Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава I. ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ § 1. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИКИ § 2. АРИФМЕТИКА § 3. ГЕОМЕТРИЯ § 4. АРИФМЕТИКА И ГЕОМЕТРИЯ § 5. ЭПОХА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ § 6. МАТЕМАТИКА ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН § 7. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА § 8. СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ § 9. ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ Глава II. АНАЛИЗ § 2. ФУНКЦИЯ Графики функций. § 3. ПРЕДЕЛ § 4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ § 5. ПРОИЗВОДНАЯ Примеры вычисления производных. Производная суммы. Производная произведения. Производная частного. Производная обратной функции. Таблица производных. Нахождение производной функции от функции. § 7. МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Отыскание наибольших и наименьших значений функции. Производные высших порядков. Смысл второй производной. Выпуклость и вогнутость. Признаки максимумов и минимумов.  Исследование графиков функций.§ 8. ПРИРАЩЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Теорема о среднем и примеры ее применения. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. § 10. ИНТЕГРАЛ Определенный интеграл. Связь дифференциального и интегрального исчисления. § 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 12. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Неявное задание функции. Геометрическое изображение. Частные производные и дифференциал. Дифференцирование неявных функций. Задачи на максимум и минимум. Формула Тейлора. Относительный максимум и минимум. § 13. ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА Контурные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского. § 16. РЯДЫ Сходимость ряда. Ряды функций. Равномерно сходящиеся ряды. Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ § 2. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ДЕКАРТА Идея сопоставления уравнениям с двумя неизвестными линий на плоскости. Основные задачи, решаемые аналитической геометрией, и определение аналитической геометрии.  2.§ 6. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИАМЕТРОВ НЬЮТОНА § 7. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Уравнение эллипса и его фокальное свойство. Законы движения планет. Эллипс инерции. Гипербола и ее фокальное свойство. Парабола и ее директрисса. Свойство касательной к параболе. Директриссы эллипса и гиперболы. Конические сечения. Парабола как график пропорциональности квадрату и гипербола как график обратной пропорциональности. Формулы преобразования координат. Приведение любого уравнения 2-й степени к одному из 9 канонических видов. § 9. ЗАДАНИЕ СИЛ, СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТРОЙКАМИ ЧИСЕЛ. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ Арифметизация сил, скоростей и ускорений, введенная Лагранжей. Алгебра векторов. Скалярное произведение и его свойства. § 10. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ Уравнение плоскости и уравнения прямой. Общее уравнение 2-й степени с тремя переменными и 17 его канонических видов.  Эллипсоид. Гиперболоиды и конус 2-го порядка. Параболоиды. § 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННЫЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ Эллипс как результат «сжатия» окружности. Пример решения более сложной задачи. Важнейшие применения аффинных преобразований Формулы аффинных преобразований. Ортогональные преобразования. § 12. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ § 13. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Применение основной теоремы плоской перспективы в аэрофотосъемке. Проективная плоскость. Проективные отображения; основная теорема. Проективная геометрия. Запись проективных преобразований формулами. § 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА ЗАКЛЮЧЕНИЕ Глава IV. АЛГЕБРА (ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ) § 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ Разложение многочлена на множители и формулы Виета. Теорема о симметрических многочленах. Работы Лагранжа. Открытие Абеля. Теория Галуа. Приложение теории Галуа к вопросу о разрешимости геометрической задачи циркулем и линейкой.  Две основные нерешенные задачи, связанные с теорией Галуа. § 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ Теория комплексных чисел. Поверхность модуля многочлена. О возрастании модуля многочлена при удалении от начала. Лемма Даламбера. § 4. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ Простые и кратные корни многочлена. Теорема Ролля и некоторые ее следствия. Правило знаков Декарта. Теорема Штурма. Задача Гурвица. § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ |
Производная. Геометрический и механический смысл производной
Производная. Приращение аргумента. Приращение функции.
Дифференцируемая функция. Геометрический смысл производной.
Угловой коэффициент касательной. Уравнение касательной.
Механический
смысл производной.
Средняя и мгновенная
скорость.
Ускорение.
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x0 и x0 + : f ( x0 ) и f ( x0 + ). Здесь через обозначено некотороемалое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f ( x0 + ) f
Если этот предел существует, то функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x0 . Производная функции f ( x ) обозначается так:
Геометрический
смысл производной.
Рассмотрим
график функции y = f ( x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где – угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точкуB, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (
y = f ’( x0 ) · x
+ b .
Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f ( x0 ) = f ’( x0 ) · x0 + b ,
отсюда, b = f ( x0
y = f ( x0 ) + f ’( x0 ) · ( x – x0 ) .
Механический
смысл производной. Рассмотрим
простейший случай: движение материальной
точки вдоль координатной оси, причём
закон движения задан: координата x
движущейся точки – известная
функция x ( t )
времени t.
В течение
интервала времени от t0
до t0 + точка
перемещается на расстояние: x ( t0 +
) x ( t0 )
=
,
а её средняя
скорость равна: va = .
При
0
значение средней скорости стремится к
определённой величине, которая
называется мгновенной
скоростью v ( t0 )
материальной точки в момент времени t0 .
Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).
Если функция f (x) имет производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Из непрерывности самой функции в точке x0 не следует существование производной её в этой точке.
Правой (левой) производной называется правый (левый) предел
lim x 0 + 0 y/ x
lim x 0 – 0 y/ x ,
если
эти пределы существуют.
Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) f'(x-0). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).
Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим y = 3(0+ x)+1-1=3 x при x>0. При x<0 y = -3(0+ x)+1-1=-3 x, значит,
lim x 0-0 y/ x =-3, lim x 0+0 y/ x = 3.
Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.
Теорема Если
функции u=u(x) и v=v(x) имеют
в точке x производные,
то сумма (разность), произведение и
частное этих функций также имеют
производные в этой точке, и справедливы
следующие
формулы:
1) (u±v)/=u/±v/,
2) (u·v)/=u/v+v/u,
3) (vu)=v2u/v−v/u .
Доказательство Из определения производной:
(u±v)/=limΔx→0Δx[u(x+Δx)±v(x+Δx)]−[u(x)±v(x)]= =limΔx→0Δx[u(x+Δx)−u(x)]±[v(x+Δx)−v(x)]= .
=limΔx→0Δxu(x+Δx)−u(x)±limΔx→0Δxv(x+Δx)−v(x)=u/±v/
(u·v)/=limΔx→0Δxu(x+Δx)·v(x+Δx)−u(x)·v(x)±v(x+Δx)·v(x)= limΔx→0Δxu(x+Δx)[v(x+Δx)−v(x)]+
+limΔx→0Δxv(x)[u(x+Δx)−u(x)]=uv/+vu/.
(vu)/=limΔx→0Δxv(x+Δx)u(x+Δx)−v(x)u(x)=limΔx→0Δx·v(x+Δx)·v(x)u(x+Δx)·v(x)−u(x)·v(x+Δx)±u(x)·v(x)=v2u/v−v/u.
Теорема доказана.
Производная степенной функции.
y=xμ,μ∈R.
y/=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δx(x+Δx)μ−xμ=limΔx→0Δxxμ[(xx+Δx)−1]=limΔx→0xΔx·xxμ[(1+xΔx)−1]= =limΔx→0xΔxxμ−1[(1+xΔx)−1]=[xΔx=t,Δx→0,t→0]=limt→0xμt(1+t)μ−1=xμ·μ,
[xμ]/=μ·xμ−1.
Производная логарифмической функции.
y=logax,
y/=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δxloga(x+Δx)−logax=limΔx→0Δxloga(xx+Δx)=limΔx→0xxΔxloga(1+xΔx)= =limΔx→0x1·loga(1+xΔx)·1xΔx=[t=xΔx,Δx→0,t→0]=limt→0x1·t1·loga(1+t)=x1limt→0loga(1+t)t1= =x1loga[limt→0(1+t)t1]=x1logae=1xlna,
[logax]/=1xlna.
Производная показательной функции.
y=ax,
y/=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0Δxax+Δx−ax=limΔx→0Δxax(aΔx−1)=axlna,
[ax]/=axlna.
Производные тригонометрических функций.
y=sinx,
y/=limΔx→0Δxsin(x+Δx)−sinx=limΔx→0Δx2sin2Δxcos22x+Δx=limΔx→0Δx22Δxcos(x+2Δx)=cosx,(sinx)/=cosx.
(cosx)/=−sinx.
y=tgx,
y/=cos2x(sinx)/cosx−(cosx)/sinx=cos2xcos2x+sin2x=1cos2x,
(tgx)/=1cos2x.
(ctgx)/=−1sin2x.
Производные – определение, значение и синонимы
производные; производная
Внимание: смена частей речи! Как существительное, производное является своего рода финансовым соглашением или сделкой. Однако в качестве прилагательного производное от описывает что-то, что в значительной степени заимствовано из чего-то, что было до него.
Экономический кризис последнего десятилетия в основном связан с неправильным управлением деривативами , которые представляют собой сделки, основанные на результатах других сделок. Сюжет фильма можно описать как производное , если оно ворует из другого фильма — скажем, если оно поднимает торнадо, ведьму и танцующее чучело из Волшебник страны Оз .
Определения производной
существительное
соединение, полученное или рассматриваемое как производное другого соединения
существительное
результат математического дифференцирования; мгновенное изменение одной величины относительно другой; дф(х)/дх
- синонимы: производная функция, дифференциал, дифференциальный коэффициент, первая производная
существительное
финансовый инструмент, стоимость которого основана на другой ценной бумаге
- синонимы: производный инструмент
существительное
(лингвистика) слово, которое образовано от другого слова
«электричество» производное от «электрический»
прилагательное
в результате или с использованием производной
«а производное процесс»
«высоко производная прозаический стиль»
- Синонимы:
- полученный
образовался или развился из чего-то другого; не оригинал
- полученный
ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: Эти примеры предложений появляются в различных источниках новостей и книгах, чтобы отразить использование слова «производное» .
Мнения, выраженные в примерах, не отражают мнение Vocabulary.com или его редакции.
Отправьте нам отзыв
ВЫБОР РЕДАКЦИИ
Поиск
производной в последний разЗакройте пробелы в словарном запасе с помощью персонализированного обучения, которое фокусируется на обучении слова, которые нужно знать.
Начните изучение словарного запаса
Независимо от того, являетесь ли вы учителем или учеником, Vocabulary.com может направить вас или ваш класс на путь систематического улучшения словарного запаса.
Начать производная| значение производного в Longman Dictionary of Contemporary English
Семейство слов (существительное) производная (глагол) производное
Из словаря современного английского языка Лонгмана. производное de‧riv‧a‧tive1 /dɪˈrɪvətɪv/
1 ПРИХОДИТ ИЗ/ПРОИСХОДИТ из чего-то, что развилось или было произведено из чего-то другого, производного от
Героин является производным морфина.
2 вид финансовых вложений
рынок деривативовПримеры Corpusderivative• BAe 1000, производная от весьма успешного BAe 125-800, будет производиться на его заводе в Честере.• Будущий Voxan явно использует производную от V-образного двигателя 72 с двойным верхним расположением камер.• рост кредитных деривативов затрудняет определение того, какие банки подвержены определенному риску. • Для простоты мы также опустили передаточную функцию и ее первую производную, чтобы усилить процесс изменения веса. • Приложение Буво рассматривает карбоксильные группы и его производные и заместители. Сейчас в финансовых кругах и Конгрессе бушуют дебаты о том, следует ли отражать стоимость производных в корпоративных бухгалтерских книгах. Возможно, она может быть большой, если вторая производная f мала, и наоборот. Bear Stearns’ единиц является третьей дочерней компанией производных финансовых инструментов. • На рынке производных финансовых инструментов страховые компании сократили свои покупки ценных бумаг Remic.
производное • Препарат является производным витамина А.
производныйпроизводный2 прилагательное
КОПИРОВАТЬ не новое или изобретенное, а скопированное или взятое из чего-то другого – используется для выражения неодобрения
производный текстПримеры из Corpus Производное• Все сериалы этого сезона довольно унылы и производны.• Но большая часть содержания мышления Марджери была производной.• производный художественный стиль• Здесь это не проблема, так как рэп производен по своей природе.• Сюрреализм и научная фантастика являются производными от нереальности, утешительной или угрожающей, сказочной страны. • Иногда производные модели добивались успеха благодаря тому, что конкретный артист держался за свою вспомогательную гитару долгое время после того, как они ее создали. • Этот относительно новый стиль музыки является производным от рэгтайм и блюз. • Не пожалели усилий, чтобы полировать эту до боли производную картину, как если бы она была бриллиантом, а не чистой пастой.