 96 | Trovare la Derivata – d/dx | 3^x | |
| 97 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(x^2) по x | |
| 98 | Trovare la Derivata – d/dx | 2sin(x) | |
| 99 | Вычислить | sec(0)^2 | |
| 100 | Trovare la Derivata – d/dx | натуральный логарифм x^2 |
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Возможно, вы захотите рассмотреть 2 термина как один и назвать его как g(x), применить правило произведения и оставить производную двух терминов как g'(x), и тогда у вас будет что-то более чистое, а затем вы можете снова применить правило произведения, чтобы узнать g'(x).
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
Исчисление. При нахождении производной вы сможете распределить факторы или вам придется использовать правило произведения?
спросил 93-1)$, но мы получили бы тот же ответ, если бы перед взятием производной просто умножили $uv$.
Применимо ли это к любой задаче, где мы берем производную от двух умноженных факторов и почему? Если да, то зачем нам вообще нужно использовать правило произведения? Применимо ли то же самое к частному правилу (хотя я понимаю, что для частного правила было бы легче упростить, не разделяя переменные)?
- производные
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Конечно, вы всегда можете сделать любое действительное алгебраическое упрощение в любое время, например.
разложение произведения многочленов. Таким образом, задачу, подобную этой, можно решить либо с помощью правила произведения, либо сначала перемножив многочлены, а затем используя только правила степени и суммы. Оба метода дадут один и тот же ответ.
Если да, то зачем нам вообще нужно использовать правило произведения? 92-8x+4)\right]$$
Вы, конечно, можете перемножить все 42 члена, если хотите, но я думаю, что вам будет гораздо удобнее использовать здесь правило произведения.
Кроме того, не все функции являются многочленами; если вы хотите найти $\frac{d}{dx} x \sin(x)$, на самом деле нет очевидного способа «умножить это».
Применимо ли то же самое к частному правилу (хотя я понимаю, что для частного правила было бы легче упростить, не разделяя переменные)?
92)}$$Или, например, $f(x) = x\sin(x)$. Опять же, мы не можем умножать члены, поэтому снова воспользуемся правилом.
$$(x\sin(x))’ = x’\sin(x)+\sin'(x)x \ подразумевает \boxed{(x\sin(x))’ = \sin(x)+ x\cos(x)}$$
Как видите, ни одна из этих функций не была полиномом.
