«Объясните, пожалуйста, что такое производная функции, приращение функции и аргумента простым языком…» — Яндекс Кью
Математика и жизнь
Популярное
Сообщества
МатематикаШкольная математика
JulieXie1111
Математика и жизнь·
106
ОтветитьУточнитьНиколай Бондаренко
31
Программист, переводчик, педагог · 8 окт 2021
Возьмём самый простой пример. Пусть у нас есть функция, описывающая зависимость длины пройденного пути от времени. Обозначим её s(t) для удобства. А теперь посмотрим, насколько быстро меняется это расстояние в моменты времени. Для этого возьмём произвольный (сколь угодно малый) промежуток времени ∆t. Тело за это время пройдёт путь длиной ∆s = s(∆t).
Разделим одно на другое: ∆s/∆t — и подумаем, что это у нас получилось. А получилась у нас скорость, с которой двигалось тело на протяжении ∆t начиная с момента t. Добавим последний штрих: устремим ∆t к нулю. Тело практически не двигается — а скорость s'(t) = v(t) = ds/dt у его при этом есть. Это называется мгновенная скорость: скорость тела в конкретный момент времени. Поздравляю, у нас есть первая производная.
А теперь копнём чуть глубже: исследуем, как меняется сама скорость с течением времени. Снова делим ∆v на ∆t, пока не надоест. Получаем dv/dt = a(t) = v'(t) = s”(t), первая производная скорости и вторая — расстояния, мгновенное ускорение.
Вот как-то так.
JulieXie1111
20 октября 2021
а что такое d? 🙂
Комментировать ответ…Комментировать…
Лучший
Dims
2,5 K
demystifier · 9 окт 2021
“Производная” функции — это СКОРОСТЬ, с которой эта функция изменяется в зависимости от своего аргумента.
3… Читать далее
Комментировать ответ…Комментировать…
Вы знаете ответ на этот вопрос?
Поделитесь своим опытом и знаниями
Войти и ответить на вопрос
О сообществе
Математика и жизнь
Рассказываем о том, что должен знать и может сделать каждый. Простыми словами!
Вторая производная
Всё очень просто. Вторая производная – это производная от первой производной:
Стандартные обозначения второй производной: , или (дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»). Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите функции…». А студент сидит и битый час чешет репу, что это вообще такое.
Рассмотрим
простейший пример. Найдем вторую
производную от функции
.
Для того чтобы найти вторую производную, как многие догадались, нужно сначала найти первую производную:
Теперь находим вторую производную:
Готово.
Пример 11
Найти вторую производную функции
Найдем первую производную:
На каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит дифференцировать произведение двух функций, и мы избавимся от этой неприятности, применив известную тригонометрическую формулу . Точнее говоря, использовать формулу будем в обратном направлении: :
Находим вторую производную:
Готово.
Можно было пойти другим путём – понизить степень функции еще перед дифференцированием, используя формулу :
Если интересно,
возьмите первую и вторую производные
снова.
Результаты, естественно, совпадут.
Отмечу, что понижение степени бывает очень выгодно при нахождении частных производных функции. Здесь же оба способа решения будут примерно одинаковой длины и сложности.
Как и для первой производной, можно рассмотреть задачу нахождения второй производной в точке.
Например: Вычислим значение найденной второй производной в точке :
Пример 12
Найти вторую производную функции . Найти
Это пример для самостоятельного решения.
Аналогично можно найти третью производную, а также производные более высоких порядков. Такие задания встречаются, но встречаются значительно реже.
Решения и ответы:
Пример 2: Найдем производную: Вычислим значение функции в точке :
Пример
6: Уравнение касательной составим по
формуле 1)
Вычислим значение функции в точке : 2)
Найдем производную.
Перед дифференцированием
функцию выгодно упростить: 3)
Вычислим значение производной в
точке : 4)
Подставим значения , и в
формулу :
Пример 8: Преобразуем функцию: Найдем производную: Запишем дифференциал:
Пример 10: Найдем производную:
Запишем дифференциал: Вычислим дифференциал в точке :
Пример 12: Найдем первую производную: Найдем вторую производную: Вычислим:
На
данном уроке мы познакомимся с понятием
функции двух переменных, а также подробно
рассмотрим наиболее распространенное
задание – нахождение частных
производныхпервого
и второго порядка, полного дифференциала
функции.
Для
эффективного изучения нижеизложенного
материала Вам необходимо уметь
более или менее уверенно находить
«обычные» производные функции одной
переменной. Научиться правильно
обращаться с производными можно на
уроках Как
найти производную? иПроизводная
сложной функции.
Также нам потребуется таблица производных
элементарных функций и правил
дифференцирования, удобнее всего, если
она будет под рукой в распечатанном
виде. Раздобыть справочный материал
можно на странице
Начнем
с самого понятия функции двух переменных,
я постараюсь ограничиться минимумом
теории, так как сайт имеет практическую
направленность. Функция двух переменных
обычно записывается как
,
при этом переменные
,
называются независимыми
переменными или аргументами.
Пример: – функция двух переменных.
Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .
Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ.
Переходим
к вопросу нахождения частных производных
первого и второго порядков. Должен
сообщить хорошую новость для тех, кто
выпил несколько чашек кофе и настроился
на невообразимо трудный материал:
Для
частных производных справедливы все
правила дифференцирования и таблица
производных элементарных функций.
Есть
только пара небольших отличий, с которыми
мы познакомимся прямо сейчас.
Пример 1
Найти частные производные первого и второго порядка функции
Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.
Обозначения: или – частная производная по «икс» или – частная производная по «игрек»
Начнем с . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).
Решаем. На данном уроке я буду приводить полное решение сразу, а комментарии давать ниже.
Комментарии к выполненным действиям:
(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.
Внимание,
важно! Подстрочные
индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения.
Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.
(2) Используем правила дифференцирования , . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной
(3) Используем табличные производные и .
(4) Упрощаем, или,
как я люблю говорить, «причесываем»
ответ.
Теперь
. Когда
мы находим частную производную по
«игрек», то переменная
(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку – уже константа.
(2) Используем таблицу производным элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для (да и вообще почти для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так: и .
Итак, частные производные первого порядка найдены
Подведем итог, чем же отличается нахождение частных производных от нахождения «обычных» производных функции одной переменной:
1)
Когда мы находим частную
производную , переменная считается
константой.
2) Когда мы находим частную производную , переменная считается константой.
3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.
Обозначения: или – вторая производная по «икс» или – вторая производная по «игрек» или – смешанная производная «икс по игрек» или – смешанная производная «игрек по икс»
В понятии второй производной нет ничего сложного. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.
Для наглядности я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:
Сначала найдем смешанные производные:
Как
видите, всё просто: берем частную
производную
и
дифференцируем ее еще раз, но в данном
случае – уже по «игрек».
Аналогично:
Для практических примеров справедливо следующее равенство:
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.
Находим вторую производную по «икс». Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз:
Аналогично:
Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для проверки не существует.
Пример 2
Найти частные производные первого и второго порядка функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, рекомендую ознакомиться уроком Как найти производную?
При определенном
опыте частные производные из примеров
№№1,2 будут решаться Вами устно.
Переходим к более сложным примерам.
Пример 3
Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
Решение: Находим частные производные первого порядка:
Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.
Дальнейшие комментарии:
(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом.
(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.
(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .
(2) Под
штрихом у нас осталось произведение
двух функций, следовательно, нужно
использовать правило дифференцирования
произведения
.
(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .
Теперь находим смешанные производные второго порядка:
, значит, все вычисления выполнены верно.
Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.
Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:
В данном случае:
То есть, в формулу нужно просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:
Пример 4
Найти
частные производные первого порядка
функции
.
Проверить, что
.
Записать полный дифференциал первого
порядка
.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции.
Пример 5
Найти частные производные первого порядка функции . Записать полный дифференциал .
Решение:
(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . С урока Производная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется.
(2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в нужном для дифференцирования виде.
Аналогично:
Запишем полный дифференциал первого порядка:
Пример 6
Найти
частные производные первого порядка
функции
.
Записать
полный дифференциал
.
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое
Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.
Пример 7
Найти частные производные первого порядка функции .
(1) Используем правило дифференцирования суммы
(2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки».
(Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль).
Для
второго слагаемого применяем правило
дифференцирования произведения. Кстати,
в этом смысле ничего бы не изменилось,
если бы вместо была дана функция – важно, что здесь произведение
двух функций, КАЖДАЯ
из которых зависит от «икс»,
а поэтому, нужно использовать правило
дифференцирования произведения.
Для
третьего слагаемого применяем правило
дифференцирования сложной функции.
(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.
Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:
Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:
– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?
– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!
На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:
– Вот
здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую
по «игрек», так что быть тебе нулем.
(Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).
Пример 8
Найти частные производные первого порядка функции .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.
Пример 9
Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.
Ответы:
Пример 2:
, , ,
Пример
4: Ссылка для просмотра ниже.
Пример 6:
, ,
Derivative (математика) — Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия
Другие значения этого термина см. в Derivative.
Функция (черный) и тангенс (красный). Производная в точке есть наклон касательной.
В математике (особенно в дифференциальном исчислении) производная — это способ показать мгновенную скорость изменения, то есть величину, на которую функция изменяется в данной точке. Для функций, которые действуют на действительные числа, это наклон касательной в точке на графике. Производная часто записывается как dydx{\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}} (“dy над dx” или “dy на dx”, что означает разность по у, деленная на разность по х). d не является переменной и поэтому не может быть отменено. Другое распространенное обозначение – f ‘(x) {\ displaystyle f’ (x)} – производная функции f {\ displaystyle f} в точке x {\ displaystyle x}, обычно читаемая как «f {\ displaystyle f} простое число х {\ Displaystyle х}”.
[1] [2] [3]
Анимация, дающая интуитивное представление о производной, поскольку «колебание» функции изменяется при изменении аргумента.
Производная y по x определяется как изменение y по сравнению с изменением x, поскольку расстояние между x0{\displaystyle x_{0}} и x1{\displaystyle x_{1}} становится бесконечно малым ( бесконечно малый). С математической точки зрения, [2] [3]
- f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)h{\displaystyle f'(a)=\lim _{ h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
То есть, когда расстояние между двумя точками x (h) становится ближе к нулю, наклон линия между ними приближается к касательной.
Линейные функции[изменить | изменить источник]
Производные линейных функций (функции вида mx+c{\displaystyle mx+c} без квадратичных или более высоких членов) являются постоянными. То есть производная в одном месте графика останется такой же в другом.
Когда зависимая переменная y{\displaystyle y} напрямую принимает значение x{\displaystyle x} (y=x{\displaystyle y=x}), наклон линии равен 1 во всех местах, поэтому ddx( х) = 1 {\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} (x) = 1} независимо от того, где находится позиция. 9{2}}}
Логарифмические функции[изменить | изменить источник]
Производная логарифмов является обратной величиной: [2]
- ddxln(x)=1x{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{х}}}.
Возьмем, например, ddxln(5x){\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)}. Это можно свести к (по свойствам логарифмов):
- ddx (ln (5)) − ddx (ln (x)) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ ln (5)) – {\ frac {d} {dx} }(\ln(x))}
Логарифм числа 5 является константой, поэтому его производная равна 0. Производная от ln(x){\displaystyle \ln(x)} равна 1x{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} . Так,
- 0−ddxln(x)=−1x{\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}
Для производные логарифмов не по основанию e , такие как ddx (log10 (x)) {\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} (\ log _ {10} (x))}, это можно уменьшить к:
- ddxlog10(x)=ddxlnxln10=1ln10ddxlnx=1xln(10){\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={ \ frac {d} {dx}} {\ frac {\ ln {x}} {\ ln {10}}} = {\ frac {1} {\ ln {10}}} {\ frac {d} {dx }}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}
Тригонометрические функции[изменить | change source]
Функция косинуса является производной функции синуса, в то время как производная косинуса представляет собой отрицательный синус (при условии, что x измеряется в радианах): [2]
- ddxsin(x)=cos (х) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin (x) = \ cos (x)}
- ddxcos (х) = – грех (х) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ cos (x) = – \ sin (x)}
- ddxsec (x) = sec (x) загар (x) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sec (x) = \ sec (x) \ tan (x)}.
9{5}+2x\,}
9{5}+2x\,}Производная функции может использоваться для поиска максимумов и минимумов функции путем поиска мест, где ее наклон равен нулю.
Производные используются в методе Ньютона, который помогает найти нули (корни) функции. Производные также можно использовать для определения вогнутости функции и того, является ли функция возрастающей или убывающей.
- Коэффициент разности
- Основная теорема исчисления
- Неявная производная
- Интеграл
- Частная производная
- Вторая производная
- ↑ «Список символов исчисления и анализа». Математическое хранилище . 2020-05-11. Проверено 15 сентября 2020 г. .
- ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Вайсштейн, Эрик В. «Производная». mathworld.wolfram.com . Проверено 15 сентября 2020 г. .
- ↑ 3.0 3.1 «Значение производной – подход к исчислению». themathpage.com . Проверено 15 сентября 2020 г. .
themathpage.com . Проверено 15 сентября 2020 г. . - Онлайн-калькулятор производных, показывающий промежуточные этапы расчета. Архивировано 23 августа 2013 г. в Wayback Machine .
- Решенные проблемы в деривативах
Производные инструменты для детей и начинающих: #1 Простое объяснение
CBS News Feature о Риши Вамдатте: «11-летний вундеркинд, который предлагает бесплатные финансовые консультации тысячам онлайн»- Фейсбук
- Твиттер
Что такое производные? Investing 101: Easy Peasy Finance для детей и начинающих
Посмотреть это видео на YouTube
Введение в деривативы для детей и подростков
В этом видео просто и лаконично объясняется концепция деривативов для детей и начинающих. Его могут использовать дети и подростки, чтобы узнать о деривативах, или использовать его в качестве денежного и личного финансового ресурса родителями и учителями в рамках курса финансовой грамотности или учебной программы K-12.
Подходит для учащихся следующих классов:
- Детский сад
- Начальная школа
- Средняя школа
- Средняя школа
Охватываемые темы:
- Каковы производные
- . Стоит ли инвестировать в производные инструменты
Что такое производные?
Производные инструменты представляют собой сложные финансовые инструменты, которые имеют стоимость только потому, что они связаны с чем-то другим, называемым базовым активом. Другими словами, производные получают свою стоимость из базового инструмента, которым могут быть акции, облигации, валюта, процентные ставки, товары и т. д.
Сами по себе деривативы не имеют ценности. Цена дериватива определяется и зависит от цены базового актива.
Существуют ли различные типы деривативов?Да, наиболее распространенными деривативами являются фьючерсы, форварды, свопы и опционы.
На высоком уровне фьючерсы, форварды и свопы являются обязательными для держателя контракта, что означает, что стороны, заключающие соглашение, должны выполнить свои обязательства.
Опционы, как следует из названия, дают держателю опциона право, но не обязательство купить или продать базовый инструмент.
Мы подробно рассказываем о каждом производном инструменте в отдельных видеороликах.
[Это партнерская ссылка: без каких-либо дополнительных затрат для вас, мы будем получать комиссию, если вы нажмете и совершите покупку]
Хмм… Это сложно! Можете ли вы объяснить это на примере?Допустим, Бен, фермер, выращивающий кукурузу, обеспокоен тем, что цена на кукурузу упадет к тому времени, когда его урожай будет готов к уборке, и хочет зафиксировать цену продажи на уровне текущей рыночной цены.
С другой стороны, Сэм, производитель попкорна, считает, что цены на кукурузу вырастут через несколько месяцев, и хочет зафиксировать свою цену покупки на уровне текущей рыночной цены.
В этом случае Бен и Сэм заключают форвардный контракт, который представляет собой соглашение между Беном о продаже, а Сэмом о покупке фиксированного количества кукурузы в будущем, скажем, через 3 месяца, по сегодняшней цене.
Таким образом, они оба хеджировали свой риск, основываясь на своей оценке будущей цены на кукурузу.
Производные инструменты были в первую очередь созданы для хеджирования рисков, как мы обсуждали в примере.
Однако деривативы представляют собой инструменты с высокой долей заемных средств, по которым стороны могут торговать, внося вперед лишь небольшой процент от стоимости сделки, называемый маржой. Это делает их инвестициями с высоким риском и высокой прибылью, и поэтому они используются любителями риска для спекуляций.
Как работает торговля деривативами? И как я могу инвестировать в деривативы?Некоторые деривативы торгуются на биржах, как и акции. Их можно покупать и продавать через ваш обычный брокерский счет, если вы зарегистрировались для инвестиций в деривативы.
Но большинство деривативов торгуются напрямую между двумя сторонами, обычно финансовыми учреждениями, такими как банки, с условиями контракта, взаимно согласованными между двумя сторонами.